浙江省杭州市学军中学2015-2016学年高一数学上学期期末试卷(含解析)

2015-2016学年浙江省杭州十一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（共18小题，每小题3分，共54分，每小题给出的选项中只有一个符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．（3.00分）设f：x→|x|是集合A到集合B的映射，若A={﹣1，0，1}，则A ∩B只可能是（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}2．（3.00分）下列函数中，与函数y=x相同的函数是（）A．y=B．y=C．y=lg10x D．y=2log2x3．（3.00分）已知幂函数y=f（x）的图象过（9，3）点，则=（）A．B．C．D．4．（3.00分）函数f（x）=3x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（1，2） B．（0，1） C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，0）5．（3.00分）下列各组平面向量中，可以作为基底的是（）A．1=（0，0），2=（1，﹣2）B．1=（﹣1，2），2=（5，7）C．1=（3，5），2=（6，10）D．1=（2，﹣3），2=（，﹣）6．（3.00分）设扇形的半径长为2cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．1 B．2 C．πD．7．（3.00分）已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角8．（3.00分）已知二次函数y=x2﹣2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤2或a≥3 B．2≤a≤3 C．a≤﹣3或a≥﹣2 D．﹣3≤a≤﹣2 9．（3.00分）已知函数f（x）满足f（x﹣1）=x2，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=（x+1）2 B．f（x）=（x﹣1）2C．f（x）=x2+1 D．f（x）=x2﹣110．（3.00分）下列函数为偶函数，且在（﹣∞，0）上单调递增的函数是（）A．B．f（x）=x﹣3C．D．f（x）=|lnx| 11．（3.00分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（）A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，12．（3.00分）函数y=的定义域是（）A．B．C．D．13．（3.00分）函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．14．（3.00分）设a=sin（﹣1），b=cos（﹣1），c=tan（﹣1），则有（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b15．（3.00分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称16．（3.00分）设a是函数x的零点，若x0＞a，则f（x0）的值满足（）A．f（x0）=0 B．f（x0）＜0C．f（x0）＞0 D．f（x0）的符号不确定17．（3.00分）如图，设P、Q为△ABC内的两点，且，=+，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为（）A．B．C．D．18．（3.00分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[3，5]时，f（x）=2﹣|x﹣4|，则（）A．B．f（sin1）＞f（cos1）C．D．f（sin2）＞f（cos2）二、填空题（共5小题，每小题3分，共12分）19．（3.00分）已知集合，B={x|x﹣1＞0}，则A∩（∁R B）=．20．（3.00分）函数y=x2﹣4x+3，x∈[0，3]的值域为．21．（3.00分）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，，，则=．22．（3.00分）在△ABC中，M为AB的中点，，若，则x+y=23．（3.00分）若定义在R上的偶函数y=f（x）是[0，+∞）上的递增函数，则不等式f（log2x）＜f（﹣1）的解集．三、解答题（共3小题，共34分）24．（10.00分）已知关于x的函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），f（x）的一条对称轴是x=（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）求使f（x）≥0成立的x的取值集合．25．（10.00分）设两个非零向量与不共线．（1）若=+，=2+8，=3（﹣）．求证：A，B，D三点共线；（2）试确定实数k，使k+和+k共线．26．（11.00分）已知函数f（x）=m•6x﹣4x，m∈R．（1）当m=时，求满足f（x+1）＞f（x）的实数x的范围；（2）若f（x）≤9x对任意的x∈R恒成立，求实数m的范围．2015-2016学年浙江省杭州十一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共18小题，每小题3分，共54分，每小题给出的选项中只有一个符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．（3.00分）设f：x→|x|是集合A到集合B的映射，若A={﹣1，0，1}，则A ∩B只可能是（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}【解答】解：因为f：x→|x|是集合A到集合B的映射，集合A的元素分别为﹣1，0，1，且|﹣1|=1，|1|=1，|0|=0，所以集合B={0，1}，又A={﹣1，0，1}，所以A∩B={0，1}，则A∩B只可能是{0，1}．故选：C．2．（3.00分）下列函数中，与函数y=x相同的函数是（）A．y=B．y=C．y=lg10x D．y=2log2x【解答】解：A中分母不为0，故A的定义域为{x|x≠0}，B中为根式，被开方数大于或等于0，B的定义域为[0，+∞），C中，10x＞0，则其定义域为R，D中x为真数，故应大于0，故D的定义域为（0，+∞），而y=x的定义域为R，故排除A、B和D，故选：C．3．（3.00分）已知幂函数y=f（x）的图象过（9，3）点，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵已知幂函数y=xα的图象过点（9，3），则9α=3，∴α=，故函数的解析式为y=f（x）=，∴f（）==，故选：D．4．（3.00分）函数f（x）=3x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（1，2） B．（0，1） C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，0）【解答】解：易知函数f（x）=3x+x﹣2在R上单调递增且连续，且f（0）=1+0﹣2=﹣1＜0，f（1）=3+1﹣2=2＞0；故函数f（x）=3x+x﹣2的零点所在的一个区间是（0，1）；故选：B．5．（3.00分）下列各组平面向量中，可以作为基底的是（）A．1=（0，0），2=（1，﹣2）B．1=（﹣1，2），2=（5，7）C．1=（3，5），2=（6，10）D．1=（2，﹣3），2=（，﹣）【解答】解：A.，∴共线，不能作为基底；B．﹣1×7﹣2×5≠0；∴不共线，可以作为基底；C.；∴共线，不能作为基底；D.；∴共线，不能作为基底．故选：B．6．（3.00分）设扇形的半径长为2cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．1 B．2 C．πD．【解答】解：设扇形的圆心角的弧度数是α，弧长为l，∵扇形的半径长r=2cm，面积S=4cm2，∴S=lr，即4=×l×2，解之得l=4，因此，扇形圆心角的弧度数是α===2．故选：B．7．（3.00分）已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【解答】解：∵cosθ•tanθ=sinθ＜0，∴角θ是第三或第四象限角，故选：C．8．（3.00分）已知二次函数y=x2﹣2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤2或a≥3 B．2≤a≤3 C．a≤﹣3或a≥﹣2 D．﹣3≤a≤﹣2【解答】解：由于二次函数y=x2﹣2ax+1的对称轴为x=a，若y=x2﹣2ax+1在区间（2，3）内是单调增函数，则有a≤2．若y=x2﹣2ax+1在区间（2，3）内是单调减函数，则有a≥3．故选：A．9．（3.00分）已知函数f（x）满足f（x﹣1）=x2，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=（x+1）2 B．f（x）=（x﹣1）2C．f（x）=x2+1 D．f（x）=x2﹣1【解答】解：令x﹣1=t，则x=t+1，则f（x﹣1）=f（t）=（t+1）2，∴f（x）=（x+1）2，故选：A．10．（3.00分）下列函数为偶函数，且在（﹣∞，0）上单调递增的函数是（）A．B．f（x）=x﹣3C．D．f（x）=|lnx|【解答】解：函数为偶函数，在（0，+∞）上单调递增，故在区间（﹣∞，0）上单调递减，故A不满足条件；函数f（x）=x﹣3为奇函数，在（0，+∞）上单调递减，故在区间（﹣∞，0）上单调递减，故B不满足条件；函数为偶函数，当x∈（0，+∞）时，在（0，+∞）上单调递减，故在区间（﹣∞，0）上单调递增，故C满足条件；函数f（x）=|lnx|是非奇非偶函数，当x∈（1，+∞）时，f（x）=lnx为增函数，当x∈（0，1）时，f（x）=﹣lnx为减函数，故D不满足条件；故选：C．11．（3.00分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（）A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，【解答】解：由题意可知T==π，∴ω=2，x=时，函数取得最大值2，可得：2sin（2×+φ）=2，﹣＜φ＜，φ=．故选：A．12．（3.00分）函数y=的定义域是（）A．B．C．D．【解答】解：由2cosx+1≥0得，∴，k∈Z．故选：D．13．（3.00分）函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：由lnx≠0得，x＞0且x≠1，当0＜x＜1时，lnx＜0，此时y＜0，排除B，C，函数的导数f′（x）=，由f′（x）＞0得lnx＞1，即x＞e此时函数单调递增，由f′（x）＜0得lnx＜1且x≠1，即0＜x＜1或1＜x＜e，此时函数单调递减，故选：D．14．（3.00分）设a=sin（﹣1），b=cos（﹣1），c=tan（﹣1），则有（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b【解答】解：∵﹣＜﹣1＜﹣∴a=sin（﹣1）∈（﹣，﹣），b=cos（﹣1）＞0，c=tan（﹣1）＜﹣1因此，可得c＜a＜b故选：C．15．（3.00分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称【解答】解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ]是奇函数，故φ=﹣，故函数f（x）=sin（2x﹣），故当时，函数f（x）=sin=1，故函数f （x）=sin（2x﹣）关于直线对称，故选：C．16．（3.00分）设a是函数x的零点，若x0＞a，则f（x0）的值满足（）A．f（x0）=0 B．f（x0）＜0C．f（x0）＞0 D．f（x0）的符号不确定【解答】解：作出y=2x和y=log x的函数图象，如图：由图象可知当x 0＞a时，2＞log x0，∴f（x）=2﹣log x0＞0．故选：C．17．（3.00分）如图，设P、Q为△ABC内的两点，且，=+，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为（）A．B．C．D．【解答】解：设则由平行四边形法则知NP∥AB所以同理故答案为：故选：B．18．（3.00分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[3，5]时，f（x）=2﹣|x﹣4|，则（）A．B．f（sin1）＞f（cos1）C．D．f（sin2）＞f（cos2）【解答】解：∵f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为2的周期函数，又当x∈[3，5]时，f（x）=2﹣|x﹣4|，∴当﹣1≤x≤1时，x+4∈[3，5]，∴f（x）=f（x+4）=2﹣|x|，∴，排除A，f（sin1）=2﹣sin1＜2﹣cos1=f（cos1）排除B，，C正确，f（sin2）=2﹣sin2＜2﹣（﹣cos2）=f（cos2）排除D．故选：C．二、填空题（共5小题，每小题3分，共12分）19．（3.00分）已知集合，B={x|x﹣1＞0}，则A∩（∁R B）={x|﹣1＜x≤1} ．【解答】解：由A中不等式变形得：2x＞=2﹣1，解得：x＞﹣1，即A={x|x＞﹣1}，由B中不等式解得：x＞1，即B={x|x＞1}，∴∁R B={x|x≤1}，则A∩（∁R B）={x|﹣1＜x≤1}，故答案为：{x|﹣1＜x≤1}20．（3.00分）函数y=x2﹣4x+3，x∈[0，3]的值域为[﹣1，3] ．【解答】解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，函数的对称轴x=2∈[0，3]，∴此函数在[0，3]上的最小值为：﹣1，最大值为：3，∴函数f（x）的值域是[﹣1，3]．21．（3.00分）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，，，则=（1，1）．【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，=，，则=+=﹣=（2，4）﹣（1，3）=（1，1）．故答案为：（1，1）．22．（3.00分）在△ABC中，M为AB的中点，，若，则x+y=【解答】解：∵M为AB的中点，，∴，⇒x=﹣，y=，∴x+y=；故答案为：23．（3.00分）若定义在R上的偶函数y=f（x）是[0，+∞）上的递增函数，则不等式f（log2x）＜f（﹣1）的解集（，2）．【解答】解：∵定义在R上的偶函数y=f（x）是[0，+∞）上的递增函数，∴不等式f（log2x）＜f（﹣1）等价为f（|log2x|）＜f（1），即|log2x|＜1，则﹣1＜log2x＜1，则＜x＜2，即不等式的解集为（，2），故答案为：（，2）三、解答题（共3小题，共34分）24．（10.00分）已知关于x的函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），f（x）的一条对称轴是x=（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）求使f（x）≥0成立的x的取值集合．【解答】解：由已知，即，（3分）（Ⅰ）∵﹣π＜φ＜0，取（5分）（Ⅱ）由，得（8分）解得（11分）∴使f（x）≥0成立的x的取值集合为：（12分）25．（10.00分）设两个非零向量与不共线．（1）若=+，=2+8，=3（﹣）．求证：A，B，D三点共线；（2）试确定实数k，使k+和+k共线．【解答】解：（1）∵===，∴与共线两个向量有公共点B，∴A，B，D三点共线．（2）∵和共线，则存在实数λ，使得=λ（），即，∵非零向量与不共线，∴k﹣λ=0且1﹣λk=0，∴k=±1．26．（11.00分）已知函数f（x）=m•6x﹣4x，m∈R．（1）当m=时，求满足f（x+1）＞f（x）的实数x的范围；（2）若f（x）≤9x对任意的x∈R恒成立，求实数m的范围．【解答】解：（1）当m=时，f（x+1）＞f（x）即为•6x+1﹣4x+1＞6x﹣4x，化简得，（）x ＜，解得x＞2．则满足条件的x的范围是（2，+∞）；（2）f（x）≤9x对任意的x∈R恒成立即为m•6x﹣4x≤9x，即m ≤=（）﹣x+（）x对任意的x∈R恒成立，由于（）﹣x+（）x≥2，当且仅当x=0取最小值2．则m≤2．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)<f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．故实数m 的范围是（﹣∞，2]．。

2016年浙江省杭州市学军中学高一入学数学试卷一、选择题1．（5分）下列结论正确地是（）A．3a2b﹣a2b=2B．单项式﹣x2地系数是﹣1C．使式子有意义地x地取值范围是x＞﹣2D．若分式地值等于0，则a=±12．（5分）在下列艺术字中既是轴对称图形又是中心对称图形地是（）A．B．C．D．3．（5分）如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到地图形是（）A．B．C．D．4．（5分）今年，我省启动了“关爱留守儿童工程”．某村小为了了解各年级留守儿童地数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级地留守儿童人数分别为10，15，10，17，18，20．对于这组数据，下列说法错误地是（）A．平均数是15 B．众数是10 C．中位数是17 D．方差是5．（5分）如图，A、B、C三点在正方形网格线地交点处，若将△ABC绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′地值为（）A．B．C．D．6．（5分）如图是自行车骑行训练场地地一部分，半圆O地直径AB=100，在半圆弧上有一运动员C从B点沿半圆周匀速运动到M（最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同地速度运动到A点停止．设运动时间为t，点B到直线OC地距离为d，则下列图象能大致刻画d与t之间地关系是（）A．B．C．D．7．（5分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线（k≠0）上．将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a地值是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）如图，分别过点P i（i，0）（i=1、2、…、n）作x轴地垂线，交地图象于点A i，交直线于点B i．则地值为（）A． B．2 C．D．二、填空题9．（5分）如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB地垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=度．10．（5分）定义新运算“*”规则：a*b=，如1*2=2，（﹣）*=，若x2+x﹣1=0两根为x1，x2，则x1*x2=．11．（5分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）地图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0；②b2=4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0，其中正确地结论是．（写出正确命题地序号）12．（5分）已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c在a，b，c三个数中取两个较大地数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作，（1）若a=1，b=3，按上述规则操作三次，扩充所得地数是；（2）若p＞q＞0，经过6次操作后扩充所得地数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n 为正整数），则m+n地值为．三、解答题.13．（12分）（1）先化简，再求值：（+）÷，其中a=﹣1．（2）已知关于x，y地二元一次方程地解满足x＜y，求m地取值范围．14．（10分）2015年1月，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生地思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价．评价小组在选取地某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习地时间，并绘制成如下不完整地统计图．根据上述信息，解答下列问题：（1）本次抽取地学生人数是；扇形统计图中地圆心角α等于；补全统计直方图；（2）被抽取地学生还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行．在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道地概率．15．（12分）已知，如图，AB是⊙O地直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE地延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O地切线；（2）求证：CE2=EH•EA；（3）若⊙O地半径为5，sinA=，求BH地长．16．（12分）大学毕业生小王响应国家“自主创业”地号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市地饰品进行销售，饰品地进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大地利润，现将饰品售价调整为60+x（元/件）（x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）．（1）直接写出y与x之间地函数关系式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？17．（14分）如图，把两个全等地Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点地直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线地函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴地平行线交抛物线于点M，交x 轴于点N，问是否存在这样地点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P地坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．2016年浙江省杭州市学军中学高一入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）下列结论正确地是（）A．3a2b﹣a2b=2B．单项式﹣x2地系数是﹣1C．使式子有意义地x地取值范围是x＞﹣2D．若分式地值等于0，则a=±1【解答】解：3a2b﹣a2b=2a2b，A错误；单项式﹣x2地系数是﹣1，B正确；使式子有意义地x地取值范围是x≥﹣2，C错误；若分式地值等于0，则a=1，错误，故选：B．2．（5分）在下列艺术字中既是轴对称图形又是中心对称图形地是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选D．3．（5分）如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到地图形是（）A．B．C．D．【解答】解：找一张正方形地纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到地图形如图所示：故选A．4．（5分）今年，我省启动了“关爱留守儿童工程”．某村小为了了解各年级留守儿童地数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级地留守儿童人数分别为10，15，10，17，18，20．对于这组数据，下列说法错误地是（）A．平均数是15 B．众数是10 C．中位数是17 D．方差是【解答】解：平均数是：（10+15+10+17+18+20）÷6=15；10出现了2次，出现地次数最多，则众数是10；把这组数据从小到大排列为10，10，15，17，18，20，最中间地数是（15+17）÷2=16，则中位数是16；方差是：[2（10﹣15）2+（15﹣15）2+（17﹣15）2+（18﹣15）2+（20﹣15）2]==．则下列说法错误地是C．故选：C．5．（5分）如图，A、B、C三点在正方形网格线地交点处，若将△ABC绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′地值为（）A．B．C．D．【解答】解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB==，∴tanB′=tanB=．故选B．6．（5分）如图是自行车骑行训练场地地一部分，半圆O地直径AB=100，在半圆弧上有一运动员C从B点沿半圆周匀速运动到M（最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同地速度运动到A点停止．设运动时间为t，点B到直线OC地距离为d，则下列图象能大致刻画d与t之间地关系是（）A．B．C．D．【解答】解：设运动员C地速度为v，则运动了t地路程为vt，设∠BOC=α，当点C从运动到M时，∵vt==，∴α=，在直角三角形中，∵d=50sinα=50sin=50sin t，∴d与t之间地关系d=50sin t，当点C从M运动到A时，d与t之间地关系d=50sin（180﹣t），故选：C．7．（5分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线（k≠0）上．将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a地值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G．作DF⊥x轴于点F．在y=﹣3x+3中，令x=0，解得：y=3，即B地坐标是（0，3）．令y=0，解得：x=1，即A地坐标是（1，0）．则OB=3，OA=1．∵∠BAD=90°，∴∠BAO+∠DAF=90°，又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA=90°，∴∠DAF=∠OBA，∵在△OAB和△FDA中，，∴△OAB≌△FDA（AAS），同理，△OAB≌△FDA≌△BEC，∴AF=OB=EC=3，DF=OA=BE=1，故D地坐标是（4，1），C地坐标是（3，4）．代入y=得：k=4，则函数地解析式是：y=．∴OE=4，则C地纵坐标是4，把y=4代入y=得：x=1．即G地坐标是（1，4），∴CG=2．故选：B．8．（5分）如图，分别过点P i（i，0）（i=1、2、…、n）作x轴地垂线，交地图象于点A i，交直线于点B i．则地值为（）A． B．2 C．D．【解答】解：根据题意得：A i B i=x2﹣（﹣x）=x（x+1），∴==2（﹣），∴++…+=2（1﹣+﹣+…+﹣）=．故选A二、填空题9．（5分）如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB地垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=60度．【解答】解：由AB=AC，∠BAC=120°，可得∠B=30°，因为点D是AB地垂直平分线上地点，所以AD=BD，因而∠BAD=∠B=30°，从而∠ADC=60度．10．（5分）定义新运算“*”规则：a*b=，如1*2=2，（﹣）*=，若x2+x﹣1=0两根为x1，x2，则x1*x2=．【解答】解：在x2+x﹣1=0中，a=1，b=1，c=﹣1，∴b2﹣4ac=5＞0，所以x1=，x2=或x1=，x2=，∴x1*x2=*=，故答案为．11．（5分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）地图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0；②b2=4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0，其中正确地结论是①④．（写出正确命题地序号）【解答】解：由二次函数图象开口向上，得到a＞0；与y轴交于负半轴，得到c ＜0，∵对称轴在y轴右侧，且﹣=1，即2a+b=0，∴a与b异号，即b＜0，∴abc＞0，选项①正确；∵二次函数图象与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，选项②错误；∵原点O与对称轴地对应点为（2，0），∴x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，选项③错误；∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，把b=﹣2a代入得：3a+c＞0，选项④正确，故答案是：①④．12．（5分）已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c在a，b，c三个数中取两个较大地数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作，（1）若a=1，b=3，按上述规则操作三次，扩充所得地数是255；（2）若p＞q＞0，经过6次操作后扩充所得地数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n 为正整数），则m+n地值为21．【解答】解：（1）a=1，b=3，按规则操作三次，第一次：c=ab+a+b=1×3+1+3=7；第二次，7＞3＞1所以有：c=3×7+3+7=31；第三次：31＞7＞3所以有：c=7×31+7+31=255；（2）p＞q＞0 第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）﹣1；因为c＞p＞q，所以第二次得：c2=（c1+1）（p+1）﹣1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）2（q+1）﹣1；所得新数大于任意旧数，所以第三次可得c3=（c2+1）（c1+1）﹣1=（p+1）3（q+1）2﹣1第四次可得：c4=（c3+1）（c2﹣1）﹣1=（p+1）5（q+1）3﹣1；第五次可得：c5=（p+1）8（q+1）5﹣1；故经过6次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）13﹣1∴m=8，n=13，∴m+n=21．故答案为：255；21．三、解答题.13．（12分）（1）先化简，再求值：（+）÷，其中a=﹣1．（2）已知关于x，y地二元一次方程地解满足x＜y，求m地取值范围．【解答】解：（1）原式=[+]•=•=•=，当a=﹣1时，原式==；（2）解方程组得：，∵x＜y，∴m﹣＜﹣，解得：m＜﹣．14．（10分）2015年1月，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生地思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价．评价小组在选取地某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习地时间，并绘制成如下不完整地统计图．根据上述信息，解答下列问题：（1）本次抽取地学生人数是30；扇形统计图中地圆心角α等于144°；补全统计直方图；（2）被抽取地学生还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行．在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道地概率．【解答】解：（1）6÷20%=30，（30﹣3﹣7﹣6﹣2）÷30×360=12÷30×26=144°，答：本次抽取地学生人数是30人；扇形统计图中地圆心角α等于144°；故答案为：30，144°；补全统计图如图所示：（2）根据题意列表如下：设竖列为小红抽取地跑道，横排为小花抽取地跑道，小红小花123451（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）2（1，2）（3，2）（4，2）（5，2）3（1，3）（2，3）（4，3）（5，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（5，4）5（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）记小红和小花抽在相邻两道这个事件为A，∴．15．（12分）已知，如图，AB是⊙O地直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE地延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O地切线；（2）求证：CE2=EH•EA；（3）若⊙O地半径为5，sinA=，求BH地长．【解答】（1）证明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，∴∠ODB=∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD=90°，∴∠ODB+∠DBF=90°，∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O地切线；（2）证明：连接AC，如图1所示：∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2=EH•EA；（3）解：连接BE，如图2所示：∵AB是⊙O地直径，∴∠AEB=90°，∵⊙O地半径为5，sin∠BAE=，∴AB=10，BE=AB•sin∠BAE=10×=6，∴EA===8，∵，∴BE=CE=6，∵CE2=EH•EA，∴EH==，在Rt△BEH中，BH===．16．（12分）大学毕业生小王响应国家“自主创业”地号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市地饰品进行销售，饰品地进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大地利润，现将饰品售价调整为60+x（元/件）（x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）．（1）直接写出y与x之间地函数关系式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？【解答】解：（1）由题意可得：y=；（2）由题意可得：w=，化简得：w=，即w=，由题意可知x应取整数，故当x=﹣2或x=﹣3时，w＜6125，x=5时，W=6250，故当销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6250元；（3）由题意w≥6000，如图，令w=6000，将w=6000带入﹣20≤x＜0时对应地抛物线方程，即6000=﹣20（x+）2+6125，解得：x1=﹣5，将w=6000带入0≤x≤30时对应地抛物线方程，即6000=﹣10（x﹣5）2+6250，解得x2=0，x3=10，综上可得，﹣5≤x≤10，故将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元．17．（14分）如图，把两个全等地Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点地直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线地函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴地平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样地点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P地坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【解答】方法一：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，可得c=0，∴，解得a=，b=，∴抛物线解析式为y=x2+x．（2）设点P地横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=∴P（t，），∵点M在抛物线上，∴M（t，t2+t）．如解答图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，AG=y A﹣y M=2﹣（t2+t）=t2﹣t+2，BH=PN=．当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，∴t2﹣t+2=，化简得3t2﹣8t+4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，∴点P地坐标为（，）∴存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形．（3）如解答图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．求得过A、C地直线为y AC=﹣x+3，可设点A′地横坐标为a，则点A′（a，﹣a+3），易知△OQT∽△OCD，可得QT=，∴点Q地坐标为（a，）．解法一：设AB与OC相交于点J，∵△A′RQ∽△AOJ，相似三角形对应高地比等于相似比，∴=∴HT===2﹣a，KT=A′T=（3﹣a），A′Q=yA′﹣yQ=（﹣a+3）﹣=3﹣a．S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=KT•A′T﹣A′Q•HT=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，=，∴当a=时，S四边形RKTQ最大∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．解法二：过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得①由△RKH∽△A′O′B′，得②由①，②得KH=OH，OK=OH，KT=OT﹣OK=a﹣OH ③由△A′KT∽△A′O′B′，得，则KT=④由③，④得=a﹣OH，即OH=2a﹣2，RH=a﹣1，所以点R地坐标为R（2a ﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△QOT﹣S△ROK=•OT•QT﹣•OK•RH=a•a﹣（1+a﹣）•（a﹣1）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，=，∴当a=时，S四边形RKTQ最大∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．解法三：∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（﹣a+3）•=a+，∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣，过点R作RH⊥x轴于H，∵cot∠OAB=tan∠RKH==2，∴RH=2KH又∵tan∠OAB=tan∠ROH===，∴2RH=OK+KH=a﹣+RH，∴RH=a﹣1，OH=2（a﹣1），∴点R坐标R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=•KT•A′T﹣A′Q•（x Q﹣x R）=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，=，∴当a=时，S四边形RKTQ最大∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．方法二：（1）略．（2）∵C（2，1），∴l OC：y=x，设P（t，），M（t，），∵四边形ABPM为等腰梯形，∴AM=BP且AM不平行BP，∴（t﹣1）2+（2+）2=（t﹣1）2+（）2，∴2+=（无解）或2+=﹣，t1=2（舍），t2=，∴P（，）．（3）∵A（1，2），C（2，1），∴l AC：y=﹣x+3，设A′（t，3﹣t），Q（t，），T（t，0），∵O′A′∥OA，∴K O′A′=K OA=2，∴l：y=2x+3﹣3t，∵l OC：y=x，∴R（2t﹣2，t﹣1），K（，0），∵S=S△QOT ﹣S△ROK==﹣，∴t=时，S有最大值．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

