2014年华师在线秋季《数学分析报告选论》在线作业

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福师《数学分析选讲》在线作业一试卷总分：100 测试时间：--单选题一、单选题（共 50 道试题，共 100 分。

）V1.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分2.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分3.A. AB. BC. CD. D满分：2 分4. 如图所示A.B.C.D.满分：2 分5.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分6.A.B.C.D.满分：2 分7.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分8.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分9.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分10. 题目如图A. 0B. 1C. 2D. 3满分：2 分11. 题面见图片A.B.C.D.满分：2 分12.题目如图A.B.C.D.满分：2 分13.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分14.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分15. 如图所示A.B.C.D.满分：2 分16.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分17. 如图所示A.B.C.D.满分：2 分18.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分19.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分20.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分21.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分22.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分23.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分24.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分25. 题面见图片A.B.C.D.满分：2 分26.A. AB. BC. CD. D满分：2 分27.A.B.C.D.满分：2 分28.A. AB. BC. CD. D满分：2 分29.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分30. 题面见图片A.B.C.D.满分：2 分31. 如图所示A.B.C.D.满分：2 分32.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分33.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分34.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分35.A. AB. BC. CD. D满分：2 分36.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分37.如题A. AB. BC. CD. D满分：2 分38.如题A. AB. B。

[0088]《数学分析选讲》 第一次作业[论述题]1346658460111.doc 《数学分析选讲》 第一次 主观题 作业一、判断下列命题的正误1. 若数集S 存在上、下确界，则inf su p S S ≤.2. 收敛数列必有界.3. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散. 4．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷.5．若一数列收敛，则该数列的任何子列都收敛. 二、选择题 1．设2,1()3,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩, 则 [(1)]f f =( ) .A 3- ；B 1- ；C 0 ；D 22．“对任意给定的)1,0(∈ε，总存在正整数N ，当N n ≥时，恒有2||2n x a ε-≤”是数列}{n x 收敛于a 的（ ）.A 充分必要条件；B 充分条件但非必要条件；C 必要条件但非充分条件；D 既非充分又非必要条件 3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（ ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个；C 必定有无穷多个 ；D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （ ）．A 收敛；B 发散；C 是无穷大；D 可能收敛也可能发散 5．设a x n n =∞→||lim ，则 （ ）A 数列}{n x 收敛；B a x n n =∞→lim ；C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散；D a x n n -=∞→lim ；6．若函数)(x f 在点0x 极限存在，则（ ） A )(x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值； B )(x f 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值； C )(x f 在0x 的函数值可以不存在；D 如果)(0x f 存在的话必等于函数值7．下列极限正确的是（ ） A 01lim sin1x x x →=； B sin lim 1x x x →∞=； C 1lim sin 0x x x→∞=； D 01lim sin 1x x x →=8． 1121lim21xx x→-=+（ ）A 0；B 1 ；C 1- ；D 不存在三、计算题1．求极限 902070)15()58()63(lim --++∞→x x x x .2．求极限 211lim()2x x x x +→∞+-. 3．求极限2n n →∞+++ .4．考察函数),(,lim )(+∞-∞∈+-=--∞→x n n n n x f xxxx n 的连续性.若有间断点指出其类型. 四、证明题设a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，且b a <. 证明：存在正整数N ，使得当N n >时，有n n b a <.参考答案：1346658460112.doc《数学分析选讲》第一次主观题作业答案一、判断题 1．（正确） 2．（ 正确 ） 3．（错误 ） 4．（ 正确 ） 5．（ 正确） 二、 选择题1、A2、A3、B4、B5、C6、C7、D8、D 三、计算题解 1、902070902070902070583155863lim )15()58()63(lim⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--++∞→+∞→x x x x x x x x2、211lim()2x x x x +→∞+=-21111lim 2211x x x x x x →∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭211lim 21xx x x →∞⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭2(4)21[(1)]lim 2[(1)]x x x x x→∞--+- 264e e e-==. 3、解：因2n ≤++≤+1n n==， 故 21n n →∞++=+。

华中师范大学职业与继续教育学院 《竞赛数学》练习题库及答案竞赛竞赛题库分四种类型题。

考试时一般在 （1）计算题中取2题，（2）代数证明中取2题，（3）几何证明中取1题（4）组合中取1题。

考试通常用6题，在（1），（2）两种题中取四题, 每题15分，在（3），（4）中各取1题，每题20分。

一． 计算题：1． 求使12-n 为7的倍数的所有正整数.n解 （1）n =3m 时，有)7(mod 123≡，故)7(mod 123≡m ，即 )7(mod 0123≡-m ， 所以，当n =3m 时，2n －1是7的倍数。

（2）当n =3m +1时，)7(mod 221222313≡⋅≡⋅≡+m m ，即 3121211(mod7)m +-≡-≡， 所以，当n =3m +1时，2n －1不是7的倍数。

（3）当n =3m +2时，)7(mod 4412222323≡⋅≡⋅≡+m m ，即 )7(mod 3141213≡-≡-+m ， 所以，当n =3m+2时，21n -不是7的倍数。

因此，满足条件的n 是所有3的倍数的正整数。

2． 设三角形的三边长分别是整数nm l ,,，且.n m l >>已知，其中][}{x x x -=，而[x ]表示不超过x 的最大整数，求这种三角形周长的最小值。

