2021年高中数学必修4第三章单元测试题及答案数学必修4第三章

第三章章末检测班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．sin68°sin67°－sin23°cos68°的值为( )A ．－22 B.22C.32D ．1 答案：B解析：原式＝sin68°cos23°－cos68°sin23°＝sin(68°－23°)＝sin45°＝22.2．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )A ．－53B ．－19C.19D.53 答案：B解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19.3．已知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ sin x ＝12，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪cos2x ＝12，则( ) A ．M ＝N B ．M ⊆N C ．N ⊆M D ．M ∩N ＝∅ 答案：B解析：由cos2x ＝1－2sin 2x ＝12，得sin x ＝±12，故选B.4．已知sin θ2＝－45，cos θ2＝35，则角θ终边所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：C解析：∵sin θ＝2sin θ2cos θ2＝－2425<0，cos θ＝cos 2θ2－sin 2θ2＝－725<0，∴θ终边在第三象限．5．函数f (x )＝lg (sin 2x －cos 2x )的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π－3π4<x <2k π＋π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4<x <2k π＋5π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π－π4<x <k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π4<x <k π＋3π4，k ∈Z 答案：D解析：∵f (x )＝lg (sin 2x －cos 2x )＝lg (－cos2x )，∴－cos2x >0，∴cos2x <0，∴2k π＋π2<2x <2k π＋3π2，k ∈Z ，∴k π＋π4<x <k π＋3π4，k ∈Z . 6．若函数f (x )＝sin ax ＋cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫－π8，0 B ．(0,0) C.⎝⎛⎭⎫－18，0 D.⎝⎛⎭⎫18，0 答案：C解析：由条件得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa＝1，∴a ＝2π，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π4.将x ＝－18代入得函数值为0. 7．tan20°＋tan40°＋3(tan20°＋tan40°)等于( )A.33B ．1 C. 3 D. 6 答案：C解析：tan60°＝tan20°＋tan40°1－tan20°·tan40°，∴3－3tan20°tan40°＝tan20°＋tan40°， ∴tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3.8．关于x 的方程sin x ＋3cos x －a ＝0有实数解，则实数a 的范围是( ) A ．[－2,2] B ．(－2,2) C ．(－2,0) D ．(0,2) 答案：A解析：sin x ＋3cos x －a ＝0，∴a ＝sin x ＋3cos x＝2⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1，∴－2≤a ≤2. 9．若α，β为锐角，sin α＝2 55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( )A.2 55B.2 525C.2 55或2 525 D ．－2 525答案：B解析：cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，∵α为锐角cos α＝ 1－2025＝55，∴sin(α＋β)＝35＜sin α，∴α＋β＞π2.∴cos(α＋β)＝－ 1－925＝－45，∴cos β＝－45×55＋2 55×35＝2 525.10．函数y ＝sin x 2＋3cos x2的图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝113πB ．x ＝53πC ．x ＝－53πD ．x ＝－π3答案：C解析：y ＝sin x 2＋3cos x2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，又f ⎝⎛⎭⎫－53π＝2sin ⎝⎛⎭⎫－56π＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝－2， ∴x ＝－53π为函数的一条对称轴．11．已知θ为第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin2θ等于( )A.2 23 B ．－2 23C.23 D ．－23 答案：A解析：由sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，知sin 2θcos 2θ＝29，又θ为第三象限角，∴sin θ·cos θ＝23，sin2θ＝2 23.12．设动直线x ＝a 与函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x 和g (x )＝3cos2x 的图象分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 答案：D解析：f (x )＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝1＋sin2x . |MN |＝|f (a )－g (a )|＝|1＋sin2a －3cos2a |＝|2sin ⎝⎛⎭⎫2a －π3＋1|≤3. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．cos π5cos 25π的值是________．答案：14解析：原式＝12sin π5·2sin π5cos π5·cos 2π5＝14sin π5·2sin 2π5cos 25π＝14sinπ5sin 45π＝14.14．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为________． 答案：－142解析：∵sin 2α＋cos 2α＝1，sin α＝12＋cos α，∴⎝⎛⎭⎫12＋cos α2＋cos 2α＝1，∴2cos 2α＋cos α－34＝0， ∴cos α＝－1±74，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α>0， ∴cos α＝7－14，∴sin α＝12＋cos α＝7＋14，∴cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋14＋7－14＝－142.15．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos(α－β)的值为________． 答案：2327解析：∵cos α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝2 23，∴sin2α＝4 29，cos2α＝－79.又cos(α＋β)＝－13，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝2 23.∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝⎝⎛⎭⎫－79×⎝⎛⎭⎫－13＋4 29×2 23＝2327. 16．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则tan θ等于________． 答案：－ 3解析：∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，∴3cos(－θ)－sin(－θ)＝0，∴3cos θ＋sin θ＝0，∴tan θ＝－ 3.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，求tan(β－2α)的值．解：∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，∴tan α＝2，∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43.18．(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝2 55，求cos(α－β)的值．