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Hurst指数以及MF-DFA写在前⾯9⽉的时候说想把arch包加进去，昨⼉发现优矿已经加好了，由于优矿暂时没有开放历史⾼频接⼝，我索性就分享⼀个冷冷的⼩知识：分形市场假说（FMH），分析中玩的是低频数据（⽇线，或者分钟线）。
所谓分形市场假说，就是⼈们发现有效市场假说的种种不合理后，提出的⼀种假说，我曾经有仔细关注过这⼀块，因为这个假说真是太「中国特⾊」了：它有⼏个主要论点：1. 当市场是由各种投资期限的投资者组成时，市场是稳定的（长期投资者和短期投资者），当投资者单⼀时，则市场会出流动性问题； 2. 信息集对基本分析和技术分析来讲短期影响⽐长期影响要⼤； 3. 当某⼀事件的出现使得基础分析的有效性值得怀疑时，长期投资者或者停⽌⼊市操作或者基于短期信息进⾏买卖； 4. 价格是短期技术分析和长期基础分析的综合反应； 5. 如果某种证券与经济周期⽆关，那么它本⾝就不存在长期趋势。
此时，交易⾏为、市场流动性和短期信息将占主导地位。
总之就是⼀个具有「正反馈、⾮线性、分形、混沌、耗散」等等很⽜逼的概念，深深吸引着曾经学过物理学的我。
关于Hurst指数以及MF-DFA现在对于分形市场假说的主要⽅法论就是 Hurst指数，通过MF-DFA（Multifractal detrended fluctuation analysis）来计算，具体的可以维基百科⼀下，⼤体就是当hurst>0.5时时间序列是⼀个persistent的过程，当hurst>0.5时时间序列是⼀个anti-persistent的过程，当hurst=0.5时间序列是⼀个不存在记忆的随机游⾛过程。
⽽在实际计算中，不会以理论值0.5作为标准（⼀般会略⼤于0.5）写在最后这份⼯作来⾃于LADISLAV KRISTOUFEK这位教授在12年的⼯作，论⽂名叫做RACTAL MARKETS HYPOTHESIS AND THE GLOBAL FINANCIAL CRISIS: SCALING, INVESTMENT HORIZONS AND LIQUIDITY这位教授后来在13年把这项⼯作强化了⼀下（加了点⼩波的⽅法），把论⽂的图画得美美哒，竟然发表在了Nature的⼦刊Scientific Report上。
中国产出缺口的持续性特征分析申树斌【摘要】来自中国1978-2013年的国内生产总值和居民消费价格数据的分形和经济计量证据表明:中国产出缺口呈现显著的持续性特征.产出缺口的持续性源自需求引导、供给跟随的经济增长路经和粘性经济增长目标的政策偏好.赫斯特(Hurst)指数与过度需求变量—均衡通货膨胀率与平均通货膨胀率之差成正比.赫斯特(Hurst)指数还受融资约束和消费支出冲击等因素的影响,即宏观经济政策对过度投资需求或过度消费需求的约束越松(越紧),产出缺口的持续程度越高(越低).【期刊名称】《沈阳理工大学学报》【年(卷),期】2015(034)006【总页数】9页(P83-91)【关键词】产出缺口;持续性;Hurst指数;通货膨胀;经济增长【作者】申树斌【作者单位】东北财经大学数学学院,辽宁大连116025【正文语种】中文【中图分类】TP274+.5近来的一些研究强调宏观经济运行和调控中货币和结构因素影响共存的现象。
Sudipta Dutta Roy等［1］在结构向量自回归框架中研究发现除货币因素，结构因素在印度通货膨胀和经济波动的产生和持续过程中扮演重要的角色。
印度经济具有较大的、不经常的与成本/价格相关的因素扰动的特征。
货币/信贷供给增加在短期提高产出和价格，在长期提高价格。
而非扩张的货币政策即使以实际产出降低为代价也不能有效控制通货膨胀。
价格行为存在相对的刚性。
货币当局通过改变货币供给的数量和结构应对不同的价格扰动。
Richard Clarida等［2］发现美国货币政策立场从Volcker以前时期(1960－1979)到 Volcker－Greenspan时期(1979－1996)存在从消极货币政策向积极货币政策的转变。
申树斌［3－4］的理论分析表明货币政策立场的转变依赖货币政策有效性的实现条件和路径，与经济和金融结构的变化有关。
谢平等［5］对中国货币政策利率规则的研究结果表明:中国1992年第1季度至2001年第4季度的货币政策持消极立场。
