选修1-2 第三章复数练习题题

数学选修1－2 第三章测试卷(时间：90分钟 满分：150分)一、选择题(共12小题，满分60分，每小题5分)1．i 是虚数单位，复数7－i 3＋i＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i解析：7－i 3＋i＝(7－i )(3－i )10＝20－10i 10＝2－i.故选B. 答案：B2．已知复数z ＝－i 3(－1＋2i )2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为z ＝i －3－4i ＝i (－3＋4i )(－3－4i )(－3＋4i )＝－4－3i 25＝－425－325i ，所以z 在复平面内所对应的点在第三象限，故选C.答案：C3．若复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z －为( )A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i解析：因为(z －3)(2－i)＝5，所以z －3＝52－i ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2＋i ， 所以z ＝5＋i ，所以z －＝5－i.故选D.答案：D4．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z －，则2－z －z等于( ) A ．－1－2i B ．－2＋iC ．－1＋2iD ．1＋2i解析：由题意可得2－z －z ＝2－(－1＋i )－1－i＝(3－i )(－1＋i )(－1－i )(－1＋i )＝－1＋2i ，故选C. 答案：C5．|(3＋2i)－(4－i)|等于( ) A.58 B.10C ．2D ．－1＋3i解析：3＋2i －(4－i)＝－1＋3i ，|－1＋3i|＝10.答案：B6．已知复数z 1＝2＋a i(a ∈R )，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则|z 1|＝( ) A. 2 B. 3C ．2 D. 5解析：由于z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝(2＋a i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝2－2a ＋(4＋a )i 5为纯虚数，则a ＝1， 则|z 1|＝5，故选D.答案：D7．已知i 为虚数单位，复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．±1或0解析：因为复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，所以a 2＋4＝4＋1，解得a ＝±1，故选C.答案：C8．已知复数z ＝－12＋32i ，则z －＋|z |＝( ) A ．－12－32i B ．－12＋32i C.12＋32i D.12－32i 解析：因为z ＝－12＋32i ， 所以z －＋|z |＝－12－32i ＋⎝⎛⎭⎫－122＋322＝12－32i.故选D. 答案：D9．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论正确的是( )A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C.z －对应的点在实轴的下方D ．z 一定为实数解析：∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1＞0，∴z 对应的点在实轴的上方．又∵z 与z －对应的点关于实轴对称．∴C 项正确．故选C.答案：C10．复数2＋i 与复数13＋i在复平面上的对应点分别是A ，B ，若O 为坐标原点，则∠AOB 等于( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：∵13＋i ＝3－i (3＋i )(3－i )＝310－i 10， ∴它在复平面上的对应点为B ⎝⎛⎭⎫310，－110， 而复数2＋i 在复平面上的对应点是A (2,1)，显然AO ＝5，BO ＝1010，AB ＝41010. 由余弦定理得 cos ∠AOB ＝AO 2＋BO 2－AB 22AO ·BO ＝22， ∴∠AOB ＝π4.故选B.答案：B 11．已知z －是复数z 的共轭复数，z ＋z －＋z ·z －＝0，则复数z 在复平面内对应的点的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z －＝x －y i ，代入z ＋z －＋z ·z －＝0，得x ＋y i ＋x －y i ＋x 2＋y 2＝0，即x 2＋y 2＋2x ＝0，整理得(x ＋1)2＋y 2＝1.∴复数z 在复平面内对应的点的轨迹是圆．故选A.答案：A12．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R )在复平面内对应的向量的模为3，则y x的最大值是( )A.32B.33C.12D. 3解析：因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y )在以C (2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识－3≤y x ≤ 3.故选D. 答案：D二、填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)13．若a 是复数z 1＝1＋i 2－i的实部，b 是复数z 2＝(1－i)3的虚部，则ab ＝________. 解析：∵z 1＝1＋i 2－i＝(1＋i )(2＋i )5＝15＋35i ，∴a ＝15，∵z 2＝(1－i)3＝－2－2i ，∴b ＝－2，∴ab ＝－25. 答案：－2514．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．解析：由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.答案：－215．设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________.解析：∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3，∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.答案：316．若复数z ＝(m 2－4m )＋(m 2－6m ＋9)i(m ∈R )在复平面内对应的点位于第二象限，其中i 为虚数单位，则实数m 的取值范围为________．解析：由题可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m 2－4m ，m 2－6m ＋9)，因为点(m 2－3m ，m 2－6m ＋9)位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0m 2－6m ＋9>0，解得0<m <3或3<m <4，故实数m 的取值范围为(0,3)∪(3,4)．答案：(0,3)∪(3,4)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i (2＋i )2， 求：(1)z 1z 2；(2)z 1z 2. 解析：因为z 2＝15－5i (2＋i )2＝15－5i 3＋4i ＝(15－5i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25－75i 25＝1－3i ， 所以(1)z 1z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝(2－3i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＝11＋3i 10＝1110＋310i. 18．