移动最小二乘法

移动指数窗口的最小二乘算法
移动指数窗口的最小二乘算法是一种用于时间序列预测的统计方法。

该方法使用指数加权移动平均来处理数据，以提高模型的准确性。

移动指数窗口的最小二乘算法能够动态地适应数据的变化，具有很强
的实时性和鲁棒性。

该算法的主要步骤如下：
1. 初始化模型参数，包括移动窗口大小、指数加权系数等。

2. 从时间序列数据中选择一个指定大小的移动窗口，在此窗口
内进行最小二乘回归分析，得出模型拟合参数。

3. 基于指数加权移动平均的方法修正模型预测值，使其更加接
近实际观测值，得到下一个时间点上的预测值。

4. 删除窗口最前面的数据，并添加新的观测值，重复以上步骤
进行下一轮预测。

该算法的核心思想是将过去观测值的权重随时间推移而递减，同
时加入最新的观测值，以自适应地反映出当前数据变化的趋势。

这使
得移动指数窗口的最小二乘算法能够更好地适应时间序列数据的变化，提高预测的精度和准确性。

值得注意的是，该算法的参数设置对结果影响较大，需根据实际
情况进行调整。

3D曲面重建之移动最小二乘法
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本文我们思考这样一个问题：如何在一组逐点值的给定域上估计该域的一般函数？这种估计对于给定域上PDE数值的求解，根据扫描数据进行表面重建，或者理解采集到数据的数据结构都有所帮助。

下面介绍几种常见的最小二乘法：
一、全局最小二乘估计
为了解决多项式拟合中的未知系数，我们构建如下的目标函数：
然后我们可以写个归一化方程为：
用矩阵的形式表示为：
这个矩阵方程也可以直接用于计算系数向量：
或者在大型系统中使用迭代的方法。

图1 全局最小二乘（实曲线）
二、全局加权最小二乘拟合
我们可以为每个数据值分配一个权重用于最小二乘拟合中，这样我们将目标函数最小化为：
归一化方程的解为：
三、加权局部最小二乘
在全局最小二乘拟合中，我们假设整个域中都可以用一个单一的多项式精确地描述数据所代表的函数。

但是，对于大型、复杂的数据集，这将要求我们拟合出一个不理想的高阶多项式，即便如此，这也不能捕获数据的所有特征。

所以，为了替代全局解决方案，我们尝试通过对每个数据点及其邻域拟合出一个低阶多项式来获得更好的解决方案。

因此，有个最小二乘拟合的值，每个值都是点的近似值并且每个点的系数向量都不同。

注意：不同于其它讨论的方法，这不是一种公认的方法并且也不常见。

它仅仅是为了我们更好的理解下一部分将要介绍的移动最小二乘法。

用通用的方法就可解决。

图2 加权局部最小二乘拟合四、移动最小二乘法
总结。

基于移动最小二乘法的曲线曲面拟合示例文章篇一：哎呀呀，这题目可把我这个小学生难住啦！什么是移动最小二乘法呀？曲线曲面拟合又是什么东西？我一点儿都不明白！老师在课堂上讲这些的时候，我就像在听天书一样。

