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在几何上，数乘运算可以理解为 将向量$mathbf{a}$按比例放大 或缩小，缩放因子为$|k|$。
几何意义
当$k > 0$时，数乘后的向量 $mathbf{a} times k$与原向量 $mathbf{a}$方向相同，且长度为$|k| times |mathbf{a}|$。
数乘运算可以改变向量的长度和方向 ，但不会改变向量的起点和终点。
进阶练习
应用题解析
设计涉及实际问题的向量数乘运算题目，如速度、加速度等物理量的计算。
复杂计算挑战
提供涉及多个步骤的向量数乘运算题目，要求学生准确、快速地完成。
综合练习
知识融合
将向量数乘与其他向量知识融合，如向量加法、减法、数乘等，考查学生的综合 运用能力。
几何意义应用
设计涉及向量在几何图形中的数乘运算题目，要求学生理解并解释其几何意义。
数乘的结合律
对于任意实数λ、μ和向量 a，有λ * (μ * a) = μ * (λ * a)。
实例解析
实例1
设向量a = [1, 2]，实数λ = -3，则λ * a = [-3, -6] 。
实例2
设向量a = [2, -1]，实数λ = 2，μ = -1，则(λ + μ) * a = [1, -4] + [-2, 2] = [1, -2]。
实数与向量的数乘
对于任意实数λ和向量a，数乘运 算的结果是λ * a，其中λ * a的长 度为|λ| * |a|，方向由实数λ的正 负决定。
性质
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标量积性质
对于任意实数λ和向量a， 有(λ + μ) * a = λ * a + μ * a。
分配律
