导数应用_含参函数的单调性讨论(一).doc

单调性是描述函数的变化趋势的重要概念，其中，用导数讨论含参函数的单调性尤为重要。

首先，我们来解释“含参函数”一词的意思。

含参函数是指具有参数的函数，也叫带参数函数，它们可以用参数来控制函数的变化趋势。

其次，让我们来看看如何用导数讨论含参函数的单调性。

在微积分中，导数是用来表示函
数变化率的重要概念，它可以帮助我们确定函数的单调性。

通常情况下，当函数的导数大于0时，函数在此处是单调递增的；当函数的导数小于0时，函数在此处是单调递减的。

例如，考虑函数$y=ax^2+bx+c$，其中a，b，c均为常数。

该函数的导数为$y'=2ax+b$。

因此，当$2a>0$时，函数是单调递增的；当$2a<0$时，函数是单调递减的。

更一般地，如果函数$f(x)$的导数$f'(x)$满足$f'(x)>0$，则函数$f(x)$在$[a, b]$内是单调递
增的；如果$f'(x)<0$，则函数$f(x)$在$[a, b]$内是单调递减的。

再比如，考虑函数$y=sin(x)$，其导数为$y'=cos(x)$，当$cos(x)>0$时，函数$y=sin(x)$是单调递增的；当$cos(x)<0$时，函数$y=sin(x)$是单调递减的。

总之，用导数讨论含参函数的单调性是很有用的，我们可以用它来判断函数是单调递增还是单调递减。

正如著名数学家高斯所说：“数学是一种分析、综合和抽象的技术，它既是
一种艺术，也是一种科学。

”。

导数应用：含参函数的单调性讨论(一)一、思想方法：上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('⇒=∈⇒<∈⇒>∈⇔∈⇔<⇔∈⇔>讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。

二、典例讲解例1 讨论xax x f +=)(的单调性，求其单调区间 解：xax x f +=)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('222≠-=-=x xa x x a x f (它与a x x g -=2)(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立，此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f >-<⇔≠>或)0(0)('a x x a x x f <<<<-⇔≠<00)0(0)('或此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数，)(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ;)(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a .步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。

1．设函数．（ 1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；（ 2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；（ 3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．2．已知函数是的导函数，为自然对数的底数．（ 1）讨论的单调性；（ 2）当时，证明：；（ 3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由．3．已知函数（其中，）.（ 1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；（ 2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）. 4．已知函数，其中为常数.（ 1）讨论函数的单调性；（ 2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有.5 ．已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数 .（ 1）求的值；（ 2）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；6．已知函数ln , x ，其中.f x ax x F x e ax x 0, a 0（ 1）若f x 和 F x 在区间 0,ln3 上具有相同的单调性，求实数 a 的取值范围；（ 2）若a , 1 ，且函数 g x xe ax 1 2ax f x 的最小值为 M ，求 M 的e2最小值 .7．已知函数 f ( x) e x m ln x .（ 1）如x 1 是函数 f (x) 的极值点，求实数m 的值并讨论的单调性 f (x) ；（ 2）若x x0是函数f ( x)的极值点，且f ( x) 0 恒成立，求实数m 的取值范围（注：已知常数 a 满足 a ln a 1 ） .8．已知函数 f x ln 1 mx x2mx ，其中0 m 1 ．2（ 1）当m 1时，求证： 1 x 0 时， f x x3；3（ 2）试讨论函数y f x 的零点个数．9．已知e 是自然对数的底数 , F x 2e x 1 x ln x, f x a x 1 3 .（1）设T x F x f x , 当a 1 2e 1时, 求证： T x 在 0, 上单调递增；（2）若x 1, F x f x , 求实数a的取值范围 .10 ．已知函数f x e x ax 2（1）若a 1 ，求函数f x 在区间[ 1,1]的最小值；（2）若a R, 讨论函数 f x 在 (0, ) 的单调性；（3）若对于任意的x1, x2 (0, ), 且 x1 x2,都有 x2 f ( x1) a x1 f ( x2 ) a 成立，求 a 的取值范围。

导数在数学含参问题中的应用新课程利用导数解决含参问题或恒成立问题，导数是分析和解决问题的有效工具。

但学生在运用导数解决含参的问题时，往往会束手无措，特别是对其中的分离参数无法纯粹的分离出来感到苦恼。

其实这一部分主要就是根据函数的单调性求出函数在一定条件下的最值，进而解决恒成立问题，含参数问题既是高中教学的重点和难点，又是历年高考的热点。

本文从常见题型对含参函数问题进行了分析与研究，着重介绍常见题型利用导数解决这些问题的基本策略。

标签：导数函数的单调性参数的取值范围恒成立导数的思想最初是由法国的数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但随着人们对导数概念和性质的进一步认识和研究便发现它的引出和定义始终贯穿着函数思想。

新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强它在解决函数的含参问题上带来了很大的便利。

以函数为载体，以导数为工具，运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题，主要是求存在性问题或恒成立问题中的参数的范围。

解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想，通过不断地转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题。

解决的主要途径是将含参数不等式的存在性或恒成立问题根据其不等式的结构特征，恰当地构造函数，等价转化为含参函数的最值讨论。

这也是最近几年高考在命题是在函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向。

由于这类题目涉及的知识面广，综合性强，不少考生在处理这类问题时，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，以至于处于无从下手的盲区，希望下面一些拙见能对一些考生的备考有所作用。

一、含参函数的单调性的问题导数的运算，导数与函数单调性的关系，利用导数的性质对参数进行分类讨论综合运用化归与转化的思想。

【例1】已知函数f（x）=lnx-a2x2+ax（a∈R）.（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间;（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围.解析：（1）当a=1时，f（x）=lnx-x2+x，其定义域是（0，+∞），f′（x）= -2x+1=令f′（x）=0，即- =0，解得x=- 或x=1∵x>0，∴x=1.当00;当x>1时，f′（x）0，∴f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，不合题意.②当a>0时，f′（x）≤0（x>0）等价于（2ax+1）（ax-1）≥0（x>0），即x≥，此时f（x）的单调递减区间为.③当a0）等价于（2ax+1）（ax-1）≥0（x>0），即x≥- ，此时f（x）的单调递减区间为得a≤- .综上，实数a的取值范围是∪[1，+∞）.【例2】已知函数f（x）= -2x2+lnx，其中a为常数.（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间;（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围.解析：（1）若a=1，则f（x）=3x-2x2+lnx的定义域为（0，+∞），f′（x）= -4x+3= = （x>0）.当x∈（0，1），f′（x）>0时，函数f（x）=3x-2x2+lnx单调递增.当x∈（1，+∞），f′（x）<0时，函数f（x）=3x-2x2+lnx单调递减.故函数f （x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）.（2）f′（x）= -4x+ ，若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，即在[1，2]上，f′（x）= -4x+ ≥0或f′（x）= -4x+ ≤0，即-4x+ ≥0或-4x+ ≤0在[1，2]上恒成立.即≥4x- 或≤4x- .令h（x）=4x- ，因为函数h（x）在[1，2]上单调递增，所以≥h（2）或≤h（1），即≥ 或≤3，解得a<0或0<a≤ 或a≥1.二、含参函数中的恒成立问题可先利用题设条件建立变量的关系式，将所求变量和另一已知变量分离或半分离（无法纯粹的分离），得到函数关系，从而使这种具有函数背景的范围问题迎刃而解，再由已知变量的范围求出函数的值域，即为所求变量的范围。

3
2
y
y
y
-1 0 x
-1 a 0 x a -1 0 x
①当a=-1时
②当a>-1时
③当a<-1时
小结：当两根的大小不确定时，应进行分类讨论.
探究二
变式二：讨论函数f ( x) 1 x2 +(1 a)x a ln x的单调性. 2
y
y
0a
x a0 x
①当a>0时
②当a≤0时
小结：当根大小不确定时，应讨论根的大小及根是否在定义域内.
2、已知函数f ( x) ln x a ，求f ( x)的单调区间 x
3、已知函数f ( x) 1 ax2 x (a 1)ln x,讨论f ( x)的单调性 2
感谢您的指导
邱奉美
第三章 导数应用
利用导数研究含参函数的单调性
（第1课时）
探究一
变式一：讨论函数f ( x) 1 x3 1 a x2 ax 1的单调性.
3
2

探究一
变式一：讨论函数f ( x) 1 x3 1 a x2 ax 1的单调性.
0，x2
1
1)当 1 1即a 1时，f (x)在（0， ）上递增.
a
10 0a1 00
10
1 1
x 11
xx
1
xx
aa
2)当1 1即a 1时，f (x)在（0，1）和（1， )上递增; f (x)在（ 1 ，1）上递减.
a
a
a
3)当1 1即0 a 1时，f (x)在（0，1）和（1， )上递增; f (x)在（1，1 ）上递减.
探究二
变式三：讨论函数f ( x) 1 x2 (a 1)x a ln x的单调性. 2

第19页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
由f′(x)>0，解得x>1＋ 2或x<1－ 2. 由f′(x)<0，解得1－ 2<x<1或1<x<1＋ 2. ∴f(x)的单调递增区间是(－∞，1－ 2)，(1＋ 2，＋∞)， f(x)的单调递减区间是(1－ 2，1)，(1，1＋ 2)．
第20页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
x f′(x) f(x) (－∞，k) － k 0 0 (k，－k) ＋ －k 0 4k2e
－1
(－k，＋∞) －
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)；单调递 增区间是(k，－k)．
第31页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
【答案】 当k>0时，增区间(－∞，－k)和(k，＋∞)，减区 间(－k，k)；当k<0时，减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)，增区 间是(k，－k)．
第 9页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
答案 C 解析 根据题意f′(x)在[a，b]上是先增后减的函数，则在 函数f(x)的图像上，各点的切线斜率是先随x的增大而增大，然 后随x的增大而减小，由四个选项的图形对比可以看出，只有选 项C满足题意．
第10页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
第 6页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
1．(课本习题改编)函数y＝3x2－2lnx的单调递增区间为 ________，单调递减区间为__________．
第 7页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
3 3 答案 ( ，＋∞)，(0， ) 3 3
2 2 6x －2 解析 y′＝6x－x＝ x .

1
导数应用之含参函数单调性的讨论
一．预备知识：
（一）二次方程根的分布：
1．已知方程4x 2+2(m-1)x+(2m+3)=0（m ∈R ）有两个正根，求实数m 的取值范围。

2．已知方程2x 2-(m+1)x+m=0有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

（二）穿根法拓展：
1．
02
2
2>--+x x x 2．(e x -1)(x-1)＞0 3．(e x -1)(x-1)2＞0
4．(e -x -1)(x-1)＞0 5．(1-lnx)(x-1)＞0
二．导后“一次”型：
1．已知函数f(x)=ax-(a+1)·ln(x+1)，a ≥-1，求函数f(x)的单调区间。