解 由于⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧444103103103n m l ，所以)10(mod 3334n m l ≡≡，于是)2(mod 3334n m l ≡≡，①)5(mod 3334n m l ≡≡， ②由于（3，2）=（3，5）=1，由①可知，).2(mod 1334≡≡--n m n l现在设u 是满足)2(mod 134≡u 的最小正整数，则对任意的满足431(mod 2)v ≡的正整数v 有u |v 。

事实上，若v 不能被u 整除，则由带余除法可知，存在非负整数a 和b 使得b au v +=，其中10-≤<u b ，从而可推得，43331(mod 2)b b au v +≡≡≡，显然，这与u 的定义矛盾，所以u |v .经计算可得，)2(mod 1344≡，从而可设k n m 4=-，其中k 为正整数。

1999年华南师范大学数学分析一、计算1、已知极限lim x→0∫u 2du √β+3uαx−sin x =2,其中α，β为非零常数，求α，β的值；2、求积分∫ln⁡(x +√1+x 2)dx ;3、函数u=u(x)由方程组u=f(x,y,z),g(x,y,z)=0,h(x,y,z)=0所确定，求dudx 4、求积分I=∬√x 2+y 2+(z+a)2∑其中a>0, ∑是以原点为中心，a 为半径的上半球面。

二、1、设数列{x n }收敛且x n >0(n =1,2,·····)，求证：lim n→∞√x 1x 2···x n n =lim n→∞x n ；2、若x n >0(n =1,2,····)，且lim n→∞x n+1x n存在，求证：lim n→∞√x n n =limn→∞x n+1x n；3、求lim√n ！n。

三．计算函数z =1−(x 2a 2+y 2b 2)在点P (√2√2)沿曲线x 2a 2+y 2b 2=1在此点的内法线方向上的导数。

四、设f （x ）在[a,b]上具有二阶连续导数，且f （a ）=f （b ）及|f’’(x)|≤M 对xϵ[a,b ],证明对一切x ∈[a,b ]有|f’(x)|≤M 2(b −a)。

五、若f x ，(x,y )在点(x 0，y 0)处存在，f y ，(x,y )在点(x 0，y 0)处连续，证明f (x,y )在(x 0，y 0)处可微。

六、证明∑x n ∞n=1(1−x)2在[0,1]上一致收敛。

七、设C 为位于平面x cos α+y cos β+z cos γ−1=0(cos α,cos β,cos γ 为平面之法线的方向余弦）上并包围面积为S 的按段光滑封闭曲线，求∮(z cos β−ycos γ)dx +(x cos γ−z cos α)dy +C (y cos α−x cos β)dz,其中C 是依正方向进行的。

《数学分析选讲》A/B 模拟练习题参考答案一、选择题：（共18题，每题3分） 1、下列命题中正确的是（ A B ）A 、若'()()F x f x =，则()F x c +是()f x 的不定积分，其中c 为任意常数B 、若()f x 在[,]a b 上无界，则()f x 在[,]a b 上不可积C 、若()f x 在[,]a b 上有界，则()f x 在[,]a b 上可积D 、若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上可积 2、设243)(-+=x x x f ，则当0→x 时，有（ B ） A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非是等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小3、若f 为连续奇函数,则()x f sin 为( A ) A 、奇函数 B 、偶函数C 、非负偶函数D 、既不是非正的函数,也不是非负的函数. 4、函数()f x 在[,]a b 上连续是()f x 在[,]a b 上可积的（ A ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要条件 D. 非充分也非必要条件. 5、若f 为连续奇函数,则()x f cos 为( B ) A 、奇函数 B 、偶函数C 、非负偶函数D 、既不是非正的函数,也不是非负的函数. 6、设arctan (),xf x x=则0x =是()f x 的（ B ） A. 连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点7、设+N ∈∃N ,当N n >时,恒有n n b a >,已知A a n n =∞→lim ,B b n n =∞→lim .则正确的选项是( A )A 、B A ≥ B 、B A ≠C 、B A >D 、A 和B 的大小关系不定.8、函数f(x,y) 在点00(,)x y 连续是它在该点偏导数都存在的（ A ） A.既非充分也非必要条件 B 充分条件 C.必要条件 D.充要条件 9、极限=+-∞→3321213limx x x ( D )A 、323B 、323-C 、323± D 、不存在.10、部分和数列}{n S 有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的( C )条件A. 充分非必要B. 必要非充分C.充分必要D.非充分非必要11、极限=⎪⎭⎫ ⎝⎛-→210sin lim x x x x ( A )A 、13e -B 、13e C 、3e - D 、不存在. 12、与lim n n x a →∞=的定义等价的是（ B D ）A 、0,ε∀> 总有n x a ε-<B 、0,ε∀> 至多只有{}n x 的有限项落在(,)a a εε-+之外C 、存在自然数N ，对0,ε∀>当n N >，有n x a ε-<D 、0(01),εε∀><<存在自然数N ，对,n N ∀>有n x a ε-< 13、曲线2211x x ee y ---+=( D )A 、没有渐近线B 、仅有水平渐近线C 、仅有垂直渐近线D 、既有水平渐近线, 也有垂直渐近线 14、下列命题中，错误的是（ A D ）A 、若()f x 在点0x 连续，则()f x 在0x 既是右连续，又是左连续B 、若对0,()f x ε∀>在[,]a b εε+-上连续，则()f x 在(,)a b 上连续C 、若()f x 是初等函数，其定义域为(,)a b ，0(,)x a b ∈，则00lim ()()x x f x f x →=D 、函数()y f x =在0x 点连续的充要条件是()f x 在0x 点的左、右极限存在且相等15、设{}n a 为单调数列，若存在一收敛子列{}j n a ，这时有（ A ） A 、j n j n n a a ∞→∞→=lim limB 、{}n a 不一定收敛 C 、{}n a 不一定有界D 、当且仅当预先假设了{}n a 为有界数列时，才有A 成立 16、设)(x f 在R 上为一连续函数，则有（ C ） A 、当I 为开区间时)(I f 必为开区间 B 、当)(I f 为闭区间时I 必为闭区间 C 、当)(I f 为开区间时I 必为开区间 D 、以上A,B,C 都不一定成立 17、下列命题中错误的是（ Ａ Ｃ ）A 、若lim 1nn nu v →∞=，级数1n n v ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛；B 、若(1,2)n n u v n ≤=，级数1n n v ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑不一定收敛；C 、若1n n u ∞=∑是正项级数，且,,N n N ∃∀>有11,n n u u +<则1n n u ∞=∑收敛； D 、若lim 0n n u →∞≠，则1n n u ∞=∑发散18、设 ∑∞=1n n u 为一正项级数，这时有（ D ）A 、若0lim =∞→n n u ,则 ∑∞=1n n u 收敛B 、若 ∑∞=1n n u 收敛，则1lim1<+∞→nn n u uC 、若 ∑∞=1n n u 收敛，则1lim <∞→n n n uD 、以上A,B,C 都不一定成立二、填空题：（共15题，每题2分） 1、设2sin cos cos 20x y y y -+=，则='=2πy y2或-2 2、n n n )11(lim -∞→=e 1 3、1)11(lim +∞→+n n n = e4、221lim 220---→x x x x = 2 5、设21(10)n n x ∞=-∑收敛，则lim n n x →∞= 106、121lim 221---→x x x x = 32 7、(,)limx y →=2 8、=-+→114sin limx xx89、设3()cos F x x '=，则=)(x F C xx +-3sin sin 3 10、设x y e =，则(2016)y = x e 11、幂级数1n n ∞=的收敛半径为 112、积分321421sin 21x xdx x x -++⎰的值为 0 13、曲线228y x x =--与x 轴所围成部分的面积为 3614、lim 1xx x x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭ 1e - 15、2222)0,0(),(lim y x y x y x +→= 0 三、计算题：（共15题，每题8分） 1、求⎰.222,2sin 2cos 2cos 4cos t t tdt t d t t t t tdt ===-=-+⎰⎰⎰⎰222cos 4sin 2cos 4sin 4sin t t td t t t t t tdt=-+=-+-⎰⎰=2x C - 2、将2()12xf x x x =+-展开成x 的幂级数，并指出其收敛域。

