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第四章平面一般力系

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第四章平面一般力系
第七节平面桁架
二、平面桁架的内力计算
1.节点法：主要用于设计桁架
2.截面法：主要用于校核桁架
1.节点法：每个节点都受一个平面汇交力系的作用，为了研究每根杆子的内力，可以逐个取节点研究，由已知力求出未知力
平面汇交力系只有二个独立方程，所以取每个节点研究，只能求出二个未知力
例题
例4-15
已知：桁架受力尺寸如图所示，P=10kN，作用在D节点。

求：桁架中各杆内力
图4-159
解：∵每个节点都受有2个以上的未知力作用，所以不能先取节点，必须先取整体把AB处反力求出，再从A或B处开始取节点依次研究
(一)先取整体(各杆受力均为内力，不能在受力图中画出)
画出受力图，列平衡方程求支座反力
图4-160
ΣM A=0
F BY·4－P·2=0
F BY=5kN
图4-161
F BX=0
F A-P+F BY=0
F A=P-F BY=5KN
图4-162
(二)依次取各节点研究
A→C→D先设各杆受拉
图4-163 1.取A节点研究，画受力图列平衡方程
图4-164
代入F Ay=5kN
求出：F1=－10kN压力(负号代表与所设方向相反)
F2=8.66kN拉力
图4-165
2.取C节点研究，画受力图，列平衡方程
图4-166
代入F1'＝F1＝-10kN
解得
F4=－10kN压力
F3=10kN拉力
图4-167
3.取D节点研究，画受力图，列平衡方程
－F2'+F5=0
F5=F2'=8.66kN拉力
图4-168
各杆内力如图所示，正号表示该杆内力是拉力而负号表示该杆内力是压力
图4-169
(三)判断各杆受拉力或受压力
若假定各杆均受拉力，计算出结果，F2，F3，F5均为正值，表明2杆、3杆、5杆确实受拉力
图4-170
计算出结果F1，F4为负值则表明实际受力与所假设方向相反，所以1杆、4杆受压力
图4-171
(四)校核计算结果
求出各杆内力之后，可用尚未利用的节点D的Y方向的平衡方程校核
图4-172
图4-173
F3'=P=10kN F3'与所求的F3相等，说明计算无误
2.截面法主要用于校核桁架。

优点是可以单刀直入，计算简便
图4-174
工程中若已完成桁架的设计只须校核其中受力较大的几根杆子，则没有必要用节点法求出各杆内力
截面法：假想地选取适当截面形状，把桁架截开，考虑其中一部分的平衡，求出被截开杆件内力
用截面截开后，其中任何一部分均为平面一般力系，所以可以用三个平衡方程求出三个未知杆的内力
图4-175
例题4-16
已知：图示桁架各杆长均为a
P1=10kN，P2=7kN
求：1、2、3杆内力
图4-176
分析题目，此题当然可以用节点法求出每个杆的受力，包括1、2、3杆，但较繁
图4-177
若只为求1、2、3杆内力，我们可以用m－n截面将1、2、3杆截开，取其中一部分研究
图4-178
不管取那一部分，未知数均多于平衡方程数，故先取整体求出支座反力，再取截面m－n，分开后研究其中一部分研究
图4-179
解：1.先取整体求支反力画受力图，列方程
图4-180
图4-181
图4-182
2.取m－n截面左半部分研究，画受力图，列平衡方程(不允许在整体图上画)
图4-183
(压力)
图4-184
图4-185
若取桁架的右半部分研究可以求得同样的结果。

但取分离体时，尽量取受力简单的，这样计算简便
图4-186
采用截面法求内力时可以适当选择力矩方程矩心为两个未知力的交点，这样可以较快求出各杆内力
图4-187
另外截面的形状可以是任意的，平面、曲面均可，但必须截开各杆
例4-17
已知：图示桁架
求：6、7、8、10、11杆内力
图4-188
分析题目
1.本题采用力矩方程简便，先用截面法求6、7、8内力，再用节点法求10、11杆内力(此题不必先求支反力)
图4-189
解：1.取m－n右半部分研究画受力图，列平衡方程
Σm H=0
F8=0
Σm D=0
F6－F=0
F6=F
图4-190
图4-191
2.用节点法求10、11杆内力
图4-192 F11=0F10=0 杆受力为零的杆为零力杆
例题4-18
已知：P及尺寸
求：1、2、3杆内力
图4-193
解：1、先取节点G判定F1=0
图4-194
2、取E节点
图4-195
判定F2=F3=0
(三)判断零杆的方法
图4-196
①节点只连结两根不共线的杆件，且在此节点上无外力，则此两杆为零力杆
图4-197
②节点只连接两根不共线的杆件，且外力沿某一杆件。

则另一根为零杆
F2=0
图4-198
③节点连接三根杆，其中两根共线，且此节点上无外力，则第三根为零力杆
F3=0
图4-199
可以直接判断出F5=0，F1=0
图4-200
求解桁架内力可以单独用节点法或单独用截面法，也可以两种方法结合使用
节点法：多用于设计桁架，计算简便但较繁，每个杆件内力均能求出
截面法：多用于校核桁架，可以单刀直入，计算简便，但也需注意截面选择，一次最好截断不超过三根
小结
平面桁架内力计算的两种方法
1.节点法取节点研究，实际构成平面汇交力系
由最多求出两个未知力
2.截面法：取一部分桁架研究实际构成一般平面力系
由
最多能求出3个未知力。