高一上学期期末考试数学试题一、选择题1．如果集合=A {}0242=+-x mx x 中只有一个元素，则实数m 的值为（ ）A ．0 错误！未找到引用源。

B ．1 错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

2D ．0或2 【答案】D【解析】试题分析：集合A 只有一个元素，即方程2420mx x -+=只有一个根．0m =时， 方程变形为420x -+=，必有一个根；0m ≠时，要使方程2420mx x -+=只有一个根，则16420m ∆=-⨯⨯=，解得2m =．综上可得0m =或2m =．故D 正确． 【考点】1集合的元素；2方程的根．【易错点睛】本题重点考查方程根的个数问题，属容易题．但在做题时极容易将方程2420mx x -+=误看做一元二次方程，只注意到使其判别式等于0时此方程只有一个根，而忽视二次项系数m 是否为0．当0m =时此方程为一次方程，一次方程必有一个根．注意当二次项系数含参数时一定要讨论其是否为0，否则极易出错．2．已知全集{}4,3,2,1,0,1-=M ，且{}4321，，，=B A ，{}32，=A ，则=)(A C B U （ ）A ．{}41， B ．{}1 C ．{}4 D ．φ 【答案】A【解析】试题分析：由题意分析可得1，4必在集合B 内，2，3可能在集合B 内．由已知可得{}1,0,1,4U C A =-，所以(){}1,4U B C A = ．故A 正确． 【考点】集合的运算．3．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学不在同一个兴趣小组的概率为（ ）A ．31B ．21C ．32D ．43【答案】C【解析】试题分析：甲乙同学各自在一个小组时共有6种可能，甲乙同学在同一组时共有3种可能，则这两位同学不在同一个兴趣小组的概率为62633P ==+．故C 正确．试卷第2页，总14页【考点】古典概型概率．4．已知函数1)2)(2+++=mx x m x f （为偶函数，则)(x f 在区间()∞+，1上是（ ）A ．先增后减B ．先减后增C ．减函数D ．增函数 【答案】D【解析】试题分析：因为函数()f x 为偶函数，所以()200022m m m m +≠⎧⎪⇒=⎨-=⎪+⎩．所以()221f x x =+．所以函数()221f x x =+的图像是开口向上以y 轴为对称轴的抛物线，所以函数()f x 在()1,+∞上单调递增．故D 正确．【考点】1偶函数的性质；2二次函数的单调性．【方法点睛】本题主要考查偶函数的性质和二次函数单调性问题，难度一般．偶函数的图像关于y 轴轴对称，在本题中由此可求得m 的值．二次函数的单调性由开口方向和对称轴同时决定．5．若以下程序框图的输出结果为120，则判断框中应填写的判断条件为（ ）A ．?5<iB ．?5>iC ．?6>iD ．?5≥i 【答案】B【解析】试题分析：根据框图的循环结构依次可得: 122,213T i =⨯==+=；236,314T i =⨯==+=；6424,415T i =⨯==+=；246120,516T i =⨯==+=，此时应跳出循环输出120T =．所以判断框中应填入5?i >．故B 正确． 【考点】程序框图．【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件输出“120T =”，否则很容易出现错误．在给出程序框图有输出结果而需要填判断框时只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件，此时即可得出判断框中所填内容．6．已知函数⎩⎨⎧<+≥-=4)),2((4,1)(x x f f x x x f ，则=)3(f （ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】C【解析】试题分析：()()()()()35514413f f f f f ==-==-=．故C 正确． 【考点】分段函数求值．7．若a 是从区间[]2,0中任取的一个实数， b 是从区间[]3,0中任取的一个实数，则概率是（ ）A ．32B ．65C ．31D ．61【答案】A【解析】试题分析：试验的全部结果构成的区域（如图）为边长分别为2和3的矩形，面积为236⨯=．其中满足a b <的结果构成的区域为图中阴影部分，其面积为162242-⨯⨯=．则所求概率为4263P ==．故A 正确． 【考点】几何概型．【思路点睛】本题主要考查几何概型概率，难度一般．几何概型的概率为长度比或面积比或体积比．所以应先根据已知条件作出满足初始条件的点所构成的可行域，再在其中标注出其中满足b a <的点构成的可行域．分别计算出其面积．即可求得所求概率．8．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，1x ，2x 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，21S ，22S 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差，则有（ ）试卷第4页，总14页A ．1x >2x ，21S ＜22S B ．1x ＝2x ，21S >22S C ．1x ＝2x ，21S ＝22S D ．1x ＝2x ，21S <22S【答案】B【解析】试题分析：181315151722156x +++++==；291415151621156x +++++==；()()()()()()222222211538151315151515151715221563S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦，()()()()()()222222221379151415151515151615211563S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦．故B 正确．【考点】平均数，方差．9．函数54ln )(2++-=x x x x f 的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】试题分析：函数()2ln 45f x x x x =-++的零点个数等价于函数ln y x =图像与函数245y x x =--图像的交点个数问题．由数形结合可知函数ln y x =图像与函数245y x x =--图像有2个交点．所以函数()f x 有2个零点．故C 正确．【考点】1函数零点；2转化思想．10．向顶角为0120的等腰三角形ABC （其中BC AC =）内任意投一点M ，则AM 小于AC 的概率为（ ） A ．33π B ．93πC ．21D ．3π【答案】B【解析】试题分析：令1AC BC ==，则111sin1202ABC S ∆=⨯⨯⨯= ．满足AC AM <的点M 所在区域的面积为230136012ππ⨯⨯=．所以所求概率为9Pπ==．【考点】几何概型．【思路点睛】本题主要考查几何概型概率，难度一般．因为几何概率的值为比值所以边长的取值对结果没有影响，为计算方便不妨令等腰三角形两腰长为1，从而可得此三角形的面积．AM小于AC时点M所在区域为以A为圆心以AC为半径的圆且在三角形内部的扇形部分，可得此扇形面积．扇形面积与三角形面积的比值即为所求．11．如果奇函数)0)((≠=xxfy在()0,∞-∈x时，1)(+=xxf，那么使0)2(<-xf成立的x的取值范围是（）A．()()∞+∞-31,B．()1,-∞-()1,0C．()()3,00,∞-D．()1,∞-()32，【答案】D【解析】试题分析：因为()y f x=为奇函数，所以()()f x f x-=-，即()()f x f x=--．x>时0x-<，()()()11f x f x x x=--=--+=-．()()()1,01,0x xf xx x+<⎧⎪∴=⎨->⎪⎩．()2020210xf xx-<⎧∴-<⇔⎨-+<⎩或20210xx->⎧⎨--<⎩1x⇒<或23x<<．故D正确．【考点】1奇函数；2不等式．12．若函数)2(log)(2xxxfa-=）且1,0(≠>aa在区间⎪⎭⎫⎝⎛1,21内恒有0)(>xf，则函数)(xf的单调递增区间是（）A．()0，∞- B．⎪⎭⎫⎝⎛∞-41， C．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21D．⎪⎭⎫⎝⎛∞+，41【答案】A【解析】试题分析：2200x x x->⇒<或12x>．函数()f x的定义域为试卷第6页，总14页()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭．要使区间⎪⎭⎫⎝⎛1,21内恒有0)(>x f ，只需()min 0f x >当1a >时，此时存在33log log 1048a a f ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭．故舍．当01a <<时，又函数22y x x =-在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减． 此时()()1log 10a f x f >==恒成立，符合题意． 综上可得01a <<．因为函数22y x x =-在(),0-∞上单调递减；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又01a <<所以函数)(x f 的单调递增区间(),0-∞．故A 正确． 【考点】对数函数单调性；二次函数单调性；复合函数单调性．二、填空题13．若六进制数)6(510k （k 为正整数）化为十进制数为239，则=k ． 【答案】3 【解析】试题分析：()321061051606656216652216239k k k k =⨯+⨯+⨯+⨯=++=+=， 解得3k =．【考点】进位制．14．幂函数1222)33)(+-+-=m mx m m x f （在区间()+∞,0上是增函数，则=m ．【答案】2【解析】试题分析：由题意可知2331m m -+=，即2320m m -+=，解得1m =或2m =．当1m =时，()0f x x =，在区间()0,+∞上为常数1，不具有单调性，故舍； 当2m =时，()f x x =，在区间()0,+∞上单调递增，符合题意． 综上可得2m =．【考点】1幂函数的概念；2函数的单调性．【思路点睛】本题主要考查幂函数的概念和函数的单调性，难度一般．根据幂函数的定义: a y x =叫做幂函数，可知2331m m -+=，从而可得m 的值．将其分别代入()f x 验证是否满足()f x 在区间()0,+∞上单调递增．15．函数)(x g 是函数)2(log )(-=x x f a )1,0(≠>a a 且的反函数，则函数)(x g 的图象过定点 ． 【答案】()3,0【解析】试题分析：()3log 10a f == ，∴函数()()log 2a f x x =-的图像过定点()3,0．所以函数()g x 的图像过定点()0,3．【考点】互为反函数的性质．【思路点睛】本题重点考查对数函数过定点和互为反函数的性质问题，属容易题．根据对数公式log 10a =可求得()f x 所过的定点．因为互为反函数的两个函数图像关于y 轴对称，所以函数()f x 图像过的定点()00,x y 关于y 轴的对称点()00,y x 即为函数()g x 的图像过的定点．16．0x 是x 的方程x a a x log =)10(≠>a a ，且的解，则0,1,x a 这三个数的大小关系是 ． 【答案】10<<x a【解析】试题分析：当1a >时，由数形结合可知函数x y a =的图像与函数log a y x =的图像无交点，所以此时方程log x a a x =无解，不合题意故舍； 当01a <<时，由数形结合可知函数x y a =的图像与函数log a y x =的图像只有一个交点，即此时方程log x a a x =只有一个解0x ．由数形结合分析可知00001,0log 1x x a x a <<<=<，又01a <<，0000log 1log 1log log 1x a a a a x a x a ∴<<⇔<<⇒>>． 综上可得10<<x a ．【考点】1指数函数，对数函数图像；2对数不等式；3数形结合思想．三、解答题17．一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时试卷第8页，总14页生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，具有线性相关关系，下表为抽样试验的结果：（1）如果y 对x 有线性相关关系，求回归方程；（2）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？参考公式：x b y aˆˆ-=，∑∑==---=ni ini i ix xy y x xb 121)())((ˆ∑∑==--=ni ini ii x n xyx n yx 1221【答案】（1）52107ˆ-=x y；（2）机器的运转速度应控制在7614转/秒内． 【解析】试题分析：（1）根据已给公式求,x y ，再求ˆb，ˆa 从而可求得回归方程．（2）根据题意解不等式ˆ10y≤即可求得所求． 试题解析：解：（1）设所求回归方程为a x b yˆˆˆ+=，则由上表可得 12=x ，8=y ，107ˆ=b， 52107128ˆˆ-=⨯-=-=x b y a ∴回归方程为52107ˆ-=x y ．（2）由y ≤10得1052107ˆ≤-=x y，解得7614≤x ， 所以机器的运转速度应控制在7614转/秒内．【考点】线性回归方程．18．（1）计算20325.0)43()2(2)27102(2)1615(--÷+⨯-⨯-π（2）计算3log 28log 318log 3log 4913662742log --+⋅-【答案】（1）0；（2）3． 【解析】试题分析：（1）根据指数的性质及运算法则即可求得其值； （2）根据对数的性质及运算法则即可求得其值．试题解析：解：（1）20325.0)43()2(2)27102(2)1615(--÷+⨯-⨯-π232)34(2)2764(21681÷-⨯-=- 22)43(2)43(249⨯-⨯-=0=（2）3log 28log 318log 3log 4913662742log --+⋅-3log 2log 23664log 3++-=6log 246+-=12+=3=【考点】1指数的性质及运算法则；2对数的性质及运算法则．19．已知集合A 是函数][))(2(log )(a x a x x g a ---=)1,0(≠>a a 且的定义域，集合B 和集合C 分别是函数x x f 39)(-=的定义域和值域。

