下载文档原格式
复合材料用有限元分析引言复合材料是由不同类型的材料组合而成的，具有优异的力学性能和轻质化的特点，在航空航天、汽车工程、建筑结构等领域得到广泛应用。
有限元分析是一种常用的工程分析方法，可用于预测复合材料结构在受力过程中的应力和变形情况。
本文将介绍复合材料用有限元分析的基本原理、建模过程、分析方法和结果解读。
有限元分析基本原理有限元分析基于有限元法，将复杂的结构分割成许多简单的单元，再利用数学方法求解这些单元的力学行为，最终得出整个结构的应力和变形情况。
复合材料的有限元分析一般采用3D固体单元或板单元，考虑复合材料的各向异性和层合板的分层结构。
有限元分析的基本原理可以总结为以下几个步骤：1.确定有限元模型：–根据复合材料结构的几何形状和材料性质，选择适当的有限元单元类型。
–确定网格划分方案，将结构划分为单元网格。
–确定边界条件和加载方式，包括约束条件和外部加载。
2.确定单元性质：–根据复合材料的材料力学性质，将其转化为有限元单元的材料刚度矩阵。
–考虑各向异性和分层结构，将材料刚度矩阵进行相应的转换。
3.确定单元相互连接关系：–根据结构的几何体系，确定单元之间的连接关系，包括单元之间的约束和边界条件。
4.求解方程组：–根据单元的刚度矩阵和边界条件，建立整个结构的刚度矩阵。
–考虑加载情况，求解结构的位移和应力。
5.结果后处理：–分析结构的应力和变形分布，评估结构的安全性和性能。
–对结果进行解读和优化。
复合材料有限元分析的建模过程复合材料的有限元分析建模过程与传统材料的有限元分析类似，但在材料性质和单元连接方面存在一些特殊性。
下面是复合材料有限元分析的建模过程的简要步骤：1.几何建模：–根据实际结构的几何形状，利用建模软件（如Solidworks或CATIA）进行3D建模。
–根据复合材料的分层结构，将各层材料的几何形状分别绘制。
2.材料定义：–根据复合材料的材料属性，定义合适的材料模型和参数。
–考虑复合材料的各向异性和分层结构，定义材料的力学参数。
压电复合板的有限元建模与频域响应分析吴斌，高庆（西北工业大学 航天学院，西安 710072）摘要：本文展示了利用MSC/NASTRAN和MATLAB对含有压电作动器结构的建模流程，并描述了该组有效建模工具的效用和功能：利用MSC/NASTRAN建立含有压电作动器结构的模型，将作用电场时作动器的应变转化为热应变（NASTRAN中没有压电单元），然后利用MATLAB语言形成并求解动力学方程，获得频响函数。
将一个表面贴有多个压电作动器的悬臂铝梁作为简单实例，最终分析结果是结构变形和应变对作动器输入电压的频响函数。
关键词：压电作动器，频响函数，有限元建模1. 引言自上世纪50年代，随着主动控制概念的提出和探索，主动控制技术得到了极大的进步和应用，同时人们对主动控制系统的要求也日益提高，逐步认清了压电智能结构的广阔前景，对压电式主动控制系统的理论和应用研究也逐步深入。
Crawley在表面粘贴式和嵌入式压电作动器复合结构的理论研究方面先驱者之一，研究了含有分布式压电作动器的复合悬臂梁[1]，以及嵌入式作动器层合复合材料的全厚度的应变分布[2]等等；1991年，Maryland大学利用压电技术建立了谐振系统，Virginia Tech研制成功了压电陶瓷声学主动控制系统(ASAC),1994年，法国展出了压电蜻蜓飞行器[3]，其它的研究现状可参见相关的文献。
在数值分析分析方面，主要是利用有限元理论分析研究压电结构的时域响应，并且大部分研究人员是利用自己编写有限元程序[4]，大部分的商业软件还是不能直接进行压电结构的分析，但是新版的ABAQUS、Marc等软件已经可以进行一部分的机电耦合分析，并且Hauch利用ABAQUS 的机电耦合单元和超单元功能研究了带有压电作动器结构的建模问题；虽然Freed发展了包括压电耦合作用的一维和二维有限元，并将其融入MSC/NASTRAN中，但是目前还是不可用的[5]。
这些模拟实际压电作动器性能的接近已经使得能够利用一些解析的和数值的工具对实际情况进行分析，但是在频域响应分析方面还是不足以用于控制系统的设计的。
