分式求值中的整体思想

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小 结 ： 综 上 所 述 应用 整 体 思 想 求分
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解 析 ： 本题 可视
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语数 外学 习 ( 九
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值 解 法 新 颖 不 仅 有 利 于 同学 们 更 好 地
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将 题设 中 的 两 个 二 元 二 次 方 程 相 加 来求 解
课 本 内容 融会 贯 通 学 过 的知 识 提高 大
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分式求值的技巧点拨在分式运算中，常遇到求值问题，这类问题题型多样，技巧性强，若根据题目中分式的结构特点，采用适当方法，则可巧妙获解。

一、巧用配方法求值例1 已知01x 5x 2=+-求44x 1x +的值。

解：由0x 01x 5x 2≠=+-知，由此得5x 1x =+∴2)x1x (x 1x 22244-+=+ 5272]2)x1x [(22=--+= 说明：在求解有关分式中两数（或两式）的平方和问题时，可考虑用完全平方公式进行解答。

二、巧用因式分解法求值例2 先化简，再求值：1n mn )n m n mn n mn 2m n m (22222--+-+--。

其中231m -=，231n +=。

解：原式=1n mn ])n m )(n m ()n m (n )n m (n m [2--++--- n m mn 1n mn n m n 11n mn )n m n n m 1(--=-⋅--=----=∵23231m --=-=，23231n +-=+= ∴1)23)(23(mn -=+---=，4)23()23(n m -=+----=- ∴41n m mn -=--=原式 说明：因式分解法是一种重要的数学方法，解决很多数学问题都要用到它，尤其是在分式化简和分式的四则运算中运用较多。

因此，希望同学们对因式分解的各种方法熟练掌握。

三、巧用整体代入法求值例3 已知3b 1a 1=-，求bab 2a b 2ab 3a 2---+的值。

解：由3b1a 1=-变形得ab 3b a -=-，代入所求式得： 原式ab 2)b a (ab 3)b a (2--+-= 53ab 2ab 3ab3ab 6=--+-=说明：在解答给定条件下求分式的值这类问题时，需要把待求值的分式进行恒等变形，转化成能用已知条件表示的形式，再代入计算，或先把条件进行化简再采用上述方法求值。

四、巧设参数（辅助未知数）求值例4 已知实数x 、y 满足x:y=1:2，则=+-yx y x 3__________。

运用整体思想解分式问题某些分式问题，若从整体观念出发，运用整体思想去寻求解题途径，往往可得到简捷的解答。

下面举例说明。

一. 运用整体思想解分式计算题例1. 计算：x x x x x x x x x x x x 222222333257564543-+-++-+-+--+-+ 分析：显然通过通分计算，计算量很大。

整体观察可发现：①三个分子比其分母大1或大2；②三个分母都可以分解因式，且它们互有公因式。

故可逆用分式加减法法则及规律公式11111n n n n ()+=-+，将原分式分离变形。

解：原式=-++-++-++-+--++-+()()()x x x x x x x x x x x x 222222321325615643243=+--++------111211231213()()()()()()x x x x x x =+---++------+-112111*********x x x x x x =1二. 运用整体思想解条件求值题例2. 如果112x y +=，求323232x xy y x xy y++-+的值。

分析：由已知条件可知x y xy +=2，待求式中也含有x y +与xy ，因而可将x y xy +=2整体代入求解。

解： 1122x y x y xy+=∴+=， ∴+=x y xy 2∴原式=+++-=⨯+⨯-==322332222388()()x y xy x y xy xy xy xy xy xy xy三. 运用整体思想解分式方程例3. 解方程12123x x x-=--- 分析：本题可直接去分母，但从整体上考虑，移项合并更简捷。

解：原方程即为12123x x x -+--=- ∴--=-223x x ，即1＝3 ∴原方程无解。

例5. 解方程x x x255520-+-= 解析：整体观察，方程中两项的和为0，且分母互为相反数，从而分子相等，即x =5。

四. 运用整体思想解应用题例6. 某一项工程，如果甲队单独做，正好在规定日期完成，乙队单独做，则比规定日期要多3天才完工。

《分式》中的数学思想方法分式当中涉及的数学思想方法主要常见的有：一、转化的思想分式学习的过程中，我们可以发现多次运用了转化的思想．如分式的除法转化为分式乘法；异分母分式的加减法转化为同分母分式的加减法；分式方程转化为整式方程，等等．例1化简：422222a a ba ab b--+÷22a abb+×2ba分析将除法转化为乘法，同时对多项式进行因式分解后再约分．解422222a a ba ab b--+÷22a abb+·2ba＝()()()22a ba ab a b-+-×()2ba a b+×2ba＝bab-4二、整体思想在解答分式题中，适当运用整体思想，会使问题巧妙解决．分式化简求值中经常运用整体代换法——整体代换是指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式子，从而可避免局部运算的麻烦和困难．有些问题，从表面上看需要局部求出各有关量，但实质上若从整体上把握这些量之间的关系，则思路更为明朗，解法更为巧妙．例2先化简，再求值：12aa-+×22421aa a--+÷211a-，其中a满足a2－a＝0分析从表面看本题是一道常规的化简求值题，其常规解法就是先化简所给的式子，然后求出a的取值，最后，代入求值即可．但当我们将所给式子进行化简后，发现有“a2－a”这样一个整体，此时就可以不求a的值而进行整体代入即可．解12aa-+×22421aa a--+÷211a-＝12aa-+×2(2)(2)(1)a aa+--×(1)(1)1a a+-＝(a－2)(a+1)＝a2－a－2所以，当a2－a＝0时，原式＝0－2＝－2三、数学建模思想在分式运算及解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过模型去解决实际问题．经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释解的合理性”的“数学化”过程，体会分式方程模型的思想．例3四川5.12特大地震受灾地区急需大量赈灾帐篷，某帐篷生产企业接到生产任务后，加大生产投入、提高生产效率，实际每天生产帐篷比原计划多200顶，已知现在生产3000顶帐篷所用的时间与原计划生产2000顶的时间相同．现在该企业每天能生产多少顶帐篷？分析：和列一元一次方程解应用题一样，寻找等量关系．抓住关键句：①实际每天生产帐篷比原计划多200顶；②现在生产3000顶帐篷所用的时间与原计划生产2000顶的时间相同．解：设现在该企业每天能生产x顶帐篷，则原计划每天生产（200x-）顶帐篷．由题意，得：30002000200x x =-． 解得600x =．经检验：600x =是原方程的解．∴原方程的解是600x =．答：现在该企业每天能生产600顶帐篷．。