2016-2017学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）1．（3分）sin120°的值为（）A．B． C． D．﹣2．（3分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．（3分）已知集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}，B={x∈R|2x＜8}，则A∩B=（）A．（0，3）B．（3，4）C．（0，4）D．（﹣∞，3）x+x﹣3的零点所在的区间是（）4．（3分）函数f（x）=log3A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）5．（3分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1] D．（，1]6．（3分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（）A．B．C．D．7．（3分）已知函数f（x）=，则f（5）的值为（）A．B．1 C．2 D．38．（3分）已知函数y=f（2x）+2x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．5 B．4 C．3 D．29．（3分）函数f（x）=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数10．（3分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c11．（3分）要得到函数y=cos（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位12．（3分）已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 D．＜a≤513．（3分）定义min{a，b}=，若函数f（x）=min{x2﹣3x+3，﹣|x﹣3|+3}，且f （x）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（）A．1 B．C．D．14．（3分）设函数f（x）=|﹣ax|，若对任意的正实数a，总存在x0∈[1，4]，使得f（x）≥m，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，3]二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）15．（3分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N= ，∁UM= ．16．（3分）（）+（）= ；log412﹣log43= ．17．（3分）函数f（x）=tan（2x﹣）的最小正周期是；不等式f（x）＞1的解集是．18．（4分）已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）•g（x）＜0的解集是．19．（4分）已知不等式（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，则a的值为．20．（4分）已知函数f（x）=x+，g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a有四个不同的零点x1，x2，x 3，x4，则[2﹣f（x1）]•[2﹣f（x2）]•[2﹣f（x3）]•[2﹣f（x4）]的值为．三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（10分）已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．22．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间上总有实数解，求实数k的取值范围．23．（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式，并作出相应的图象．24．（13分）已知函数f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；（2）若，试判断函数y=f（x）在R上的零点个数，并求此时y=f（x）所有零点之和的取值范围．2016-2017学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）1．（3分）sin120°的值为（）A．B． C． D．﹣【解答】解：因为sin120°=sin（90°+30°）=cos30°=．故选C．2．（3分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵sinα=，且α为第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣．故选：D．3．（3分）已知集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}，B={x∈R|2x＜8}，则A∩B=（）A．（0，3）B．（3，4）C．（0，4）D．（﹣∞，3）【解答】解：∵集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}={x|0＜x＜4}，B={x∈R|2x＜8}={x|x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}=（0，3）．故选：A．4．（3分）函数f（x）=logx+x﹣3的零点所在的区间是（）3A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=log3x+x﹣3，定义域为：x＞0；函数是连续函数，∴f（2）=log32+2﹣3＜0，f（3）=log33+3﹣3=1＞0，∴f（2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理，故选：C．5．（3分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1] D．（，1]【解答】解：要使函数有意义，则log0.5（3x﹣2）≥0，即0＜3x﹣2≤1，得＜x≤1，即函数的定义域为（，1]，故选：D6．（3分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（）A． B．C．D．【解答】解：患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，则函数的图象应呈下降趋势，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则函数的图象应一直呈上升趋势，但上升部分的图象比下降的图象要缓，排除AB，根据正常人的心率约为65，可排除D，只有C符合，故选：C7．（3分）已知函数f（x）=，则f（5）的值为（）A．B．1 C．2 D．3【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（5）=f（3）=f（1）=2．故选：C．8．（3分）已知函数y=f（2x）+2x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：∵函数y=f（2x）+2x是偶函数，∴设g（x）=f（2x）+2x，则g（﹣x）=f（﹣2x）﹣2x=g（x）=f（2x）+2x，即f（﹣2x）=f（2x）+4x，当x=1时，f（﹣2）=f（2）+4=1+4=5，故选：A9．（3分）函数f（x）=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【解答】解：f（﹣x）=|sin（﹣x）+cos（﹣x）|+|sin（﹣x）﹣cos（﹣x）|=|﹣sinx+cosx|+|﹣sinx﹣cosx|=|six+cosx|+|sinx﹣cosx|=f（x），则函数f（x）是偶函数，∵f（x+）=|sin（x+）+cos（x+）|+|sin（x+）﹣cos（x+）|=|cosx﹣sinx|+|cosx+sinx|=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|=f（x），∴函数f（x）的周期是，故选：D10．（3分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c【解答】解：如图所示，∵＞π﹣2＞1＞0，∴sin2=sin（π﹣2）＞sin1，∵，∴sin1=sin（π﹣1）＞sin3．综上可得：sin2＞sin1＞sin3．故选B．11．（3分）要得到函数y=cos（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：∵y=cos（2x﹣）=cos（﹣2x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]，∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位即可得到函数y=cos（2x﹣）的图象．故选：B．12．（3分）已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 D．＜a≤5【解答】解：函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，可得：，解得：1＜a≤3．故选：B．13．（3分）定义min{a，b}=，若函数f（x）=min{x2﹣3x+3，﹣|x﹣3|+3}，且f （x）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：根据定义作出函数f（x）的图象如图：（蓝色曲线），其中A（1，1），B（3，3），即f（x）=，当f（x）=时，当x≥3或x≤1时，由3﹣|x﹣3|=，得|x﹣3|=，即xC =或xG=，当f（x）=时，当1＜x＜3时，由x2﹣3x+3=，得xE=，由图象知若f （x ）在区间[m ，n]上的值域为[，]，则区间[m ，n]长度的最大值为x E ﹣x C =﹣=， 故选：B ．14．（3分）设函数f （x ）=|﹣ax|，若对任意的正实数a ，总存在x 0∈[1，4]，使得f （x 0）≥m ，则实数m 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，1]C ．（﹣∞，2]D ．（﹣∞，3]【解答】解：对任意的正实数a ，总存在x 0∈[1，4]，使得f （x 0）≥m ⇔m ≤f （x ）max ，x ∈[1，4]．令u （x ）=﹣ax ，∵a ＞0，∴函数u （x ）在x ∈[1，4]单调递减， ∴u （x ）max =u （1）=4﹣a ，u （x ）min =1﹣4a ．①a ≥4时，0≥4﹣a ＞1﹣4a ，则f （x ）max =4a ﹣1≥15．②4＞a ＞1时，4﹣a ＞0＞1﹣4a ，则f （x ）max ={4﹣a ，4a ﹣1}max ＞3． ③a ≤1时，4﹣a ＞1﹣4a ≥0，则f （x ）max =4﹣a ≥3． 综上①②③可得：m ≤3．∴实数m 的取值范围为（﹣∞，3]． 故选：D ．二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）15．（3分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N= {2，3，4，5} ，∁UM= {1，5，6} ．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N={2，3，4，5}；∁UM={1，5，6}，故答案为：{2，3，4，5}，{1，5，6}16．（3分）（）+（）= 3 ；log412﹣log43= 1 ．【解答】解：（）+（）==；log412﹣log43=．故答案为：3，1．17．（3分）函数f（x）=tan（2x﹣）的最小正周期是；不等式f（x）＞1的解集是．【解答】解：由正切函数的周期公式得函数的周期T=；由f（x）＞1得tan（2x﹣）＞1，得+kπ＜2x﹣＜+kπ，得+＜x＜+，k∈，即不等式的解集为；故答案为：，；18．（4分）已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）•g（x）＜0的解集是（﹣4，﹣2）∪（0，2）．【解答】解：设h（x）=f（x）g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g（x）=﹣h （x），∴h（x）是奇函数，由图象可知：当﹣4＜x＜﹣2时，f（x）＞0，g（x）＜0，即h（x）＞0，当0＜x＜2时，f（x）＜0，g（x）＞0，即h（x）＜0，∴h（x）＜0的解为（﹣4，﹣2）∪（0，2）．故答案为（﹣4，﹣2）∪（0，2）19．（4分）已知不等式（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，则a的值为﹣1 ．【解答】解：∵x∈（﹣a，+∞），∴当﹣a＜x＜1﹣a时，y=ln（x+a）＜0，当x＞1﹣a时，y=ln（x+a）＞0，又（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，①若a＞0，y=ax+2与y=ln（x+a）均为定义域上的增函数，在x∈（﹣a，+∞）上，可均大于0，不满足题意；②若a=0，则2lnx）≤0对x∈（0，+∞）不恒成立，不满足题意；∴a＜0．作图如下：由图可知，当且仅当方程为y=ln （x+a ）的曲线与方程为y=ax+2的直线相交于点A ， 即满足时，（ax+2）•ln（x+a ）≤0对x ∈（﹣a ，+∞）恒成立，解方程得，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．20．（4分）已知函数f （x ）=x+，g （x ）=f 2（x ）﹣af （x ）+2a 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，则[2﹣f （x 1）]•[2﹣f （x 2）]•[2﹣f （x 3）]•[2﹣f （x 4）]的值为 16 ． 【解答】解：∵令t=f （x ），则y=g （x ）=f 2（x ）﹣af （x ）+2a=t 2﹣at+2a ， ∵g （x ）=f 2（x ）﹣af （x ）+2a 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4， 故t 2﹣at+2a=0有两个根t 1，t 2，且t 1+t 2=a ，t 1t 2=2a ，且f （x 1），f （x 2），f （x 3），f （x 4）恰两两相等，为t 2﹣at+2a=0的两根， 不妨令f （x 1）=f （x 2）=t 1，f （x 3）=f （x 4）=t 2，则[2﹣f （x 1）]•[2﹣f （x 2）]•[2﹣f （x 3）]•[2﹣f （x 4）] =（2﹣t 1）•（2﹣t 1）•（2﹣t 2）•（2﹣t 2）=[（2﹣t 1）•（2﹣t 2）]2=[4﹣2（t 1+t 2）+t 1t 2]2=16． 故答案为：16三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（10分）已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．【解答】（1）解：由得，，所以；（2）证明：定义域是[0，+∞），设任意的x2＞x1≥0，则，∵，∴f（x2）＞f（x1），函数f（x）在定义域上是增函数．22．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间上总有实数解，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）周期T=π，所以ω=2，当时，，（2分）得，又﹣π＜φ＜0，所以取k=﹣1，得（2分）所以，（1分）由，得，k∈所以函数y=f（x）的单调递增区间是得（k∈），（2分）（2）当时，，所以，（2分）所以log2k=﹣f（x）∈[﹣1，2]，得．（3分）23．（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式，并作出相应的图象．【解答】解：（1）阴影部分的面积为：50+70+90+60=270，表示汽车在4小时内行驶的路程为270 km．（4分）（2）∵这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式为：（4分）图象如下图：（4分）24．（13分）已知函数f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；（2）若，试判断函数y=f（x）在R上的零点个数，并求此时y=f（x）所有零点之和的取值范围．【解答】解：（1）方法一：当a=﹣1时，（2 分）由f（x）=1得或（2 分）解得 x=0，1，﹣2，即解集为{0，1，﹣2}．（2分）方法二：当a=﹣1时，由f（x）=1得：（x﹣1）|x+1|﹣（x﹣1）=0（x﹣1）（|x+1|﹣1）=0（3分）∴得x=1或|x+1|=1∴x=1或x=0或x=﹣2即解集为{0，1，﹣2}．（3分）（2）当x≥a时，令x2﹣（a+2）x﹣a=0，∵，∴△=a2+8a+4=（a+4）2﹣12＞0得，（2分）且先判断2﹣a，与大小：∵，即a＜x1＜x2，故当x≥a时，f（x）存在两个零点．（2分）当x＜a时，令﹣x2+ax﹣3a=0，即x2﹣ax+3a=0得∵，∴△=a2﹣12a=（a﹣6）2﹣36＞0得，同上可判断x3＜a＜x4，故x＜a时，f（x）存在一个零点．（2分）综上可知当时，f（x）存在三个不同零点．且设，易知g（a）在上单调递增，故g（a）∈（0，2）∴x1+x2+x3∈（0，2）．（ 2分）。

2015-2016学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3.00分）设集合A={a，b}，则满足A∪B={a，b，c}的集合B的个数为（）A．8 B．4 C．3 D．12．（3.00分）设函数，则其零点所在区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）3．（3.00分）已知0为坐标原点，向量=（1，3），=（3，﹣1）且，则点P的坐标为（）A．（2，﹣4）B．（，﹣） C．（，）D．（﹣2，4）4．（3.00分）若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=log a||的图象大致为（）A．B．C．D．5．（3.00分）已知函数f（x）=log sin1（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．[4，+∞）C．[﹣4，4]D．（﹣4，4]6．（3.00分）k∈Z时，的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．与α取值有关7．（3.00分）若曲线y=Asinωx+a（A＞0，ω＞0）在区间上截直线y=2与y=﹣1所得的弦长相等且不为0，则下列对a和A的描述正确的是（）A．B．a=1，A＞1 C．≤D．a=1，A≤18．（3.00分）已知函数f（x）=（x﹣l）（log3a）2﹣6（log3a）x+x+l在x∈[0，l]内恒为正值，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜B．a＜C．a＞D．＜a＜9．（3.00分）已知函数y=f（x）的图象是由y=sin2x向右平移得到，则下列结论正确的是（）A．f（0）＜f（2）＜f（4） B．f（2）＜f（0）＜f（4） C．f（0）＜f（4）＜f （2）D．f（4）＜f（2）＜f（0）10．（3.00分）若α∈[0，π]，β∈[﹣，]，λ∈R，且（α﹣）3﹣cosα﹣2λ=0，4β3+sinβcosβ+λ=0，则cos（+β）的值为（）A．0 B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4.00分）已知幂函数f（x）=k•xα的图象过点（，2），则k+α=．12．（4.00分）已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为cm2．13．（4.00分）已知0＜x＜，sinx﹣cosx=．若tanx+可表示成的形式（a，b，c为正整数），则a+b+c=．14．（4.00分）下列命题：（1）y=|cos（2x+）|最小正周期为π；（2）函数y=tan的图象的对称中心是（kπ，0），k∈Z；（3）f（x）=tanx﹣sinx在（﹣，）上有3个零点；（4）若∥，，则其中错误的是．15．（4.00分）在锐角△ABC中，AC=BC=2，=x+y，（其中x+y=1），函数f（λ）=|﹣λ|的最小值为，则||的最小值为．16．（4.00分）已知函数f（x）=，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为．三、解答题：本大题共4小题．共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10.00分）已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＜1}（1）分别求A∩B，A∪B（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．18．（12.00分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜0）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P（1，﹣），若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为（1）求函数f（x）的解析式；（2）若方程3[f（x）]2﹣f（x）+m=0在x∈（，）内有两个不同的解，求实数m的取值范围．19．（10.00分）设G为△ABC的重心，过G作直线l分别交线段AB，AC（不与端点重合）于P，Q．若=λ，=μ（1）求+的值；（2）求λ•μ的取值范围．20．（14.00分）已知函数f（x）=x2﹣2|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）为偶函数，求a的值；（Ⅱ）当a＞0时，若对任意的x∈[0，+∞），不等式f（x﹣1）≤2f（x）恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3.00分）设集合A={a，b}，则满足A∪B={a，b，c}的集合B的个数为（）A．8 B．4 C．3 D．1【解答】解：集合A={a，b}，若A∪B={a，b，c}，∴集合B={c}，或{a，c}或{b，c}或{a，b，c}，共4个，故选：B．2．（3.00分）设函数，则其零点所在区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：∵f（1）f（2）=（1﹣2）×（8﹣1）=﹣7＜0，∴其零点所在区间为（1，2）．故选：B．3．（3.00分）已知0为坐标原点，向量=（1，3），=（3，﹣1）且，则点P的坐标为（）A．（2，﹣4）B．（，﹣） C．（，）D．（﹣2，4）【解答】解：设点P（x，y），根据题意得；=（x﹣1，y﹣3），=（3﹣x，﹣1﹣y）；∵=2，∴，解得x=，y=；∴P（，）．故选：C．4．（3.00分）若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=log a||的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1．因此，必有0＜a＜1．先画出函数y=log a|x|的图象：黑颜色的图象．而函数y=log a||=﹣log a|x|，其图象如红颜色的图象．故选：B．5．（3.00分）已知函数f（x）=log sin1（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．[4，+∞）C．[﹣4，4]D．（﹣4，4]【解答】解：令t=x2﹣ax+3a，∵sin1∈（0，1），∴函数y=log sin1t是关于t的减函数，结合题意，得t=x2﹣ax+3a是区间[2，+∞）上的增函数，又∵在[2，+∞）上t＞0总成立∴，解之得﹣4＜a≤4．∴实数a的取值范围是（﹣4，4]．故选：D．6．（3.00分）k∈Z时，的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．与α取值有关【解答】解：当k为奇数时，=．当k为偶数时，=．故选：A．7．（3.00分）若曲线y=Asinωx+a（A＞0，ω＞0）在区间上截直线y=2与y=﹣1所得的弦长相等且不为0，则下列对a和A的描述正确的是（）A．B．a=1，A＞1 C．≤D．a=1，A≤1【解答】解：由题意曲线y=Asinωx+a（A＞0，ω＞0）的图象关于直线y=a的对称又截直线y=2及y=﹣1所得的弦长相等所以，两条直线y=2及y=﹣1关于y=a对称a==又弦长相等且不为0故振幅A大于=A＞故有a=，A＞故选：A．8．（3.00分）已知函数f（x）=（x﹣l）（log3a）2﹣6（log3a）x+x+l在x∈[0，l]内恒为正值，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜B．a＜C．a＞D．＜a＜【解答】解：当a=1时，f（x）=x+1在区间[0，1]上的函数值恒为正实数；当a≠1时，要使函数f（x）=（x﹣1）（log3a）2﹣6（log3a）x+x+1在区间[0，1]上的函数值恒为正实数，则有，即，解得．故选：D．9．（3.00分）已知函数y=f（x）的图象是由y=sin2x向右平移得到，则下列结论正确的是（）A．f（0）＜f（2）＜f（4） B．f（2）＜f（0）＜f（4） C．f（0）＜f（4）＜f （2）D．f（4）＜f（2）＜f（0）【解答】解：把y=sin2x向右平移得到y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，故f（0）=﹣，f（2）=sin（4﹣），f（4）=sin（8﹣），故f（0）＜f（2）＜f（4），故选：A．10．（3.00分）若α∈[0，π]，β∈[﹣，]，λ∈R，且（α﹣）3﹣cosα﹣2λ=0，4β3+sinβcosβ+λ=0，则cos（+β）的值为（）A．0 B．C．D．【解答】解：∵4β3+sinβcosβ+λ=0，∴（﹣2β）3﹣2sinβcosβ﹣2λ=0，即（﹣2β）3+sin（﹣2β ）﹣2λ=0．再由（α﹣）3﹣cosα﹣2λ=0，可得（α﹣）3 +sin（α﹣）﹣2λ=0．故﹣2β和α﹣是方程x3+sinx﹣2λ=0 的两个实数解．再由α∈[0，π]，β∈[﹣，]，所以﹣α 和2β的范围都是[﹣，]，由于函数x3+sinx 在[﹣，]上单调递增，故方程x3+sinx﹣2λ=0在[﹣，]上只有一个解，所以，﹣α=2β，所以+β=，所以cos（+β）=．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4.00分）已知幂函数f（x）=k•xα的图象过点（，2），则k+α=0．【解答】解：∵幂函数f（x）=k•xα的图象过点（，2），∴k=1，2=k，解得k=1，α=﹣1．∴k+α=0．故答案为：0．12．（4.00分）已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为2πcm2．【解答】解：∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为，∴半径r=，∴这条弧所在的扇形面积为S=cm2．故答案为：2π13．（4.00分）已知0＜x＜，sinx﹣cosx=．若tanx+可表示成的形式（a，b，c为正整数），则a+b+c=50．【解答】解：∵已知0＜x＜，sinx﹣cosx=，∴1﹣2sinxcosx=，即sinxcosx=．若tanx+=+===，（a，b，c为正整数），∴a=32，b=16，c=2，则a+b+c=50，故答案为：50．14．（4.00分）下列命题：（1）y=|cos（2x+）|最小正周期为π；（2）函数y=tan的图象的对称中心是（kπ，0），k∈Z；（3）f（x）=tanx﹣sinx在（﹣，）上有3个零点；（4）若∥，，则其中错误的是（1）（3）（4）．【解答】解：（1）函数y=cos（2x+）最小正周期为π，则y=|cos（2x+）|最小正周期为；则（1）错误，（2）由=，得x=kπ，即函数y=tan的图象的对称中心是（kπ，0），k∈Z 正确，则（2）正确；（3）由f（x）=tanx﹣sinx=0得，tanx=sinx，则sinx=0或cosx=1，则在（﹣，）内，x=0，此时函数只有1个零点；则（3）错误，（4）若∥，，则错误，当=时，结论不成立，则（4）错误，故错误的是（1）（3）（4），故答案为：（1）（3）（4）15．（4.00分）在锐角△ABC中，AC=BC=2，=x+y，（其中x+y=1），函数f（λ）=|﹣λ|的最小值为，则||的最小值为．【解答】解：锐角△ABC中，AC=BC=2，且函数f（λ ）的最小值为；∴函数f（λ）==2≥，即4λ2﹣8λcos∠ACB+1≥0恒成立；当且仅当λ=﹣=cos∠ACB时等号成立，代入函数f（λ）中得到cos∠ACB=，∴∠ACB=；∴||==2=2=2=2≥2×=，当且仅当x==y时，取得最小值，∴||的最小值为；故答案为：．16．（4.00分）已知函数f（x）=，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为[，）．【解答】解：∵f（x）=x+，x∈[0，）为单调递增，f（x）=3x2在[，1]上单调递增，则由存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2）得，x1∈[0，），x2∈[，1]，即x1+=3，则≤x1＜，则x1•f（x2）=x1•（x1+），则•（+）≤x1•（x1+）＜•1，即≤x1•（x1+）＜，故答案为：[，）．三、解答题：本大题共4小题．共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10.00分）已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＜1}（1）分别求A∩B，A∪B（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由3≤3x≤27，即3≤3x≤33，∴1≤x≤3，∴A=[1，3]．由log2x＜1，可得0＜x＜2，∴B=（0，2）．∴A∩B=[1，2）．A∪B=（0，3]．（2）由C⊆A，当C为空集时，a≤1．当C为非空集合时，可得1＜a≤3．综上所述：a的取值范围是a≤3．18．（12.00分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜0）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P（1，﹣），若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为（1）求函数f（x）的解析式；（2）若方程3[f（x）]2﹣f（x）+m=0在x∈（，）内有两个不同的解，求实数m的取值范围．【解答】（本题满分12分）解：（1）角φ的终边经过点P（1，﹣），tanφ=﹣，∵﹣＜φ＜0，∴φ=﹣．由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为，得T=，即=，∴ω=3．∴f（x）=2sin（3x﹣）…（4分）（2）∵x∈（，），∴3x﹣∈（0，π），∴0＜sin（3x﹣）≤1．设f（x）=t，问题等价于方程3t2﹣t+m=0在（0，2）仅有一根或有两个相等的根．∵﹣m=3t2﹣t，t∈（0，2）．作出曲线C：y=3t2﹣t，t∈（0，2）与直线l：y=﹣m的图象．∵t=时，y=﹣；t=0时，y=0；t=2时，y=10．∴当﹣m=﹣或0≤﹣m＜10时，直线l与曲线C有且只有一个公共点．∴m的取值范围是：m=或﹣10＜m≤0．…（12分）19．（10.00分）设G为△ABC的重心，过G作直线l分别交线段AB，AC（不与端点重合）于P，Q．若=λ，=μ（1）求+的值；（2）求λ•μ的取值范围．【解答】解：（1）连结AG并延长交BC于M，则M是BC的中点，则，．又，，∴=，=（）+．∵P，G，Q三点共线，故存在实数t，使=t，即（）+=．∴，两式相除消去t得1﹣3λ=﹣，即．（2）∵1﹣3λ=﹣，∴，∵λ，μ∈（0，1），∴，解得．∴．∴λμ==．∴当时，λμ取得最小值，当或2时，λμ取得最大值．∴λμ的取值范围是[，）．20．（14.00分）已知函数f（x）=x2﹣2|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）为偶函数，求a的值；（Ⅱ）当a＞0时，若对任意的x∈[0，+∞），不等式f（x﹣1）≤2f（x）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由函数y=f（x）为偶函数可知，对任何x都有f（﹣x）=f（x），得：（﹣x）2﹣2|﹣x﹣a|=x2﹣2|x﹣a|，即|x+a|=|x﹣a|对任何x恒成立，平方得：4ax=0对任何x恒成立，而x不恒为0，则a=0；（Ⅱ）将不等式f（x﹣1）≤2f（x），化为（x﹣1）2﹣2|x﹣1﹣a|≤2x2﹣4|x﹣a|，即4|x﹣a|﹣2|x﹣1﹣a|≤x2+2x﹣1（*）对任意x∈[0，+∞）恒成立，（1）当0≤x≤a 时，将不等式（*）可化为x2+4x+1﹣2a≥0，对0≤x≤a上恒成立，则g（x）=x2+4x+1﹣2a 在（0，a]为单调递增，只需g（x）min=g（0）=1﹣2a≥0，得0＜a ≤；（2）当a＜x≤a+1时，将不等式（*）可化为x2﹣4x+1+6a≥0，对a＜x≤a+1上恒成立，由（1）可知0＜a ≤，则h（x）=x2﹣4x+1+6a 在（a，a+1]为单调递减，只需h（x）min=h（a+1）=a2+4a﹣2≥0 得：a ≤﹣﹣2或a ≥﹣2，即：﹣2≤a ≤；（3）当x＞a+1时，将不等式（*）可化为x2+2a﹣3≥0对x＞a+1恒成立则t（x）=x2+2a﹣3 在（a+1，+∞）为单调递增，由（2）可知﹣2≤a ≤都满足要求．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)<f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)>f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．y=f(X)yxo x x2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）yxo如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．综上：实数 的取值范围为：﹣2≤a ≤．。