2．已知函数f(x)=e x -ax ，讨论函数f(x)的单调性。

三．导后“二次型”：
3．已知函数f(x)=lnx+x 2-ax(a ∈R)，求函数f(x)的单调区间。

2
4．已知函数f(x)=m ·ln(x+2)+2
1x 2
+1，讨论函数f(x)的单调性。

5．求函数f(x)=(1-a)lnx-x+2
2
ax 的单调区间。

6．已知函数f(x)=(ax 2-x)·lnx-2
1ax 2
+x ，讨论f(x)的单调性。

四．导后求导型
7．已知函数f(x)=e x -x 2，求函数f(x)的单调区间。

8．已知函数f(x)=
x
e
x 1
ln ，求函数f(x)的单调区间。

9．已知函数f(x)=e mx +x 2-mx ，讨论函数f(x)的单调性。

3
4。

〖专题5〗 导数的应用—含参函数的单调性讨论“含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点．从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视． 一、思想方法：上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('⇒=∈⇒<∈⇒>∈⇔∈⇔<⇔∈⇔>讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论． 二、典例讲解[典例1] 讨论xax x f +=)(的单调性，求其单调区间． 解：xax x f +=)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('222≠-=-=x xa x x a x f (它与a x x g -=2)(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立，此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f >-<⇔≠>或)0(0)('a x x a x x f <<<<-⇔≠<00)0(0)('或此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数，)(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ;)(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a .步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并．[变式练习1] 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间．解：x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞)0(1)('>+=+=x xa x x a x f (它与a x x g +=)(同号) I ）当0≥a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立，此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数， 即)(x f 的增区间为),0(+∞，不存在减区间; II) 当0<a 时 a x x x f ->⇔>>)0(0)('; a x x x f -<<⇔><0)0(0)('此时)(x f 在),(+∞-a 为单调增函数，)(x f 在),0(a -是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(+∞-a ;)(x f 的减区间为),0(a -．[典例2] 讨论x ax x f ln )(+=的单调性． 解：x ax x f ln )(+=的定义域为),0(+∞)0(11)('>+=+=x xax x a x f (它与1)(+=ax x g 同号) I ）当0=a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立 （此时ax x f 10)('-=⇔=没有意义）此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞ II ）当0>a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立， （此时ax x f 10)('-=⇔=不在定义域内，没有意义） 此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞III)当0<a 时, 令ax x f 10)('-=⇔= 于是，当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号)所以， 此时)(x f 在),0(a-为单调增函数，)(x f 在),1(+∞-a是单调减函数， 即)(x f 的增区间为)1,0(a -;)(x f 的减区间为),1(+∞-a．小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性．即先求出)('x f 的零点，再其分区间然后定)('x f 在相应区间内的符号．一般先讨论0)('=x f 无解情况，再讨论解0)('=x f 过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的），即根据)('x f 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性． [变式练习2] 讨论x ax x f ln 21)(2+=的单调性． 解：x ax x f ln 21)(2+=的定义域为),0(+∞ )0(11)('2>+=+=x xax x ax x f , 它与1)(2+=ax x g 同号. 令)0(010)('2>=+⇔=x ax x f ，当0≥a 时，无解；当0<a 时,aaa x --=-=1(另一根不在定义域内舍去)i)当0=a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立 （此时ax x f 10)('2-=⇔=没有意义） 此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞ii)当0>a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立，(此时 方程012=+ax 判别式0<∆,方程无解)此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞iii)当0<a 时,当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号))+∞是单调减函数，即)(x f 的增区间为)1,0(a-;)(x f 的减区间为),1(+∞-a ．小结：一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果．对于二次型函数（如1)(2+=ax x g ）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论． [典例3] 求1)(232--+=x ax x a x f 的单调区间． 解：1)(232--+=x ax x a x f 的定义域为R ，)1)(13(123)('22+-=-+=ax ax ax x a x fI) 当0=a 时，⇒<-=01)('x f )(x f 在R 上单调递减，)(x f 减区间为R ，无增区间． II) 当0≠a 时032>a ，)('x f 是开口向上的二次函数，令)0(1,310)('21≠-===a ax a x x f 得, 因此可知（结合)('x f 的图象） i)当0>a 时，21x x >ax a x f a x a x x f 3110)(';3110)('<<-⇔<>-<⇔>或 所以此时，)(x f 的增区间为),31()1,(+∞--∞aa 和；)(x f 的减区间为)31,1(a a -ii) 当0<a 时，21x x <ax a x f ax a x x f 1310)(';1310)('-<<⇔<-><⇔>或所以此时，)(x f 的增区间为),1()31,(+∞--∞aa 和；)(x f 的减区间为)1,31(a a -．小结：求函数单调区间可化为导函数的正负讨论（即分讨论其相应不等式的解区间），常见的是化为二次型不等式讨论，当二次函数开口定且有两根时，一般要注意讨论两根大小（分大、小、等三种情况）。

导数的应用(一)---单调性
01 课前自助餐 02 授人以渔 03 课外阅读
课前自助餐
函数的单调性 (1)设函数 y＝f(x)在某个区间内_可_导__，若 f′(x)__>_ 0，则 f(x) 在这个区间内为增函数；若 f′(x)__<_ 0，则 f(x)在这个区间内为 减函数． (2)求可导函数 f(x)单调区间的步骤： ①确定 f(x)的_定__义_域__； ②求导数 f′(x)； ③令 f′(x)__>_ 0(或 f′(x) _<__0)，解出相应的 x 的范围； ④当_f′_(x_)_>_0___时，f(x)在相应区间上是增函数；当_f_′(_x)_<_0___ 时，f(x)在相应区间上是减函数．
【思路】
根据题意当x≥0时f′(x)＝1－
2 3
cos2x>0，又f(x)
是定义在R上的奇函数，则f(x)在定义域上单调递增，tan
2π 5
>tanπ4 ＝1，0<cos2π 5 <1，log3cos2π 5 <0，由函数的单调性可得出
答案．
【解析】 由题意知当x≥0时，f′(x)＝1－23cos2x>0，所以f(x)在
2．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x) 的图象可能是( C )
解析 由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x) 单调递增；当0<x<x1时，f′(x)<0，即函数f(x)单调递减；当x>x1 时，f′(x)>0，即函数f(x)单调递增．观察选项易知C正确．故选C.
授人以渔
题型一 求函数的单调区间(自主学习)
例1 求下列函数的单调区间．

利用导数解决含参的问题(word版含答案和详细解析)高考理科复专题练利用导数解决含参的问题考纲要求：1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。

2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次），会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。

命题规律：利用导数探求参数的范围问题每年必考，有时出现在大题，有时出现在小题中，变化比较多。

不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理。

这也是2018年考试的热点问题。

高考题讲解及变式：利用单调性求参数的范围例1.【2016全国1卷（文）】若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)上单调递增，则a的取值范围是（）。

A。

[-1,1]B。

(-1,1)C。

(-∞,-1]∪[1,+∞)D。

(-∞,-1)∪(1,+∞)答案】C解析】因为f(x)在(-∞,+∞)上单调递增，所以f'(x)>0.将f(x)代入f'(x)得f'(x)=1-2sinx+acosx。

要使f'(x)>0，即要使1-2sinx+acosx>0.因为-1≤sinx≤1，所以1-2sinx≥-1.所以acosx>-1，即a>-1/cosx。

因为cosx=1时，a不等于-1；cosx=-1时，a不等于1.所以a∈(-∞,-1]∪[1,+∞)，选C。

变式1.【2018XXX高三实验班第一次月考（理）】若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上为单调函数，则k的取值范围是_______。

答案】k≥1或k≤-1解析】在区间(1,+∞)上，f'(x)=k-1/x。

导数在函数的单调性、极值中的应用一、知识梳理1．函数的单调性与导数在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果f_′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f_′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减；如果f_′(x)＝0，那么f(x)在这个区间内为常数．问题探究1：若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f ′(x)>0吗？f ′(x)>0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f ′(x)≥0，f ′(x)>0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．2．函数的极值与导数(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f_′(x)<0，右侧f_′(x)>0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近，左侧f_′(x)>0，右侧f_′(x)<0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．问题探究2：若f ′(x0)＝0，则x0一定是f(x)的极值点吗？提示：不一定．可导函数在一点的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件，而不是充分条件，如函数f(x)＝x3，在x＝0时，有f ′(x)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．二、自主检测1．函数y＝x－lnx的单调减区间是( )A．(－∞，1) B．(0,1)C．(1，＋∞) D．(0,2)2．函数f(x)＝x3－3x2＋3x的极值点的个数是( )A．0 B．1C．2 D．33．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( ) A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)4．(2012年山东诸城高三月考)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)( )A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值5．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝( )A．2 B．3C．4 D．56．(1)函数f(x)在x＝x0处可导，则“f ′(x0)＝0”是“x0是函数f(x)极值点”的________条件．(2)函数f(x)在(a，b)上可导，则“f ′(x)>0”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的________条件．(3)函数f(x)在(a，b)上可导，则“f ′(x)≥0”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的________条件．三、考向指导考点1 求函数的单调区间1.求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求 f ′(x)，令f ′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x)在各个开区间内的符号，根据f ′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．2．证明可导函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求 f ′(x)．(2)确认 f ′(x)在(a，b)内的符号．(3)作出结论： f ′(x)>0时，f(x)为增函数； f ′(x)<0时，f(x)为减函数．例1 (2010年全国)已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．课堂过手练习：设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求：(1)a的值；(2)函数y＝f(x)的单调区间．考点2 由函数的单调性求参数的取值范围已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是 f ′(x)≥0(或 f ′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，且 f ′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有 f ′(x0)＝0，甚至可以在无穷多个点处 f ′(x0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间．例2 已知函数f(x)＝x3－ax－1，在实数集R上y＝f(x)单调递增，求实数a的取值范围．课堂过手练习：已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；(3)是否存在a ，使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．考点3 求已知函数的极值运用导数求可导函数 y ＝f(x)极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数 y ＝f(x)的导数 f ′(x)；(2)求方程 f ′(x)＝0的根；(3)检查 f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值．如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值．例3 设f(x)＝ex1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R 上的单调函数，求a 的取值范围．课堂过手练习：函数f(x)＝x3－3x2＋1在x ＝________处取得极小值．考点4 利用极值求参数已知函数解析式，可利用导数及极值的定义求出其极大值与极小值；反过来，如果已知某函数的极值点或极值，也可利用导数及极值的必要条件建立参数方程或方程组，从而解出参数，求出函数解析式．例4 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．课堂过手练习：设函数f(x)＝(x－a)2lnx，a∈R.若x＝e为y＝f(x)的极值点，求实数a.易错点求参数取值时出现典例：已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求a的取值范围．(1)当函数在某个区间内恒有f ′(x)＝0，则f(x)为常数，函数不具有单调性．∴f (x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件．在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，在学习过程中注意思维的严密性．(2)函数极值是一个局部性概念，函数的极值可以有多个，并且极大值与极小值的大小关系不确定．要强化用导数处理单调性、极值、最值、方程的根及不等式的证明等数学问题的意识．(3)如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．纠错课堂练习：已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1处取极值－2.(1)试用c表示a，b；(2)求f(x)的单调递减区间．1．与函数的单调性有关的问题(1)利用导数求函数的单调区间，可通过f ′(x)>0或f ′(x)<0来进行，至于区间的端点是否包含，取决于函数在端点处是否有意义，若有意义，则端点包含与不包含均可；若无意义，则必不能包含端点．(2)若函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)，则在(a，b)上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，若该不等式中含有参数，我们可利用上述结论求参数的范围，它蕴涵了恒成立思想．利用上述方法求得参数的范围后，要注意检验该参数的端点值能否使f ′(x)＝0恒成立．若能，则去掉该端点值；否则，即为所求．2．与函数的极值有关的问题(1)求函数的极值点，可通过f ′(x)＝0来求得，但同时还要注意检验在其两侧附近的导函数值是否异号．(2)若函数f(x)在x＝x0处有极值，则一定有f ′(x0)＝0，我们可利用上述结论求参数的值．。

导数专题：含参函数单调性讨论问题一、导数与函数的单调性1、用导数求函数的单调性的概念：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '≥，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '≤，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．【注意】（1）在某区间内()0(()0)f x f x ''><是函数()f x 在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．（2）可导函数()f x 在(,)a b 上是增(减)函数的充要条件是对(,)x a b ∀∈，都有()0(()0)f x f x ''><且()f x '在(,)a b 上的任何子区间内都不恒为零．2、确定函数单调区间的求法（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '；（3）解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式()0f x '<，解集在定义域内的部分为单调递减区间．二、含参函数单调性讨论依据讨论含参函数的单调性，其本质是导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主。

讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般需要分四个层次来分类：（1）最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；（2）导函数是都有变号零点，即“有没有”；（3）导函数的变号零点是否在定义域或指定区间内，即“在不在”；（4）导函数有多个零点时大小关系，即“大不大”。