(12分)设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，b ≠0，若ω＝z ＋1z是实数，且－1<ω<2. (1)求z 的实部的取值范围；(2)设u ＝1－z 1＋z，求证：u 为纯虚数． 解析：(1)因为z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，b ≠0，所以ω＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝⎛⎭⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －b a 2＋b 2i. 因为ω是实数，所以b －b a 2＋b 2＝0，即a 2＋b 2＝1. 又－1<ω<2，所以－1<a ＋a a 2＋b 2<2，即－1<2a <2，解得－12<a <1， 所以z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. (2)由题意及(1)可得u ＝1－z 1＋z ＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝(1－a －b i )(1＋a －b i )(1＋a ＋b i )(1＋a －b i )＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2＝－b a ＋1i ， 因为a ∈⎝⎛⎭⎫－12，1，a ，b ∈R ，b ≠0，所以u 为纯虚数． 19．(12分)已知复数z 满足(1＋2i)z －＝4＋3i.(1)求复数z ；(2)若复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解析：(1)∵(1＋2i)z －＝4＋3i ，∴z －＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝10－5i 5＝2－i ， ∴z ＝2＋i.(2)由(1)知z ＝2＋i ，则(z ＋a i)2＝(2＋i ＋a i)2＝[2＋(a ＋1)i]2＝4－(a ＋1)2＋4(a ＋1)i ， ∵复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－(a ＋1)2>0，4(a ＋1)>0，解得－1<a <1， 即实数a 的取值范围为(－1,1)．20．(12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z －2|<|z 1|，求a 的取值范围．解析：因为z 1＝－1＋5i 1＋i ＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z －2＝a －2＋i ，所以|z 1－z －2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i|＝(4－a )2＋4， 又因为|z 1|＝13，|z 1－z －2|<|z 1|，所以(4－a )2＋4<13，所以a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7.所以a 的取值范围是(1,7)．21．(12分)设z －为复数z 的共轭复数，满足|z －z －|＝2 3.(1)若z 为纯虚数，求z .(2)若z －z －2为实数，求|z |.解析：(1)设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则z －＝－b i ，因为|z －z －|＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3，所以b ＝±3，所以z ＝±3i.(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，因为|z －z －|＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3，因为z －z －2＝a ＋b i －(a －b i)2＝a －a 2＋b 2＋(b ＋2ab )i.z －z －2为实数，所以b ＋2ab ＝0.因为|b |＝3，所以a ＝－12， 所以|z |＝⎝⎛⎭⎫－122＋(±3)2＝132. 22．(12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2.(1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积． 解析：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1.。

§3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法和减法一、基础过关1．若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( ) A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i2．复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( ) A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i 4．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( ) A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－i5．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i 6．计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i)＋(－2 010＋2 011i)．二、能力提升7．若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是________．8．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________．9．若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________．10．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋m m ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．11．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．12．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．三、探究与拓展13．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．答案1．D 2．B 3．C 4．D 5．B6．解 原式＝(1－2＋3－4＋…－2 008＋2 009－2 010)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2 009－2 010＋2 011)i＝－1 005＋1 005i.7．3＋i8.115＋3i 9．110．解 ∵z 1＝m 2＋m m ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ， ∴z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i ＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i. ∵z 1＋z 2为虚数，∴m 2－2m －15≠0且m ≠－2，解得m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R )．11．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ，设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ，∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．