2015年测试数学试题卷一、选择题（每题5分，共30分）1、化简：4x212x 9(22x)2的结果是（）A、1B、-5C、5-4xD、4x5、已知（x1,y1),(x2,y2)在函数y=a22ax4(a的图像上，若x1<,x1x20,2x0)x2则y1，y2的大小关系是（）A、y1y2B、y1y2C、y1y2D 、y1,y2的大小不可以确立3、有甲、乙、丙三种货物。

若购置甲3件，乙7件，丙1件共需31.5元；若购置甲4件，乙10件，丙1件共需42元，则购置甲、乙、丙各2件共需（）元。

A、19.6B、21C 、22.4D、24y a4、方程组有四组不一样的解，则a的取值范围是() y x2x2A、a＞9B、9＜a＜9C、0＜a≤9D、0＜a＜9444445、如图，正方形OABC，ADEF的极点A，D，C在座标轴上，点F在AB上，点B，E在抛物线Y=-x2+2上，则点E的坐标是()131133yA、(2,22)Y=-x2+2 2133131C BB、(,)F E2222131133O AD xC、(,)2222D、(133,131) 222 26、若abc1,abc2,a 2b 2c 2 3,1 11abc1bca1cab1的值为（ ）A 、-1B 、-2C 、1D 、2 DC23O 二、填空题（每题 5分，共30 分）P7、如图，已知正方形ABCD 的中心为O ，面积为300cm 2，P 为正方形内的一点，且∠ OPB=45，PA ∶PB=3∶4，则PB= cm。

AB8、已知x 1，x 2是方程x 2 3x10的两实根，则x 138x 219。

9、甲、乙两车分别从A 、B 两站同时出发，相向而行，当甲车走完整程的一半时，乙车距A 站24公里；当乙车走完整程的一半时，甲车距B 站 15公里，则 A 、B 两站的距离为公里。

10、把反比率函数y12个单位,再向上平移 1个单位获得的函数的图像先水平向左平移x分析式是。

2015学年第一学期期末教学质量检测高一数学试题卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{2,4,5}A =，则U C A =A. ∅B. {1,3,5}C. {1,3,6,7}D.{1,3,5,7}2. 当1a>时，在同一坐标系中，函数x y a =与log a y x =的图象是3．下列函数中，是奇函数且在区间(0,1)内单调递减的函数是A ．2log y x = B ．1yx x=-C ．3y x =- D ．x y tan = 4. 把函数sin 3y x =的图像向右平移4π个长度单位，所得曲线的对应函数式A. )433sin(π-=x y B. )43sin(π+=x y C. )43sin(π-=x y D. )433sin(π+=x y5. 若3cos θ=5 (0)2πθ-<<，则cos()6πθ-的值是 A ．10433± B ．10334± C ．10433- D ． 10433+ 6．函数||()5x f x =的值域是A. ]1,(-∞B. ),1[+∞C. ]1,0(D. ),0(+∞7. 函数230()30151x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值是A ．1B ．2C ．3D ．4 8. 已知()f x 是R 上的增函数，对实数,a b ，若 0a b +>，则有 A.()()()()f a f b f a f b +>-+- B.()()()()f a f b f a f b +<-+- C.()()()()f a f b f a f b ->---D.()()()()f a f b f a f b -<-+-9．若log 2log 20a b <<，则a ，b 满足的关系是A ．1a b <<B ．1b a <<C ．01a b <<<D ．01b a <<< 10．函数sin tan y x x =+，[,]44x ππ∈-的值域是A.[B.[2,2]-C.[-D.[1]- 11．若()()11sin ,sin 23αβαβ+=-=，则βαtan tan 为 A.51B.5 C.6 1D.612. 已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，()()211f x x =--+，则满足()1122f f a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦的实数a 的个数为A.2B.4C.6D.8二．填空题（本大题共6小题，单空每小题4分,多空每小题6分，共28分，将答案填在答题卷的相应位置．） 13．若函数1()3sin()23f x x π=+，则()f x 的周期是 ▲ ;()f π= ▲ . 14．若2tan =α，则sin()cos()απα-=+ ▲ ；sin cos α⋅α= ▲ .15．已知某扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则该扇形的面积是 ▲ . 16．若函数2()35f x x x a =-+的一个零点在区间(2,0)-内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a 的取值范围是 ▲ .17．已知2()log (4)f x ax =-在区间[3,1-]上是增函数,则a 的取值范围是 ▲ . 18．已知定义在R 上的函数)(x f 满足: )(1)1(x f x f =+,当]1,0(∈x 时,x x f 2)(=,则=)9(log 2f ▲ .三．解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．） 19．（本题满分10分）函数()sin(),(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<图象的一段如图所示．（1）求此函数的解析式； （2）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．20．（本题满分10分）已知2()21x x a f x +=+是奇函数.（1）求实数a 的值；（2）试判断函数()f x 的单调性并加以证明；（3）对任意的x R ∈，不等式()f x m <恒成立，求实数m 的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-()x ∈R ．（1）求函数()f x 的单调递减区间; （2）若()065f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值．22．（本题满分12分）如图，正方形ABCD 的边长为1，Q P ,分别为DA AB ,上动点，且APQ ∆的周长为2，设 y AQ x AP ==,. （1）求y x ,之间的函数关系式)(x f y =；（2）判断PCQ ∠的大小是否为定值？并说明理由； （3）设ΔPCQ 的面积分别为S ，求S 的最小值.2015学年第一学期期末教学质量检测 高一数学试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 二、填空题（本大题共6小题，单空每小题4分,多空每小题每空6分，共28分，将答案填在答题卷的相应位置.）13. 4π，32 14. 2，2515. 16 16.{|120}a a -<< 17. {|40}a a -<< 18. 89三、解答题（本大题有4小题，前2题每题10分，后2题每题12分，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.） 19.解：（1）显然 23A = …………………… 1分 由()212122T πππ=---=得T π=，所以2ω= …………………… 3分 由于22()sin(2)3123f x x πϕ=+过点（－，），故有sin()16πϕ-+=又0ϕπ<<，则5666πππϕ-<-< ，故62ππϕ-= 即 23πϕ= ………… 4分所以此函数的解析式为22()sin(2)33f x x π=+. …………………… 5分（2）因为02x π≤≤，所以 2252333x πππ≤+≤…………………… 6分 因此()f x 在22233x ππ+=即0x =时取得最大值22(0)sin 33f π== 8分 ()f x 在23232x ππ+=即512x π=时取得最小值232(0)sin 323f π==- …… 10分20.解：（1）方法一：因为()f x 是R 上的奇函数，所以(0)0f =， 即102a+= 所以1a =- ， ………… 2分 此时 21()21x x f x -=+因211221()()211221x x x xx x f x f x ------===-=-+++ ，故1a =-成立 …… 4分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBCACBDADDAC方法二：因为()f x 是R 上的奇函数，所以()()0f x f x -+=即2202121x x x x a a--+++=++，化简得(1)(222)0x x a -+++=，所以 1a =-…… 4分（2）设12x x <，则121222220xxxx <-< 即 ……………… ５分12121212222(22)()()(1)(1)02121(21)(21)x x xx x x f x f x --=---=<++++ ……… ７分 所以()f x 是单调递增函数. ………… ８分（３）因为2()1121xf x =-<+，要使不等式()f x m <对任意的x R ∈恒成立， 只要1m ≥，所以实数m 的取值范围是{|1}m m ≥ …………… 10分21. 解:（1）由()2cos 2cos 1f x x x x =+-得())()22sin cos 2cos 12cos 22sin(2)6f x x x x x x x π=+-=+=+．…… 2分由 3222262k x k πππππ+≤+≤+得263k x k ππππ+≤≤+()k Z ∈．所以函数()f x 的单调递减区间是2[,]63k k ππππ++()k Z ∈． ……………… 6分（2）由（1）知，()002sin(2)6f x x π=+，又由已知()065f x =，则03sin(2)65x π+=． ………………………… 7分因为0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此0cos(2)06x π+<，所以04cos(2)65x π+=-， ………………………… 10分 于是00cos 2cos (2)66x x ππ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦00cos(2)cos sin(2)sin 6666x x ππππ=+++431552=-+⨯=………………………… 12分 22. 解：（1）由已知可得2PQ x y =--，根据勾股定理有 22PQ 2=AP +AQ即：2222)x y x y --=+（ ……… 2分 化简得：2x y x y xy --=+-即有22<x<2x y fx x -==-（）（01） ………… 3分 （2）tan 1tan 1DQ BPDCQ y BCP x DC BC∠==-∠==-； ……………… 5分 112tan 11)(1y x x yDCQ BCP y x x y xy-+---∠+∠==---+-（）（）（）（)=1 ……………… 7分024DCQ BCP DCQ BCP ππ⎛⎫∠+∠∈∴∠+∠= ⎪⎝⎭，，24PCQ DCQ BCP ππ∴∠=-∠+∠=（）（定值） …………………… 8分（3）1111111222APQ BCP DCQ S S S S xy x y ∆∆∆=---=-----（）（） 12x y xy =+-（）21222212222222x x x x x x x x x ---+=+-⋅---（）=（） ……10分 令212t x t =-∈，（，） 212212122t t S t t t-+∴=⋅=+-（）min .1S ∴=由双勾函数知S 在 ……………… 12分。

杭州学军中学2016学年第一学期期末考试高一数学试卷一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

每题只有一个正确答案）1．已知0cos ，则角的集合是（▲）A ．Zk kk,2222B ．Zk k k ,22C ．Zkk k,22D ．Zkkk,2222．已知3cos α-4sin α=0，则tan =（▲）A ．34B ．43C ．43D ．343．函数的图象大致是（▲）4. 若函数32)(k xk xx h 在),1(上是增函数，则实数k 的取值范围为（▲）A ．(,2] B ．[2,) C ．(,2] D ．[2,)5．对于函数21)43sin(2)(x x f )(R x ，有以下三种说法：1）图象的对称中心为(,0)()312k k Z ；2）函数在区间]4,127[上单调递增．3）将函数213sin 2xy 向左移动12个单位后得到)(x f y 的图象其中正确的说法的个数是：（▲）A ．0B ．1C ．2D ．36.向量,,a b c 满足1ab ，12a b，若a c 和b c 夹角为120，则c 的最大值为（▲）A ．3B ．2C ．233D ．27. 函数a x x x f 1sin 4sin 4)(2，若关于x 的方程0)(x f 在区间]65,4[上有解，则a 的取值范围为（▲）A ．[1，2]B ．[1，122] C ．[122，2]D ．]3,122[xx y||lg8. 若函数(1)()(4)2(1)2xax f x a x x ≤是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为 ( ▲ )A ．(1,4]B ．(1,8)C ．(,8)D ．[4,8)9.对任意||2m ，不等式212xmx xm 恒成立，则x 的取值范围为（▲）A ．31x x 或 B. 3x C. 1x D.13x 10. 已知函数232()log 1f x xxx ，当2015x y 时，恒有()2015()f x f f y 成立，则x 的取值范围为（▲）A ．(,0)B 。

