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工程力学基础课件：第9章 弯曲刚度

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工程力学弯曲变形教学课件

工程力学弯曲变形教学课件

复合弯曲
构件在多个方向上的弯曲，如螺 旋弹簧。
特点
弯曲构件应力状态复杂，难以直 观描述。
弯曲变形的应用领域
建筑结构
如板材、梁、柱等结构的设计。
管道工程
例如油气管道的输送、变形与控制。
车辆工程
比如汽车、火车的车体、悬挂、轮轴等的设计。
机械制造
如转子、齿轮的制造及加工工艺的设计。
工程力Байду номын сангаас弯曲变形的研究方法
工程实例分析：高速铁路钢轨的弯曲变形
1 设计要求
2 轨道变形及寿命
3 分析方法
轨道线形和理论分析准确， 轨道表面平整，满足高速 列车的舒适性要求。
铁路轨道在使用过程中会 发生弯曲变形和垂向变形， 会影响轨道寿命和车辆行 驶安全。
载荷计算、应力分析、变 形分析、疲劳寿命分析、 几何形状优化等方法。
弯曲变形未来发展趋势
2 应用
纯弯曲在平面构件及杆件的弯曲变形分析有广泛应用，而复合弯曲则常见于薄壳结构的 变形分析。
工程力学对弯曲变形的判定准则
1
最大应力准则
理想的弯曲构件上，弯曲应力分布处，最大应力是许容应力的一定倍数。
2
最大应变准则
理想的弯曲构件上弯曲应变分布处，最大应变是许容应变的一定倍数。
3
能量方法
包括弯曲形态能、应变能等计算方法。
2 影响
材料弹性模量越大，弯曲变形的刚度越大；模量越小，刚度越小。
不同材料的弯曲特性
铝合金
木材
弯曲特性良好，重量轻，易加工， 耐腐蚀性能好。
弯曲特性较好，在建筑结构、家 具等领域有广泛应用。
钢材
弯曲特性相对较强，适用于制造 各种构件。
基础理论：欧拉梁理论

工程力学第九章

工程力学第九章

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9.4

梁的弯曲变形与刚度
2.
挠度和转角
(1) 挠度 是指梁轴线上的一点在垂直于轴线方向上的位移， 通常用y表示。

一般规定向上的挠度为正，向上的挠度为负。它的单位是mm。 (2) 转角 是指梁的各截面相对原来位置转过的角度，用θ 表
示。

一般规定，逆时针方向的转角为正，顺时针的转角为负。它 的单位是弧度(rad)或度(º)。
远的边缘处。其计算公式为
max

(2) 梁的正应力强度条件为
M max y max M max Iz Wz
M max ≤[σ ] Wz
下一页 返回
max
小

结

max
* FQ S z
(3) 梁横截面上的切应力与切应力强度条件 对矩形截面梁，横截面上的切应力计算公式为 其最大切应力在截面的中性轴上，计算公式为 梁的切应力强度条件为τ max≤[τ ]
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9.2


梁弯曲时正应力强度计算
梁弯曲时正应力强度计算
9.2
为了保证梁在载荷作用下能够正常工作，必须使梁具备足够 的强度。也就是说，梁的最大正应力值不得超过梁材料在单 向受力状态(轴向拉、压情况)下的许用应力值[σ ]，即 M max max ≤[σ ] （9.10） Wz 式(9.10)就是梁弯曲时的正应力强度条件。需要指出的是， 式(9.10)只适用于许用拉应力[σ l]和许用压应力[σ y]相等 的材料。如果两者不相等(例如铸铁等脆性材料)，为保证梁 的受拉部分和受压部分都能正常工作，应该按拉伸式
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My Iz
(9.4)