解：∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， ∴a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)， ∴|a －b |＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos (α－β)＝2 55，∴cos(α－β)＝35.19．(12分)已知函数f (x )＝－2 3sin 2x ＋sin2x ＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期和最小值；(2)在给出的直角坐标系中，画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解：(1)f (x )＝3(1－2sin 2x )＋sin2x＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，最小值为－2.(2)列表：x 0 π12 π3 7π125π6 π 2x ＋π3 π3 π2 π 3π22π 7π3 f (x ) 32 0 －2 0320．(12分)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求cos φ的值．解：(1)∵a ⊥b ，∴sin θ×1＋(－2)×cos θ＝0⇒sin θ＝2cos θ.∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1⇒cos 2θ＝15.∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos θ＝55，sin θ＝2 55. (2)解法一：由sin(θ－φ)＝1010得，sin θcos φ－cos θsin φ＝1010⇒sin φ＝2cos φ－22，∴sin 2φ＋cos 2φ＝5cos 2φ－2 2cos φ＋12＝1⇒5cos 2φ－2 2cos φ－12＝0.解得cos φ＝22或cos φ＝－210，∵0<φ<π2，∴cos φ＝22.解法二：∵0<θ，φ<π2，∴－π2<θ－φ<π2.所以cos(θ－φ)＝1－sin 2(θ－φ)＝31010.故cos φ＝cos[(θ－(θ－φ)]＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ)＝55×3 1010＋2 55×1010＝22. 21．(12分)已知函数f (x )＝2sin x ＋2cos(x －π)． (1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫α，65，π4<α<3π4，求f ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值． 解：(1)由题意得，f (x )＝2sin x ＋2cos(x －π)＝2sin x －2cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，因为－1≤sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≤1，所以函数f (x )的值域为[－2,2]，函数f (x )的周期为2π. (2)因为函数f (x )过点⎝⎛⎭⎫α，65， 所以f (α)＝65⇒2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝65⇒ sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝35，因为π4<α<3π4， 所以0<α－π4<π2⇒cos ⎝⎛⎭⎫α－π4>0⇒cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝45， 所以f ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2sin α＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4cos π4＋2cos ⎝⎛⎭⎫α－π4sin π4⇒f ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝725.22．(12分)在△ABC 中，f (B )＝4cos B ·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋B 2＋3cos2B －2cos B . (1)若f (B )＝2，求角B ；(2)若f (B )－m >2恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)f (B )＝4cos B ·1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋B 2＋3cos2B －2cos B ＝2cos B (1＋sin B )＋3cos2B －2cos B＝sin2B ＋3cos2B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3. ∵f (B )＝2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3＝2. ∵B 是△ABC 的内角，∴2B ＋π3＝π2，则B ＝π12.(2)若f (B )－m >2恒成立，即2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3>2＋m 恒成立． ∵0<B <π，∴π3<2B ＋π3<73π，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3∈[－2,2]， ∴2＋m <－2，即m <－4.。

第三章综合检测题、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1. si门2右一cos2；n的值为（C ）B.2 D. ,3~2［解析］原式=-(cos2^- sin^F - cos62.函数f（x）= sin2x—cos2x的最小正周期是（B ）nA.q3 B . n C . 2 n D . 4 n［解析］f(x) = sin2x—cos2x= , 2sin(2x—4)，故T=今=冗13.已知cos 0= 3,(0,n )则cos(32 + 2 0 = ( C )4；29D.9［解析］cos(3n + 2 0= sin2 A 2sin 0os0= 2X 屮3=普44.若tan a= 3, ta n B= 3，则tan (a— 3 等于(D )C. 3D.13 —4tan a—tan 3 3 1［解析］tan(a—®=■—o= = 3.1 + tan dt an B〔+ 3X4 335. COS275°+COS215°+COS75°C OS15的值是(A )5 6 3 2A.4B.〒eq D. 1 +可2 21 5 ［解析］原式=sin215°+ cos 15° + sin15 6os15°= 1 + ?sin30 = 4.6. y= cos2x—sin2x+ 2sinxcosx的最小值是(B )A. 2 B2 C. 2 D2_ n _［解析］y= cos2x+ si n2x= 2si n( 2x+ 4),.，.y max=— 2.7.若tan a= 2, tan(B— M= 3,贝U tan(B—2 0)= ( D )A. —1B. —5C.7D.1tan p- a—tan a 3 —2 i［解析］tan( p—2 a = tan［( p— a) —a = = =千1 + tan p—a tan a 1 + 68.已知点P(cos a, sin M, Q(cos p, sin®,贝U |PQ| 的最大值是(B )A. 2［解析］ PQ = (cos® —cos a, sin p—si n a ,贝U |PQ| = p cos®—cos a2+ sin p- sin a2='2—2cos a— p,故|PQ|的最大值为2.cos2x+ sin2x”^「十厂9.函数y= cos2x —sin2x的最小正周期为（C ）n nA. 2 nB. nC.qD.41 + tan2x n n［解析］y= =tan(2x+ 4),.T=2.1 —tan2x 4 210. 若函数f(x) = sin2x —*x€ R),则f(x)是(D )A .最小正周期为訓勺奇函数B .最小正周期为n的奇函数C.最小正周期为2 n的偶函数 D .最小正周期为n的偶函数1 12 12［解析］f(x)= sin2x—2= —2(1 —2sin2x) = —^cos2x,.f(x)的周期为n的偶函数.n11. y= sin(2x —3)—sin2x 的一个单调递增区间是(B )n n n 7^ r 5 1^ _ _ _ n 5 nA . ［—6, 3］ B.［石，石n］c.［匚n 石n ］ D . ［3,石！5 n n n n n［解析］ y = sin(2x — 3) — sin2x = sin2xcos^ — coshes% — sin2x =- (sin2xcos^ + cos2xsin^)=—sin(2x + 3)，其增区间是函数y = sin(2x +3)的减区间，即2k n+㊁三2x + 3W 2k n+~2，「k nn7 n 「 r 「 n 7 n+12= x <k n+12，当 k = 0 时，x € ［乜，乜］.12. 已知 sin(a+ 3 = 2，sin(a- 3 = £，则 log • 5(器 等于 (C . 