2019-2020学年福建师大附中高三(上)期中数学试卷(理科)试题及答案

人教A 版师大附中2019-2020学年上学期高一年级期中考试数学试卷 说明：本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合S ＝{1，3，5}，T ＝{3，6}，则S T 等于A. φB. {3}C.{1，3，5，6}D. Ｒ2. 函数f （x ）＝x -12的定义域是A. （－∞，1）B. (]1,∞-C. ＲD. （－∞，1） ()∞+，13. 下列函数中在其定义域上是偶函数的是A. y ＝2xB. y ＝x 3C. y ＝x 21D. y ＝x 2-4. 下列函数中，在区间（0，＋∞）上是增函数的是A. y ＝－x 2B. y ＝ x 2－2C. y ＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛ D. y ＝log 2x 1 5. 已知函数f （x ）＝x ＋1，x ∈Ｒ，则下列各式成立的是A. f （x ）＋f （－x ）＝2B. f （x ）f （－x ）＝2C. f （x ）＝f （－x ）D. –f （x ）＝f （－x ）6. 设函数f （x ）＝a x -（a>0），且f （2）＝4，则A. f （－1）>f （－2）B. f （1）>f （2）C. f （2）<f （－2）D.f （－3）>f （－2）7. 已知a ＝log 20.3，b ＝23.0，c ＝0.32.0，则a ，b ，c 三者的大小关系是A. a>b>cB. b>a>cC. b>c>aD. c>b>a8. 函数f （x ）＝log a （x －2）＋3，a>0，a ≠1的图像过点（4，27），则a 的值为 A. 22 B. 2 C. 4 D. 21 9. 当0<a<1时，下列不等式成立的是 A. a 1.0<a 2.0B. log a 0.1> log a 0.2C. a 2<a 3D. log a 2< log a 310. A semipro baseball league has teams with 21 players each. League rules state that aplayer must be paid at least ＄15，000，and that the total of all players’ salaries for each team cannot exceed ＄700，000. What is the maximum possible salary ，in dollars ，for a single player ？A. 270，000B. 385，000C. 400，000D. 430，000E.700，000二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。

福建师大附中 20**~20** 学年高二上学期期中考可能用到的相对原子质量H-1 C-12 O-16 N-14 Cu-64 Fe-56 S-32第Ⅰ卷选择题（共48 分）一．选择题（此题包含16小题，每题 3分；共 48分，每题只有一个选项切合题意）1．对于能量变化，以下说法错误的选项是（）A．甲烷焚烧时，化学能完整转变为热能B．植物燃料焚烧时放出的能量根源于太阳能D．旧化学键断裂所汲取的能量大于新化学键形成所放出的能量时，该反响为吸热反响2．以下说法正确的选项是（）A．增大反响物浓度，可增大单位体积内活化分子百分数，使有效碰撞次数增大B．有气体参加的化学反响，若减小反响容器的体积，可增添活化分子的百分数，进而使反响速率增大C．高升温度能使化学反响速率增大，主要原由是增添了反响物分子中活化分子的百分数D．铝条与过度稀盐酸反响时，加入少许醋酸钠固体，几乎不影响产生氢气的速率3．已知 298K 下反响 2Al 2O3（ s） +3C（ s）═4Al（ s）+3CO 2（ g）△H=+2171kJ/mol ，△S=+635.5J/（ mol?K），则以下说法正确的选项是（）A ．由题给△H值可知，该反响是一个放热反响B．△S＞ 0表示该反响是一个熵增添的反响C．该反响在室温下可能自觉D．不可以确立该反响可否自觉进行4．以下表达错误的选项是（）A ．钢铁表面发生吸氧腐化时，钢铁表面水膜的pH增大B．在镀件上电镀锌，用锌作阳极C．电解精华铜时，同一时间内阳极溶解的铜的质量比阴极析出的铜的质量少D．工作时在原电池的负极和电解池的阳极上都是发生氧化反响5．以下图是298K 时， N 2与 H2反响过程中能量变化的曲线图，以下表达错误的选项是（）A．加入催化剂，该化学反响的活化能和反响热都改变B．b曲线是加入催化剂时的能量变化曲线C．该反响的热化学方程式为： N2（ g）+3H 2（ g） ? 2NH 3（ g），△H=-92 kJ/molD ．在温度、体积必定的条件下，通入1molN 2和3molH 2反响后放出的热量为Q1kJ，若通入 2molN 2和6molH2反响后放出的热量为 Q2Kj ，则 184＞ Q2＞Q16．以下事实不可以用勒夏特列原理解说的是（）A．由 H2（g）、 I 2（ g）、 HI （ g）气体构成的均衡系统加压后颜色变深B．反响 CO（ g） +NO 2（ g） ? CO2（ g） +NO （ g），△H＜ 0，达到均衡后，高升温度系统颜色变深C．红棕色的 NO 2，加压后颜色先变深后变浅D．黄绿色的氯水光照后颜色变浅7．某实验小组依照反响3-+2H++2I﹣3- AsO 4 ? AsO 3+I 2+H 2O设计如图原电池，研究pH 对AsO 43-氧化性的影响。

福建师大附中2020-2021学年上学期期中考试高二数学试卷一､单选题(每小题5分，共40分；只有一项符合题目要求)1. 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示： 若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为A. 30B. 25C. 22D. 202. 若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过 ( ) A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 命题“对任意实数[1,3]x ∈，关于x 的不等式20x a -≤恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是A. 9a ≤B. 8a ≥C. 9a ≥D. 10a ≥4. 高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为123100,,,,x x x x ，它们的平均数为x ，方差为2s ；其中扫码支付使用的人数分别为132x +，232x +，332x +，，10032x +，它们的平均数为x '，方差为2s '，则x '，2s '分别为（ ）A. 32x +，232s +B. 3x ，23sC. 32x +，29sD. 32x +，292s +5. 设不等式224x y +≤表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则2x y +≤的概率是（ ） A.1ππ- B.2ππ- C.1πD.2π6. 已知圆M 的方程为22680x y x y +--=，过点()0,4P 的直线l 与圆M 相交的所有弦中，弦长最短的弦为AC ，弦长最长的弦为BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ） A. 30B. 40C. 60D. 807. 