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四、曲线运动（动力学续）（一）运动的合成与分解1、绳端速度分解：绳端参与转动必为合运动，可根据绳端所连接物体运动的实际效果，把物体的速度分解为：沿着绳使绳“长”或“短”的分速度和与绳垂直使绳“转”分速度。
如右图中有：0cos v v α=. 2、小船渡河问题：（1）时间最短 航向垂直于水流的方向用时最短：d t v =船 航程：22v v s +=船水船 （2）位移最小①当v 船＞v 水时，合速度可垂直于正对岸时，为使航程最短， 船的航向应向上游倾斜：arcsin v v α=水船，最短航程为：s =d ②当v 船＜v 水时，合速度不可能垂直于对岸，为使航程最短， 航向应向上游倾斜：arcsin v v α=船水，最短航程为：v s d v =⋅水船（二）平抛运动平抛运动通常看作是水平方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的合成，必要时也可分成其它方向，解决此类问题的关键是要分开处理，要么分位移，要么分速度，必要时二者可同时进行。
1、水平位移 0x v t =⋅ 竖直位移 212y g t =⋅（参数方程） 合位移 22y x S += 轨迹方程 2202g y x v =（抛物线） 2、水平速度 0x v v = 竖直速度 y v gt = 合速度22220()x y v v v v gt =+=+ （速度矢量图） 3、运动时间：2y t g=（运动时间由下落高度y 决定，与水平抛的初速0v 无关） 4、设合速度方向与水平夹角α（速度偏角），合位移与水平方向间的夹角为β（位移偏角），则有：tan 2tan αβ=，即做平抛运动的物体，任意时刻速度的反向延长线，一定通过其水平总位移的中点。
与此相应：带电粒子在匀强电场中做类平抛运动时，所有射出电场的带电粒子其速度方向的反向延长线，必交于沿原运动方向的板长的二分之一处（参见P 29电场）。
v v 0v α合v 船v 水v αd 合v 船v 水v αα合v 船v 水v β α αvv 0 v y yO（三）斜抛运动 1、水平方向的匀速直线运动与竖直方向的竖直上抛运动的合成；2、经最高点之后的运动或由最高点往回逆的运动均可视为平抛。
高考三轮：重点题型--万有引力与曲线运动(2)❶万有应力的应用：万有引力定律、天体问题、双星问题、宇宙速度、同步卫星❷曲线运动的综合应用：平抛运动、匀速圆周运动、曲线运动中的能量与动量问题1我国已成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。
该卫星()A.入轨后可以位于北京正上方B.入轨后的速度大于第一宇宙速度C.发射速度大于第二宇宙速度D.若发射到近地圆轨道所需能量较少解析D 同步卫星只能位于赤道正上方，A 错误；由GMm r 2=mv 2r 可得v =GM r ，可知卫星的轨道半径越大，环绕速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B 错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度，C 错误；若该卫星发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少。
2世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”在圆满完成4个月的在轨测试任务后，正式交付用户单位使用。
如图为“墨子号”变轨示意图，轨道A 与轨道B 相切于P 点，轨道B 与轨道C 相切于Q 点，以下说法正确的是()A.“墨子号”在轨道B 上由P 向Q 运动的过程中速率越来越大B.“墨子号”在轨道C 上经过Q 点的速率大于在轨道A 上经过P 点的速率C.“墨子号”在轨道B 上经过P 点时的向心加速度大于在轨道A 上经过P 点时的向心加速度D.“墨子号”在轨道B 上经过Q 点时受到的地球的引力小于经过P 点时受到的地球的引力解析D “墨子号”在轨道B 上由P 向Q 运动的过程中，逐渐远离地心，速率越来越小，故选项A 错误；“墨子号”在A 、C 轨道上运行时，轨道半径不同，根据G Mm r2=m v 2r 可得v =GM r ，轨道半径越大，线速度越小，故选项B 错误；“墨子号”在A 、B 两轨道上经过P 点时，离地心的距离相等，受地球的引力相等，所以加速度是相等的，故选项C 错误；“墨子号”在轨道B 上经过Q 点比经过P 点时离地心的距离要远些，受地球的引力要小些，故选项D 正确。
曲线运动万有引力定律（一）圆周运动【例题精选】：例1：在图6（a）的装置中，质量为M的物体与质量为m的物体用细绳连接，物体M与转台一起以角速度ω做匀速圆周运动，试分析M的转动半径R。
解：物体M m与构成连接体，隔离M m与且做受力分析（如图6(b)所示），二者的受力情况中，绳子两端的拉力T大小相等，m处于平衡状态，有T mg=——————①M在水平面做匀速圆周运动，Mg与N相互平衡，而T为向心力即T M R=ω2——————②由①式与②式可得mg M R=ω2·Rmg M =ω2若M的转动半径RmgM>ω2,而m M、与ω不变，则绳子的拉力T mg M=小于所需的向心力，M将要远离圆心，若该桌面是粗糙时此时物体M会受到指向圆心的摩擦力作用。
