1-6有理数的混合运算
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有理数的乘方及混合运算(提高)【学习目标】1.理解有理数乘方的定义;2. 掌握有理数乘方运算的符号法则,并能熟练进行乘方运算;3. 进一步掌握有理数的混合运算.【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义:求n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂(power ).即有:n a a a a n ⋅⋅⋅=个.在na 中,a 叫做底数, n 叫做指数.要点诠释:(1)乘方与幂不同,乘方是几个相同因数的乘法运算,幂是乘方运算的结果.(2)底数一定是相同的因数,当底数不是单纯的一个数时,要用括号括起来.(3)一个数可以看作这个数本身的一次方.例如,5就是51,指数1通常省略不写.要点二、乘方运算的符号法则(1)正数的任何次幂都是正数;(2)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;(3)0的任何正整数次幂都是0;(4)任何一个数的偶次幂都是非负数,即 .要点诠释:(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样,首先应确定幂的符号,然后再计算幂的绝对值.(2)任何数的偶次幂都是非负数.要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序:(1)先乘方,再乘除,最后加减;(2)同级运算,从左到右进行;(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.要点诠释:(1)有理数运算分三级,并且从高级到低级进行运算,加减法是第一级运算,乘除法是第二级运算,乘方和开方(以后学习)是第三级运算;(2)在含有多重括号的混合运算中,有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行.(3)在运算过程中注意运算律的运用.【典型例题】类型一、有理数的乘方1. 计算:(1)44333--44;;(-);(-3) (2)332(2)33--3322;();(-);33 【总结升华】注意()n a -与na -的意义的区别.22()n n a a -=(n 为正整数),2121()n n a a ++-=-(n 为正整数). 举一反三:【变式1】比较(-5)3与-53的异同.【答案】相同点:它们的结果相同,指数相同;不同点:(-5)3表示-5的3次方,即(-5)×(-5)×(-5)=-125,而-53表示5的3次方的相反数,即-53=-(5×5×5).因此,它们的底数不同,表示的意义不同.【变式2】已知2a <,且24a -=,则3a 的倒数的相反数是 . 类型二、乘方运算的符号法则2.不做运算,判断下列各运算结果的符号.(-2)7,(-3)24,(-1.0009)2009,553⎛⎫ ⎪⎝⎭,-(-2)2010【总结升华】 “一看底数,二看指数”,当底数是正数时,结果为正;当底数是0,指数不为0时,结果是0;当底数是负数时,再看指数,若指数为偶数,结果为正;若指数是奇数,结果为负.举一反三: 【变式】当n 为奇数时,()()()1111144n n n n ++--+--= .类型三、有理数的混合运算3.计算:(1)-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)] (2)[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)(3)3112222233⎛⎫⎛⎫-+⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (4)()2311113121121324424340.2⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-举一反三:【变式】计算:(1)()⎡⎤⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦211-1-0.5××2--33(2)()⎡⎤⎣⎦341-1-×2--36(3)3201111(1+-2.75)×(-24)+(-1)--238 (4)33211-+|-2-3|(-0.1)(-0.2)4.计算:20112012(2)2-+举一反三: 【变式】计算:201918171643222222...2222--------- 7734()()43-⨯-类型四、探索规律5. 下面是按一定规律排列的一列数:第1个数:11122-⎛⎫-+⎪⎝⎭;第2个数:2311(1)(1)1113234⎡⎤⎡⎤---⎛⎫-+++⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦;第3个数:234511(1)(1)(1)(1) 11111423456⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-----⎛⎫-+++++⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦;…第n个数:232111(1)(1)(1)111112342nn n-⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⎛⎫-++++⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦….那么,在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中,最大的数是().A.第10个数B.第11个数C.第12个数D.第13个数【解析】第1个数结果为1122-=;第2个数结果为111326-=-;第3个数结果为111424-=-;…;发现运算中在112-⎛⎫+⎪⎝⎭后边的各式为43653456⨯⨯⨯⨯…,分子、分母相约为1,所以第n个数结果为1112n-+,把第10、11、12、13个数分别求出,比较大小即可.【总结升华】解答此类问题的方法一般是:从所给的特殊情形入手,再经过猜想归纳,从看似杂乱的问题中找出内在的规律,使问题变得有章可循.举一反三:【变式】观察下面三行数:①-3,9,-27,81,-243,729,…②0,12,-24,84,-240,732,…③-1,3,-9,27,-81,243,…(1)第①行数按什么规律排列?