任意弹性边界下复合材料压电层合结构动力学分析汇报人：2023-12-06CATALOGUE 目录•引言•复合材料压电层合结构动力学模型•任意弹性边界下复合材料压电层合结构的固有频率分析•任意弹性边界下复合材料压电层合结构的模态分析CATALOGUE 目录•任意弹性边界下复合材料压电层合结构的稳定性分析•任意弹性边界下复合材料压电层合结构的优化设计•结论与展望01引言研究背景与意义复合材料压电层合结构在航空航天、土木工程和生物医学等领域具有广泛的应用前景。
针对该结构的动力学分析对于优化设计、提高系统性能及保障安全性等方面具有重要的理论和实践价值。
当前研究主要集中在复合材料压电层合结构的静力分析、振动特性和破坏行为等方面。
针对任意弹性边界下该结构的动力学问题研究尚不充分，亟待发展相应的理论模型和计算方法。
研究现状与问题研究内容与方法研究内容建立任意弹性边界下复合材料压电层合结构的动力学模型，分析其动态性能并探讨边界效应对结构振动特性的影响。
研究方法综合运用弹性力学、电学、振动理论和数值计算方法，构建适用于复杂边界条件下的动力学方程，并通过有限元方法进行求解。
02复合材料压电层合结构动力学模型考虑压电材料、基体材料以及界面区域的特性。
材料属性层合结构的尺寸和形状。
几何形状固定、自由、周期性等边界条件。
边界条件复合材料压电层合结构模型边界条件类型固定、自由、周期性等边界条件。
边界条件应用在动力学模型中如何应用这些边界条件。
弹性力学基础应力和应变的关系，本构方程等。
弹性边界条件动力学方程运动方程描述结构运动的微分方程。
电力方程描述电场分布的微分方程。
热传导方程描述热量传递的微分方程。
初始条件和边界条件初始时刻的位移、速度、电场、温度等条件以及在边界上的条件。
03任意弹性边界下复合材料压电层合结构的固有频率分析1 2 3采用基于变分法的有限元列式，建立复合材料压电层合结构的动力学模型，考虑了材料的弹性、压电效应以及边界条件。
第⼆章压电复合材料有限元分析⽅法（恢复）第⼆章压电复合材料有限元分析⽅法2.1 1—3型压电复合材料常⽤的研究⽅法第⼀、理论研究，包括利⽤细观⼒学和仿真软件进⾏数值分析的⽅法。
⼈们对1-3型压电复合材料宏观等效特征参数进⾏研究时，从不同⾓度出发采⽤了形式多样的模型和理论，其中夹杂理论和均匀场理论具有代表性。
夹杂理论的思想是，从细观⼒学出发，将1-3形压电复合材料的代表性体积单元（胞体）作为夹杂处理。
求解过程中，使⽤的最著名的两个模型为：Dilute模型和Mori-Tanaka模型。
夹杂理论的优点是其解析解能较好地反映材料的真实状况，解精度较⾼；缺点是其解题和计算过程烦琐，有时⽅程只能⽤数值⽅法求解。
均匀场理论的思想是基于均匀场理论和混合定律，同时借助1-3型压电复合材料的细观⼒学模型导出其宏观等效特征参数。
其基本的研究思路是：假设组成复合材料的每⼀相中⼒场和电场均匀分布，结合材料的本构⽅程得到1-3型压电复合材料的等效特征参数。
Smith，Auld采⽤此理论研究了1-3型压电柱复合材料的弹性常数、电场、密度等等效特征参数。
Gordon，John采⽤此理论研究了机电耦合系数、耗损因⼦、电学品质因⼦等等效特征参数。
Bent, Hagood 和Yoshikawa等基于此理论对交叉指形电极压电元件等效特征参数进⾏了研究。
均匀场理论优点在于物理模型简单，物理概念清晰，计算也不复杂，并具有相当的精度和可靠性；不⾜在于其假设妨碍了两相分界⾯上的协调性。
有限元作为⼀种⼴泛应⽤于解决实际问题的数值分析⽅法，将其引⼊压电复合材料研究中具有重要的意义。
John，Gordon等⽤有限元⽅法分析了1-3型压电柱复合材料中压电柱为⽅形柱、圆形柱、⼆棱柱时的⼒电耦合系数及其波速特性，得到了压电柱在⼏何界⾯不同的情况下的等效⼒电耦合系数及等效波速曲线。
第⼆、实验研究。
Helen，Gordon等对1-3型压电复合材料的宏观等效特征参数进⾏了理论和实验研究，结果表明两者符合良好；LVBT等运⽤了1-3型压电复合材料进⾏了声学⽅⾯的控制取得了良好的效果；John，Bent等对压电纤维复合材料的性能进⾏了深⼊的研究，结果显⽰压电纤维复合材料在⾼电场、⼤外载荷环境下具有优良的传感和作动性能。
