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Hurst指数以及MF-DFA写在前⾯9⽉的时候说想把arch包加进去，昨⼉发现优矿已经加好了，由于优矿暂时没有开放历史⾼频接⼝，我索性就分享⼀个冷冷的⼩知识：分形市场假说（FMH），分析中玩的是低频数据（⽇线，或者分钟线）。
所谓分形市场假说，就是⼈们发现有效市场假说的种种不合理后，提出的⼀种假说，我曾经有仔细关注过这⼀块，因为这个假说真是太「中国特⾊」了：它有⼏个主要论点：1. 当市场是由各种投资期限的投资者组成时，市场是稳定的（长期投资者和短期投资者），当投资者单⼀时，则市场会出流动性问题； 2. 信息集对基本分析和技术分析来讲短期影响⽐长期影响要⼤； 3. 当某⼀事件的出现使得基础分析的有效性值得怀疑时，长期投资者或者停⽌⼊市操作或者基于短期信息进⾏买卖； 4. 价格是短期技术分析和长期基础分析的综合反应； 5. 如果某种证券与经济周期⽆关，那么它本⾝就不存在长期趋势。
此时，交易⾏为、市场流动性和短期信息将占主导地位。
总之就是⼀个具有「正反馈、⾮线性、分形、混沌、耗散」等等很⽜逼的概念，深深吸引着曾经学过物理学的我。
关于Hurst指数以及MF-DFA现在对于分形市场假说的主要⽅法论就是 Hurst指数，通过MF-DFA（Multifractal detrended fluctuation analysis）来计算，具体的可以维基百科⼀下，⼤体就是当hurst>0.5时时间序列是⼀个persistent的过程，当hurst>0.5时时间序列是⼀个anti-persistent的过程，当hurst=0.5时间序列是⼀个不存在记忆的随机游⾛过程。
⽽在实际计算中，不会以理论值0.5作为标准（⼀般会略⼤于0.5）写在最后这份⼯作来⾃于LADISLAV KRISTOUFEK这位教授在12年的⼯作，论⽂名叫做RACTAL MARKETS HYPOTHESIS AND THE GLOBAL FINANCIAL CRISIS: SCALING, INVESTMENT HORIZONS AND LIQUIDITY这位教授后来在13年把这项⼯作强化了⼀下（加了点⼩波的⽅法），把论⽂的图画得美美哒，竟然发表在了Nature的⼦刊Scientific Report上。
中国产出缺口的持续性特征分析申树斌【摘要】来自中国1978-2013年的国内生产总值和居民消费价格数据的分形和经济计量证据表明:中国产出缺口呈现显著的持续性特征.产出缺口的持续性源自需求引导、供给跟随的经济增长路经和粘性经济增长目标的政策偏好.赫斯特(Hurst)指数与过度需求变量—均衡通货膨胀率与平均通货膨胀率之差成正比.赫斯特(Hurst)指数还受融资约束和消费支出冲击等因素的影响,即宏观经济政策对过度投资需求或过度消费需求的约束越松(越紧),产出缺口的持续程度越高(越低).【期刊名称】《沈阳理工大学学报》【年(卷),期】2015(034)006【总页数】9页(P83-91)【关键词】产出缺口;持续性;Hurst指数;通货膨胀;经济增长【作者】申树斌【作者单位】东北财经大学数学学院,辽宁大连116025【正文语种】中文【中图分类】TP274+.5近来的一些研究强调宏观经济运行和调控中货币和结构因素影响共存的现象。
Sudipta Dutta Roy等［1］在结构向量自回归框架中研究发现除货币因素，结构因素在印度通货膨胀和经济波动的产生和持续过程中扮演重要的角色。
印度经济具有较大的、不经常的与成本/价格相关的因素扰动的特征。
货币/信贷供给增加在短期提高产出和价格，在长期提高价格。
而非扩张的货币政策即使以实际产出降低为代价也不能有效控制通货膨胀。
价格行为存在相对的刚性。
货币当局通过改变货币供给的数量和结构应对不同的价格扰动。
Richard Clarida等［2］发现美国货币政策立场从Volcker以前时期(1960－1979)到 Volcker－Greenspan时期(1979－1996)存在从消极货币政策向积极货币政策的转变。
申树斌［3－4］的理论分析表明货币政策立场的转变依赖货币政策有效性的实现条件和路径，与经济和金融结构的变化有关。
谢平等［5］对中国货币政策利率规则的研究结果表明:中国1992年第1季度至2001年第4季度的货币政策持消极立场。
