圆周运动和万有引力(学生用)
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圆周运动和万有引力
一、圆周运动
一、圆周运动的物理量
【例1】如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。
二、向心力和向心加速度
【例2】．质量为m 的小球，用长为l 的线悬挂在O 点，O 点下方l /2处有一光滑的钉子O ’，把小球拉到与O ’在同一水平面的位置，摆线被钉子拦住，如图所示，将小球从静止释放，当球第一次通过最低点P 时( BCD )
A.小球速率突然减小。
B.小球角速度突然减小。
C.小球的向心加速度突然减小。
D.摆线上的拉力突然减小。
【例3】．如图所示，三个质量相等的三个小球A 、B 、C 固定在轻质硬杆上，且OA AB BC ==。
现将整个装置放在光滑的水平面上，并使OC 绕0端且垂直于OC 的竖直轴匀速转动。
设杆OA 对A 球的拉力为1T ，杆AB 对B 球的拉力为2T ，杆BC 对C 球的拉力为3T 。
则三个拉力之比
123::T T T =__6:5:3___。
三、水平面内的圆周运动（匀速、合外力就是向心力）
【例4】 小球在半径为R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v 、周期T 的关系。
（小球的半径远小于R 。
）
点评：本题的分析方法和结论同样适用于圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。
共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。
【例5】．如图所示一条不可伸长的轻绳长L ，一端用手握住另一端系一质量为m 的小球。
今使手握的一端在水平桌面上做半径R 、角速度为ω的匀速圆周运动，且使绳始终与半径R 的圆相切并保持绳在水平面内运动。
求：
（1）小球做匀速圆周运动的线速度的大小；
（2）小球在运动过程中所受到的摩擦阻力的大
小；
解题步骤：（1）研究对象；（2）受力分析；（3）找圆心、半径
（4）力分解或合成；（5）立式。
【例6】如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A 静止在水平转盘上随盘一起匀速圆周运动，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m．若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围．（取g=10m/s2）
2.9 rad/s 5.6≤
≤ωrad/s
四、竖直面内的圆周运动（非匀速、机械能守恒）
（2）竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及分类
这类问题的特点是：
由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。
物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。
①弹力只可能向下，如绳拉球。
这种情况下有mg R
mv mg F ≥=+2
即gR v ≥，否则不能通过最高点。
②弹力只可能
向上，如车过桥。
在这种情况下有：gR v mg R
mv F mg ≤∴≤=-,2
，否则车将离开桥面，做平抛运动。
③弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。
这种情况下，速度大小v 可以取任意值。
但可以进一步讨论： ①当gR v >时物体受到的弹力必然是向下的；当gR v <时物体受到的弹力必然是向上的；当gR v =
时物体受到的弹力恰好为零。
②当弹力大小F <mg 时，向心力有两解：mg ±F ；当弹力大小F >mg 时，向心力只有一解：F +mg ；当弹力F =mg 时，向心力等于零。
【例7】．如图所示，长为L 的细线，一端固定在O 点，另一端系一个球.把小球拉到与悬点O 处于同一水平面的A 点，并给小球竖直向下的初速度，使小球绕O 点在竖直平面内做圆周运动。
要使小球能够在竖直平面内做圆周运动，在A 处小球竖直向下的最小初速度应为（ C ）
A.gL 7
B.gL 5
C.
gL 3 D. gL 2
【例8】 如图所示，杆长为L ，球的质量为m ，杆连球在竖直平面内绕轴O 自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为F =mg/2，求这时小球的瞬时速度大小。
⑴ F 向上，则2,2gL v L
mv F mg ==- ⑵若F 向下，则2
3,2gL v L mv
F mg ==+ 点评：本题是杆连球绕轴自由转动，根据机械能守恒，还能求出小球在最低点的即时速度。
需要注意的是：若题目中说明小球在杆的带动下在竖直面内做匀速圆周运动，则运动过程中小球的机械能不再守恒，这两类题务必分清。
五、综合应用例析
【例9】如图所示，位于竖直平面上的1/4圆弧光滑轨道，半径为R ，OB 沿竖直方向，上端A 距地面高度为H ，质量为m 的小球从A 点由静止释放，最后落在水平地面上C 点处，不计空气阻力，求：小球运动到轨道上的B 点时，对轨道的压力多大?
3mg
六、万有引力定律及其应用
一、万有引力定律：（1687年）
适用于两个质点或均匀球体；r为两质点或球心间的距离；G为万有引力恒量（1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出）2
11/
2
G⋅
⨯
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N
m
10
67
.6kg。