《数学分析选论》习题解答第 三 章 微 分 学１．考察||)(x x f xe =的可导性．解 写出)(x f 的分段表达式：⎩⎨⎧<-≥=.0,,0,)(x x x x x f xx e e它在0≠x 时的导数为⎩⎨⎧<+->+=';0,)1(,0,)1()(x x x x x f xx e e而当0=x 时，由于10lim )0(,10lim )0(00=-='-=--='+-→+→-x e x f x e x f x x x x ，因此f 在0=x 处不可导． □２．设⎩⎨⎧<+≥=.3,,3,)(2x b ax x x x f若要求f 在3=x 处可导，试求b a ,的值．解 首先，由f 在3=x 处必须连续，得到93=+b a ，或a b 39-=-．再由a x x a xb ax f x x =--=--+='--→→-3)3(lim 39lim)3(33，6)3(lim 39lim )3(323=+=--='++→→+x x x f x x ，又得939,6-=-==a b a ． □３．设对所有x ，有)()()(x h x g x f ≤≤，且)()(,)()()(a h a f a h a g a f '='==．试证：)(x g 在a x =处可导，且)()(a f a g '='．证 由条件，有)()()()()()(a h x h a g x g a f x f -≤-≤-，从而又有)()()()()()()(a x a x a h x h a x a g x g a x a f x f >--≤--≤--，)()()()()()()(a x ax a h x h a x a g x g a x a f x f <--≥--≥--．由于)()(a h a f '='，因此)()()()()(a h a h a f a f a f -+-+'='='='='，故对以上两式分别取-+→→a x a x 与的极限，得到)()()()()()(a h a g a f a h a g a f ---+++'='=''='='与． 于是有)()(a g a g -+'='，即证得)(x g 在a x =处可导，且)()(a f a g '='． □４．证明：若)(x f 在],[b a 上连续，且0)()(,0)()(>''==-+b f a f b f a f .，则存在点),(b a ∈ξ，使0)(=ξf ．证 如图所示，设0)(,0)(>'>'-+b f a f ．由极限保号性，在点a 的某一右邻域)(a U +内，使0)(0)()(>'⇒>-'-'x f a x a f x f ，∈'x )(a U +；同理，在点b 的某一左邻域内，有0)(0)()(<''⇒>-''-''x f bx b f x f ，∈''x )(b U -．最后利用连续函数)(x f 在],[x x '''上的介值性，必定),(),(b a x x ⊂'''∈ξ∃，使0)(=ξf ． □*５．设),(,)(b a x x f ∈，它在点),(0b a x ∈可导；{}{}n n y x 与是满足b y x x a n n <<<<0),2,1( =n ，且n n n n y x x ∞→∞→==lim lim 0的任意两个数列．证明：)()()(lim0x f x y x f y f nn n n n '=--∞→．证 先作变形：nn n n n n n n n n n n n n x x x f x f x y x x x y x f y f x y x y x y x f y f ----+----=--000000)()()()()()(..．由)(0x f '存在，故δ<-<>δ∃>ε∀||0,0,00x x 当时，有ε<'---<ε-)()()(000x f x x x f x f ．又由0lim lim x y x n n n n ==∞→∞→，故对上述0>δ，N n N >>∃当,0时，有δ<-<δ<-<n n x x x y 000,0．从而得到ε<'---<ε-)()()(000x f x y x f y f n n ，ε<'---<ε-)()()(000x f x x x f x f nn ．分别以正数n n n x y x y --0与nn nx y x x --0乘以上两式，并相加，又得到.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+--ε<'⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-----<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--ε-n n n n n n n n n n n n n n nn nn n n x y x x x y x y x f x y x x x y x y x y x f y f x y x x x y x y 000000000)()()(把它化简整理后，即为)()()()(0N n x f x y x f y f nn n n >ε<'---<ε-．从而证得结论：)()()(lim0x f x y x f y f nn n n n '=--∞→． □６．设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，通过引入适当的辅助函数，证明： （１）存在),(b a ∈ξ，使得)()(])()([222ξ'-=-ξf a b a f b f ；（２）存在),(b a ∈η，使得)0()()ln ()()(b a f a ba fb f <<η'η=-．证 （１）在一般形式的中值定理（ 定理 . ）中，令2)(x x g =，即得本题结论．（２）把欲证的式子改写成)(]ln ln [1])()([η'-=η-f a b a f b f ，且令x x g ln )(=，上式即为关于)(x f 与)(x g 所满足的一般中值公式． □７．证明推广的罗尔定理：若)(x f 在),(∞+∞-上可导，且l x f x f x x ==∞+→∞-→)(lim )(lim（ 包括)∞±=l ,则存在ξ，使得0)(=ξ'f ．证 关键在于证明存在两点b a ,，使)(a f )(b f =．