叶建萍：资本市场的Hurst 指数估计计，并得出这两种方法偏差. 我们可以通过数值模拟得出多尺度的估计方法得到的H 值更准确偏差更小，在实证部分中我们更倾向用多尺度的方法去估计广义的赫斯特指数. 本文实证部分以及数据处理主要使用R 2.5.0 和Excell 完成.本文可能的新颖之处有以下几点：1. 模拟分数布朗运动的程序.2. 数据选取不同. 从数据的类型来看，以往研究股市长记忆性时，大多以股票综合指数作为研究对象，本文研究的对象是股票市场上的金融板块，另外外汇的交换率的中间值是人民币.3. 方法的改进，本文利用多尺度方法改进了经典的R/S 分析方法，减少了偏差，估计Hurst 指数更加准确.本文一共分五章：第一章是引言部分；第二章模拟分数布朗运动和Hurst 指数的定义以及分数布朗运动与Hurst 指数之间的关系；第三章介绍了经典的R/S 估计和多尺度的广义赫斯特指数估计方法；第四章是本文的重点实证分析，分析了我国股票市场的金融板块和人民币对其他国家的外汇交换率；第五章是结论和展望.2 C H (t, s ) = E [B H (t ), B H (s )] = [|t|2H + |s|2H − |t − s|2H ]广西师范大学硕士学位论文第二章模拟分数布朗运动和 Hurst 指数的定义§2.1 模拟分数布朗运动1. 我们首先给出分数布朗运动的定义. Kolmogorov and Rozanov(1991, [1]) 给出如下概念定义 2.1. 称随机过程 B H (t ) 是分数布朗运动，若其连续且满足 P (B H (0) = 0) = 1,B H (t ) − B H (s )N (0, |t − s|2H )，其中 t,s 为两个不同时间点，H 为 Hurst 指数，且H ∈(0,1).B H (t ) 的分布可以表示为P (B H (t ) ≤ x ) = √1 2πt 2Hx −u 2 e 2t 2H du, 当 H=0.5 即为普通的布朗运动, 分数布朗运动以长期相关和统计自相似为特点，具 有循环和趋势双重特征.布朗运动与分数布朗运动之间的区别为布朗运动的增量是独立的而分数布朗 运动中的增量是不独立的，考虑零时刻过去增量 {B H (0) − B H (−t )} 和未来增量 {B H (t ) − B H (0)} 的相关系数 C(t). 有：C (t ) ==E{[B H (0) − B H (−t )][B H (t ) − B H (0)]}E [B H (t ) − B H (0)]2−E [B H (−t )B H (t )]E [B H (t )]2== − −1 E{[B H (−t )]2 + [B H (t )]2 − [B H (−t ) − B H (t )]2} 2 E [B H (t )]2 1 (−t )2H + t 2H − (−2t )2H 2 t 2H =2H −1 − 1分数布朗运动具有自相似性和长期相依性，应该更能切合实际地反映金融市场的变 化特性. 并且实证研究发现，许多金融市场的 Hurst 参数 H=1/2; H 的不同取值范围对 应相关系数 C(t) 的不同取值，同时也给出了序列的 3 种运动形式：当 H=0.5 时，相 关系数为 0，序列独立；当 0<H <0.5 时，相关系数为负相关；当 0.5<H <1 时，相关 系数为正，序列为正相关. 由此可见，分数布朗运动的参数 H 是度量序列相关性的. 分数布朗运动的自相关函数是：122. 模拟分数布朗运动的步骤：(1) 假设 {X t } ∼ B H (t ), 记 Cov (X ) = V , 利用 chol 分解 V ，令 C = chol (V ) (2) 产生 n 个正态随机变量 Z = (Z 1, · · · , Z n ) ∼ N n (0, I ) (3) 令 Y=C*Z ，则 Y 就是分数布朗运动，Y=X.5 −20 −15 −10 −5y100 20 40 60 80 100 120 140y0 −80 −60 −40 −20y20 2 r−3 −2 −10 1 3叶建萍：资本市场的 Hurst 指数估计持久性时间序列，其定义为 0.5<H <1 的，因为它们也可以用分数布朗运动来描 述.Hurst 指数描述了两个相邻事件发生的可能性，如果 H=0.7，那么基本上可以说， 要是上一个移动是正的，下一个移动也是正的概率更高，这不是一种真正的概率： 它仅仅是” 偏倚” 的一个度量. 下面给定 H=0.50,0.72 和 0.90 的模拟序列，随着 H 越 来越接近 1，序列变得噪声越来越小，具有相同符号的观测值越来越多。