2015-2016学年浙江省杭州市学军中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．设全集U={x|x＜4，x∈N}，A={0，1，2}，B={2，3}，则B∪∁U A等于（）A．{3} B．{2，3} C．∅D．{0，1，2，3}2．满足不等式的实数x的取值范围为（）A．B．C．D．3．在下列各组函数中，两个函数相等的是（）A．f（x）=与g（x）=B．f（x）=与g（x）=C．f（x）=2x，x∈{0，1，2，3}与g（x）=D．f（x）=|x|与g（x）=4．函数y=的值域是（）A．{y|y＜﹣2或y＞2} B．{y|y≤﹣2或y≥2} C．{y|﹣2≤y≤2}D．5．若函数y=a x+b的部分图象如图所示，则（）A．0＜a＜1，﹣1＜b＜0 B．0＜a＜1，0＜b＜1 C．a＞1，﹣1＜b＜0D．a＞1，0＜b＜16．偶函数f（x）（x∈R）满足f（﹣4）=f（1）=0，且在区间[0，3]与[3，+∞）上分别递减与递增，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．B．C．D．∪（1，4）7．设f（x）=，则f（5）的值为（）A．10 B．11 C．12 D．138．已知函数f（x）=log a（x2﹣ax+3）（a＞0且a≠1）满足：对任意实数x1，x2，当x1＜x2≤时，总有f（x1）﹣f（x2）＞0，则实数a的取值范围是（）A．C．（2，）D．（1，）9．定义：区间[x1，x2]（x1＜x2）的长度为x2﹣x1，已知函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，记区间[a，b]的最大长度为m，最小长度为n．则函数g（x）=m x﹣（x+2n）的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．310．已知函数f（x）=，则函数在[0，1]上的图象总长（）A．8060 B．4030 C．2015D．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.请将答案填写在答题卷中的横线上.）11．幂函数f（x）的图象过点，则=．12．函数f（x）=的定义域是．13．幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么，αβ=．14．下列几个命题：①若函数为偶函数，则m=0；②若f（x）的定义域为[0，1]，则f（x+2）的定义域为[﹣2，﹣1]；③函数y=log2（﹣x+1）+2的图象可由y=log2（﹣x﹣1）﹣2的图象向上平移4个单位向左平移2个单位得到；④若关于x方程|x2﹣2x﹣3|=m有两解，则m=0或m＞4；其中正确的有．15．函数g（x）=log2（x＞0），关于方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同实数解，则实数m的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，第16，17题8分，第18题10分，第19，20题每题12分，共50分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）16．（1）计算2lg5+（2）若，求的值．17．已知集合A={x|2a+1≤x＜3a+5}，B={x|3≤x≤32}，若A⊆（A∩B），求a的取值范围．18．已知函数（a∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明．19．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为y=．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．20．已知函数f（x）=x|a﹣x|+2x．（1）当a=4时，写出函数f（x）的单调递增区间（不需要过程）；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在a∈[﹣2，4]，使得函数y=f（x）﹣at有三个零点，求实数t的取值范围．2015-2016学年浙江省杭州市学军中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．设全集U={x|x＜4，x∈N}，A={0，1，2}，B={2，3}，则B∪∁U A等于（）A．{3} B．{2，3} C．∅D．{0，1，2，3} 【分析】先求出全集U={3，2，1，0}，然后进行补集、并集的运算即可．【解答】解：U={3，2，1，0}；∴∁U A={3}；∴B∪∁U A={2，3}．故选：B．【点评】考查描述法和列举法表示集合，以及全集的概念，补集、并集的运算．2．满足不等式的实数x的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】化根式为分数指数幂，然后利用指数函数的单调性得答案．【解答】解：由（）x＞，得3﹣x＞，即﹣x＞，即x＜﹣，故选：C．【点评】本题考查了指数不等式的解法，考查了根式与分数指数幂的互化，是基础题．3．在下列各组函数中，两个函数相等的是（）A．f（x）=与g（x）=B．f（x）=与g（x）=C．f（x）=2x，x∈{0，1，2，3}与g（x）=D．f（x）=|x|与g（x）=【分析】根据两个函数的对应关系相同，定义域也相同，即可判断这两个函数是相等的函数．【解答】解：对于A，f（x）==x的定义域是R，g（x）==|x|的定义域是R，但对应关系不同，所以两个函数不相等；对于B，y==的定义域是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），g（x）==的定义域是[1，+∞），定义域不同，所以这两个函数不相等；对于C，x∈{0，1，2，3}时，f（x）=2x={1，2，4，8}，g（x）=+x+1={1，2，4，7}，所以这两个函数不是相等的函数；对于D，f（x）=|x|=，g（x）=，两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相等函数．故选：D．【点评】本题考查了函数的定义域和对应法则应用问题，根据函数的对应法则和定义域就可确定一个函数，是基础题目．4．函数y=的值域是（）A．{y|y＜﹣2或y＞2} B．{y|y≤﹣2或y≥2} C．{y|﹣2≤y≤2}D．【分析】把已知函数式变形，然后分类利用基本不等式求得函数的最值，则函数的值域可求．【解答】解：y==，当x+1＞0时，有，当且仅当x+1=，即x+1=1，也就是x=0时上式等号成立；当x+1＜0时，有y=﹣[﹣（x+1）+]，当且仅当﹣（x+1）=﹣，即x+1=﹣1，也就是x=﹣2时上式等号成立．∴函数y=的值域是{y|y≤﹣2或y≥2}．故选：B．【点评】本题考查函数值域的求法，训练了利用基本不等式求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．5．若函数y=a x+b的部分图象如图所示，则（）A．0＜a＜1，﹣1＜b＜0 B．0＜a＜1，0＜b＜1 C．a＞1，﹣1＜b＜0D．a＞1，0＜b＜1【分析】根据指数函数的图象和性质即可判断【解答】解：由图象可以看出，函数为减函数，故0＜a＜1，因为函数y=a x的图象过定点（0，1），函数y=a x+b的图象过定点（0，b），∴﹣1＜b＜0，故选：A【点评】本题主要考查函数图象的应用，利用函数过定点是解决本题的关键．6．偶函数f（x）（x∈R）满足f（﹣4）=f（1）=0，且在区间[0，3]与[3，+∞）上分别递减与递增，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．B．C．D．∪（1，4）【分析】利用偶函数的性质结合题意进行求解．【解答】解：求xf（x）＜0即等价于求函数在第二、四象限图形x的取值范围．∵偶函数f（x）（x∈R）满足f（﹣4）=f（1）=0∴f（4）=f（﹣1）=f（﹣4）=f（1）=0且f（x）在区间[0，3]与[3，+∞）上分别递减与递增如右图可知：即x∈（1，4）函数图象位于第四象限x∈函数图象位于第二象限综上说述：xf（x）＜0的解集为：∪（1，4）故答案选：D【点评】考察了偶函数的单调性质，属于中档题．7．设f（x）=，则f（5）的值为（）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】欲求f（5）的值，根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值即可求出其值．【解答】解析：∵f（x）=，∴f（5）=f[f（11）]=f（9）=f[f（15）]=f（13）=11．故选B．【点评】本题主要考查了分段函数、求函数的值．属于基础题．8．已知函数f（x）=log a（x2﹣ax+3）（a＞0且a≠1）满足：对任意实数x1，x2，当x1＜x2≤时，总有f（x1）﹣f（x2）＞0，则实数a的取值范围是（）A．C．（2，）D．（1，）【分析】由题意可得函数f（x）在（﹣∞，）上是减函数．令t=x2﹣ax+3，则函数t在（﹣∞，）上是减函数，由复合函数的单调性规律可得a＞1，且﹣a+3＞0，由此求得a的范围．【解答】解：由题意可得函数f（x）在（﹣∞，）上是减函数．令t=x2﹣ax+3，则函数t在（﹣∞，）上是减函数，且f（x）=log a t．由复合函数的单调性规律可得a＞1，且﹣a+3＞0．解得1＜a＜2，故选D．【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，复合函数的单调性规律，属于中档题．9．定义：区间[x1，x2]（x1＜x2）的长度为x2﹣x1，已知函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，记区间[a，b]的最大长度为m，最小长度为n．则函数g（x）=m x﹣（x+2n）的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】作函数y=2|x|的图象，从而结合图象可得m=2，n=1；从而化简函数g（x）=2x﹣（x+2）；再作函数y=2x与y=x+2的图象，从而求得零点的个数即可．【解答】解：作函数y=2|x|的图象如下，则m=2，n=1；则函数g（x）=2x﹣（x+2）；作函数y=2x与y=x+2的图象如下，故有2个零点；故选：C．【点评】本题考查了函数的图象的作法及数形结合的思想应用，属于中档题．10．已知函数f（x）=，则函数在[0，1]上的图象总长（）A．8060 B．4030 C．2015D．【分析】由已知中函数f（x）=，分段讨论，求出函数g（x）=f（f （x））在[0，1]上各段的解析式，画出函数的图象，进而可得求出函数g（x）=f（f（x））在[0，1]上的图象总长，同法，类比可得函数在[0，1]上的图象总长．【解答】解：先求出函数g（x）=f（f（x））在[0，1]上的图象总长．∵函数f（x）=，当x∈[0，]时，f（x）∈[0，]，g（x）=f（f（x））=2×2x=4x，当x∈（，]时，f（x）∈（，1]，g（x）=f（f（x））=2﹣2×2x=2﹣4x，当x∈（，）时，f（x）∈（，1），g（x）=f（f（x））=2﹣2×（2﹣2x）=4x﹣2，当x∈[，1]时，f（x）∈[0，]，g（x）=f（f（x））=2×（2﹣2x）=4﹣4x，故函数g（x）=f（f（x））在[0，1]上的图象如图所示：其长度为：4=，同法，类比可得函数在[0，1]上的图象总长为．故选：D．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，分段函数分段处理，是解答分段函数的基本思路，也是分类讨论思想最好的印证．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.请将答案填写在答题卷中的横线上.）11．幂函数f（x）的图象过点，则=．【分析】根据幂函数的概念设f（x）=xα，将点的坐标代入即可求得α值，从而求得函数解析式．【解答】解：设f（x）=xα，∵幂函数y=f（x）的图象过点（2，），∴2α=，∴α=．这个函数解析式为f（x）=，∴f（）=，故答案为：．【点评】本题主要考查了待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题．12．函数f（x）=的定义域是（，1]．【分析】根据函数成立的条件，即可得到结论．【解答】解：要使函数f（x）有意义，则，即，则0＜3x﹣2≤1，解得＜x≤1，故函数的定义域的（，1]，故答案为：（，1]【点评】本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．13．幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么，αβ=1．【分析】先确定M、N的坐标，然后求得α，β；再求αβ的值．【解答】解：BM=MN=NA，点A（1，0），B（0，1），所以MN，分别代入y=xα，y=xβ故答案为：1【点评】本题考查指数与对数的互化，幂函数的图象，是基础题．14．下列几个命题：①若函数为偶函数，则m=0；②若f（x）的定义域为[0，1]，则f（x+2）的定义域为[﹣2，﹣1]；③函数y=log2（﹣x+1）+2的图象可由y=log2（﹣x﹣1）﹣2的图象向上平移4个单位向左平移2个单位得到；④若关于x方程|x2﹣2x﹣3|=m有两解，则m=0或m＞4；其中正确的有①、②、④．【分析】①判断函数的对称性，利用偶函数的定义和性质进行判断．②根据复合函数定义域之间的关系进行判断．③根据函数图象之间的关系进行判断．④利用数形结合以及一元二次函数的性质进行判断．【解答】解：①若∵函数关于x=m对称，∴若f（x）为偶函数，则m=0；故①正确，②若f（x）的定义域为[0，1]，由0≤x+2≤1得﹣2≤x≤﹣1，即则f（x+2）的定义域为[﹣2，﹣1]；故②正确，③由y=log2（﹣x﹣1）﹣2的图象向上平移4个单位得到由y=log2（﹣x﹣1）﹣2+4=log2（﹣x﹣1）+2，然后向左平移2个单位，得到y═log2[﹣（x+2）﹣1]+2=log2（﹣x﹣3）+2，故③错误，④设f（x）=|x2﹣2x﹣3|，作出函数f（﹣x）的图象如图，若f（x）=m有两解，则m=0或m＞4；故④正确，故答案为：①、②、④．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的定义域，图象，奇偶性的性质，综合考查函数的性质的应用，但难度不大．15．函数g（x）=log2（x＞0），关于方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同实数解，则实数m的取值范围为﹣＜m≤﹣．【分析】可判断函数y=在（0，+∞）上单调递增，y=log2x在（0，2）上单调递增，从而可得|g（x）|=0或0＜|g（x）|＜1，0＜|g（x）|＜1或|g（x）|≥1；从而解得．【解答】解：当x＞0时，0＜＜2，且函数y=在（0，+∞）上单调递增，y=log2x在（0，2）上单调递增，且y＜1；故若关于方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同实数解，则|g（x）|=0或0＜|g（x）|＜1，0＜|g（x）|＜1或|g（x）|≥1；若|g（x）|=0，则2m+3=0，故m=﹣；故|g（x）|=0或|g（x）|=，不成立；故0＜|g（x）|＜1或|g（x）|≥1；故，解得，﹣＜m≤﹣；故答案为：﹣＜m≤﹣．【点评】本题考查了复合函数的应用及方程的根与函数的零点的关系应用，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，第16，17题8分，第18题10分，第19，20题每题12分，共50分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）16．（1）计算2lg5+（2）若，求的值．【分析】根据指数幂和对数的运算性质化简计算即可．【解答】（1）原式=2（lg5+lg2）+lg5（1+lg2）+（lg2）2=2+lg5+lg2（lg5+lg2）=2+lg5+lg2=2+1=3，（2）∵，∴x+x﹣1=5，∴x2+x﹣2=23，∴原式==．【点评】本题考查了指数幂和对数的运算性质，属于基础题．17．已知集合A={x|2a+1≤x＜3a+5}，B={x|3≤x≤32}，若A⊆（A∩B），求a的取值范围．【分析】由A⊆（A∩B），可得A⊆B，再分类讨论，即可求a的取值范围．【解答】解：∵A⊆（A∩B），∴A⊆B．①A=∅，2a+1≥3a+5，∴a≤﹣4…（4分）②A≠∅，3≤2a+1，3a+5≤32，∴1≤a≤9，…（4分）综上所述，a≤﹣4或1≤a≤9．【点评】本题考查集合的关系与运算，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．18．已知函数（a∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明．【分析】（1）直接根据函数f（x）为奇函数，对应的f（﹣x）+f（x）=0恒成立即可求出a 的值；（2）直接根据对数函数的单调性以及对数的值域按单调性的证明过程即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）为奇函数，∴f（﹣x）+f（x）=0，即：，则有：，即：，∴4a﹣1=0，；（2）f（x）在R上是增函数，证明如下：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）===．∵y=3x在R上是增函数，且x1＜x2，∴，即：．又3x＞0，∴，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即：f（x1）＜f（x2），故f（x）在R上是增函数．【点评】本题主要考察函数奇偶性与单调性的综合．解决问题的关键在于把问题转化为f（﹣x）+f（x）=0恒成立求出a的值．19．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为y=．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．【分析】（1）利用已知可得：一次喷洒4个单位的净化剂，浓度，分类讨论解出f（x）≥4即可；（2）设从第一次喷洒起，经x（6≤x≤10）天，可得浓度g（x）=，变形利用基本不等式即可得出．【解答】解：（1）∵一次喷洒4个单位的净化剂，∴浓度则当0≤x≤4时，由，解得x≥0，∴此时0≤x≤4．当4＜x≤10时，由20﹣2x≥4，解得x≤8，∴此时4＜x≤8．综合得0≤x≤8，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天．（2）设从第一次喷洒起，经x（6≤x≤10）天，浓度．∵14﹣x∈[4，8]，而1≤a≤4，∴，故当且仅当时，y有最小值为．令，解得，∴a的最小值为．【点评】本题考查了分段函数的意义与性质、基本不等式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决实际问题的能力，属于难题．20．已知函数f（x）=x|a﹣x|+2x．（1）当a=4时，写出函数f（x）的单调递增区间（不需要过程）；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在a∈[﹣2，4]，使得函数y=f（x）﹣at有三个零点，求实数t的取值范围．【分析】（1）利用分类讨论得出分段函数，结合二次函数单调性求解即可．（2）根据分段函数的单调性得出，最值满足即可．（3）分类讨论判断零点个数满足情况，得出函数式子，利用得出函数性质判断，结合不等式：2a求解即可．【解答】解：（1）a=4，f（x）=x|x﹣4|+2x=∴f（x）的单调递增区间[4，+∞），（﹣∞，3）（2）f（x）=∵函数f（x）在R上是增函数，∴即2﹣≤a≤2求实数a的取值范围：﹣2≤a≤2，（3）①当﹣2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，所以显然不可能有三个零点，②当a∈（2，4]时，f（x）=∵y=f（x）﹣at有三个零点，∴根据二次函数性质得出：2a即可，∴2，∴2【点评】本题综合考察了函数的概念，性质，不等式的运用，属于综合题目，难度较大，理解好零点问题即可．。

2015-2016学年某某省某某市余杭区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，则∁U A=（）A．∅B．{1，3，5} C．{1，3，6，7} D．{1，3，5，7}2．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a x与y=log a x的图象是（）A．B．C．D．3．下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是（）A．y=log2x B．y=x﹣C．y=﹣x3D．y=tanx4．把函数y=sin3x的图象向右平移个长度单位，所得曲线的对应函数式（）A．y=sin（3x﹣）B．y=sin（3x+）C．y=sin（3x﹣）D．y=sin（3x+）5．若cosθ=（﹣＜θ＜0），则cos（θ﹣）的值是（）A． B．C． D．6．函数f（x）=5|x|的值域是（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞）C．（0，1] D．（0，+∞）7．函数f（x）=的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知函数f（x）是R上的增函数，对实数a，b，若a+b＞0，则有（）A．f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b） B．f（a）+f（b）＜f（﹣a）+f（﹣b）C．f（a）﹣f（b）＞f（﹣a）﹣f（﹣b）D．f（a）﹣f（b）＜f（﹣a）﹣f（﹣b）9．若log a2＜log b2＜0，则a，b满足的关系是（）A．1＜a＜b B．1＜b＜a C．0＜a＜b＜1 D．0＜b＜a＜110．函数y=sinx+tanx，x∈[﹣，]的值域是（）A．[﹣，] B．[﹣2，2] C．[﹣﹣1，] D．[﹣﹣1，+1]11．若sin（α+β）=，则为（）A．5 B．﹣1 C．6 D．12．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，则满足f[f（a）+]=的实数a的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8二．填空题（本大题共6小题，单空每小题6分，多空每小题6分，共28分，将答案填在答题卷的相应位置．）13．若函数f（x）=3sin（x+），则f（x）的周期是；f（π）=．14．若tanα=2，则=；sinα•cosα=．15．已知某扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则该扇形的面积是．16．若函数f（x）=3x2﹣5x+a的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值X围是．17．已知f（x）=log2（4﹣ax）在区间[﹣1，3]上是增函数，则a的取值X围是．18．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x+1）=，当x∈（0，1]时，f（x）=2x，则f（log29）等于．三．解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．）19．函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象的一段如图所示（1）求此函数的解析式；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．20．已知函数f（x）=为奇函数．（1）某某数a的值；（2）试判断函数的单调性并加以证明；（3）对任意的x∈R，不等式f（x）＜m恒成立，某某数m的取值X围．21．已知函数f（x）=2x﹣1（x∈R）．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若f（x0）=，，求cos2x0的值．22．如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为AB，DA上动点，且△APQ的周长为2，设 AP=x，AQ=y．（1）求x，y之间的函数关系式y=f（x）；（2）判断∠PCQ的大小是否为定值？并说明理由；（3）设△PCQ的面积分别为S，求S的最小值．2015-2016学年某某省某某市余杭区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，则∁U A=（）A．∅B．{1，3，5} C．{1，3，6，7} D．{1，3，5，7}【考点】补集及其运算．【专题】计算题；定义法；集合．【分析】由全集U及A，求出A的补集即可．【解答】解：∵集合U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，∴∁U A={1，3，6，7}，故选：C．【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a x与y=log a x的图象是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】作图题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据底数与指数（对数）函数单调性即可判断．【解答】解：a＞1时，函数y=a x与y=log a x的均为增函数，故选：B．【点评】本题考查的知识是对数函数的图象与性质，指数函数的图象与性质，熟练掌握底数与指数（对数）函数单调性的关系是解答本题的关键．3．下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是（）A．y=log2x B．y=x﹣C．y=﹣x3D．y=tanx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由奇函数的图象关于原点对称便可判断出A错误，可判断y=x和y=在（0，1）内单调递增便可判断B错误，而根据奇函数和减函数的定义即可判断出C正确，根据y=tanx 的图象便可判断出D错误．【解答】解：A．根据y=log2x的图象知该函数不是奇函数，∴该选项错误；B．y=x和在（0，1）内都单调递增，∴在（0，1）内单调递增，∴该选项错误；C．y=﹣x3为奇函数，且x增大时，y减小，∴该函数在（0，1）内单调递减，∴该选项正确；D．由y=tanx的图象知该函数在（01，1）内单调递增，∴该选项错误．故选C．【点评】考查奇函数图象的对称性，一次函数和反比例函数的单调性，奇函数和减函数的定义，清楚y=log2x和y=tanx的图象．4．把函数y=sin3x的图象向右平移个长度单位，所得曲线的对应函数式（）A．y=sin（3x﹣）B．y=sin（3x+）C．y=sin（3x﹣）D．y=sin（3x+）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可求解．【解答】解：把函数y=sin3x的图象向右平移个长度单位，所得曲线的对应函数式为y=sin[3（x﹣）]=sin（3x﹣）．故选：A．【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．5．若cosθ=（﹣＜θ＜0），则cos（θ﹣）的值是（）A． B．C． D．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由同角三角函数基本关系可得sinθ，代入两角差的余弦公式计算可得．【解答】解：∵﹣＜θ＜0且cosθ=，∴sinθ=﹣=﹣，∴cos（θ﹣）=cosθ+sinθ=+=．故选：C．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．6．函数f（x）=5|x|的值域是（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞）C．（0，1] D．（0，+∞）【考点】指数函数的图象变换．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】在x上加绝对值的图象表明去掉绝对值后的原函数图象只保留x＞0部分，然后关于y轴对称后得到的图象就是填绝对值的图象．【解答】解：∵y=5x为指数函数，且其图象是过（0，1），单调递增的，而y=5|x|的左侧图象是指数函数y=5x的图象中y轴右侧的图象关于y轴对称后产生的新的图象，具体图象如下：故选：B．【点评】本题主要考查指数函数图象，和在x上填绝对值后的图象特点．属于基础题．7．函数f（x）=的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式．【分析】作出分段函数的图象，数形结合可得．【解答】解：作出分段函数f（x）=的图象（如图），数形结合可得最大值为4，故选：D．【点评】本题考查函分段函数图象，准确作图是解决问题的关键，属中档题．8．已知函数f（x）是R上的增函数，对实数a，b，若a+b＞0，则有（）A．f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b） B．f（a）+f（b）＜f（﹣a）+f（﹣b）C．f（a）﹣f（b）＞f（﹣a）﹣f（﹣b）D．f（a）﹣f（b）＜f（﹣a）﹣f（﹣b）【考点】函数单调性的性质．【专题】证明题．【分析】先利用不等式的性质将a+b＞0转化为两实数的大小形式，再利用函数f（x）的单调性，比较函数值的大小，最后利用同向不等式相加性得正确不等式【解答】解：∵a+b＞0，∴a＞﹣b，b＞﹣a∵函数f（x）是R上的增函数∴f（a）＞f（﹣b），f（b）＞f（﹣a）∴f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b）故选 A【点评】本题考查了不等式的基本性质，利用函数的单调性比较大小的方法，转化化归的思想方法9．若log a2＜log b2＜0，则a，b满足的关系是（）A．1＜a＜b B．1＜b＜a C．0＜a＜b＜1 D．0＜b＜a＜1【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用对数函数的性质求解．【解答】解：∵log a2＜log b2＜0=log a1，∴0＜a＜1，0＜b＜1，∵2＞1，要使log b2＜0∴0＜b＜1∵log a2＜log b2＜0，∴a＞b，且0＜a＜1，∴0＜b＜a＜1．故选：D．【点评】本题考查两个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．10．函数y=sinx+tanx，x∈[﹣，]的值域是（）A．[﹣，] B．[﹣2，2] C．[﹣﹣1，] D．[﹣﹣1，+1]【考点】函数的值域．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】直接利用函数的单调性求得函数值域．【解答】解：∵函数y=sinx+tanx在x∈[﹣，]上为增函数，∴，．故选：D．【点评】本题考查函数值域的求法，训练了利用函数单调性求函数的值域，是基础题．11．若sin（α+β）=，则为（）A．5 B．﹣1 C．6 D．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题．【分析】由两角和差的正弦公式，解得sinαcosβ=，cosαsinβ=，相除求得的值．【解答】解：由题意可得sinαcosβ+cosαsinβ=，sinαcosβ﹣cosαsinβ=，解得sinαcosβ=，cosαsinβ=，∴=5，故选A．【点评】本题考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，求出sinαcosβ=，cosαsinβ=，是解题的关键．12．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，则满足f[f（a）+]=的实数a的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．【专题】数形结合；分类讨论；转化法；函数的性质及应用．【分析】利用换元法将函方程转化为f（t）=，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：设t=f（a）+，则条件等价为f（t）=，若x≤0，则﹣x≥0，∵当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，∴当﹣x≥0时，f（﹣x）=﹣（﹣x﹣1）2+1=﹣（x+1）2+1，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=﹣（x+1）2+1=f（x），即f（x）=﹣（x+1）2+1，x≤0，作出函数f（x）的图象如图：当x≥0时，由﹣（x﹣1）2+1=，得（x﹣1）2=，则x=1+或x=1﹣，∵f（x）为偶函数，∴当x＜0时，f（x）=的解为x3=﹣1﹣，x4=﹣1+；综上所述，f（t）=得解为t1=1+或t2=1﹣，t3=﹣1﹣，t4=﹣1+；由t=f（a）+得，若t1=1+，则f（a）+=1+，即f（a）=+＞1，此时a无解，若t2=1﹣，则f（a）+=1﹣，即f（a）=﹣﹣∈（﹣∞，0），此时a有2个解，若t3=﹣1﹣，则f（a）+=﹣1﹣，即f（a）=﹣﹣∈（﹣∞，0），此时a有2个解，若t4=﹣1+，则f（a）+=﹣1+，即f（a）=﹣+∈（﹣∞，0），此时a有2个解，故共有2+2+2=6个解．故选：C．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法结合数形结合进行求解是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二．填空题（本大题共6小题，单空每小题6分，多空每小题6分，共28分，将答案填在答题卷的相应位置．）13．若函数f（x）=3sin（x+），则f（x）的周期是4π；f（π）=．【考点】正弦函数的图象．【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】利用三角函数的周期公式可求周期，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】解：∵f（x）=3sin（x+），∴f（x）的周期T==4π，f（π）=3sin（+）=3sin=3sin=．故答案为：4π，．【点评】本题主要考查了三角函数的周期公式，特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．14．若tanα=2，则=2；sinα•cosα=．【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数的化简求值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵tanα=2，则==tanα=2，sinα•cosα===，故答案为：2；．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．15．已知某扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则该扇形的面积是16．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积．【解答】解：设扇形的半径为：R，所以2R+2R=16，所以R=4，扇形的弧长为：8，半径为4，扇形的面积为：S=×8×4=16故答案为：16．【点评】本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，考查计算能力．16．若函数f（x）=3x2﹣5x+a的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值X围是（﹣12，0）．【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）=3x2﹣5x+a的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，得到，解得即可．【解答】解：∵f（x）=3x2﹣5x+a的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，∴，即解得﹣12＜a＜0，故a的取值X围为（﹣12，0），故答案为：（﹣12，0）．【点评】本题考查函数零点的判断定理，理解零点判定定理的内容，将题设条件转化为关于参数的不等式组是解本题的关键．17．已知f（x）=log2（4﹣ax）在区间[﹣1，3]上是增函数，则a的取值X围是﹣4＜a＜0．【考点】对数函数的图象与性质；复合函数的单调性．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】若f（x）=log2（4﹣ax）在区间[﹣1，3]上是增函数，则内函数t=4﹣ax在区间[﹣1，3]上是增函数，且恒为正，进而得到答案．【解答】解：∵f（x）=log2（4﹣ax）在区间[﹣1，3]上是增函数，故内函数t=4﹣ax在区间[﹣1，3]上是增函数，且恒为正，故，解得：﹣4＜a＜0，故答案为：﹣4＜a＜0．【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质是解答的关键．18．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x+1）=，当x∈（0，1]时，f（x）=2x，则f（log29）等于．【考点】函数的周期性；函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据题意，算出f（x+2）=f（x），得f（x）是最小正周期为2的周期函数．从而算出f（log29）=f（log2）．由x∈（0，1]时f（x）=2x，结合f（x+1）f（x）=1算出f（log2）==，即可得到所求的函数值．【解答】解：∵f（x+1）=，∴f（x+2）===f（x），可得f（x）是最小正周期为2的周期函数∵8＜9＜16，2＞1∴log28＜log29＜log216，即log29∈（3，4）因此f（log29）=f（log29﹣2）=f（log2）∵f（log2）==而f（log2）==，∴f（log29）=f（log2）==故答案为：【点评】本题给出函数满足的条件，求特殊自变量对应的函数值．着重考查了函数的周期性及其证明、对数的运算法则和函数性质的理解等知识，属于中档题．三．解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．）19．函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象的一段如图所示（1）求此函数的解析式；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由图象可得A值，由周期公式可得ω，代点结合角的X围可得φ，可得解析式；（2）由和三角函数的最值可得．【解答】解：（1）由图象可得A=，由=﹣﹣（﹣）=可得周期T=π，∴ω==2，∴f（x）=sin（2x+φ），∵，∴又0＜φ＜π，∴，故，可得，∴此函数的解析式为：；（2）∵，∴，∴f（x）在即x=0时取得最大值，f（x）在即时取得最小值．【点评】本题考查三角函数的图象和解析式，涉及三角函数的最值，属中档题．20．已知函数f（x）=为奇函数．（1）某某数a的值；（2）试判断函数的单调性并加以证明；（3）对任意的x∈R，不等式f（x）＜m恒成立，某某数m的取值X围．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题．【专题】证明题；综合题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】（1）解f（0）=0可得a值；（2）由单调性的定义可得；（3）由（1）（2）可得函数f（x）为增函数，当x趋向于正无穷大时，f（x）趋向于1，可得m≥1．【解答】解：（1）由函数为奇函数可得f（0）==0，解得a=﹣1；（2）由（1）可得f（x）===1﹣，可得函数在R上单调递增，下面证明：任取实数x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=＜0，∴函数f（x）=R上的增函数；（3）∵函数f（x）为增函数，当x趋向于正无穷大时，f（x）趋向于1，要使不等式f（x）＜m恒成立，则需m≥1【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性以及恒成立问题，属中档题．21．已知函数f（x）=2x﹣1（x∈R）．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若f（x0）=，，求cos2x0的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简函数可得解析式f（x）=2sin（2x+），由2kπ≤2x+≤2kπ+，即可解得f（x）的单调递减区间．（2）由（1）及，则可求，由，可求2x0+∈[，]，解得cos（2x0+）=﹣，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．2分）【解答】（本题满分为12分）解：（1）由f（x）=2x﹣1得：f（x）=（2sinxcosx）+（2cos2x﹣1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．…由2kπ≤2x+≤2kπ+得k≤x≤k，（k∈Z）．所以函数f（x）的单调递减区间是[k，k]，（k∈Z）．…（2）由（1）知，，又由已知，则．…因为，则2x0+∈[，]，因此，所以cos（2x0+）=﹣，…于是cos2x0=cos[（2x0+）﹣]=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=（﹣）×+=．…【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，两角差的余弦函数公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22．如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为AB，DA上动点，且△APQ的周长为2，设 AP=x，AQ=y．（1）求x，y之间的函数关系式y=f（x）；（2）判断∠PCQ的大小是否为定值？并说明理由；（3）设△PCQ的面积分别为S，求S的最小值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法．【专题】综合题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；不等式．【分析】（1）由已知可得PQ=2﹣x﹣y，根据勾股定理有（2﹣x﹣y）2=x2+y2，即可求x，y之间的函数关系式y=f（x）；（2）求得∴∠DCQ+∠BCP=，即可判断∠PCQ的大小；（3）表示△PCQ的面积，利用基本不等式求S的最小值．【解答】解：（1）由已知可得PQ=2﹣x﹣y，根据勾股定理有（2﹣x﹣y）2=x2+y2，…化简得：y=（0＜x＜1）…（2）tan∠DCQ=1﹣y，tan∠BCP=1﹣x，…tan（∠DCQ+∠BCP）==1 …∵∠DCQ+∠BCP∈（0，），∴∠DCQ+∠BCP=，∴∠PCQ=﹣（∠DCQ+∠BCP）=，（定值）…（3）S=1﹣﹣（1﹣x）﹣（1﹣y）=（x+y﹣xy）=•…令t=2﹣x，t∈（1，2），∴S=•（t+）﹣1，∴t=时，S的最小值为﹣1．…【点评】本题考查三角函数知识，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