压电陶瓷振动的有限元分析ansys第⼀章绪论1.1压电材料概述1.1.1压电效应1880年法国物理学家⽪埃尔和雅各居⾥兄弟在研究⽯英晶体的物理性质时发现：当沿着晶⽚的某些⽅向施加作⽤⼒使晶⽚发⽣变形后，晶⽚上相对的两个表⾯会出现等量的正负电荷，电荷的密度与施加的⼒的⼤⼩有关，这种现象称为压电现象，具有压电现象的介质称为压电体。
压电效应反应了晶体的弹性性能与介电性能之间的耦合。
当对压电陶瓷施加⼀个与极化⽅向平⾏的压⼒F，如图1.1（a）所⽰，陶瓷⽚将产⽣压缩变形，⽚内的正、负束缚电荷之间的距离变⼩，极化强度也变⼩。
因此，原来吸附在电极上的⾃由电荷，有⼀部分被释放，⽚内的正、负电荷之间的距离变⼤，极化强度也变⼤，因此电极上⼜吸附⼀部分⾃由电荷⽽出现充电现象。
这种由机械效应转变为电效应的现象就是压电效应。
压电效应包括正压电效应和逆压电效应。
如图所⽰：图1.1 压电效应⽰意图:（a）正压电效应（b）负压电效应正压电效应：当压电晶体在外⼒作⽤下发⽣形变时，在它的某些相对应的⾯上产⽣异号电荷，这种没有电场作⽤，只是由于形变产⽣的极化现象称为正压电效应。
逆压电效应：当压电晶体施加⼀电场时，不仅产⽣了极化，同时还产⽣了形变，这种由电场产⽣形变的现象称为逆压电效应。
1.1.2压电陶瓷的诞⽣与发展具有压电效应性能的陶瓷称为压电陶瓷，1942年美国⿇省理⼯学院绝缘研究室发现，在钛酸钡铁电陶瓷上施加直流⾼压电场，使其⾃发极化沿电场⽅向择优取向,除去电场后仍能保持⼀定的剩余极化,使它具有压电效应，从此诞⽣了压电陶瓷。
钛酸钡（3BaTiO ）陶瓷的发现促进了压电材料的发展，它不但使压电材料从⼀些单晶体材料发展到压电陶瓷等多晶体材料，⽽且在压电性能上也有了⼤幅度提⾼。
当今⼴泛应⽤的压电陶瓷是PZT ，即()3,O Ti Zr Pb 压电陶瓷，其压电效应强，稳定性好。
它是由美国学者B.贾菲等⼈于1954年发现的33PbTiO PbZrO -⼆元系固溶体压电陶瓷，其机械品质因数约为钛酸钡（3BaTiO ）陶瓷的两倍。
输电线路复合材料杆塔结构有限元分析发布时间：2021-08-31T03:27:27.946Z 来源：《中国电业》2021年13期作者：吴海洋董铁柱谭青海叶海金[导读] 随着国家对电力基础设施建设的增大，输电线路工程建设将全面提速。
吴海洋董铁柱谭青海叶海金中国电建集团青海省电力设计院有限公司青海西宁 810008摘要：随着国家对电力基础设施建设的增大，输电线路工程建设将全面提速。
目前，国内35kV以上电压等级输电线路杆塔横担结构大多采用的是全钢质材质，在其实际应用过程中会存在结构单体质量较大、锈蚀开裂等问题，影响了输电线路的安全稳定运行。
本文主要分析输电线路复合材料杆塔结构有限元分析关键词：复合材料杆塔;横担;典型工况;应力与位移引言复合材料具有重量轻、机械承载能力良好、耐腐蚀和绝缘等特性，被逐步应用于制作输电杆塔横担，在有效减少线路的风偏和闪事故、减少降低线路走廊、杆塔的运输与装配、运行成本等方面技术经济性较为突出。
1、复合材料输电杆塔现状1.1国外复合材料输电杆塔的提出 20世纪末，美国Sharkspeare公司是最早开发复合材料输电杆塔的公司。
随后，美国电力公司在蒙大拿州安装了75根复合材料输电杆塔来替代混凝土和木质输电杆塔，用来抵抗开裂和腐朽。
接着，Bedford公司生产了聚酯纤维类输电杆塔，并在2008年已大范围推广到市场中进行应用。
根据老化试验，该输电杆塔寿命预计可达70年以上。
1.2国内复合材料输电杆塔研究应用因复合材料本身引入国内较迟，相关缠绕挤压、聚酯合成工艺发展缓慢，使复合材料在国内输电工程的应用较为滞后。
2007年，国家电网有限公司（以下简称“国家电网”）武汉研究所设计的首批10kV复合材料横担通过试验；2017年，引入美国RS公司生产的输电杆塔并进行相关试验。