为此任取一点0x ，使l x f ≠)(0（ 这样的点0x 若不存在，则0)()(≡'⇒≡x f l x f ）．如图所示，设l x f <)(0．由于l x f x =∞→)(lim ，因此对于02)(0>-=εx f l ，0>∃X ，当X x >||时，满足ε+<<ε-l x f l )(．现取X x X x >''-<',，并使x x x ''<<'0．由于)()(,)()(00x f l x f x f l x f ''<ε-<>ε->'，借助连续函数的介值性，必存在),(),(00x x b x x a ''∈'∈与，使得])([21)()(0x f l l b f a f +=ε-==． 于是由罗尔定理，存在),(b a ∈ξ，使得0)(=ξ'f ． □８．证明：若)(x f 和)(x g 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)(≠'x g ， 则存在),(b a ∈ξ，使得)()()()()()(ξ--ξ=ξ'ξ'g b g a f f g f ．证 令)()()()()()()(x g a f b g x f x g x f x --=ϕ，它在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且 )()()()(b g a f b a -=ϕ=ϕ．由罗尔定理，存在),(b a ∈ξ，使得0)()()()()()()()()(=ξ'-ξ'-ξ'ξ+ξξ'=ξϕ'g a f b g f g f g f ，即])()([)(])()([)(a f f g g b g f -ξξ'=ξ-ξ'．由于0)(≠ξ'g ，)()(ξ≠g b g （ 根据0)(≠'x g 和导函数具有介值性，推知)(x g '恒正或恒复，故)(x g 严格单调 ），因此可把上式化为结论式)()()()()()(ξ--ξ=ξ'ξ'g b g a f f g f ． □ *９．设),(,|)(|,|)(|20∞+∞-∈≤''≤x M x f M x f ．证明：202|)(|M M x f ≤'，),(∞+∞-∈x ．证 若02=M ，则可相继推出：B Cx x f C x f x f +=⇒≡'⇒≡'')()(0)(，再由0|)(|M x f ≤，可知0)(0≡'⇒=x f C ，结论成立．同理，当00=M 时结论同样成立．现设00>M ，02>M ．利用泰勒公式，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∈ξ∃202,M M x x ，使 )(421)(2)(222020ξ''+'+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+f M M x f M M x f M M x f .． 由此得到,42)(2)(2|)(|20220020202M M M M M M f M M x f M M x f x f M M =++≤ξ''--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='于是证得 200022421|)(|M M M M M x f =≤'.． □*１０．设)(x f 在],[b a 上二阶可导，0)()(='='-+b f a f ．证明：),(b a ∈ξ∃，使得|)()(|)(4|)(|2a fb f a b f --≥ξ''．证 将⎪⎭⎫⎝⎛+2b a f 分别在点a 与b 作泰勒展开：⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a f ＝⎪⎭⎫⎝⎛+∈ξ⎪⎭⎫ ⎝⎛-ξ''+2,,2!2)()(121b a a a b f a f ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a f ＝⎪⎭⎫⎝⎛+∈ξ⎪⎭⎫ ⎝⎛-ξ''+b b a a b f b f ,2,2!2)()(222， 以上两式相减后得到=-)()(a f b f [])()(221212ξ''-ξ''⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f a b ．设=ξ'')(f {})(,)(max21ξ''ξ''f f ，则有≤-)()(a f b f ())(2)()(2212212ξ''⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤ξ''+ξ''⎪⎭⎫ ⎝⎛-f a b f f a b ，于是证得结论： |)()(|)(4|)(|2a fb f a b f --≥ξ''． □*１１．设在],0[a 上有M x f ≤'')(，且)(x f 在),0(a 内存在最大值．证明： M a a f f ≤'+')()0(．证 设)(x f 在∈c ),0(a 取得最大值，则)(c f 也是一个极大值，故0)(='c f ．由微分中值公式得到),0(,)()0()()()0(111c f c c f c f f ∈ξξ''-=-ξ''+'='， ),(,)()()()()()(222a c f c a c a f c f a f ∈ξξ''-=-ξ''+'='；从而又有M c a f c a a f cM f c f )()()()(,)()0(21-≤ξ''-='≤ξ''='，由此立即证得 M a a f f ≤'+')()0(． □*１２．证明：若),(00y x f x '存在，),(y x f y'在点0P ),(00y x 连续，则),(y x f 在点0P 可微．证 =∆z -∆+∆+),(00y y x x f ),(00y x f =-∆+∆+),([00y y x x f ]),(00y x x f ∆+-∆++),([00y x x f ]),(00y x f ．