专题03 整体代入法【规律总结】整体代入法，在求代数式值中应用求代数式的值最常用的方法，即把字母所表示的数值直接代入，计算求值。

有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难求出字母的值或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入，求值时方便又快捷，这种整体代入的技法经常用到。

【典例分析】例1、在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2.当AD−AB=2时，S2−S1的值为()A. 2aB. 2bC. 2a−2bD. −2b【答案】B【解析】解：S1=(AB−a)⋅a+(CD−b)(AD−a)=(AB−a)⋅a+(AB−b)(AD−a)，S2=AB(AD−a)+(a−b)(AB−a)，∴S2−S1=AB(AD−a)+(a−b)(AB−a)−(AB−a)⋅a−(AB−b)(AD−a)=(AD−a)(AB−AB+b)+(AB−a)(a−b−a)=b⋅AD−ab−b⋅AB+ab=b(AD−AB)=2b．故选：B．利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．本题考查了整式的混合运算：“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．例2、若m是方程2x2−3x−1=0的一个根，则6m2−9m+2015的值为______．【答案】2018【解析】解：由题意可知：2m2−3m−1=0，∴2m2−3m=1∴原式=3(2m2−3m)+2015=2018故答案为：2018根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．例3、解下列各题：(1)若n满足(n−2023)(2021−n)=−6，求(n−2023)2+(2021−n)2的值．(2)已知：m2=n+2，n2=m+2(m≠n)，求：m3−2mn+n3的值．【答案】解：(1)∵(n−2023)(2021−n)=−6，∴原式=(n−2023+2021−n)2−2(n−2023)(2021−n)=(−2)2−2×(−6)=4+12=16；(2)∵m2=n+2①，n2=m+2(m≠n)②，∴m2−n=2，n2−m=2，∵m≠n，∴m−n≠0，∴①−②得m2−n2=n−m∴(m−n)(m+n)=−(m−n)，∵m−n≠0，∴m+n=−1∴原式=m3−mn−mn+n3=m(m2−n)+n(n2−m)=2m +2n=2(m +n)=2×(−1)=−2．【解析】本题主要考查的是代数式求值，完全平方公式，运用了整体代入法的有关知识．(1)将给出的代数式进行变形为(n −2023+2021−n)2−2(n −2023)(2021−n)，然后整体代入求值即可；(2)先根据m 2=n +2，n 2=m +2(m ≠n)，求出m +n =−1，然后将给出的代数式进行变形，最后整体代入求解即可．【好题演练】一、选择题1. 已知a +b =12，则代数式2a +2b −3的值是( ) A. 2B. −2C. −4D. −312 【答案】B 【解析】解：∵2a +2b −3=2(a +b)−3，∴将a +b =12代入得：2×12−3=−2故选：B ．注意到2a +2b −3只需变形得2(a +b)−3，再将a +b =12，整体代入即可此题考查代数式求值的整体代入，只需通过因式解进行变形，再整体代入即可．2. 若α、β为方程2x 2−5x −1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为( ) A. −13B. 12C. 14D. 15【答案】B【解析】【分析】 本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−b a，x 1x 2=c a .也考查了一元二次方程解的定义． 根据一元二次方程解的定义得到2α2−5α−1=0，即2α2=5α+1，则2α2+3αβ+5β可表示为5(α+β)+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β=52，αβ=−12，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵α为2x 2−5x −1=0的实数根，∴2α2−5α−1=0，即2α2=5α+1，∴2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5(α+β)+3αβ+1，∵α、β为方程2x 2−5x −1=0的两个实数根，∴α+β=52，αβ=−12，∴2α2+3αβ+5β=5×52+3×(−12)+1=12． 故选B ．3. 如果a 2+2a −1=0，那么代数式(a −4a ).a 2a−2的值是( )A. −3B. −1C. 1D. 3【答案】C【解析】【分析】 本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据a 2+2a −1=0，可以得到a 2+2a =1，从而可以求得所求式子的值．【解答】解：(a −4a )⋅a 2a−2=a 2−4a ⋅a 2a−2=(a+2)(a−2)a ⋅a 2a−2=a 2+2a ，由a 2+2a −1=0得a 2+2a =1，故原式=1．故选C ．4.已知1x −1y=3，则代数式2x+3xy−2yx−xy−y的值是()A. −72B. −112C. 92D. 34【答案】D【解析】解：∵1x−1y=3，∴y−xxy=3，∴x−y=−3xy，则原式=2(x−y)+3xy(x−y)−xy=−6xy+3xy−3xy−xy=−3xy−4xy=34，故选：D．由1x −1y=3得出y−xxy=3，即x−y=−3xy，整体代入原式=2(x−y)+3xy(x−y)−xy，计算可得．本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用．5.已知x1，x2是方程x2−3x−2=0的两根，则x12+x22的值为()A. 5B. 10C. 11D. 13【答案】D【解析】【分析】本题考查了完全平方公式以及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca，利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=−2，再利用完全平方公式得到x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x1+x2=3，x1x2=−2，所以x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=32−2×(−2)=13．故选：D．6.小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下()A. 31元B. 30元C. 25元D. 19元【答案】A【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设每支玫瑰x元，每支百合y元，根据总价=单价×数量结合小慧带的钱数不变，可得出关于x，y的二元一次方程，整理后可得出y=x+7，再将其代入5x+3y+10−8x中即可求出结论．