我看看周围的同学，有的皱着眉头，有的一脸迷茫，估计和我差不多。

我心里忍不住想：“这东西怎么这么难呀，难道是要故意为难我们吗？”我回家问爸爸妈妈，他们看着我，也是一脸无奈。

爸爸说：“孩子，这对爸爸来说也太复杂啦！”妈妈接着说：“宝贝，妈妈也搞不懂呢。

”后来在学校，我和同桌小明一起讨论。

我问他：“小明，你懂移动最小二乘法的曲线曲面拟合吗？”小明摇摇头说：“不懂，感觉像外星语言。

” 我们俩你看看我，我看看你，都忍不住笑了。

我就一直在想，这就好像是一个超级大的迷宫，我们怎么都找不到出口。

数学的世界有时候真的好奇怪呀，一会儿是简单的加减乘除，一会儿又冒出这么难的东西。

这移动最小二乘法的曲线曲面拟合，难道是数学王国里的大怪兽，专门来拦住我们前进的路？老师为了让我们明白，在黑板上画了好多图，讲了好多遍。

可我还是似懂非懂的。

我多希望能有一把神奇的钥匙，一下子就能打开这个知识的大门，让我清楚地看到里面到底是怎么回事。

我又去问班上的数学小天才小刚，我说：“小刚，你给我讲讲呗。

”小刚很耐心地跟我说：“其实吧，就是用一种特别的方法去把一些曲线和曲面弄明白。

” 我着急地问：“那到底怎么弄明白呀？”小刚挠挠头说：“哎呀，我也说不太清楚。

”我觉得吧，学习这个就像爬山，我们一直在努力往上爬，可这座山好高好高，爬得好累呀！但我可不会轻易放弃，我一定要弄明白这个移动最小二乘法的曲线曲面拟合到底是怎么回事！我相信，只要我一直努力，总有一天能征服这座知识的大山！示例文章篇二：哎呀呀，这题目可把我难住啦！什么是移动最小二乘法的曲线曲面拟合呀？对于我这个小学生来说，简直就像是外太空的神秘语言！老师在课堂上讲这个的时候，我看好多同学都一脸懵。

我心里就在想：“这东西难道比孙悟空的七十二变还难？” 我瞪大眼睛，努力想听明白，可那些复杂的公式和概念就像调皮的小猴子，在我脑子里上蹿下跳，就是不让我抓住它们。

式中A(x)和B(x)分别为：
A( x) PTW ( x) P B( x ) P T W ( x )
进一步又可得：
a( x) A1 ( x) B( x)u
这样逼近函数uh(x)的表达式为：
u ( x) p ( x)a( x) ( x)u i ( x)ui
h T i 1
N
式中Φ(x)为形函数：
( x) [1 ( x), 2 ( x),, N ( x)] pT ( x) A1 ( x)B( x)
最小二乘法与移动最小二乘法比较 （1）拟合函数的建立不同。移动最小二乘法建立拟合函数不是采用传统的多项 式或其它函数，而是由一个系数向量a(x)和基函数p(x)构成，这里a(x)不是常数， 而是坐标x 的函数。 （2）引入紧支（Compact Support）概念，认为点x 处的值y 只受x 附近子 域内节点影响，这个子域称作点x 的影响区域（支撑域），影响区域外的 节点对x的取值没有影响。在影响区域上定义一个权函数ω(x)，如果权函数 在整个区域取为常数，就得到传统的最小二乘法。
0 0 ( x x1 ) 0 ( x x2 ) 0 W ( x) 0 0 ( x xn )
为了得到a(x) 对J取极值即得：
J A( x) a ( x) B ( x)u 0 a
即：
A( x)a( x) B( x)u
h
( x, x ) 在这些节点 x xi 处的误
J ( x xi )[u h ( x, xi ) u( xi )]2 ( x xi )[ pi ( xi )ai ( x) u( xi )]
i 1 i 1 i 1
N

移动最小二乘法在电机试验数据处理中的应用龚春忠;张政;张李侠【摘要】为了获得高精度的电机效率MAP,以应用于整车动力性经济性仿真开发与整车动力系统标定等领域,采用移动最小二乘法对电机效率MAP点云数据进行处理,获取高精度的网格化MAP数据.为保证拟合精度,需要对原始数据进行适当缩放处理,并选择合适的紧支域半径与权函数.实例分析中的曲面平均误差仅为0.335％,证明该方法有效可靠,精度满足电机试验与电动汽车动力性经济性开发的需求.【期刊名称】《汽车工程师》【年(卷),期】2019(000)003【总页数】3页(P55-57)【关键词】电动汽车动力性经济性;移动最小二乘法;电机试验;电机效率MAP【作者】龚春忠;张政;张李侠【作者单位】浙江合众新能源汽车有限公司试制试验中心;浙江合众新能源汽车有限公司试制试验中心;浙江合众新能源汽车有限公司试制试验中心【正文语种】中文作为电动汽车核心的三电技术成为众多新能源汽车制造商的竞逐技术。