叶建萍：资本市场的Hurst 指数估计计，并得出这两种方法偏差. 我们可以通过数值模拟得出多尺度的估计方法得到的H 值更准确偏差更小，在实证部分中我们更倾向用多尺度的方法去估计广义的赫斯特指数. 本文实证部分以及数据处理主要使用R 2.5.0 和Excell 完成.本文可能的新颖之处有以下几点：1. 模拟分数布朗运动的程序.2. 数据选取不同. 从数据的类型来看，以往研究股市长记忆性时，大多以股票综合指数作为研究对象，本文研究的对象是股票市场上的金融板块，另外外汇的交换率的中间值是人民币.3. 方法的改进，本文利用多尺度方法改进了经典的R/S 分析方法，减少了偏差，估计Hurst 指数更加准确.本文一共分五章：第一章是引言部分；第二章模拟分数布朗运动和Hurst 指数的定义以及分数布朗运动与Hurst 指数之间的关系；第三章介绍了经典的R/S 估计和多尺度的广义赫斯特指数估计方法；第四章是本文的重点实证分析，分析了我国股票市场的金融板块和人民币对其他国家的外汇交换率；第五章是结论和展望.2 C H (t, s ) = E [B H (t ), B H (s )] = [|t|2H + |s|2H − |t − s|2H ]广西师范大学硕士学位论文第二章模拟分数布朗运动和 Hurst 指数的定义§2.1 模拟分数布朗运动1. 我们首先给出分数布朗运动的定义. Kolmogorov and Rozanov(1991, [1]) 给出如下概念定义 2.1. 称随机过程 B H (t ) 是分数布朗运动，若其连续且满足 P (B H (0) = 0) = 1,B H (t ) − B H (s )N (0, |t − s|2H )，其中 t,s 为两个不同时间点，H 为 Hurst 指数，且H ∈(0,1).B H (t ) 的分布可以表示为P (B H (t ) ≤ x ) = √1 2πt 2Hx −u 2 e 2t 2H du, 当 H=0.5 即为普通的布朗运动, 分数布朗运动以长期相关和统计自相似为特点，具 有循环和趋势双重特征.布朗运动与分数布朗运动之间的区别为布朗运动的增量是独立的而分数布朗 运动中的增量是不独立的，考虑零时刻过去增量 {B H (0) − B H (−t )} 和未来增量 {B H (t ) − B H (0)} 的相关系数 C(t). 有：C (t ) ==E{[B H (0) − B H (−t )][B H (t ) − B H (0)]}E [B H (t ) − B H (0)]2−E [B H (−t )B H (t )]E [B H (t )]2== − −1 E{[B H (−t )]2 + [B H (t )]2 − [B H (−t ) − B H (t )]2} 2 E [B H (t )]2 1 (−t )2H + t 2H − (−2t )2H 2 t 2H =2H −1 − 1分数布朗运动具有自相似性和长期相依性，应该更能切合实际地反映金融市场的变 化特性. 并且实证研究发现，许多金融市场的 Hurst 参数 H=1/2; H 的不同取值范围对 应相关系数 C(t) 的不同取值，同时也给出了序列的 3 种运动形式：当 H=0.5 时，相 关系数为 0，序列独立；当 0<H <0.5 时，相关系数为负相关；当 0.5<H <1 时，相关 系数为正，序列为正相关. 由此可见，分数布朗运动的参数 H 是度量序列相关性的. 分数布朗运动的自相关函数是：122. 模拟分数布朗运动的步骤：(1) 假设 {X t } ∼ B H (t ), 记 Cov (X ) = V , 利用 chol 分解 V ，令 C = chol (V ) (2) 产生 n 个正态随机变量 Z = (Z 1, · · · , Z n ) ∼ N n (0, I ) (3) 令 Y=C*Z ，则 Y 就是分数布朗运动，Y=X.5 −20 −15 −10 −5y100 20 40 60 80 100 120 140y0 −80 −60 −40 −20y20 2 r−3 −2 −10 1 3叶建萍：资本市场的 Hurst 指数估计持久性时间序列，其定义为 0.5<H <1 的，因为它们也可以用分数布朗运动来描 述.Hurst 指数描述了两个相邻事件发生的可能性，如果 H=0.7，那么基本上可以说， 要是上一个移动是正的，下一个移动也是正的概率更高，这不是一种真正的概率： 它仅仅是” 偏倚” 的一个度量. 下面给定 H=0.50,0.72 和 0.90 的模拟序列，随着 H 越 来越接近 1，序列变得噪声越来越小，具有相同符号的观测值越来越多。
特雷诺指数简介：特雷诺指数是一种用于衡量股票市场平均回报率的指标。
它由诺曼·特雷诺于1990年提出，主要用于投资评估和风险管理。
特雷诺指数根据股票市场的历史数据计算得出，可以帮助投资者了解投资组合的表现，并与市场的整体表现做对比。
特雷诺指数的计算方法：特雷诺指数的计算方法比较简单。
首先，需要收集一段时间内的股票市场表现数据，通常是一年或一季度的数据。
然后，计算投资组合的平均回报率和市场的平均回报率。
特雷诺指数等于投资组合的平均回报率减去市场的平均回报率，再除以投资组合的波动率。