【解答】解：设每支玫瑰x元，每支百合y元，依题意，得：5x+3y+10=3x+5y−4，∴y=x+7，∴5x+3y+10−8x=5x+3(x+7)+10−8x=31．故选A．二、填空题7.已知ab=a+b+1，则(a−1)(b−1)=______．【答案】2【解析】【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体代入思想的运用，属于基础题．将ab=a+b+1代入原式=ab−a−b+1，合并即可得．【解答】解：当ab=a+b+1时，原式=ab−a−b+1=a+b+1−a−b+1=2，故答案为：2．8.将抛物线y=ax2+bx−1向上平移3个单位长度后，经过点(−2,5)，则8a−4b−11的值是______．【答案】−5【解析】解：将抛物线y=ax2+bx−1向上平移3个单位长度后，表达式为：y=ax2+bx+2，∵经过点(−2,5)，代入得：4a−2b=3，则8a−4b−11=2(4a−2b)−11=2×3−11=−5，故答案为：−5．根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点(−2,5)代入，得到4a−2b=3，最后将8a−4b−11变形求值即可．本题考查了二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出平移后的表达式．9.若a+b=1，则a2−b2+2b−2=______．【答案】−1【解析】解：∵a+b=1，∴a2−b2+2b−2=(a+b)(a−b)+2b−2=a−b+2b−2=a+b−2=1−2=−1．故答案为：−1．由于a+b=1，将a2−b2+2b−2变形为a+b的形式，整体代入计算即可求解．本题考查了平方差公式，注意整体思想的应用．10.若实数x满足x2−2x−1=0，则2x3−7x2+4x−2017=______．【答案】−2020【解析】【分析】把−7x2分解成−4x2与−3x2相加，然后把所求代数式整理成用x2−2x表示的形式，然后代入数据计算求解即可．本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．【解答】解：∵x2−2x−1=0，∴x2−2x=1，2x3−7x2+4x−2017=2x3−4x2−3x2+4x−2017，=2x(x2−2x)−3x2+4x−2017，=6x−3x2−2017，=−3(x2−2x)−2017=−3−2017=−2020，故答案为−2020．11.已知|x−y+2|+√x+y−2=0，则x2−y2的值为________．【答案】−4【解析】【分析】本题考查了非负数的性质，解题关键是掌握几个非负数的和等于0，那么这几个非负数都等于0.由非负数的性质得出x、y的值，再代入所求代数式求解即可．【解答】解：∵|x−y+2|+√x+y−2=0，∴x−y+2=0，x+y−2=0，即x−y=−2，x+y=2，∴x 2−y 2=(x +y)(x −y)=2×(−2)=−4，故答案为−4．12. 已知m +n =3mn ，则1m +1n 的值为______．【答案】3【解析】【试题解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，利用通分将原式变形为m+n mn 是解题的关键．原式通分后可得出m+n mn ，代入m +n =3mn 即可求出结论．【解答】解：原式=1m +1n =m+n mn ，又∵m +n =3mn ，∴原式=m+n mn =3．故答案为：3．三、解答题13. 已知x =√2+1，y =√2−1，分别求下列代数式的值；(1)x 2+y 2；(2)y x +x y ．【答案】解：(1)∵x =2+1=√2−1，y =2−1=√2+1，∴x −y =−2，xy =2−1=1，∴x 2+y 2=(x −y)2+2xy =(−2)2+2×1=6；(2)∵x 2+y 2=6，xy =1，∴原式=x 2+y 2xy =61=6．【解析】本题考查二次根式的化简求值，分母有理化，解题的关键是运用完全平方公式以及整体思想，本题属于基础题型．(1)先将x 、y 进行分母有理化，得到x =√2−1，y =√2+1，再求出x −y 与xy 的值，然后根据完全平方公式得出x 2+y 2=(x −y)2+2xy ，再整体代入即可；(2)将所求式子变形为x 2+y 2xy ，再整体代入即可．14. 阅读材料，然后解方程组．材料：解方程组{x −y −1=0, ①4(x −y)−y =5. ②由①得x −y③，把③代入②，得4×1−y =5．解得y =−1．把y =−1代入③，得x =0．∴{x =0y =−1这种方法称为“整体代入法”.你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组{2x −3y −2=0,①2x−3y+57+2y =9．②． 【答案】解：由①得：2x −3y =2③，将③代入②得：1+2y =9，即y =4，将y =4代入③得：x =7，则方程组的解为{x =7y =4．【解析】由第一个方程求出2x −3y 的值，代入第二个方程求出y 的值，进而求出x 的值，即可确定出方程组的解．此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．15. 阅读材料，善于思考的小军在解方程组{2x +5y =3①4x +11y =5②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x +10y +y =5即2(2x +5y)+y =5③把方程①代入③得2×3+y =5∴y =−1把y =−1代入①得x =4∴方程组的解为{x =4y =−1请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组{3x −2y =5 ①9x −4y =19② (2)已知x 、y 满足方程组{5x 2−2xy +20y 2=822x 2−xy +8y 2=32，求x 2+4y 2的值； 【答案】解：(1)由②得：3x +6x −4y =19，即3x +2(3x −2y)=19③，把①代入③得：3x +10=19，即x =3，把x =3代入①得：y =2，则方程组的解为{x =3y =2； (2)由5x 2−2xy +20y 2=82得：5(x 2+4y 2)−2xy =82，即x 2+4y 2=82+2xy 5， 由2x 2−xy +8y 2=32得：2(x 2+4y 2)−xy =32，即2×82+2xy 5−xy =32， 整理得：xy =4，∴x 2+4y 2=82+2xy 5=82+85=18．【解析】此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键．(1)模仿小军的“整体代换”法，求出方程组的解即可；(2)方程组第一个方程变形表示出x 2+4y 2，第二个方程变形后代入求出xy 的值，进而求出x 2+4y 2的值．16. (1)已知x 3⋅x a ⋅x 2a+1=x 31求a 的值；(2)若n 为正整数，且x 2n =4，求(3x 3n )2−4⋅(x 2)2n 的值。