2009年，国家电网启动复合材料杆塔项目，研究绝缘、抗覆冰及抗腐蚀特性，电压等级涵盖10kV，35kV，110kV及220kV，其中110kV和220kV仅应用于横担上；2009年12月，带有复合材料横担输电杆塔已经在连云港220kV茅蔷线投入试运行。
压电复合材料摘 要: 从压电材料的压电效应入手, 介绍了压电材料的分类及结构组成。
针对不同压电材料在生产实践中的应用情况, 列出现阶段压电材料的制备技术。
综述了近年来压电材料的研究现状, 并系统介绍了压电材料在各个领域的应用和发展。
关键词：压电材料；压电效应；制备工艺；应用Abstract: This paper begins with the piezoelectric effect and introduces the classification and structure of piezoelectric materials. Considering the application of different piezoelectric materials in the production practice, preparative techniques of piezoelectric material in the current stage are listed. Research actuality of piezoelectric materials is summaried. Application and development of the piezoelectric materials in various Fields are also introduced systematically.Keywords: piezoelectric material; piezoelectric effect; preparative technique; application1.引言自20世纪出现压电材料以来, 因其独特性能,逐渐成为材料领域中的重要组成部分。
随着电子、导航和生物等高技术领域的发展, 人们对压电材料性能的要求越来越高。
目前, 研究和开发压电材料主要是从老材料中发掘新效应, 开拓新应用; 从控制材料组织和结构入手,运用新工艺制备各种新型压电材料。
综述一、复合材料简介复合材料是指由两种或两种以上不同物质以不同方式组合而成的材料，它可以发挥各种材料的优点，克服单一材料的缺陷，扩大材料的应用范围。
在近四十年，由于高比强度，高比模量，低重量，耐腐蚀和高设计自由度等优点，先进复合材料已经被广泛应用在航空航天、医疗机械、汽车等领域中。
特别是在航空航天领域，为了实现轻量化和高力学性能要求，人们正大量的把复合材料应用在飞机的重要结构中。
在当前的国内外制造业内，复合材料的研究成果与应用情况一定程度上体现了国家的科研水平。
无人机作为现代航空领域发展的热点,尽可能的减小其质量,才能让它达到低成本、低能耗、高机动的目标，于是质量较小且具多种优良力学性能的复合材料获得了广大工程师的青睐。
航空技术不断革新,复合材料在飞机上的应用也从次承力结构慢慢发展到了主承力结构上，因此，时代不断对复合材料构件提出新的要求。
在航空航天领域中，复合材料构件一般的制造工艺方法是热压罐固化成型。
很多学者正努力改进复合材料热压罐固化工艺，旨在开发出低成本、高效率的生产技术，以适应时代要求。
为了使成型精度更高，所得构件的力学性能更好，复合材料构件的生产工艺往往会被高频重复设计，然而过频调整或更换设备会让制造维护成本迅速提升。
目前，复合材料的应用虽然广泛，但仍被很多原因限制，其中一个主要的难题就是如何减小固化变形。
二、热压罐成型工艺简介树脂基纤维增强复合材料的成型方法很多，主要分为纤维预浸成型和预成形件树脂转移模塑成型两大方向，热压罐固化成型是纤维预浸成型方向下的一种方法，通过该法成型的复合材料构件具有力学性能良好、尺寸一致性较高、纤维体积分数高等优点，故该法已成为当下复合材料领域主要采用的成型方法。
热压罐成型的基本原理是把树脂预浸后的纤维按要求与辅助成型材料一起铺层在模具上，使用真空袋将其密封，再放进热压罐，按照方案中的固化工艺，通过加温、加压、保温、降温、卸压等过程，完成树脂固化反应，得到成形的复合材料构件。