三、两大类含参导函数的具体方法1、含参一次函数单调性讨论（1）讨论最高次项是否为0，正负情况；（2）求解导函数的根；（3）定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负值.2、含参二次函数单调性的讨论（1）确定函数的定义域；（2）讨论最高次项是否为0，正负情况；（3）可因式分解型，解得12,x x （注意讨论12x x =）；不可因式分解型，讨论0∆≤及0∆>；（4）讨论1x 和2x 的大小，能因式分解的，注意讨论12x x =；（5）12,x x 将定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负值，判断根和区间端点位置关系的方法有3种：端点函数值+对称轴；韦达定理；求根公式。

利用导数讨论含参函数的单调性讨论函数的单调性是研究函数问题的基础，对于函数的最值、极值、零点等性质的研究，都是以函数的单调性为基础展开的。

在此，主要讨论含参函数单调性的讨论方法。

函数的单调性由导函数的正负决定，讨论函数的单调性关键在于研究导函数的正负。

含参函数导函数正负的确定最大的困难在于参数的影响，如何对参数进行分类讨论是问题的关键。

在此，我们将提出三种方法。

一．分离参数、数形结合函数求导后，导函数中的参数可以分离，形如：m x g x f -=)()('的形式，若)(x g 有最小值，则分min )(x g m ≤，min )(x g m >两种情况进行分类讨论。

（1）当min )(x g m ≤时，0)()('≥-=m x g x f ；（2）当min )(x g m >时，若0)()('=-=m x g x f 有一个解，且)(x g 单调，设解为0x ，则0x 将定义域分为两个区间，讨论函数的单调性。

若)(x g 有最大值，则分max )(x g m ≥，max )(x g m <两种情况进行分类讨论。

1.（2012年全国卷文科21题） 设函数2)(--=ax e x f x . （1）求)(x f 的单调区间；解：函数)(x f 的定义域为()+∞∞-,，a e x f x -=)('，①若0≤a ，则0)('>x f ，)(x f 在()+∞∞-,单调递增； ②若0>a ，则由0)('=x f 得a x ln =，当()a x ln ,∞-∈时，0)('<x f ，当()+∞∈,ln a x 时，0)('>x f ； 所以)(x f 的单调减区间是()a ln ,∞-，单调增区间是()+∞,ln a ； 2.（2016年山东文科20题）设x a ax x x x f )12(ln )(2-+-=，R a ∈. （1）令)()('x f x g =，求)(x g 的单调区间. 解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，1221ln )()('-+-+==a ax x x f x g ，a xx g 21)('-=（1）若0≤a ，则0)('>x g ，)(x g 在()+∞,0单调递增；（2）若0>a ，则由0)('=x g 得ax 21=，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 21,0时，0)('>x g ，当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,21a x 时，0)('<x g ，所以)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21a 单调递减.3.（2015年北京卷文科19题）设函数x k x x f ln 2)(2-=.（1）求)(x f 的单调区间和极值；解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，xkx x k x x f -=-=2')(，①若0≤k ，则0)('>x f ，)(x f 在()+∞,0单调递增； ②若0>k ，则由0)('=x f 得k x =，当()k x ,0∈时，0)('<x f ，当()+∞∈,k x 时，0)('>x f所以)(x f 的单调减区间是()k ,0，单调增区间是()+∞,k .4.（2015年全国二卷文科21题） 已知函数)1(ln )(x a x x f -+=. （1）讨论)(x f 的单调性；解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，xaxa x x f -=-=11)('， ①若0≤a ，则0)('>x f ，)(x f 在()+∞,0单调递增；②若0>a ，则由0)('=x f 得ax 1=，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 1,0时，0)('>x f ，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈0,1a x 时，0)('<x f ；所以)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛0,1a单调递减； 5.（2016年四川卷文科21题） 设函数x a ax x f ln )(2--=. （1）讨论)(x f 的单调性； 解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=22'121212)(x a x x ax x ax x f ，①若0≤a ，则0)('<x f ，)(x f 在()+∞,0单调递减；②若0>a ，则由0)('=x f 得ax 21=，当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 21,0时，0)('<x f ，当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,21a x 时，0)('>x f ；所以)(x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21a 单调递增； 若0)()('=-=m x g x f 有两个解，则可以将定义域分为三个区域进行讨论。

教学篇•教学反思关于讨论含参函数单调性的一点看法王敏（陕西省汉中市略阳县天津高级中学，陕西汉中）一、方法探寻我们在讨论含参函数单调性时常常借助导数这个工具，我们对原函数求导，最后讨论导函数值的正、负情况，从而确定原函数的单调性，而讨论导函数值的正、负情况归根结底就是讨论导函数图像的正、负分布。

下面我就函数图像正、负分布的分类讨论方法归纳如下几个步骤介绍给大家。

分类点一：讨论图像类型：（1）水平直线型；（2）二次函数型；（3）单调型。

分类点二：讨论根分布：（1）讨论根个数；（2）讨论根与“讨论区间”关系（讨论区间由函数定义域确定）；（3）讨论根与根的关系（此步骤至少要有二个根）。

分类点三：讨论图像的“走势”（走势指图像根据参数取值来确定其样子）二、实践应用例：研究f （x ）=（x-a ）（x +1）在R 上的正、负分布分析：分类点一：讨论图像类型：确定为二次函数型。

分类点二：讨论根分布：①讨论根个数，当a =-1时，一个根。

当a ≠-1时，有两个根x 1=a ，x 2=-1。

②讨论根与“讨论区间”关系，a ，-1∈R ③讨论根与根的关系，a <-1（x 1<x 2），a >-1（x）。

分类点三：讨论图像的“走势”：当a =-1当a <-1当a >-1解：令f （x ）=0，则x 1=a ，x 2=-1当a =-1当a <-1时，x ∈（-∞，a ）∪（-1，+∞），f （x ）>0，x ∈（a ，-1），f （x ）<0.当a >-1时，x ∈（-∞，-1）∪（a ，+∞），f （x ）>0，x ∈（-1，a ），f （x ）<0.从以上过程可以看出，解决此类分类讨论问题，只要严格按照三大分类点，同学们就会分类目标明确，思路清楚，有点可依，而不是无处下手。

三、推广延伸（真题练习）例：讨论函数f （x ）=ln （x +1）-x +k 2x 2的单调性分析：f （x ）的定义域（-1，+∞），f ′（x ）=1x +1-1+kx =kx 2+（k -1）x x +1（x >-1）。