电机效率MAP 通常用于整车动力性经济性仿真开发与整车动力性经济性标定领域。

当前阶段，电机MAP 的数据处理方法相对粗糙，通常使用2 种方法：一是临近网格点法，边界使用等曲率延拓；二是使用高次曲面最小二乘拟合法[1]。

2 种方法都有各自的缺点：第1 种方法在实测点非网格均匀化分布时，误差会很大；第2 种方法在边界延拓上，失真率过高，整体曲面精度低。

文章采用移动最小二乘法（MLS）[2]对电机效率MAP 数据进行处理，获取高精度的网格化MAP 数据。

相对于网格插值而言，MLS 插值计算量较大，不适合直接应用于整车控制器程序烧录或仿真模型中。

因此，文章仅使用其做电机试验数据的网格化处理。

1 电机效率MAP试验依据《GB/T 1029—2005 三相同步电机试验方法》[3]，电机效率测试需要在台架中进行。

电机试验台架结构原理，如图1所示。

试验时，驱动电机与控制器冷却装置的冷却效果与汽车中的实际使用条件尽可能相同。

基于移动最小二乘近似权函数的选取及其应用的开题报告一、研究背景和意义移动最小二乘近似（Mobile Least Squares Approximation，简称MLSA）是目前信号处理领域中常见的一种方法，其基本思想是在移动窗口内构建多项式模型，通过最小二乘拟合方法得到最优模型参数，并利用该模型进行信号处理。

在语音、图像、地震等领域中，都有广泛的应用。

但是，MLSA方法中使用的权函数选择不当，会导致拟合效果不佳，不能很好的处理信号中的噪声和异常值，因此权函数的选取非常关键。

本研究旨在通过比较不同参数和方法的权函数，选取合适的权函数，并在语音处理、图像处理等领域中进行应用，提高信号处理的准确性和可靠性。

二、主要研究内容1. 综述移动最小二乘近似的基本原理和应用；2. 比较不同参数和方法的权函数，包括平方窗函数、海明窗函数、汉明窗函数和波兰斯基窗函数等；3. 通过实验验证不同权函数的拟合效果，包括均方误差、峰值信噪比、估计标准差等指标；4. 在语音处理、图像处理等领域中，应用选定的权函数，对信号进行处理，验证其效果。

三、研究方法和技术路线本研究将采用实验室中常用的信号处理工具，如MATLAB、Python 等，利用这些工具进行数据处理和实验分析。

主要研究技术路线如下：1. 综述MLSA方法的基本原理和应用；2. 收集不同参数和方法的权函数，并分析其特点和适用场景；3. 根据不同权函数对模拟信号进行拟合，并对比不同权函数的拟合效果；4. 对真实信号进行处理，比较不同权函数在语音处理、图像处理等领域中的应用效果。

四、预期成果1. 确定适合不同领域的权函数选择方法，并进行总结；2. 系统分析和比较不同权函数的拟合效果，以及在实际应用中的效果；3. 在语音处理、图像处理等领域中应用选定的权函数，提高信号处理的准确性和可靠性。