在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A ，B ，C 三个小区志愿者中各选取1人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作．若每个小区安排1人，则每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为（ ） A.16B.13C.12D.238. 平面内到两个定点的距离之比为常数(1)k k ≠的点的轨迹是阿波罗尼斯圆．已知曲线C 是平面内到两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离之比等于常数(1)a a >的阿波罗尼斯圆，则下列结论中正确的是（ ） A. 曲线C 关于x 轴对称 B. 曲线C 关于y 轴对称 C. 曲线C 关于坐标原点对称 D. 曲线C 经过坐标原点二､多选题(每小题5分，共20分；在给出的A ，B ，C ，D 四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.)9. 下列4个说法中正确的有（ ）①命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠则2320x x -+≠”； ②若00:0,sin 1p x x ∃≥>，则:0,sin 1p x x ⌝∀≥≤； ③若复合命题：“p q ∧”为假命题，则p ，q 均为假命题； ④“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件. A. ①B. ②C. ③D. ④10. （多选）已知直线l 经过点(3,4)，且点(2,2),(4,2)A B --到直线l 的距离相等，则直线l 的方程可能为（ ）A. 23180x y +-=B. 220x y --=C. 220x y ++=D. 2360x y -+=11. 以下对各事件发生的概率判断正确的是（ ）A. 甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是13B. 从1名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务，则选中一男一女同学的概率为23C. 将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是536D. 从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是1212. 某同学在研究函数22()1610f x x x x =++-+的性质时，受到两点间距离公式的启发，将()f x 变形为2222()(0)(01)(3)(01)f x x x =-+-+-+-，则()f x 表示||||+PA PB （如图），下列关于函数()f x 的描述，描述正确的是（ ）A. ()f x 的图象是中心对称图形B. ()f x 的图象是轴对称图形C. 函数()f x 的值域为[13,)+∞D. 方程[()]110f f x =+有两个解三､填空题(每小题5分，共20分)13. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，则x 的值为_________.14. 已知(1,0),(2,4),A B ABC-面积为10，则顶点C 的轨迹方程是______．15. 过20x y --=上一点()00,P x y 作直线与221x y +=相切于A ，B 两点.当03x =时，切线长PA 为________________；当PO AB ⋅最小时，0x 的值为__________.16. 由1， 2， 3， …，1000这个1000正整数构成集合A ，先从集合A 中随机取一个数a ，取出后把a 放回集合A ，然后再从集合A 中随机取出一个数b ，则13a b >的概率为______． 四､解答题(要求写出过程，共70分)17. 已知0a >，命题()()230p x x +-≤：，命题11q a x a -≤≤+：． （1）若5a =，“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数x 的取值范围； （2）若q ⌝ 是p ⌝的必要条件，求实数a 的取值范围．18. 已知直线:10l x y +-=与圆22:430C x y x +-+=相交于,A B 两点（1）求||AB ；（2）若(,)P x y 为圆C 上的动点，求+1yx 的取值范围. 19. 某工厂新研发了一种产品，该产品每件成本为5元，将该产品按事先拟定的价格进行销售，得到如下数据： （1）求销量y （件）关于单价x （元）的线性回归方程y bx a =+； （2）若单价定为10元，估计销量为多少件；（3）根据销量y 关于单价x 的线性回归方程，要使利润P 最大，应将价格定为多少？参考公式：1221ni ii ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑，a y bx =-.参考数据：614066i ii x y==∑，621434.2i i x ==∑20. 某电视台有一档益智答题类综艺节日，每期节目从现场编号为01～80的80名观众中随机抽取10人答题.答题选手要从“科技”和“文艺”两类题目中选一类作答，一共回答10个问题，答对1题得1分.（1）若采用随机数表法抽取答题选手，按照以下随机数表，从下方带点的数字2开始向右读，每次读取两位数，一行用完接下一行左端，求抽取的第6个观众的编号. 1622779439 4954435482 1737932378 8735209643 8426349164 8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676（2）若采用等距系统抽样法抽取答题选手，且抽取的最小编号为06，求抽取的最大编号.（3）某期节目的10名答题选手中6人选科技类题目，4人选文艺类题目.其中选择科技类的6人得分的平均数为7，方差为53；选择文艺类的4人得分的平均数为8，方差为52.求这期节目的10名答题选手得分的平均数和方差.21. 某港口船舶停靠的方案是先到先停.（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表猜拳：从1,2,3,4,5中各随机选一个数，若两数之和为奇数，则甲先停靠；若两数之和为偶数，则乙先停靠，这种对着是否公平？请说明理由.（2）根据已往经验，甲船将于早上7:008:00-到达，乙船将于早上7:308:30-到达，小王设计了一种随机模拟的方法求甲船先停靠的概率，随机模拟实验步骤如下：记,X Y 都是01之间的均匀随机数，用计算机做了100次试验，得到的结果有13次满足0.5X Y -≥，有6次满足20.5X Y -≥.请根据上述实验及其参考数据，求甲船先停靠的概率.22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知以点()21,C a a-（0a >）为圆心的圆过原点O ，不过圆心C 的直线20x y m ++=（m ∈R ）与圆C 交于M ，N 两点，且点26,55F ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点.（1）求m 的值和圆C 的方程；（2）若Q 是直线2y =-上的动点，直线QA ，QB 分别切圆C 于A ，B 两点，求证：直线AB 恒过定点； （3）若过点()0,P t （01t ≤<）的直线L 与圆C 交于D ，E 两点，对于每一个确定的t ，当CDE △的面积最大时，记直线l 的斜率的平方为u ，试用含t 的代数式表示u ，并求u 的最大值.。