专题05一元函数的导数及其应用（利用导函数研究单调性（含参）问题）利用导函数研究单调性（含参）问题①导函数有效部分为一次型（或类一次型）②导函数有效部分为可因式分解的二次型（或类二次型）③导函数有效部分为不可因式分解的二次型①导函数有效部分为一次型（或类一次型）角度1：导函数有效部分为一次型1．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知函数()()ln f x x ax a R =+∈.判断函数()f x 的单调性：解()ln f x x ax =+的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x'+=+=当0a ≥时，()0f x '>恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增，当0a <时，令()0f x '>，10x a<<-.令()0f x '<，1x a >-，所以()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减.综上，当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减.2．（2022·江苏南通·高二期中）已知函数()ln a f x x x =-，()()e sin x g x x a =+∈R 讨论函数()f x 的单调性；解由题意知：()f x 定义域为()0,∞+，()221a x a f x x x x +'=--=-；当0a ≥时，()0f x '<恒成立，()f x ∴在()0,∞+上单调递减；当0a <时，令()0f x '=，解得：x a =-；∴当()0,x a ∈-时，()0f x '>；当(),x a ∈-+∞时，()0f x '<；()f x ∴在()0,a -上单调递增，在(),a -+∞上单调递减；综上所述：当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a <时，()f x 在()0,a -上单调递增，在(),a -+∞上单调递减.3．（2022·广东·东涌中学高二期中）已知函数()1ln f x x a x =--（其中a 为参数）.求函数()f x 的单调区间：解由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()1a x a f x x x'-=-=；当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当0a >时，令()0f x '=，解得：x a =；∴当()0,x a ∈时，()0f x '<；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>；()f x ∴的单调递增区间为(),a +∞；单调递减区间为()0,a ；综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当0a >时，()f x 的单调递增区间为(),a +∞；单调递减区间为()0,a .4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()1ln f x ax x a =--∈R ．讨论函数()f x 的单调性；()11ax f x a x x-'=-=，()0x >．当0a ≤时，10ax -<，从而()0f x '<，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，若10x a<<，则10ax -<，从而()0f x '<，若1x a >，则10ax ->，从而()0f x '>，从而函数在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．5．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数()ln e a f x x x=+讨论函数()f x 的单调性；解：因为()ln e a f x x x =+，定义域为()0,∞+，所以()2e e x a f x x -='.①当0a ≤时，()0f x '>，故()f x 在()0,∞+上单调递增；②当0a >时，若0,e a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0f x '<，若,e a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()0f x '>，∴()f x 在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴综上，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当0a >时，()f x 在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.角度2：导函数有效部分为类一次型1．（2022·河南驻马店·高二期中（理））已知函数()e x f x ax a =-+，a 为常数．讨论函数()f x 的单调性；解：因为()f x 定义域为R ，()e x f x a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增，当0a >时，由()0f x '=解得ln x a =，(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增综上知：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，当0a >，()f x 的单调递减区间为(,ln )a -∞，单调递增区间为(ln ,)a +∞．2．（2022·山东·德州市教育科学研究院高二期中）设函数()ax f x x =-ｅ，R a ∈．讨论函数()f x 的单调性；【解析】()f x 的定义域为R ，()1ax f x a '=-ｅ当0a ≤时，()0f x '<，故()f x 在R 上递减．当0a >时，令()0f x '>得ln a x a >-，令()0f x '<得ln a x a<-综上可知：0a ≤时，()f x 在R 上单调递减0a >时，()f x 在ln ,a a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增3．（2022·四川德阳·三模（文））已知函数() e x f x ax a =++，判定函数()f x 的单调性；【答案】(1)当0a ≥时，函数在R 上单调递增；当0a <时，函数的单调递增区间为(ln(),)a -+∞，单调递减区间为(,ln())a -∞-；解：由题得() e x f x a '=+，当0a ≥时，()0f x '>，所以函数在R 上单调递增；当0a <时，令e 0,x a +>所以ln(),x a >-令e 0,x a +<所以ln(),x a <-所以此时函数的单调递增区间为(ln(),)a -+∞，单调递减区间为(,ln())a -∞-.综上所述，当0a ≥时，函数在R 上单调递增；当0a <时，函数的单调递增区间为(ln(),)a -+∞，单调递减区间为(,ln())a -∞-.4．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数()(1ln )1()f x x a x a =-+∈R ．讨论()f x 的单调性；因为()(1ln )1f x x a x =-+，定义域为(0,)+∞，所以()1ln f x a a x '=--．①当0a >时，令1()1ln 0ln a f x a a x x a-=--=⇔='，解得1e a a x -=即当10,e a a x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '>单调递增：当1e ,a a x -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '<单调递减；②当0a =时()10,()f x f x =>'在(0,)+∞单调递增；③当0a <时令1()1ln 0ln a f x a x x aα-=--=⇔='，解得1e a a x -=，即当10,e a a x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '<单调递减；当1e ,a a x -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '>单调递增；综上：当0a >时，()f x 在10,e a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1e ,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；当0a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a <时，()f x 在10,e a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1e ,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增．5．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()1e 3e x xa f x a =++-，其中e 为自然对数的底数，R a ∈．讨论函数()f x 的单调性；函数()f x 的定义域R ，求导得：()()()21e 1e e e x xx x a a a f x a +-'=+-=，若1a <-，由()()1e e 0e x x x a f x ⎛++- ⎝⎭⎝⎭'==，得x =当,ln x ⎛∈-∞ ⎝时，()0f x '>，当x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x在⎛-∞ ⎝上单调递增，在⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，若10a -≤≤，则对任意R x ∈都有()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增，若0a >，当x ⎛∈-∞ ⎝时，()0f x '<，当x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x在⎛-∞ ⎝上单调递减，在⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以，当1a <-时，()f x在,ln ⎛-∞ ⎝上单调递增，在⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；当10a -≤≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x在⎛-∞ ⎝上单调递减，在⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增．②导函数有效部分为可因式分解的二次型（或类二次型）角度1：导函数有效部分为可因式分解的二次型1．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数()()()21212ln R 2f x ax a x x a =-++∈(1)当1a =-时，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当0a >时，求函数()f x 的单调递增区间.【答案】(1)4230--=x y (2)答案见解析(1)解：当1a =-时，21()2ln 2f x x x x =-++，所以2()1f x x x '=-++，所以()12f '=，()112f =，故()f x 在点()()1,1f 处的切线方程是()1212y x -=-，即4230--=x y ；(2)解：因为()()21212ln 2f x ax a x x =-++定义域为()0,∞+，所以2(1)(2)()(21)ax x f x ax a x x --'=-++=，因为0a >，当102a <<，即当12a >时，由()0f x '>，解得10x a<<或2x >，当12a =时，11(2)2()0x x f x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=≥恒成立，当12a >，即当102a <<时，由()0f x '>，解得02x <<或1x a>，综上，当12a >时，()f x 的递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,)+∞，当12a =时，()f x 的递增区间是(0,)+∞，当102a <<时，()f x 的递增区间是(0,2)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；2．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知函数()()212ln 22f x x a x ax =---．讨论()f x 的单调性；【答案】函数()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()()221122212f x a ax a x ax x ax x x x⎡⎤'=---=---=--+⎣⎦．当0a 时，若01x <<，则()0f x ¢>；若1x >，则()()0.f x f x '<在区间()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减．当2a =-时()(),0,f x f x ' 在()0,+∞单调递增．当20a -<<时，21a ->，若01x <<或2x a >-，则()0f x '>；若21x a<<-，则()0f x ¢<．所以()f x 在区间()20,1,,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭单调递增，在区间21,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减．当2a <-时，201a<-<，若20x a <<-或1x >，则()0f x ¢>；若21x a -<<，则()0f x ¢<．所以()f x 在()20,,1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭单调递增，在2,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减．综上所述，0a 时，()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减．2a =-时，()f x 在()0,+∞单调递增．20a -<<时，()f x 在()20,1,,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭单调递增，在21,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减．2a <-时，()f x 在20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递增，在2,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减．3．（2022·黑龙江·海伦市第一中学高二期中）已知函数2()ln (1)()2=+-+∈R a f x x x a x a ，2()()(1)2=-++a g x f x x a x .讨论()f x 的单调性；【答案】1(1)(1)()(1)(0)--=+-+=>'ax x f x ax a x x x .当0a ≤时，10ax -<，令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >.所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减.当101a <<，即1a >时，令()0f x '>，得10x a<<或1x >；令()0f x '<，得11x a <<.所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.当11a =，即1a =时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增.当11a >，即01a <<时，令()0f x '>，得01x <<或1x a>；令()0f x '<，得11x a <<.所以()f x 在(0,1)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；当01a <<时，()f x 在(0,1)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；4．（2022·江苏省苏州实验中学高二期中）已知函数()2ln 21x f x x x m m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，其中m R ∈.讨论函数f (x )的单调性；【答案】()f x 的定义域为(0,)+∞，依题意可知，0m ≠，12()21f x x mx m '=-+-22(2)1mx m x mx-+-+=(21)(1)x mx mx +-+=，当0m >时，由()0f x '>，得10x m <<，由()0f x '<，得1x m >，所以()f x 在1(0,)m 上单调递增，在1(,)m+∞上单调递减.当0m <时，由()0f x '<恒成立，所以()f x 在定义域(0,)+∞上单调递减，综上所述：当0m >时，()f x 在1(0,)m 上单调递增，在1(,)m +∞上单调递减；当0m <时，()f x 在定义域(0,)+∞上单调递减.5．（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）已知函数()ln 2f x x x =-，R a ∈．(1)求()f x 在x ＝1处的切线方程；(2)设()()2g x f x ax ax =-+，试讨论函数()g x 的单调性．【答案】(1)1y x =--；(2)答案见解析.(1)因为()ln 2f x x x =-，则()12f =-，所以()12f x x'=-，在x ＝1处()1121f '=-=-．在x ＝1处切线方程：()21y x +=--，即1y x =--．(2)因为()()()22ln 2g x f x ax ax x ax a x =-+=-+-，所以()()()()1210ax x g x x x +-'=->，①若0a ≥，则当10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0g x ¢>，()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x ¢<，()g x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．②若0a <，()()()1210a x x a g x x x⎛⎫+- ⎪⎝⎭'=->，当2a <-时，在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上()0g x ¢>，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0g x ¢<，所以()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当2a =-时，()0g x ¢³恒成立，所以()g x 在()0,+∞上单调递增；当20a -<<时，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上()0g x ¢>，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0g x ¢<，所以()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．综上，0a ≥，()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；20a -<<，()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；2a =-，()g x 在()0,+∞上单调递增；2a <-，()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））已知函数()()21ln a f x a x x x +=+++讨论()f x 的单调性；解：由题意可得()f x 的定义域为()0,+∞()()()()()22222112121x a x x a x a a a f x x x x x ----⎡⎤++-+++⎣⎦'=-+==①当21a --=时，即3a =-，()f x 在()0,+∞单调递增．②当21a -->时，即3a <-，()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；()1,2x a ∈--时，()0f x '<，()f x 单调递减；()2,x a ∈--+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；③当021a <--<时，即32a -<<-，()0,2x a ∈--时，()0f x '>，()f x 单调递增，()2,1x a ∈--时，()0f x '<，()f x 单调递减，()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，④当20a --≤时，即2a ≥-，()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；综上可得：当3a <-时，()f x 在()0,1和()2,a --+∞上单调递增，在()1,2a --上单调递减；当3a =-时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当32a -<<-时，()f x 在()0,2a --和()1,+∞上单调递增，在()2,1a --上单调递减；当2a ≥-时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；角度2：导函数有效部分为可因式分解的类二次型1．（2022·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）已知函数()()()e 12e x xa f x a x a =+---∈R 求函数()f x 的单调区间.