41 sin a os 3+ cos a in 23得 1sin a os 3— cos a in 3= 313. (1+ tan 17 )(1 + tan28 °tan 17 ° tan28［解析］ 原式=1 + tan 17 + tan28 °tan 17 °tan28 ；又 tan(17 +28°) = ------------- =1 — tan17 )an28 0 tan45 = 1，Atan17 + tan28 = 1— tan 17 °tan28 )14. (2012全国高考江苏卷)设a 为锐角，若cosn a+6=5，贝U sin 2 a+ 的值为弋^2.n n 2 n n ［解析］Ta 为锐角，.「6<a+ 6<3，v cos a- 6 =4 5, n 3 sin a+ 6 = 5；n n n 24.••sin 2 a+ 3 = 2sin a+ 6 cos a+ 6 = 25,n n 2 .2 n 7cos(2 a+ 3) = cos( a+ g) 一 sin ( a+ g) =25 . n n n . n .•sin 2 a+ 12 = sin 2 + 3— 4 = sin 2 a — 3 ncos4—cosc n . n 1A /2 2a+3 sin 4= 50 .115.已知 cos2a= 3，贝U sin 4 a+ cos 4a=［解析］由sin(a+ 3 = 2， sin(a- a 5sin ocos 3=12.tan a 1，• °tan 3cos a i n 3=徨=5,「•log ‘5(眯沪 g 552 = 4.、填空题(本大题共4个小题, 每小题5分，共20分)代入原式可得结果为2.521 2 2 2［解析］cos2o a 2cos a—1= 3 得cos a 3,由cos2o a 1 —2s in a得sin2a 3(或据sin2a2 2 1 , + cos a 1得Sin a= 3),代入计算可得.3 1 n n16.设向量a=(刃sin0, b= (cos0 3)，其中0€ (0,刃，若a / b,贝U 0= ___41 n ［解析］若a//b，贝U sin 0cos A2，即卩2sin(Cos B= 1 ,：sin2 A1,又(0,㊁),n 4.三、解答题（本大题共6个小题，共70分，写出文字说明，证明过程或演算步骤3 - 3 sin2 a+ 2sin a,17.（本题满分10分）已知cos a—sin a= 5^，且na^n 求—1 —t an a—的值.［解析］因为cos a—sin aa%"2,所以1 —2si n a cos a=卷，所以2si n«cos a= £又a€ ( n "2)，故sin a+ CoS a=-冷 1 + 2sin0cos a= —誉,2 2sin2 a+ 2sin a 2sin a cos a+ 2sin a cos a 2sin a cos a cos a+ sin a所以=1 —tan a COS a—sin a COS a—sin aZ x4/225x一 55 28 75.18.（本题满分12分）设x€ [0 , 3］，求函数y= cos(2x-3) + 2sin(x—力的最值.n n n n［解析］y = cos(2x—3) + 2si n(x—6)= cos2(x—6)+ 2sin(x—石)2n n n 1 2 3=1 —2sin (x—舌)+ 2sin(x —6)= —2［sin(x—$) —2 + 21 1 3 1 • x€ ［0 , 3］, —x—g［一6，6］.• °sin(x—g) € ［一？, 2］ ,^ymax a2，ymin= —2*19.(本题满分12分)已知tan2a2tan2a+ 1,求证:cos20+ sin2a= 0.十卄2cos20- sin20 2 1 —tan20 2—2tan2a［证明］ cos2 0+ sin a= 2 2 + sin a= 2 + sin a= 2cos20+ sin20 1 + tan20 1 + 2tan2a+ 1+ si n2a=.2—sin a 2 + sin a= COS a+ Sin a 2 o—sin a+ sin a 0.3x . 3xx . x »亠12分)已知向量 a = (cos^, sin_2), b = (co^,— sin^), c = (.3— 1),其中 x €R.(1)当a 丄b 时，求x 值的集合； ⑵求a —ci 的最大值.3x x 3x xk n n ［解析］(1)由 a 丄b 得 a b = 0,即卩 cos^cos^ —sin-^sin^a 0,贝Ucos2x = 0,得x a ^ + 4(kk n n€ Z), Ax 值的集合是{x|x = 2 + 4, « Z}.2 3x1- 2 3x 2 o 3x t -3x o 3x 3x(2)|a — c| = (cos 刁—.3) + (sin_2 + 1) = cos"^ — 2.3cos^ + 3+ sin + 2sin^ + 1=5+ 2sin^x —2 ,3。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作单元综合测试三时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是( ) A ．sin(α＋β)>sin α＋sin β B ．sin(α＋β)>cos α＋cos β C ．cos(α＋β)<sin α＋sin βD ．cos(α＋β)<cos α＋cos β解析：当α＝β＝30°时可排除A ，B ；当α＝β＝15°时，代入C 得0<cos30°<2sin15°，平方得34<4sin 215°＝4×1－cos30°2＝2－3≈0.268，矛盾．故选D.答案：D2．化简cos 2(π4－α)－sin 2(π4－α)得到( ) A ．sin2α B ．－sin2α C ．cos2αD ．－cos2α解析：原式＝cos2(π4－α)＝cos(π2－2α)＝sin2α.答案：A3.3－sin70°2－cos 210°＝( ) A.12 B.22 C ．2D.32解析：原式＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝2(3－sin70°)3－cos20°＝2.答案：C4．已知tan α＝12，tan(α－β)＝－25，那么tan(β－2α)的值为( ) A ．－34 B ．－112 C ．－98D.98解析：tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝－112. 答案：B5．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z解析：f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)，由已知得周期T ＝π. ∴ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋π6)．由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )． 答案：C6．在△ABC 中，sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形D ．等腰三角形解析：sin A sin B <cos A cos B ，即sin A sin B －cos A cos B <0， －cos(A ＋B )<0，所以cos C <0，从而角C 为钝角，△ABC 为钝角三角形．答案：B7.2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α等于( ) A ．tan α B ．tan2α C ．1D.12解析：原式＝2sin2α1＋2cos 2α－1·cos 2αcos2α＝2sin α·cos αcos 2α－sin 2α＝2tan α1－tan 2α＝tan2α. 答案：B8．若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ＝( ) A ．0 B ．±3 C ．0或 3D ．0或±3解析：由cos2θ＋cos θ＝0得2cos 2θ－1＋cos θ＝0， 所以cos θ＝－1或12.当cos θ＝－1时，有sin θ＝0； 当cos θ＝12时，有sin θ＝±32.于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－ 3. 答案：D9．已知等腰三角形顶角的余弦值等于45，则这个三角形底角的正弦值为( )A.1010 B ．－1010 C.31010D ．－31010解析：设等腰三角形的底角为α(0<α<π2)，则其顶角为π－2α.由已知cos(π－2α)＝45，∴cos2α＝－45.故1－2sin 2α＝－45，sin 2α＝910. 又0<α<π2，∴sin α＝31010. 答案：C10．已知sin2α＝35(π2<2α<π)，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．－211D.211解析：由sin2α＝35，且π2<2α<π， 可得cos2α＝－45，∴tan2α＝－34， ∴tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)] ＝tan2α－tan (α－β)1＋tan2αtan (α－β)＝－2.答案：A11．已知向量a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈(π2，π)，若a ·b ＝25，则tan(α＋π4)＝( )A.13 B.27 C.17D.23解析：由题意，得cos2α＋sin α(2sin α－1)＝25， 解得sin α＝35.