设最大静摩擦力为f R Mm,'为可能的最大半径.如图7(a)，则有T f M R m +=ω2'又因T mgR mg f M m=∴'=+ω2若M 的转动半径R mgM 〈ω2,绳子的拉力T mg M =大于所需的向心力，物体M 将要向圆心运动，此时摩擦力方向背离圆心，此时物体M 会受到背离圆心的摩擦力作用。
设''R M 为物体的最小圆半径.如图7(b)， 则有T f M R m -=''ω2同样T mgR mg f M m=∴''=-ω2例2：如图8(a)，一根轻杆长L ，两端各固定一个质量为m 的小球A 和B ，在距A 球L 3处有一转轴O ，当杆绕轴在竖直平面内匀速转动时，周期T L g=2π，分析杆转到图示的竖直位置时，两球对杆的作用力及轴对杆的作用力。
解：隔离A 球与B 球，且做受力分析如图8(b)，设杆对A 球有向下拉力N 1，杆对B 球有向上拉力N 2，这时因轴对杆可能也有力的作用，所以不能认为N 1与N 2的大小相等。
两球的角速度相同，且ωπ==2T gLA ,球的圆周半径R LB A =3,球的圆周运动半径R L B =23，根据牛顿第二定律列出方程，对A 球有 N mg m L123+=ωN m g L L mg mg 12323=⎛⎝ ⎫⎭⎪-=-·N 1得出负值说明N 1的实际方向与所设方向相反即杆对球是向上的支持力，大小为23mg ,球对杆则是向下压力，大小为23mg .对球有B N mg m L 2223-=ωN m g L L mg mg 222353=⎛⎝ ⎫⎭⎪+=·即杆对球有向上拉力，大小为53mg ，而球对杆的作用力应向下，大小为53mg 。
《曲线运动与万有引力定律》基础知识复习一、曲线运动1、曲线运动的性质：（1）曲线运动中运动的方向时刻_______ （改变、不变、），质点在某一时刻（某一点）的速度方向是沿______________ ，并指向运动的凹侧。
（2）曲线运动一定是________ 运动，一定具有_________ 。
2、曲线运动的条件：（1）运动速度方向与加速度的方向共线时，运动轨迹是___________（2）运动速度方向与加速度的方向不共线，且合力为定值，运动为_____ ____运动，如：_________________________ ___（3）运动速度方向与加速度的方向不共线，且合力不为定值，运动为____ _______运动，如：_____________________________________3、曲线运动速度大小、方向的的判定：（1）当力的方向与速度垂直时：速度的大小_______（变、不变、可能变），（2）当力的方向与速度成锐角时：速度的大小________ （变大、不变、变小），（3）力的方向与速度成钝角时：速度的大小___________ （变大、不变、变小），曲线运动轨迹向___________________弯曲；1. 关于物体做曲线运动，下列说法正确的是A. 物体在恒力作用下不可能做曲线运动B. 物体在变力作用下不可能作曲线运动C. 作曲线运动的物体，其速度方向与加速度方向不在同一直线上D. 物体在变力作用下不可能作直线运动2. 下列曲线运动的说法中正确的是A. 速率不变的曲线运动是没有加速度的B. 曲线运动一定是变速运动C. 变速运动一定是曲线运动D. 曲线运动一定有加速度，且一定是匀加速曲线运动3．关于物体做曲线运动的条件，下述说法正确的是A. 物体在恒力作用下不可能做曲线运动B. 物体在变力作用下一定做曲线运动C. 合力的方向与物体速度的方向不相同也不相反时，物体一定做曲线运动D. 做曲线运动的物体所受到的力的方向一定是变化的4. 红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的：A. 直线P B．曲线Q C．曲线R D．无法确定二、平抛运动5. 如图所示，飞机离地面高度为H＝500m，水平飞行速度为v1＝100m/s，追击一辆速度为v2＝20 m/s同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g=10m/s2)6. 关于平抛运动，下列说法中正确的是A. 平抛运动都是加速度不变的运动B. 平抛运动的水平射程只决定于初始位置的高度，而与抛出速度无关；C. 平抛运动的水平射程只决定于初速度的大小，而与抛出高度无关；D. 平抛运动的速度和加速度方向都是在不断变化的。
曲线运动与万有引力定律知识点1 运动的合成与分解1．合运动与分运动的关系（1）独立性：合运动的几个分运动是完全独立的，可以对每个分运动进行分别处理．（2）等时性：合运动与分运动是在同一时间进行的，它们之间不存在先后的问题．（3）等效性：各个分运动的规律叠加起来与合运动规律有完全相同的效果． 2．方法（1）加速度、速度、位移等都是矢量，遵守矢量的运算法则，类似于力的合成与分解的方法，如平行四边形法则、三角形法则、多边形法则、按实际效果分解、正交分解等． （2）合运动的性质和轨迹由分运动的性质和初速度、加速度决定，将分运动的初速度和加速度分别合成得到合运动的初速度和加速度，从而知道合运动的性质．如： ①两个匀速直线运动的合运动是匀速直线运动．