采用适当的力矩方程计算简便
作业
6-2 (a) 、6-3 (a)。

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第四章平面一般力系

第四章平面一般力系

①三矩式
MC ( F ) 0
条件：A、B、C 不在同一直线上
C x
R B
A
§4-3
平面一般力系的平衡条件及其应用
二、平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。
Y 0 M (F ) 0
O i
y
一矩式
F2
Fn F3
M
A
(Fi ) 0
二矩式
第四章
力的平移定理 平面一般力系向作用面内任意点的简化 平面一般力系平衡条件及其应用 习题课
第四章
平面一般力系：各力的作用线在同一平面内， 既不完全汇交为一点又不完全相互平行的力 系。
[例]
第四章
当物体所受的力对称于某一平面时， 也可简化为在对称平面内的平面一般力系。
力系的简化：把未知力系（平面一般力系） 变成已知力系（平面汇交力系和 平面力偶系）
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
一、力系向一点简化
一般力系（任意力系） 向一点简化 汇交力系+力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力偶系 力 ，R’ (主矢) ， (作用在简化中心) 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
A F´´
=
d
=
M O ( F ) Fd
MO ( F ) Fd
O
A
F F F
第四章
§4-1 力的平移定理
说明： ①力线平移定理揭示了力与力偶的关系： 力 力+力偶
②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关， m=F•d
③力线平移定理是力系简化的理论基础。
【2024版】工程力学课件-第四章-平面一般力系

【2024版】工程力学课件-第四章-平面一般力系


擦均不计。试求A和B处的支座约束力。
y
q
q
Me
A
BA
C
D
2a
a
FAx FAy 2a
C a
4a
4a
Me Bx
D
FNB
(a)
(b)
解：(1) 选AB梁为研究对象。 (2) 画受力图如右图所示。 (3) 取坐标如图。
课程：工程力学
例题 4-4 (4) 列平衡方程
第4章 平面一般力系 38
矢。 FR′的大小和方向等于主矢，作用点在O点。 由此可见，主矢与简化中心的位置无关。
MO M1 M2 Mn
MO (F1) MO (F2 ) MO (Fn ) MO (F )
(4-2)
由此可见，MO一般与简化中心的位置有关，它反映 了原力系中各力的作用线相对于O点的分布情况， 称为原力系对O点的主矩。
例题 4-3 解：(1) 取AB梁为研究对象。
(2) 画受力图。
y FT
未知量三个：FAx、FAy、FT ，FAx A 独立的平衡方程数也是三个。
FAy
(3) 列平衡方程，选坐标如图所示。
300
B
DE x
PF
Fx 0
FA x FT cos 300 0
(1)
Fy 0
FA y FT sin 300 P F 0 (2)
且主矢和主矩都不为零，问是否可能？
F1
F2
A
B
Fn
FR
A
B
答：合力与两点连线平行时可能。
课程：工程力学
思考题 4-2
第4章 平面一般力系 17
在什么情况下，一平面力系向一点简化所得 的主矩为零？
F1
静力04章-平面一般力系.ppt

静力04章-平面一般力系.ppt


MA为限制转动。
11
§4-6 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。
设有F1, F2 … Fn 各平行力系， 向O点简化得：
主矢R R'F O
主矩M O mO ( Fi )Fi xi
合力作用线的位置为：
xR
MO R'
Fi xi F
平衡的充要条件为
R' 0
Mo 0
1
§4-1 平面一般力系的概念
平面一般力系：
各力和各平面力偶都作用在同一平面内但是既 汇交也不平行的力系。
2
§4-2 力线平移定理
力线平移定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一
点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶
[证] 力 F
Bd
A
的矩等于原来的力F 对新作用点B的矩。
力系 F ,F , F 力F 力偶（F，F ）
mO (F )0
SAcosRM 0 X 0
X O SAsin 0
Y 0
S Acos YO 0
M PR XO P tg YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
26
[习题4－19] 起重机位于连续梁上，已知： P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂, 不计梁重。 求：支座A ,B和D点的反力。
( mA 0 :
RB 3 Q 2 0
RB 20kN )
23
BC： R'B RB 20kN
X 0:
XC 0
Y 0 :
YC R'B 0
R’B m
mc
C
B
XC
YC 2m
YC 20kN
平面一般力系

平面一般力系


A(x,y) Fx y
odx
X
=xFy-yFx
mo(F) =±Fd
例题 求图示力系合成的结果。
已知：F1 100N，F2 100 2N，F3 50N，M 500N.m
y
F2 450 (-3,2)
(2,1)
F1 5 β 12
O
x
cosβ=12/13 sinβ=5/13
M (0,-4)
YA MA
XA
示例：求力系的合力大小和作用点。
2kN/m 5kN 3kNm
A
xC
B R
2m 1m 1m
R 2 2 5 1kN RxC 2 21 5 2 3 3kNm xC 3m
M (0,-4)
F3
MO = mO(Fi)= - F1 cosβ × 1 + F1 sinβ ×2 + F2 cos 450 × 2- F2 sin 450 ×3+M+F3 ×4=580N.m
因为主矢、主矩均不为0，所以简化的最终结果 为一个合力，此合力的大小和方向与主矢相同。
4、求合力的作用线位置：
固定端（插入端）约束 雨搭
车刀
§4-3平面一般力系的简化结果分析
简化结果： 主矢 R ，主矩 MO 。 ① R =0， MO =0 原力系为平衡力系 力②偶R系=等0,效MO≠0 主矩与简化中心O无关。原力系与一平面 ③ R ≠0,MO =0, 简化结果就是合力 与简化中心有关，
（换个简化中心，主矩不为零） 原力系与一平面汇交力系等效
F3
解:1、取0点为简化中心，建立图示坐标系：
主矢： FR/= Fi 主矩： M0 = m0(Fi)
2、求力系的主矢