第二章压电复合材料有限元分析方法
2.1 1—3型压电复合材料常用的研究方法
第一、理论研究，包括利用细观力学和仿真软件进行数值分析的方法。
人们对1-3型压电复合材料宏观等效特征参数进行研究时，从不同角度出发采用了形式多样的模型和理论，其中夹杂理论和均匀场理论具有代表性。
夹杂理论的思想是，从细观力学出发，将1-3形压电复合材料的代表性体积单元（胞体）作为夹杂处理。
求解过程中，使用的最著名的两个模型为：Dilute模型和Mori-Tanaka模型。
夹杂理论的优点是其解析解能较好地反映材料的真实状况，解精度较高；缺点是其解题和计算过程烦琐，有时方程只能用数值方法求解。
均匀场理论的思想是基于均匀场理论和混合定律，同时借助1-3型压电复合材料的细观力学模型导出其宏观等效特征参数。
其基本的研究思路是：假设组成复合材料的每一相中力场和电场均匀分布，结合材料的本构方程得到1-3型压电复合材料的等效特征参数。
Smith，Auld采用此理论研究了1-3型压电柱复合材料的弹性常数、电场、密度等等效特征参数。
Gordon，John采用此理论研究了机电耦合系数、耗损因子、电学品质因子等等效特征参数。
Bent, Hagood和Yoshikawa等基于此理论对交叉指形电极压电元件等效特征参数进行了研究。
均匀场理论优点在于物理模型简单，物理概念清晰，计算也不复杂，并具有相当的精度和可靠性；不足在于其假设妨碍了两相分界面上的协调性。
有限元作为一种广泛应用于解决实际问题的数值分析方法，将其引入压电复合材料研究中具有重要的意义。
John，Gordon等用有限元方法分析了1-3型压电柱复合材料中压电柱为方形柱、圆形柱、二棱柱时的力电耦合系数及其波速特性，得到了压电柱在几何界面不同的情况下的等效力电耦合系数及等效波速曲线。
第二、实验研究。
Helen，Gordon等对1-3型压电复合材料的宏观等效特征参数进行了理论和实验研究，结果表明两者符合良好；LVBT等运用了1-3型压电复合材料进行了声学方面的控制取得了良好的效果；John，Bent等对压电纤维复合材料的性能进行了深入的研究，结果显示压电纤维复合材料在高电场、大外载荷环境下具有优良的传感和作动性能。
参数辨识研究是试验研究中重要的一种方法，基本思路是：分析1-3型压电纤维复合材料的响应特性，从中得到其等效宏观的模态和弹性波的传播特性参数。
Guraja，Walter等采用的就是这种方法，他们研究了1-3型压电纤维复合材料薄板、厚板、变截面板的响应特性，得到了其相应的声波传播速度c，频率f,机械品质因素Q等参数的表达式，为1-3型压电纤维复合材料在超声波方面的应用提供了依据。
综合对比以上的研究方法，夹杂理论得出的结果比较接近实际结果，但是计算烦琐，而且对于高体积百分比的复合材料其计算结果跟实际相差较大；均匀场理论计算较为简单，但是模糊了两相材料之间的界面作用；实验研究方法是最接近实际的一种方法，但是由于实验条件、测试技术等一系列因素的制约使其不能广泛应用十实际中。
由于交叉指形电极压电复合材料的复杂性，利用上面提到的夹杂理论和均匀场理论的方法，很难得到压电元件整体模型的性能状况。
而数值研究有限元法，利用先进的分析软件ANSYS进行压电复合材料性能分析，可以超越目前现有的生产工艺和测试技术水平得到比较准确的分析结果，又可以减小压电元件的设计周期，减少实验制作压电元件的材料浪费和设备损耗。
2.2 有限元分析方法概述
有限元法（又称为有限单元法或有限元素法）是利用计算机进行数值模拟分析的方法。
诞生于20世纪50年代初，最初只应用于力学领域中，现在广泛应用于结构、热、流体、电磁、声学等学科的设计分析及优化，有限元计算结果已成为各类工业产品设计和性能分析的
可靠依据。
该方法的主要思想是将所探讨的工程系统转化成一个有限元系统，该有限元系统由结点及单元所组合而成，以取代原有的工程系统，有限元系统又可以转化成一个数学模式，并根据该数学模式，进而得到该有限元系统的解答，并通过节点、单元表现出来。
