高中物理圆周运动和向心加速度专题讲解

圆周运动和向心加速度【要点梳理】要点一、圆周运动的线速度 要点诠释：1、线速度的定义：圆周运动中，物体通过的弧长与所用时间的比值，称为圆周运动的线速度。

公式：tlv ∆∆=（比值越大，说明线速度越大） 方向：沿着圆周上各点的切线方向 单位：m/s 2、 说明1）线速度是指物体做圆周运动时的瞬时速度。

2）线速度的方向就是圆周上某点的切线方向线速度的大小是tl∆∆的比值。

所以v 是矢量。

3）匀速圆周运动是一个线速度大小不变的圆周运动。

4）线速度的定义式tlv ∆∆=，无论是对于变速圆周运动还是匀速圆周运动都成立，在变速圆周运动中，只要t ∆取得足够小，公式计算的结果就是瞬时线速度注：匀速圆周运动中的“匀速”二字的含义：仅指速率不变，但速度的方向（曲线上某点的切线方向）时刻在变化。

【典型例题】类型一、描述匀速圆周运动的各个物理量例1、一个直径为1.4m 的圆盘以中心为轴匀速转动，转速为2转/秒，求圆盘边缘一点的线速度、角速度、周期和向心加速度。

例2、 (2015 海南会考模拟)如图所示，钟表的秒针、分针、时针转动周期、角速度都不同，下列说法中正确的是（ ）A ．秒针的周期最大，角速度最大B ．秒针的周期最小，角速度最大C ．时针的周期最大，角速度最大D ．时针的周期最小，角速度最大 【解析】时针的周期是12h ，分针的周期是1h ，秒针的周期是1min ，秒针的周期最小，根据2Tπω=可知秒针的角速度最大，故A 错误B 正确；时针的周期是12h ，分针的周期是1h ，秒针的周期是1min ，时针的周期最大，根据2Tπω=可知时针的角速度最小，故CD 错误。

【变式】电风扇叶片边缘一点的线速度为56.7m/s ，若它转动半径为18cm ，求电扇转动的角速度和周期。

【解析】根据线速度与角速度的关系r v ω=得)s (02.022)rad/s (315=====v rT T rv rv ππω所以又因为要点二、描写圆周运动的角速度 要点诠释：1、角速度的定义：圆周运动物体与圆心的连线扫过的角度θ∆与所用时间t ∆的比值叫做角速度。

公式：t∆∆=θω单位：rad s /(弧度每秒) 2、说明：1)这里的θ∆必须是弧度制的角。

2）对于匀速圆周运动来说，这个比值是恒定的，即匀速圆周运动是角速度保持不变的圆周运动。

3）角速度的定义式t∆∆=θω，无论是对于变速圆周运动还是匀速圆周运动都成立，在变速圆周运动中，只要t ∆取得足够小，公式计算的结果就是瞬时角速度。

4)关于ω的方向：中学阶段不研究。

5）同一个转动的物体上，各点的角速度相等例如：木棒以它上面的一点为轴匀速转动时，它上面的各点与圆心的连线在相等时间内扫过的角度相等。

即：3、关于弧度制的介绍(1)角有两种度量单位：角度制和弧度制(2)角度制：将一个圆的周长分为360份，其中的一份对应的圆心角为一度。

因此一个周角是3600，平角和直角分别是1800和900。

(3)弧度制：定义半径长的弧所对应的圆心角为一弧度，符号为rad 。

一段长为l ∆的圆弧对应的圆心角是rl∆=∆θ rad, θ∆=∆r l(4)特殊角的弧度值：在此定义下，一个周角对应的弧度数是：()rad rrππθ22==；平角和直角分别是2ππ和 （rad ）。

（5）同一个角的角度α和用弧度制度量的θ之间的关系是：παθ180=rad ,0180⨯=πθα类型二、向心加速度的计算例3、在长20cm 的细绳的一端系一个小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以5m/s 的速度在桌面上做匀速圆周运动，求小球运动的向心加速度和转动的角速度。

【解析】由题意可知s m v m r /5,20.0==根据向心加速度的计算公式222512502025=====v a m /s r .v,rad /srωω向由可得角速度：要点三、匀速圆周运动的周期与转速 要点诠释：1、周期的定义：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期，单位：s 。

它描写了圆周运动的重复性。

2、周期T 的意义：不难看到，周期是圆周运动的线速度大小和方向完全恢复初始状态所用的最小时间；周期长说明圆周运动的物体转动得慢，周期短说明转动得快。

观察与思考：同学们看一看你所戴的手表或者墙上钟表上的时、分、秒针，它们的周期分别是多少？想一想角速度和周期的关系如何？（秒针的周期最小，其针尖的线v 最大，ω也最大。