因),(y x f y'在点0P 连续，故z ∆的第一部分可表为 -∆+∆+),(00y y x x f ),(00y x x f ∆+=y y y x x f y∆∆θ+∆+'),(00 =y y y x f y ∆β+∆'),(00（其中0lim 0=β→∆→∆y x ）；又因),(00y x f x '存在，故z ∆的第二部分可表为-∆+),(00y x x f =),(00y x f x x y x f x ∆α+∆'),(00（其中0lim 0=α→∆x ）．所以有=∆z +∆'x y x f x ),(00y x y y x f y∆β+∆α+∆'),(00， 而且由于)0,0(0||||22→∆→∆→β+α≤∆+∆∆β+∆αy x yx y x ，便证得),(y x f 在点0P 可微． □１３．若二元函数f 与g 满足：f 在点0P ),(00y x 连续，g 在点0P 可微，且0)(0=P g ，则g f .在点0P 可微，且)()()(000P g P f g f P d d =.．证 记g f h .=．由于g 在点0P 可微，根据定理３.４（必要性），存在向量函数[])(,)()(21P G P G P G =，它在点0P 连续，且满足.)()(,))(()()()(0000P G P g P P P G P g P g P g ='-=-=由此得到,)()()()()()()()()()()(00000P P P H P P P G P f P g P f P g P f P h P h -=-=-=-其中)()()(P G P f P H =在点0P 连续．仍由定理３.４（充分性），推知h 在点0P 可微，且因)()()()()()(000000P g P f P G P f P H P h '===，进一步证得)()()(000P g P f hg f P P d d d ==.． □１４．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=.)0,0(),(,0,)0,0(),(,),(222y x y x y x y x y x f证明：（１）f 在原点O )0,0(连续；（２）y x f f '',在点O 都存在； （３）y x f f '',在点O 不连续； （４）f 在点O 不可微．证 （１）若令θ=θ=sin ,cos r y r x ，则因0sin cos lim )sin ,cos (lim 20=θθ=θθ→→r r r f r r ，可知f 在0=r 处（即在点O 处）连续．（２） ⎪⎩⎪⎨⎧.0)0,0(),0(lim )0,0(,0)0,0()0,(lim)0,0(0=∆-∆='=∆-∆='→∆→∆yf y f f xf x f f y yx x（３）求出⎪⎩⎪⎨⎧≠≠+-=';)0,0(),(,0,)0,0(),(,)()(),(222222y x y x y x x y y y x f x⎪⎩⎪⎨⎧≠≠+='.)0,0(),(,0,)0,0(),(,)(2),(2223y x y x y x y x y x f y由于当0≠r 时,,sin cos 2)sin ,cos (,)cos sin (sin )sin ,cos (3222θθ=θθ'θ-θθ=θθ'r r f r r f y x它们都不随0→r 而趋于0( 随θ而异 )，因此yx f f '',在点O 都不连续． （４）倘若f 在点O 可微，则.)()0,0()0,0()0,0(),(22222y x o y x y x y f x f f y x f y x ∆+∆=∆+∆∆∆=∆'-∆'--∆∆但是当令θ=∆θ=∆sin ,cos r y r x 时，)0(0\sin cos )(22/3222→→θθ=∆+∆∆∆r y x y x ，所以f 在点O 不可微．□１５．设可微函数),(y x f 在含有原点为内点的凸区域D 上满足0),(),(='+'y x f y y x f x yx ． 试证：≡),(y x f 常数，D y x ∈),(．证 对于复合函数θ=θ==sin ,cos ,),(y r x y x f z ，由于,)0(0)(1sin cos ≠='+'=θ'+θ'=∂∂'+∂∂'=∂∂r f y f x rf f ry f r x f r z yx yx y x因此在极坐标系里f 与r 无关，或者说f 只是θ的函数（ 除原点外 ）．如图所示，2121,,OP OP D P P 与∈∀的 极角分别为21θθ与．若21θ=θ，则由上面 讨论知道)()(21P f P f =．若21θ≠θ，此时 利用f 在点O 连续，当动点P 分别沿半直线21θ=θθ=θ与趋向点O 时，f 在1θ=θ上的常值与在2θ=θ上的常值都应等于)(O f ．这就证得)()(21P f P f =，即≡),(y x f 常数，D y x ∈),(． □*１６．设二元函数),(y x f 在2ℜ上有连续偏导数，且)1,0()0,1(f f =．试证：在单位圆122=+y x 上至少有两点满足),(),(y x f x y x f y yx '='． 证 在单位圆1=r 上，记π≤θ≤θθ=θϕ20,)sin ,cos ()(f ．由于y xf f ''与连续，故f 可微，一元函ϕ也可微． 已知)2()1,0()0,1()0(πϕ===ϕf f ，由罗尔定理，)2,0(1π∈θ∃，使得0)(1=θϕ'．同理，由)2()2(πϕ=πϕ，)2,2(2ππ∈θ∃，使得0)(2=θϕ'．而y x yx f x f y f r f r r r f '+'-='θ+'θ-=θθθ∂∂cos sin )sin ,cos (， 1)()(='+'-=θϕ'r yx f x f y ，故在1=r 上存在两点)sin ,cos ()sin ,cos (222111θθθθP P 和，满足2,1,)()(='='i P f x P f y i y i x． □ １７．证明：（１）若),(y x f 在凸开域D 上处处有0),(),(='='y x f y x f y x，则≡),(y x f 常数，D y x ∈),(；*（２）若),(y x f 在开域D 上处处有0),(),(='='y x f y x f y x ，则同样有≡),(y x f 常数，D y x ∈),(．证 （１）由于D 为凸开域，因此D y x y x ∈∀),(,),(21，联结这两点的直线段必含于D , 根据§３.