福建师大附中2018-2019学年高三上学期期中考试卷高三文科数学一、选择题（每小题5分，共60分；在给出的A,B,C,D四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设集合则=A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，，则，选C.【考点】本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集运算，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与函数的值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.2.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，考点：全称命题与特称命题3.已知是虚数单位，复数在复平面上所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数,可得复平面上对应的点的坐标，从而可得结果.【详解】，对应点坐标为，在第一象限,故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 4.已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】 由可得，利用双曲线的离心率求出，从而可得的值，然后求解双曲线的渐近线方程.【详解】由双曲线可得，离心率为，则，所以双曲线的渐近线方程为，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的方程、双曲线的离心率以及双曲线的渐近线方程，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.5.已知函数，为图象的对称轴，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，则的解析式为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由为图象的对称轴，可得,从而求得的值，再利函数的图象变换规律，以及诱导公式，可得出结论. 【详解】根据函数为图象的对称轴，可得,故，函数，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，故选B.【点睛】本题主要考查正弦函数图象的对称性，函数的图象变换规律，以及诱导公式，属于基础题. 由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.6.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，抛物线上一点，若，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由抛物线的定义，求得点的坐标，进而求解三角形的面积．详解：由抛物线的方程，可得，准线方程为，设，则，即，不妨设在第一象限，则，所以，故选A．点睛：本题主要考查了抛物线的定义及性质的应用，其中熟记抛物线的定义和性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．7.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：分析函数的奇偶性，以及是函数值的符号，利用排除法即可得到答案.详解：由题意，函数满足，所以函数为奇函数，图象关于轴对称，排除；又由当时，函数，排除，故选A.8.直线与圆相交于、两点.若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，结合圆的半径，由勾股定理可得圆心到直线的距离,利用点到直线距离公式，列不等式可得结果.【详解】若，则圆心到直线的距离,即，解得，故选B.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.9.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，由此能求出该几何体的表面积.【详解】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体去掉一个底面半径为1高为2的圆锥，如图，该几何体的表面积：，故选D.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10.若四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】运用向量的加减运算和平面数量积公式以及运算，主要是向量的平方即为模的平方，结合菱形的性质，化简即可得到所求值.【详解】四边形是边长为2的菱形，，可得，则，故选A.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积公式，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．11.在中，，，点在边上，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可得,进而中，由正弦定理建立方程即可解得的值.【详解】，，,所以，，可得，中，由正弦定理可得，中，正弦定理可得，，解得，故选C.【点睛】本题主要考查直角三角形的性质以及正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.12.已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，，再由椭圆的定义，得到的周长为，列出的关系式，即可求解离心率.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知直线和直线垂直，则实数的值为__________．【答案】【解析】∵，∴，得．故答案为：.14.已知向量，，若，则向量与向量的夹角为_____．【答案】【解析】【分析】由，利用数量积为零可求得，从而得，求得，利用，从而可得结果.【详解】，则，，即，解得，，则，则，又，故答案为.【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.15.设函数，则函数的零点个数是_______.【答案】2【解析】分析：首先根据题意，将函数的零点个数问题转化为方程解的个数，最后转化为函数的图像和直线交点的个数问题来解决，这样比较直观，容易理解.详解：在同一个坐标系中画出函数的图像和直线，而函数的零点个数即为函数的图像和直线的交点的个数，从图中发现，一共有两个交点，所以其零点个数为2.点睛：该题考查的是函数的零点个数问题，解决该题的方法是将函数的零点个数问题转化为函数图像交点的个数问题来解决，从而将问题简单化，并且比较直观，学生容易理解.16.半径为4的球的球面上有四点A,B,C,D，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为_____________________．【答案】【解析】分析：求出△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．详解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：O′C=，OO′=，则三棱锥D﹣ABC高的最大值为6，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：故答案为：．