《工程力学》项目9平面弯曲

《工程力学》项目9平面弯曲

项目9 剪切与挤压
• 任务9.4 平面弯曲梁横截面上的应力 • 梁的横截面上只有弯矩而剪力为零的平面弯曲称为纯弯
曲，如图 9-20梁上CD段；而横截面上既有弯矩也有剪力 的平面弯曲称为横力弯曲或剪力弯曲，如图 9-20梁上AC、 DB段。
图 9-20
项目9 剪切与挤压
9.4.1纯弯曲时梁横截面上的应力 1.实验现象 2.假设及推理 • 研究纯弯曲时梁横截面上的应力，可
式（9-2），即可确定截面上的剪力和弯矩为
3
FS2
YA
qa 4
M2
YAa
3 qa2 4
项目9 剪切与挤压
• 3-3截面：将杆件截面右侧的所有的外力给屏蔽起来，如图
9-7（d）所示，取截面的左侧为研究对象，即可确定截面上
的剪力和弯矩为
FS3
YA
P
3 qa qa 4
1 4
qa
M3
YAa
P0
3 4
9-4（b）所示。 外伸梁：梁的支撑情况同简支梁，但梁的一端或两端伸出支座
之外，如图 9-4（c）所示。
图9-4
项目9 剪切与挤压
• 任务9.2 梁弯曲的内力
• 9.2.1梁弯曲内力——剪力和弯矩
• 根据力系的平衡条件，可确定在留 下部分的截面上的内力为平行于横 截面的剪力和作用在纵向对称面内 的内力矩即弯矩。根据平衡方程可 得剪力与弯矩的大小，即
• 为了直观清楚地显示沿梁轴线方向的各截面剪力和 弯矩的变化情况，可绘制剪力图和弯矩图。对剪力 图，正值画在轴线的上侧，负值画在轴线的下侧； 对弯矩图正值画在轴线的下侧，负值画在轴线的上 侧，即弯矩坐标正向向下。
项目9 剪切与挤压
• 【例 9-2】图 9-8（a）所示的简支梁受均布荷载作用，试 作其剪力图和弯矩图。

工程力学 9弯曲

工程力学 9弯曲

O
讨论： 惯性矩大于零
z
§A.3 惯性矩的平行移轴公式
组合截面的惯性矩
1.惯性矩的平行移轴公式 yc y 设有面积为A的任意形状的截面。 x xc dA C为其形心，Cxcyc 为形心坐标 yc xc 系。与该形心坐标轴分别平行 C 的任意坐标系为Oxy ,形心C在 y Oxy坐标系下的坐标为(a , b) 任意微面元dA在两坐标系 x 下的坐标关系为： O b
20
③计算静矩Sz(ω)和SzC(ω)
Sz ( ) A y C (0.1 0.02 0.14 0.02 0.103 0.494m 3 )
S zc ( ) Ai y C 0.1 0.02 0.047 - 0.02 0.14 0.033 1.6 10 6 m 3
（f)
纵向线应变在横截面范围内的变化规律
图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情
况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的 横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知 为

B1B B1 B y d AB1 O1O2 dx
(c)
令中性层的曲率半径为(如图c)，则根 1 d 据曲率的定义 有 dx y
切应力。
F
FS
M
F
M
C

C
F
A

Ⅰ. 纯弯曲时梁横截面上的正应力
计算公式的推导 (1) 几何方面━━ 藉以找出与横截面上正应力相对应 的纵向线应变在该横截面范围内的变化规律。 表面变形情况 在竖直平面内发生纯弯曲的梁(图a)：
(a)
1. 弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵 向直线段aa和bb(图b)，在梁弯曲后成为弧线(图a)，靠近梁

工程力学第9章 梁弯曲时的刚度计算

工程力学第9章 梁弯曲时的刚度计算
挠曲线

w

x
qx
F
x
9.1 挠曲线近似微分方程
9.1.2 挠度和转角的关系
◆挠曲线方程 ： w f x
w
挠曲线

w

x
qx
F
x
tan dw
dx
dw
dx
9.1.3 挠曲线近似微分方程
一、挠曲线的曲率公式
1M EI

1
x

M x
EI
d2w

1
x


6EI 2l
l 2
2l 2


l 2
2



11Fl3 96EI
未知约束力单独作用引起的B处挠度
wB FB

FB 2l 3
48EI

FBl 3 6EI
将上述结果代入式（b），得到补充方程
11Fl3 FBl3 0 96EI 6EI
w Mex x2 l2 6EIl
（c）
Me 3x2 l2 6EIl
（d）
（4）计算最大挠度与截面的转角
作出梁的弯矩图如下图所示，全梁弯矩为正。其最大 挠度处的转角为零。故由式（c）有
dw Me 3x2 l2 0 dx 6EIl
从而得最大挠度所在截面的坐标为
2
在集中力 F 单独作用下，大梁跨度中点C的挠度由教材表
7–1第5栏中查出为
wC
F