又α∈(π2，π)， 所以cos α＝－45，tan α＝－34， 则tan(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝17.答案：C12．将函数f (x )＝12sin2x sin π3＋cos 2x cos π3－12sin(π2＋π3)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值分别为( )A.12，－12B.14，－14C.12，－14D.14，－12解析：f (x )＝12×32sin2x ＋12cos 2x －12sin 5π6 ＝34sin2x ＋12cos 2x －14＝34sin2x ＋12×1＋cos2x 2－14＝12sin(2x ＋π6)， 所以g (x )＝12sin(4x ＋π6)．因为x ∈[0，π4]，所以4x ＋π6∈[π6，7π6]，所以当4x ＋π6＝π2时，g (x )取得最大值12；当4x ＋π6＝7π6时，g (x )取得最小值－14.答案：C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 解析：∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β. ∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(sin β＋cos β)． ∵β为锐角，∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α， ∴tan α＝1. 答案：114．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值为________． 解析：由已知得32cos α＋32sin α＝453， 所以12cos α＋32sin α＝45， 即sin(α＋π6)＝45，因此，sin(α＋7π6)＝－sin(α＋π6)＝－45. 答案：－4515．已知0<x <π2，化简：lg(cos x ·tan x ＋1－2sin 2x 2)＋lg[2cos(x －π4)]－lg(1＋sin2x )＝________.解析：原式＝lg(sin x ＋cos x )＋lg(sin x ＋cos x )－lg(sin x ＋cos x )2＝0. 答案：016．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a ，已知当x ∈[0，π2]时，f (x )的最小值为－2，则a ＝________.解析：f (x )＝1＋cos2x ＋3sin2x ＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1.∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]． ∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]，∴f (x )min ＝2×(－12)＋a ＋1＝a .∴a ＝－2.答案：－2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知cos(x －π4)＝210，x ∈(π2，3π4)． (1)求sin x 的值； (2)求sin(2x ＋π3)的值．解：(1)∵x ∈(π2，3π4)，∴x －π4∈(π4，π2)， ∵cos(x －π4)＝210，∴sin(x －π4)＝7210. ∴sin x ＝sin[(x －π4)＋π4] ＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x －π4)sin π4 ＝7102×22＋210×22＝45. (2)由(1)可得cos x ＝－35， ∴sin2x ＝－2425，cos2x ＝－725， ∴sin(2x ＋π3)＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3 ＝－24＋7350.18．(12分)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2. (1)求tan2α的值； (2)求β的值．解：(1)∵0<α<π2且cos α＝17， ∴sin α＝1－cos 2α＝437， ∴tan α＝sin αcos α＝4 3.tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347. (2)∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， 由cos(α－β)＝1314.得sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝3314， ∴sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32， ∵0<β<π2 ∴β＝π3.19．(12分)已知函数f (x )＝2cos(x －π12)，x ∈R . (1)求f (－π6)的值；(2)若cos θ＝35，θ∈(3π2，2π)，求f (2θ＋π3)． 解：(1)f (－π6)＝2cos(－π6－π12) ＝2cos(－π4)＝2cos π4＝1. (2)f (2θ＋π3)＝2cos(2θ＋π3－π12)＝2cos(2θ＋π4) ＝cos2θ－sin2θ.因为cos θ＝35，θ∈(3π2，2π)，所以sin θ＝－45.所以sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725. 所以f (2θ＋π3)＝cos2θ－sin2θ＝－725－(－2425)＝1725.20．(12分)已知函数f (x )＝sin(x －π6)＋cos(x －π3)，g (x )＝2sin 2x2. (1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合． 解：f (x )＝sin(x －π6)＋cos(x －π3) ＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x ，(1)由f (α)＝335，得sin α＝35，又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1. 于是sin(x ＋π6)≥12.从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．21．(12分)点P 在直径为AB ＝1的半圆上移动，过点P 作圆的切线PT ，且PT ＝1，∠P AB ＝α，问α为何值时，四边形ABTP 的面积最大？解：如图，因为AB 为直径，PT 切圆于P 点，所以∠APB ＝90°，P A ＝cos α，PB ＝sin α，S 四边形ABTP ＝S △P AB ＋S △TPB＝12P A ·PB ＋12PT ·PB sin α＝12sin αcos α＋12sin 2α＝14sin2α＋1－cos2α4＝14(sin2α－cos2α)＋14 ＝24sin(2α－π4)＋14.因为0<α<π2，因为－π4<2α－π4<3π4，所以当2α－π4＝π2，即α＝3π8时，四边形ABTP 的面积最大．22．(12分)已知向量a ＝(3sin2x ，cos2x )，b ＝(cos2x ，－cos2x )．(1)若x ∈(7π24，5π12)时，a ·b ＋12＝－35，求cos4x 的值；(2)cos x ≥12，x ∈(0，π)，若方程a ·b ＋12＝m 有且仅有一个实根，求实数m 的值．解：(1)∵a ·b ＝3sin2x cos2x －cos 22x∴a ·b ＋12＝3sin2x cos2x －cos 22x ＋12 ＝32sin4x －1＋cos4x 2＋12 ＝32sin4x －12cos4x＝sin(4x －π6)＝－35，∵x ∈(724π，512π)，∴4x ∈(76π，53π)，4x －π6∈(π，32π)，∴cos(4x －π6)＝－45，∴cos4x ＝cos[(4x －π6)＋π6]＝cos(4x －π6)cos π6－sin(4x －π6)sin π6＝(－45)×32－(－35)×12＝3－4310.(2)因为cos x ≥12，又余弦函数在(0，π)上是减函数，所以0<x ≤π3，令f (x )＝a ·b ＋12＝sin(4x －π6)，g (x )＝m ，在同一坐标系中作出两个函数的图象，由图可知m ＝1或m ＝－12.。

