优质课一等奖因式分解提公因式法33页PPT

( x-y)(y+x) -( x-y)2
（3）a(x-y)2-b(y-x) 2； ( x-y)2(a-b) （4）4a2b(a-b)-6ab2(a-b) . 2ab(2a-3b)( a-b)
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
分析 先=确2x定(公2x因-3式) 的系数，再确
定字母. 这两项的系数为4，6，它们 的最大公约数是2；两项的字母部分 x2与x都含有字母x，且x的最低次数 是1，因此公因式为2x.
2. 在下列括号内填写适当的多项式： （1）3x3-2x2+x= x( 3x2-2x+1 )
（2）-30x3y2+48x2yz = -6x2y ( 5xy-8z )
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
3. 把下列多项式因式分解： （1）3xy-5y2+y；
答案：y(3x-5y+1) （2）-6m3n2-4m2n3+10m2n2.
答案：-2m2n2(3m+2n-5) （3）4x3yz2-8x2yz4+12x4y2z 3.
答案：4x2yz2(x-2z2+3x2yz)
第第二二课课时时
说一说
下列多项式中各项的公因式是什么？
例4 把下列多项式因式分解. （1） x( x -2) – 3(x-2) ； （2）x(x -2)-3( 2-x) ．
（1） x( x -2) – 3(x-2) ； 解 x(x-2)-3(x-2)
= (x-2)(x-3)
（2）x(x -2)-3( 2-x) ． 解 x(x -2)-3( 2-x)

工程设计
在工程设计中，因式分解可以帮助人们更好地理解问题的本质，例如在力学中，可以将一个复杂的结构表示为几个简单因式的乘积，从而更便于分析和设计。
02
提公因式法的原理及步骤
提公因式法的基本概念
公因式定义
提公因式法的理论基础
提公因式法的原理
确定多项式中的公因式。
提公因式法的步骤
步骤一
将多项式中的每个项都除以公因式，得到商和余数。
01
02
03
提公因式法在面积计算中的应用
在计算几何形状的面积时，可以使用提公因式法将面积表达式化简。
提公因式法在体积计算中的应用
在计算几何体的体积时，可以使用提公因式法将体积表达式化简。
提公因式法在几何中的应用
代数例题
例如，有一个多项式ax³+bx²+cx+d，其中a=3，b=2，c=1，x=5，求这个多项式的值。通过提公因式法，可以将这个多项式化简为3x²(x+1)+2(x+1)-3，再代入x=5得到答案。
数学术语
因式分解可以理解为求解一个方程的逆问题，即给定一个方程的解，反求方程中的未知数。
物理含义
因式分解的定义
1
因式分解的意义
2
3
通过因式分解，可以将一个复杂的多项式表示为几个简单因式的乘积，从而更便于理解和计算。
简化表达式
数学中的许多公式和定理都可以表示为因式分解的形式，这样便于记忆和应用。
便于记忆
几何例题
例如，有一个矩形ABCD，其中AB=3cm，BC=4cm，求这个矩形的面积。通过提公因式法，可以将这个矩形的面积表达式化简为3×4=12(cm²)。
提公因式法例题解析

运用前面所学的知识填空： 解：原式=13.
化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的 观察“回忆”与“探究”，你能发现它们之间的联系与区别吗？
(6)-6 x 2 y-8 xy 2 2、定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
方法叫做提公因式法。 把3x2 - 6xy+x分解因式
这个多项式有什么特点？ (3) (a+b)2 = 那么另外的因式是__________． _______ ． (2)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.
字母：相同 次幂
的字母
所以，公因式是3x。
你知道吗？
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1、定系数：公因式的系数是多项式各项系
数的最大公约数。
2、定字母： 字母取多项式各项中都含有的
相同的字母。
3、定指数： 相同字母的指数取各项中最小
的一个，即字母最低次幂
找一找: 下列各多项式的公因式是什么？
(1) 3x+6y
X2-1
因式分解 整式乘法
(x+1)(x-1)
X2-1
=
(x+1)(x-1)
等式的特征：左边是多项式， 右边是几个整式的乘积
初步应用 巩固新知
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解 的有（ ③ ⑥ ）
① a m b m c m (a b ) c ② 24x2y3x•8xy
③ x21(x1)x(1)
欢迎大家参与
—— 提公因式法 学习
学习目标：
2.会确定多项式中各项的公 因式，会提取公因式进行 因式分解。
讨论
问题1：630能被哪些数整除？说说你是 怎样想的？
问题2：a=101,b=99时，求a2 – b2 的值。