2015-2016学年浙江省杭州市学军中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知全集为U=R，集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}，N={y|y=x2+1}，则M∩（∁U N）为（）A．{x|﹣1≤x＜1} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|1≤x≤3} D．{x|1＜x≤3}2．已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），且函数的图象如图所示，则点（ω，φ）的坐标是（）A．B． C．D．4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y=2x2+1，值域为{9}的“孪生函数”就有三个，那么解析式为y=log2（x2﹣1），值域为{1，5}的“孪生函数”共有（）A．6个B．7个C．8个D．9个5．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，且f（x）≤f（）对x∈R恒成立．记P=f（），Q=f（），R=f（），则P，Q，R的大小关系是（）A．R＜P＜Q B．Q＜R＜P C．P＜Q＜R D．Q＜P＜R6．已知函数y=sinx+acosx的图象关于x=对称，则函数y=asinx+cosx的图象关于直线（）A．x=对称B．x=对称C．x=对称D．x=π对称7．对于实数a和b，定义运算“*”：a*设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1•x2•x3的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=﹣a（x≠0）有且仅有3个零点，则a的取值范围是（）A．[，]∪[，]B．（，]∪[，） C．（，]∪[，） D．[，]∪[，]9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[]B．[] C．[]D．[]10．定义在R上的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0（其中m＞2）有n个不同的实数根x1，x2，…x n，则f（x i）的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，共28分．）11．函数f（x）=cos2x+sinxcosx﹣1的最小正周期是，单调递增区间是．12．设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（3x﹣1）成立的x的取值范围是．13．若已知不等式2x﹣1＞m（x2﹣1）对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围为．14．已知α，β为锐角，sinα=，sinβ=，则α+2β=．15．设函数f（x）=，对任意x∈R都有=，若函数g（x）=3sin（ωx+φ）﹣2，则的值为．16．已知定义在R上的单调递增奇函数f（x），若当0≤θ≤时，f（cos2θ+2msinθ）+f（﹣2m﹣2）＜0恒成立，则实数m的取值范围是．17．若实数x，y满足，则xy的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．已知集合P=，y=log2（ax2﹣2x+2）的定义域为Q．（1）若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围；（2）若方程，求实数a的取值的取值范围．19．已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0；（1）若y=f（x）在上单调递增，求ω的取值范围；（2）令ω=4，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有20个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．20．已知函数f（x）=ax2﹣x﹣3，（1）求a的范围，使y=f（x）在[﹣2，2]上不具单调性；（2）当时，函数f（x）在闭区间[t，t+1]上的最大值记为g（t），求g（t）的函数表达式；（3）第（2）题的函数g（t）是否有最值，若有，请求出；若没有，请说明理由．21．已知函数f t（x）=cos2x+2tsinxcosx﹣sin2x（1）若，试求sin2α的值．（2）定义在上的函数g（x）的图象关于x=对称，且当x≤时，g（x）的图象与（x）的图象重合．记M α={x|g（x）=α}且Mα≠∅，试求Mα中所有元素之和．22．已知函数f（x）=x2﹣2ax+a+2，（1）若f（x）≤0的解集A⊆[0，3]，求实数a的取值范围；（2）若g（x）=f（x）+|x2﹣1|在区间（0，3）内有两个零点x1，x2（x1＜x2），求实数a的取值范围．2015-2016学年浙江省杭州市学军中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知全集为U=R，集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}，N={y|y=x2+1}，则M∩（∁U N）为（）A．{x|﹣1≤x＜1} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|1≤x≤3} D．{x|1＜x≤3}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】先化简集合M，再计算M∩（C U N）．【解答】解：∵M={x|（x﹣3）（x+1）≤0}={x|﹣1≤x≤3}，N={y|y=x2+1}={y|y≥1}，∴∁U N={y|y＜1}，∴M∩（C U N）={x|﹣1≤x＜1}故选：A．【点评】本题主要考查了集合的交，补运算，属基础题型，较为简单．2．已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式．【分析】由题意看命题“a＞b”与命题“a﹣c＞b﹣d”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【解答】解：∵a﹣c＞b﹣d，c＞d两个同向不等式相加得a＞b但c＞d，a＞b⇒a﹣c＞b﹣d．例如a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣3时，a﹣c＜b﹣d．故选B．【点评】此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题．3．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），且函数的图象如图所示，则点（ω，φ）的坐标是（）A．B． C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题．【分析】根据图象可知函数半个周期为求得ω；再根据函数过点，把此点代入函数即可求得φ，进而可知点（ω，φ）的坐标．【解答】解：，∴ω=4，它的图象经过点，得，∴，∴，取k=0，得．∴点（ω，φ）的坐标是故选B【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式的问题．属基础题．4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y=2x2+1，值域为{9}的“孪生函数”就有三个，那么解析式为y=log2（x2﹣1），值域为{1，5}的“孪生函数”共有（）A．6个B．7个C．8个D．9个【考点】函数的值域．【专题】新定义；分类讨论；转化法；函数的性质及应用．【分析】先确定函数的自变量是在集合{}，{﹣}，{﹣，}取其一，再在{}，{﹣}，{﹣，}取其一合并而成，故有9中可能．【解答】解：根据题意，因为函数y=f（x）=log2（x2﹣1）的值域为{1，5}，则对于各函数值考察如下：①令log2（x2﹣1）=1，解得x=±，所以，函数的定义域中对于±有下列三种可能，{}，{﹣}，{﹣，}；②令log2（x2﹣1）=5，解得x=±，所以，函数的定义域中对于±有下列三种可能，{}，{﹣}，{﹣，}；而函数f（x）的定义域是在①，②中各取一个集合，再取并集而构成，所以，有不同的抽取方法N=3×3=9种．故答案为：D．【点评】本题主要考查了函数值域的应用，即根据函数的值域确定函数自变量取值的集合，体现了分类讨论和转化的解题思想，属于中档题．5．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，且f（x）≤f（）对x∈R恒成立．记P=f（），Q=f（），R=f（），则P，Q，R的大小关系是（）A．R＜P＜Q B．Q＜R＜P C．P＜Q＜R D．Q＜P＜R【考点】函数恒成立问题．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由f（x）≤f（）对x∈R恒成立可得φ=2k，k∈Z．由此求得φ值，代入原函数解析式，然后求得P=f（），Q=f（），R=f（）的取值范围比较大小．【解答】解：∵f（x）=sin（2x+φ），且f（x）≤f（）对x∈R恒成立，∴φ=2k，k∈Z．φ=，k∈Z．∴f（x）=sin（2x+）=sin（2x+）．则P=f（）=sin（2×+）=sin∈（﹣1，﹣），Q=f（）=sin（2×+）=sin∈（﹣，0），R=f（）=sin（2×+）=sin∈（0，1）．∴P＜Q＜R．故选：C．【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查了转化思想方法，考查了三角函数的值得求法，是中档题．6．已知函数y=sinx+acosx的图象关于x=对称，则函数y=asinx+cosx的图象关于直线（）A．x=对称B．x=对称C．x=对称D．x=π对称【考点】正弦函数的对称性；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．【分析】利用两角和的正弦函数化简函数y=sinx+acosx为y=sin（x+φ），tanφ=a，通过函数的图象关于x=对称，推出+φ=kπ+，k∈z，可求得φ=kπ﹣，由此可求得a=tanφ=tan（kπ﹣）=﹣，将其代入函数y=asinx+cosx化简后求对称轴即可．【解答】解：y=sinx+acosx变为y=sin（x+φ），（令tanφ=a）又函数的图象关于x=对称，∴+φ=kπ+，k∈z，可求得φ=kπ﹣，由此可求得a=tanφ=tan（kπ﹣）=﹣，函数y=sinx+cosx=sin（x+θ），（tanθ=﹣）其对称轴方程是x+θ=kπ+，k∈z，即x=kπ+﹣θ又tanθ=﹣，故θ=k1π﹣，k1∈z故函数y=asinx+cosx的图象的对称轴方程为x=（k﹣k1）π++=（k﹣k1）π+，k﹣k1∈z，当k﹣k1=1时，对称轴方程为x=故选C．【点评】本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性质，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质．7．对于实数a和b，定义运算“*”：a*设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1•x2•x3的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由新定义，可以求出函数的解析式，进而求出x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，实数m的取值范围，及三个实根之间的关系，进而求出x1•x2•x3的取值范围．【解答】解：由2x﹣1≤x﹣1，得x≤0，此时f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1）=﹣（2x﹣1）2+2（2x﹣1）（x﹣1）﹣1=﹣2x，由2x﹣1＞x﹣1，得x＞0，此时f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1）=（x﹣1）2﹣（2x﹣1）（x﹣1）=﹣x2+x，∴f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1）=，作出函数的图象可得，要使方程f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，不妨设x1＜x2＜x3，则0＜x2＜＜x3＜1，且x2和x3，关于x=对称，∴x 2+x3=2×．则x2+x3，0＜x2x3，等号取不到．当﹣2x=时，解得x=﹣，∴﹣＜x1＜0，∵0＜x2x3，∴＜x1•x2•x3＜0，即x1•x2•x3的取值范围是，故选：A．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，根据已知新定义，求出函数的解析式，并分析出函数图象是解答的关键．8．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=﹣a（x≠0）有且仅有3个零点，则a的取值范围是（）A．[，]∪[，]B．（，]∪[，） C．（，]∪[，） D．[，]∪[，]【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（x）=﹣a=0，故=a；分x＞0和x＜0的情况讨论，显然有a≥0，从而得到答案．【解答】解：因为f（x）=﹣a=0，故=a；分x＞0和x＜0的情况讨论，显然有a≥0．若x＞0，此时[x]≥0；若[x]=0，则=0；若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，故＜≤1，即＜a≤1．且随着[x]的增大而增大．若x＜0，此时[x]＜0；若﹣1≤x＜0，则≥1；若x＜﹣1，因为[x]≤x＜﹣1；[x]≤x＜[x]+1，故1≤＜，即1≤a＜，且随着[x]的减小而增大．又因为[x]一定是不同的x对应不同的a值．所以为使函数f（x）=﹣a有且仅有3个零点，只能使[x]=1，2，3；或[x]=﹣1，﹣2，﹣3．若[x]=1，有＜a≤1；若[x]=2，有＜a≤1；若[x]=3，有＜a≤1；若[x]=4，有＜a≤1；若[x]=﹣1，有a＞1；若[x]=﹣2，有1≤a＜2；若[x]=﹣3，有1≤a＜；若[x]=﹣4，有1≤a＜综上所述，＜a≤或≤a＜，故选：B．【点评】本题考查了函数的零点问题，考查了分类讨论思想，考查了新定义问题，是一道中档题．9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[]B．[] C．[]D．[]【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】可以去绝对值号得到，这样根据f（x）为奇函数便可画出f（x）的图象，而f（x﹣1）是由f（x）的图象向右平移1个单位得到，根据f （x﹣1）≤f（x）便知f（x﹣1）的图象恒在f（x）图象的下方，或部分重合，结合图象便可得到1﹣3a2≥3a2，这样解该不等式便可得出实数a的取值范围．【解答】解：=；∵f（x）为奇函数，图象关于原点对称，∴作出f（x）的图象如下：而函数y=f（x﹣1）的图象是将y=f（x）图象向右平移1个单位得到的；要使任意的x∈R，恒有f（x﹣1）≤f（x），只需f（x﹣1）的图象恒在f（x）的图象下方或部分重合；∴只需y=f（x﹣1）与x轴最左边的交点在y=f（x）与x轴最右边交点的右边或重合；∴1﹣3a2≥3a2；即；∴；∴实数a的取值范围为．故选：B．【点评】考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，能画出分段函数的图象，一次函数及常数函数图象的画法，函数图象沿x轴方向上的平移变换，f（x﹣1）≤f（x）反映在函数图象上的特点，以及数形结合解题的方法．10．定义在R上的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0（其中m＞2）有n个不同的实数根x1，x2，…x n，则f（x i）的值为（）A．B．C．D．【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】解f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0得：f（x）=m﹣1，或f（x）=1，结合函数f（x）=，的图象求出x i的值，代入可得答案．【解答】解：解f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0得：f（x）=m﹣1，或f（x）=1，分段函数f（x）=，的图象如图所示由图可知，当f（x）=1时，它有三个根1或2或3．当f（x）=m﹣1时，它有两个根x1，x2，且这两个根关于x=2对称．∴x1+x2=4，故方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0（其中m＞2）有5个不同的实数根，x i=10，故f（x i）=，故选：B【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系、函数的图象等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，共28分．）11．函数f（x）=cos2x+sinxcosx﹣1的最小正周期是π，单调递增区间是[kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【专题】定义法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】利用辅助角公式结合倍角公式将函数进行化简，利用函数周期和单调性的性质进行求解即可．【解答】解：f（x）=cos2x+sinxcosx﹣1=[2cos2x+2sinxcosx﹣2]=（sin2x+cos2x﹣1）=sin （2x+）﹣，则函数的周期T==π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，故答案为：π，．【点评】本题主要考查三角函数的化简以及三角函数的性质的应用，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键．12．设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（3x﹣1）成立的x的取值范围是（，）．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据函数的表达式可知函数f（x）为偶函数，判断函数在x大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，可得|x|＞|3x﹣1|，解绝对值不等式即可．【解答】解：f（x）=ln（1+|x|）﹣，定义域为R，∵f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）=ln（1+x）﹣值函数单调递增，根据偶函数性质可知：得f（x）＞f（3x﹣1）成立，∴|x|＞|3x﹣1|，∴x2＞（3x﹣1）2，∴x的范围为（，），故答案为（，）．【点评】考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．13．若已知不等式2x﹣1＞m（x2﹣1）对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围为．【考点】一元二次不等式与二次函数．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；分类法．【分析】构造变量m的函数，对x2﹣1＞0，x2﹣1＜0，x2﹣1=0，进行分类讨论，利用|m|≤2时函数的取值，分别求出x的范围，然后求并集即可．【解答】解：构造变量m的函数求解：2x﹣1＞m（x2﹣1）即：（x2﹣1）m﹣（2x﹣1）＜0 构造关于m的函数f（m）=（x2﹣1）m﹣（2x﹣1），|m|≤2即﹣2≤m≤2．1）当x2﹣1＞0时，则f（2）＜0 从而2x2﹣2x﹣1＜0 解得：又x2﹣1＞0，即x＜﹣1 或x＞1，所以1＜x＜；2）当x2﹣1＜0时，则f（﹣2）＜0 可得﹣2x2﹣2x+3＜0 从而2x2+2x﹣3＞0解得x＜或x＞又﹣1＜x＜1，从而＜x＜13）当x2﹣1=0时，则f（m）=1﹣2x＜0 从而x＞，故x=1；综上有：＜x＜故答案为：【点评】本题考查一元二次不等式与二次函数，考查转化思想，分类讨论思想，是中档题．14．已知α，β为锐角，sinα=，sinβ=，则α+2β=．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．【分析】由题意和同角三角函数基本关系可得cosα和cosβ，进而由二倍角公式可得sin2β和cos2β，可得cos（α+2β）的值，缩小角的范围可得．【解答】解：∵α，β为锐角，sinα=，sinβ=，∴cosα=，cosβ=，∴sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=cos2β﹣sin2β=，∴cos（α+2β）==又sinα=＜，sinβ=＜，∴0＜α＜且0＜β＜，∴0＜α+2β＜，∴α+2β=，故答案为：．【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及知值求角问题和二倍角公式，缩小角的范围是解决问题的关键，属中档题．15．设函数f（x）=，对任意x∈R都有=，若函数g（x）=3sin（ωx+φ）﹣2，则的值为﹣2．【考点】余弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得函数f（x）的图象关于直线x=对称，故f（）=cos（ωx+φ）=±1，可得sin（ω•+φ）=0，从而求得g（）=3sin（ω•+φ）﹣2的值．【解答】解：由题意可得函数f（x）=的图象关于直线x=对称，故f（）=cos（ωx+φ）=±1，∴sin（ω•+φ）=0，∴g（）=3sin（ω•+φ）﹣2=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，同角三角函数的基本关系，属于基础题．16．已知定义在R上的单调递增奇函数f（x），若当0≤θ≤时，f（cos2θ+2msinθ）+f（﹣2m﹣2）＜0恒成立，则实数m的取值范围是m＞﹣．【考点】函数恒成立问题．【专题】分类讨论；换元法；函数的性质及应用．【分析】根据函数为奇函数可得﹣f（﹣2m﹣2）=f（2m+2），利用单调性可得cos2θ+2msinθ＜2m+2恒成立．利用换元法令t=sinθ∈[0，1]，真理为t2﹣2mt+2m+1＞0在t∈[0，1]恒成立．对二次函数的对称轴分别讨论，求出区间内的最小值即可．【解答】解：由条件可得：f（cos2θ+2msinθ）＜﹣f（﹣2m﹣2）由于函数是定义在R上的单调递增奇函数，∴cos2θ+2msinθ＜2m+2恒成立．设t=sinθ∈[0，1]，∴t2﹣2mt+2m+1＞0在t∈[0，1]恒成立．只要g（t）=t2﹣2mt+2m+1在[0，1]的最小值大于0即可．（1）当m＜0时，最小值为g（0）=2m+1＞0，所以可得：0＞m＞﹣（2）当0≤m≤1时，最小值为g（m）=﹣m2+2m+1＞0，所以可得：0≤m≤1（3）当m＞1时，最小值为g（1）=2＞0恒成立，得：m＞1，（13分）综之：m＞﹣，故答案为m＞﹣．【点评】考查了奇函数的性质和应用，二次函数闭区间上最小值的求法．属于基础题型，应熟练掌握．17．若实数x，y满足，则xy的最小值为．【考点】基本不等式；余弦定理．【专题】压轴题；不等式的解法及应用．【分析】配方可得2cos2（x+y﹣1）==（x﹣y+1）+，由基本不等式可得（x+y+1）+≤2，或（x﹣y+1）+≤﹣2，进而可得cos（x+y﹣1）=±1，x=y=，由此可得xy的表达式，取k=0可得最值．【解答】解：∵，∴2cos2（x+y﹣1）=∴2cos2（x+y﹣1）=，故2cos2（x+y﹣1）==（x﹣y+1）+，由基本不等式可得（x﹣y+1）+≥2，或（x﹣y+1）+≤﹣2，∴2cos2（x+y﹣1）≥2，由三角函数的有界性可得2cos2（x+y﹣1）=2，故cos2（x+y﹣1）=1，即cos（x+y﹣1）=±1，此时x﹣y+1=1，即x=y∴x+y﹣1=kπ，k∈Z，故x+y=2x=kπ+1，解得x=，故xy=x•x=，当k=0时，xy的最小值，故答案为：【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用，余弦函数的单调性，得出cos（x+y﹣1）=±1是解决问题的关键，属中档题．三、解答题（本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．已知集合P=，y=log2（ax2﹣2x+2）的定义域为Q．（1）若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围；（2）若方程，求实数a的取值的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；对数函数图象与性质的综合应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）是一个存在性的问题，此类题求参数一般转化为求最值．若是存在大于某式的值成立，一般令其大于其最小值，（2）也是一个存在性的问题，其与（1）不一样的地方是其为一个等式，故应求出解析式对应函数的值域，让该参数是该值域的一个元素即可保证存在性．【解答】解：（1）由已知Q={x|ax2﹣2x+2＞0}，若P∩Q≠∅，则说明在内至少有一个x值，使不等式ax2﹣2x+2＞0，即，在．∴a的取值范围是a＞﹣4；（2）∵方程，∴∵∴．【点评】考查存在性问题求参数范围，本题中两个小题都是存在性，因为其转化的最终形式不一样，所以求其参数方式不一样，一是其最值，一是求值域．答题者应细心体会其不同．此类题一般难度较大，要求有较强的逻辑推理能力进行正确的转化．19．已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0；（1）若y=f（x）在上单调递增，求ω的取值范围；（2）令ω=4，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有20个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性．【专题】转化思想；定义法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据三角函数的单调性的性质建立不等式的关系进行求解即可．（2）根据三角函数的图象关系，求出函数的解析式，利用三角函数的性质进行求解即可．【解答】解：（1）因为ω＞0，根据题意有…．（6分），（2）f（x）=2sin（4x），或，即g（x）的零点相离间隔依次为和，故若y=g（x）在[a，b]上至少含有20个零点，则b﹣a的最小值为…（14分）【点评】本题主要考查三角函数的单调性和函数零点的应用，根据条件建立不等式关系是解决本题的关键．20．已知函数f（x）=ax2﹣x﹣3，（1）求a的范围，使y=f（x）在[﹣2，2]上不具单调性；（2）当时，函数f（x）在闭区间[t，t+1]上的最大值记为g（t），求g（t）的函数表达式；（3）第（2）题的函数g（t）是否有最值，若有，请求出；若没有，请说明理由．【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】（1）有不单调可知对称轴在（﹣2，2）之间，列出不等式解出；（2）对f（x）在[t，t+1]上的单调性进行讨论，分别求出g（t）；（3）分段讨论g（t）的单调性与最值．【解答】解：（1）∵y=f（x）在[﹣2，2]上不具单调性，∴﹣2＜2，解得a＞0或a．（2）当时，，当t≥1时，f（x）在[t，t+1]上是增函数，∴g（t）=f（t+1）=t2﹣．当t+1≤1，即t≤0时，f（x）在[t，t+1]上是减函数，∴g（t）=f（t）=t2﹣t﹣3．当t＜1＜t+1时，若t+1﹣1≥1﹣t，即≤t＜1，g（t）=f（t+1）=t2﹣．若t+1﹣1＜1﹣t，即0＜t＜时，g（t）=f（t）=t2﹣t﹣3．综上，g（t）=．（3）当t时，g（t）=（t﹣1）2﹣，∴g（t）在（﹣∞，）上是减函数，故g（t）＞g（）；当t时，g（t）=t2﹣，∴g（t）在[，+∞）上是增函数，∴g（t）≥g（）=﹣，综上：g（t）有最小值﹣，无最大值．【点评】本题考查了二次函数的单调性与最值，分类讨论思想是解决二次函数常用的方法．21．已知函数f t（x）=cos2x+2tsinxcosx﹣sin2x（1）若，试求sin2α的值．（2）定义在上的函数g（x）的图象关于x=对称，且当x≤时，g（x）的图象与（x）的图象重合．记M α={x|g（x）=α}且Mα≠∅，试求Mα中所有元素之和．【考点】二倍角的正弦；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由倍角公式，降幂公式化简已知等式可得sinα+cosα=，两边平方，由倍角公式即可得解．（2）依题意得，，由，可求g（x）∈[﹣，2]，记Mα中所有的元素之和为S，由图象及对称性分类讨论即可得解．【解答】（本题满分为15分）解：（1）∵由题意可得：，又∵，∴．（6分）（2）依题意得，，∵，∴，可得：g（x）∈[﹣，2]．记Mα中所有的元素之和为S，由图象及对称性得：当时，，当时，，当时，，当a=2时，．（15分）【点评】本题主要考查了倍角公式，降幂公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．22．已知函数f（x）=x2﹣2ax+a+2，（1）若f（x）≤0的解集A⊆[0，3]，求实数a的取值范围；（2）若g（x）=f（x）+|x2﹣1|在区间（0，3）内有两个零点x1，x2（x1＜x2），求实数a的取值范围．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；选作题；函数的性质及应用．【分析】（1）讨论集合A是否是空集，从而求解，（2）g（x）=x2﹣2ax+a+2+|x2﹣1|=，首先讨论a是否是0，在a≠0时，讨论函数的零点的位置，从而确定实数a所满足的条件，从而求其范围．【解答】解：（1）若A=ϕ，则△=4a2﹣4（a+2）=4（a﹣2）（a+1）＜0⇒﹣1＜a＜2，若A≠ϕ，则．综上可得：．（2）g（x）=x2﹣2ax+a+2+|x2﹣1|=．若a=0，则g（x）=，无零点；若a≠0，则﹣2ax+a+3在（0，1）单调，∴其在（0，1）内至多有一个零点．①若0＜x1＜1≤x2＜3，则，解得，3＜a≤，经检验，a=时不成立，②若1≤x1＜x2＜3，由，解得，1+＜a≤3，综上所述，实数a的取值范围是（1+，）．【点评】本题考查了函数的零点的问题，数学讨论的思想，讨论比较复杂，要注意细心，属于难题．。