Fl 3 48EI
将以上结果叠加，即得在均布载荷 和q 集中力 的F 共同作用
下，大梁跨度中点C的挠度

工程力学第九章：梁的弯曲

工程力学第九章：梁的弯曲
a
A P B
求：距A端x处截面上内力。
解：①求外力
x
l
P
F 0, F 0 M 0 , F l Pa 0 F 0, F F P 0
x Ax A B y Ay B
FAx A
B
FAy
FB
Pa P(l a ) FAx 0, FB , FAy l l
车削工件也是平面弯曲的常
见实例。
火车轮轴：火车轮轴也是
工程中常见平面弯曲的实
例，其对应的强度条件和 刚度条件是什么？
桥式吊梁：此梁在车辆通过的时候如果弯曲变形过大，会引起 车辆通行困难，因此即使桥梁的强度是能够满足的，也要考虑 刚度条件，以满足通车需求。
解决任务的方法：
外力分析
取整体为研究对象，求解支座约束力。 截面法
x
③依方程画出剪力图和弯矩图
例 7 ：图示简支梁 C 点受集中力偶作
a
A Me C
b
B
用 ,试写出剪力和弯矩方程，并画出 剪力图和弯矩图。 解：①确定约束力
FB
x
x1
l
x2
FA
M＝0, F l M
A
e
0
FQ
Me /l
FA FB M e / l
②写出剪力和弯矩方程
AC
M
M eb / l
平面弯曲的概念及梁的简化 弯曲梁的剪力和弯矩 梁的剪力图和弯矩图 弯曲梁横截面上的正应力 梁横截面上的剪应力 弯曲梁的强度计算 提高梁弯曲强度的主要措施
第一节 平面弯曲的概念及梁的简化
一、平面弯曲的概念 1. 弯曲： 杆受垂直于轴线的外力或垂直于横截面的外力偶矩 的作用时，轴线由直线变成了曲线，这种变形称为弯曲。

第九章弯曲刚度


，有：K y 当 y 1
3、小挠度微分方程及其积分
M K y 方法一： EI
方法二：
1
d 2 M 2 dx EI
d dx
1
d d 2 dx dx
2
d d K ds dx
d 2 dx 1
2
M EI
挠度曲线近似微分方程。
M EI 1
在小变形情况下，轴向位移与挠度相 比为高阶小量，通常不考虑。
(x)
(x)
挠度与转角的关系： 如图：挠度 与转角的关系
x
x

(x)
d tan dx
挠度方程
小变形情况下： tan d dx
二、小挠度微分方程及其积分
1、弧微分
函数 f (x)在区间（a,b）上
0: 0: 0:
FAx 0 FAy FB FC ql 0 1 1 FAyl FB l ql 0 2 2
M
C
q A B
l 2
Cx
l 2
变形协调条件：
梁在C处的挠度必须为零。
由叠加原理：
q A B
l 2
C c (q) c ( FC ) 0
l 2
ql 5 3 3 3 7ql 4 ( l l ) 48EI 4 8 384 EI
C
l 2
x
1 3 q( l ) 1 1 ql 4 c 2 (q) B l 2 l 2 24 EI 2 384 EI
7ql 4 ql 4 6ql 4 c (q) c1 (q) c 2 (q) 384 EI 384 EI 384 EI 3 FC l l 2 l l FC l c ( FC ) ( 3l ) 12 EI 4 2 2 12 EI

工程力学课件 第九章 弯曲 挠度


A
工程力学教程电子教案
第 9章 弯 曲
23
M
1
E
y dA A
2
I z y 2d A
A
M EIz为抗弯刚度 EI z Ey My A E y Iz 公式的适用条件： (a) 几何方面：平面假设； (b) 物理方面：各纵向纤维间互不挤压，材料在线弹 性范围内工作，材料在拉伸和压缩时的弹性模量相 等。
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第 9章 弯 曲
33
7. 纯弯曲理论的推广 横力弯曲时，由于切应力的存在,梁的横截 面将发生翘曲。此外在与中性层平行的纵截面上, 还有由横向力引起的挤压应力。但工程中的梁, 当跨高比较大时，按纯弯曲理论计算误差不大。
max
M ( x) Wz
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第 9章 弯 曲
b
空心矩形的惯性矩？ 圆的惯性矩？
y
y z
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第 9章 弯 曲
27
思考题 9-3 如图所示，当梁在水平面内弯曲时，中性轴 是哪个轴？截面对此轴的惯性矩表达式是什么？
b
z y y
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第 9章 弯 曲
28
5. 轴惯性矩及抗弯截面系数 (1) 实心矩形的惯性矩及抗弯截面系数 3 bh I z y 2dA 12 A My Iz M ymax M l max a max Iz Wz 对中性轴z 的抗弯截面系数:
第 9章 弯 曲
30
(3) 实心圆截面的惯性矩及抗弯截面系数
4 π d 2 I P dA 32 A
2 y2 z2
I P ( y z )dA I y I z