５的例１０知道),(y x f 与x 无关；类似地，),(y x f 又与y 无关．这样，f 在D 上各点处的值恒相等．（２）当D 为一般开域时（ 如图 ），D Q P ∈∀,,必存在一条全含于D 内、联结Q P ,两点的有限折线．又因这条折线上 的点全为D 的内点，故在每一点处有一邻域含于D限个邻域所覆盖．在这每一个邻域内，由（１）已知≡),(y x f 常数，而相邻两个邻域之交非空，故经有限次推理，可知)()(Q f P f =．由Q P ,在D 内的任意性，这就证得在整个D 上≡),(y x f 常数． □ １８．证明：若),(y x f 存在连续的二阶偏导数，且令θ+θ=θ-θ=cos sin ,sin cos v u y v u x（ 其中θ为常量 ），则在此坐标旋转变换之下，yy xxf f ''+''为一形式不变量，即 vv uu yy xxf f f f ''+''=''+''． 证 由条件，x y y xf f ''=''，且有 ⎩⎨⎧θ'+θ'-=''+''='θ'+θ'=''+''=';cos sin ,sin cos y x v y vx v y x u y ux u f f y f x f f f f y f x f f⎪⎩⎪⎨⎧θ''+θθ''-θ''=''θ''+θθ''+θ''=θ'''+'''+θ'''+'''=''.2222cos cos sin 2sin ,sin cos sin 2cos sin )(cos )(y y y x x x vv y y y x x x u y y u x y u y x ux x u u f f f f f f f y f x f y f x f f 由此容易推至结论 vv uu yy xxf f f f ''+''=''+''成立． □ *１９．设2ℜ⊂D 为一有界闭域，),(y x f 在D 上可微，且满足),(),(),(y x f y x f y x f yx ='+'． 证明：若f 在D ∂上的值恒为零，则f 在D 上的值亦恒为零．证 由于f 在D 上可微，D 为有界闭域，因此f 在D 上存在最大值和最小值，分别设为)()(21P f m P f M ==和．如果D P int 1∈，则)(1P f 为一极大值，故满足0)()(11='='P f P f y x，由条件， 0)()()(111='+'==P f P f P f M yx ； 如果D P int 2∈，则)(2P f 为一极小值，同理有0)(2==P f m ；如果M 与m 都在D 的内部取得，则有0==m M ；如果D P P ∂∈)(21或，则由条件又使M 0)(=m 或．综上，在任何情形下恒有D y x y x f m M ∈≡⇒==),(,0),(0． □２０．设),(v u f 为可微函数．试证：曲面0),(=--by z ay x f 的任一切平面恒与某一直线平行．证 由于f 可微，因此该曲面在其上任一点处的法向量为()v v u u f f b f a f z f y f x f n ''-'-'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=,,,, ．又因0=l n .，其中),1,(b a l = ，所以上述法向量n 恒与常向量l 正交．这说明以n为法向量的切平面恒与以l为方向向量的直线相互平行． □２１．证明：以λ为参数的曲线族)(122b a b y a x >=λ-+λ- 是相互正交的（ 当相交时 ）．证 设曲线族中当21,λλ=λ时所对应的两条曲线相交，则应满足2,1,122==λ-+λ-i b y a x ii ；将此二式相减，经整理得到0))(())((221221=λ-λ-+λ-λ-y a a x b b ．另一方面，此二曲线在交点),(y x 处的法向量分别为2,1,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛λ-λ-=i b y a x n i i i ． 由于,0))()()(())(())((,,2121221221221121=λ-λ-λ-λ-λ-λ-+λ-λ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λ-λ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λ-λ-=b b a a ya a xb b b y a x b ya x n n ..因此这两条曲线在交点),(y x 处互相垂直． □２２．设nD ℜ⊂为凸集，ℜ→D f :为凸函数．证明：（１）对任何正数f αα,是D 上的凸函数；（２）若g 也是D 上的凸函数，则g f +仍是D 上的凸函数；（３）若h I D f ,)(⊂是I 上的凸函数，且递増，则f h 亦为D 上的凸函数． 证 （１）据凸函数定义，)1,0(,,∈λ∀∈∀D y x ，有)()()1())1((x f x f y x f λ+λ-≤λ+λ-．以α乘之，得)()()1())1((x f x f y x f αλ+αλ-≤λ+λ-α，此即表示f α亦满足凸函数定义．（２）由)()()1())1((x f x f y x f λ+λ-≤λ+λ-， )()()1())1((x g x g y x g λ+λ-≤λ+λ-，两式相加后得到)()()())(1())1(()(x g f x g f y x g f +λ++λ-≤λ+λ-+，此即表示g f +亦为D 上的凸函数．（３） 由)()()1())1((x f x f y x f λ+λ-≤λ+λ-，以及h 为递増凸函数，得到,))(())(()1())()()1(()))1(((y f h x f h x f x f h y x f h λ+λ-≤λ+λ-≤λ+λ-或者写成,)()()()()1()))1(()(y f h x f h y x f h λ+λ-≤λ+λ-此即表示f h 亦为D 上的凸函数． □２３．设)0()()(>=x xx f x F ，其中)(x f 在),0[∞+上为非负严格凸函数，且 0)0(=f ．试证：)(x F 与)(x f 都是严格递増函数．证 由条件，0)0()()()(--==x f x f x x f x F ．)