易拉罐形状和尺寸的最优设计模型[1]

易拉罐形状和尺寸的最优设计模型查建飞 郑娴雅 金兰贞 (2006年获全国二等奖)摘要:目前，易拉罐饮料在市场上的销量很大，易拉罐的需求也是难以估计的。

而资源是有限的，因此易拉罐的最优设计是非常有必要的。

本文着重从形状和尺寸的角度分析碳酸饮料的铝质易拉罐，在容积确定的条件下以材料最省为目标建立优化模型。

首先对雪碧、可口可乐、蓝带啤酒等易拉罐容器进行测量，获取实测值。

针对易拉罐现有形状和尺寸等数据，进行综合分析，建立了逐渐改进的三个数学模型。

模型Ⅰ:把易拉罐近似地看成一个正圆柱体，在易拉罐的容积一定时，以材料最省为目标，用求极值的方法求得易拉罐高度h 与底面半径r 之间的关系为()r h 21αα+=，用实测值进行验证发现比较吻合，但还是有一定误差存在，因此进一步建立模型Ⅱ进行分析。

模型Ⅱ:进一步考虑易拉罐的形状，即罐体上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体时，利用线性规划方法求得此时易拉罐的最优设计。

通过对模型Ⅰ中的圆柱型易拉罐的对比，所得模型与实测值更加吻合。

模型Ⅲ：以材料最省为主要目的，兼顾易拉罐的舒适度进行设计，建立模型，并给出具体的设计方案。

最后结合本模型的建立过程写对数学建模的认识与数学建模过程的难点。

关键词：最优设计 形状与尺寸 合适度一、问题重述生活中我们发现饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等销量很大的饮料易拉罐的形状和尺寸几乎都是一样的。

这应该是某种意义下的最优设计。

当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

请通过数学建模来分析上述情况并回答如下问题：（1）取一个饮料量为355毫升的易拉罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，请注明出处。

（2）设易拉罐是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

（3）设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

图一（4）利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

（5）用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

二、问题分析要使易拉罐达到最优设计，必须满足以下条件： （1）保证容量是足够的。

（2）材料要最节省，使生产者在保证质量的情况下，成本能降到最低。

（3）能够保证易拉罐对容器内液体和气体的压力。

（4）易拉罐是大批量生产、运输的，要避免运输过程中瓶罐之间因碰撞造成的损失，必须稳定放置两个易拉罐，才能保证安全运输。

三、模型假设(1)研究的对象是容量为355ml 的碳酸饮料的易拉罐，如可口可乐、雪碧、蓝代啤酒。

(2)测量的是无变形、无损坏的易拉罐。

(3)测量的是铝制易拉罐。

四、符号定义b ：易拉罐侧壁的厚度。

r ：易拉罐柱体部分的内半径。

1b ：易拉罐上底厚度。

S ：易拉罐的总面积。

2b ：易拉罐下底厚度。

h ：易拉罐的内高度。

Z ：所用材料的体积。

H ：易拉罐的总体高度。

1α：下底厚与侧壁厚的比值。

1a ：上底内高。

2α：上底厚与侧壁厚的比值。

2a ：下底内高。

1d ：上底内直径。

3h ：上底内高。

2d ：下底内直径。

4h ：下底拱高。

V ：易拉罐的容量，为一固定值。

δ：舒适度。

图一五、模型建立与求解问题一1.1测量方法㈠测厚度：把易拉罐切开压平，n层的易拉罐壁进行叠加，直至总厚度可达m mm,则单个易拉罐壁厚则为m/n mm，同样方法对不同品种的易拉罐进行测量,取平均值.㈡测外径：用一条无弹力的绳子水平绕标准易拉罐的柱体部分一圈，再利用直尺测出绳子的长度。

为减少误差，用以上相同方法进行多次测量，取得平均值。

由r=，得出r。

cπ2㈢其余的数据全由千分尺测得。

近似取值为小数点后两位数。

对易拉罐所测得的数据见下表一：表一:自己测量得到的易拉罐所需数据表(单位:mm)问题二（模型Ⅰ）2.1 模型假设:易拉罐的形状为正圆柱体，如图二图二2.2 模型分析：把易拉罐近似看成一个正圆柱，要求易拉罐内的体积一定时，求能使易拉罐制作所用的材料最省。

2.3 模型的建立与求解:易拉罐侧面所用材料的体积: )(2222hb rbh hr br h ππππ+=-+,b 《 r ∴ 2hb π可以忽略 ∴所以侧面材料的体积可以近似看作rbh π2易拉罐上底面所用材料的体积: b r 21πα 易拉罐下底面所用材料的体积: b r 22πα则 ())]([rh r b h r Z 2,221++=ααπ ①h r V 2π= 2/r V h π=. ②②代入①得: )(]2212r r Vb Z ⎢⎣⎡++=ααπ ③)]))((V r rb r V r b dr dZ -+=⎢⎣⎡ ⎝⎛-+=321222122πααπαα 令0=drdz,解得临界点为)(321παα+=V r ,代入②得： )()))())(r VV V h ⎝⎛+= ⎝⎛⎝⎛++=+=21321212321ααπααααπααπ又因为)]⎢⎣⎡ ⎝⎛++=321"22224rV b S dr z d ααπ， 0>r 所以022>drzd 所以当()r h 21αα+=时,Z 取得最优值.根据测量数据2;221≈≈αα，则421=+αα，代入公式得4=rh圆柱型的易拉罐的尺寸虽然与实测数据相对比较吻合，但还是有一定的误差。