②一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动可能是匀变速直线运动或匀变速曲线运动．3．两类典型问题． （1）绳连物问题物体的实际运动速度为合速度，一般将该速度沿绳和垂直于绳两个方向正交分解．如图所示，两物体A 和B 通过不可伸长的绳连在一起．则两物体沿绳方向的分速度大小相等． （2）小船过河问题：若用1v 表示水速，2v 表示船速，则 过河时间仅由2v 的垂直于岸的分量v ⊥决定，即dt v ⊥=，与1v 无关，所以当2v 垂直于河岸时，过河所用时间最短，最短时间为2dt v =，也与1v 无关． 过河路程由实际运动轨迹的方向决定，当12v v ＜时，最短路程为d ；当12v v ＞时，最短路程为12v d v （如图所示）．知识点2 曲线运动1．条件（1）从动力学角度看，当物体所受合外力与速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动；（2）从运动学角度看，当加速度方向与速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动．①若合外力为恒力，则物体做匀变速曲线运动，典型运动为：平抛运动．②若合外力大小恒定，方向始终垂直于速度方向，则物体做匀速圆周运动．（匀速圆周运动的速度方向一直在变化，速率不变，是变速运动，不是匀速运动．）2．特点（1）运动特点：速度方向时刻变化，速度大小不一定变化．做曲线运动的质点在某一点的瞬时速度的方向是通过该点的曲线的切线方向．曲线运动中，速度的方向在不断发生变化，因此，所有的曲线运动都是变速运动，但是，并非所有的变速运动都是曲线运动，如匀变速直线运动是变速运动，但不是曲线运动．（2）受力特点：合外力与速度不共线，且指向轨迹曲线的凹侧．做曲线运动的物体，其轨迹弯向合外力的方向，因此，可以根据轨迹来大致判断合外力方向．（3）曲线运动的加速度①向心加速度：物体所受的合外力在垂直于速度方向上的分力产生的加速度，用来描述速度方向变化的快慢．②切向加速度：物体所受的合外力沿速度方向上的分力产生的加速度，用来描述速度大小变化的快慢．1、如图所示，不计摩擦和绳质量的条件下，木块匀速上升，速度为v0，设小车速度为v，绳与水平面的夹角为θ，试问：下列说法正确的是：（）A．小车做匀速直线，其速度大小为v=v0B．小车做减速运动，其速度大小为v=v0/cosθC．小车做加速运动，其速度大小为v=v0/cosθD．绳子中的力始终不变2、小船在200m宽的河中横渡，已知水流速度是4m/s，船在静水中的速度是2m/s．求：怎样渡河位移最小?该最小位移为多大?3、甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为H，河水流速为v0，划船速度均为v，出发时两船相，甲、乙两船船头均与河岸成60°角，如图所示，已知乙船恰好能垂直到达对岸A点，则下列判断正确的是（）A．甲、乙两船到达岸的时间不同B．v=2v0C．两船可能在未到达对岸前相遇D．甲船也在A点靠岸知识点3 平抛运动1．定义水平抛出的物体只在重力作用下的运动．2．性质加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．平抛运动的速率随时间变化不是均匀的，但速度随时间的变化是均匀的，要注意区分．3．规律（1）平抛运动如图所示．（2）其合运动及在水平方向上、竖直方向上的运动如下表所示：（3）重要推论①从抛出点开始，任意时刻速度偏向角的正切值等于位移偏向角正切值的两倍．②抛物线上某点的速度反向延长线与初速度延长线的交点到抛点的距离等于该段平抛水平位移的一半．③在任意两个相等的t ∆内，速度矢量的变化量v ∆是相等的，即v ∆的大小与t ∆成正比，方向竖直向下．④平抛运动的时间为t =，取决于下落的高度，而与初速度大小无关．水平位移0x v t v == 4．求解方法（1）常规方法：将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，利用运动的合成及分解来做．（2）特殊方法：巧取参考系来求解，例如：选取具有相同初速度的水平匀速直线运动物体为参考系，平抛物体做自由落体运动；选取自由落体运动的物体为参考系，平抛物体做匀速直线运动．1、（2008广东高考）某同学对着墙壁练习打网球，假定球在墙面上以25m/s 的速度沿水平方向反弹，落地点到墙面的距离在10m 至15m 之间，忽略空气阻力，取g=10m/s 2，球在墙面上反弹点的高度范围是（ ） A ．0.8m 至1.8m B ．0.8m 至1.6m C ．1.0m 至1.6mD ．1.0m 至1.8m2、如图所示，小球a 、b 的质量分别是m 和2m 。
曲线运动、万有引力考点例析本章知识点，从近几年高考看，主要考查的有以下几点：（1）平抛物体的运动。
（2）匀速圆周运动及其重要公式，如线速度、角速度、向心力等。
（3）万有引力定律及其运用。
（4）运动的合成与分解。
注意圆周运动问题是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，要加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析、解决实际问题的能力。
近几年对人造卫星问题考查频率较高，它是对万有引力的考查。