名师讲义【赵堔】工程力学第9章扭转强度与刚度


d MTn x dx
GI p
AB 截面相对扭转角为：
l
d
l
MTn x dx
GI p
# 图示为变截面圆杆，A、B 两端直径分别为 d1、d2 。
从中取 dx 段，该段相邻两截 面的扭转角为：
d T dx
GI P (x)
AB 截面相对扭转角为：
d
T dx
L
L GI P ( x)
三、 扭转杆的刚度计算
圆管强度。
解：1. 计算扭矩作扭矩图
2. 强度校核
危险截面：截面 A 与 B
A
TA
2πR02d1
ml
2πR02d1
44.6
MPa [
]
ml
B
TB
2π 2
27.9
MPa [
]
圆管强度足够
例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径
d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m，
d
5、切应力的计算公式：
dA 对圆心的矩 → dAr0
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
T
2r0 2t
薄壁圆筒扭转时 横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质
1、剪切虎克定律
为扭转角 r0 l
l
r0 即
l
做薄壁圆筒的扭转试验可得 T
纵轴 T——
T
2r02t
核轴的刚度 解：1. 内力、变形分析
T1 MA 180 N m
AB
T1l GIp
1.5010-2
rad
T2 MC 140 N m

第9章-梁的弯曲变形与刚度计算


y
M
M
M＜0 w’’<0
O O
x
曲线向下凸 时： w’’>0, M＞0
因此, M与w’’的正负号相同。 y
M
M
w
M (x)
(1 w2 )32 EI
M＞0 w’’>0
x
w
(1
w2
)
3 2
M (x) EI
由于挠曲线是一条非常平坦的曲线, w'2远比1小, 可以略去不计, 于是上式可写成
w M (x) EI
转角(): 横截面 y
绕中性轴(即Z轴)转 A 过的角度（或角位 移）, 称为该截面 的 转 角 (Slope rotation angle) 。
F CBx
w(挠度)
C1
(转角)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
挠度和转角符号的规定：
挠度：在图示坐标系中, 向上为正, 向下为负。
转角： 逆时针转向为正,顺时针转向为负。
在这种情况下, 梁在几项载荷 (如集中力、集中力 偶或分布力)同时作用下某一横截面的挠度和转角, 就 分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠度和转角的 叠加。此即为叠加原理。
例1：一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示。
试按叠加原理求梁跨中点的挠度wC 和支座处横
截面的转角A ,B 。
q Me
解：将梁上荷载分为两项 A
C
B
简单的荷载。
l
wC wCq wCM
5ql4 M el2 384EI 16EI
A Aq AM
ql3 M el 24EI 3EI
B
Bq BM
ql3 M el 24EI 6EI
例2:试利用叠加法, 求图示抗弯刚度为EI的简支
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例：利用积分法求图示弯曲刚度为EI的梁B点的挠度 以及B点
左右两截面的相对转角。
q
Ax
l EI
B
EI l
Cx
y
解：坐标系如图，分AB、BC两段分析：
AB段： 0 x l M x 1 ql x2
2
则：
EIw1
M
x
1 2
ql
x2
积分可得：
EIw1
1 6
ql
x2
C1
EIw1
1 24
ql
x4
C1x
作用在该简支梁左半跨上的均布荷载可视为与跨中截 面C正对称和反对称荷载的叠加(图b)。
(a)
(b)
C
C
查表：
5q / 2l4 5ql4
wC1
384EI
768EI
A1
q / 2l3
24EI
ql 3 48EI
由对称性 wC2 0
将左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB分 别视为受集度为 q/2 的均布荷载 作用而跨长为 l/2 的简支梁。
D1
BC段：
A
l x 2l
M x 0
q
B
EI
C
l EI
l
则： EIw2 0
积分可得： EIw2 C2
EIw2 C2x D2
确定C1 、D1 、C2、D2四个常数：
（1）约束条件： a) x 0 时， w2 w2 0
由此可得：
C1
1 6
ql
3；D1
ql 4 24
b) x 2l 处， w2 0 则： 2lC2 D2 0
d 2w M (x)
dx2
EI
注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w" ，正弯矩对应 于负值的w" ，故得挠曲线近似微分方程