特雷诺指数的意义：特雷诺指数的主要意义是帮助投资者评估自己的投资组合相对于整个市场的表现。
如果特雷诺指数为正数，表示投资组合的回报率高于市场平均水平，反之则表示表现不佳。
特雷诺指数还可以用于比较不同投资组合之间的表现，有助于投资者选择最合适的投资策略。
特雷诺指数的优点：1. 提供了一个直观的评估投资组合表现的指标，可以方便地比较不同投资策略的优劣。
2. 将投资组合的回报率与市场整体表现做对比，有助于判断投资者的投资决策是否超越了市场的预期。
3. 可以帮助投资者了解投资组合的风险水平，从而更好地进行风险管理和资产配置。
特雷诺指数的局限性：1. 特雷诺指数只考虑了投资组合的回报率和波动率，没有考虑其他因素，如市场的流动性、操作成本等，因此可能不能全面反映投资组合的表现。
2. 特雷诺指数是基于历史数据计算得出的，不能预测未来的投资回报率和市场表现。
3. 特雷诺指数只适用于衡量股票市场的平均回报率，对其他资产类别的投资表现无法进行评估。
总结：特雷诺指数是一种用于衡量投资组合表现的指标，可以帮助投资者了解自己的投资策略相对于市场的表现，并进行风险管理和资产配置。
尽管特雷诺指数有一定的局限性，但在投资评估和决策中仍然具有一定的参考价值。
投资者在使用特雷诺指数时应该注意其局限性，并结合其他指标和因素进行综合分析。
基于Hurst指数的量化投资策略研究作者：***来源：《现代信息科技》2023年第22期收稿日期：2023-04-18基金项目：湛江市非资助科技攻关计划项目（2021B01494）DOI：10.19850/ki.2096-4706.2023.22.018摘要：自尤金·法玛1970年提出有效市场假说后，部分学者认为股票市场具有长期记忆性，不符合该假说，用分形理论来刻画股票价格运动更为合理。
首先应用配分函数法（Partition Function， PF），通过沪深300股指数据验证了A股市场的分形特征，然后选取了Hurst指数这一指标来衡量股票价格变动的长期记忆性，构建量化交易策略池，并通过均线策略进行择时，最后通过夏普比率最大化完成投资组合优化，发现该投资策略能获得明显高于被动投资沪深300指数的投资收益，说明基于Hurst指数构建量化交易策略具有一定的实用性。
关键词：Hurst指数；分形市场；均线策略；投资组合优化；量化交易中图分类号：TP39；F832.48 文献标识码：A 文章编号：2096-4706（2023）22-0083-06Research on Quantitative Investment Strategies Based on Hurst IndexLI Minghui（Zhanjiang Preschool Education College， Zhanjiang 524084， China）Abstract： Since Eugene Fama proposed the Efficient Market Hypothesis in 1970， some scholars believe that the stock market has long-term memory and does not conform to this hypothesis. It is more reasonable to use fractal theory to describe stock price movements. Firstly， the Partition Function （PF） method is applied to validate the fractal characteristics of the A-share market through the Shanghai and Shenzhen 300 stock index data. Then， the Hurst index is selected as an indicator to measure the long-term memory of stock price changes， and a quantitative trading strategy pool is constructed. The time is selected through the moving average strategy. Finally， the investment portfolio is optimized by maximizing the Sharpe ratio， it is found that this investment strategy can achieve significantly higher investment returns