【答案】由题意，得()()()()e 1e e 1,e e x x x x x a af x a x +-=---='∈R 当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增.当0a >时，由()0f x '>，得ln x a >，由()0f x '<，得ln x a <，所以()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.综上所述，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为R ，无单调递减区间，当0a >时，()f x 的单调递减区间为(,ln )a -∞，单调递增区间为(ln ,)a +∞；2．（2022·辽宁·高二期中）已知函数()()213e 242x f x x ax ax =--++．(1)当a ＝1时，求()f x 零点的个数；(2)讨论()f x 的单调性．【答案】(1)有3个零点；(2)答案见解析.(1)当a ＝1时，()()213e 242x f x x x x =--++，则()()()()2e 22e 1x x f x x x x '=--+=--，由()0f x '>，得x <0或x >2，由()0f x '<，得0<x <2，则()f x 在（0，2）上单调递减，在（－∞，0）和（2，+∞）上单调递增，因为()25220e f -=--<，()03410f =-+=>，()22e 60f =-+<，()911310022f =-+=>，所以()f x 有3个零点．(2)由题意可得()()()()2e 22e x x f x x ax a x a '=--+=--，①当a ≤0时，由()0f x '>，得x >2，由()0f x '<，得x <2，则()f x 在（－∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，②当20e a <<时，由()0f x '>，得1x na <或x >2，由()0f x '<，得ln a <x <2，则()f x 在（ln a ，2）上单调递减，在（－∞，ln a ）和（2，+∞）上单调递增，③当2e a =时，()0f x '≥恒成立，则()f x 在（－∞，+∞）上单调递增，④当2e a >时，由()0f x '>，得x <2或x >ln a ，由()0f x '<，得2<x <ln a ，则()f x 在（2，ln a ）上单调递减，在（－∞，2）和（ln a ，+∞）上单调递增，综上，当a ≤0时，f （x ）在（－∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增；当20<e a <时，()f x 在（ln a ，2）上单调递减，在（－∞，ln a ）和（2，+∞）上单调递增；当2e a =时，()f x 在（－∞，+∞）上单调递增；当2e a >时，()f x 在（2，ln a ）上单调递减，在（－∞，2）和（ln a ，+∞）上单调递增．3．（2022·辽宁·东北育才学校高二期中）已知函数()()1e e 12x x f x a a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭讨论()f x 的单调性；【答案】()()1e e 12x x f x a a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭的定义域为R,()()()e 1e 1x x f x a '=-++.i.当a ≥-1时,e 10x a ++>.令()0f x '>,解得,()0x ∈+∞；令()0f x '<,解得(,0)x ∈-∞.所以()f x 的单增区间为(0,)+∞,单减区间为(,0)-∞.ii.当1a <-时,令()0f x '=,解得：x =0或x =ln(-a -1).（i ）当ln(-a -1)=0,即a =-2时,()()2e 1xf x '=-≥0,所以()f x 在(-∞,+∞)单增.（ii ）当ln(-a -1)>0,即a <-2时,由()0f x '>解得：()()(),0ln 1,x a ∈-∞⋃--+∞；由()0f x '<解得：()()0,ln 1x a ∈--.所以()f x 的单增区间为()()(),0,ln 1,a -∞--+∞,()f x 单减区为()()0,ln 1a --.（iii ）当ln(-a -1)<0,即-2<a <-1时,由()0f x '>解得：()()(),ln 10,x a ∈-∞--⋃+∞；由()0f x '<解得：()()ln 1,0x a ∈--.所以()f x 的单增区间为()()(),ln 1,0,a -∞--+∞，()f x 的单减区间为()()ln 1,0a --.4．（2022·湖北荆州·高二期中）已知函数()()()1211e 02x f x x a x ax x -=---+>．讨论()f x 的极值．【答案】因为()()()1211e 02x f x x a x ax x -=---+>，所以()()()()1e 10xf x x a x -'=-->．令()0f x '=，得x a =或1x =．①当0a ≤时，由()0f x '>，得1x >，由()0f x '<，得01x <<．则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以函数有极小值()112f =-，没有极大值.②当01a <<时，由()0f x '>，得0x a <<或1x >，由()0f x '<，得1<<a x ．则()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+∞上单调递增，所以函数有极大值()211e 2a f a a -=-，极小值()112f =-．③当1a =时，()0f x '>恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递增，函数无极值．④当1a >时，由()0f x '>，得01x <<或x a >，由()0f x '<，得1x a <<．则()f x 在()1,a 上单调递减，在()0,1和(),a +∞上单调递增，所以函数有极大值()112f =-，极小值()211e 2a f a a -=-.综上，当0a ≤时，函数有极小值()112f =-，无极大值；当01a <<时，函数有极大值()211e 2a f a a -=-，极小值()112f =-；当1a =时，函数无极值；当1a >时，函数有极大值()112f =-，极小值()211e2a f a a -=-.5．（2022·浙江·罗浮中学高二期中）已知函数()()2e 2e xx f x k kx =+--．其中k 为实数．(1)当0k >时，若()f x 两个零点，求k 的取值范围；(2)讨论()f x 的单调性．【答案】(1)01k <<(2)答案不唯一，具体见解析(1)解：因为()()2e 2e xx f x k kx =+--，R x ∈，0k >所以()()22e 2e x xf x k k =+--'，令()()()2e e 10x x f x k '=-=+得e 1x =或e 2xk=-（舍去），所以当0x <时()0f x '<，当0x >时()0f x '>故()f x 在()0,∞+上单调递增，在(),0∞-上单调递减，()()min 01f x f k ==-，要使()f x 有两个零点，则()min 0f x <，即100k k -<⎧⎨>⎩，解得01k <<，∴01k <<．(2)解：由（1）得()()22e 2e x xf x k k =+--'，令()()()2e e 10x x f x k '=-=+解得e 1x =或e 2xk =-，当()0,12k-∈时，即()2,0k ∈-x ,ln 2k ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ln 2k ⎛⎫- ⎪⎝⎭ln ,02k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0()0,∞+()f x '＋0－0＋所以()f x 的单调递增区间为,ln 2k ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和()0,∞+，单调递减区间为ln ,02k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12k-=时，即2k =-，()0f x '≥恒成立，所以()f x 的单调递增区间为R ．当12k->时，即2k <-，x (),0∞-00,ln 2k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln 2k ⎛⎫- ⎪⎝⎭ln ,2k ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x '＋0－0＋所以()f x 的单调递增区间为(),0∞-和ln ,2k ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间为0,ln 2k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当0k ≥时，x 0x <00x >()f x '－＋所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+，单调递减区间为(),0∞-．6．（2022·浙江省杭州第二中学高二期中）已知函数2()e (2)e (0)x x f x a ax a =-++>．设02a <<，求函数()f x 的单调区间；【答案】(1)单调增区间是,ln 2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(0,)+∞，单调减区间是ln ,02a ⎛⎫⎪⎝⎭由题意，函数2()e (2)e (0)x x f x a ax a =-++>，则()()2()2e (2)e 2e e 1x x x x f x a a a =+=-'-+-，当02a <<时，则12a <，令()0f x '>，解得0x >或ln 2a x <；令()0f x '<，解得，ln 02ax <<．故()f x 的单调增区间是,ln 2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(0,)+∞，单调减区间是ln ,02a ⎛⎫⎪⎝⎭．7．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()()()221ln 1ln 02f x x x a x a a =--+>.讨论函数()f x 的单调性；【答案】由题意得()f x 的定义域为()0,∞+，()()ln x a x f x x-'=，令()0f x '=，得1x =或x a =，①若01a <<，则当()0,x a ∈时，()0f x '>，()f x 在()0,a 上单调递增；当(),1x a ∈时，()0f x '<，()f x 在(),1a 上单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()1,+∞上单调递增.②若1a =，则()0f x '≥（当且仅当1x =时取“=”），()f x 在()0,∞+上单调递增.③若1a >，则当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 在()0,1上单调递增；当()1,x a ∈时，()0f x '<，()f x 在()1,a 上单调递减；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增.综上所述，当01a <<时，()f x 在()0,a ，()1,+∞上单调递增，在(),1a 上单调递减；当1a =时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，()f x 在()0,1，(),a +∞上单调递增，在()1,a 上单调递减.8．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知函数()()21ln 6ln 12f x x x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，a 为常数，R a ∈.讨论函数()f x 的单调性；【答案】()()21ln 6ln 12f x x x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()2(3)ln f x x a x '∴=-且,()0x ∈+∞当0a ≤时，在(0,1)x ∈上()0f x '<，(1,)x ∈+∞上()0f x '>，当103a <<时，在(0,3)x a ∈上()0f x '>，(3,1)x a ∈上()0f x '<，(1,)x ∈+∞上()0f x '>，当13a =时，在,()0x ∈+∞上()0f x '>，当13a >时，在(0,1)x ∈上()0f x '>，(1,3)x a ∈上()0f x '<，(3,)x a ∈+∞上()0f x '>，综上，0a ≤时()f x 在(0,1)上递减，(1,)+∞上递增，103a <<时()f x 在(0,3)a 上递增，(3,1)a 上递减，(1,)+∞上递增，13a =时()f x 在(0,)+∞上递增，13a >时()f x 在(0,1)上递增，(1,3)a 上递减，(3,)a +∞上递增③导函数有效部分为不可因式分解的二次型1．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数()()()211ln 2f x x ax ax x a R =+-+∈，记()f x 的导函数为()g x ，讨论()g x 的单调性；【答案】解：由已知可得()1ln g x x a x x =--，故可得()222111a x ax g x x x x -='+=+-．当(]2a ∈-∞，时，()0g x '≥，故()g x 在()0,∞+单调递增；当()2,a ∈+∞时，由()0g x '=，解得x ，或2a +，记1ξ=2ξ=x 变化时，()(),g x g x '的变化情况如下表：x()10,ξ1ξ()12,ξξ2ξ()2,ξ∞+()g x '+0-0+()g x极大值极小值所以，函数()g x 在区间⎛ ⎝⎭单调递增，在区间⎫⎪⎪⎝⎭单调递减，在区间42a a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增．2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知函数()2ln 2a f x x x ax =+-，a R ∈．讨论函数()f x 的单调性；【答案】显然，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211ax ax f x ax a x x-+'=+-=，①若0a =，显然()f x 单调递增．②若0a <，令()'0f x =，有x =易知022a a a a <<，当0,2a x a ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当,2a x a ⎛⎫∈+∞⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减．③若04a <≤，则()0f x '≥，()f x 单调递增，④若4a >，令()0f x '=，有x =易知0<<当x ⎛∈ ⎝⎭，()0f x '>，()f x 单调递增；当44,22a a x a a ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当,2a x a ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增．综上所述，若0a <，()f x 的增区间为420,a a ⎛ ⎪ ⎝⎭⎪，减区间为2a a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；若04a ≤≤，()f x 的增区间为()0,∞+；若4a >，()f x 的增区间为⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭，减区间为⎝⎭．3．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数2()4ln ,f x x x a x a =-+∈R ，函数()f x 的导函数为()'f x ．讨论函数()f x 的单调性；【答案】由2()4ln f x x x a x =-+得，函数的定义域为(0,)+∞，且224()24a x x af x x x x-+'=-+=，令()0f x '>，即2240x x a -+>，①当Δ1680a =-≤，即2a ≥时，2240x x a -+≥恒成立，()f x 在(0,)+∞单调递增；②当Δ0>，即2a <时，令12x x ==当02a <<时，120x x <<，()0f x ¢>的解10x x <<或2x x >，故()f x 在()()120,,x x +∞，上单调递增，在()12,x x 上单调递减；当0a ≤时，120x x ≤<，同理()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增．4．（2022·河南郑州·三模（理））设函数()()2ln 0f x x x a x a =-+>．求函数()f x 的单调区间；【答案】()f x 的定义域为()0+∞，，()2221a x x af x x x x-+'=-+=，令220x x a -+=，当Δ18a =-≤0时，即a ≥18时，()()0f x f x '≥，在()0+∞，上递增，当180a ∆=->时，即108a <<时，220x x a -+=，解得114x =，214x =，当()0f x '>时解得，104x <<或14x >+，所以函数在104⎛ ⎝⎭，，14∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，当()0f x '<时解得，144x -<<，所以函数()f x 在⎝⎭上单调递减.综上，当a ≥18时，函数的单调增区间为()0+∞，；当108a <<时，函数的单调递增区间为0⎛ ⎝⎭，∞⎫+⎪⎪⎝⎭，单调递减区间为⎝⎭.5．（2022·河南新乡·高二期中（理））已知函数()()2e e x g xf x =+．若函数()24a x x x f =-+，讨论()g x 的单调性．【答案】若()24f x x x a =-+，则()()224e ,R e x g x x x a x -++∈=，()()()2224e 15e x x g x x x a x a ⎡⎤'=-+-=-+-⎣⎦．当5a ≥时，()0g x ¢³，()g x 在定义域R 上单调递增．当5a <时，令()0g x ¢=．解得11x =21x =若1x <1x >+，()0g x '>，则()g x 在(,1-∞和()1++∞上单调递增；若11x <<()0g x '<，则()g x 在(1上单调递减;6．（2022·全国·模拟预测）已知函数()32f x ax x x =+-.当0a <时，讨论函数()f x 的单调性.【答案】由()32f x ax x x =+-，得()2321f x ax x '=+-.令()23210f x ax x '=+-=，当13a ≤-时，4120a ∆=+≤，因此()23210f x ax x '=+-≤，所以函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减；当103-<<a 时，4120a ∆=+>，解得x =所以函数()f x 在⎛-∞ ⎝⎭上单调递减，在⎝⎭上单调递增，在13a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减.综上所述，当13a ≤-时，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减；当103-<<a 时，函数()f x 在⎛-∞ ⎝⎭上单调递减，在⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减.7．（2022·四川南充·三模（理））已知函数()()2112ln 2f x a x ax x =-+-．讨论()f x 的单调性；【答案】解：()()2112ln 2f x a x ax x =-+-的定义域为()0,∞+，且()()()21221a x ax f x a x a x x-+-'=-+-=，当1a =时，()2x f x x-'=，则()f x 在()0,2单调递减，()2,+∞单调递增；当1a >时，由()0f x '=得0x =，()021a x a -+=-，所以()f x 在()0,21a a ⎛-+ ⎪ ⎪-⎝⎭单调递减，()21a a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪-⎝⎭单调递增；当1a <时，①当0a ≤时，()f x 在()0,∞+单调递减；②当01a <<时，当()()22814240a a a ∆=+-=+-≤时，即04a <≤-+()f x 在()0,∞+单调递减；当()()22814240a a a ∆=+-=+->时，即41a -+<时，由()0f x '=得120x x ==，所以()f x 在⎛ ⎝⎭、⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减，在()(),2121a a a a ⎛-+--⎪ ⎪--⎝⎭单调递增；综上所述：①当1a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递减，在(),21a a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪-⎝⎭单调递增；②当1a =时，()f x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增；③4a ≤-+()f x 在()0,∞+单调递减；④当41a -+<时，()f x 在()0,21a a ⎛- ⎪ ⎪-⎝⎭、(),21a a ⎛⎫--+∞ ⎪ ⎪-⎝⎭单调递减，在()()2121a a a a ⎛---⎪ ⎪--⎝⎭单调递增；8．（2022·浙江·模拟预测）设函数1()ln ()f x x a x a x=--∈R .讨论()f x 的单调性；【答案】()()2211ln ,x ax f x x a x f x x x '-+=--=①当2a ≤时，221210x ax x x -+≥-+≥，所以()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞上递增②当2a >时，记210x ax -+=的两根为(0,1),(1,)22a a m n ==∈+∞则当0x m <<时，()0f x '>；当m x n <<时，()0f x '<；当x n >时，()0f x '>综上可知，当2a ≤时，()f x 在(0,)+∞上递增当2a >时，()f x 在(0,)m 上递增，在(,)m n 上递减，在(,)n +∞上递。