卫星问题与现代科技结合密切，对理论联系实际的能力要求较高，要引起足够重视。
本章内容常与电场、磁场、机械能等知识综合成难度较大的试题，学习过程中应加强综合能力的培养。
一、夯实基础知识1、深刻理解曲线运动的条件和特点（1）曲线运动的条件：运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。
（2）曲线运动的特点：①在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通过这一点的曲线的切线方向。
②曲线运动是变速运动，这是因为曲线运动的速度方向是不断变化的。
③做曲线运动的质点，其所受的合外力一定不为零，一定具有加速度。
2、深刻理解运动的合成与分解物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的，由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成；由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。
运动的合成与分解基本关系：①分运动的独立性；②运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；③运动的等时性；44运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。
）3.深刻理解平抛物体的运动的规律 （1）．物体做平抛运动的条件：只受重力作用，初速度不为零且沿水平方向。
物体受恒力作用，且初速度与恒力垂直，物体做类平抛运动。
（2）．平抛运动的处理方法通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。
(3)．平抛运动的规律以抛出点为坐标原点，水平初速度v 0方向为沿x 轴正方向，竖直向下的方向为y 轴正方向，建立如图1所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t.①位移分位移0x t =v , 212y gt =,合位移s ,0tan gtϕ=v .ϕ为合位移与x 轴夹角.②速度分速度0x =v v ,y gt =v ,合速度v 0tan gtθ=v . θ为合速度v 与x 轴夹角 (4)．平抛运动的性质做平抛运动的物体仅受重力的作用，故平抛运动是匀变速曲线运动。
《曲线运动和万有引力》基本知识一. 曲线运动（1）曲线运动定义：轨迹是曲线的运动。
（2）曲线运动的速度方向和性质：速度方向就是该点的切线方向，曲线运动的速度方向时刻改变，故曲线运动一定存在加速度，曲线运动一定是变速运动。
（3）物体作曲线运动条件：合外力方向与速度方向不在同一直线上。
（4）. 运动的合成和分解运动的合成及分解规则：平行四边形定则。
合运动一定是物体的实际运动。
分运动之间是相互不相干的。
合运动和各分运动具有等时性。
合运动和分运动的位移、速度、加速度都遵守平行四边形定则。
二. 平抛运动（1）平抛运动的定义：水平抛出物体只在重力作用下的运动。
（2）平抛运动性质：是加速度恒为重力加速度g 的匀变速曲线运动。
（3）平抛运动的处理方法： 分解为⎪⎩⎪⎨⎧======g h t gt y gt v v x t t v x v v v y x /221,/2222011000，动，竖直方向：自由落体运，，的匀速直线运动水平方向：速度为结果得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+===+=+====2220220022022021)21()()(,/2gt t v y x s v gt arctg v v arctg v v gt v v v v v g h t t t x y y x 合合合的夹角和，无关和水平速度完全取决于竖直高度，θ三、圆周运动1．描述匀速圆周运动的相关物理量及其关系(1)物理量：线速度v 、角速度ω、周期T 、频率f 、转速n 、向心加速度a (2)关系：v ＝2πr T＝ωr ＝2πrf ，a ＝v 2r＝ω2r ＝4π2T 2r ＝4π2f 2r ．2．匀速圆周运动的向心力(1)向心力的来源：向心力是由效果命名的力，任何力都可能提供向心力，向心力的作用是只改变线速度的方向，不改变线速度的大小．(2)大小：F 向＝ma ＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2T2r ＝4m π2f 2r (牛顿第二定律)四、万有引力与航天1．天体运动的两个基本规律 (1)万有引力提供向心力行星卫星模型：F ＝G Mm r 2＝m v 2r ＝mr ω2＝m 4π2T 2r双星模型：Gm 1m 2L 2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2(L －r 1)（2）．万有引力等于重力G Mm R 2＝mg (物体在地球表面且忽略地球自转效应)；GMm(R ＋h )2＝mg ′(在离地面高h 处，忽略地球自转效应完全相等，g ′为该处的重力加速度)2．