2015-2016学年浙江省杭州高级中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）．1．（3.00分）设集合A={x|x2+2x﹣3＞0}，R为实数，Z为整数集，则（∁R A）∩Z=（）A．{x|﹣3＜x＜1}B．{x|﹣3≤x≤1}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}2．（3.00分）给定集合M={，k∈Z}，N={x|cos2x=0}，P={a|sin2a=1}，则下列关系式中，成立的是（）A．P⊂N⊂M B．P=N⊂M C．P⊂N=M D．P=N=M3．（3.00分）点P从（﹣1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动π弧长到达Q，则Q点坐标（）A．（﹣，）B．（﹣，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）4．（3.00分）已知幂函数为奇函数，且在区间（0，+∞）上是减函数，则f（x）=（）A．y=x3 B．y=x C．y=x﹣3D．y=x﹣25．（3.00分）已知tanθsinθ＜0，且|sinθ+cosθ|＜1，则角θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角6．（3.00分）给出下列说法：①函数的对称中心是；②函数单调递增区间是；③函数的定义域是；④函数y=tanx+1在上的最大值为，最小值为0．其中正确说法有几个（）A．1 B．2 C．3 D．4的是（）A．若﹣3≤m＜n，则f（m）＜f（n）B．若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）C．若f（m）＜f（n），则m2＜n2D．若f（m）＜f（n），则m3＜n3 8．（3.00分）若函数f（x）=ax2+b|x|+c（a≠0）有四个单调区间，则实数a，b，c满足（）A．b2﹣4ac＞0，a＞0 B．b2﹣4ac＞0 C．﹣＞0 D．﹣＜09．（3.00分）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn[g（x）]=sgnx B．sgn[g（x）]=﹣sgnx C．sgn[g（x）]=sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]10．（3.00分）直线y=5与y=﹣1在区间上截曲线所得弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（）A． B．m≤3，n=2 C．D．m＞3，n=2二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）．11．（4.00分）cos660°=．12．（4.00分）将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为．13．（4.00分）求函数y=lg（sin2x+2cosx+2）在上的最大值，最小值．14．（4.00分）已知函数，则f（x）的单调增区间为，的解集为．15．（4.00分）设函数f（x）=ax2+x．已知f（3）＜f（4），且当n≥8，n∈N*时，f（n）＞f（n+1）恒成立，则实数a的取值范围是．0成立，则代数式的最小值是．三、解答题（本大题共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．（12.00分）已知0＜x＜π，且满足．求：（i）sinx•cosx；（ii）．18．（12.00分）已知函数在一个周期内的图象如图所示，图象过点，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为高为的正三角形．（1）求A，ω，φ的值；（2）当时，求函数f（x）的值域；（3）将y=f（x）的图象所在点向左平行移动θ（θ＞0）的单位长度，得到y=g （x）的图象．若y=g（x）的图象的一个对称中心为，求θ的最小值．19．（12.00分）已知函数f（x）=x+．（1）求解不等式f（x）≥2x；（2）+x2+2mf（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，求m的取值范围；（3）设函数g（x）=x2+（﹣3+c）x+c2，若方程g（f（x））=0有6个实根，求c 的取值范围．20．（10.00分）已知函数f（x）=|lnx|，设x1≠x2且f（x1）=f（x2）．（1）求的值；（2）若x1+x2+f（x1）+f（x2）＞M对任意满足条件的x1，x2恒成立，求实数M2015-2016学年浙江省杭州高级中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）．1．（3.00分）设集合A={x|x2+2x﹣3＞0}，R为实数，Z为整数集，则（∁R A）∩Z=（）A．{x|﹣3＜x＜1}B．{x|﹣3≤x≤1}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}【解答】解：∵A={x|x2+2x﹣3＞0}={x|x＜﹣3或x＞1}，R为实数，Z为整数集，∴（C R A）={x|﹣3≤x≤1}，∴（C R A）∩Z={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}．故选：D．2．（3.00分）给定集合M={，k∈Z}，N={x|cos2x=0}，P={a|sin2a=1}，则下列关系式中，成立的是（）A．P⊂N⊂M B．P=N⊂M C．P⊂N=M D．P=N=M【解答】解：N={x|cos2x=0}={x|2={x|x=+，k∈Z}，P={a|sin2a=1}={a|2a=={a|2a=kπ+，k∈Z}，又∵M={=∴p⊂N⊂M故选：A．3．（3.00分）点P从（﹣1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动π弧A．（﹣，）B．（﹣，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）【解答】解：如图所示，；点P从（﹣1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动π弧长到达Q，则∠POQ=﹣2π=，∴∠xOQ=，∴x=cos=﹣，y=sin=，∴Q点的坐标为（﹣，）；故选：A．4．（3.00分）已知幂函数为奇函数，且在区间（0，+∞）上是减函数，则f（x）=（）A．y=x3 B．y=x C．y=x﹣3D．y=x﹣2【解答】解：∵f（x）在区间（0，+∞）上是减函数，∴2m2﹣m﹣3＜0，解得﹣1＜m＜，∵m∈Z，∴m=0或m=1，若m=0，则f（x）=x﹣3=，是奇函数，满足条件．．若m=1，则f（x）=x﹣2=，是偶函数，不满足条件．故选：C．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解答】解：∵tanθsinθ=•sinθ=＜0，∴cosθ＜0；又|sinθ+cosθ|＜1，∴两边平方得：1+2sinθ•cosθ＜1，∴2sinθ•cosθ＜0，而cosθ＜0，∴sinθ＞0，∴角θ是第二象限角．故选：B．6．（3.00分）给出下列说法：①函数的对称中心是；②函数单调递增区间是；③函数的定义域是；④函数y=tanx+1在上的最大值为，最小值为0．其中正确说法有几个（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①对于函数，令2x+=k•，求得x=﹣，可得它的图象的对称中心是（﹣，0），k∈Z，故①错误．②对于函数=﹣2tan（2x﹣），该函数只有减区间，而没有增区间，故②错误．③对于函数，令2x+≠kπ+，求得x≠kπ+，可得该函数的定义域是{x|x≠kπ+，k∈Z}，故③错误．④由于函数y=tanx+1在上单调递增，故它的最大值为tan+1=，最小值为tan（﹣）+1=0，故④正确，7．（3.00分）关于函数f（x）=（2x﹣）•x和实数m，n的下列结论中正确的是（）A．若﹣3≤m＜n，则f（m）＜f（n）B．若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）C．若f（m）＜f（n），则m2＜n2D．若f（m）＜f（n），则m3＜n3【解答】解：∵∴函数是一个偶函数又x＞0时，与是增函数，且函数值为正，故函数在（0，+∞）上是一个增函数由偶函数的性质知，函数在（﹣∞，0）上是一个减函数，此类函数的规律是：自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立考察四个选项，A选项无法判断m，n离原点的远近；B选项m的绝对值大，其函数值也大，故不对；C选项是正确的，由f（m）＜f（n），一定可得出m2＜n2；D选项f（m）＜f（n），可得出|m|＜|n|，但不能得出m3＜n3，不成立综上知，C选项是正确的故选：C．8．（3.00分）若函数f（x）=ax2+b|x|+c（a≠0）有四个单调区间，则实数a，b，c满足（）A．b2﹣4ac＞0，a＞0 B．b2﹣4ac＞0 C．﹣＞0 D．﹣＜0【解答】解：x＞0时，f（x）=ax2+bx+c；此时，f（x）应该有两个单调区间；∴对称轴x=；∴x＜0时，f（x）=ax2﹣bx+c，对称轴x=；∴此时f（x）有两个单调区间；∴当时，f（x）有四个单调区间．9．（3.00分）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn[g（x）]=sgnx B．sgn[g（x）]=﹣sgnx C．sgn[g（x）]=sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[g（x）]=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；sgn[g（x）]=sgn（﹣x）=，﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B．10．（3.00分）直线y=5与y=﹣1在区间上截曲线所得弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（）A． B．m≤3，n=2 C．D．m＞3，n=2称，因为曲线被直线y=5与y=﹣1所得的弦长相等，所以直线y=5与直线y=﹣1关于y=n对称．所以n==2，又因为弦长相等且不为0，所以振幅m＞=3．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）．11．（4.00分）cos660°=．【解答】解：cos660°=cos（720°﹣60°）=cos（﹣60°）=cos60°=，故答案为：．12．（4.00分）将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为y=sin4x．【解答】解：将函数的图象上的所有点向右平移个单位，得到函数=sin2x，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为y=sin4x．故答案为：y=sin4x．13．（4.00分）求函数y=lg（sin2x+2cosx+2）在上的最大值lg4，最小值lg．【解答】解：sin2x+2cosx+2=1﹣cos2x+2cosx+2=﹣（cosx﹣1）2+4，∵，∴cosx∈[﹣，1]，当cosx=﹣时，sin2x+2cosx+2取得最小值，即当时，函数有意义，设t=sin2x+2cosx+2，则≤t≤4，则lg≤lgt≤lg4，即函数的最大值为lg4，最小值为lg，故答案为：lg4，lg14．（4.00分）已知函数，则f（x）的单调增区间为（﹣∞，1] ，的解集为（log4，5﹣] ．【解答】解：∵函数y=5﹣x﹣4x为减函数，且x=1时，y=5﹣x﹣4x=5﹣1﹣4=0，∴当x＞1时，5﹣x﹣4x＜0，此时f（x）=+=5﹣x为减函数，当x≤1时，5﹣x﹣4x≥0，此时f（x）=﹣=4x为增函数，即函数f（x）的单调递增区间为为（﹣∞，1]，当x＞1时，由5﹣x＞得x＜5﹣，此时1＜x＜5﹣，当x≤1时，由4x＞得x＞log4，此时log4＜x≤1，即不等式的解集为（1，5﹣）∪（log4，1]=（log4，5﹣]故答案为：（﹣∞，1]，（log4，5﹣]15．（4.00分）设函数f（x）=ax2+x．已知f（3）＜f（4），且当n≥8，n∈N*时，f（n）＞f（n+1）恒成立，则实数a的取值范围是（）．【解答】解：∵当n≥8，n∈N*时，f（n）＞f（n+1）恒成立，∴a＜0，此时，f（n）＞f（n+1）恒成立，等价于f（8）＞f（9），即64a+8＞81a+9，解得a．∵f（3）＜f（4），∴9a+3＜16a+4解得a，即a∈（）．故答案为：（）．16．（4.00分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（0＜2a＜b）对任意x∈R恒有f（x）≥0成立，则代数式的最小值是3．【解答】解：因为∀x∈R，f（x）=ax2+bx+c≥0恒成立，0＜2a＜b，所以，得b2≤4ac，又0＜2a＜b，所以，所以=≥===，设t=，由0＜2a＜b得，t＞2，则≥==[（t﹣1）++6]≥=3，当且仅当时取等号，此时t=4，取最小值是3，故答案为：3．三、解答题（本大题共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．（12.00分）已知0＜x＜π，且满足．求：（i）sinx•cosx；（ii）．【解答】解：（i）∵0＜x＜π，且满足．∴（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=，∴sinx•cosx=﹣．（ii）由（i）知，sinx•cosx=﹣．∴sin﹣cosx====，联立，解得sinx=，cosx=﹣，∴==．18．（12.00分）已知函数在一个周期内的图象如图所示，图象过点，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为高为的正三角形．（1）求A，ω，φ的值；（2）当时，求函数f（x）的值域；（3）将y=f（x）的图象所在点向左平行移动θ（θ＞0）的单位长度，得到y=g （x）的图象．若y=g（x）的图象的一个对称中心为，求θ的最小值．【解答】解：（1）∵△ABC为高为的正三角形，∴A=2，则sin60°==，则AB=BC=4，即函数的周期T=2BC=8=，则ω=，此时f（x）=2sin（x+φ），∵图象过点，∴f（0）=2sinφ=，则sinφ=，∵|φ|＜，∴φ=，即A=2，ω=，φ=；（2）由（1）得f（x）=2sin（x+），当时，即﹣≤x≤，则0≤x+≤，∴当x+=时，函数取得最大值为2，当x+=0时，函数取得最小值为0，即函数f（x）的值域为[0，2]；（3）将y=f（x）的图象所在点向左平行移动θ（θ＞0）的单位长度，得到y=g （x）的图象．即g（x）=2sin[（x+θ）+]=2sin（x+θ+），若y=g（x）的图象的一个对称中心为，即×+θ+=kπ，k∈Z则θ=4k﹣，k∈Z．∵θ＞0，∴当k=1时，θ取得最小值此时θ的最小值为4﹣=．19．（12.00分）已知函数f（x）=x+．（1）求解不等式f（x）≥2x；（2）+x2+2mf（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，求m的取值范围；（3）设函数g（x）=x2+（﹣3+c）x+c2，若方程g（f（x））=0有6个实根，求c 的取值范围．【解答】解：（1）f（x）≥2x，当x＞0时，x+≥2x，即有x﹣=≤0，解得0＜x≤1；当当x＜0时，x﹣≥2x，即为x+=≤0，解得x＜0．故原不等式的解集为{x|x≤1且x≠0}；（2）+x2+2mf（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，即为+x2+2m（x+）≥0在x∈[1，2]上恒成立，即有（x+）2﹣2+2m（x+）≥0，令t=x+，2≤t≤，可得t2+2mt﹣2≥0，即有m≥﹣，令h（t）=﹣，h′（t）=﹣﹣＜0，则h（t）为单调递减函数，则h（t）=﹣≤h（2）=﹣1=﹣，即有m≥﹣；（3）函数g（x）=x2+（﹣3+c）x+c2，若方程g（f（x））=0有6个实根，可令t=f（x），则g（t）=0，即有方程t=f（x）有6个实根，作出f（x）的图象，如右：当x＞0时，f（x）有最小值2，则t＞2，方程g（t）=0有两个大于2的不等实根，则即，可得﹣3＜c＜﹣﹣1．20．（10.00分）已知函数f（x）=|lnx|，设x1≠x2且f（x1）=f（x2）．（1）求的值；（2）若x1+x2+f（x1）+f（x2）＞M对任意满足条件的x1，x2恒成立，求实数M 的最大值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|lnx|，x1≠x2且f（x1）=f（x2）．∴lnx1=﹣lnx2，即lnx1+lnx2=ln（x1•x2）=0，即x1x2=1，∴=0（2）不妨令x2＞1，则x1+x2+f（x1）+f（x2）=+x2+2lnx2＞M恒成立，令g（x）=+x+2lnx，x＞1，则g′（x）=﹣+1+=＞0恒成立，则g（x）在（1，+∞）上恒成立，由g（1）=2，可得M≤2，即M的最大值为2。