分式中的数学思想方法点击安徽 李庆社数学思想是数学知识的精髓，在解题时如能恰当地运用它，则能顺利解决许多数学问题，请看分式中的数学思想。

一.整体思想例1. 已知114x y -=，求x xy y x xy y--+-2272的值。

分析：将114x y-=变形为x y xy -=-4，然后整体代入求值。

解：∵114x y-= ∴-=-=---+=---+=--=x y xyx y xy x y xy xy xy xy xyxy xy4227428766∴原式()() 点拨：将已知条件和所求分式作适当的恒等变形，然后利用整体思想求值，方便、简捷！二. 转化思想转化思想是数学中一种比较常见的重要思想方法，运用这种思想能更好地分析、解决问题．1．分式有、无意义或分式值为零时的转化例2．1.当x_____时，分式354-+x x 有意义． 2．当x_____时，分式7215--x x 无意义． 3．当x_____时，分式5332-+x x 的值为零． 分析：此三道题是将有关分式的问题转化成方程的问题来解决．第1题，如果分式有意义，则分母不为零，可先列方程x-3=0，解得x=3, 所以当分式有意义时，则x≠3；第2题，当分式无意义时，则分母为零，即2x-7=0，解得x=27；第3题，当x 的值为0时，则分母等于零，即2x+3=0，所以x=23- 2．异分母分式相加减时的转化例3．计算44212-++m m 的值 分析：异分母的分式相加减时，通过通分转化成同分母的分式再进行相加减． 解：原式=)2)(2(421-+++m m m =)2)(2(4)2)(2(2-++-+-m m m m m =)2)(2(42-++-m m m =)2)(2(2-++m m m . 3．分式的除法的转化例4 :计算ab b a abb a b a 2222)(-÷+-的值 分析：分式除以分式时，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，从而转化成分式的乘法．解：原式=))(()1()(2b a b a ab a ab b a -+⨯+-=))(1(b a a b a ++-. 三.类比思想例5. 看看下面一类分式方程的解的规律：∵，∴，∵，∴，……x x x x x x x x +=+==+=+==232332324244241212 （1）若x x a a+=+22，猜想x 1=_____________，x 2=_____________。

分式求值中的一些解题技巧一、本章知识框架图建立本章知识框架图，形成本章知识体系：二、分式的基本知识点回顾1、分式的定义：一般地，如果A 、B 表示两个 ，并且 中含有字母，那么代数式 叫做分式。

注意分式中字母代表什么数或者式子是有条件的:.0 .⎧⎨⎩分式有意义的条件:分式为的条件：2、分式的基本性质：分式的 都乘以（或除以） . 式子：MB A B A B M A B A ÷÷=⋅⋅=)(,) (（其中，M 是 ） 3、分式的运算 Ⅰ、乘法 ：分式乘分式， 做积的分子， 做积的分母. Ⅱ、除法：分式除以分式，把分式的 颠倒位置后再与被除式 .Ⅲ、加减：⎩⎨⎧. , . , 后先异分母的分式相加减：分子分母同分母的分式相加减：路曼曼其修远兮，吾将上下而求索专题 典例引路—分式运算的常用技巧分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。

但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，这节课我们来学习运用数学思想和方法技巧来对分式进行运算。

1、整体例1 计算(1)242++-a a （2）1132+--+x x x x观察归纳丰富的问题情景分式的概念分式方程的概念分式方程的解法 分式方程的应用分式的基本性质通分约分分式的运算分式的乘除法分式的加减法 分式的混合运算 分式的化简求值例2 .3353,511)1(的值求若yxy x yxy x y x ---+=-.111,1)2(的值求已知++++++++=c ac cb bc b a ab a abc.3515x 5,411x )3(224242的值求如果xx x x +-=++整体思想就是考虑数学问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。

