工程力学(静力学与材料力学)8弯曲刚度
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梁弯曲时的变形和刚度计算
4) 计算最大转角和最大挠度。 有了转角方程和挠曲线方程，可以利用高等数学中求极值的方 法得到最大转角和最大挠度。但一般地，根据梁的受力、边界条件 以及弯矩的正负就能绘出挠曲线的大致形状，从而确定最大转角和 最大挠度发生的位置。在本例中梁的挠曲线应为一上凸曲线，并在 固定端处与梁变形前的轴线相切。由此可知，梁的最大转角和最大 挠度都发生在自由端B处。
目录
弯曲\梁的变形及刚度计算
最大转角发生在支座A (或支座B )处，其值为
max
A
ql3 24EI
()
目录
弯曲\梁的变形及刚度计算
1.4 用叠加法求梁的变形
积分法是求梁变形的基本方法。这种方法的优点是可以求得梁 的转角方程和挠曲线方程，从而求得梁任一横截面的转角和挠度。 其缺点是运算过程比较繁复，特别当梁上荷载复杂时，尤为明显。
2EI 3 2
w q ( x4 lx3 ) Cx D 2EI 12 6
简支梁在铰支座处的挠度均为零，即
x=0，w=0； x=l，w=0
目录
弯曲\梁的变形及刚度计算
将这两个边界条件代入方程，得
C ql3 , D 0 24EI
3) 求转角方程和挠曲线方程。 将所得的积分常数C、D值方程，得转角和挠曲线方程分别为
l
a qa3
6EI
B
C
qa3 6EI
(
)
目录
弯曲\梁的变形及刚度计算
1.5 梁的弯曲刚度计算
在工程中，根据强度条件对梁进行设计后，往往还要对梁进行 刚度计算。梁的刚度条件为
wmax
max
w
式中：wmax、max——梁的最大挠度和最大转角；
[w]、——许用挠度和许用转角。根据梁的用途，其值可在
目录
弯曲\梁的变形及刚度计算
最大转角发生在支座A (或支座B )处，其值为
max
A
ql3 24EI
()
目录
弯曲\梁的变形及刚度计算
1.4 用叠加法求梁的变形
积分法是求梁变形的基本方法。这种方法的优点是可以求得梁 的转角方程和挠曲线方程，从而求得梁任一横截面的转角和挠度。 其缺点是运算过程比较繁复，特别当梁上荷载复杂时，尤为明显。
2EI 3 2
w q ( x4 lx3 ) Cx D 2EI 12 6
简支梁在铰支座处的挠度均为零，即
x=0，w=0； x=l，w=0
目录
弯曲\梁的变形及刚度计算
将这两个边界条件代入方程，得
C ql3 , D 0 24EI
3) 求转角方程和挠曲线方程。 将所得的积分常数C、D值方程，得转角和挠曲线方程分别为
l
a qa3
6EI
B
C
qa3 6EI
(
)
目录
弯曲\梁的变形及刚度计算
1.5 梁的弯曲刚度计算
在工程中，根据强度条件对梁进行设计后，往往还要对梁进行 刚度计算。梁的刚度条件为
wmax
max
w
式中：wmax、max——梁的最大挠度和最大转角；
[w]、——许用挠度和许用转角。根据梁的用途，其值可在
弯曲刚度公式
弯曲刚度公式
弯曲刚度是物理力学上用于评估弯曲模量，即弹性弯曲荷载和扭曲变形程度之间的相互关系的重要参数。
通常，当某一部件在受到载荷作用下发生扭转作用时，弯曲刚度计算公式便可以发挥作用，该公式可用来衡量材料的弯曲刚度的实际情况。
为了计算一个物体的弯曲刚度，根据力学原理，弯曲刚度的计算公式为:
EI=F·L/θ，其中EI为弯曲刚度，F为受力，L为横截面有效长度，θ为弯曲变形的
角度。
首先，计算弯曲刚度前，需要确定所使用的物质的材料性质。
除特殊情况（如拉伸杆的弯曲刚度）外，大多数材料的弯曲刚度计算直接需要对材料的弹性模量和横截面截面积进行精确的测量。
其次，根据施加的位移大小来测定横截面的变形量，参照有效长度，并采用角度值来表示，即θ=L/ρ，其中L为实际位移量，ρ为有效
长度。
