2013北师大版必修四第二章 平面向量复习

第二章平面向量复习课（2课时）[第一部分：知识归纳]1.知识结构中的应用中的应用何中的应用何中的应用平面向量2.重要公式、定理①.平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e+λ22e.②. 向量共线的两种判定方法：a∥b(0≠b)01221=-=⇔yxyxbaλ③. a = (x, y) |a|2 = x2 + y2 |a| =22yx+④.若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则−→−AB=221221)()(yyxx-+-⑤.cos =||||baba∙∙222221212121yxyxyyxx+++=⑥.a b a•b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示）3.学习本章应注意的问题及高考展望①.在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系，注意用向量的语言和方法来表述和解决物理问题。

②.向量是数形结合的载体，在本章的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题.同时向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段。

③.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质，这类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。

④.以解答题出现的题目，一般结合其它数学知识，综合性较强，难度大，以解决几何问题为主.在学习本章时应立足于课本，掌握双基，精读课本是关键. [第二部分：基础测试]（供选用） 教材P125—126第1、2、3题[第三部分：应用举例]（供选用）例1.如图△ABC 中，−→−AB = c ，−→−BC = a ，−→−CA = b ，则下列推导不正确的是……………（ ）A ．若a •b < 0，则△ABC 为钝角三角形。

练一练 (2) 3(2a－4b)＝( A．5a＋7b C．6a＋12b
) B．5a－7b D．6a－12b
解析：原式＝3×2a－3×4b＝6a－12b.
答案：D
5．向量共线定理 (1)判定定理：a 是一个_非__零__向__量___，若存在一个实数 λ，使 得_b_＝__λ_a_，则向量 b 与非零向量 a 共线． (2)性质定理：若向量 b 与非零向量 a 共线，则存在一个实 数 λ，使得_b_＝__λ_a_.
【正解】 当 e＝0 时，a＝b＝0，有 a 与 b 共线．
当 e≠0 时，此时由于 b＝－32a，
即存在唯一实数 λ＝－32，使得 b＝λa， 从而 b 与 a 共线．
基础知识达标
即学即练 稳操胜券
知识点一 向量的线性运算
1.25(a－b)－13(2a＋4b)＋125(2a＋13b)＝( )
2．λa 的几何意义 λa 的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段_伸__长__或__压__缩___， 当 |λ| ＞ 1 时 ， 表 示 向 量 a 的 有 向 线 段 在 _原__方__向___(λ ＞ 0) 或 __反__方__向__(λ＜0)上__伸__长__为原来的|λ|倍；当|λ|＜1 时，表示向量 a 的有向线段在__原__方__向__(λ＞0)或__反__方__向__(λ＜0)上__缩__短__为原来 的|λ|倍．
已知 a、b 为非零向量，试判断下列各命题的真假， 并说明理由．
(1)2a 的方向与 a 的方向相同，且 2a 的模是 a 的模的 2 倍； (2)－2a 的方向与 3a 的方向相反，且－2a 的模是 3a 模的23 倍； (3)－2a 与 2a 是一对相反向量； (4)a－b 与－(b－a)是一对相反向量．

规定：零向量与任一向量的数量积为0
几何意义： 数量积 a · 等于 a 的长度 |a|与 b 在 b
a 的方向上的投影 |b| cosθ的乘积。
B b B b
B
b
O θ
a
B1 A B1
θ
O a
θ
A O (B1)
a
16
A
5、数量积的运算律： ⑴交换律： a b b a ⑵对数乘的结合律： ( a ) b ( a b ) a ( b ) ⑶分配律： ( a b ) c a c b c
= (λ x , λ y)
14
1、平面向量的数量积 （1）a与b的夹角：
a θ b
共同的起点
[00 ，1800] •（2）向量夹角的范围：
• （3）向量垂直：
B B A A O B A O A O B
15
B A
a O θ
O
b
（4）两个非零向量的数量积：
a · = |a| |b| cosθ b
3)向量的表示 4)向量的模（长度）
4
二、向量的运算
1）加法：①两个法则 ②坐标表示
减法: ①法则 ②坐标表示
运算律
注:
AB a , AD b





(1) a


b , 则四边形是什么图形

? ?
( 2) a b
a b , 则四边形是什么图形
5
2)实数λ与向量 a 的积
3)平面向量的数量积：
(1)两向量的交角定义 (2)平面向量数量积的定义 (3)a在b上的投影 (4)平面向量数量积的几何意义 (5)平面向量数量积的运算律

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平面向量的数量积
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数量积的运算是平面向量的核心内容，利用数量积可以 解决以下几个大问题：平行问题、垂直问题、求模问题、求 夹角问题以及求向量及进行数量积运算等．
1．平行问题 这类题主要考查向量平行的充要条件：若向量 a＝(x1， y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
所以－ m＝m＝25nn5，－1，
解得nm＝＝5323.，
所以B→P＝23B→C，即PBCP＝2.
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如图，在△ABC 中，点 M 是 AB 边的中点，E 是中线 CM 的中点，AE 的延长线交 BC 于 F.MH∥AF 交 BC 于 H.求证： H→F＝B→H＝F→C.
求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB. 【证明】 建立如图所示的平面直角坐标系，设 AB＝2， 则 A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)． (1)B→E＝(－1,2)，C→F＝(－2，－1)． ∴B→E·C→F＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴B→E⊥C→F，即 BE⊥CF.
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4．求模问题 若 a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝ x2＋y2，对于求模 有时还运用平方法．
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已知|a|＝1，|b|＝ 2.
(1)若 a∥b，求 a·b；
(2)若 a，b 的夹角为 60°，求|a＋b|； (3)若(2a－b)⊥b，求 a 与 b 的夹角． 【思路点拨】 利用向量的夹角与向量位置的关系，与 向量模的关系进行转化．
(1)用A→B和A→C分别表示B→Q和C→R； (2)如果→AI＝A→B＋λB→Q＝A→C＋μC→R，求实数 λ 和 μ 的值； (3)确定点 P 在边 BC 上的位置．