导数章节知识全归纳专题10 导数含参单调性讨论（详述版）一．知识点归纳：核心知识：1.函数的单调性与导数（1）设函数)(x f y =在某个区间),(b a 可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 在此区间上为增函数； 如果'f 0)(<x ，则)(x f 在此区间上为减函数。

（2）如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常函数。

总结：含参单调性讨论主要针对学生对于含有参数的函数进行单调性讨论存在严重问题，时常分不清楚何时讨论参数，以及先哪一步在哪一步：这里君哥给大家总结如下：第一类：简单含参--独立含参，先讨论恒成立，再分类。

第二类：多位置含参数：首先考虑是否可以进行十字相乘，在讨论根的大小，再讨论单调性。

第三类：二次函数型含参：必考虑∆，在讨论根的大小，最后讨论单调性。

第四类：其他函数型含参：画图看交点。

二．导数含参单调性讨论典型例题：类型一：独立含参讨论：例：1．已知函数()()ln f x x ax a R =-∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；解：【分析】（1）求导，对参数a 进行分类讨论判断导函数的正负，最后判断原函数的单调。

【详解】（1）解：函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()110ax f x a x x x-'=-=>， 当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在()0,∞+内单调递增；当0a >时，令()0f x '=，得1x a =，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>，()f x 单调递增； 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<，()f x 单调递减， 综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+内单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减. 例：2．已知函数()ln ()f x x ax a R =+∈.（1）讨论()f x 的单调性；解：【分析】（1）对参数a 分类讨论，分别求得对于范围内的单调区间；【详解】（1）函数()ln f x x ax =+的定义域为()0,∞+当0a ≥时，()10f x a x'=+>恒成立，故函数f (x )在()0,∞+上单调递增 当0a <时，令()10ax f x x +'=>，得10x a<<-；令()0f x '<，得1x a>-. 故函数()ln f x x ax =+在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭递减 变式：1．函数()ln 2.f x x mx =-+（1）求函数()y f x =的单调区间；解：【分析】（1）求导，分别讨论0m ≤和0m >两种情况()f x '的正负，即可求得()y f x =的单调区间.【详解】（1）()11,(0).mx f x m x x x-'=-=> 当0m ≤时，()0f x '>，所以()y f x =在()0,∞+为增函数，当0m >时，令()0f x '=，解得1x m=； 当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()y f x =为增函数， 当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<， ()y f x =为减函数， 综上：当0m ≤时，()y f x =的单调增区间为()0,∞+，当0m >时，()y f x =的单调增区间为10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 变式：2．已知函数()21ln 2f x x a x =-，其中a ∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；解：【分析】（1）对参数a 进行分类讨论，根据导函数的正负判断函数的单调性；【详解】（1）()2a x a f x x x x-'=-=，0x >， 当0a ≤时，()0f x '>，故()f x 在()0,∞+上单调递增，当0a >时，令()0f x '=，得x =从而()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增.变式：3．已知函数()e xf x ax =-，()ln xg x x a =-. （1）求函数()g x 的单调区间；解：【分析】（1）先求导得到()'g x ，再分0a <和0a >两种情况讨论()g x 的单调性和单调区间；【详解】解：（1）由题意知()g x 的定义域是()0,∞+，()11g x x a '=-， 当0a <时，()110g x x a-'=>恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递增； 当0a >时，由()110a x g x x a ax -'=-=>得0x a <<，所以()g x 在()0,a 上单调递增， 由()110a x g x x a ax-'=-=<得x a >，所以()g x 在(),a +∞上单调递减.综上所述，当0a <时，()g x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当0a >时，()g x 的单调递增区间为()0,a ，单调递减区间为(),a +∞.类型二：独立含参难：例：1.已知函数()x f x e ax =-，()212g x ax ax x =-+. （1）讨论函数()f x 的单调性；解：【分析】（1）求导()x f x e a '=-，分0a ≤，0a >讨论求解；【详解】（1）∵()x f x e a '=-，当0a ≤时，()0xf x e a '=->在R 上恒成立， ∵()f x 在(),-∞+∞上是递增的.当0a >时，令()0f x '>，则ln x a >；令()0f x '<，则ln x a <.∵()f x 在(),ln a -∞上递减，在()ln ,a +∞上递增.综上所述，当0a ≤时，()f x 是(),-∞+∞上的增函数，当0a >时，()f x 在(),ln a -∞是减函数，在()ln ,a +∞上是增函数.例2．已知函数()ln 1()f x a x x a =++∈R .（1）讨论()f x 的单调性；解：【分析】（1）首先对函数进行求导，通过对a 进行分类讨论，可得()f x 的单调性；【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'()1a x a f x x x+=+=， 当0a ≥时，0f x ，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，若0x a <<-，则0f x ；若x a >-，则0f x ， 所以()f x 在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增.综上：当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0a <时，()f x 在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增；例3．已知函数()2ln(1)1f x ax x =-++，a R ∈．（1）讨论()f x 的单调性；解：【分析】（1）先写定义域，对函数求导，再讨论0a ≤时和0a >时导数的正负情况，即得函数的单调性；【详解】解：（1）()f x 的定义域为 (1,)-+∞，1()21f x a x =-+'， ①当0a ≤时，()0f x '<，即()f x 在(1,)-+∞上单调递减； ②当0a >时，221()1ax a f x x '+-=+，由()0f x '>解得122a x a ->，由()0f x '<解得1212a x a--<<， 即()f x 在121,2a a -⎫⎛- ⎪⎝⎭上单调递减，在12 ,2a a -⎫⎛+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(1,)-+∞上单调递减； 当0a >时，()f x 在121,2a a -⎫⎛- ⎪⎝⎭上单调递减，在12 ,2a a -⎫⎛+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 变式：1．已知函数()()1x f x ax e =+.（1）讨论()f x 的单调性；解：【分析】（1）先求导函数，然后分析导函数符号只与含参一次因式有关，所以对a 分0,0,0a a a >=<三种情况进行讨论；【详解】解：（1）因为()()1x f x ax e =+，所以()()()11x x x f x ae ax e ax a e '=++=++. 若0a =，则()0f x '>，()f x 是R 上的增函数；若0a >，则当1a x a -->时，()0f x '>；当1a x a--<时，()0f x '<. 故()f x 的单调递增区间为1,a a --⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a a --⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； 若0a <，则当1a x a -->时，()0f x '<；当1a x a--<时，()0f x '>， 故()f x 的单调递减区间为1,a a --⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a a --⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.变式：2．已知函数2()(1)12ln f x m x x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；解：【分析】（1）求导()22()1f x mx mx x'=+-，分0m =，0m >，0m <讨论求解； 【详解】（1）函数2()(1)12ln f x m x x =+--， 求导得：()222()2(1)1f x m x mx mx x x'=+-=+-， 当0m =时，2()0f x x=-<'，所以()f x 在()0,∞+上递减； 当0m >时，240m m ∆=+>，令()0f x '=，则方程210mx mx +-=有两个不同的根，.10x =<，20x =>， 当()20,x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()20,x 上递减，在()2,x +∞上递增；当0m <时，()21y m x =+在()0,∞+上递减，1ln y x =--在()0,∞+上递减， 所以()f x 在()0,∞+递减；类型三：二次函数类型含参：例：1.已知函数()31f x x ax =-+，a R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；解：【分析】（1）先求函数的导数，()23f x x a '=-，再分0a ≤和0a >两种情况讨论函数的单调性；【详解】（1）由题意()f x 的定义域为R ，()23f x x a '=-， ①若0a ≤，则()0f x '≥，所以()f x 在R 上为单调递增函数；②若0a >，由()230f x x a '=-=解得13x =-，23x =，()0f x '>的解为3x <-或3x >，()0f x '<的解为33x -<<，即()f x 的增区间为,3⎛-∞- ⎝⎭，,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，减区间为33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 例2．已知函数()2()12ln ,f x a x x a R =--∈. （1）2a =时，求在(1,(1))f 处的切线方程；（2）讨论()f x 的单调性；解：【分析】（1）利用导数的几何意义，直接求切线方程；（2）首先求函数的导数()22222ax f x ax x x-'=-=，()0x >，分0a ≤和0a >两种情况讨论函数的单调性； 【详解】当2a =时，()()2212ln f x x x =--，0x >， ()22424x f x x x x-'=-=，()10f =，()12f '=， ()f x ∴在1x =处的切线方程是()21y x =-.（2）()22222ax f x ax x x-'=-=，()0x > 当0a ≤时，()0f x '<，()f x ∴在()0,∞+上单调递减，当0a >时，令()0f x '>，解得：x >，令()0f x '<，解得：0x <<，()f x ∴的增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭，减区间是0,a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，综上可知：0a ≤时，函数的减区间是()0,∞+，无增区间；0a >时，函数的增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭，减区间是⎛ ⎝⎭. 变式：1．已知函数()2ln 1f x a x x =++，其中a R ∈且0a ≠ （1）求函数()f x 的单调区间；解：【分析】（1）求出()222a x a f x x x x='+=+，然后分a >0、a <0两种情况讨论即可； 【详解】（1）函数的定义域为(0，+∞)，()222a x a f x x x x ='+=+，当a >0时，()0f x '>，f (x )在(0，+∞)上单调递增，此时()f x 的增区间为(0，+∞)；当a <0时，令()0f x '=，解得x =x =)，则0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增.此时()f x 的单调减区间是⎛ ⎝⎭，单调增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭综上，当a >0时，()f x 的增区间为(0，+∞)；当a <0时，()f x 的单调减区间是⎛ ⎝⎭，单调增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭变式：2．已知函数2()2ln 3f x x ax x =-+-. （1）讨论()f x 的单调性. 解：【分析】（1）求导，分2160a ∆=-≤，2160a ∆=->情况讨论导函数的正负，可得原函数的单调性； 【详解】（1）解：2222'()2x ax f x x a x x-+=-+=. 当2160a ∆=-≤，即44a -≤≤时，'()0f x ≥，所以()f x 在()0,∞+上单调递增.当2160a ∆=->，即4a或4a >时，令2220x ax -+=，得x =.当4a时，两根均为负数，则'()0f x >，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；当4a >时，两根均为正数，所以()f x 在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在44a a ⎛+⎪⎝⎭,上单调递减. 综上所述，当4a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当4a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在44a a ⎛+ ⎪⎝⎭,上单调递减.变式：3．已知函数()22ln kx f x x x +-=.（1）讨论()f x 的单调性； 解：【分析】（1）明确函数的定义域，求出导函数，对参数分类讨论，结合导函数与单调性的关系得到结果； 【详解】（1）()f x 的定义域是()0,∞+，求导得()()21221220kx x f x kx x x x+-'=+-=>.记()2221g x kx x =+-，①当0k =时，令()102g x x =⇒=， 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()()00g x f x f x '<⇒<⇒单调递减，当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()()()00g x f x f x '>⇒>⇒单调递增；②当0k >时，480k ∆=+>，()0g x x =⇒==，当10,2x k ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()()()00g x f x f x '<⇒<⇒单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()()()00g x f x f x '>⇒>⇒单调递增； ③当0k <时，令480k ∆=+≤得1,2k ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，则()22210g x kx x =+-≤在()0,∞+恒成立，于是()0f x '≤在()0,∞+恒成立，()f x 在定义域()0,∞+上单调递减.若1,02k ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则480k ∆=+>，令()10g x x =⇒=2x =()0f x '=有2个不相等正根，()f x 在10,2k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,22k k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2k ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减. 综上，当0k =时，函数增区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，减区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭；当0k >时，函数增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭，减区间为⎛ ⎝⎭； 当12k ≤-时，函减区间为()0,∞+，无增区间；当102k -<<时，函数增区间为⎝⎭，减区间为10,2k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,2k ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭； 类型四：多参函数讨论： 例：1.已知函数()(1),()af x x a lnx a R x=--+∈． （1）当2a =时，求()f x 的极值； （2）若0a >，求()f x 的单调区间． 