五、可行性分析本研究以数据处理为主要手段，可以充分利用实验室现有的硬件和软件设施，实现预期研究目标。

滑动最小二乘法求解地震波波动方程
滑动最小二乘法是一种常用的非线性最小二乘问题求解方法。

这种方法在地震动学中用来求解地震波波动方程，可以得到波动的时空特性、强度分布等结果，为地震动学研究和防震减灾提供有力工具。

地震波波动方程描述的是一个具有多参数微分方程，包括地面位移、速度和加速度三个量，求解这种复杂的方程往往要求高精度的数值计算。

因此，使用滑动最小二乘法进行参数优化求解是一种理想的解决方案。

滑动最小二乘法求解地震波波动方程，主要利用时间变换和函数建模技术，通过一系列经验公式和数值积分的方法来实现。

然后，根据求解的结果，能够得到波动的时空特性、强度分布等。

滑动最小二乘法求解地震波波动方程同时也能够改进地震波模拟软件，增强计算精度和计算效率。

由此可见，使用滑动最小二乘法求解地震波波动方程，对地震动学的研究和防震减灾的实践具有重要意义，是地震学和地震动学研究的基本工具之一。

收稿 日 ：０ ９１—６ 作者简介：任红萍 （９６ 月ｔ） 期 ２ ０—１２ ． １６ 年９ ｔ ，女 ，博士，副教授． 研究方 向：计算数学 基 金项 目：国家 自然科学基金 （０ ７ １４ ；上海市教育委员会科研创新项 目 （９ Ｚ ９． １８ １２ ） ０Ｚ ９）
１２ ０２
工
程
二 次基 ：
∑ Ｍ （） ∑ 叫 ２ 叫
Ｘ
Ｘ
— Ｘ
Ｕ
ｈ
— Ｘ ，
Ｘ
ｍ ∑
ｐ
Ｐ ＝ （， ｚ ） 对于一维区域 ． １ｚ ， ，
Ｘ
（） ４ Ｘ
Ｐ ＝（，１ ２ ，ｌ２ ；， 对于二维区域 １ ， ， ＸＸ， ）
改进 的移 动最小二乘插值法研 究木
任红萍 程玉民０ 张 ， ， 武０
ｆ。 原 科 技 大 学应 用 科 学 学 院 ，太 原 ０ ０ ２ ； １太 ３ ０ ４ ２ 一上海 大 学 上 海 市 应 用 数 学和 力学 研 究 所 ，上 海 ２ ０ ７ ； ００ ２
３ 一上海大学计算机工程与科学学院，上海 ２ ０ ７ ） ０ ０ ２
一
［。由于 移动最小 二乘逼近法 的形 函数不 具有 Ｋｒｎ ｃｅ ｅ ａ ］ ｏ ｅｋｒＤ ｌ 函数 的性质 ，因而基 于该方 ｔ
法建立 的无网格方法需 要借助 罚函数 法或 Ｌ ｇａ ｇ 乘子法施加 本质边界条件 ，导致建立 的弱 ａ ｒｎ ｅ 形式方程较为复杂，降低了无网格 方法 的计算效率 。所 以，研究具有插值性质的移动最小二乘
分类号：ＡＭ Ｓ ２ ０ ） ５ ９ （０ ０ ６ Ｎ９
中图分类号： ２ ０４
文献标识码： Ａ
１ 引 言
无 网格方 法是继 有 限元法之后 的又一类 重要 的科学和 工程 分析 的数值方 法 。移 动最 小二 乘逼近法 ｆ ｖｎ ａｔ ｑ ａｅ ｐ ｒｘｍａｉｎ 是无 网格方法 构造 形函数的最为重要的方法之 Ｍｏ ｉｇｌ ｓ ｓ ｕ ｒｓａ ｐｏ ｉ ｔ ） ｅ ｏ

曲线拟合方法概述工业设计 张静 1014201056引言：在现代图形造型技术中，曲线拟合是一个重要的部分，是曲面拟合的基础。

现着重对最小二乘法、移动最小二乘法、NURBS 三次曲线拟合法和基于RBF 曲线拟合法进行比较，论述这几种方法的原理及其算法，基于实例分析了上述几种拟合方法的特性，以分析拟合方法的适用场合，从而为图形造型中曲线拟合的方法选用作出更好的选择。

1 曲线拟合的概念在许多对实验数据处理的问题中，经常需要寻找自变量和对应因变量之间的函数关系，有的变量关系可以根据问题的物理背景，通过理论推导的方法加以求解，得到相应关系式。

但绝大多数的函数关系却很复杂，不容易通过理论推导得到相关的表达式，在这种情况下，就需要采用曲线拟合的方法来求解变量之间的函数关系式。

曲线拟合(Curve Fitting)，是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之问的函数关系的一种数据处理方法。

在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x 与y 的一组数据对(x i ,y i )，i =1，2，3…，m ，其中各x i 是彼此不同的。

人们希望用一类与数据的规律相吻合的解析表达式y =f(x)来反映量x 与y 之间的依赖关系。

即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。

f(x)称作拟合函数，似的图像称作拟合曲线。

2 曲线拟合的方法2.1最小二乘法最小二乘法通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，是进行曲线拟合的一种早期使用的方法 一般最小二乘法的拟合函数是一元二次，可一元多次，也可多元多次。

该方法是通过求出数据点到拟合函数的距离和最小的拟合函数进行拟合的方法令f(x)=ax 2+bx+c ，计算数据点到该函数所表示的曲线的距离和最小 即：δ=∑-=n i y x f i i 02))((对上式求导，使其等于0，则可以求出f(x)的系数a,b,c ，从而求解出拟合函数。