学军中学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4}2．把函数y=cos（x+）的图象向右平移φ个单位，所得的图象正好关于y轴对称，则φ的最小正值为（）A．B．C．D．3．函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（﹣∞，1）上有最小值，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥14．已知角α，β均为锐角，且cosα=，tan（α﹣β）=﹣，tanβ=（）A．B．C．D．35．若0≤α≤2π，sinα＞cosα，则α的取值范围是（）A．（，）B．（，π）C．（，）D．（，）6．已知函数f（x）=Atan（ωx+φ）（ω＞1，|φ|＜），y=f（x）的部分图象如图，则f（）=（）A．B．C．D．7．已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果f（ax+1）≤f（x﹣2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，1]B．[﹣5，0]C．[﹣5，1]D．[﹣2，0]8．已知函数f（x）=ax3+bsinx+4（a，b∈R），f（lg（log210））=5，则f（lg（lg2））=（）A．﹣5 B．﹣1 C．3 D．49．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＞f（π），则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ]（k∈Z）10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+2）=f（x），当x∈（0，1]时，f（x）=1﹣2|x﹣|，则函数g（x）=f[f（x）]﹣x在区间[﹣2，2]内不同的零点个数是（）A．5 B．6 C．7 D．9二、选择题（每小题4分，共20分）11．已知奇函数f（x）当x＞0时的解析式为f（x）=，则f（﹣1）=．12．函数f（x）=sin2x+cos2x的最小正周期为．13．已知f（x）=log2x，x∈[，4]，则函数y=[f（）]×f（2x）的值域是．14．已知f（x）=sin（ω＞0），f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω=．15．已知函数f（x）满足f（x﹣1）=﹣f（﹣x+1），且当x≤0时，f（x）=x3，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．三、解答题（每小题8分，共50分）16．已知tanα=3．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．17．已知函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1 （1）判断并证明f（x）的单调性；（2）若f（4）=3，解不等式f（3m2﹣m﹣2）＜2．18．函数f（x）=6cos2+sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（1）求ω的值及函数f（x）的值域；（2）若f（x0）=，且x0∈（﹣，），求f（x0+1）的值．19．已知奇函数f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上有定义，在（0，+∞）上是增函数，f（1）=0，又知函数g（θ）=sin2θ+mcosθ﹣2m，，集合M={m|恒有g（θ）＜0}，N={m|恒有f（g（θ））＜0}，求M∩N．20．已知a，b是实数，函数f（x）=x|x﹣a|+b．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；（3）若存在a∈[﹣3，0]，使得函数f（x）在[﹣4，5]上恒有三个零点，求b的取值范围．2015-2016学年浙江省杭州市学军中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】进行补集、交集的运算即可．【解答】解：∁R B={1，5，6}；∴A∩（∁R B）={1，2}∩{1，5，6}={1}．故选：B．2．把函数y=cos（x+）的图象向右平移φ个单位，所得的图象正好关于y轴对称，则φ的最小正值为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得，所得的图象对应的函数解析式为y=cos（x﹣φ+），再根据所得函数的图象正好关于y轴对称，可得﹣φ+=kπ，k∈z，由此求得φ的最小正值．【解答】解：把函数y=cos（x+）的图象向右平移φ个单位，所得的图象对应的函数解析式为y=cos（x﹣φ+），再根据所得函数的图象正好关于y轴对称，可得﹣φ+=kπ，k∈z．故φ的最小正值为，故选D．3．函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（﹣∞，1）上有最小值，则a的取值范围是（A）A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】因为f（x）为二次函数且开口向上，函数的对称轴为x=a．若a≥1，则函数在区间（﹣∞，1）上是减函数，因为是开区间，所以没有最小值，所以可知a＜1，此时x=a时有最小值，故可得结论【解答】解：由题意，f（x）=（x﹣a）2﹣a2+a∴函数的对称轴为x=a．若a≥1，则函数在区间（﹣∞，1）上是减函数，因为是开区间，所以没有最小值所以a＜1，此时x=a时有最小值故选A．4．已知角α，β均为锐角，且cosα=，tan（α﹣β）=﹣，tanβ=（）A．B．C．D．3【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再根据tan（α﹣β）=﹣，利用两角差的正切公式求得tanβ的值．【解答】解：∵角α，β均为锐角，且cosα=，∴sinα=，tanα=，又tan（α﹣β）===﹣，∴tanβ=3，故选：D．5．若0≤α≤2π，sinα＞cosα，则α的取值范围是（C）A．（，）B．（，π）C．（，）D．（，）【考点】正切函数的单调性；三角函数线．【分析】通过对sinα＞cosα等价变形，利用辅助角公式化为正弦，利用正弦函数的性质即可得到答案．【解答】解：∵0≤α≤2π，sinα＞cosα，∴sinα﹣cosα=2sin（α﹣）＞0，∵0≤α≤2π，∴﹣≤α﹣≤，∵2sin（α﹣）＞0，∴0＜α﹣＜π，∴＜α＜．故选C．6．已知函数f（x）=Atan（ωx+φ）（ω＞1，|φ|＜），y=f（x）的部分图象如图，则f（）=（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据函数的图象，求出函数的周期，然后求出ω，根据函数过（0.1），过（），确定φ的值，A的值，求出函数的解析式，然后求出即可．【解答】解：由题意可知T=，所以ω=2，函数的解析式为：f（x）=Atan（2x+φ），因为函数过（0，1），所以，1=Atanφ…①，函数过（），0=Atan（+φ）…②，解得：φ=，A=1．∴f（x）=tan（2x+）．则f（）=tan（）=故选B．7．已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果f（ax+1）≤f（x﹣2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（D）A．[﹣2，1]B．[﹣5，0]C．[﹣5，1]D．[﹣2，0]【考点】偶函数；函数恒成立问题．【分析】在解答时，应先分析好函数的单调性，然后结合条件f（ax+1）≤f（x﹣2）在[，1]上恒成立，将问题转化为有关x的不等式在[，1]上恒成立的问题，在进行解答即可获得问题的解答．【解答】解：由题意可得|ax+1|≤|x﹣2|对恒成立，得x﹣2≤ax+1≤2﹣x对恒成立，从而且对恒成立，∴a≥﹣2且a≤0，即a∈[﹣2，0]，故选D．8．已知函数f（x）=ax3+bsinx+4（a，b∈R），f（lg（log210））=5，则f（lg（lg2））=（C）A．﹣5 B．﹣1 C．3 D．4【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】由题设条件可得出lg（log210）与lg（lg2）互为相反数，再引入g（x）=ax3+bsinx，使得f（x）=g（x）+4，利用奇函数的性质即可得到关于f（lg（lg2））的方程，解方程即可得出它的值【解答】解：∵lg（log210）+lg（lg2）=lg1=0，∴lg（log210）与lg（lg2）互为相反数则设lg（log210）=m，那么lg（lg2）=﹣m令f（x）=g（x）+4，即g（x）=ax3+bsinx，此函数是一个奇函数，故g（﹣m）=﹣g（m），∴f（m）=g（m）+4=5，g（m）=1∴f（﹣m）=g（﹣m）+4=﹣g（m）+4=3．故选C．9．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＞f（π），则f（x）的单调递增区间是（C）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ]（k∈Z）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由若对x∈R恒成立，结合函数最值的定义，我们易得f（）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角φ的值，结合，易求出满足条件的具体的φ值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，即可得到答案．【解答】解：若对x∈R恒成立，则f（）等于函数的最大值或最小值即2×+φ=kπ+，k∈Z则φ=kπ+，k∈Z又即sinφ＜0令k=﹣1，此时φ=，满足条件令2x∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z解得x∈故选C10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+2）=f（x），当x∈（0，1]时，f（x）=1﹣2|x﹣|，则函数g（x）=f[f（x）]﹣x在区间[﹣2，2]内不同的零点个数是（）A．5 B．6 C．7 D．9【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得函数f（x）的图象关于原点对称，为周期为2的函数，求得一个周期的解析式和图象，由图象平移可得[﹣2，2]的图象，得到y=f（f（x））的图象，作出y=x的图象，由图象观察即可得到零点个数．【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=f（x），即有函数f（x）关于原点对称，周期为2，当x∈（0，1]时，f（x）=1﹣2|x﹣|，即有当x∈[﹣1，0）时，f（x）=﹣1+2|x+|，由图象的平移可得在区间[﹣2，2]内的函数f（x）的图象，进而得到y=f（f（x））的图象，作出y=x的图象，由图象观察，可得它们有5个交点，故零点个数为5．故选：A．二、选择题（每小题4分，共20分）11．已知奇函数f（x）当x＞0时的解析式为f（x）=，则f（﹣1）=﹣．【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用函数的奇偶性，直接求解函数值即可．【解答】解：奇函数f（x）当x＞0时的解析式为f（x）=，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣．故答案为：﹣．12．函数f（x）=sin2x+cos2x的最小正周期为π．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】f（x）解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期．【解答】解：f（x）=sin2x+cos2x=+cos2x=cos2x+，∵ω=2，∴f（x）最小正周期T==π．故答案为：π13．已知f（x）=log2x，x∈[，4]，则函数y=[f（）]×f（2x）的值域是[]．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据复合函数定义域之间的关系求出函数的定义域，然后结合对数函数和一元二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=log2x，x∈[，4]，∴由，解得．∴函数y=[f（）]×f（2x）的定义域为[]．则y=[f（）]×f（2x）===．∵，∴﹣1≤log2x≤1，∴当时，；当log2x=1时，y max=2．∴函数y=[f（）]×f（2x）的值域是[]．故答案为：[]．14．已知f（x）=sin（ω＞0），f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω=．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，确定最小值时的x值，然后确定ω的表达式，进而推出ω的值．【解答】解：如图所示，∵f（x）=sin，且f（）=f（），又f（x）在区间内只有最小值、无最大值，∴f（x）在处取得最小值．∴ω+=2kπ﹣（k∈Z）．∴ω=8k﹣（k∈Z）．∵ω＞0，∴当k=1时，ω=8﹣=；当k=2时，ω=16﹣=，此时在区间内已存在最大值．故ω=．故答案为：15．已知函数f（x）满足f（x﹣1）=﹣f（﹣x+1），且当x≤0时，f（x）=x3，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是[，+∞）．【考点】函数恒成立问题；抽象函数及其应用．【分析】根据条件确定函数是奇函数，求出函数f（x）的表达式，并判断函数的单调性，利用函数的单调性将不等式恒成立进行转化，即可求出t的最大值．【解答】解：由f（x﹣1）=﹣f（﹣x+1），得f（x0）=﹣f（﹣x﹣1+1）=﹣f（x），即函数f（x）是奇函数，若x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）=﹣x3=﹣f（x），即f（x）=x3，（x＞0），综上f（x）=x3，则不等式f（x+t）≥2f（x）等价为不等式f（x+t）≥f（x），∵f（x）=x3，为增函数，∴不等式等价为x+t≥x在x∈[t，t+2]恒成立，即：t≥（﹣1）x，在x∈[t，t+2]恒成立，即t≥（﹣1）（t+2），即（2﹣）t≥2（﹣1），则t≥=，故实数t的取值范围[，+∞），故答案为：[，+∞）三、解答题（每小题8分，共50分）16．已知tanα=3．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）由条件利用两角和的正切公式求得所给式子的值．（2）由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式求得所给式子的值．【解答】解：（1）∵tanα=3，∴tan（α+）===﹣2（2）∵tanα=3，∴====．17．已知函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1 （1）判断并证明f（x）的单调性；（2）若f（4）=3，解不等式f（3m2﹣m﹣2）＜2．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）利用特殊值方法求出f（0）=1，和换元思想令a=x，b=﹣x，得出f（﹣x）=2﹣f（x），利用定义法判定函数的单调性；（2）根据定义得出f（2）=2，根据函数的单调性求解即可．【解答】解：f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，令a=b=0，∴f（0）=f（0）+f（0）﹣1，∴f（0）=1，令a=x，b=﹣x，∴f（0）=f（x）+f（﹣x）﹣1，∴f（﹣x）=2﹣f（x），令x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）﹣1=f（x2）+2﹣f（x1）﹣1＞1，∴f（x2）＞f（x1），故函数在R上单调递增；（2）f（4）=2f（2）﹣1=3，∴f（2）=2，∴f（3m2﹣m﹣2）＜f（2），∴3m2﹣m﹣2＜2，∴﹣1＜m＜．18．函数f（x）=6cos2+sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（1）求ω的值及函数f（x）的值域；（2）若f（x0）=，且x0∈（﹣，），求f（x0+1）的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）变形可得f（x）=2sin（ωx+），由又由三角形的知识和周期公式可得ω=，由振幅的意义可得值域；（2）由已知和（1）的解析式可得sin（x0+）=，进而由角的范围和同角三角函数基本关系可得cos（x0+）=，代入f（x0+1）=2sin（x0++）=2×[sin（x0+）+cos（x0+）]计算可得．【解答】解：（1）由已知得f（x）=6cos2+sinωx﹣3=3cosωx+sinωx=2sin（ωx+）又△ABC为正三角形，且高为2，可得BC=4．∴函数f（x）的最小正周期为8，即=8，解得ω=，∴f（x）=2sin（x+），∴函数f（x）的值域为：[﹣2，2]；（2）∵f（x0）=，∴2sin（x0+）=，故sin（x0+）=，∵x0∈（﹣，），∴x0+∈（﹣，），∴cos（x0+）==∴f（x0+1）=2sin（x0++）=2×[sin（x0+）+cos（x0+）]=19．已知奇函数f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上有定义，在（0，+∞）上是增函数，f（1）=0，又知函数g（θ）=sin2θ+mcosθ﹣2m，，集合M={m|恒有g（θ）＜0}，N={m|恒有f（g（θ））＜0}，求M∩N．【考点】奇函数；交集及其运算；函数单调性的性质．【分析】利用奇函数在对称区间的单调性相同得到f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，f（﹣1）=0，将集合N中的0用f（﹣1）代替，利用f（x）的单调性将f脱去，利用三角函数的平方关系将正弦用余弦表示，通过换元转化为二次不等式恒成立，通过转化为求二次函数的最值，通过对对称轴的讨论求出最值．【解答】解：∵奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，又由f（1）=0得f（﹣1）=﹣f（1）=0∴满足的条件是即，即sin2θ+mcosθ﹣2m＜﹣1，也即﹣cos2θ+mcosθ﹣2m+2＜0．令t=cosθ，则t∈[0，1]，又设δ（t）=﹣t2+mt﹣2m+2，0≤t≤1要使δ（t）＜0，必须使δ（t）在[0，1]内的最大值小于零1°当＜0即m＜0时，δ（t）max=δ（0）=﹣2m+2，解不等式组知m∈∅2°当0≤≤1即0≤m≤2时，δ（t）max=，由＜0，解得，故有当＞1即m＞2时，δ（t）max=﹣m+1，解不等式组得m＞2综上：20．已知a，b是实数，函数f（x）=x|x﹣a|+b．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；（3）若存在a∈[﹣3，0]，使得函数f（x）在[﹣4，5]上恒有三个零点，求b的取值范围．【考点】分段函数的应用；函数的最值及其几何意义；函数零点的判定定理．【分析】（1）当a=2时，作出函数f（x）的表达式，利用数形结合即可求函数f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，先求出f（1）=f（2），然后利用数形结合即可函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；（3）利用参数分离法将条件进行转化，利用数形结合即可求b的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=x|x﹣2|+b=，由二次函数的单调性知，f（x）在（﹣∞，1]上单调递增，在（1，2）上单调递减，在[2，+∞）上单调递增．（2）设g（x）=x|x﹣a|=，ρ由于a＞0且1≤x≤2，结合函数f（x）的图象可知，若f（1）=f（2），即g（1）=g（2），则|1﹣a|=2|2﹣a|，平方得1﹣2a+a2=16﹣16a+4a2，即3a2﹣14a+15=0，得a=3或a=，当0＜a≤时，g（2）≥g（1），此时g（2）最大，即f（2）最大，最大值为f（2）=2|2﹣a|+b=4﹣2a+b，若＜x＜3时，g（2）＜g（1），此时g（1）最大，即f（1）最大，最大值为f（）=|1﹣a|+b=1﹣a+b，若a≥3时，g（2）＞g（1），此时g（2）最大，即f（2）最大，最大值为f（2）=2|2﹣a|+b=2a﹣4+b，（3）若存在a∈[﹣3，0]，使得函数f（x）在[﹣4，5]上恒有三个零点，则存在a∈[﹣3，0]，使得b=﹣x|x﹣a|有三个不同的实根；令g（x）=﹣x|x﹣a|=，（ⅰ）当a=0时，g（x）在[﹣4，5]上单调递减，故b无解；（ⅱ）当﹣3≤a＜0时，g（x）在（﹣∞，a）上单调递减，在[a，]上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∵g（﹣4）=4|4+a|=16+4a，g（a）=0，g（）=，g（5）=5a﹣25，∴g（﹣4）﹣g（）=＞0，g（a）﹣g（5）=25﹣5a＞0，∴0＜b＜，∴0＜b＜．2016年4月21日。