0(,2121x x x x <<∀，因为)(x f 为严格凸函数，根据严格凸函数的充要条件（ 定理 ），有)0()(0)0()(2211--<--x f x f x f x f ，而这就是)()(21x F x F <，所以)(x F 是严格递増函数． 又因0)()()()(])()([1121122121>-=->-x F x F x x f x x f x f x f x ， 所以)()(12x f x f >，即)(x f 也是严格递増函数． □２４． 证明定理３.１３的推论１和推论２．证 这里要证明的是：若f 在开区间I 上为凸函数，则 （１）f 在I 中每一点处都连续；（２）f 在I 中每一点处的左、右导数都存在． 现分别证明如下——（１）由定理３.１３，f 在任何I ⊂βα],[上满足利普希茨条件⇒f 在],[βα上一致连续⇒f 在],[βα上连续⇒f 在I 上处处连续．（２）I x ∈∀0，设)0()()()(00>-+=h hx f h x f h F ．由定理３.１２，知道)(h F 为递増函数．另一方面，因I 为开区间，必存在,1I x ∈使01x x <，于是又有)()()(1010h F x x x f x f ≤--，这说明)(h F 有下界．综合起来，根据关于函数极限的单调有界定理，存在右导数)()(lim 00x f h F h ++→'=． 同理可证存在左导数)(0x f -'． □ （ 注：如果先证得)(0x f -'与)(0x f +'都存在，则立即知道f 在点0x 既是左连续，又是右连续，从而f 在点0x 连续．由0x 在I 中的任意性，便证得f 在I 中处处连续．）２５． 证明定理３.１４的推论１和推论２．证 这里要证明的是：（１）若f 在区间I 上二阶可导，则有f 在I 上为凸函数I x x f ∈≥''⇔,0)(；（２）若f 在区间I 上是一可微的凸函数，则有I x ∈0是f 的极小值点0)(0='⇔x f ．现分别证明如下——（１）当f ''存在时，已知I x x f I x x f ∈'⇔∈≥'',)(,0)(递増．据定理３.１４（ⅱ），f '在I 上递増⇔f 在I 上为凸函数，故结论得证．（２）其中“⇒”已由费马定理所保证，这里只要证明“⇐”． 由0)(0='x f ，根据定理３.１４（ⅲ），对一切I x ∈恒有)()()()()(0000x f x x x f x f x f =-'+≥，因此)(0x f 是)(x f 在I 上的最小值．由)(0x f '存在，说明0x 是I 的一个内点，所以)(0x f 是)(x f 在I 上的一个极小值． □２６．用凸函数方法证明如下不等式： （１）对任何,,b a 恒有 )(212b aba e e e +≤+； （２）对于b a ≤≤0，恒有b a ba arctan arctan 2arctan2+≥+． 证（１）设x x f e =)(，由于0)(>=''xx f e ，因此)(x f 为凸函数．故对=λλ-=121，有 [])()(212b f a f b a f +≤⎪⎭⎫⎝⎛+， 即)(212b aba e e e +≤+． （２）设x x f arctan )(=，由于)0(0)1(2)(,11)(222≥≤+-=''+='x x x x f xx f ，因此在),0[∞+上)(x f 为凹函数．故对=λλ-=121，有 []b a b f a f b a f ≤≤+≥⎪⎭⎫⎝⎛+0,)()(212，即 b a ba arctan arctan 2arctan2+≥+． □ ２７．设ABC ∆为正三角形，各边长为a ；P 为ABC ∆内任一点，由P 向三边作垂线，垂足为F E D ,,．试求点P ，使DEF ∆的面积为最大；并求此最大面积．解 如图所示，记x PD =||，y PE =||，z PF =||．因ABC ∆为正三角形，故32π=∠=∠=∠F P D E P F D P E ， 所以DEF ∆的面积为.)(43)(3sin 21x z z y y x x z z y y x S S S S PFDPEF PDE ++=++π=++=∆∆∆ 再由ABC PAB PCA PBC S S S S ∆∆∆∆=++，得约束条件为a z y x a z y x a23,43)(22=++=++即． 借助 乘数法，令,000,)23(z y x x y L z x L z y L a z y x x z z y y x L z y x ==⇒⎪⎭⎪⎬⎫=λ++='=λ++='=λ++='-++λ+++=由此求得..2216363343max 63233a a S a z y x a x z y x DEF =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒===⇒==++∆□（２８）在平面上有一个ABC ∆，三边长分别为c AB b CA a BC ===,,．以此三E FCyABDPxz角形为底，h 为高，可作无数个三棱锥，试求其中侧面积为最小者．解 如图所示，三棱锥ABC H -的高为h HO =．在ABC ∆中，由点O 作三条边的垂线：AB OF CA OE BC OD ⊥⊥⊥,,，并记z OF y OE x OD ===||,||,||．于是三棱锥ABC H -的侧面积为 222222212121h z c h y b h x a S +++++=；而约束条件为02S S z c y b x a ABC =⨯=++∆， 其中.)2()()()(c b a p c p b p a p p S A B C++=---=∆由 乘数法，设)(0222222S z c y b x a h z ch y b h x aL -++λ-+++++=，并令⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+---='=λ-+='=λ-+='=λ-+='λ.0,0,0,00222222S z c y b x a L c hz zc L b h y y b L a hx x a L zy x由此易得λ=+=+=+222222hz z hy y hx x ．根据实际意义，侧面积无最大值，有最小值．