2.2 移动最小二乘法移动最小二乘法在最小二乘法的基础上进行了较大的改进，通过引入紧支概念（即影响区域，数据点一定范围内的节点对该点的拟合函数值有影响），选取适合的权函数，算出拟合函数来替代最小二乘法中的拟合函数 从而有更高的拟合精度及更好的拟合光滑度。

moving least-squares surfaces
moving least squares (mls) approximation
implicit surface definition using a projection operator idea: locally approximate surface with polynomial
compute reference plane compute weighted leastsquares fit polynomial
Gaussian used for locality
moving least-squares surfaces
moving least squares (mls) approximation
Advantage
Exact surface normal Simple, efficient projection operators
ADAMSON A., ALEXA M.: Approximating and intersecting surfaces from points. In Proceedings of the Eurographics Symposium on Geometry Processing (June 2003)
Define the normal
This constrained minimization problem is solved by one of the eigenvectors of the covariance matrix W(x)
The basic projection procedure
Propagation of Orientation

法。算法通过创建一个起始的三角形启动 ， 并不断添加新 的三角形直到所有点云中的点被包含或没有更有效的三 角形 。算法如下
［6 ］
：
（ 1 ） 最近邻域搜索 ： 对于点云中的每一个点 p， 选择一 个 k 邻域 。这个邻域是由搜索参考点 k近邻的范围内创 建的 ， 半径为 r。 半径定义为 μ ˑ d ， 其中 d 是 p 点以及最 μ 是用户指定的常数 ， 以计算点云密度 。 接近邻域的距离 ， Kdtree 邻域算法经常被用来计算给定点云的临近点 。 点云中的点被分配各种状态 ： 没有限制的、 边缘、 边界 这取决于算法 。 和完成 ， ①最初 ， 点云中的所有点都是没有限制的 ， 即这些点 没有入射的三角形 。
［2 ］ ［1 ］
、 MC
。
等算法 。 但是
， 遵循贪婪类型方
由于测量技术的原因 ， 造成一些误差 ， 通过基本的重建算 法无法达到目标效果 。 本文通过对输入点云进行移动最 MLS ） 的先平滑后采样的 小二乘法（ Moving Least Squares， 并 将 点 云 作 为 贪 婪 投 影 三 角 化 重 建 算 法 （ Greedy 处理， Projection Algorithm） 的输入 ， 最终实现较好的重建结果 。
［5 ］ ［4 ］
曲面重建技术在逆向工程 、 数字可视化 、 机器视觉 、 虚 拟现实 、 医疗技术等领域中得到了广泛的应用 。除了上述 传统行业， 随着新兴的廉价 ＲGBD 获取设备在数字娱乐行 业的病毒式扩展 ， 使得更多人开始使用点云来处理对象并 进行工程应用 。 PCL 中目前实现了基于点云的曲面重建 模块框架 ， 在此基础上实现了比较基础的泊松重建 EarClipping、 重建、 贪婪投影三角化重建

移动最小二乘法2.1 移动最小二乘曲线拟合将拟合函数表述为如下形式：1()()()()()mT i i i f x p x a x p x a x ===∑, (3)其中a (x )=(a 1(x ), a 2(x ),…, a m (x ))T 为待定系数，p (x )=(p 1(x ), p 2(x ),…, p m (x ))T 为基函数向量，通常需要选择完备多项式基，例如二维情况线性基 p (x ) = (1, x , y )T (m =3) 二次基 p (x ) = (1, x , y , x 2, xy , y 2)T (m=6)为了得到较为精确的局部近似值，需使局部近似值f (x i )和节点值y i 之差平方带权最小，因此残差的离散加权L 2范式为：2211()[()]()[()()]n nT i i i i i i i J w x x f x y w x x p x a x y ===--=--∑∑, (4)其中n 是求解区域内的节点数，f (x )是拟合函数，w (x －x i )是节点x i 的权函数。

权函数应该是非负的，且随着2ix x -的增加单调递减，权函数还应该具有紧支性，即在支持域（x 的影响区域）内不等于0，在支持域之外全为0，一般选用圆形作为权函数的 支持域，半径记为r 。