整体思想在处理数学问题时，有广泛的应用。

分式中的数学思想及方法作者：贾芸芸来源：《初中生世界·八年级》2015年第06期数学思想是数学中的“软件”，若能正确地把握它，并把它落实到学习和应用数学的活动中，就相当于找到了打开智慧之门的钥匙，对开发智力，学会学习并形成正确的价值观具有十分重要的作用. 分式一章中蕴藏了大量的数学思想方法，如数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想、整体思想、类比思想、方程思想、辩证思想等；常用的方法有：分类法、类比法、待定系数法、消元法、配方法、换元法、图像法、观察法、验证法、列表法、构造法、综合法等. 下面就“分式”一章中所体现的数学思想方法作简单回顾.一、类比思想类比是指在不同的对象之间，根据它们某些方面的相似之处进行比较，通过联想和预测推出在其他方面也可以相似，从而去建立猜想和发现规律的方法. 通过类比可以发现新旧知识的异同点，利用已有知识来研究新知识. 分式这一章中，类比思想一直贯穿始终，分式的概念，分式的基本性质，分式的通分、约分、最简分式，分式加减、乘除、乘方运算及混合运算，都是直接通过与分数类比，通过实例，观察异同点，总结归纳出来的. 分式方程的解法及应用也可以类比一元一次方程.二、转化思想转化是一种重要的数学思想，应用非常广泛. 转化思想是将陌生的或不易解决的问题，设法通过某种手段转化为我们熟悉的或已经解决的或易于解决的问题，从而使原问题获得解决的一种思想方法. 这样不但有利于培养创新思维能力，同时也降低了对新知识理解的难度，一举多得.本章很多地方都体现了转化思想. 如异分母分式加减法转化为同分母分式的加减法；分式除法转化为分式乘法；分式方程转化为整式方程.1. 分式有无意义或分式值为零时的转化例1 （1）（2014·广西贺州）分式有意义，则x的取值范围是_______.（2）（2014·毕节）若分式的值为零，则x的值为_______.（3）（2013·钦州）当x=_______时，分式无意义.【分析】这三道题是将有关分式问题转化成方程的问题来解决. 第（1）题，如果分式有意义，则分母不为零，可先列方程x-1=0，解得x=1，所以当x≠1时分式有意义；第（2）题当分式的值为0时，则分子等于0且分母不等于0，解得x=-1. 所以当x=-1时的值为0；第（3）题，当分式无意义时，则分母为0，即x-2=0，解得x=2.2. 异分母分式加减时的转化例2 （2014·广西玉林）先化简，再求值：-，其中x=-1.【分析】异分母分式相加减时，通过通分转化成同分母分式再进行加减.解：原式=-==，当x=-1时，原式==.3. 分式的除法的转化例3 （2014·江苏扬州）化简：-÷.【分析】分式除以分式时，把除式的分子分母颠倒位置后，与被除式相乘，从而转化为分式的乘法.解：原式=-·=-=.4. 分式方程的转化例4 （2014·山东聊城）解方程：+=-1.【分析】解分式方程的基本思想是转化，即把分式方程的分母去掉，使分式方程转化成整式方程，就可用解整式方程的方法来求解，所以在学习过程中要树立“转化”的数学思想. 解分式方程一定要注意验根. 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.解：去分母得：-（x+2）2+16=4-x2 （这一步就是转化思想的具体应用），去括号得：-x2-4x-4+16=4-x2，解得：x=2，经检验x=2是增根，原方程无解.三、数学方法和数学建模思想本章的数学方法有分解因式、通分、约分、去分母等等. 在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，然后通过数学模型去解决实际问题. 分式方程就是一个重要的模型. 经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的建模思想，对培养利用方程模型解决实际问题具有重要意义.例5 （2014·云南）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3 000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5 000元购进第二批这种盒装花. 已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元. 求第一批盒装花每盒的进价是多少元？【分析】设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是，第二批进的数量是，再根据等量关系“第二批进的数量=第一批进的数量×2”可得方程.解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则2×=，解得x=30.经检验，x=30是原方程的根.答：第一批盒装花每盒的进价是30元.【点评】本题考查了分式方程的应用. 注意，分式方程需要验根，这是易错的地方.四、整体思想整体思想就是对问题一一求解比较困难时，把注意力和着眼点放在要解决的问题的整体结构上，认真分析题意，从全局出发，通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理，使问题得到简洁巧妙解答的一种方法.例6 （2014·江苏泰州）先化简，再求值：1-÷-，其中x满足x2-x-1=0.【分析】化简原式可以得到，要求的值，则要求出x的值，可现阶段又没有学过如何解这个方程，那怎么办呢？联想整体思想，看看条件，易得x2=x+1，即将x+1看作一个整体，代入求值即可.解：原式=·-=·-=x-=.∵x2-x-1=0，∴x2=x+1，则原式=1.例7 （2014·山东济宁）已知x+y=xy，求代数式+-（1-x）（1-y）的值.【分析】考点：分式的化简求值. 首先将所求代数式展开化简，然后整体代入即可求值.解：∵x+y=xy，∴+-（1-x）（1-y）=-（1-x-y+xy）=-1+x+y-xy=1-1+0=0.【点评】在思考数学问题时，不能只着眼于它的局部特征，而整体思想是把联系紧密的几个量作为一个整体来进行运算的数学思想，运用这种思想可以将复杂问题简单化，达到简捷解题、出奇制胜的效果. 一般地，运用整体思想的方法有整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑和整体构造等.五、分类讨论思想分类讨论思想是在对一个复杂问题出现的情况进行全面分析思考的基础上，将其转化为几个简单的子问题，进而在既不重复也不遗漏的情况下处理和解决问题的思想方法.例8 若分式的值为负数，试确定x的取值范围.【分析】分式的值为负数，即分式的分子2-x与分母1+x的符号相反.解：∵0，1+x1+x>0.解得xx2，x>-1. ∴x2，【分析】对于不确定因素的问题，我们需要分类进行讨论，本题中不能直接确定分子分母的符号，我们就应该分类讨论，分类讨论时要不重复也不遗漏.数学思想方法是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能的关键. 只有掌握数学思想方法，才能真正领悟到数学的真谛，解题才能得心应手.跟踪练习1. （2014·江苏泰州）已知a2+3ab+b2=0（a≠0，b≠0），则代数式+的值等于_____.2. （2014·四川凉山）先化简，再求值：÷a+2-，其中a2+3a-1=0.3. （2014·新疆）解分式方程：+=1.参考答案1. -3.2. 解：原式=÷=·=，当a2+3a-1=0，即a2+3a=1时，原式=.3. 解：方程两边都乘（x+3）（x-3），得3+x（x+3）=x2-9，3+x2+3x=x2-9，3x=-12，解得x=-4.检验：把x=-4代入（x+3）（x-3）≠0，∴x=-4是原分式方程的解.（作者单位：江苏省淮安外国语学校）。