上式表示HFO HEO HDO ∠=∠=∠，这说明侧面积的最小值发生在三侧面与底面成等角的情形．由此式又可解出pc p b p a p p z y x )()()(---===，此时O 适为ABC ∆的内心，并求得BCHOAE h DFxy z,)()()()(212222min h p c p b p a p p h x c b a S +---=+++=其中 )(21c b a p ++=． □ ２９．试用条件极值方法证明不等式：nn n y x y x ⎪⎭⎫⎝⎛+≥+22，其中n 为正整数，0,0≥≥y x ．证 设目标函数为nn y x y x f +=),(，约束条件为a y x 2=+．用 乘数法，令.a y x a x y x y x y n L xn L a y x y x L n y n x n n ====+⇒=⇒⎪⎭⎪⎬⎫=λ+='=λ+='-+λ++=--,22,00,)2(11当动点沿直线a y x 2=+无限趋近端点)0,2(,)2,0(a a 时，≥→na y x f )2(),(n a a a f 2),(=，故n a a a f 2),(=是条件最小值．于是有不等式：nnnny x a y x y x f ⎪⎭⎫⎝⎛+=≥+=22),(，即证得 nn n y x y x ⎪⎭⎫⎝⎛+≥+22成立. □*３０．设n i x b a i i i ,,2,1,0,0,0 =≥≥≥；1,1-=>p pq p ； ∑==ni i i n x a x x x f 121),,,( ，（Ｆ１）11=∑=ni pix ． （Ｆ２）（１）求在条件（Ｆ２）的约束下，目标函数（Ｆ１）的最大值；（２）由以上结果，导出赫尔德不等式：pni ip q ni q i ni i i b a b a 11111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤∑∑∑===． （Ｆ３）证（１）设 函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-λ-=∑∑==111n i p i ni i i x p x a L ．由n i x a x Lp i i i,,2,1,01 ==λ-=∂∂-可解出 n i a x i p i,,2,1,1=λ=-．令1-=p pq ，对上式两边取q 次幂，得 n i a x qi p i,,2,1, =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λ=； 由条件（Ｆ２），又得qn i q i n i qi q ni pia a x 111111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λ⇒=λ=∑∑∑===．由此求得;.n i a a a a a a x pn i q ip i p q n i q i p i p i pq i i,,2,1,111111111111=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λ=-=---=--*∑∑并有qn i q i pni q i n i q i ni i i na a a x a x x f1111111),,(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑∑∑=-===*** ． （Ｆ４）设由（Ｆ２）所表示的集合为D ，D 的边界为（Ｆ２）与),,2,1(0n i x i ==的交线．由对称性，只需考虑0=n x 一种情形．因为qn i q i qn i q i a a 11111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑=-=，所以（Ｆ４）所示即为f 在D 上的最大值．这就得到D x x pq a x a n qni q i ni i i ∈=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑==),,(,111,1111 ． （Ｆ５） （２） 在不等式（Ｆ５）中，令n i b b b x i p n i pi i i ,,2,1,0,11 =≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=∑，这样的i x 满足条件条件（Ｆ２），代入（Ｆ５）后，即得赫尔德不等式（Ｆ３）． □ 补充说明：赫尔德不等式也可以用凸函数方法（詹森不等式）来求得——考虑函数qxx f 1)(=．由于0)11(1)(,1)(2111<-=''='--q q x q q x f x q x f ，因此)(x f 在0>x 时为凹函数．根据詹森不等式，对于∑==λ>λ>ni i i i x 1)1(0,0，n i ,,2,1 =，有qn n qn n qx x x x 1111111)(λ++λ≤λ++λ ．取n i a a a b x nni p i pi i pi qii ,,2,1,, ==λ=∑=，代入上式得：()()q n i p i qn i q i qp nqnpnqp qp ni pia b a b a a b a a 11111111111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++∑∑∑=== ． 因111=+qp ，故1=-q p p ，于是上式左边可化为40 / 21 ∑∑=--=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++n i p i n n q p pn n q pp n i pi a b a b aa ba b a 11111111 ．从而证得qn i i q p n i p i q n i p i qn i i q n i p i n i i i b a a b a b a 1111111111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑∑∑∑======.．显然，此式中交换i a 与i b ，即为（Ｆ３）．由于上述δ只与ε有关，因此f 在D 上一致连续． □。