点睛：（1）本题主要考查球的内接多面体和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力. (2)本题求体积的最大值，实际上是求高的最大值，所以求高是关键.三、解答题（要求写出过程，共70分）17.已知等差数列的公差为1，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）由题成等比数列则，将代入求出，即可得到数列的通项公式；试题解析：（2）由（Ⅰ）. 利用分组求和法可求数列的前项和..（1）在等差数列中，因为成等比数列，所以，即，解得. 因为所以所以数列的通项公式.（2）由（1）知,所以.18.已知函数.（1）求函数的最大值；（2）已知的面积为，且角，，的对边分别为，，，若，，求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，可得函数的最大值为；（2）由题意，化简得，从而得，由，，求得的值，根据余弦定理得.【详解】（1），∴函数的最大值为.（2）由题意，化简得.∵，∴，∴，∴.由得，又，∴，或，.在中，根据余弦定理得.∴.【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19.已知数列的前项和满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和为.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用数列前项和与的关系解答；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，利用裂项求和法求得数列的前项和．试题解析：（Ⅰ）当时,;当时,，（Ⅱ）由（Ⅰ）知从而数列考点：1、数列前项和与的关系；2、裂项求和法．【方法点睛】在等差（比）数列中由各项满足的条件求通项公式时，一般将已知条件转化为基本量，用和表示，通过解方程组得到基本量的值，从而确定通项公式．解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：（1）转化的思想，即将一般数列设法转化为等差（比）数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成；（2）不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和．20. 【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【答案】(1),；(2)或或【解析】试题分析：（1）在极坐标方程是的两边分别乘以，再根据极坐标与直角坐标的互化公式及即可得到曲线的直角坐标方程，消去直线的参数方程中的参数得到直线的在普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，由直线参数方程中参数的几何意义构造的方程.试题解析：（1）曲线的极坐标方程是，化为，可得直角坐标方程：．直线的参数方程是（为参数），消去参数可得．（2）把（为参数）代入方程：化为：，由，解得，∴．∵，∴，解得或．又满足．∴实数或．考点：圆的极坐标方程及直线参数方程的意义.21.已知椭圆的离心率为，短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求证：点在定圆上.【答案】（1）椭圆的标准方程为（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由已知可得，，椭圆为；（2）由①，且，又② ，由①②得点在定圆上. 试题解析：（1）设焦距为，由已知，，∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）设，联立得，依题意，，化简得，①，，若，则，即，∴，∴，即，化简得，②由①②得.∴点在定圆上.（没有求范围不扣分）【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、斜率公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型.第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为；（2）设而不求法求得①，再利用韦达定理转化得② ，由①②得点在定圆上.22.函数.(I)求的单调区间；(II)若，求证：.【答案】(1)a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(2) 证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出导数，根据对的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；（2）求出函数的最小值，转化为证≥，构造，求其最小值，即可解决问题.试题解析：（Ⅰ）．当a≤0时，，则在上单调递减；当时，由解得，由解得．即在上单调递减；在上单调递增；综上，a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(Ⅱ)由（Ⅰ）知在上单调递减；在上单调递增，则．要证≥，即证≥，即+≥0，即证≥．构造函数，则，由解得，由解得，即在上单调递减；在上单调递增；∴，即≥0成立．从而≥成立．点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.。

2019－2020学年云南师大附中高三（下）月考数学试卷（理科）（六）一、选择题.1.（5分）已知集合2{|log 1}A x x =<，集合{|||2}B x N x =∈<，则(A B = )A .{|01}x x <<B .{|02}x x <C .{|22}x x -<<D .{0，1}2.（5分）已知i 为虚数单位，则复数3(1)(1)(i i --= )A .2iB .2i -C .2D .2-3.（5分）已知平面向量a ，b 的夹角为30︒，||1a =，1()2a a b -=-，则||(b = )AB .2C .3D .44.（5分）已知实数x ，y 满足约束条件()1221x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则yx 的最大值为( )A .2B .32C .1D .235.（5分）在区间(0,3)上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与双曲线22:1C x y -=有两个不同的交点“发生的概率为( ) A .13B .12C .23D .16.（5分）已知3(21)()x x a -+展开式中各项系数之和为27，则其展开式中2x 项的系数为( )A .24B .18C .12D .47.（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若sin A =，a =，c a >，则角C 的大小为( )A .3πB .2πC .23πD .34π8.（5分）在下面四个三棱柱中，A ，B 为三棱柱的两个顶点，E ，F ，G 为所在棱的中点，则在这四个三棱柱中，直线AB 与平面EFG 不平行的是( )A .B .C .D .9.（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线2:2(0)E y px p =>有公共焦点F ，椭圆C 与抛物线E 交于A ，B 两点，且A ，B ，F 三点共线，则椭圆C 的离心率为( )A 21B .22C .3D .51-10.（5分）已知数列{}n a 满足：对*n N ∀∈，1log (2)n n a n +=+，设n T 为数列{}n a 的前n 项之积，则下列说法错误的是( ) A .12a a >B .17a a >C .63T =D .76T T <11.（5分）数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2cos212sin αα=-”所用的几何图形。