常用的权函数是样条函数，记i s x x '=-，s s r'=，则三次样条函数形式如下：2323214432441()4413320 1.s s s s s s s s s ω⎧-+≤⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪>⎪⎪⎩(5)要求出待定系数a (x ),先要使J 取得最小值，先将（4）式写成矩阵形式：J = (Pa (x )－Y )T W (x ) (Pa (x )－Y ) 其中Y = (y 1, y 2,…, y n )T ,W (x ) = diag (w 1(x ), w 2(x ),…, w n (x ))，w i (x ) =()i w x x -.112111222212()()()()()()()()()m m n n m n p x p x p x p x p x p x P p x p x p x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 根据最小二乘原理求得待定系数为：a (x ) = A -1(x )B (x )Y其中A (x ) = P T W (x ) P , B (x ) = P T W (x )。

matlab移动最小二乘法移动最小二乘法是一种基于时间序列数据的模型预测和分析方法。

MATLAB作为一个非常强大的科学计算软件，其包含了丰富的函数库，可以很方便地实现移动最小二乘法。

下面我们就来详细介绍一下如何使用MATLAB实现移动最小二乘法。

1.数据准备首先，我们需要准备好要用于移动最小二乘法的数据。

可以将它们存储在MATLAB工作区中，也可以导入外部数据文件。

在数据准备阶段，我们需要确定数据的采样周期和移动平均窗口的大小。

采样周期越短，预测的频率就越高，但是预测的误差也可能会增加。

移动平均窗口的大小应该根据数据的变化规律进行调整，以获得较为准确的预测结果。

2.创建时间序列对象在MATLAB中，时间序列对象是用于存储和处理时间序列数据的一种特殊数据类型。

我们可以通过调用“timeseries”函数来创建时间序列对象。

例如：t = 0:0.1:10;y = 2*sin(2*pi*t);ts = timeseries(y,t);这个示例代码中，我们创建了一个时间序列对象“ts”，其中y是函数sin函数的计算值，而t是时间序列对象的时间轴。

因此，我们使用了MATLAB中的算术运算和数学函数。

对于实际的应用，我们需要根据自己的数据类型调整代码。

3.移动平均窗口处理接下来，我们需要通过应用移动平均窗口来实现移动最小二乘法。

在MATLAB中，我们可以使用“movmean”函数来计算移动平均值，它可以在一定时间范围内对数据进行平滑处理。

例如：ts_smoothed = movmean(ts,20);这个示例代码中，我们使用了“ts”来表示时间序列对象，并通过在“movmean”函数中传入窗口大小参数“20”来计算平均值。

在实际应用中，需要根据数据的特性进行调整。

4.线性回归计算接下来，我们需要对平滑后的时间序列数据进行线性回归计算。

在MATLAB中，我们可以使用“polyfit”函数来进行线性拟合。

可以将每个移动窗口看作一个独立的时间序列数据集，并对其进行线性回归。

移动最小二乘法
1.Overview
移动最小二乘法（MLS,MovingLeastSquares）是建立大量离散数据拟合曲线的理想方法。

当大量离散数据的分布较为杂乱时，使用传统的最小二乘法，往往需要对数据进行分段拟合，此外还要避免相邻分段上的拟合曲线不连续不平滑的问题。

而MLS法在处理相同问题时则不需要上述这些繁琐的步骤，简单易于实现。

在MLS法中，需要在一组不同位置的节点（node）附近建立拟合曲线，每个节点都有自己的一组系数
(aj(xnode)a_j(x_{node})aj(xnode))用于定义该位置附近拟合曲线的形态。

因此，在计算某个节点附近的拟合曲线时，只需要计算该点的该组系数值(aja_jaj)即可。

此外，每个节点的系数（aja_jaj）取值只考虑其临近采样点，且距离节点越近的采样点贡献越大，对于未置较远的点则不予考虑。

2.拟合函数
相比于传统的最下二乘法，MLS法中的拟合函数不是一个多项式，而是一组系数向量函数aj(x)a_j(x)aj
(x)和基函数pj(x)p_j(x)pj
(x)，其中xxx为空间坐标。

某个节点node附近的拟合函数即为unode(x)u_{node}(x)u
node
(x)，具体定义为如下公式。

unode(x)=j=1maj(xnode)pj(x)u_{node}(x)=\sum_{j=1}^ma_j( x_{node})*p_j(x)unode(x)=∑j=1maj(xnode)∗pj(x)。