）3、匀速圆周运动的转速转速n ：指转动物体单位时间内转过的圈数。

单位： r/s （转每秒），常用的单位还有r /min (转每分)关系式：nT 1=s(n 单位为r/s)或T n =60s(n 单位为r/min)注意：转速与角速度单位的区别：角速度转速():/():/ωrad sn r s ⎧⎨⎩类型三、皮带传动问题 例6、如图所示为录音机在工作时的示意图，轮子1是主动轮，轮子2为从动轮，轮1和轮2就是磁带盒内的两个转盘，空带一边半径为r 1＝0.5cm ，满带一边半径为r 2＝3cm ，已知主动轮转速不变，恒为n 1＝36 r/min ，试求： (1)从动轮2的转速变化范围； (2)磁带运动的速度变化范围．【解析】本题应抓住主动轮(r 1)的角速度恒定不变这一特征，再根据同一时刻两轮磁带走动的线速度相等，从磁带转动时半径的变化来求解． (1)因为v r ω=，且两轮边缘上各点的线速度相等，所以2121226060n n r r ππ=，即1212r n n r =．当r 2＝3cm 时，从动轮2的转速最小，2min 0.536r /min 6r /min 3n =⨯=．当磁带走完，即r 2＝0.5cm ，r 1＝3cm 时，从动轮2的转速最大，为2max 336r/min 216r/min 0.5n =⨯=，故从动轮2的转速变化范围是6 r/min ～216 r/min ．(2)由112v r n π=得知：10.5r =cm 时，22360.5102m /s 0.019m /s 60v π-=⨯⨯⨯=， 13r =cm 时，22363102m /s 0.113m /s 60v π-'=⨯⨯⨯=． 故磁带的速度变化范围是0.019 m/s ～0.113 m/s ．【变式】图中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r ．b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r ．c 点和d 点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑．则a 、b 、c 、d 的线速度之比 ；角速度之比 ；向心加速度之比 。

【答案】2:1:2:4 2:1:1:1 4:1:2:4要点四、描述圆周运动快慢的几个物理量的相互关系 要点诠释：因为这几个都是描述圆周运动快慢，所以它们之间必然有内在联系 1、线速度、角速度和周期的关系匀速圆周运动的线速度和周期的关系2rv T π=匀速圆周运动的角速度和周期的关系Tπω2=匀速圆周运动的角速度和周期有确定的对应关系：角速度与周期成反比。

2、线速度、角速度与转速的关系：匀速圆周运动的线速度与转速的关系：2v rn π=（n 的单位是r/s ） 匀速圆周运动的角速度与转速的关系：n πω2=（n 的单位是r/s ） 3、线速度和角速度的关系： (1)线速度和角速度关系的推导：特例推导：设物体沿半径为r 的圆周做匀速圆周运动，在一个Ｔ时间内转过2πr 的弧长及2π角度，则：TTr v πωπ22==ωr v =⇒一般意义上的推导： 由线速度的定义：tl v ∆∆= 而θ∆=∆r l ，所以r tv ∆∆=θ 又因为t∆∆=θω，所以ωr v = (2) 线速度和角速度的关系：ωr v = ω=v r可知：ω一定时v r ∝，r v 一定时∝ω。

同理： v 一定时ω∝1r，r 一定时ω∝v 。

(3)对于线速度与角速度关系的理解：是一种瞬时对应关系，即某一时刻的线速度与这一时刻的角速度的关系，适应于匀速圆周运动和变速圆周运动。

要点五、圆周运动的向心加速度 要点诠释： 1、向心加速度产生的原因：向心加速度由物体所受到的向心力产生,根据牛顿第二定律知道，其大小由向心力的大小和物体的质量决定。

2、向心加速度大小的计算方法： （1）由牛顿第二定律计算：F a m=向向 ；（2）由运动学公式计算：22v a r v rωω===向 如果是匀速圆周运动则有：22222244v a r r r f v r Tπωπω=====向 3、向心加速度a 的方向：沿着半径指向圆心，时刻在发生变化，是一个变量。

4、向心加速度的意义：在一个半径一定的圆周运动中，向心加速度描述的是线速度方向改变的快慢。

5、关于向心加速度的说明（1）从运动学上看：速度方向时刻在发生变化，总是有0≠∆v 必然有向心加速度；（2）从动力学上看：沿着半径方向上指向圆心的的合外力必然产生指向圆心的向心加速度。

加速度是个矢量，既有大小又有方向，匀速圆周运动中加速度大小不变，而方向却不断变化。

因此，匀速圆周运动不是匀变速运动。

类型四、平抛运动和匀速圆周运动综合题例7、如图所示，在半径为的水平放置的圆板中心轴上距圆板高为的A 处以沿水平抛出一个小球，此时正在做匀速转动的圆板上的半径恰好转动到与平行的位置，要使小球与圆板只碰一次且落点为B 。

求： （1）小球抛出的速度；（2）圆板转动时的角速度ω。

【解析】小球落在B 点的条件即：小球平抛落地时的水平位移是R 且圆盘在这段时间内转动了整数圈。

（1）“只碰一次”：若较小，小球有可能在圆板上弹跳几次后落在B 点。

所以此小球第一次落至圆板上时的。

由平抛运动的规律得⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∴)2(21)1(20gt h t v R ghR t R v 20==⇒（2）因为圆板运动具有周期性，所以小球可在空中运动的时间t 内，圆盘可能转动了整数圈，设圆板周期为Ｔ，则0，1，2，3……）。

所以圆盘的角速度====n hgn t n T (2222πππω1，2，3……）【变式】（2015 河南校级模拟）如图所示，在水平匀速转动的圆盘圆心正上方一定高度处，若向同一方向以相同速度每秒抛出N 个小球，不计空气阻力，发现小球仅在盘边缘共有6个均匀对称分布的落点，则圆盘转动的角速度可能是（ ）A ．13N πB ．16N πC ．113N πD ．83N π【解析】小球在盘边缘共有6个均匀分布的落点，说明每转动1(2n )3ππ+后就有一个小球落在圆盘的边缘，故1(2n )3θπ∆=+（n=0，1，2，3……），1t N ∆=，故角速度为：1(2n )N 3t θωπ∆==+∆（n=0，1，2，3……），当n=0时，则13ωπ=， 当n=1时，则73ωπ=，当n=2时，133ωπ=。