福建师大附中2013届高三上学期期中考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．x2．（5分）（2010•泰安一模）若复数是纯虚数（i是虚数单位），则a的值，由纯虚数的定义可得答案．==，4．（5分）已知向量，则向量的夹角为（），代入可求向量的夹角解：设向量==5．（5分）给出命题：已知a、b为实数，若a+b=1，则ab≤．在它的逆命题、否命题、逆=ab≤，则，6．（5分）下列函数中，周期为π，且在上单调递增的奇函数是（）．．．，，且在，，，且在7．（5分）把函数的图象向左平移个单位，再把所得函数图象上所C）]=过第二次变换可得解：把函数的图象向左平移）﹣]=解析式为8．（5分）（2013•日照二模）在同一个坐标系中画出函数y=a x，y=sinax的部分图象，其中．．C．．T=9．（5分）已知，，，，则的最大值为（）AC==的最大值为：10．（5分）如图，正五边形ABCDE的边长为2，甲同学在△ABC中用余弦定理解得，乙同学在Rt△ACH中解得，据此可得cos72°的值所在区间为（）解：根据题意可得构造函数二、填空题：本大题有7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡的相应位置. 11．（5分）已知数列{a n}为等差数列，若a3+a4+a5=9，则S7= 21 ．（12．（5分）（2013•泰安二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinB=2sinC，，则A= ．sinB=，再由，∵sinB=2sinC，∴，∴a=∴cosA=﹣．故答案为：13．（5分）函数f（x）=cos2x+sinxcosx（）的取值范围是[，1] ．+2xx+sinxcosx•+cos2x+（，0≤x≤≤x≤，∴（，14．（5分）偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=﹣x+1，则关于x的方程上解的个数是 3 个．=，，，讨论方程在指定区间上零点的个15．（5分）已知数列{a n}的通项公式为，则数列中数值最大的项是第 6 项．的表达式，进而利用函数的单调性即可求出．==时，时，＞时，单调递减，取得最大值．16．（5分）如图△ABC中，AD=2DB，2AE=EC，BE∩CD=P若，则x+y= ．由梅涅劳斯定理，知：=1，所以=，再由，．故答案为：．17．（5分）将方程x+tanx=0的正根从小到大地依次排列为a1，a2，…，a n，…，给出以下不等式：①；②；③2a n+1＞a n+2+a n；④2a n+1＜a n+2+a n；其中，正确的判断是②④．（请写出正确的序号）＜三、解答题：本大题有5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（12分）已知数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1，数列{b n}的前n项和为T n，且满足T n=1﹣b n（1）求{b n}的通项公式；（2）在{a n}中是否存在使得是{b n}中的项，若存在，请写出满足题意的一项（不要求写出所有的项）；若不存在，请说明理由．=为首项和公比均为的等比数列，由此能满足题意，即=b为首项和公比均为的等比数列，，即19．（12分）（2007•山东）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？，，．答：乙船每小时航行20．（13分）如图，9个正数排列成3行3列，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且所有的公比都是q，已知a12=1，，又设第一行数列的公差为d1．（Ⅰ）求出a11，d1及q；（Ⅱ）若保持这9个数的位置不动，按照上述规律，补成一个n行n列的数表如下，试写出数表第n行第n列a nn的表达式，并求S n=a11+a22+a33+…+a nn的值．（Ⅰ）仔细观察图表，由题设条件知，由此能求出求（Ⅱ）由图表中的规律，知，，解得（Ⅱ）因为=①②由①﹣②，得．21．（13分）（2012•厦门模拟）已知函数f（x）=Asin（2x+θ），其中A≠0，，试分别解答下列两小题．（I ）若函数f（x）的图象过点E，求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）如图，点M，N分别是函数y=f（x）的图象在y轴两侧与x轴的两个相邻交点，函数图象上的一点P（t，）满足，求函数f（x）的最大值．E的值，利用（Ⅱ）利用|NC|=，从而，由此可得，利用，E（﹣+（∴sin（+=，∴2x+，∴A=22x+），∵=|NC|=∴|NC|=|NC|=∴t﹣（﹣）﹣（+t=+2t=，=）的最大值为22．（15分）（2012•厦门模拟）已知函数f（x）=21nx+ax2﹣1 （a∈R）（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=l，试解答下列两小题．（i）若不等式f（1+x）+f（1﹣x）＜m对任意的0＜x＜l恒成立，求实数m的取值范围；（ii）若x1，x2是两个不相等的正数，且以f（x1）+f（x2）=0，求证：x1+x2＞2．=＜）。

南京师大附中2019-2020学年度第1学期高一年级期中考试数学试卷、单选题：本大题共10小题，每小题2分，共计20分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合A {2,4,6,8,10} B {4,8},则C A B( ).A. {4,8}B. {2,6}C. {2,6,10}D. {2,4,6,8,10}2.2 _ _ {0, x,x }，则3. 4. 5.A. B. C.0 或 1 D.0或 1 函数A.1y 4 x2(1,2)卜列各组的函数,ln(1 x)的定义域为(B. (1,2]C. (2,1)D. [ 2,1)f (x)与g(x)是同一个函数的是(A. f (x) x,g(x) x2B. f(x) 1,g(x)C. f (x) x, g(x) (- x)2D. f(x) 1,g(x)已知函数f (x)2x 1 x 0, 0,则下列图像错误x ,0 x 1的是(C. y f( x)的图像D. y f(x)的图像A. y f(x 1)的图像B. y f(x)的图像2已知log 2 x 0 ,那么x 的取值范围是（）.取值范围是（二、多选题：本大题共 3小题，每小题3分，共计9分.每小题给出的四个选项中，不止一 项是符合题目要求的，每题全选对者得3分，其他情况不得分.511 .若指数函数y a x在区间［1,1］上的最大值和最小值的和为则a 的值可能是（）.12 .在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续产品的总产量y （单位：千克）与时间 x （单位：小时）的 函数图像，则以下关于该产品生产状况的正确判断是 （）.A.在前三小时内，每小时的产量逐步增加6. 7. 8. 9. A. (0,)若集合A {x （kA.2 或 1若函数f （x ） A. [0,3)(k 已知函数f （x ） B. (1,)C. (0,1)D.