(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系?(3)取每行数的第10个数,计算这三个数的和.【巩固练习】有理数的乘方及混合运算(提高)一、选择题1.下列说法中,正确的个数为( ).①对于任何有理数m ,都有m 2>0; ②对于任何有理数m ,都有m 2=(-m)2;③对于任何有理数m 、n(m≠n),都有(m -n)2>0; ④对于任何有理数m ,都有m 3=(-m)3.A .1B .2C .3D .0 2. 已知(-ab)·(-ab)·(-ab)>0,则( ).( )(A)ab <0 (B)ab >0 (C)a >0,b <0 (D)a <0,b <03.设234a =-⨯,2(34)b =-⨯,2(34)c =-⨯,则a 、b 、c 的大小关系为( ).A .a <c <bB .c <a <bC .c <b <aD .a <b <c4.计算:31+1=4,32+1=10,33+1=28,34+1=82,35+1=244,…,归纳计算结果中的个位数字的规律,猜测200931+的个位数字是( ).A .0B .2C .4D .85.现规定一种新的运算“*”,a*b =a b ,如3*2=32=9,则1*32等于( ). A .18 B .8 C .16 D .326.计算2223113(2)32⎛⎫⎛⎫-⨯---÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果是( ). A .-33 B .-31 C .31 D .33二、填空题1.已知n 28232=⨯, 则n 的值为 .2.对于大于或等于2的自然数n 的平方进行如下“分裂”,分裂成n 个连续奇数的和,则自然数82的分裂数中最大的数是________________.3. 若33x x =-,则x 是 ;若22x x =-,则x 是 ;4.若281x =,则x = ;若3125x =-,则x = .5.若()2120a b ++-=,则()22003a b a++= . 6.当x= 时,()241x --有最大值是 .7.如果有理数m 、n 满足0m ≠,且20m n +=,则2n m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ . 8. 瑞士中学教师巴尔米成功地从光谱数据9162536,,,,5122132中得到巴尔米公式,从而打开了光谱奥妙的大门,请你按这种规律写出第7个数据是 ,第n 个数据是 .三、解答题1. 计算:(1)19812(16)44⎛⎫-÷--÷- ⎪⎝⎭ (2)5115124(3)3521⎛⎫--+÷-⨯- ⎪⎝⎭(3)233131(2)2422⎛⎫⎛⎫-⨯+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4)-9+5×(-6)-(-4)2÷(-8)(5)25221(1)31(2)33⎡⎤⎛⎫---⨯--÷-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2.用简便方法计算:(1)3173156060605212777⎛⎫⎛⎫--⨯⨯-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (2)22111311115342163⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯---⨯⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.。
第一册有理数的混合运算1. 引言有理数是数学中一个重要的概念,包括整数、分数和小数。
有理数的混合运算指的是在计算过程中,涉及到不同形式的有理数进行加、减、乘、除等运算。
本文档将详细介绍有理数的混合运算的概念和一些常见的计算方法。
2. 混合数的定义混合数是由整数和分数组成的数,通常通过一个整数部分和一个分数部分表示。
例如,5和1/2可以表示为5 1/2。
混合数可以转化为假分数,即将整数部分和分数部分的和作为分子,分母不变。
例如,5 1/2可以转化为11/2。
3. 有理数的混合运算有理数的混合运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面分别介绍这四种运算的计算方法。
3.1 加法混合数的加法可以通过以下步骤来进行:1.将混合数转化为假分数。
2.找到两个假分数的公共分母。
3.将两个假分数的分子相加,保持分母不变。
4.如果分子相加后超过公共分母,则将结果转化为混合数。
3.2 减法混合数的减法可以通过以下步骤来进行:1.将混合数转化为假分数。
2.找到两个假分数的公共分母。
3.将两个假分数的分子相减,保持分母不变。
4.如果分子相减后变为负数,则将结果转化为混合数。
3.3 乘法混合数的乘法可以通过以下步骤来进行:1.将混合数转化为假分数。
2.将两个假分数的分子相乘,分母相乘。
3.如果分子和(或)分母是负数,则将结果转化为负数。
4.如果分子可以整除分母,则将结果转化为混合数。
3.4 除法混合数的除法可以通过以下步骤来进行:1.将混合数转化为假分数。
2.将除数转化为倒数。
3.将被除数的分子和除数的分子相乘,被除数的分母和除数的分母相乘。
4.如果分子和(或)分母是负数,则将结果转化为负数。
5.如果分子可以整除分母,则将结果转化为混合数。
4. 示例下面以几个示例来说明混合数的混合运算的计算方法。
4.1 加法示例计算5 1/2 + 3 3/4的过程如下:1.将两个混合数转化为假分数,得到11/2和15/4。
2.找到公共分母为4。
知识点:
1.有理数的混合运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,先算括号里面的,再算括号外面的。
2.运算律的应用:正确合理地进行有理数的混合运算,要注意灵活运用运算律的简化运算,培养解题能力,提高运算速度。
例题1:(2012乐山)如图,A 、B 两点在数轴上表示的数分别为a 、b ,下列式子成立的是( )
A .ab >0
B .a+b <0
C .(b -1)(a+1)>0
D .(b -1)(a -1)>0
考点:数轴;有理数的混合运算.
分析:根据a 、b 两点在数轴上的位置判断出其取值范围,再对各选项进行逐一分析即可. 解答:a 、b 两点在数轴上的位置可知:-1<a <0,b >1, ∴ab <0,a+b >0,故A 、B 错误;
∵-1<a <0,b >1,∴b -1>0,a+1>0,a -1<0故C 正确,D 错误.故选C .