最后，将上述参数代入公式EI=F·L/θ进行计算，即可得到模型的弯曲刚度。
需要注意的是，弯曲刚度的计算公式的有效性仅限于弹性物质和表面光滑的情况，若物质为粘弹性物质或形状不规则，弯曲刚度的计算公式仍需根据实际情况灵活运用。
综上所述，弯曲刚度是衡量材料弹性弯曲刚度的重要参数，用于评估力学弯曲模量之间的相互关系。
此外，根据不同情况，弯曲刚度的计算公式也有所差异。
因此，应根据材料性质及形状，正确使用弯曲刚度的计算公式，以获取最准确的结果，从而帮助分析研究的问题。
第八章 弯曲刚度详解
f (P1、P2、Pn ) f1(P1) f2 (P2 ) fn (Pn )
2、结构形式叠加（逐段刚化法）
结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明
L1
A
C
f L1
A 刚化AC段C
L1
A
C
+
=
L2
P
fB x
f f1 f2
L2
P 等价
B
L2
P
C
Bf1x
L2
P 等价
f L1
P L2
B
刚化BC段
A f
f L
max
、设计截面尺寸： (对于土建工程，强度常处于主要地位，刚
、设计载荷： 度常处于从属地位。特殊构件例外）
[例7] 图示木梁的右端由钢拉杆支承。已知梁的横截面为边长
a=200mm的正方形，均布载荷集度 q 40kN/m ，弹性模量
E1=10GPa ， 钢 拉 杆 的 横 截 面 面 积 A=250mm2 ， 弹 性 模 量 E2=210GPa，试求拉杆的伸长量及梁跨中点D处沿铅垂方向的位 移。
第八章 弯曲刚度
§8-1 弯曲变形与位移
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（为变形几何条件提供补充 方程）。
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用ω表示。
与 f 同向为正，反之为负。
C
v
f
C1
P
2.转角：横截面绕其中性轴转
x
动的角度。用 表示，顺时
Fy mA
RA RB RB l
F 0 F 1.5l
0
RRBA
0.5F 1.5F
2．内力分析：分区段列出梁的弯矩方程：
2、结构形式叠加（逐段刚化法）
结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明
L1
A
C
f L1
A 刚化AC段C
L1
A
C
+
=
L2
P
fB x
f f1 f2
L2
P 等价
B
L2
P
C
Bf1x
L2
P 等价
f L1
P L2
B
刚化BC段
A f
f L
max
、设计截面尺寸： (对于土建工程，强度常处于主要地位，刚
、设计载荷： 度常处于从属地位。特殊构件例外）
[例7] 图示木梁的右端由钢拉杆支承。已知梁的横截面为边长
a=200mm的正方形，均布载荷集度 q 40kN/m ，弹性模量
E1=10GPa ， 钢 拉 杆 的 横 截 面 面 积 A=250mm2 ， 弹 性 模 量 E2=210GPa，试求拉杆的伸长量及梁跨中点D处沿铅垂方向的位 移。
第八章 弯曲刚度
§8-1 弯曲变形与位移
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（为变形几何条件提供补充 方程）。
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用ω表示。
与 f 同向为正，反之为负。
C
v
f
C1
P
2.转角：横截面绕其中性轴转
x
动的角度。用 表示，顺时
Fy mA
RA RB RB l
F 0 F 1.5l
0
RRBA
0.5F 1.5F
2．内力分析：分区段列出梁的弯矩方程：
第 8 章 弯曲刚度解读