(,1)2)x 23)x 2 2xa x2kx 1 0}有且仅有1个元素，则实数B. 2或 1C. 2 或 12kx 1 在(B. [0,3]1 .一一，右对任思k 的值是（D. 2,0］上为增函数，则k 的取值范围是（C. (0,3]D. [3,（1,），不等式f （x ） 1恒成立，则实数a 的A. ( , 1)B. 1]C. ( 1,)D. [ 1,)10.若函数f (x)xa 4x 22ax1， 、， 〜 一在R 上单调递增，则实数 1a 的取值范围是（）.A. (1,4]B. [3,4]C. (1,3]D. [4,)A. 2B.2C. 3D.5个小时的生产情况画出了某种3B.在前三小时内，每小时的产量逐步减少C.最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同D.最后两小时内，该车间没有生产该产品 13.下列四个说法中，错误.的选项有().A.若函数f(x)在(，0］上是单调增函数，在(0,)上也是单调增函数，则函数 f(x)在R 上是单调增函数B.已知函数的解析式为 y x 2,它的值域为［1,4］,这样的函数有无数个C.把函数y 22x 的图像向右平移2个单位长度，就得到了函数 y 22x2的图像D.若函数f(x)为奇函数，则一定有 f(0) 0三、填空题：本大题共 4小题5个空，共计15分，每空填对得3分，其他情况不得分.x 2x 114 .若 f(x),'，则 f(f(0)).15 .已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x 0时，f(x) x(2x1).则当x 0时，函 数 f(x) ^ 16 .某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2018年全年投入研发资金100万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长8%,则该公司全年投入的研发资金开始超过 1000万元的年份是 年.(参考数据：lg1.08 0.033 )17 .已知关于x 的方程(1)x2 t 0有两个不等的实数根 X 和x 2,且X I x 2.①实数t 的取值范围是 ;②2x 2 X 的取值范围是 . 四、解答题：本大题共 6小题，共计56分.18 .(本小题满分8分)求下列各式的值：81 25610g 2 x,x(1) 2)(2)3*4 (lg5)2 lg2 lg50 .19.(本小题满分8分)解关于x的不等式(x a)(x 1) 0(a R).20.(本小题满分10分)已知集合A {xx2 2x 8 0}, B {x—x- 0},C {xa 1 x 2a}.x 1(1)求AI B ;(2)若AUC A ,求实数a的取值范围.21.(本小题满分10分)暑假期间，某旅行社为吸引游客去某风景区旅游，推出如下收费标准：若旅行团人数不超过30,则每位游客需交费用600元；若旅行团人数超过30,则游客每多1人，每人交费额减少10元，直到达到70人为止.(1)写出旅行团每人需交费用y (单位：元)与旅行团人数x之间的函数关系式；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可以从该旅行团获得最大收入？最大收入是多少？22.(本小题满分10分)已知函数f(x) 1 rm—为奇函数.3 1(1)求实数m的值；(2)判断函数f(x)的单调性；(3)求不等式f(x2 x 1) 1 0的解集.23.(本小题满分10分)一一皿v v 1已知函数f(x) log2[k 4x(k 1)2x k -].(1)当k 0时，求函数的值域；(2)若函数f (x)的最大值是1,求k的值；(3)已知0 k 1 ,若存在两个不同的正数a,b,当函数f(x)的定义域为[a,b]时，f(x) 的值域为[a 1,b 1],求实数k的取值范围.5。

福建师大附中2019-2020学年第一学期高一年段期中考试试卷物理（满分：100分，考试时间：90分钟）试卷说明：（1）本卷共四大题,17小题，所有的题目都解答在答案卷上，考试结束，只要将答案卷交上来。

（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分。

每题所给的选项中只有一个是正确的，选对的得4分，错选或不选的得0分）1．伽利略为了研究自由落体的规律，将落体实验转化为著名的沿斜面运动的实验，当时利用斜面做实验主要是考虑到（ ） A ．实验时便于测量小球运动的速度 B ．实验时便于测量小球运动的路程 C ．实验时便于测量小球运动的时间 D ．实验时便于测量小球运动的加速度2.头顶球是足球比赛中常用到的一种技术，如图所示在足球比赛中，关于运动员C 罗在顶球时头顶受到压力产生的直接原因是( ) A ．头的形变 B ．球的形变 C ．球受到的重力 D ．人受到的重力3. 如图所示的装置中，小球的质量均相同，弹簧和细线的质量均不计，一切摩擦忽略不计， 平衡时各弹簧的弹力分别为F 1、F 2、F 3，其大小关系是（ ）A ．F 1 =F 2 =F 3B ．F 1 =F 2 ＜F 3C ．F 1 =F 3 ＞F 2D ．F 3 ＞F 1 ＞F 24.如图所示，木块与皮带接触面粗糙，关于木块所受的力下列说法正确的是（ ） A.木块只受重力和支持力甲 乙 丙 丁B.木块受重力、支持力和静摩擦力C.木块受重力、支持力和向右的滑动摩擦力D.木块受重力、支持力和向左的滑动摩擦力5.三个质量均为2 kg的相同木块a、b、c和两个劲度系数均为500 N/m的相同轻弹簧p、q 用轻绳连接如图，其中a放在光滑水平桌面上．开始时p弹簧处于原长，木块都处于静止．现用水平力缓慢地向左拉p弹簧的左端，直到c木块刚好离开水平地面为止，g取10 m/s2.该过程p弹簧的左端向左移动的距离是( )A．8 cm B．10cm C．12 cm D．16 cm6.一辆警车在平直的公路上以40 m/s的速度巡逻，突然接到报警，在前方不远处有歹徒抢劫，该警车要尽快赶到出事地点且到达出事地点时的速度也为40 m/s，有三种行进方式：a.一直匀速直线运动；b.先减速再加速；c.先加速再减速，则( )A. a种方式先到达B. b种方式先到达C. c种方式先到达D. 条件不足，无法确定7.如图所示，放在水平桌面上的木块A处于静止状态，所挂的砝码和托盘的总质量为0.6 kg，弹簧测力计读数为2 N，滑轮摩擦不计．若轻轻取走盘中的部分砝码，使总质量减少到0.3kg 时，将会出现的情况是(g＝10 m/s2)( )A．弹簧测力计的读数将变小B．A仍静止不动C．A对桌面的摩擦力不变D．A所受的合力将要变大8.如图所示，某学习小组利用直尺估测反应时间：甲同学捏住直尺上端，使直尺保持竖直，直尺零刻度线位于乙同学的两指之间。