第2课时半角公式及其应用课时过关·能力提升1.cos α =−35,且π<α<3π2,则cosα2的值等于()A.√55B.−√55C.2√55D.−2√55解析:∵π<α<3π2,∴π2<α2<3π4.∴co sα2=−√1+cosα2=−√55.答案:B2.设5π<θ<6π,co sθ2=a,则sinθ4的值等于()A.−√1+a2B.−√1-a2C.−√2+2a2D.−√2-2a2解析:∵5π<θ<6π,∴5π2<θ2<3π,5π4<θ4<3π2,∴sinθ4=−√1-cosθ22=−√1-a2=−√2-2a2.答案:D3.设α∈(π,2π),则√1-cos(π+α)2=()A.si nα2B.cosα2C. -si nα2D.−cosα2解析:∵α∈(π,2π),∴α2∈(π2,π),∴√1-cos(π+α)2=√1+cosα2=√cos2α2=−cosα2.答案:D4.设a=12cos 6°−√32sin 6°,b=2tan13°1+tan213°,c=√1-cos50°2,则有()A.a>b>cB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a解析:a=12cos 6°−√32sin 6° =sin 24°,b=2tan13°1+tan213°=sin 26°,c=√1-cos50°2=sin 25°.利用正弦函数的性质可知选C.答案:C★5.设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tan α=1+sinβcosβ,则()A.3α -β=π2B.2α−β=π2C.3α +β=π2D.2α+β=π2解析:tan α=1+sinβcosβ=1+cos(π2-β)sin(π2-β)=2cos2(π4-β2)2sin(π4-β2)cos(π4-β2)=cot(π4-β2)=ta n[π2-(π4-β2)]=tan(π4+β2),∴α =kπ+(π4+β2),k∈Z,∴2α -β =2kπ+π2,k∈Z.当k =0时,满足2α -β=π2,故选B.答案:B6.假设cos α =−45,α是第三象限的角,则1+tanα21-tanα2=.解析:由题意,得sin α =−35,则ta nα2=1-cosαsinα=1+45-35=−3,所以1+tanα21-tanα2=−12.答案:−127.3-sin70°2-cos210°=.解析:3-sin70°2-cos210°=3-sin70°2-1+cos20°2=2(3-cos20°)3-cos20°=2.答案:28.化简sin4x1+cos4x ·cos2x1+cos2x·cosx1+cosx=.解析:原式=2sin2xcos2x2cos22x ·cos2x1+cos2x·cosx1+cosx=sin2x1+cos2x·cosx1+cosx=2sinxcosx2cos2x·cosx1+cosx=sinx1+cosx=tanx2.答案:ta n x29.等腰三角形的顶角的余弦值等于513,求这个三角形底角的正弦、余弦和正切值.解设等腰三角形的顶角为α,底角为θ,那么cos α=513,α+2θ=π,θ∈(0,π2),∴cos 2θ =−513,∴sin θ=√1-cos2θ2=√1+5132=3√1313,cos θ=√1+cos2θ2=√1-5132=2√1313,tan θ=sinθcosθ=32.故这个三角形底角的正弦、余弦和正切值分别为3√1313,2√13 13,32.10.在△ABC中,假设sin A sin B =cos2C2,试判断△ABC的形状.解sin A sin B =cos2C2=1+cosC2=1-cos(A+B)2,即2sin A sin B +cos(A +B) =1,∴2sin A sin B +cos A cos B -sin A sin B=cos A cos B +sin A sin B =cos(A -B) =1.∵ -π<A -B<π,∴A -B =0,即A =B.∴△ABC是等腰三角形.11.在△ABC 中,f (B ) =4cos B ·sin 2(π4+B 2)+√3cos 2B −2cos B.(1)假设f (B ) =2,求角B ;(2)假设f (B ) -m>2恒成立,求实数m 的取值范围.解(1)由题意,得f (B ) =4cos B ·1-cos (π2+B )2+√3cos 2B -2cos B=2cos B (1 +sin B )+√3cos 2B -2cos B=sin 2B +√3cos 2B =2si n (2B +π3).∵f (B ) =2,∴2si n (2B +π3)=2. ∵角B 是△ABC 的内角,∴2B +π3=π2,则B =π12. (2)假设f (B ) -m>2恒成立,即2si n (2B +π3)>2+m 恒成立.∵0<B<π,∴π3<2B +π3<7π3,∴2si n (2B +π3)∈[ -2,2],∴2 +m< -2,∴m< -4.★12.已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,sin x −1),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(sin x +sin xcos x,sin x),f(x)=OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (x ∈R ).求: (1)函数f (x )的最||大值和最||小正周期;(2)函数f (x )的递增区间.解(1)f (x )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =sin x +sin x cos x +sin 2x -sin x =12sin 2x +1-cos2x 2=√22sin (2x -π4)+12,最小正周期为π,令2x −π4=π2+2kπ(k ∈Z ),可得当x =k π+3π8(k ∈Z )时,f (x )取得最||大值1+√22.(2)当2k π−π2≤2x −π4≤2k π+π2(k ∈Z ),即k π−π8≤x ≤k π+3π8(k ∈Z )时,原函数为增加的,∴函数f (x )的递增区间是[kπ-π8,kπ+3π8](k ∈Z ).。

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必修四 第三章一、选择题：1．Sin165º等于 （ ）A ．21B ．23C ．426+D ． 426-2．Sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（ ）A ．23 B ．21 C ．23 D ．-213．sin12π-3cos 12π的值是． （ ） A ．0 B ． -2 C ． 2 D ． 2 sin 125π4。

△ABC 中,若2cosBsinA=sinC 则△ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形5．函数y=sinx+cosx+2的最小值是 （ ）A ．2—2B ．2+2C ．0D ．16．已知cos （α+β）cos(α－β）=31，则cos 2α－sin 2β的值为（ ）A ．－32B ．－31C ．31D ．327．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形8．sin α+sin β=33（cos β－cos α）,且α∈（0，π)，β∈（0，π)，则α－β等于（ ）人教版数学必修四-第三章单元练习(附答案)A ．－3π2B ．－3πC ．3πD ．3π29．已知sin （α+β）sin （β－α）=m ，则cos 2α－cos 2β等于（ ）A ．－mB ．mC ．－4mD ．4m二、填空题．10．15tan 115tan 1+-=__________________________．11．如果cos θ= -1312 )23,(ππθ∈，那么 cos )4(πθ+=________．12．已知βα,为锐角，且cos α=71 cos )(βα+= -1411, 则cos β=_________．13．tan20º+tan40º+3tan20ºtan40º的值是____________． 14．函数y=cosx+cos （x+3π）的最大值是__________． 三、解答题．15．若βα,是同一三角形的两个内角，cos β= - 31 ，cos （)βα+=—294。

第三章章末检测班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．sin68°sin67°－sin23°cos68°的值为( )A ．－22 B.22C.32D ．1 答案：B 解析：原式＝sin68°cos23°－cos68°sin23°＝sin(68°－23°)＝sin45°＝22. 2．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )A ．－53 B ．－19C.19D.53 答案：B解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19.3．已知M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪sin x ＝12，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪cos2x ＝12，则( ) A ．M ＝N B ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅ 答案：B解析：由cos2x ＝1－2sin 2x ＝12，得sin x ＝±12，故选B.4．已知sin θ2＝－45，cos θ2＝35，则角θ终边所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：C解析：∵sin θ＝2sin θ2cos θ2＝－2425<0，cos θ＝cos 2θ2－sin 2θ2＝－725<0，∴θ终边在第三象限．5．