特雷诺指数简介：特雷诺指数是一种用于衡量股票市场平均回报率的指标。
它由诺曼·特雷诺于1990年提出，主要用于投资评估和风险管理。
特雷诺指数根据股票市场的历史数据计算得出，可以帮助投资者了解投资组合的表现，并与市场的整体表现做对比。
特雷诺指数的计算方法：特雷诺指数的计算方法比较简单。
首先，需要收集一段时间内的股票市场表现数据，通常是一年或一季度的数据。
然后，计算投资组合的平均回报率和市场的平均回报率。
特雷诺指数等于投资组合的平均回报率减去市场的平均回报率，再除以投资组合的波动率。
特雷诺指数的意义：特雷诺指数的主要意义是帮助投资者评估自己的投资组合相对于整个市场的表现。
如果特雷诺指数为正数，表示投资组合的回报率高于市场平均水平，反之则表示表现不佳。
特雷诺指数还可以用于比较不同投资组合之间的表现，有助于投资者选择最合适的投资策略。
特雷诺指数的优点：1. 提供了一个直观的评估投资组合表现的指标，可以方便地比较不同投资策略的优劣。
2. 将投资组合的回报率与市场整体表现做对比，有助于判断投资者的投资决策是否超越了市场的预期。
3. 可以帮助投资者了解投资组合的风险水平，从而更好地进行风险管理和资产配置。
特雷诺指数的局限性：1. 特雷诺指数只考虑了投资组合的回报率和波动率，没有考虑其他因素，如市场的流动性、操作成本等，因此可能不能全面反映投资组合的表现。
2. 特雷诺指数是基于历史数据计算得出的，不能预测未来的投资回报率和市场表现。
3. 特雷诺指数只适用于衡量股票市场的平均回报率，对其他资产类别的投资表现无法进行评估。
总结：特雷诺指数是一种用于衡量投资组合表现的指标，可以帮助投资者了解自己的投资策略相对于市场的表现，并进行风险管理和资产配置。
尽管特雷诺指数有一定的局限性，但在投资评估和决策中仍然具有一定的参考价值。
投资者在使用特雷诺指数时应该注意其局限性，并结合其他指标和因素进行综合分析。
基于Hurst指数的量化投资策略研究作者：***来源：《现代信息科技》2023年第22期收稿日期：2023-04-18基金项目：湛江市非资助科技攻关计划项目（2021B01494）DOI：10.19850/ki.2096-4706.2023.22.018摘要：自尤金·法玛1970年提出有效市场假说后，部分学者认为股票市场具有长期记忆性，不符合该假说，用分形理论来刻画股票价格运动更为合理。
首先应用配分函数法（Partition Function， PF），通过沪深300股指数据验证了A股市场的分形特征，然后选取了Hurst指数这一指标来衡量股票价格变动的长期记忆性，构建量化交易策略池，并通过均线策略进行择时，最后通过夏普比率最大化完成投资组合优化，发现该投资策略能获得明显高于被动投资沪深300指数的投资收益，说明基于Hurst指数构建量化交易策略具有一定的实用性。
关键词：Hurst指数；分形市场；均线策略；投资组合优化；量化交易中图分类号：TP39；F832.48 文献标识码：A 文章编号：2096-4706（2023）22-0083-06Research on Quantitative Investment Strategies Based on Hurst IndexLI Minghui（Zhanjiang Preschool Education College， Zhanjiang 524084， China）Abstract： Since Eugene Fama proposed the Efficient Market Hypothesis in 1970， some scholars believe that the stock market has long-term memory and does not conform to this hypothesis. It is more reasonable to use fractal theory to describe stock price