初中数学解题中整体思想的应用策略汤永梅(江苏省灌云县中学生社会实践基地ꎬ江苏连云港２２２２００)摘㊀要:新课程改革背景下ꎬ在初中数学教学中ꎬ教师应注重数学思想的渗透.整体思想是一种重要的数学思想方法ꎬ它是从整体的角度ꎬ将某个式子或者图形看作整体ꎬ根据已知条件与问题之间的联系ꎬ有意识地从整体角度解决问题.文章结合例题ꎬ探究整体思想在初中数学解题中的应用ꎬ希望为教师提供参考.关键词:整体思想ꎻ初中数学解题ꎻ应用策略中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３５－００５９－０３收稿日期:２０２３－０９－１５作者简介:汤永梅(１９７７.９－)ꎬ女ꎬ江苏省灌云人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀初中数学教学中ꎬ常见的数学思想比较多ꎬ整体思想是其中重要的思想之一ꎬ在解题中被广泛地使用ꎬ对解决数学问题有着重要的作用.整体思想是通过对问题进行整体处理来解决问题的方法ꎬ其形式比较多ꎬ如整体代换㊁整体变形㊁整体设元等.借助整体思想ꎬ对问题进行深入分析ꎬ化繁为简ꎬ有效解决数学问题[１].１利用整体思想ꎬ解决代数式求值问题代数式求值问题是中考中的常见题型ꎬ一般来说ꎬ学生通常采取逐一求解ꎬ之后代入解题ꎬ这样的解题方式计算量比较大ꎬ而且很容易因为过程繁琐出现错误.因此ꎬ教师可以引导学生利用整体思想ꎬ结合问题的条件或者结论ꎬ将其看作一个整体ꎬ通过等价代换的方式ꎬ深入分析问题ꎬ化繁为简ꎬ完成解题[２].１.１整体求解例１㊀若ａ＝４＋３ꎬｂ＝４－３ꎬ求ａａ－ａｂ－ｂａ＋ｂ的值.分析㊀此题在解答时ꎬ如果直接代入ａ㊁ｂ的值ꎬ计算过程比较繁琐.如果能够对目标式进行变换㊁化简ꎬ将ａ㊁ｂ两式相加或者相减ꎬ可以得到ａ＋ｂ和ａ－ｂ的数值ꎬ之后整体代入化简后的目标式中ꎬ求解出代数式的值.解㊀ȵａ＝４＋３ꎬʑａ＋ｂ＝８ꎬａ－ｂ＝２３ꎬ原式ａａ－ａｂ－ｂａ＋ｂ＝(ａ)２ａ(ａ－ｂ)－ｂａ＋ｂ＝ａａ－ｂ－ｂａ＋ｂ＝ａ(ａ＋ｂ)－ｂ(ａ－ｂ)(ａ－ｂ)(ａ＋ｂ)＝ａ＋ｂａ－ｂ＝８２３＝４３３.１.２分式求解例２㊀已知１ｍ－１ｎ＝３ꎬ试求解３ｍ＋４ｍｎ－３ｎｍ－２ｍｎ－ｎ的值.分析㊀此题如果从条件入手ꎬ不能逐一求解ｍ㊁ｎ的值.观察未知式ꎬ其与已知条件的联系不明显ꎬ因此ꎬ可以对未知式进行整理ꎬ构造成１ｍ－１ｎ的形式ꎬ整体代入求解.解㊀ȵ１ｍ－１ｎ＝３ꎬʑｎ－ｍｍｎ＝３ꎬ即ｎ－ｍ＝３ｍｎꎬ９５ʑｍ－ｎ＝－３ｍｎʑ原式３ｍ＋４ｍｎ－３ｎｍ－２ｍｎ－ｎ＝３(ｍ－ｎ)＋４ｍｎ(ｍ－ｎ)－２ｍｎ＝３ˑ(－３ｍｎ)＋４ｍｎ－３ｍｎ－２ｍｎ＝－５ｍｎ－５ｍｎ＝１.１.３降次求解例３㊀已知ｘ满足ｘ２－ｘ－１＝０ꎬ求解代数式－ｘ３＋２ｘ２＋２０１４的值.分析㊀对于此类求值问题ꎬ学生通常是先求解一元二次方程ꎬ不仅过程比较复杂ꎬ而且求解的根是无理数ꎬ代入所求代数式ꎬ由于代数式最高次是３次ꎬ求解难度比较大.因此ꎬ可以采取整体思想求解ꎬ对所求代数式进行转化ꎬ根据已知变形代入ꎬ完成求解.解㊀ȵｘ２－ｘ－１＝０ꎬʑｘ２－ｘ＝１ꎬȵ－ｘ３＋２ｘ２＋２０１４＝－ｘ(ｘ２－ｘ)＋ｘ２＋２０１４＝ｘ２－ｘ＋２０１４＝２０１５.２借助整体思想ꎬ解决方程及不等式问题在初中数学解题中ꎬ部分方程问题和不等式问题比较复杂ꎬ面对这些问题ꎬ学生常常会无从下手.因此ꎬ教师可以结合题目结构特点ꎬ引导学生利用整体思想ꎬ明确问题解题思路ꎬ有效简化解题过程ꎬ强化学生数学解题思维[３].２.１解答方程(组)例４㊀在实数范围内解方程:２ｘ２＋３ｘ－４＝５２ｘ２＋３ｘ.分析㊀在解此类方程问题时ꎬ不少学生会按照常规方式解题ꎬ先去分母ꎬ之后求解.这样的解题方式出现的最高次是４次ꎬ解题的难度比较大.因此ꎬ可以采取整体思想进行解题ꎬ通过对方程进行观察ꎬ利用整体换元的方式ꎬ将分式方程转化为整式方程解题.解㊀设ｙ＝２ｘ２＋３ｘꎬʑ方程２ｘ２＋３ｘ－４＝５２ｘ２＋３ｘ可以转化为ｙ－４＝５ｙꎬ即ｙ２－４ｙ－５＝０ꎬ解得ｙ＝５或ｙ＝－１ꎬ当ｙ＝５时ꎬ２ｘ２＋３ｘ＝５ꎬ解得ｘ１＝－５２ꎬｘ２＝１.当ｙ＝－１时ꎬ２ｘ２＋３ｘ＝－１ꎬ解得ｘ３＝－１２ꎬｘ４＝－１.