函数f (x )＝lg (sin 2x －cos 2x )的定义域是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π－3π4<x <2k π＋π4，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4<x <2k π＋5π4，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ k π－π4<x <k π＋π4，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π＋π4<x <k π＋3π4，k ∈Z答案：D解析：∵f (x )＝lg (sin 2x －cos 2x )＝lg (－cos2x )，∴－cos2x >0，∴cos2x <0，∴2k π＋π2<2x <2k π＋3π2，k ∈Z ，∴k π＋π4<x <k π＋3π4，k ∈Z .6．若函数f (x )＝sin ax ＋cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0 B ．(0,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0 答案：C解析：由条件得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa ＝1，∴a ＝2π，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π4.将x ＝－18代入得函数值为0. 7．tan20°＋tan40°＋3(tan20°＋tan40°)等于( )A.33 B ．1 C. 3 D. 6 答案：C解析：tan60°＝tan20°＋tan40°1－tan20°·tan40°，∴3－3tan20°tan40°＝tan20°＋tan40°， ∴tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3.8．关于x 的方程sin x ＋3cos x －a ＝0有实数解，则实数a 的范围是( ) A ．[－2,2] B ．(－2,2) C ．(－2,0) D ．(0,2) 答案：A解析：sin x ＋3cos x －a ＝0，∴a ＝sin x ＋3cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1，∴－2≤a ≤2.9．若α，β为锐角，sin α＝2 55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( )A.2 55B.2 525C.2 55或2 525 D ．－2 525 答案：B解析：cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，∵α为锐角cos α＝ 1－2025＝55，∴sin(α＋β)＝35＜sin α，∴α＋β＞π2.∴cos(α＋β)＝－1－925＝－45， ∴cos β＝－45×55＋2 55×35＝2 525.10．函数y ＝sin x 2＋3cos x2的图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝113πB ．x ＝53πC ．x ＝－53πD ．x ＝－π3答案：C解析：y ＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－56π＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－2， ∴x ＝－53π为函数的一条对称轴．11．已知θ为第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin2θ等于( )A.2 23 B ．－2 23 C.23 D ．－23 答案：A 解析：由sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，知sin 2θcos 2θ＝29，又θ为第三象限角，∴sin θ·cos θ＝23，sin2θ＝2 23.12．设动直线x ＝a 与函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 和g (x )＝3cos2x 的图象分别交于M ，N两点，则|MN |的最大值为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 答案：D解析：f (x )＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1＋sin2x . |MN |＝|f (a )－g (a )|＝|1＋sin2a －3cos2a |＝|2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2a －π3＋1|≤3. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．cos π5cos 25π的值是________．答案：14解析：原式＝12sin π5·2sin π5cos π5·cos 2π5＝14sin π5·2sin 2π5cos 25π＝14sinπ5sin 45π＝14.14．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________． 答案：－142解析：∵sin 2α＋cos 2α＝1，sin α＝12＋cos α，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋cos α2＋cos 2α＝1，∴2cos 2α＋cos α－34＝0，∴cos α＝－1±74，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α>0，∴cos α＝7－14，∴sin α＝12＋cos α＝7＋14， ∴cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22sin α－cos α＝－2(sin α＋cos α)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋14＋7－14＝－142.15．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值为________．答案：2327解析：∵cos α＝13，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝2 23，∴sin2α＝4 29，cos2α＝－79.又cos(α＋β)＝－13，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝2 23.∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋4 29×2 23＝2327. 16．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则tan θ等于________．答案：－ 3解析：∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，∴3cos(－θ)－sin(－θ)＝0，∴3cos θ＋sin θ＝0，∴tan θ＝－ 3.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，求tan(β－2α)的值．解：∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，∴tan α＝2，∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan β－αtan α1＋tan β－αtan α＝－2－2122＝43.18．(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝2 55，求cos(α－β)的值．解：∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， ∴a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，∴|a －b |＝cos α－cos β2sin α－sin β2＝2－2cos α－β＝2 55，∴cos(α－β)＝35.19．(12分)已知函数f (x )＝－2 3sin 2x ＋sin2x ＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期和最小值；(2)在给出的直角坐标系中，画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解：(1)f (x )＝3(1－2sin 2x )＋sin2x＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，最小值为－2.(2)列表：20．(12分)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求cos φ的值．解：(1)∵a ⊥b ，∴sin θ×1＋(－2)×cos θ＝0⇒sin θ＝2cos θ.∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1⇒cos 2θ＝15.∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos θ＝55，sin θ＝2 55.