kN，a＝lm，l＝2 m，E=206 GPa，其他尺寸如图 所示。规定轴承B 处的许用转角θ =0.5°。
试：根据刚度要求确定该轴的直径d。
A
Fp
B
C
a
d
l
第 8 章
弯曲强度
A
Fp
弯曲刚度计算
B
C
a
d
l
解： 1．查表确定 B 处的转角 2．根据刚度设计准则确定轴的直径
3 4
FP la B＝－ 3EI
梁在竖直平面内弯曲时的抗弯刚度EI为已知。
A
x
F
l
B
x
MA FA
w
解：1. 建立坐标系 2. 求支反力 3. 列弯矩方程
FA F
M A Fl
M( x ) F( l x )
第 8 章
弯曲强度
小挠度微分方程及其积分
A
x
l
F
B
x
w
4. 建立挠曲线近似微分方程并积分 EIw( x ) F ( l x ) 2 x EIw( x ) EI F ( lx ) C 2 2 3 lx x EIw ( x ) F ( ) Cx D 2 6 5. 确定积分常数 边界条件 在x = 0 处 , θ = 0 , 求得：C = 0 ,
第 8 章
弯曲强度
简单静不定梁
q
A
a
q
B
a
C
A
a
C F Cy
B
a
6.相当系统：多余约束解除后，所得之受力与原静不 定梁相同的静定梁，称为原静不定梁的相当系统。
变形协 调方程
wC 0
wC 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
试：根据刚度要求确定该轴的直径d。
A
Fp
B
C
a
d
l
第 8 章
弯曲强度
A
Fp
弯曲刚度计算
B
C
a
d
l
解： 1．查表确定 B 处的转角 2．根据刚度设计准则确定轴的直径
3 4
FP la B＝－ 3EI
梁在竖直平面内弯曲时的抗弯刚度EI为已知。
A
x
F
l
B
x
MA FA
w
解：1. 建立坐标系 2. 求支反力 3. 列弯矩方程
FA F
M A Fl
M( x ) F( l x )
第 8 章
弯曲强度
小挠度微分方程及其积分
A
x
l
F
B
x
w
4. 建立挠曲线近似微分方程并积分 EIw( x ) F ( l x ) 2 x EIw( x ) EI F ( lx ) C 2 2 3 lx x EIw ( x ) F ( ) Cx D 2 6 5. 确定积分常数 边界条件 在x = 0 处 , θ = 0 , 求得：C = 0 ,
第 8 章
弯曲强度
简单静不定梁
q
A
a
q
B
a
C
A
a
C F Cy
B
a
6.相当系统：多余约束解除后，所得之受力与原静不 定梁相同的静定梁，称为原静不定梁的相当系统。
变形协 调方程
wC 0
wC 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第8章.弯曲刚度
16
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第8章 梁弯曲刚度 梁的小挠度微分方程及其积分
3 1 l EIq 2＝－ FP x 2＋ FP x－ C 2 8 2 4 3 1 EIw1 FP x 3 C1 x D1 EIw2＝－1 FP x 3＋ 1 FP x－ l C 2 x D2 8 8 6 4
据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和 C的转角分别为
3 FP l 3 wB 256 EI
18
7 FPl 2 qA 128 EI
5 FPl 2 qB － 128 EI
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第8章 梁弯曲刚度 梁的小挠度微分方程及其积分
例 题 2
已知：左端固定、右端自 由的悬臂梁承受均布载荷。均 布载荷集度为q ，梁的弯曲刚 度为EI 、长度为l。q、EI 、l 均已知。 求：梁的弯曲挠度与 转角方程，以及最大挠度 和最大转角。