人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期跟轨道半径的关系F 万＝GMm r 2＝F向＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ma →a ＝GM r 2→a ∝1r 2m v 2r →v ＝GM r →v ∝1r m ω2r →ω＝GM r 3→ω∝1r 3m 4π2T2r →T ＝4π2r 3GM →T ∝r 3.黄金代换3求天体的质量和密度g 值法 2R mMGmg =环绕法4．宇宙速度(1)第一宇宙速度(环绕速度)：v ＝gR ＝7.9_km/s ，是卫星发射的最小速度，也是卫星环绕地球运行的最大速度． (2)第二宇宙速度（脱离速度）：v ＝11.2 km/s (3)第三宇宙速度（逃逸速度）：v ＝16.7 km/s 5．关于地球同步卫星地球同步卫星是指与地球自转同步的卫星，它相对于地球表面是静止的，广泛应用于通信领域，又叫做同步通信卫星．其特点可概括为五个“一定”：(1)位置一定 (2)周期(T )一定T=24h(3)距离地球表面的高度(h )一定 (4)环绕速率(v )一定（5）轨道一定GgR M 2=r Tm r Mm G 2224π=2324GT r M π=⇒2GM gR =。
2019 年高考物理公式大总结：曲线运动、万有引力高中物理公式大总结2：质点的运动 (2)——曲线运动、万有引力二、质点的运动 (2)——曲线运动、万有引力1)平抛运动1.水平方向速度： Vx=V o2.竖直方向速度： Vy=gt3.水平方向位移： x=Vot4.竖直方向位移： y=gt2/25.运动时间 t=(2y/g)1/2(往常又表示为 (2h/g)1/2)6.合速度 Vt=(Vx2+Vy2)1/2=[V o2+(gt)2]1/2 ，合速度方向与水平夹角β :tg=Vy/Vx=gt/V0β7.合位移： s=(x2+y2)1/2,位移方向与水平夹角α:tgα=y/x=gt/2Vo8.水平方向加快度： ax=0;竖直方向加快度： ay=g注：(1)平抛运动是匀变速曲线运动，加快度为g，往常可看作是水平方向的匀速直线运与竖直方向的自由落体运动的合成;(2)运动时间由着落高度h(y)决定与水平抛出速度没关;(3)θ与β的关系为 tg β=2tg α;(4)在平抛运动中时间 t 是解题重点 ;(5)做曲线运动的物体必有加快度，当速度方向与所受协力 (加快度 )方向不在同向来线上时，物体做曲线运动。
2)匀速圆周运动1.线速度 V=s/t=2πr/T 2角.速度ω=Φ/t=2 π/T=2f π3.向心加快度 a=V2/r= ω2r=(2 π/T)2r向4心.力 F 心=mV2/r=mω 2r=mr(2 π /T)2=m ω合v=F5.周期与频次： T=1/f6.角速度与线速度的关系：V=ωr7.角速度与转速的关系ω=2π此n(处频次与转速意义同样)8.主要物理量及单位：弧长(s):米(m);角度 (Φ)：弧度 (rad);频次 (f) ：赫(Hz); 周期 (T) ：秒 (s);转速 (n)：r/s;半径 (r): 米(m);线速度 (V) ：m/s;角速度( ω)：rad/s;向心加快度：m/s2。
注：(1)向心力能够由某个详细力供给，也能够由协力供给，还能够由分力供给，方向一直与速度方向垂直，指向圆心;(2)做匀速圆周运动的物体，其向心力等于协力，而且向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小，所以物体的动能保持不变，向心力不做功，但动量不停改变。
胶南八中2010年高考物理冲刺静悟导读（３）--曲线运动、万有引力定律【考试说明解读】 一、曲线运动1．曲线运动的条件：质点所受合外力的方向（或加速度方向）跟它的速度方向不在同一直线上。
当物体受到的合力为恒力（大小恒定、方向不变）时，物体作匀变速曲线运动 ，如平抛运动；当物体受到的合力大小恒定而方向总跟速度的方向垂直，则物体将做匀速率圆周运动．2．曲线运动的特点：曲线运动的速度方向一定改变，所以是变速运动。
二、运动的合成与分解1. 合运动与分运动的特征：等时性、独立性2. 连带运动问题：物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。
由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。
【例1】如图所示，汽车甲以速度v 1拉汽车乙前进，乙的速度为v 2，甲、乙都在水平面上运动，求v 1∶v 2。
解析：甲、乙沿绳的速度分别为v 1和v 2cos α，两者应该相等，所以有v 1∶v 2=cos α∶1三、平抛运动1. 定义：当物体初速度水平且仅受重力作用时的运动，被称为平抛运动。
其轨迹为抛物线，性质为匀变速曲线运动。
2. 一个有用的推论：平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。
【例2】小球从空中以某一初速度水平抛出，落地前1s 时刻，速度方向与水平方向夹角30°，落地时速度方向与水平方向夹角60°，g ＝10m/s 2，求小球在空中运动时间及抛出的初速度。