(2)解法一：由sin(θ－φ)＝1010得， sin θcos φ－cos θsin φ＝1010⇒sin φ＝2cos φ－22， ∴sin 2φ＋cos 2φ＝5cos 2φ－2 2cos φ＋12＝1⇒5cos 2φ－2 2cos φ－12＝0.解得cos φ＝22或cos φ＝－210， ∵0<φ<π2，∴cos φ＝22.解法二：∵0<θ，φ<π2，∴－π2<θ－φ<π2.所以cos(θ－φ)＝1－sin2θ－φ＝31010. 故cos φ＝cos[(θ－(θ－φ)]＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ)＝55×3 1010＋2 55×1010＝22. 21．(12分)已知函数f (x )＝2sin x ＋2cos(x －π)． (1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫α，65，π4<α<3π4，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值． 解：(1)由题意得，f (x )＝2sin x ＋2cos(x －π)＝2sin x －2cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，因为－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≤1，所以函数f (x )的值域为[－2,2]，函数f (x )的周期为2π.(2)因为函数f (x )过点⎝⎛⎭⎪⎫α，65， 所以f (α)＝65⇒2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝65⇒ sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，因为π4<α<3π4， 所以0<α－π4<π2⇒cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4>0⇒cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝45，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2sin α＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos π4＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin π4⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝725.22．(12分)在△ABC 中，f (B )＝4cos B ·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B 2＋3cos2B －2cos B .(1)若f (B )＝2，求角B ；(2)若f (B )－m >2恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)f (B )＝4cos B ·1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋B 2＋3cos2B －2cos B ＝2cos B (1＋sin B )＋3cos2B－2cos B＝sin2B ＋3cos2B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3. ∵f (B )＝2，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π3＝2. ∵B 是△ABC 的内角，∴2B ＋π3＝π2，则B ＝π12.(2)若f (B )－m >2恒成立，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π3>2＋m 恒成立． ∵0<B <π，∴π3<2B ＋π3<73π，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π3∈[－2,2]， ∴2＋m <－2，即m <－4.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第三章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin105°cos105°的值为( ) A.14 B ．－14 C.34D ．－34解析 原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14. 答案 B2．若sin2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( ) A.32 B ．－32 C.34D ．－34解析 (cos α－sin α)2＝1－sin2α＝1－14＝34. 又π4<α<π2，∴cos α<sin α，cos α－sin α＝－34＝－32.答案 B3．已知180°<α<270°，且sin(270°＋α)＝45，则tan α2＝( ) A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－3答案 D4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A. 2 B.22 C.32D. 2 解析 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， 3sin A －cos(B ＋C ) ＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋12cos A )＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2. 答案 A5．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ等于( ) A ．－65 B ．－45 C.45D.65解析 原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝65.答案 D6．在△ABC中，已知sin A cos A＝sin B cos B，则△ABC是() A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析∵sin2A＝sin2B，∴∠A＝∠B，或∠A＋∠B＝π2.答案 D7．设a＝22(sin17°＋cos17°)，b＝2cos213°－1，c＝32，则()A．c<a<b B．b<c<a C．a<b<c D．b<a<c解析a＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，b＝2cos213°－1＝cos26°，c＝32＝cos30°，∵y＝cos x在(0,90°)内是减函数，∴cos26°>cos28°>cos30°，即b>a>c.答案 A8．三角形ABC中，若∠C>90°，则tan A·tan B与1的大小关系为()A．tan A·tan B>1 B. tan A·tan B<1C．tan A·tan B＝1 D．不能确定解析在三角形ABC中，∵∠C>90°，∴∠A，∠B分别都为锐角．则有tan A>0，tan B>0，tan C<0.又∵∠C ＝π－(∠A ＋∠B )，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A ·tan B <0，易知1－tan A ·tan B >0， 即tan A ·tan B <1. 答案 B9．函数f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数解析 f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin2x . 答案 A10．y ＝cos x (cos x ＋sin x )的值域是( ) A ．[－2,2]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22，2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 解析 y ＝cos 2x ＋cos x sin x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2x ＋22cos2x＝12＋22sin(2x ＋π4)．∵x ∈R ，∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1时，y 有最大值1＋22；当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－1时，y 有最小值1－22.∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22. 答案 C11.2cos10°－sin20°sin70°的值是( ) A.12 B.32 C. 3D. 2解析 原式＝2cos (30°－20°)－sin20°sin70° ＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70° ＝3cos20°cos20°＝ 3. 答案 C12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cos α的值为( )A.5665B.1665C.5665或1665D ．