专题32 多面体的“内切球”、“外接球”问题求解策略【高考地位】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，基本属于必考题目．而且球相关的特殊距离，即球面距离是一个备考的重点，要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，更应特别加以关注的．题目一般属于中档难度，往往单独成题，或者在解答题中以小问的形式出现．类型一球的内切问题万能模板内容使用场景有关球的内切问题解题模板第一步首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；第二步然后寻找几何体与几何体之间元素的关系第三步得出结论.例1．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．图1【变式演练1】阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的三分之二．那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为（ ）A ．12B ．13C ．23D ．34【来源】2021年秋季高三数学开学摸底考试卷03（江苏专用）【变式演练2】正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．【变式演练3】【江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科】已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为54，6AB =，记三棱柱111ABC A B C -的外接球和内切球分别为球1O ，球2O ，则球1O 上的点到球2O 上的点的距离的最大值为（ ）A ．BC D【变式演练4】【湖南省衡阳市第八中学2020-2021学年高三上学期10月月考】攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.以八中校园腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（ ）A ．3B ．4C ．2 D类型二 球的外接问题例2. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）A ．3πB ．4πC ．9πD ．12π 【来源】2021年天津高考数学试题例3、已知点M 是边长为3的等边三角形ABC 的边AC 上靠近点C 的三等分点，BC 的中点为F ．现将ABF沿AF 翻折，使得点B 到达B '的位置，且平面AB F '⊥平面ACF ，则四面体AB FM '的外接球的表面积为（ ）A B C ．372π D ．374π 【来源】2021年高考最后一卷理科数学（第八模拟）【变式演练5】【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，AB BD ==1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．12π【变式演练6】【湖南省衡阳市第八中学2020-2021学年高三上学期11月第三次月考】在三棱锥A SBC -中，10AB ，4ASC BSC π∠=∠=，AC AS =，BC BS =，若该三棱锥的体积为3，则三棱锥S ABC -外接球的表面积为（ ）A ．3πB ．12πC ．48πD ．36π【变式演练6】【福建师范大学附属中学2021届高三上学期期中考试】在四面体ABCD 中，BD AC ==2AB BC AD ===，AD BC ⊥，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A ．12B ．12C ．4D ．42．【2020年高考全国Ⅰ卷文数12理数10】已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC ∆的外接圆．若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π3．【2020年高考天津卷5】若棱长为 ） A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π4．（2019•新课标⊙，理12）已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为( )A ．B ．C ． D5．（2018•新课标⊙，理10文12）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且面积为D ABC -体积的最大值为( )A ．B ．C ．D ．6．【2020年高考全国Ⅲ卷文数16理数15】已知圆维的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．7.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．【反馈练习】1．【浙江省台州市第一中学2020-2021学年高三上学期期中】设ABC 为等腰三角形，2AB AC ==，2π3A ∠=，AD 为BC 边上的高，将ADC 沿AD 翻折成ADC '，若四面体ABC D '，则线段BC '的长度为（ ）A ．BC D2．【河南省九师联盟2021届高三第一学期11月质量检测理科】已知三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的表面上，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面111A B C △是正三角形，1AB 与底面111A B C 所成的角是45°.若正三棱柱111ABC A B C -的体积是O 的表面积是（ ）A ．28π3B ．14π3C ．56π3D ．7π 33．【陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考文科】四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 的球面上，ABCD 是边长为P ABCD -体积的最大值为54，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．64π C ．100π D ．144π4．【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研】鳖臑（biē nào ）是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．已知三棱锥A -BCD 是一个鳖臑，其中AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，且AB ＝6，BC ＝3，DC ＝2，则三棱锥A -BCD 的外接球的体积是（ ）A ．493πB ．3432πC ．49πD ．3436π 5．【湖北省鄂州高中2020-2021学年高三上学期10月质量检测】张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家.他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 1，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（ ）A ．30B ．C ．D ．366．【四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第一次联考文科】已知三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，且PA =，在ABC 中，1AC =，2BC =，且满足sin 2sin 2A B =，则三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ）A ．3B ．323πCD ．83π 7．球O 的两个相互垂直的截面圆1O 与2O 的公共弦AB 的长度为2，若1O AB △是直角三角形，2O AB △是等边三角形，则球O 的表面积为（ ）A ．9πB ．12πC ．16πD ．20π【来源】辽宁省丹东市2021届高三二模数学试题8．