14
l x l 4
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第8章 梁弯曲刚度 梁的小挠度微分方程及其积分
积分后，得
3 1 l 2 EIq 2＝－ FP x ＋ FP x－ C 2 8 2 4
3 EIq 1 FP x 2 C1 8
2
1 1 l 3 EIw2＝－ FP x ＋ FP x－ C 2 x D2 8 6 4
ql 3 C , 6 ql 3 D 24
24
dw x 0，q = 0 dx
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第8章 梁弯曲刚度 梁的小挠度微分方程及其积分
1 4 EIw q l x Cx D 24
工程力学(材料力学)8 弯曲变形与静不定梁
B
ql4 RBl3 0
8EI 3EI
q 约束反力为
B
RB
3 8
ql
RB
用变形比较法求解静不定梁的一般步骤：
（1）选择基本静定系，确定多余约束及反力。 （2）比较基本静定系与静不定梁在多余处的变形、确定 变形协调条件。 （3）计算各自的变形，利用叠加法列出补充方程。 （4）由平衡方程和补充方程求出多余反力，其后内力、 强度、刚度的计算与静定梁完全相同。
教学重点
• 梁弯曲变形的基本概念； • 挠曲线的近似微分方程； • 积分法和叠加法计算梁的变形； • 梁的刚度条件。
教学难点
• 挠曲线近似微分方程的推导过程； • 积分法和叠加法计算梁的变形； • 变形比较法求解静不定梁。
第一节 弯曲变形的基本概念
齿轮传动轴的弯曲变形
轧钢机（或压延机）的弯曲变形
例13-4 用叠加法求图示梁的 yC、A、B ，EI=常量。
M
P
解 运用叠加法
A
C
l/2
l/2
A
=
q
5ql4 Pl3 ml2
B
yC
384EI
48EI
16EI
A
ql3 24EI
Pl 2
16EI
ml 3EI
B
B
ql3 24EI
Pl2 16EI
ml 3EI
M
+
q
A
+
BA
B
二、梁的刚度条件
y max y,
A
max
A ql3
B
24EI
RA
q
A
θB
l
B θB RB
在梁跨中点 l /2 处有 最大挠度值
工程力学(静力学和材料力学)第2版课后习题答案 范钦珊主编 第8章 弯曲刚度
课
后 答
案
网
解：由挠度表查得：
FP al 180° × 3 EI π Wal 180° = ⋅ 3 EI π 20000 × 1 × 2 × 64 180° = ⋅ 3 × 200 × 109 × π d 4 π ≤ 0 .5 ° d ≥ 0.1117 m，取 d = 112mm。
θB =
ww w
6 ( 246 + 48) ×10 × 200 ×10 × π × 32 × 10−12
2
co
m
8—3 具有中间铰的梁受力如图所示。试画出挠度曲线的大致形状，并说明需要分几段 建立微分方程，积分常数有几个，确定积分常数的条件是什么？（不要求详细解答）
习题 8－3 图
后 答
案
网
习题 8－4 图
课
习题 8－4a 解图
解： (a)题 1.
wA = wA1 + wA 2
wA1 =
⎛l⎞ q⎜ ⎟ ⎝2⎠
87图示承受集中力的细长简支梁在弯矩最大截面上沿加载方向开一小孔若不考虑应力集中影响时关于小孔对梁强度和刚度的影响有如下论述试判断哪一种是正确的
eBook
工程力学
（静力学与材料力学）
习题详细解答
(第 8 章) 范钦珊 唐静静
课
后 答
案
网
2006-12-18
ww w
1
.k hd
aw .
co
m
（教师用书）
−3 9 4
(
.k hd
解：由挠度表查得 F ba 2 wC = P l − a 2 − b2 6lEI
(
)
习题 8－9 图
8
aw .