12．解 方法一 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )，则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)．∴AC 中点为⎝⎛⎭⎫32，2，BD 中点为⎝⎛⎭⎫x 2，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分， ∴⎩⎨⎧32＝x 22＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.方法二 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ，由于AD →＝BC →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.13．解 (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.(2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22，∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12×2×22＝2.。

1选修1-2第三章 复数及其运算 测试题（满分60分，40分钟完卷）制卷：王小凤 学生姓名：一．选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．1．（2018全国1卷）设1i2i 1i z -=++，则||z =( ) A ．0B ．12C ．1D 22．（2018全国2卷）12i12i+=-( ) A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+3．（2018全国3卷）()()1i 2i +-=( ) A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +4．设,a b 为实数，若复数11+2ii a bi=++，则( ) A ．31,22a b == B ．3,1a b ==C ．13,22a b == D ．1,3a b ==5． (2017全国1卷)设有下面四个命题，其中的真命题为( )p 1：若复数z 满足1R z∈，则z R ∈； p 2：若复数z 满足2z R ∈，则z R ∈；p 3：若复数z 1，z 2满足12z z R ∈，则12z z =； p 4：若复数z R ∈，则z R ∈. A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 46．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数1zi+的点是( ) A ．E B ．F C ．G D ．H7． (2017北京卷)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞) 8． (2017全国1卷)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A ．i(1＋i)2B ．i 2(1－i)C ．(1＋i)2D ．i(1＋i) 9．(2017山东卷)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2等于( )A ．－2iB ．2iC ．－2D ．2 10．(2017全国3卷)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |等于( )A ．12B ．22C ． 2D ．211．(2017山东卷)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋3i ，z ·z ＝4，则a 等于( )A ．1或－1B ．7或－7C ．－ 3D ． 312．（2016年全国3卷）若43i z =+，则||zz =( ) A ．1B ．1-C ．43i 55+D ．43i 55-二．填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．13．(2017天津卷)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________． 14．(2017浙江卷)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________． 15．（2018上海卷）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 16．i 是虚数单位, 411i i +⎛⎫⎪-⎝⎭等于________．。

D.1+i:A .11+i =1-i (1+i )(1-i )=1-i 2=12‒12i,故选:A下列命题中,正确的是( )复数的模总是正实数复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应如果与复数z 对应的点在第一象限,则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限相等的向量对应着相等的复数:复数的模大于或等于0,故选项A 不正确;复数集与复平面内所有从原点出发的向量组成的集合一若复数z满足z-1=3(1+z)i,则z+z2的值是( )B.0C.-1D.‒12+32i:由题意,z =1+3i1-3i=(1+3i)24=‒12+32i,所以z2+z+1=0,即z2+z=-1.:C已知(3·z=-+3i)23i,那么复数z的虚部为( )B.32i3D.‒3iB.椭圆双曲线 D.抛物线:设z=x+y i(x ,y ∈R ),则|2x+2y i +1|=|x+y i -i |,即(2x +1)2+4y 2=x 2+(y -1)2,所以3x 2+3y 2+4x+2y=0.故z 对应点的轨迹是圆.:A复数z ∈R ,i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )=m -2i1+2i (m:由x+y i=3+5cos θ+i(-4+5sin θ),得x=3+5cos θ,y=-4+5sin θ,∴x2+y2=(3+5cos θ)2+(-4+5sin θ)2=50-40sin θ+30cos θ=50-50sin(θ+φ)(φ为常数).∵sin(θ+φ)∈[-1,1],∴x2+y2的最大值为100.:D二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)若(1+i)(2+i)=a+b i,其中a,b∈R,i为虚数单位,则a+b= .故复数m+p i 所对应的点位于复平面内的第二象限.:二已知x 2+i x+6=2i +5x ,若x ∈R ,则x= ;若x ∈C ,则x= .:当x ∈R 时,由复数相等的充要条件x=2;得{x 2-5x +6=0,x =2,解得当x ∈C 时,令x=a+b i(a ,b ∈R ),则有{a 2-b 2-b +6=5a ,2ab +a =2+5b .解得{a =2,b =0或{a =3,b =-1.所以x=2或x=3-i .∴az+2bz=(a+2b)+(a‒2b)i, (a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a2+4a)+4(a+2)i.∵a,b∈R,∴由复数相等,得{a+2b=a2+4a, a-2b=4(a+2).∴两式相加整理,得{a=-2,b=-1或{a=-4,b=2.∴所求实数为{a=-2,b=-1或{a=-4,b=2.分)设O为坐标原点,已知向求z;若z,z2,z-z2在复平面上对应的点分别为A,B,C,求cos∠ABC.(1)设z=x+y i(x,y∈R).∵|z|=2,∴x2+y2=2.又z2=(x+y i)2=x2-y2+2xy i,∴2xy=2,∴xy=1.由①②可解得{x=1,y=1或{x=-1,y=-1.∴z=1+i或z=-1-i.=(1,‒1),BC。