解：【分析】（1）首先求函数的导数，2232()(0)x x f x x x -+'=>，判断函数的单调性后得到函数的极值；（2）222(1)()(1)()x a a x x a x f x x x +-+--'==，分1a >，1a =和01a <<三种情况讨论求函数的单调递减区间. 【详解】解：（1）因为当2a =时，2()3f x x lnx x=--， 所以2232()(0)x x f x x x-+'=>，由()0f x '=得1x =或2x =， 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况列表如下：所以当1x =时，()f x 取极大值1-；当2x =时，()f x 取极小值132ln -． （2）222(1)()(1)()x a a x x a x f x x x +-+--'==，12()0,1f x x a x '=⇒==①当1a >时，当(0,1)x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增，当(1,)x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减，当(,)x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增．②当1a =时，()0f x '≥在(0,)+∞恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；③当01a <<时，当(0,)x a ∈，()0f x '>，()f x 单调递增，当(,1)x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减，当(1,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，综上所述，①当1a >时，()f x 单调递增区间为(0,1)，(,)a +∞．单调递减区间为(1,)a ；②当1a =时，()f x 单调增区间为(0,)+∞，无减区间；③当01a <<时，()f x 单调递增区间为(0,)a ，(1,)+∞，单调递减区间为(,1)a ．例2．已知函数()221()2ln 2()2f x x ax x x ax a =--+∈R . （1）若0a =，求()f x 的最小值； （2）求函数()f x 的单调区间. 解：【分析】（1）若0a =，221()ln 2f x x x x =-利用导数得出()f x 在()0,∞+的单调性即可求解.（2）()()22ln f x x a x '=-再讨论0a ≤、01a <<、1a =、1a >函数()f x 的单调区间即可. 【详解】（1）若0a =，221()ln 2f x x x x =-定义域为()0,∞+， 21()2ln 2ln f x x x x x x x x'=+⨯-=，由()0f x '>可得1x >， 由()0f x '<可得01x <<，所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以()f x 的最小值为1(1)2f =-； （2）()()()21()22ln 2222ln f x x a x x ax x a x a x x'=-+-⋅-+=- ①当0a ≤时，220x a ->，由()0f x '>可得1x >， 由()0f x '<可得01x <<，此时()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞， ②当01a <<时，由()0f x '>可得0x a <<或1x > 由()0f x '<可得1<<a x ，此时()f x 的单调递减区间为(),1a ，单调递增区间为()0,a 和()1,+∞， ③当1a =时，()0f x '≥恒成立，此时()f x 的单调递增区间为()0,∞+，④当1a >时，由()0f x '>可得01x <<或x a >， 由()0f x '<可得1x a <<，此时()f x 的单调递减区间为()1,a ，单调递增区间为()0,1和(),a +∞，综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞， 当01a <<时，()f x 的单调递减区间为(),1a ，单调递增区间为()0,a 和()1,+∞， 当1a =时， ()f x 的单调递增区间为()0,∞+，当1a >时，()f x 的单调递减区间为()1,a ，单调递增区间为()0,1和(),a +∞，变式：1．已知函数()()24ln 22f x x a x a x =-+-，a R ∈．（1）当1a =时，求证：()4ln 2f x ≥-； （2）当0a ≤时，讨论函数()f x 的单调性． 解：【分析】（1）当1a =时，可得()24ln 2f x x x x =--，利用导数求得()min 4ln 2f x =-，由此可证得结论成立；（2）求得()()()22x a x f x x+-'=，对实数a 的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 单调递增区间和递减区间. 【详解】（1）当1a =时，()24ln 2f x x x x =--，该函数的定义域为()0,∞+，()()()2212422422x x x x f x x x x x+---'=--==， 当02x <<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减； 当2x >时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增.所以，()()min 24ln 2f x f ==-，因此，当1a =时，求证：()4ln 2f x ≥-；（2）当0a ≤时，函数()()24ln 22f x x a x a x =-+-的定义域为()0,∞+，()()()()()22224224222x a x a x a x af x x a x x x+--+-'=-+-==. ①当0a -=时，即当0a =时，则()()22f x x '=-. 由()0f x '<可得02x <<，由()0f x '>可得2x >.此时，函数()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞； ②当02a <-<时，即当20a -<<时，由()0f x '<可得2a x -<<，由()0f x '>可得0x a <<-或2x >.此时，函数()f x 的单调递减区间为(),2a -，单调递增区间为()0,a -、()2,+∞；③当2a -=时，即当2a =-时，则()()2220x f x x-'=≥对任意的0x >恒成立，此时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+； ④当2a ->时，即当2a <-时，由()0f x '<可得2x a <<-，由()0f x '>可得02x <<或x a >-.此时，函数()f x 的单调递减区间为()2,a -，单调递增区间为()0,2、(),a -+∞. 综上所述，当0a =时，函数()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞； 当20a -<<时，函数()f x 的单调递减区间为(),2a -，单调递增区间为()0,a -、()2,+∞； 当2a =-时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+；当2a <-时，函数()f x 的单调递减区间为()2,a -，单调递增区间为()0,2、(),a -+∞.变式：2．已知函数()ln ()mf x x mx m x=--∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性； 解：【分析】（1）2221()m mx x m f x m x x x++'=---=-，0x >，分0m =，0m ≠两种情况，根据二次函数的性质,利用判别式结合函数的定义域，由导数的正负判断； 【详解】（1）2221()m mx x mf x m x x x++'=---=-，0x >， 若0m =，则1()0f x x'=-<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减. 若0m ≠，则二次函数2y mx x m =++的判别式214m ∆=-，当0∆≤，即12m ≤-或12m ≥时，若12m ≤-，则()0f x '≥，等号不恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 若12m ≥，则()0f x '≤，等号不恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减.当0∆>，即1122m -<<且0m ≠时， 令()0f x '=，即20mx x m ++=，此时112x m -=212x m-+=，121x x m +=-，121=x x ，若102m <<，则1x ，20x <，此时()0f x '<恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减； 若102m -<<，则210x x <<，当()20,x x ∈时，()0f x '>， 当()21,x x x ∈时()0f x '<，当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>， 即函数()f x 在()20,x 和()1,x +∞上单调递增，在()21,x x 上单调递减. 综上，当0m ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当12m ≤-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当102m -<<时，函数()f x 在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减. 变式：3．已知实数0a >，函数()22ln f x a x a x x=++，(0,10)x ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性； 解【分析】（1）求导后得()()()()221010ax ax f x x x +-'=<<；分别在110a ≥和1010a<<两种情况下，根据()f x '的符号可确定()f x 的单调性；【详解】（1）()()()()222212010ax ax a f x a x x x x+-'=-++=<<. 0a >，010x <<，20ax ∴+>.①当110a ≥，即当10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<， ()f x ∴在()0,10上单调递减；②当1010a <<，即1,10a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<； 当1,10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>， ()f x ∴在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 综上所述：当10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 在()0,10上单调递减； 当1,10a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 类型五：其他函数含参讨论：例：1.已知函数()1x f x ke x -=-．（1）讨论()f x 的单调性；解：【分析】（1）对函数求导，分0k ≤和0k >两种情况，分别得出函数的单调性；【详解】（1）()11x f x ke -=-'，当0k ≤时，()0f x '<，()f x 在(),-∞+∞上单调递减；当0k >时，令()0f x '=，得1ln x k =-，当(),1ln x k ∈-∞-时，()0f x '<；当()1ln ,x k ∈-+∞时，()0f x '>．故()f x '在(),1ln k -∞-上单调递减，在()1ln ,k -+∞上单调递增．例2.．已知函数()22x f x xe ax ax =++，e 为自然对数的底数． （1）讨论()f x 的单调性；解：【分析】（1）求导()()()12x f x x e a '=++，分0a ≥，102a e-<<，12a e =-，12a e <-讨论求解.【详解】（1）()()()12x f x x e a '=++， ①当0a ≥时，20x e a +>，(),1x ∈-∞-，()0f x '<，()f x 单调递减，()1,x ∈-+∞，()0f x '>，()f x 单调递增．②当102a e-<<时，()ln 21a -<-， ()(),ln 2x a ∈-∞-，20x e a +<，()0f x '>，()f x 单调递增，()()ln 2,1x a ∈--，20x e a +>，()0f x '<，()f x 单调递减，()1,x ∈-+∞，20x e a +>，()0f x '>，()f x 单调递增，③当12a e =-时，()()()110x f x x e e -'=+-≥，(),x ∈-∞+∞，()f x 单调递增 ④当12a e<-时，()ln 21a ->-， (),1x ∈-∞-，20x e a +<，()0f x '>，()f x 单调递增，()()1,ln 2x a ∈--，20x e a +<，()0f x '<，()f x 单调递减，()()ln 2,x a ∈-+∞，20x e a +>，()0f x '>，()f x 单调递增．例3．已知函数()e 1xx a f x =-+（a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的单调性；解：【分析】（1）求导后，分类讨论a ，利用导数的符号可得函数()f x 的单调性；【详解】（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，且()1e xf x a ='-．当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在(),-∞+∞上单调递增．当0a >时，若(),ln x a ∈-∞-，则()0f x '>，()f x 在(),ln a -∞-上单调递增； 若()ln ,x a ∈-+∞，则()0f x '<，()f x 在()ln ,a -+∞上单调递减．综上所述，当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递增，在()ln ,a -+∞上单调递减．变式：1．设()()ln a f x ax x =+，()11ln x g x b e x x-=⋅+,其中,a b ∈R ，且0a ≠. （1）试讨论()f x 的单调性；解：【分析】（1）分别在0a <和0a >两种情况下，结合定义域，根据导函数的正负可确定原函数的单调性；【详解】（1）()221a x a f x x x x'-=-=， ①当0a <时，由0ax >得：0x <，即()f x 定义域为(),0-∞；∴当(),x a ∈-∞时，()0f x '<；当(),0x a ∈时，()0f x '>；()f x ∴在(),a -∞上单调递减，在(),0a 上单调递增；②当0a >时，由0ax >得：0x >，即()f x 定义域为()0,∞+；∴当()0,x a ∈时，()0f x '<；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>；()f x ∴在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增；综上所述：当0a <时，()f x 在(),a -∞上单调递减，在(),0a 上单调递增；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增.变式：2．已知函数()()()ln 1f x a a x x a =++∈R ．（1）求讨论函数()f x 的单调性；解：【分析】（1）当0a =时，()1f x =是常数函数，可得结论，当0a ≠时，求出()f x '分0a >和0a <进行讨论得到答案.【详解】（1）函数()()()ln 1f x a a x x a =++∈R 的定义域是()0,∞+，()()1a a x a f x a x x +⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭． 当0a =时，()1f x =是常数函数，不具有单调性；当0a >时，()0f x '>对任意()0,x ∈+∞恒成立，故函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a <时，令()0f x '<，得x a >-，令()0f x '>，得0x a <<-，故函数()f x 在()0,a -上单调递增，在(),a -+∞上单调递减．综上：当0a >时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a =时，()f x 不具有单调性；当0a <时，函数()f x 在()0,a -上单调递增，在(),a -+∞上单调递减．变式：3．已知函数()()2e 21x f x x a x x =+++，a ∈R .（1）求()f x 的单调区间；解：【分析】（1）利用导数的基本运算可得()()()12x f x x e a '=++，讨论0a ≥、102a e -<<或12a e <-，利用导数与函数单调性之间的关系即可得出结果.【详解】解：（1）由题意得()()()12xf x x e a '=++， 令()()()12xg x x e a =++， 当0a ≥时，()10g -=，即当(),1x ∈-∞-时，()()0g x f x ='<；当()1,x ∈-+∞时，()()0g x f x '=>，故()f x 的单调递减区间为(),1-∞-，单调递增区间为()1,-+∞； 当12a e<-时，令()()0g x f x '==， 则11x =-，()2ln 2x a =-，12x x <，故()f x 的单调递减区间为()()1,ln 2a --，单调递增区间为(),1-∞-，()()ln 2,a -+∞； 当12a e-=时，令()()0g x f x '==， 则11x =-，()2ln 2x a =-，12x x =，满足()()0g x f x '=≥，故()f x 在R 上单调递增；当102a e-<<时，令()()0g x f x '==， 则11x =-，()2ln 2x a =-，12x x >，故()f x 的单调递减区间为()()ln 2,1a --，单调递增区间为()(),ln 2a -∞-，()1,-+∞. 综上，当0a ≥时，()f x 的单调递减区间为(),1-∞-，单调递增区间为()1,-+∞； 当12a e -<时，()f x 的单调递减区间为()()1,ln 2a --， 单调递增区间为(),1-∞-，()()ln 2,a -+∞； 当12a e-=时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞； 当102a e -<<时，()f x 的单调递减区间为()()ln 2,1a --， 单调递增区间为()(),ln 2a -∞-，()1,-+∞.。