以上都不对解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝1213>0， ∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝513. ∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝35>0， ∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝45. ∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 解析 ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β. ∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(sin β＋cos β)．∵β为锐角，∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α，∴tan α＝1. 答案 114．已知cos2α＝13，则sin 4α＋cos 4α＝________. 解析 ∵cos2α＝13， ∴sin 22α＝89.∴sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α＝1－12sin 22α＝1－12×89＝59. 答案 5915.sin (α＋30°)＋cos (α＋60°)2cos α＝________. 解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋cos αcos60°－sin αsin60°＝cos α，∴原式＝cos α2cos α＝12. 答案 1216．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，则下列命题： ①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是________． 解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确．又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数，故③正确．由④得y ＝2cos2⎝⎛⎭⎪⎫x －π24＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12，故④正确．答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－23，－1，n ＝(sin x,1)，m 与n为共线向量，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0.(1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin2αsin α－cos α的值．解 (1)∵m 与n 为共线向量，∴⎝⎛⎭⎪⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0，即sin α＋cos α＝23.(2)∵1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29， ∴sin2α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－sin2α＝169.又∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴sin α－cos α<0. ∴sin α－cos α＝－43. ∴sin2αsin α－cos α＝712.18．(12分)求证：2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α. 证明 左边＝2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α－sin 2α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos 2α－sin 2α＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α ＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α. ∴原等式成立．19．(12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值．解 (1)解法1：∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝7210. sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin π4 ＝7210×22＋210×22 ＝45.解法2：由题设得 22cos x ＋22sin x ＝210， 即cos x ＋sin x ＝15. 又sin 2x ＋cos 2x ＝1，从而25sin 2x －5sin x －12＝0， 解得sin x ＝45，或sin x ＝－35，因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以sin x ＝45.(2)∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35. sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425. cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3 ＝－24＋7350.20．(12分)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，c ＝(3，－1)，其中x ∈R .(1)当a ⊥b 时，求x 值的集合；(2)求|a －c |的最大值．解 (1)由a ⊥b 得a ·b ＝0，即cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝0，则cos2x ＝0，得x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，∴x 值的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π2＋π4，k ∈Z . (2)|a －c |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2－32＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 3x 2＋12 ＝cos 23x 2－23cos 3x 2＋3＋sin 23x 2＋2sin 3x 2＋1＝5＋2sin 3x 2－23cos 3x 2＝5＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－π3， 则|a －c |2的最大值为9.∴|a －c |的最大值为3.21．(12分)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 cm ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．解连接OC ，设∠COB ＝θ，则0°<θ<45°，OC ＝1. ∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－sin θ， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝(cos θ－sin θ)·sin θ＝－sin 2θ＋sin θcos θ＝－12(1－cos2θ)＋12sin2θ＝12(sin2θ＋cos2θ)－12 ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4－12. 当2θ－π4＝0，即θ＝π8时，S max ＝2－12(m 2)． ∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12 m 2.22．(12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值．解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx .所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx 2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12. 由于ω>0，依题意得2π2ω＝π.所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12. 所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16，π4≤4x ＋π4≤π2. 所以22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.。