movements. Firstly， the Partition Function （PF） method is applied to validate the fractal characteristics of the A-share market through the Shanghai and Shenzhen 300 stock index data. Then， the Hurst index is selected as an indicator to measure the long-term memory of stock price changes， and a quantitative trading strategy pool is constructed. The time is selected through the moving average strategy. Finally， the investment portfolio is optimized by maximizing the Sharpe ratio， it is found that this investment strategy can achieve significantly higher investment returns than passive investment in the Shanghai and Shenzhen 300 Index， indicating the practicality of constructing a quantitative trading strategy based on the Hurst Index.Keywords： Hurst index; fractal market; moving average strategy; portfolio optimization; quantitative trading0 引言金融市场中的股票价格特征研究一直是学术界和业界的重点关注对象。
⾦融风险管理简答与论述：1) 理解⾦融风险的基本概念；第⼀种观点认为，⾦融风险是指由于⾦融资产价格的波动，造成投资收益率的不确定性或易变性，这种易变性可⽤收益率的⽅差或标准差度量。
第⼆种观点认为，⾦融风险是由于⾦融资产价格波动给投资者造成损失的可能性或损失的不确定性。
该观点认为只有在价格波动给投资者造成损失时才有风险，不造成损失的任何波动都不应视为风险。
2) 了解⾦融风险计量的基本理论与⽅法；模型:1、基于效⽤函数的风险⾦计量模型。
（1）效⽤值是反映⼈们对财富的精神感受。
（2）效⽤函数反映的是效⽤值随后果值变化的关系。
（3）期望效⽤函数是各后果效⽤值的数学期望。
（4）风险的主观价值。
2、Fishburn 的⼀般计量模型Fishburn在前⼈研究的基础上，从分理化⾓度对风险测度进⾏了探讨，提出了风险计量的⼀般模型，对后⼈进⾏风险计量研究具有重要的指导作⽤。
⽅法：1、⽅差计量理论。
Markowitz假定投资风险可视为投资收益的不确定性，这种不确定性可⽤投资收益率的⽅差或标准差度量。
以此为基础，理性投资者在进⾏投资时总是追求投资风险和收益之间的最佳平衡，即在⼀定风险下获取最⼤收益或⼀定收益下承受最⼩风险，因此通过M－V分析，并求解单⽬标下的⼆次规划模型，可实现投资组合中⾦融资产的最佳配臵。
2、信息熵理论。
是研究信息系统不确定性测度的指标。
由于证券投资风险是证券投资收益不确定性的体现，所以信息熵理论在证券投资风险的计量中也得到了应⽤。
3、⾮线性分形⼏何理论。
该理论认为现实世界中的物体，其维数不是整数，⽽是分数。
分形维实质上度量了物体参差不齐的性质。
投资风险可以⽤分形维的⽅法计量。
⽽分形维可⽤分形时间序列中Hurst指数计算。
4、风险下偏矩计量理论下偏矩是下⽅风险（Downside-risk）⽅法的⼀种，这种理论认为只有损失或达不到⽬标收益率的部分才是风险，它有效地克服了⽅差类指标的不⾜，是最有发展前景的⼀类指标；其中，损失概率、期望损失、半⽅差等常⽤的指标都是它的特例。
hurst指数第一篇：Hurst指数简介及应用领域Hurst指数是一种用于衡量时间序列数据的长期记忆性的统计量，其应用广泛于金融分析、水文学、信号处理等领域。