)
弯曲刚度文档
弯曲刚度1. 弯曲刚度的概念弯曲刚度是一个物体在受到弯曲力作用时抵抗弯曲变形的能力的量化指标。
它描述了物体在弯曲过程中的抗弯刚度，即物体受到一定弯曲力后，发生的弯曲程度与力的大小之间的关系。
2. 弯曲刚度的计算公式弯曲刚度可以通过以下的计算公式来表示：EI = M/f其中，EI 为弯曲刚度，M 是作用在物体上的弯矩，f 是物体所发生的弯曲程度。
3. 弯曲刚度的单位和量纲弯曲刚度的单位是 Nm²，它是由力的单位 N 乘以长度的单位 m 的平方得到的。
在 SI 系统中，弯曲刚度的单位可以简化为 Nm²。
4. 弯曲刚度与材料的关系弯曲刚度与材料的性质密切相关。
不同的材料具有不同的弯曲刚度，这取决于材料的组成和结构。
一般来说，材料的强度和刚度越高，它的弯曲刚度也越大。
5. 弯曲刚度的应用弯曲刚度在工程设计和材料选择中起着重要的作用。
在设计中，了解材料的弯曲刚度可以帮助工程师确定材料是否适用于特定的应力条件下。
此外，也可以通过调整材料的组成和结构来改变弯曲刚度，以满足特定的设计要求。
6. 弯曲刚度的影响因素弯曲刚度受到多种因素的影响，其中包括材料的性质、截面形状、截面尺寸、载荷大小等。
例如，增加物体的截面尺寸可以增加弯曲刚度；增加材料的刚度可以提高弯曲刚度。
7. 弯曲刚度的测试方法常用的测试方法包括悬臂梁法、三点弯曲法和四点弯曲法等。
这些方法都可以测量物体在不同的弯曲条件下的弯曲变形程度，从而计算出弯曲刚度。
8. 弯曲刚度与其他刚度指标的关系弯曲刚度与其他刚度指标，如剪切刚度和压缩刚度等相关，它们共同描述了物体在不同受力条件下的刚度表现。
这些刚度指标之间的关系可以用来评估材料的力学性能和应用范围。
9. 结论弯曲刚度是一个描述物体在受到弯曲力作用时抵抗弯曲变形的能力的指标。
它与材料的性质、截面形状和尺寸、载荷大小等因素密切相关，可以通过不同的测试方法来测量和计算。
了解和掌握弯曲刚度对于工程设计和材料选择具有重要意义，有助于优化设计和提高材料的力学性能。
材料力学 弯曲刚度
角B。
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
例题3
解：1.将梁上的荷载变 为三种简单的情形。
w Cw C 1w C 2w C 3
BB1B2B3
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
例题3
2.由挠度表查得三种情形下C
截面的挠度和B 截面的转角。
5 ql 4
w C 1 384
, EI
1 ql 4 w C 2 48 EI ,
×
×
√
×
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
5、积分法求解小挠度微分方程举例
例题1
左端固定、右端自由的 悬臂梁承受均布荷载。均布 荷载集度为q ，梁的弯曲刚度
为EI 、长度为l。q、EI 、l 均
已知。
求：梁的挠度与转角方程， 以及最大挠度和最大转角。
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
例题1
O
x w
o
x
M
M
o
M
x d2w M
M
dx2 EI
w
M
0,
d2w dx2
0
w
M
0,
d2w dx2
0
因此, M 与 w的正负号正好相反，所以
d2w M(x) dx2 EI （小挠度微分方程）
近似原因：（1） 略去了剪力的影响；（2）小挠度略去了 w2 项。
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
2. 小挠度微分方程的积分
6
EIw1qlx4CxD
24
C
ql3 ,
6
D ql3 24
5． 确定挠度与转角方程
w24qEIlx44l3xl4
q
6EI
lx3l3
6． 确定最大挠度与最大转角
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
例题3
解：1.将梁上的荷载变 为三种简单的情形。
w Cw C 1w C 2w C 3
BB1B2B3
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
例题3
2.由挠度表查得三种情形下C
截面的挠度和B 截面的转角。
5 ql 4
w C 1 384
, EI
1 ql 4 w C 2 48 EI ,
×
×
√
×
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
5、积分法求解小挠度微分方程举例
例题1
左端固定、右端自由的 悬臂梁承受均布荷载。均布 荷载集度为q ，梁的弯曲刚度
为EI 、长度为l。q、EI 、l 均
已知。
求：梁的挠度与转角方程， 以及最大挠度和最大转角。
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
例题1
O
x w
o
x
M
M
o
M
x d2w M
M
dx2 EI
w
M
0,
d2w dx2
0
w
M
0,
d2w dx2
0
因此, M 与 w的正负号正好相反，所以
d2w M(x) dx2 EI （小挠度微分方程）
近似原因：（1） 略去了剪力的影响；（2）小挠度略去了 w2 项。
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
2. 小挠度微分方程的积分
6
EIw1qlx4CxD
24
C
ql3 ,
6
D ql3 24
5． 确定挠度与转角方程
w24qEIlx44l3xl4
q
6EI
lx3l3
6． 确定最大挠度与最大转角
弯曲刚度
Fb (l 2 b2 )3
max 9 3EIl (
)
用叠加法求梁的变形
➢ 多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独 作用于结构而引起的变形的代数和。
(P1P2 Pn ) 1(P1) 2 (P2 ) n (Pn )
(P1P2 Pn ) 1(P1) 2 (P2 ) n (Pn )
EI2
Fb 6l
x3 2
F 6
( x2
a)3
C2 x2
D2
B B x
FBy
➢由边界条件确定积分常数
位移边界条件
x1 0, 1(0) 0 x2 l, 2 (l) 0
光滑连续条件
x1 x2 a, 1(a) 2 (a) x1 x2 a, 1(a) 2 (a)