点评:本题考查的是数轴的特点,根据a 、b 两点在数轴上的位置判断出其取值范围,然后利用有理数的运算的符号法则即可解决. 例题2:计算
=
分析:-1的奇次方为-1,-1的偶次方则为它的相反数1;0的任何次方都为0。
解:原式=1+(-1)+1+0=1 例题3:若规定一种运算“*”:
,如
,
,
那么的值等于
解:
例1、(2012聊城)计算|-1/ 3|-2/3的结果是( )
A .-1/3
B .1/3
C .-1
D .1
解析:根据绝对值的性质去掉绝对值符号,然后根据有理数的减法运算,减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解.|-1/3 |-2/3 =1/3 -2/3 =-1/3 .故选A . 例2、计算(-5
11000
)×(5-10)之值为何?( ) A .1000 B .1001 C .4999 D .5001 解析:将-5
1
1000
化为-(1000+51),然后计算出5-10,再根据分配律进行计算. 原式=-(1000+51)×(-5)=(1000+51)×5=1000×5+51×
5=5000+1=5001.故选D . 例3、计算 ① ② ③ ④
分析:绝对值是非负数,所以不论是偶次方还是奇次方,结果都是非负的,但是不要把绝对值或者乘方以外的负号带到运算里面去。
解:①原式=
②原式= ③原式=
④原式=
例4、已知a ,b 互为相反数,c ,d 互为倒数,x 的绝对值等于2,试求
值。
解:由题意,得a+b=0,cd=1,|x|=2,x=2或-2. 所以
=
当x=2时,原式==4-2-1=1; 当x=-2时,原式=
=4-(-2)-1=5。
在有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中,加、减叫作第一级运算,乘、除叫作第二级运算,乘方叫作第三级运算。
没有括号时,先做第三级运算,再作第二级运算,最后做第一级运算。
在同一级运算中,按照由左到右的顺序进行。
有括号时,按照小括号、中括号、大括号的顺序进行运算。
在有理数的混合运算中一定要注意有理数的运算顺序。
(一)选择题
1.若0,0>>+ab b a ,那么下面正确的是( ) A 、0,0>>b a
B 、0,0<>b a
C 、0,0<<b a
D 、0,0><b a 2.若a b a >-,则b 是( ) A 、正数 B 、负数 C 、整数
D 、任意有理数
3.如果一个数的平方等于它的绝对值,那么这个数是( )
A 、-1
B 、0
C 、1
D 、-1,0,1
4.下面四个命题中,正确的是( )
A 、若b a ≠,则2
2b a ≠
B 、若b a >,则b a >
C 、若b a >,则2
2
b a > D 、若b a >,则b a >
5.下列运算中,正确的是( ) A 、―15―5=-10 B 、()075.3433=+-⎪⎭
⎫ ⎝⎛- C 、()1392
=-÷-
D 、()4.3114.37
3
614.3743
-=⨯--⨯ (二)填空题
1.直接定出下列各式的结果:
(1)()()=---3
4
11 (2)=⨯⨯-4232
(3)()
=-⨯⨯-10
21)32(
(4)=⨯--21222
(5)=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-25522
(6)=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--2
2
31
2.已知3,1,2===c b a ,则:
(1)()=-+2
3c b a (2)=-⨯-c b a 2
(3)
=-+-c
a
b c a b (三)计算题
1. ()331313⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛-÷⨯-
2. ()2
3
53411.0⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯--
3. 2
5.099÷- 4. ()178155352
-÷⨯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯-
5. ()⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷--⨯1324225.023
6. ()103
2
121812125.0-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-
7. ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷⨯-⨯÷-534.14112.0435.1 8.()()12
15.03213213
22÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯---+-
(四)解答题
1.如果()()013212
2
=-+-++c b a ,求3
3
3c a abc -+的值.
2.若2,3,5-=-==c b a ,试确定200820021997
c b a ++的末位数字是几.
(一)填空题
1.(1)( 3232)2=-,( 9632)2
=+,( 32
31)2
=-
,3-( 1)2-= (2)( 71)3=-,( 261)3-=+,( 8
71)3=+,2-( 3)3
=
2.若09.283.52
=,则( 2809)2=,( 2809.0)2= 3.绝对值大于2而小于5的所有整数的和为 ,积为 .
4.当=a 时,代数式()2
18+-a 取得最大值 ,此时代数式122
+-a a 的值为 .
5.当=a 时,a a =2;当=a 时,a a =3
. (二)计算题 1.―3―4+19-12 2.()()6124365127-÷-⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛+-
3.()14
52535213⨯-÷+- 4.()()[]
2
4
323
15.011--⨯⨯
-+-
5.()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛-÷⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯32
2311323211 6.()2
612765321-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-
(三)解答题 1.已知2.0,2
1
-=-=y x ,求y x y x 3223---的值.
2.若()()0232
2
=-++b a ,求
5
a b
-的值.。