高数第七章齐次方程

举例
对于方程 $frac{dy}{dx} = frac{y}{x}$，通过引入参数 $lambda = frac{y}{x}$，我们 可以得到参数方程 $xlambda' = y'$，进一步求解得到 $x^2 = lambda y$。
幂级数法
总结词
通过将齐次方程转化为幂级数形式，求解齐次方程。
详细描述
幂级数法是将齐次方程转化为幂级数形式，然后通过求解幂级 数得到原方程的解。这种方法适用于某些难以直接求解的齐次
方程。
举例
对于方程 $frac{dy}{dx} = frac{y}{x}$，通过幂级数法，我 们可以得到 $y = x^n$，其中 $n$ 是待求的幂级数系数。
03
齐次方程的应用
在物理中的应用
投资组合优化
在投资组合优化问题中，投资者需要选择一组资产进行投资 ，以实现收益的最大化和风险的最小化。在这个问题中，可 以通过建立齐次方程来描述资产之间的相关性，从而帮助投 资者进行投资决策。
在工程中的应用
机械振动
在研究机械振动问题时，常常需要用到 齐次方程来描述振动的规律。例如，在 研究桥梁、建筑物的振动问题时，可以 通过建立齐次方程来描述振动的频率和 振幅。
齐次方程的特点
齐次方程的每一项都是$y$的整数次幂之和，且每一项的次数都相 同。
齐次方程的性质
齐次方程的解的性质
如果$(y_{1}, y_{2}, ldots, y_{m})$是齐次方程的一个解，那么$k(y_{1}, y_{2}, ldots, y_{m})$也是该方程的解，其 中$k$为任意非零常数。
齐次方程的分类
按照指数分类
根据指数的不同，可以将齐次方程分 为线性齐次方程、二次齐次方程、三 次齐次方程等。

其中，A 为系数矩阵()=m n ijm na A ⨯⨯；1(,,)n x x x = 。

若将A 的第j 列元素看作是向量()1,2,,j j n α= ，则上述齐次线性方程组可用向量形式表示为11220n n x x x ααα+++= 若12,,,l βββ 是齐次方程组的l 个解向量，并且：（1）12,,,l βββ 线性无关；（2）方程组（1-8-4）的任意解向量都是12,,,l βββ 的线性组合，则称12,,,l βββ 是方程组的基础解系。

方程组的基础解系不唯一，但每个基础解系所含向量个数相同。

结论：若A 的秩()R A r =，则：①当r n =时，方程组只有零解。

②当r n <时，方程组有无穷多解，这时基础解系含有n r -个解向量。

并可按下列方法求基础解系：设A 中的r 阶子式11110rr rra a a a ≠ ，方程组与下列方程组同解可以分别取111111111111r r r r n nr rr r rr r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x++++++=---++=---⎧⎪⎨⎪⎩ 12100010,,,001r r n x x x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ n r -组数，由此可求得方程组的n r -个解向量，即为方程组的基础解系。

若12,,,t ξξξ 是齐次方程组0Ax =的一个基础解系，则齐次线性方程组0Ax =的通解是1122t t x k k k ξξξ=+++ ，其中12,,,t k k k 是任意常数。

高 数线性方程组知识点速记111122121122221122000n n n nm m mn n a x +a x a x a x a x a x a x a x a x ++=⎧⎪++ +=⎪⎨⎪++ +=⎪⎩ 可用矩阵形式表示为Ax =01111221211222200n n n n a x +a x a x a x a x a x ++=⎧⎪++ +=⎪⎨⎪ 可用矩阵形式表示为Ax =0线性方程组1、齐次线性方程组设常数项()12,,,m b b b b T= ，当12,,,m b b b 不全为零时，称Ax b =为非齐次线性方程组。

y C2 ex ,再利用 y (0) = 1 得 C2 1, 故所求曲线方程为
第四节 可降阶的二阶微分方程
小结 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
逐次积分
令 y p(x) ,
令 y p(y) ,
第五节 二阶线性微分方程解的结构
•n 阶线性微分方程的一般形式为
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f (x) f (x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f (x) 0 时, 称为齐次方程.
第四节 可降阶的二阶微分方程
例 求解 解
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
第四节 可降阶的二阶微分方程
例
解初值问题
y e2y 0 y x 0 0 ,
y p(x) y q(x) y f (x), 为二阶线性微分方程.
复习: 一阶线性方程 y P(x) y Q(x)
通解:
y
C
e
P(x)d
x
eP(x)d x
Q(x) eP(x)d x dx
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
第五节 二阶线性微分方程解的结构
•线性齐次方程解的结构
定理 若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 y P(x) y Q(x) y 0
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
也是该方程的解. (叠加原理)
证 将 y C1y1(x) C2 y2 (x) 代入方程左边, 得 [C1y1 C2 y2 ] P(x)[C1y1 C2 y2 ]

dv y = 1+ v 2 dy
x 令v= , y
dx dv =v+ y dy dy
积分得 ln ( v + 1 + v 2 ) = ln y - ln C
y 2 2y v y 2 2 = 1 故有 ( v ) = 1 + v C C C2 C 2 得 y = 2 C ( x + ) (抛物线) 2 故反射镜面为旋转抛物面.
化为标准形式 dy x 1 = ======== ⑶常见形式： 2 y y dx xy + y + ( )2 x x ⑷解法： y ①化标准形式；②变量替换 u = ；
2
③分离变量；④求通解；⑤回代。如：
x
dy y = f( ) 如： dx x
⑴—关于y的微分方程
dy du y = u +x 代入原方程, 得： 令 u = ,则y=ux, dx dx x du u + x = f (u) ⑵—关于u的微分方程 dx du 整理：x = f (u) - u 可分离变量的方程 dx du dx = 分离变量,得： f (u) - u x
tx - ty x - y = = f ( x, y ) ⑵ f (tx, ty ) = tx + ty x + y
故⑵是齐次函数,且是0次齐次函数.
⑵引言：上节课学习了可分离变量的微分方程，并
求它的通解及在定解条件下求特解。但实际上可分
离变量的微分方程只占少数，还有不可直接分离变
量的方程，如：求通解
1 1 1 2 1 dx [ ( - )+ ]du = , 2 u- 2 u u- 2 u-1 x
3 1 ln(u - 1) - ln(u - 2) - ln u = ln x + ln C , 2 2