知1－练
例 1 下列变形中从左到右属于因式分解的有(
①
8xy3＝2xy·4y2；
②
x2＋1＝x

＋

)
；
③(x＋5)(x－5)＝x2－25；④ x2＋2x－3＝x(x＋2)－3；
⑤ x2y＋xy2＝xy(x＋y).
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
感悟新知
解题秘方：紧扣因式分解的定义进行识别.
＝－5a(3＋2b－bc)；
感悟新知
知3－练
(3)x(x－y)－y(y－x)；
解：原式＝x(x－y)＋y(x－y)＝(x－y)(x＋y)；
(4)a2(a＋2b)－ab(－4b－2a).
原式＝a2(a＋2b)＋2ab(a＋2b)＝a(a＋2b)(a＋2b)＝a(a＋
2b)2.
课堂小结
提公因式法
概念
感悟新知
知3－练
解法提醒：当各项含有相同(或互为相反数)的因式时，
应把它作为一个整体看成公因式中的因式，相同的直接提，
互为相反数的变成相同的再提.
感悟新知
知3－练
5－1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( B )
A. x2－y
B. x2－2x
C. x2＋y2
D. x2－xy＋y2
感悟新知
即2x2＋5x－k＝2x2＋(2q－3)x－3q，
－＝，
＝，
所以
解得
－＝－，
＝. 展开后对应项的系数相等
故另一个因式为x＋4，k的值为12.
感悟新知
知1－练
3－1. [中考·滨州] 把多项式x2＋ax＋b分解因式， 得(x＋
1)(x－3)，则a，b的值分别是( B )

m(a+b+c)=ma+mb+mc
整式乘法
合作探究
观察下列各式的结构有什么特点：
（1） 2πR＋2πr
（2） ma＋mb
（3） cx－cy＋cz
公共特点：各式中的各项都含有一个相同的因数或因式
多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
如何确定多项式的公因式？
12 12 + 8 10
解： 8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc)
例3、把下列各式因式分解：
(1)83 2 − 12 3 + ；
(2)−24 3 + 12 2 − 28.
解：83 2 − 12 3 +
解：−24 3 + 12 2 − 28
解：原式=ab(a+2ab+b)
=ab(a+b+2ab)
=2.5×(3+2×2.5)
=2.5×8
=20
课堂小结
提公因式法
（单项式）
确定公因式的方法
定系数，定字母，定指数
提公因式法的步骤
一找； 二提； 三分解.
1、因式分解要彻底；
注意
2、不要漏项；
3、提取“-”号要变号.
= ∙ 82 − ∙ 12 2 + ∙ 1
= −(24 3 − 12 2 + 28)
= 82 − 12 2 + 1 ；
= −(4 ∙ 6 2 − 4 ∙ 3 + 4 ∙ 7)
= −4(6 2 − 3 + 7).

9.5 多项式的因式分解(1 - -提公因式法
单项式乘多项式法那么：
m(a +b +c) m=a +mb +mc
创设情境
解答以下问题：
(1)m =2 , a ,b ,c ,求代数式m(a +b +c)的 值.
(2)m =12 , a ,b =5 ,c ,求代数式ma +mb +mc的值.
ma +mb +mc =m(a +b +c)
有几项.
(4) 把 -8a2b2 +4a2b -2ab分解因式.
注意： (1)当多项式的第|一项系数为负数时 ,
通常把 "－〞号作为公因式的符号进行 因式分解.
(2)在提出负号时 ,多项式的各项都要 变号 !
练一练
把以下各式分解因式： (1) 4x2 -12x3 (2) 12ab2c -6ab (3) 24a3b +32a2b2c -8a2b (4) -x2y +4xy -5y (5) -2m3 +8m2 -12m
证明(1)
【例2 】小明和小林在研究代数式2－2m＋m2的
值的情况时 ,得出了两种不同的结论.
小明填写表格:
m
－2 0 4 6 ……
2－2m＋m2 10 2 10 26 ……
小林填写m表格: －6 －4 2
2－2m＋m2 50 26 2
0 …… 2 ……
请你再取一些m的值代入代数式算一算 ,说明 小明和小林的结论是否正确．你是否有新的发现 ? 新的结论 ?
4
-4a 4a2b
例1 把以下各式分解因式 (1) 5x3 -10x2 (2) 6a3b–9a2b2c

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附赠 中高考状元学习方法
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前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他 们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实 际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方 面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校 的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
(2)6x3y2＋12x2y3－6x2y2.
6x2y2(x＋2y－1)
1 10．(7 分)已知 2x－y＝ ，xy＝2，求 2x4y3－x3y4 的值． 3
8 3
11．(7分)小颖的邻居家有两个小孩，不知道他们的年龄，只知 道他们的年龄分别是方程x2＋xy＝99中x，y的值，试求这两个小 孩的年龄． 解：x2＋xy＝x(x＋y)＝99＝9×11，∴x＝9， y＝2，∴这两个小孩的年龄分别为9岁和2岁
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青 春 风 采
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高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分英语141 分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学院 北京市文科状元 阳光女 孩--何旋
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来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何 旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的 笑声。”班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。“她是 学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她 的成绩应该是692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后， 她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。