例５㊀如果关于ｘ㊁ｙ的二元一次方程组３ｘ－ｍｙ＝５２ｘ＋ｎｙ＝６{的解是ｘ＝１ｙ＝２{ꎬ求解关于ａ㊁ｂ的方程组３(ａ＋ｂ)－ｍ(ａ－ｂ)＝５２(ａ＋ｂ)＋ｎ(ａ－ｂ)＝６{的解.分析㊀在此题解答时ꎬ如果将ｘ㊁ｙ的值代入原方程ꎬ得出ｍ㊁ｎ的值ꎬ之后代入到第二个方程中求解ａ㊁ｂ的值ꎬ解题过程比较繁琐ꎬ很容易出现解题错误.因此ꎬ通过对第二个方程进行观察分析ꎬ未知项的系数与原方程的相同ꎬ因此ꎬ可以将ａ＋ｂ㊁ａ－ｂ各看作整体ꎬ它们的值与ｘ㊁ｙ相同ꎬ可以快速得出ａ㊁ｂ的值.解㊀根据题意得出ａ＋ｂ＝１ａ－ｂ＝２{ꎬ解得ａ＝３２ｂ＝－１２ìîíïïïï.２.２解不等式(组)例６㊀已知ｘ＋２ｙ＝４ｋ＋１２ｘ＋ｙ＝ｋ＋２{ꎬ且０<ｘ＋ｙ<３ꎬ求ｋ的取值范围.分析㊀此题解题时ꎬ如果直接求解方程组ꎬ之后代入不等式ꎬ求解ｋ的取值范围ꎬ从理论上来说是可行的ꎬ但是这样的解题过程非常麻烦ꎬ难度非常大.因此ꎬ可以将题目中ｘ＋ｙ看作一个整体ꎬ对方程组进行整理ꎬ再进行分析求解ꎬ解题过程比较简单容易.解㊀根据题意ｘ＋２ｙ＝４ｋ＋１ ①２ｘ＋ｙ＝ｋ＋２ ②{ꎬ将①＋②得出３ｘ＋３ｙ＝５ｋ＋３ꎬ即ｘ＋ｙ＝５３ｋ＋１ꎬȵ０<ｘ＋ｙ<３ꎬʑ０<５３ｋ＋１<３ꎬ解得－３５<ｋ<６５.３利用整体思想ꎬ解答图形与几何问题图形与几何问题是初中数学解题中的重要题０６型ꎬ对于一些问题ꎬ采取常规方式很难解答.因此ꎬ教师可以引导学生观察整体结构特点ꎬ从整体角度分析问题ꎬ化繁为简ꎬ帮助学生快速找出解题思路ꎬ提高学生解题效率[４].３.１求解图形面积例７㊀如图１所示ꎬ在ＲｔәＡＢＣ中ꎬøＣ＝９０ʎꎬＡＣ＝４ꎬＢＣ＝２ꎬ分别以ＡＣ㊁ＢＣ作为直径画半圆ꎬ求解图中阴影部分的图形面积.(结果保留π)图１㊀例７题图分析㊀此题如果采取常规方式解题ꎬ先分别计算阴影面积ꎬ之后求和ꎬ但由于阴影部分是不规则图形ꎬ很难利用标准图形面积公式进行计算.因此ꎬ可以利用差值方式ꎬ结合标准图形解题.解㊀设各个部分的面积为Ｓ１㊁Ｓ２㊁Ｓ３㊁Ｓ４㊁Ｓ５ꎬ如图２所示ꎬ图２㊀例７分析图ȵ两个半圆的面积为Ｓ１＋Ｓ４＋Ｓ５＋Ｓ２＋Ｓ３＋Ｓ４ꎬәＡＢＣ的面积是Ｓ３＋Ｓ４＋Ｓ５ꎬ阴影部分的面积是Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ４ꎬʑ图中阴影部分的面积是两个半圆的面积减去三角形的面积ꎬ即Ｓ阴影＝１２ˑπˑ４＋１２ˑπˑ１－１２ˑ４ˑ２＝５２π－４.３.２解答几何问题例８㊀如图３所示ꎬ在әＡＢＣ中ꎬøＢＡＣ＝５０ʎꎬＢＤ是øＡＢＣ的平分线ꎬＣＤ是øＡＣＢ的平分线ꎬ求解øＢＤＣ的度数.分析㊀常规的解题方式是先求解出øＤＢＣ㊁øＤＣＢꎬ然后求解出øＢＤＣ的度数.但是ꎬ根据题目中的已知ꎬ无法求解出相应角的度数ꎬ因此ꎬ可以采图３㊀例８题图取整体思路ꎬ将øＤＢＣ㊁øＤＣＢ的度数看作整体ꎬ求解出两个角的度数和ꎬ完成解题.解㊀在әＡＢＣ中ꎬøＢＡＣ＋øＡＢＣ＋øＡＣＢ＝１８０ʎꎬȵøＢＡＣ＝５０ʎꎬʑøＡＢＣ＋øＡＣＢ＝１３０ʎꎬȵＢＤ是øＡＢＣ的平分线ꎬＣＤ是øＡＣＢ的平分线ꎬ㊀ʑøＤＢＣ＝１２øＡＢＣꎬøＤＣＢ＝１２øＡＣＢꎬʑøＤＢＣ＋øＤＣＢ＝１２(øＡＢＣ＋øＡＣＢ)＝６５ʎꎬ在әＢＤＣ中ꎬøＢＤＣ＋øＤＢＣ＋øＤＣＢ＝１８０ʎꎬʑøＢＤＣ＝１１５ʎ.在初中数学解题中ꎬ教师需要注重数学思想的渗透ꎬ引导学生分析题目整体结构ꎬ明确问题解题方向ꎬ看出问题的本质ꎬ有效利用整体思想解题.在具体的教学中ꎬ教师应当结合具体例题ꎬ引导学生总结和反思ꎬ灵活利用数学思想ꎬ锻炼学生数学思维ꎬ有效培养学生核心素养.参考文献:[１]魏爽.整体思想在初中数学解题中的妙用[Ｊ].数理天地(初中版)ꎬ２０２２(１７):８７－８８.[２]程小芹.整体思想在初中数学解题中的应用[Ｊ].语数外学习(初中版)ꎬ２０２０(４):２８－２９.[３]林芹ꎬ陈豫眉.整体思想在初中数学解题中的应用:以 图形与几何 问题为例[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０２２(１７):６２－６４.[４]张志华.登高望远ꎬ学以致用:谈 整体思想 在初中数学解题过程中的策略达成[Ｊ].中学数学(初中版)ꎬ２０２０(７).６０－６１.[责任编辑:李㊀璟]１６。