导数及其应用专题二：利用导数研究函数单调性问题（含参数讨论）一、知识储备往往首先考虑是否导数恒大于零或恒小于零，再考虑可能大于零小于零的情况。

常与含参数的一元二次不等式的解法有关，首先讨论二次项系数，再就是根的大小或判别式，能表示出对应一元二次方程的根时讨论根的大小、端点实数的大小，不能时讨论判别式。

二、例题讲解1．（2022·山东莱州一中高三开学考试）已知函数()1ln f x x a x =--（其中a 为参数）. （1）求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】（1）求导可得()af x x x'-=，分0a ≤和0a >进行讨论即可； 【详解】 （1）()af x x x'-=，(0,)x ∈+∞， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上递增， 当0a >时，令()0f x '=，得x a =，()0,x a ∈时，()f x 单调递减， (,)x a ∈+∞时，()f x 单调递增；综上：0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上递增，无减区间，当0a >时，()f x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(,)a +∞；2．（2022·宁夏银川一中高三月考（文））已知函数2()(2)ln f x x a x a x =---（a R ∈） （1）求函数()y f x =的单调区间； 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，分0a ≤和0a >两种情况判断导数的正负，从而可求得函数的单调区间， 【详解】（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，(1)(2)()2(2)a x x a f x x a x x'+-=---= 当0a ≤时，()0f x '>对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 所以，函数()f x 在区间(0,)+∞单调递增； 当0a >时，由()0f x '>得2a x >，由()0f x '<，得02ax <<， 所以，函数在区间,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；综上：0a ≤时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间. 0a >时，()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪.3．（2022·广西高三开学考试（理））函数()322f x x x ax =++，（1）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析； 【分析】（1）求得()'f x ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调性.【详解】（1）()'234f x x x a =++，1612a ∆=-①若43a ≥，则0∆≤，()'0f x ≥；()f x 单调递增； ②若43a <则0∆>，当x <x >()'0f x >，()f x 单调递增；x <<，()'0f x <，()f x 单调递减； 【点睛】若函数的导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.三、实战练习1．（2022·全国高三月考）设函数()()()21ln 11f x x x ax x a =++--+-，a R ∈．(1)求()f x '的单调区间 【答案】(1)答案见解析； 【分析】(1)先对函数()f x 进行求导，构造函数再分0a ≤，0a >两种情况进行讨论，利用导数研究函数的单调性即可求解； 【详解】(1)由题意可得()f x 的定义域为{}1x x >-，()()ln 12f x x ax +'=-． 令()()()ln 121g x x ax x =+->-， 则()1122211a axg x a x x --=-='++． 当0a ≤时，当()1,x ∈-+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当0a >时，当11,12x a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当11,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，所以当0a ≤时，()f x '的单调递增区间为()1,-+∞； 当0a >时，()f x '的单调递增区间为11,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．2．（2022·浙江舟山中学高三月考）已知函数()22ln (R)f x x x a x a =-+∈（1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）当12a ≥时，函数在()0+∞，递增；当102a <<时，函数在()10,x 递增，()12,x x 递减，()2,x +∞递增其中12x x =； 【分析】（1）求()f x '，令()0f x '=可得2220x x a -+=，分别讨论0∆≤和0∆>时，求不等式()0f x '>，()0f x '<的解集，即可求解；【详解】（1）()22ln (R)f x x x a x a =-+∈定义域为()0,∞+， ()22222a x x af x x x x-+'=-+=()0x >， 令()0f x '=可得2220x x a -+=， 当480a ∆=-≤即12a ≥时，()0f x '≥对于()0,x ∈+∞恒成立， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增，当480a ∆=->即102a <<时，由2220x x a -+=可得：x =，由()0f x '>可得：0x <<或x >由()0f x '<x <<所以()f x 在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减， 综上所述：当12a ≥时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+；当102a <<时，()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减区间为⎝⎭. 3．（2022·山东济宁一中）已知函数()ln f x x a x =-，a ∈R ． （1）求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】（1）对函数求导，进而讨论a 的范围，最后得到函数的单调区间； 【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}0x x >，()1a x a f x x x'-=-=0a ≤时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；0a >时，令()0f x '=，得x a =．当0x a <<时，()0f x '<，函数()f x 为减函数； 当x a >时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间； 当0a >时，函数()x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞． 4．（2022·仪征市精诚高级中学高三月考）已知函数()()1n f x x ax a =-∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）求出函数导数，讨论a 的范围结合导数即可得出单调性； 【详解】 （1）11()(0)axf x a x xx-'=-=> 当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，令()0f x '=，得到1x a=， 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减．综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．5．（2022·嘉峪关市第一中学高三模拟预测（理））已知函数()21xf x e ax =--，()()2ln 1g x a x =+，a R ∈.（1）求()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】(1)求出函数()f x 的导函数()f x '，按a 分类解不等式()0f x '<、()0f x '>即得；【详解】(1)对函数()21x f x e ax =--求导得，()2xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上为增函数，当0a >时，由()20xf x e a '=-=，解得：()ln 2x a =，而()f x '在R 上单调递增，于是得当(,ln(2))∈-∞x a 时，()0f x '<，()f x 在(,ln(2))a -∞上为减函数， 当()()ln 2,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()()ln 2,a +∞上为增函数， 所以，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为R ，当0a >时，()f x 的单调递减区间是(,ln(2))a -∞，单调递增区间是()()ln 2,a +∞；6．（2022·榆林市第十中学高三月考（文））已知函数()2ln f x ax x x =--，0a ≠．（1）试讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）当0a <时，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 【分析】（1）求出导函数()212121ax x f x ax x x -'-=--=，设()221g x ax x =--，对a 分类讨论：当0a <时，函数()f x在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 【详解】函数()2ln f x ax x x =--的定义域为()0+∞，. （1）()212121ax x f x ax x x-'-=--=，设()221g x ax x =--当0a <时，因为函数()g x 图象的对称轴为104x a=<，()01g =-． 所以当0x >时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0g x =．得1x =2x =当20x x <<时，()0<g x ，()0f x '<，当2x x >时，()0>g x ，()0f x '>．所以函数()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 7．（2022·嘉峪关市第一中学高三三模（理））设函数()2ln f x ax a x =--，其中a ∈R ．（1）讨论()f x 的单调性； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】（1）求导，当0a ≤时，可得()0f x '<，()f x 为单调递减函数；当0a >时，令()0f x '=，可得极值点，分别讨论在⎛ ⎝和+⎫∞⎪⎭上，()'f x 的正负，可得()f x 的单调区间，即可得答案.【详解】（1）()()212120.ax f x ax x x x-'=-=>当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+内单调递减. 当0a >时，由()0f x '=，有x =此时，当x ∈⎛⎝时，()0f x '<，()f x 单调递减；当x ∈+⎫∞⎪⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增. 综上：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+内单调递减，当0a >时，()f x 在⎛ ⎝内单调递减，在+⎫∞⎪⎭单调递增. 8．（2022·贵州省思南中学高三月考（文））设函数()22ln 1f x x mx =-+.（1）讨论函数()f x 的单调性； 【答案】(1)函数()f x 的单调性见解析； 【分析】(1)求出函数()f x 的定义域及导数，再分类讨论导数值为正、为负的x 取值区间即得； 【详解】(1)依题意，函数()f x 定义域为(0,)+∞，()222(1)2mx f x mx x x-'=-=，当0m ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0m >时，由()0f x '=得x =，当0x <<()0f x '>，当x >时，()0f x '<，于是得()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减，所以，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0m >时，()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减；9．（2022·河南（理））已知函数()()2ln f x x m x x =--（8m ≥-，且0m ≠）．（1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析； 【分析】（1）求导得到221()mx mx f x x --'=-，转化为二次函数2()21g x mx mx =--的正负进行讨论，分0∆≤，0∆>两种情况讨论，即得解； 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，2121()(21)mx mx f x m x x x--'=--=-， 令2()21g x mx mx =--，()g x 为二次函数，28m m ∆=+， ①当80m -≤<时，0∆≤，()0g x ≤， 所以()0f x '≥，故()f x 在()0,∞+单调递增； ②当0m >时，0∆>， 令()0g x =，得1x =2x =，显然120x x <<，所以当()20,x x ∈，()0g x <， 所以()0f x '>，故()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时，()0g x >， 所以()0f x '<，()f x 单调递减．综上，当0m >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减； 当80m -≤<时，()f x 在()0,∞+单调递增．10．（2022·河南高三月考（文））已知函数()()2ln f x x m x x =--（8m ≥-，且0m ≠）.（1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）求导2121()(21)mx mx f x m x x x --'=--=-，令2()21g x mx mx =--，然后由0∆≤，0∆>讨论求解；【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，2121()(21)mx mx f x m x x x--'=--=-， 令2()21g x mx mx =--，()g x 为二次函数，28m m ∆=+， ①当80m -≤<时，0∆≤，()0g x ≤， 所以()0f x '≥，故()f x 在()0,∞+单调递增； ②当0m >时，0∆>，令()0g x =，得1x =2x =，显然120x x <<，所以当()20,x x ∈，()0g x <， 所以()0f x '>，()f x 单调递增； 当()2,x x ∈+∞时，()0g x >， 所以()0f x '<，()f x 单调递减.综上，当80m -≤<时， ()f x 在()0,∞+单调递增；当0m >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减. 11．（2022·湖南高三模拟预测）设函数1()ln ,()3a f x x g x ax x-=+=-． （1）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调递增区间； 【答案】（1）答案见解析；（2）存在符合题意的整数λ，其最小值为0．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；【详解】解：（1）函数()ϕx 的定义域为()0,∞+，函数()ϕx 的导数2(1)(1)()x ax a x x ϕ'++-=， 当0a <时，()ϕx 在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减 当01a 时，()ϕx 在R +上单调递增．当1a >时，()ϕx 在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 综上可知，当0a <时，()ϕx 的单调递增区间是10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；当01a 时，()ϕx 的单调递增区间是(0,)+∞；当1a >时，()ϕx 的单调递增区间是1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 12．（2022·安徽高三月考（文））已知函数21()ln 2f x x a x =-． （1）讨论()f x 的单调性； 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）12a =． 【分析】 （1）求导函数()'f x ，分类讨论确定()'f x 的正负，得单调区间；【详解】解：（1）由题意，可得0x >且2 ()a x a f x x x x-'=-= ①若0a ≤，()0f x '>恒成立，则()f x 在(0,)+∞上是增函数②0a >，则2()a x a f x x x x -==='-所以当x ∈时，()0f x '<，当)x ∈+∞时，()0f x '>则()f x 在上是减函数，在)+∞上是增函数综上所述，若0a ≤，()y f x =在(0,)+∞上是增函数若0a >，()y f x =在上是减函数，在)+∞上是增函数13．（2022·湖北武汉·高三月考）已知函数2()ln (1),2a f x x x a x a R =+-+∈ （1）讨论函数()f x 的单调区间；【答案】（1）答案见解析；【分析】（1）求得(1)(1)()x ax f x x '--=，分0a ≤，01a <<，1a =和1a >四种情况讨论，结合导数的符号，即可求解； 【详解】（1）由题意，函数2()ln (1)2a f x x x a x =+-+的定义域为(0,)+∞， 且21(1)1(1)(1)()(1)ax a x x ax f x ax a x x x-++--=+-+=='， ①当0a ≤时，令()0f x '>，解得01x <<，令()0f x '<，解得1x >，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；②当01a <<时，令()0f x '>，解得01x <<或1x a>， 令()0f x '<，解得11x a <<， 所以()f x 在(0,1)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； ③当1a =时，则()0f x '≥，所以在(0,)+∞上()f x 单调递增，④当1a >时，令()0f x '>，解得10x a<<或1x >， 令()0f x '<，解得11x a <<， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 综上，当0a ≤时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；当01a <<时，()f x 在(0,1)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 14．（2022·双峰县第一中学高三开学考试）已知函数()2()1e x f x x ax =-+．（1）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时，()f x 在(),1a -∞-和(1,)-+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；当0a >时，()f x 在(),1-∞-和(1,)a -+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，讨论0a =，0a >和0a <情况下，导数的正负，即可得到()f x 的单调性；【详解】（1）函数()2()1e x f x x ax =-+，求导()()()()21e 11e 2x x f x x a x a x a x '⎡⎤+=⎣+-⎦=-+-+由()0f x '=，得11x a =-，21x =-①当0a =时，()()21e 0x f x x '+≥=，()f x ∴在R 上单调递增；②当0a <时， 在(),1x a ∈-∞-有()0f x '>，故()f x 单调递增；在()1,1x a ∈--有()0f x '<，故()f x 单调递减；在(1,)x ∈-+∞有()0f x '>，故()f x 单调递增；③当0a >时， 在(),1x ∈-∞-有()0f x '>，故()f x 单调递增；在()1,a 1x ∈--有()0f x '<，故()f x 单调递减；在(1,)x a ∈-+∞有()0f x '>，故()f x 单调递增；综上所述，当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时，()f x 在(),1a -∞-和(1,)-+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；当0a >时，()f x 在(),1-∞-和(1,)a -+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；。