（ 2/3g ；1.5s ）四、匀速圆周运动 1. 向心力①方向：总是指向圆心，时刻在变化(F 是个变力)②大小：F=ma=mv 2/r=mr ω2=m(2π/T)2r=m(2πf) 2r③作用：产生向心加速度度，只改变速度方向，不改变速率④向心力是按力的作用效果命名的，它并非独立于重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力以外的另一种力，而是这些力中的一个或几个的合力.⑤动力学表达式：将牛顿第二定律F=ma 用于匀速圆周运动，即得F=mv 2/r=mr ω2=m ωv=m(2π/T)2r=m(2πf)2r2. 向心加速度①方向：总是指向圆心，时刻在变化②大小：a=v 2/r=ω2r=(2π/T)2r=(2πf)2r ③物理意义：描述线速度改变的快慢注意： a 与r 是成正比还是成反比?若ω相同则a 与r 成正比，若v 相同，则a 与r 成反比；若是r 相同，则a 与ω2成正比，与v 2成正比。
专题二曲线运动、万有引力定律一、大纲解读1、物体做曲线运动的条件是：质点所受合外力的方向（或加速度方向）跟它的速度方向不在同一直线上。
注意：曲线运动一定是变速运动：因为其速度的方向一定改变。
需要重点掌握的两种情况：一是加速度大小、方向均不变的曲线运动，叫匀变速曲线运动，如平抛运动，另一是加速度大小不变、方向时刻改变的曲线运动，如匀速圆周运动。
2、运动的合成和分解遵循的是平行四边形定则，合成与分解的是位移、速度、加速度的合成与分解，这些量都是矢量。
运动的独立性原理是进行运动合成的基础.所谓独立性就是几个分运动的效果都能在物体的实际运动中表现出来，只有这样我们才能把它们的效果叠加起来，即进行合成。
所以合运动与分运动具有等时性。
3、平抛运动的两个要点是必须受重力，且初速度方向水平，否则都只能是类平抛运动。
平抛运动是匀变速运动（这是很多学生易错的地方），处理方法是分解为水平方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动。
4、圆周运动向心力的计算实际是牛顿运动定律的应用，求解时与应用牛顿第二定律一样，关键之一是进行受力分析，注意向心力是效果力，受力分析时不能分析的。
注意掌握几种常见的模型，圆锥摆，水流星，拱形桥、汽车与火车转弯。
5、应用万有引力定律解题时注意其适用条件是两质点间的万有引力，对匀质的小球即使离得近点也可以用万有引力定律求之间的作用力。
6、万有引力定律解决天体运行问题的要点之一是抓住万有引力提供向心力这个关键。
进行有关估算时，先建立匀速圆周运动模型，再结合向心力公式求解。
三、规律整合1、物体运动轨迹的判断当物体受到的合外力方向与物体的速度方向不共线时，物体将偏离直线路径，其轨迹向合外力方向弯曲做曲线运动。
2、牵连运动约束运动的处理方法牵连运动是指物体间通过杆、绳连接而使运动互相关联，处理牵连运动问题一般按以下步骤进行：（1）先确定合运动。
物体的实际运动就是合运动。
（2）确定合运动的两个实际效果：一是沿牵引方向的平动效果，改变速度的大小；二是垂直于牵引方向的转动效果，改变速度的方向。
曲线运动1．曲线运动的特征（1）曲线运动的轨迹是曲线。
（2）由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。
即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。
（3）由于曲线运动的速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的中速度必不为零，所受到的合外力必不为零，必定有加速度。
（注意：合外力为零只有两种状态：静止和匀速直线运动。
）曲线运动速度方向一定变化，曲线运动一定是变速运动，反之，变速运动不一定是曲线运动。
2．物体做曲线运动的条件(1)从动力学角度看：物体所受合外力方向跟它的速度方向不在同一条直线上。
(2)从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。
3．匀变速运动：加速度（大小和方向）不变的运动。
也可以说是：合外力不变的运动。
4曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。
（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F2改变速度的大小，沿径向的分力F1改变速度的方向。
①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。
②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。
③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
（举例：匀速圆周运动）平抛运动基本规律1．速度：0xyv vv gt=⎧⎨=⎩合速度:22yxvvv+=方向：oxyvgtvv==θtan2．位移212x v ty gt=⎧⎪⎨=⎪⎩合位移：22x x y=+合方向：ovgtxy21tan==α3．时间由:221gt y =得gy t 2=（由下落的高度y 决定）4．平抛运动竖直方向做自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。
5．tan 2tan θα= 速度与水平方向夹角的正切值为位移与水平方向夹角正切值的2倍。