移动最小二乘法详解
移动最小二乘法是一种常用的数据平滑方法，常用于时间序列数据的处理。

它基于最小二乘法，通过逐步调整拟合窗口的大小，来平滑数据。

其具体步骤如下：
1.选择一个拟合窗口的大小，通常为奇数。

2.在数据序列上滑动窗口，计算窗口内的数据的平均值和标准偏差。

3.将窗口的中心点作为拟合点，根据窗口内的数据和平均值、标准偏差计算加权平均值，作为拟合值。

4.将拟合值作为原始数据的新值，继续滑动窗口，重复以上步骤，直到对整个序列进行平滑处理。

移动最小二乘法平滑后的数据能够有效地去除噪声，并保留趋势信息。

但在选择拟合窗口大小时，需要根据具体问题进行权衡，较小的窗口能够更好地捕捉数据变化的快速性，但会丧失较长期的趋势信息；较大的窗口则能够更好地保留趋势信息，但会忽略数据变化的快速性。

因此，在运用移动最小二乘法进行数据平滑时，需要根据具体情况选择最合适的窗口大小，以获得最好的平滑效果。

- 1 -。

移动最小二乘法（MLS）是一种用于三维数据拟合的数学方法，它可以在不断变化的三维环境中准确地拟合数据。

在本文中，我们将探讨基于MLS的三维数据拟合，包括其原理、应用和优势。

一、基本原理MLS是一种通过在局部区域内使用最小二乘法来拟合数据的方法。

它可以通过一个局部窗口来对数据进行拟合，而不会受到整体数据结构的影响。

在三维数据拟合中，MLS可以通过在三维空间中以点云为基础来拟合曲面或曲线。

二、应用场景MLS在三维数据拟合中有着广泛的应用，特别是在地理信息系统、计算机图形学和机器人领域。

在地理信息系统中，MLS可以用于地形建模和地表分析；在计算机图形学中，它可以用于三维建模和几何处理；在机器人领域，它可以用于环境感知和路径规划。

三、优势相比于其他方法，基于MLS的三维数据拟合具有以下优势：1. 精确性：MLS可以在局部区域内对数据进行精确的拟合，而不会受到整体数据结构的影响。

2. 可变性：MLS可以适应不断变化的三维环境，且对数据变化具有良好的鲁棒性。

3. 实时性：MLS可以在实时环境中快速准确地对数据进行拟合，适用于需要即时反馈的应用场景。

四、实现方法在实际应用中，基于MLS的三维数据拟合可以通过以下步骤实现：1. 数据采集：首先需要采集三维数据，可以通过激光雷达或立体相机等传感器获取点云数据。

2. 局部拟合：对于每个点，构建一个局部区域，并使用MLS对该区域内的数据进行拟合，得到曲面或曲线模型。

3. 参数调整：根据实际需求，可以调整局部区域的大小和拟合的精度，以求得最佳拟合效果。

4. 应用展示：将拟合得到的曲面或曲线模型应用于具体场景，如地形展示、目标识别等。

五、并行计算基于MLS的三维数据拟合可以通过并行计算来加速处理过程。

通过将数据进行分割，可以同时对多个局部区域进行拟合，从而提高整体处理速度。

在大规模数据拟合和实时处理中，并行计算可以发挥重要作用。

六、结语基于MLS的三维数据拟合在当前科技发展阶段具有重要意义，它可以应用于各种需要对不断变化的三维数据进行精确拟合的领域。

龙源期刊网
移动最小二乘法在水泵性能曲线拟合中的应用
作者：李慈祥张仁田
来源：《南水北调与水利科技》2011年第02期
摘要：介绍了移动最小二乘法原理，并运用于拟合水泵装置性能曲线，通过实例与普通最小二乘法进行对比，误差约为普通最小二乘法的1／10，表明移动最小二乘法用于水泵性能曲线拟合精度较高，尤其在轴流泵不稳定的马鞍区，对水泵全特性曲线拟合和过渡过程研究具有重要意义。

关键词：移动最小二乘法；水泵性能；曲线拟合；应用。