= 4 2 22 + 3
分解因式
把下式进行分解因式
2 + − 3 +
解： = b + c 2 − 3
把下列各式因式分解
1
+
= ( + )
4
12 − 9 2 2
= 3(4 − 3)
2 3 − 6
= 3( − 2)
5
用提公因式法完成下面计算：
Байду номын сангаас
分析：这个式子中
“+”前后都有因数a
这个计算过程我们可以这样描
述：把公因数a提出来，再把剩
余的因数留在括号里相加
用提公因式法完成下面计算：
2 − 3
= (2 − 3)
分析：这个式子中“−”
前后都有因数
这个计算过程我们可以这样描
述：把公因数提出来，再把剩
余的因数留在括号里相减
仁
和
中
学
和
亚
龙
14.3因式分解
什么叫因式分解？
2 +
= ( + 1)
2 − 1
= 2 −12
= +1 −1
像这样，把一个多项式转化成：
“整式×整式”的形式，叫做：
因式分解或分解因式。
因式分解与整式乘法，这两种计算恰好就是
一个互逆的过程。
因式分解
−
整式乘法
+ −

用提公因式法完成下面计算：
2 + 6
= 2( + 3)
2 + 10
= 2( + 5)
3 3 y − 6
= 3( 2 − 2)
例1. 把

(3)若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式
是-6ab，那么另一 个因式是（D ）
（A）-1-3x+4y （B）1+3x-4y
（C）-1-3x-4y 2（D）1-3x-4y
(4)若多项式(a+b)x +(a+b)x要分解因式,
则要提的公因式是 (a+b)x .
4.若a=101,b=99,求a2-b2的值.
方法二
（2）把 -24x3 –12x2 +28x 分解因式.
原式=28x—12x2—24x3 =4x (7 —3x —6x2 )
• 把下列各式分解因式:
(1)24x3y-18x2y (2) 7ma+14ma2 (3) -16x4+32x3-56x2 (4) -7ab-14abx+49aby
试一试:(1) 2a(y-z)-3b(y-z) (2) p(a2+b2)-q(a2+b2)
最大公约数 相同字母 最低指数
一看系数 二看字母 三看指数
你知道吗？
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1、定系数：公因式的系数是多项式各项系
数的最大公约数。
2、定字母： 字母取多项式各项中都含有的
相同的字母。
3、定指数： 相同字母的指数取各项中最小
的一个，即相同字 的公因式是什么？
课后练习
1.选择
（1）多项式6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式（C ）
（A）6ab2c （B）ab2 （C）6ab2 （D）6a3b2C （2）分解-4x3+8x2+16x的结果是（ D ）
（A）-x（4x2-8x+16） （B）x（-4x2+8x-16）

发展
提公因式法在数学中不断发展完善，现在已经成为中学数学 中的一个重要内容，也是数学竞赛中的常考点之一
02
提公因式法的原理
提公因式法的数学原理
公式解释
提公因式法是因式分解的一种常用方法，其基本思想是将一个多项式中的公 共因子提取出来，形成新的因子，从而将原多项式分解为多个因式的乘积。
数学原理
通过将多项式中所有项的公因式提取出来，并将其放在一个新的因子中，再 用这个公因式将原多项式进行因式分解。
3
提公因式法可以应用于各种不同的多项式中， 例如：二次三项式、高次多项式、分式等。
提公因式法的反思
01
提公因式法的应用有一定的局限性，因为有时候多项式没有公 因式可以提取。
02
在提公因式的过程中，需要注意不要漏掉任何一个公因式，同
时要避免将不是公因式的项也提取出来。
提取出来的公因式有时候可能并不是最简单的形式，需要进一
在分数的加减法中，提公因式法可以用来简化分数，从而更 容易进行加减运算。
数据的分析
在进行数据的分析时，提公因式法可以用来对数据进行分类 和整理，从而更好地理解数据的分布和特征。
对未来数学学习的建议
深入理解提公因式法的本质
提公因式法是一种重要的数学方法，需要深入理解其本质和原理，以便更好 地掌握和使用。
对余下的多项式继续进行因式分 解
提公因式法步骤的应用示例
例子1
将$2x^3+3x^2y-5x-3y$分解因式
例子2
将$3x^3-6x^2y+4xy^2-2y^3$分解因式
提公因式法步骤的注意事项
注意项中公因式的系数，有时候不是所有项系数的最大公约数 注意各项符号，有时候会出现负号，需要特别注意