代入求解，得
C1
C2
1 6
2
2
6
EI q l2x2 q4
➢ 确定积分常数
x 0, A 0 ; x 0, 0 ;
A
C0
D0 y
x
x
EI B
l
➢ 转角方程
ql3 6EI
(
x3 l3
3
x2 l2
3 x) l
➢ 挠度方程
ql 4 24EI
(
x4 l4
4
x3 l3
6
x2 l2
,B
ml 6EI
C
ml 2 16EI
力偶作用
端转角大
A
B
Pl 2 16 EI
C
Pl 3 48EI
A
B
ql3 24 EI
C
5ql 4 384EI
例:求图示梁AB端面的转角和C截面的挠度。
P m=Pl
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梁的小挠度微分方程及其积分
TSINGHUA UNIVERSITY
解： 2． 分段建立梁的弯矩方程
于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为
AB段M1x Nhomakorabea3 4
FP x
0
x
l 4
BC段
M2
x
3 4
FP x－FP
x－ l 4
l 4
x
l
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
M1
x
3 4
FP x
梁的小挠度微分方程及其积分
TSINGHUA UNIVERSITY
EIw' EI 1 q l x3 C
6
EIw 1 q l x4 Cx D
24
C ql3 , 6
D ql3 24
解： 5． 确定挠度与转角方程
w
q 24EI
l
x4
4l 3 x
l
4
q 6EI
l
x3
l
3
第8章 弯曲刚度
TSINGHUA UNIVERSITY
机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时 (图中虚线所示)，两齿轮的啮合处将产生较大的 挠度和转角，这就会影响两个齿轮之间的啮合， 以致不能正常工作。
同时，还会加大齿轮磨损，同时将在转动 的过程中产生很大的噪声。
此外，当轴的变形很大时，轴在支承处也 将产生较大的转角，从而使轴和轴承的磨损大 大增加，降低轴和轴承的使用寿命。
2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。
在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
第8章 弯曲刚度
d2w M dx 2 EI
d2w M dx2 EI
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
小挠度微分方程
采用向下的w坐标系，有
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d2w M dx2 EI
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
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小挠度微分方程
例题 1
已知：左端固定、右端自 由的悬臂梁承受均布载荷。 均布载荷集度为q ，梁的弯曲
刚度为EI 、长度为l。q、EI 、
l均已知。
求：梁的弯曲挠度与转角 方程，以及最大挠度和最大转 角。
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
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O
x
w
解：1．建立Oxw坐标系 建立Oxw坐标系（如图所示）。因为梁上作用有连续分
梁的曲率与位移 挠度与转角的相互关系 梁的位移分析的工程意义
第8章 弯曲刚度
梁的变形与梁的位移
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梁的曲率与位移
在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕 中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线， 这一曲线称为梁的挠度曲线（deflection curve）。
d2w M
dx2 EI
对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程
M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠
度方程与转角方程：
dw dx
l
M x
EI
dx
C
w
l
l
M x
EI
dx
dx
Cx
D
其中C、D为积分常数。
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
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布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即 无需分段。
2．建立梁的弯矩方程
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
解：2．建立梁的弯矩方程
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x
M(x)
FQ(x)
从坐标为x的任意截面处截开，因为固定端有两个约束 力，考虑截面左侧平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，所以 考虑右侧部分的平衡，得到弯矩方程：
在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：w=0，
θ＝0。
连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲 成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布
载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：w1= w2，θ1＝ θ2等等。