w M x
EI 梁的挠曲线二阶微分方程的适用性和近似性是什么？
Ⅱ、挠曲线近似微分方程的积分及边界条件
w M x
EI
求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为
EIw M x
EI
7ql 3 24EI
三、按叠加原理计算梁的挠度和转角
当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度和
转角均与梁上的荷载成线性关系。在此情况下，当梁上有若干荷载
或若干种荷载作用时，梁的某个截面处的挠度和转角就等于每个荷
载或每种荷载单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。这就是计
算梁的位移时的叠加原理(principle of superposition)。
适用条件
小变性条件（几何线性）
材料遵循胡克定律（物理线性）
P1
P2
小变性条件：计算P2的作用时，忽略P1的作用对几何尺寸的影响。
例题 试按叠加原理求图a所示等直梁的跨中截面挠度 wC 和两支座截面的转角θA 及 θB。
解：此梁 wC 及θA，θB 实际上可不按叠加原理而直接 利用本教材附录Ⅳ表中的公式得出。
利用边界条件确定上面二式中的积分常数C1、C2，即可得 梁的挠度方程和转角方程
积分法求解梁位移的思路：
① 建立合适的坐标系； ② 求弯矩方程M(x) ；
③ 建立近似微分方程： EIw M x
根据本书的规定坐标系，取负号进行分析。
④ 积分求 EIw 和 EIw;
⑤ 用约束条件或连续条件，确定积分常数； ⑥ 一般求极值可用数学方法，也可由挠曲线直接判别。
后进行积分，再利用边界条件确定积分常数。
边界条件包括支座处的约束条件和相邻两段梁在交 界处的连续条件
梁的约束条件(constraint condition)
固定和可动铰支座
固定端 滑动固定端
自由端
w=0 =~ FS= ~ M=0
w=0
=0
FS = ~
M= ~
w= ~ =0 FS =0 M= ~
w= ~ = ~ FS =0 M=0
（2）连续条件：x l 处， w1 w2
则： C1l D1 C2l D2
故：C2
1 8
ql 3
A
D2
1 4
ql 4
q
B
EI
C
l EI
l
最后可得：
wB
w1 xl
C1l D1 EI
ql3 8EI
（向下）
B点左右两截面的相对转角为：
B
w1 w2 xl
C1 C2 EI
8 ql3 1 ql3 68
第9章 弯曲刚度
一、梁的位移——挠度及转角 二、梁的挠曲线近似微分方程及其积分 三、按叠加原理计算梁的挠度和转角
四、梁的刚度校核.提高梁的刚度的措施
一、梁的位移——挠度及转角
梁的强度: 保证梁具有足够抵抗破坏的能力 梁的刚度: 保证梁不发生过大的变形
过大变形的危害 ➢例1：车床主轴变形过大，影响其加工精度。
位移条件
静力条件
梁的连续条件(continuity condition)
相邻梁段的交接处，相邻两截面应具有相同的挠度与转角， 即满足连续、光滑条件
EIy1 M1(x) EIy2 M 2 (x)
M1(x) RAx
a
M2(x) RAx P(x a)
位移的连续条件 y1(a ) y2 (a )
I、梁的(近似)挠曲线二阶微分方程
1M
EI 等直梁在线弹性范围内纯
弯曲情况下中性层的曲率
1 M (x)
(x) EI
1
x
1
w w2
3/ 2
式中，等号右边有正负号是因为曲率1/ρ为度量平面曲线(挠曲线) 弯曲变形程度的非负值的量，而w"是θ = w' 沿x方向的变化率， 是有正负的。
小变形条件： (1 w'2 )3/ 2 1
挠度和转角是度量梁弯曲变形的两个基本量
图示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩 Me也相等，显然它们的变形程度(也就是挠曲线的曲率大小)相 同，但两根梁相应截面的挠度和转角则明显不同。
在图示坐标系中，挠度w向 下为正，向上为负；顺时
针转向的转角为正，逆时 针转向的转角为负。
二、梁的挠曲线近似微分方程及其积分
1(a ) 2 (a )或y1(a ) y2 (a )
在梁的各部分挠曲线y连续，挠度y连续一阶导数连续（光滑）
积分法求梁的变形
对于等刚度梁，梁挠曲线的二阶微分方程可写为
Ely'' M (x)
对此方程连续积分两次，可得
Ely'(x) M (x)dx c1 力
➢例2：高层建筑上部变形过大，会使其中的居民产生不安全感。 几个重要概念：➢挠曲线 ➢挠曲线方程，即y=y(x) ➢挠度 ➢转角
挠曲线: 梁变形后的轴线，称为挠曲线
横截面的挠度w与横截面位置x有关，即w=f(x)为挠曲线方程。是一 条位于载荷平面内的光滑连续曲线
转角方程
tg y
横截面的形心在垂直于 横截面在xy平面的角位移，称为转角， 轴线（x轴）方向的线位 用θ表示。横截面的转角 也就是挠曲线 移，称为挠度，用y表示 在该相应点的切线与x轴之间的夹角