具体的手段是将实体对象分割成不同大小、种类的小区域(有限元)，然后求得每一元素的作用力方程，接着利用能量最低原理（Minimum Potential Energy Theory）与泛函数值定理（Stationary Functional Theory）将作用力方程转换成一组线性联立方程组，组合整个系统的元素并构成系统方程组，最后将系统方程组求解。
ANSYS（Analysis System）是世界著名力学分析专家、匹兹堡大学教授J. Swanson创立的SASI（Swanson Analysis System Inc.）的大型通用有限元分析软件，是世界上最权威的有限元产品之一，其准确性和稳定性都比较好。
广泛应用于机械、航空航天、能源、交通运输、土木建筑、水利、电子、地矿、生物医学、教学科研等众多领域，是这些领域进行国际国内分析设计技术交流的主要分析平台。
ANSYS的主要功能包括结构分析、热力学分析、流体分析、电磁场分析和耦合场分析。
其中耦合场分析是求解两个或多个物理场之间相互作用。
当两个物理场之间相互影响时，单独求解一个物理场得不到正确的结果，因此需要将两个物理场组合到一起来分析求解，ANSYS可以实现的耦合场分析包括:热—结构、磁一热、磁—结构、流体一热、流体—结构、热—电、电—磁—热—流体—结构等。
压电复合材料分析涉及电场—结构两个物理场的作用，需要使用ANSYS祸合场分析的Multiphysics和Mechanical模块，在用压电分析时，可以采用的单元有SOLID5,PLANE13和SOLID98。
这些耦合单元包含分析中所有必要的自由度，通过适当的单元矩阵（矩阵耦合）或是单元载荷矢量（载荷矢量祸合）来实现场的耦合。
在用矩阵耦合方法计算的线性问题中，通过一次迭代即可完成耦合场相互作用的计算，而载荷矢量耦合方法在完成一次耦合响应中，至少需要二次迭代。
对于非线性问题，矩阵方法和载荷矢量耦合方法均需迭代。
压电分析采用矩阵耦合的方法。
在ANSYS进行压电复合材料分析时，根据压电元件模型和分析目的不同，可以采用不同分析方法和途径。
当分析单元选择好后，对材料常数的准确设定是后续分析的基础，材料常数设定的不准确，有限元分析结果不可能正确。
以往利用ANSYS进行压电分析的研究，没有涉及到此方面内容，由于本文分析的主要对象一一交叉指形电极压电纤维复合材料模型的复杂性（结构复杂、平面内极化方向复杂），下面对于在ANSYS软件中材料常数的设定进行细致的研究。
2.3 压电复合材料的弹性矩阵
为了研究压电复合材料的需要，现假设如下：（1）本文所分析的压电相材料和聚合物相材料为均质弹性体；（2）压电相和聚合物相的应力水平在线弹性范围之内，应力分量与应变分量呈线性关系，服从广义虎克定律。
在直角坐标系下，用应力表示应变的广义虎克定律表
示为：或其中：和分别为应变列阵和应力列阵而和为6X6的矩阵，各元素和（）是表征均质弹性体弹性特征的系数，通常称
为柔度系数，为刚度系数。
刚度矩阵是柔度矩阵的逆矩阵，即：或。
对于均质弹性体来说，和都是常数，所以可以称其为弹性常数，而对于非均质弹性体来说，它们是坐标的某种函数，所以称为弹性特征函数。
2.3.1 压电陶瓷的弹性矩阵
如果经过均质弹性体的每一点都可以找到某一相互平行的平面，并目在该平面内各个方向的弹性性质均相同，则该平面即为各向同性面，这样的弹性体即为横观各向同性体。
另外，若经过均质弹性体的每一点都可以找到一个弹性对称轴，即弹性旋转对称轴，则这样的弹性体也称为横观各向同性体。
极化后的压电陶瓷就属于横观各向同性体，假设坐标系的方向与压电陶瓷材料的弹性主方向一致，取Z轴与极化方向3即弹性对称轴相平行，X轴平行与1方向和Y轴平行与2方向，则X-Y轴构成的平面就是各向同性面，此时，独立的弹性系数只有5个，压电陶瓷的柔度矩阵表示为：
在工程实际中，为了便于理解所得结果的物理意义，一般用工程常数来表示弹性矩阵。
所谓工程常数主要是指广义的弹性模量、泊松比和剪切模量等弹性系数，这些常数通过简单的单轴拉伸和纯剪切试验即可确定。
压电陶瓷柔度矩阵用工程常数表示的形式为：
其中
2.3.2 聚合物的弹性矩阵。