6.平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度方向延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。
圆周运动与万有引力测试题
姓名 班级
一、选择题（每题4分，共32分）
1如图所示，以v 0=10 m / s 的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2s
2、2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有
A 在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过
B 的速度
B 在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的速度
C 在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D 在轨道Ⅱ上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度
3、我们在推导第一宇宙速度的公式gR v =时，需要做一些假设和
选择一些理论依据，下列必要的假设和理论依据有（ ）
A. 卫星做半径等于地球半径的匀速圆周运动
B.卫星所受的重力全部作为其所需的向心力
C.卫星所受的万有引力仅有一部分作为其所需的向心力
D.卫星的运转周期必须等于地球的自转周期
4、1798年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人，若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径为R ，地球上一个昼夜的时间为T 1（地球自转周期），一年的时间T 2（地球公转的周期），地球中心到月球中心的距离L 1，地球中心到太阳中心的距离为L 2．你估算出（ ）
A 、地球的质量
B 、太阳的质量
C 、月球的质量
D 、可求月球、地球及太阳的密度
5、2012年6月16日18时37分，执行我国首次载人交会对接任务的“神舟九号”载人飞船发射升空，在距地面343公里的近圆轨道上，与等待已久的“天宫一号”实现多次交会对接、分离，于6月29日10时许成功返回地面，下列关于“神舟九号”与“天宫一号”的说法正确的是( )
A ．若知道“天宫一号”的绕行周期，再利用引力常量，就可算出地球的质量
B ．在对接前，“神舟九号”轨道应稍低于“天宫一号”的轨道，然后让“神舟九号”加速追上“天宫一号”并与之对接
C ．在对接前，应让“神舟九号”和“天宫一号”在同一轨道上绕地球做圆周运动，然后让“神舟九号”加速追上“天宫一号”并与之对接
D ．“神舟九号”返回地面时应在绕行轨道上先减速
6、有a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，a 还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b 处于地面附近的近地轨道上正常运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，各卫星排列位置
G gR m 2=地22
3
224GT L m π=太2
13124GT L m π=月
如图1所示，则有( )
A ．a 的向心加速度等于重力加速度g
B ．b 在相同时间内转过的弧长最长
C ．c 在4小时内转过的圆心角是π/6
D ．d 的运动周期有可能是20小时
7、如图2所示，是某次发射人造卫星的示意图，人造卫星先在近地圆周轨道
1上运动，然后改在椭圆轨道2上运动，最后在圆周轨道3上运动，a 点是轨
道1、2的交点，b 点是轨道2、3的交点，人造卫星在轨道1上的速度为v 1，
在轨道2上a 点的速度为v 2a ，在轨道2上b 点的速度为v 2b ，在轨道3上的
速度为v 3，则各速度的大小关系是( )
A ．v 1>v 2a >v 2b >v 3
B ．v 1<v 2a <v 2b <v 3
C ．v 2a >v 1>v 3>v 2b
D ．v 2a >v 1>v 2b >v 3
8、一条河宽100米，船在静水中的速度为4m/s ，水流速度是5m/s ，则（ ）
A ．该船可能垂直河岸横渡到对岸
B ．当船头垂直河岸横渡时，过河所用的时间最短
C ．当船头垂直河岸横渡时，船的位移最小，是100米
D ．当船横渡时到对岸时，船对岸的最小位移是100米
二、实验题（每空4分，共16分）
9、如图所示，A 、B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并
分别置于光滑水平面上，若A 车以速度v 0向右匀速运动，
当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B 车的速度是 ？
10、（1）在做“描绘平抛运动轨迹”的实验时，让小球多次沿同一轨道运动，通过描点法画小球做平抛运动的轨迹，为了能较准确地描绘运动轨迹，下面列出了一些操作要求，将你认为正确的选项前面的字母填在横线上___________.