本文将对Hurst指数进行详细介绍，并探讨其应用领域。
Hurst指数最初是由数学家H.E. Hurst于1951年提出的，其用于衡量时间序列数据的波动性和相关性。
时间序列数据是指一组按时间顺序排列的观测值，例如股票价格、气温记录等。
Hurst指数的取值范围在0到1之间，其中0表示完全反序列相关，1表示完全正序列相关，0.5表示完全随机。
Hurst 指数越接近于0.5，说明时间序列数据的波动性越接近于随机，没有长期记忆性；而越接近于0或1，说明时间序列数据存在较强的趋势性，即具有长期记忆性。
Hurst指数的计算需要借助于重叠子序列的均值计算，具体步骤如下：首先，将时间序列数据分解成不同长度的子序列；然后，计算每个子序列的均值；最后，计算不同子序列长度下的均值之比。
根据计算得到的比值，可得到Hurst指数。
在金融分析中，Hurst指数常被用于衡量股票价格的长期记忆性和预测性。
通过计算Hurst指数，可以评估股票价格的波动性，进而辅助投资者进行风险管理和决策制定。
例如，当股票价格的Hurst指数较高时，说明价格具有较强的趋势性，投资者可以选择更长期的持有策略，以获得更大的收益。
此外，Hurst指数在水文学领域也得到了广泛的应用。
水文学研究常关注各种水文变量的波动性，例如降水量、水位等。
通过计算Hurst指数，可以评估水文变量的长期趋势，进而为水资源管理、洪水预测等提供科学依据。
除金融分析和水文学外，Hurst指数在信号处理、网络分析等领域也有着重要的应用价值。
例如，对于信号处理，Hurst指数可以用于评估信号的分形特性和自相似性，从而指导滤波、数据压缩等算法的设计与优化。
综上所述，Hurst指数是一种用于衡量时间序列数据长期记忆性的统计量，在金融分析、水文学、信号处理等领域有广泛的应用。
中国创业板股票市场分形特征研究朱品品;王绍锋【摘要】创业板股票市场是为了适应自主创新型企业及其他高科技企业发展需要而设立的市场,是多层次资本市场体系的重要组成部分.论文应用R/S分析方法,研究了2014年10月牛市启动以来以及三次股灾期间中国创业板股票市场的价格行为特征.实证研究结果表明创业板市场是有偏的随机游动过程,存在着状态的持续性和长期记忆性,是分形市场.【期刊名称】《济宁学院学报》【年(卷),期】2017(038)005【总页数】4页(P44-47)【关键词】创业板股票市场;分形市场;R/S分析;Hurst指数【作者】朱品品;王绍锋【作者单位】济宁学院数学系,山东曲阜273155;济宁学院数学系,山东曲阜273155【正文语种】中文【中图分类】F830.91创业板市场也称二板市场，其地位次于主板证券市场，在上市门槛、信息披露、投资风险、监管制度等方面都和主板市场有比较大的区别。
中国创业板股票市场于2009年10月30日正式上市，是对主板市场的重要补充，在资本市场上有着非常重要的地位。
创业板市场顺应了中国金融体系市场化改革的需要，为中小企业提供了新的融资渠道，有利于解决中小企业融资难等问题。
创业板市场主要以创新型企业及其他成长型企业为服务对象，是落实国家自主创新战略的重要平台，有助于国家调整产业结构，进行经济体制改革。
在创业板上市的公司大多处于高科技行业，拥有很好的成长空间，但往往规模较小，成立时间较短，业绩一般。
因此，创业板市场是一个上市门槛比较低、风险比较大、监管非常严格的证券市场。
自从创业板市场成立以后，创业板指数一直被众多投资者所关注。
2014年7月牛市启动以后，创业板指数被认为是市场人气的风向标，反映了市场强弱情况。
在三次股灾期间，多数投资者也认为市场的人气需要创业板指数来带动。
因此，本文采用分形技术和R/S分析方法等方法，对中国股票市场创业板指数的波动特性进行研究。
经典的金融理论一般认为股票市场是有效的，股票价格已经充分反映了已有的信息，利用已有信息无法对股价未来的走势进行预测，下一时刻股价的变动与历史价格之间是独立的。
标题：Hurst指数与MATLAB在空间叠加中的应用摘要：本文将介绍Hurst指数和MATLAB在空间叠加中的应用。
首先介绍Hurst指数的定义和作用，然后详细讲解MATLAB在空间叠加中的使用方法，并举例说明其在实际应用中的重要性和价值。
希望通过本文的介绍，能够帮助读者更好地理解和应用Hurst指数和MATLAB在空间叠加中的相关知识。