【河南省洛阳市汝阳县2020-2021学年高三上学期联考数学（文）】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱111ABC A B C -为一个“堑堵”，底面ABC 是以AB 为斜边的直角三角形且5AB =，3AC =，点P 在棱1BB 上，且1PC PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A ．45π2B ．2C ．30πD ．45π9．【湖南师大附中2021届高三（上）月考】四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，120APD ︒∠=，AB PA ==2PD =，则该四棱锥P ABCD -外接球的体积为（ ）A ．323πB ．3C ．D ．36π10．【内蒙古赤峰市中原金科2020-2021学年高三大联考】据《九章算术》记载，“鳖臑(biēnào)”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖臑”，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，且2PA AB BC ===，三棱锥外接球表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π11．【内蒙古赤峰市松山区2020-2021学年高三第一次统一模拟考试文科】已知三棱锥P ABC -中，1PA =，3PB =，AB =CA CB ==PAB ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．143π B ．283π C ．11π D ．12π12．如图，已知球O 是棱长为1 的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为（ ）A ．3πB ．8πC ．6πD ．4π 13．（多选）【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）】已知球O 是正三棱锥(底面为正三角形，点在底面的射影为底面中心)A BCD -的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆的面积可能是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π14．（多选）设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（ ）A ．该正方体的核长为2B ．该正方体的体对角线长为3C 1D ．空心球的外球表面积为(12π+ 【来源】重庆市2021届高三高考数学第三次联合诊断检测试题15．【江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期中】已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝1，AC ，侧棱AA 1＝2，则该三棱柱外接球的体积为_______．16．【江西省南昌市第十中学2021届高三上学期期中考试】如图，已知四棱锥S ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ，1AD DC BC ===，2AB SA ==，且SA ⊥平面ABCD ，则四棱锥S ABCD -外接球的体积为______.17．【福建省莆田第一中学2021届高三上学期期中考试】在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB CC ==1BC =，点M 为正方形11CDD C 对角线的交点，则三棱锥11M ACC -的外接球表面积为______．18．在一个棱长为3+方体和大球之间的空隙自由滑动，则小球的表面积最大值是___________.【来源】2021届高三数学临考冲刺原创卷（一）19．阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为________．【来源】福建省厦门第一中学2021届高三高考模拟考试数学试题20．在一次综合实践活动中，某手工制作小组利用硬纸板做了一个如图所示的几何模型，底面ABCD 为边长是4的正方形，半圆面APD ⊥底面ABCD ．经研究发现，当点P 在半圆弧AD 上（不含A ，D 点）运动时，三棱锥P ABD -的外接球始终保持不变，则该外接球的表面积为______．【来源】山东省烟台市2021届高三二模数学试题21．一个封闭的正方体容器内盛有一半的水，以正方体的一个顶点为支撑点，将该正方体在水平桌面上任意旋转，当容器内的水面与桌面间距离最大时，水面截正方体各面所形成的图形周长为外接球的表面积为___________.【来源】湘豫联考2021届高三5月联考文数试题22．以三棱柱上底所在平面某一点为对称中心，将上底图形旋转180°后，再将上､下底顶点连接形成空间几何体称为“扭反三棱柱”.如图所示的“扭反三棱柱”上､下底为全等的等腰三角形，且顶点A ，B ，C ，A 1，B 1，C 1均在球O 的球面上，AB =AC =A 1B 1=A 1C 1=m ，截面BCB 1C 1是矩形，BC =2，B 1C =4.则该几何体的外接球表面积为__________，当该几何体体积最大时m =__________.【来源】重庆市第八中学2021届高三下学期适应性月考卷（七）数学试题23．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家，享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家.公元前212年，古罗马军队入侵叙拉古，阿基米德被罗马士兵杀死，终年七十五岁.阿基米德的遗体葬在西西里岛，墓碑上刻着一个圆柱内切球（一个球与圆柱上下底面相切且与侧面相切）的图形，以纪念他在几何学上的卓越贡献，这个图形中的内切球的体积与圆柱体积之比为________，内切球的表面积与圆柱的表面积之比为_______.【来源】湖南省衡阳市第八中学2021届高三下学期考前预测（二）数学试题24．将三个边长为6的正方形分别沿相邻两边中点裁剪而成(1､2)部分，与正六边形组合后图形如图所示，将此图形折成封闭的空间几何体，则这个几何体的体积是___________，外接球表面积为___________.【来源】全国新高考2021届高三数学方向卷试题（B）25．天津滨海文化中心地天津滨海新区开发区，是天津乃至京津冀地区的标志性文化工程.其中滨海图书馆建筑独具特色，被称为“滨海之眼”，如图所示，中心球状建筑引起了小明的注意，为了测量球的半径，小明设计了两个方案，方案甲，构造正三棱柱侧面均与球相切如图所示，底面边长约为30米，估计此时球的完整表面积为 ________平方米；方案乙，测量球被地面截得的圆的周长约为16π米，地面到球顶部高度约为16米，估计此时球的完整体积为__________立方米，你认为哪种方案好呢？【来源】天津市河东区2021届高三下学期一模数学试题26．2020年底，中国科学家成功构建了76个光子的量子计算机“九章”，推动全球量子计算的前沿研究达到一个新高度.该量子计算机取名“九章”，是为了纪念中国古代著名的数学专著《九章算术》.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱111ABC A B C -为一“堑堵”，P 是1BB 的中点，12AA AC BC ===，则在过点P 且与1AC 平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积等于___________，该“堑堵”的外接球的表面积为___________.【来源】全国100所名校2021年高考冲刺试卷（样卷一）文科数学试题。