（A ）通过调节使斜槽的末端保持水平（B ）每次释放小球的位置可以不同 （C ）每次必须由静止释放小球 （D ）记录小球位置用的木条（或凹槽）每次必须严格地等距
离下降
（E ）小球运动时不应与木板上的白纸（或方格纸）相接触
（F ）将球的位置记录在纸上后，取下纸，用尺将点连成折线 （2）如图所示，有人对“利用频闪照相研究平抛运动规律”
装置进行了改变，在装置两侧都装上完全相同的斜槽A 、B ，
但位置有一定高度差，白色与黑色的两个相同的小球都由斜槽某位置静止开始释放。
实验后对照片做一定处理并建立直
角坐标系，得到如图所示的部分小球位置示意图。
①观察改进后的实验装置可以发现，斜槽末端都接有一小段水平槽，这样做的目的是 。
②（多选题）根据部分小球位置示意图，下列说法正确的是
（ ）
(A)闪光间隔为0.1s (B)A 球抛出点坐标（0，0）
(C)B 球抛出点坐标（0.95m ，0.50m ）(D)两小球是从斜槽的相同位置静止释放
O x/
m y/ m 0.50 0.50
1.00
C A B
③若两球在实验中于图中C位置发生碰撞，则两小球释放的时间差约为 s。
三、计算题（共52分）
11（10分）、某人为了测定一个凹形路面的半径，在乘汽车通过凹形路面的最低点时，他注意到车上速度计的示数为72km/h，悬挂1kg砝码的弹簧秤示数为11.8N，由此估算出凹行路面的半径为多少？
12、（共20分）（1）一质量为m的小球，用长为L细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动。
若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点的速度为多少？小球的受力情况如何？（2）如图所示，一质量为m的小球，在半径为R 光滑轨道上，使其在竖直
面内作圆周运动。
若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点的速度为多少？
小球的受力情况如何？
（3）长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，上端连接着一个质量m＝2kg的小
球A，小球绕O点做圆周运动，当经过最高点时，杆的受力情况（g取10 m/s2）：
①当A的速率v1＝4m／s时；②当A的速率v2＝1m／s时。
（4）如图所示，一质量为m的小球，放在一个内壁光滑的封闭管内，使其在
竖直面内作圆周运动。
若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点的速度为？
小球的受力情况如何？
13、（10分）如图所示，一高度为h=0.2 m的水平面在A
点处与一倾角为θ=30°的斜面连接，一小球以v0=5 m / s的
速度在平面上向右运动，求小球从A点运动到地面所需的
时间（平面与斜面均光滑，取g=10 m / s2）。
14（12分）、一固定斜面ABC，倾角为θ，高AC=h，如图所示，
在顶点A以某一初速度水平抛出一小球，恰好落在B点，空气阻力
不计，试求自抛出起经多长时间小球离斜面最远？
四、选做题（共20分）
15、（8分）质量为100 t的火车在轨道上行驶，火车内外轨连线与水平面的夹角为α＝37°，如图所示，弯道半径R＝30 m，重力加速度取l0m／s2。
（sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
(1)当火车的速度为v1 ＝10 m／s时，轨道受到的侧压力多大?方向如何?
(2)当火车的速度为v2 ＝20 m／s时，轨道受到的侧压力多大?方向如何?
16、（12分）神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示.引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T.
(1)可见星A所受暗星B的引力F a可等效为位于O点处质量为m′的星
体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′(用
m1、m2表示).
(2)求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之
间的关系式；。