一、Hurst指数的定义和作用1.1 Hurst指数的定义Hurst指数是用来衡量时间序列的长期记忆性的指标。
它是由英国水文学家H.E.Hurst在1950年提出的，用来研究河流流量的变化规律。
后来，Hurst指数被广泛应用于金融、气候、地质等领域，用来分析时间序列的长期相关性和预测性能。
1.2 Hurst指数的作用Hurst指数可以帮助我们识别时间序列中的长期趋势，对时间序列的规律性和周期性进行分析，从而更好地预测未来的走势。
在金融市场中，Hurst指数常常用来分析股票和期货价格的波动性，对投资风险进行评估和控制。
二、MATLAB在空间叠加中的应用2.1 MATLAB的介绍MATLAB是一种用于数学建模、仿真、分析和数据可视化的高级技术计算语言和交互式环境。
它的主要优势在于：拥有丰富的数学函数和工具箱、良好的可视化功能、易于编程和调试、支持多种数据类型和格式等。
2.2 MATLAB在空间叠加中的使用方法通过MATLAB，可以对空间数据进行叠加分析，比如地理信息系统（GIS）数据、遥感影像数据等。
利用MATLAB强大的数据处理和可视化能力，可以更好地理解和利用空间数据，为地理信息分析和空间决策提供支持。
2.3 MATLAB在空间叠加中的重要性和价值空间叠加分析是一种重要的地理信息技术，通过对空间数据进行叠加分析，可以揭示空间模式和关联关系，帮助人们更好地理解地理现象和解决实际问题。
MATLAB作为一种功能强大的数学计算工具，为空间叠加分析提供了便利和支持，极大地丰富了空间分析的方法和工具，拓展了空间科学的研究范围和深度。
金融时间序列分析方法研究进展综述摘要：本文介绍了金融时间序列的分析方法。
包括R/S 分析法，修正的R/S 分析法，BDS 检验和ARCH 模型，以及它们的应用，并分析了它们各自的优缺点及存在的问题。
关键词： 金融时间序列：R/S ：修正的R/S ：BDS ：ARCH 模型 一、引言中国股市历经十几年的发展，逐渐由不成熟走向成熟，并成长为我国最重要的资本市场之一。
由于股市受到各种因素的影响，不断处在变化当中。
对投资者来说，如何准确的分析股市行情，做出最优的投资决策，显得非常重要。
对中国股市的管理者来说，如何把握股市动态，使其健康、 稳定的发展，也是一项艰巨的任务。
所以，不论是投资者还是管理者都对股票市场给予了特别的关注，尤其是对股票市场的分析以及未来行情的预测，更是成为一个热门研究课题。
对证券市场价格变化不确定性研究和实证分析，是现代金融研究的核心问题之一。
随着计量经济理论的不断完善，在实际经济活动中，我们经常建立和运用有关计量模型对股票市场进行系统和深入的分析。
同时，计量经济理论的完善也不断促进着时间序列分析方法的发展。
二、金融时间序列分析方法 1、R/S 分析方法1965 年，英国水文学家 Hurst 提出时间序列的 R/S 分析方法，对于给定的时间序列观察值{x t }，长度为 m ，将其分为 A 个长度为 n(2≤n ≤m/2)的相邻子区间，An=m ，记第a 个子区间为 I a (a=1,2, A)，子区间I a 中的第 k 个观察值可记为 x k ，a (k=1,2, …,n)。
记：,11,1,2 (2)a k a k x x a A ===∑ (1),,1(),1,2,....,na k a i a i X x x k n ==-=∑ (2){}{},,11max min a k a k a k nk nR X X ≤≤≤≤=- (3)()122,11naa k a k S x x n =⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ （4） 其中， a x 和 a S 分别表示 I a 的均值和标准差，,k a X 是I a 上的累计离差，a R 是I a上的极差 对每个子区间计算a R /a S ，可得 A 个值，将它们的均值记做 n R /n S ，即n R /n S =11()AH a a a R S Cn A ==∑ （5）其中，C 为常数，H 为 Hurst 指数，且0≤H ≤1 对（5）式两边同时取对数，得 ㏑(n R /n S )=H ㏑(n)+ ㏑(C) (6)对于不同的n 可以得到不同的n R /n S ，选取不同的n R /n S 作为(6)式的观测值，利用最小二乘法求回归系数便可得Hurst 指数。