通过观察发现实际中易拉罐的上部分有类似圆台的地方，这是为了减少材料还是其他目的呢？因此建立模型。

问题三（模型Ⅱ）3.1 补充假设（如图三）（1）l 为圆台部分的母线长。

（5）2s 表示圆柱上底面积。

（2）1h 表示圆台部分的高度。

（6）1v 表示圆台的体积。

（3）2h 表示圆柱上线高度。

（7）2v 表示圆柱上线的体积。

（4）1s 表示圆台上底的面积。

（8）355-1v =355-2v 即1v =2v 。

图三3.2 模型分析：此问题考虑的是把易拉罐的上部分改成圆台使得它跟原先的体积一样,求出21,h h 使得易拉罐的用材最省。

3.3 模型的建立与求解:圆台的表面积为： 圆台表s = ()()2121h d r r d +-+ππ+ b d 121απ圆柱高h 2的表面积为： 圆柱s = b rh 22π+b r 12απ=s 圆台表s - 圆柱s其中由模型一可知：mm H mm d 6.122,13.0,21===α化简得：()()()b rh r d h d r r d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-+22211212112απ()()()b rh r d h d r r d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-+=22211212112max απs.t.()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-=+=-+++r d h h r d h H r r d r d h 1121221221104332/13550003ππ 利用LINGO 软件求得d1= 30.36716 mm R= 30.36716mm h1=0mm h2=0mm 材料为752.8548mm3（见附录一）从模型所求结果可以看出，圆台的上底半径只有6.11毫米, 这样一来易拉罐罐口只有117.283平方毫米,这与我们所测易拉罐的实际尺寸相差比较大。

因此我们对所假设的模型做如下改进：在实际中圆台上底半径与易拉罐中间半径相差很小约5；圆台的高度也是很小约为5。

因此模型修正为：()()()b rh r d d d r r d Z ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-+=22211212112max απ()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===-+++-=+553550006.12234332/1112212211121d h h r r d r d h h h r d ππ d1=5.000000mm r=30.55185mm h2=3.462191mm h1=5.000000mm 材料为-450.1384(mm)^3 （见附录二）由于实际中易拉罐的圆台与罐底，方便运输，而问题三中讨论的易拉罐上部是圆台用料与圆柱的废料问题，因此，浪费点原料来提高人对易拉罐的舒适度。

本文在对问题四的回答中进一步的阐述这个改进。

问题四（模型三）改进后易拉罐模型的母线为： θcos /h l = 改进后易拉罐模型的上底半径： θtan 1h r d += 因此，可求得改进后易拉罐模型的表面积：)⎝⎛+=b hh r S θθππcos tan 2421台侧 上下底面积之和为：)]([b h r r S 12121tan αθππ++=底规定改进后易拉罐模型的容积不变，还是V ，则))((([]h h r r h r r V θπθππtan tan 31212++++=圆柱形的表面积： rhb S π2=侧圆柱上下底的面积： b r b r S 1222απαπ+=底 因此，可得原型易拉罐的面积为：1s =rhb π2+1222απαπr b r +b+450改进后易拉罐模型与原型易拉罐的面积的差值：4502)tan (cos )tan 24(2/112212111---+++=b r b rh b h r bh h r S αππαθπθθππ 舒适程度的函数曲线：)(θδf =——它的图象为可以根据市场调查的散点图形式来拟合曲线 ，如下图：综上所述，浪费材料与舒适程度的关系式为：1sp k p -=δ；（k:舒适程度的增加钱的增值；p 1:表示每个单位的价格）问题五：浅谈数学建模在未接触建模时，就已经听说过它了，但不太了解，直到真正接触，才发现原来数学建模就在我们的身边。

早在中学，甚至是小学时就已经用建立数学模型的方法来解决过一些简单或理想化的实际问题。

例如航行问题、速度问题等。

数学建模不只是对实际问题建立数学模型的过程，它还包括了对实际问题进行的解释、求解、验证并解决的全过程。

数学建模是运用如同MATLAB 、LINGO 等数学工具来得到一个数学结构，用各种数学方程、表格、图形等表现模型的思想。

它是为解决现实中存在的特定的对象，特定的目的，根据特有的内有规律进行必要的简化假设，而设计的模型。

另外，对于同一个客观事物可以有多种数学描述，因此有必要在若干模型中选择一个最简单，最恰当，最易于进行数学处理的模型。

对于模型，可以选择一个最简单，最恰当，最易于进行数学处理的模型。

如下图：在易拉罐模型中，我们在审题时，结合实际中普遍饮用的易拉罐，大概了解易拉罐的构造，形状，并在某些生产产品的公司网站上查阅了一些有关易拉罐具体尺寸、材料组成等，以及它的制作工艺、过程。