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
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范钦珊教育教学工作室
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清华大学 范钦珊
范钦珊教育与教学工作室
工程力学(静力学与材料力学）
课堂教学软件(4)
2020年6月3日
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工程力学（静力学与材料力学）
小挠度微分方程
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
小挠度微分方程
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力学中的曲率公式
1M
EI
数学中的曲率公式
d2w
1
dx 2
3
1
dw
2
2
dx
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
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小挠度微分方程
小挠度情形下
第8章 弯曲刚度
梁的变形与梁的位移
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在Oxw坐标系中，挠度与转角存 在下列关系：
dw tan
dx
在小变形条件下，挠度曲线较为
平坦，即很小，因而上式中tan。
于是有
dw
dx w＝ w（x），称为挠度方程（deflection equation）。
第8章 弯曲刚度
第8章 弯曲刚度
梁的变形与梁的位移
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梁的曲率与位移
根据上一章所得到的结果， 弹性范围内的挠度曲线在一点 的曲率与这一点处横截面上的 弯矩、弯曲刚度之间存在下列 关系：
1＝M
EI
第8章 弯曲刚度
梁的变形与梁的位移
挠度与转角的相互关系
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EIw' EI 1 q l x3 C
6
EIw 1 q l x4 Cx D
24
解： 4． 利用约束条件确定积分常数
固定端处的约束条件为： x 0，w 0 x 0， = dw 0 dx
C ql3 , 6
D ql3 24
第8章 弯曲刚度
第8章 弯曲刚度
梁的变形与梁的位移
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在工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不是 限制构件的弹性位移，而是希望在构件不发生强度 失效的前提下，尽量产生较大的弹性位移。例如， 各种车辆中用于减振的钣簧，都是采用厚度不大的 板条叠合而成，采用这种结构，钣簧既可以承受很 大的力而不发生破坏，同时又能承受较大的弹性变 形，吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，收到 抗振和抗冲击的效果。
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
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解： 3． 将弯矩表达式代入小挠 度微分方程并分别积分
EI
0
x
l 4
M2
x
3 4
FP x－FP
x－ l 4
l 4
x
l
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解： 3． 将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分
EI
d 2 w1 dx2
M1
x
3 4
FP x
0
x
l 4
EI
d 2 w2 dx2
＝－M 2
x
－
3 4
FP
x＋FP
x－
l 4
l 4
x
l
梁的小挠度微分方程及其积分
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w
q 24EI
l
x4
4l 3 x
l4
q 6EI
l
x3
l
3
解： 6． 确定最大挠度与最大转角
从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和 转角均为最大值。
于是，将 x = l，分别代入挠度方程与转角方程，得
到：
wmax
wB
ql 4 8EI
小挠度微分方程的积分与 积分常数的确定
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
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小挠度微分方程的积分与 积分常数的确定
积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是 指约束对于挠度和转角的限制：
在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于 零：w=0;
max
B
ql 3 6EI
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梁的小挠度微分方程及其积分
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例题 2
已知：简支梁受力如
图所示。FP、EI、l均为已
知。求：加力点B的挠度和
支承A、C处的转角。
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梁的小挠度微分方程及其积分
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解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。
第二篇 材料力学
第8章 弯曲刚度
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