than passive investment in the Shanghai and Shenzhen 300 Index， indicating the practicality of constructing a quantitative trading strategy based on the Hurst Index.Keywords： Hurst index; fractal market; moving average strategy; portfolio optimization; quantitative trading0 引言金融市场中的股票价格特征研究一直是学术界和业界的重点关注对象。
⾦融风险管理简答与论述：1) 理解⾦融风险的基本概念；第⼀种观点认为，⾦融风险是指由于⾦融资产价格的波动，造成投资收益率的不确定性或易变性，这种易变性可⽤收益率的⽅差或标准差度量。
第⼆种观点认为，⾦融风险是由于⾦融资产价格波动给投资者造成损失的可能性或损失的不确定性。
该观点认为只有在价格波动给投资者造成损失时才有风险，不造成损失的任何波动都不应视为风险。
2) 了解⾦融风险计量的基本理论与⽅法；模型:1、基于效⽤函数的风险⾦计量模型。
（1）效⽤值是反映⼈们对财富的精神感受。
（2）效⽤函数反映的是效⽤值随后果值变化的关系。
（3）期望效⽤函数是各后果效⽤值的数学期望。
（4）风险的主观价值。
2、Fishburn 的⼀般计量模型Fishburn在前⼈研究的基础上，从分理化⾓度对风险测度进⾏了探讨，提出了风险计量的⼀般模型，对后⼈进⾏风险计量研究具有重要的指导作⽤。
⽅法：1、⽅差计量理论。
Markowitz假定投资风险可视为投资收益的不确定性，这种不确定性可⽤投资收益率的⽅差或标准差度量。
以此为基础，理性投资者在进⾏投资时总是追求投资风险和收益之间的最佳平衡，即在⼀定风险下获取最⼤收益或⼀定收益下承受最⼩风险，因此通过M－V分析，并求解单⽬标下的⼆次规划模型，可实现投资组合中⾦融资产的最佳配臵。
2、信息熵理论。
是研究信息系统不确定性测度的指标。
由于证券投资风险是证券投资收益不确定性的体现，所以信息熵理论在证券投资风险的计量中也得到了应⽤。
3、⾮线性分形⼏何理论。
该理论认为现实世界中的物体，其维数不是整数，⽽是分数。
分形维实质上度量了物体参差不齐的性质。
投资风险可以⽤分形维的⽅法计量。
⽽分形维可⽤分形时间序列中Hurst指数计算。
4、风险下偏矩计量理论下偏矩是下⽅风险（Downside-risk）⽅法的⼀种，这种理论认为只有损失或达不到⽬标收益率的部分才是风险，它有效地克服了⽅差类指标的不⾜，是最有发展前景的⼀类指标；其中，损失概率、期望损失、半⽅差等常⽤的指标都是它的特例。
hurst指数第一篇：Hurst指数简介及应用领域Hurst指数是一种用于衡量时间序列数据的长期记忆性的统计量，其应用广泛于金融分析、水文学、信号处理等领域。
本文将对Hurst指数进行详细介绍，并探讨其应用领域。
Hurst指数最初是由数学家H.E. Hurst于1951年提出的，其用于衡量时间序列数据的波动性和相关性。
时间序列数据是指一组按时间顺序排列的观测值，例如股票价格、气温记录等。
Hurst指数的取值范围在0到1之间，其中0表示完全反序列相关，1表示完全正序列相关，0.5表示完全随机。
Hurst 指数越接近于0.5，说明时间序列数据的波动性越接近于随机，没有长期记忆性；而越接近于0或1，说明时间序列数据存在较强的趋势性，即具有长期记忆性。
Hurst指数的计算需要借助于重叠子序列的均值计算，具体步骤如下：首先，将时间序列数据分解成不同长度的子序列；然后，计算每个子序列的均值；最后，计算不同子序列长度下的均值之比。
根据计算得到的比值，可得到Hurst指数。
在金融分析中，Hurst指数常被用于衡量股票价格的长期记忆性和预测性。
通过计算Hurst指数，可以评估股票价格的波动性，进而辅助投资者进行风险管理和决策制定。
例如，当股票价格的Hurst指数较高时，说明价格具有较强的趋势性，投资者可以选择更长期的持有策略，以获得更大的收益。
此外，Hurst指数在水文学领域也得到了广泛的应用。
水文学研究常关注各种水文变量的波动性，例如降水量、水位等。
通过计算Hurst指数，可以评估水文变量的长期趋势，进而为水资源管理、洪水预测等提供科学依据。
除金融分析和水文学外，Hurst指数在信号处理、网络分析等领域也有着重要的应用价值。
例如，对于信号处理，Hurst指数可以用于评估信号的分形特性和自相似性，从而指导滤波、数据压缩等算法的设计与优化。
综上所述，Hurst指数是一种用于衡量时间序列数据长期记忆性的统计量，在金融分析、水文学、信号处理等领域有广泛的应用。