分形维度和Hurst指数的实验分析摘要在统计自仿射模型中，分形维度和Hurst指数之间存在着线性关系。
但也有很多统计模型允许分形维度和Hurst指数的任意组合。
所以，判断那种模型更符合实际问题是十分必要的。
本文对四组实际的以太网流量序列的分形维度和Hurst指数做了实验分析，并得出网络流量数据应采用分形维度和Hurst指数相分离的模型的结论。
关键词自相似；长相关；分形维度；Hurst指数；估计1 引言如果一个随机信号x( t)的统计特性是自相似的（过程x( ct)和c Hx( t)具有相同的有限维联合分布），即它在被放大或缩小时其统计特性不变，则它被称为（统计）自相似的，也称为随机分形。
若该随机信号x( t)具有平稳的增量，则称x( t)是一个具有平稳增量过程的自相似过程（H-sssi）。
当0 < H < 1时，高斯H-sssi过程称为分数布朗运动（Fractional Brown motion， FBM）。
若0.5 < H < 1，则序列具有长相关性（Long Range Dependence， LRD）。
对FBM过程周期地进行采样然后计算一阶差分，可以得到分形高斯噪声（Fractional Gaussian Noise， FGN），它是一个平稳序列。
实际的网络流量表现出长相关性，Hurst指数H是描述业务长相关性的重要参数，FGN是目前最为广泛的一种网络流量自相似模型[1，2]。
数学家Hausdoff在1919年提出了连续空间的概念，也就是空间维数是可以连续变化的，它可以是整数也可以是分数，称为Hausdoff维数，即分形维度，记作D。
它在一般情况下是一个分数。
FBM的分形维度D与它的Hurst指数H之间满足以下关系（1-1）其中N为分形数，r为分形成线段的尺寸比例。
当0 < H < 1时，D = 2- H。
实际工作中，D和H这两个参数都是十分重要的，从而值得研究下列的问题：（1）对于实际以太网网络流量而言，是否满足D = 2- H？（2）是否存在更符合实际的以太网网络流量的统计模型？本文针对这两个问题，结合实际以太网流量数据对D和H的关系做出进一步的论述。
Hurst指数模型Hurst指数模型(2010-06-26 )HURST指数简介：H.E.HURST（赫斯特）是英国水文学家。
以他命名的HURST 指数，被广泛用于资本市场的混沌分形分析。
一个具有赫斯特统计特性的系统，不需要通常概率统计学的独立随机事件假设。
它反映的是一长串相互联系事件的结果。
今天发生的事将影响未来，过去的事也会影响现在。
这正是我们分析资本市场所需要的理论和方法。
传统的概率统计学，对此是难办到的。
HURST指数（H）有三个不同类型：1、H=0.5，标志着所研究的序列是一个随机序列，即过去的增量与未来的增量不相关。
这是通常概率统计学的研究对象；2、0.5<H<1.0，标志着所研究的序列是一个持久性序列，即过去的增量与未来的增量正相关。
序列有长程相关性；3、0<H<0.5，标志着所研究的序列是一个反持久性序列，即过去的增量与未来的增量负相关，序列有突变跳跃逆转性。
根据赫斯特的研究，自然界的很多自然现象，H大于0.5。
埃德加.E.彼得斯的两本专著，对国外资本市场进行了系统分析，证实了许多市场指数的H也大于0.5；近几年国内发表了一些论文，同样验证了沪深市场指数的H也大于0.5。
这种市场特征，被称为是有偏随机游动市场，也即市场具有混沌分形特征。
Hurst 指数通过比较复杂的计算提取股票指数收益序列的分形特征，来描述市场对趋势的记忆能力高低。
而市场牛熊转换的时期对应到对前期趋势记忆力的消退期，通过对趋势记忆力的变化可以来判断市场是否面临大趋势的转换。
实证结果显示：行业Hurst 指数行为类似于大盘Hurst 指数行为：当Hurst 接近于阀值时，指数处于随机游走状态，收益率曲线呈正态分布；当Hurst 大于阀值时，指数具有长期记忆性，之前的趋势会持续；当Hurst 小于阀值时，指数具有反记忆性，之前的趋势可能会改变。
避险：同一时间，各行业Hurst 指数最低者走势模糊，处于弱势；Hurst指数最高者走势持续，前期下跌将继续处于弱势；Hurst 指数向上或者向下突变者走势将翻转，前期上涨将转为下跌。