1 1 (a ) 2 a 2 2 2 ， (a ) 2 a 2 2 2 。 a a a a
二、典型例题
1 1 =6，求 x- 的值． x x 1 1 1 分析：首先由 x+ =6，x• =1，运用完全平方公式得出（xx x x 1 ＜1，即可求出 x- 的值． x 1 解：∵x+ =6， x 1 1 ∴（x- ）2=（x+ ）2-4=36-4=32， x x 1 ∴x- =±4 2 ， x
分析：将方程
1 x
+x=3 的两边平方，得：
可． 解：将方程 得： ∴
1 x
+x=3 的两边平方，
1 +2+x2=9， x2
1 2 +x =7， x2
∵x≠0， ∴
x2 = x4 x2 1
1 x2 1 1 x2
=
1 1 ． 7 1 8
三、强化练习
6．已知 a+
1 a
=5，求
a4 a2 1 的值． a2
2 7
D．-
2 7
例1 若 0＜x＜1，且 x+ 又∵0＜x＜1， ∴x-
）2=（x+
1 x
）2-4，再结合已知条件 0＜x
1 x
=-4
2． 2．
1 x
+x=3，求
故答案为-4
例 2 已知
x2 的值 x4 x2 1
1 1 x2 +2+x2=9，∴ 2 +x2=7，代入 4 化简后的式子即 x2 x x x2 1
1 a2
的值， 然后根据分式的基本性质，
分析： 把已知条件两边同时乘方， 再根据完全平方公式展开， 求出 a2+

课堂探究能力点1 分式中的符号变化问题题型导引 不改变分式的值，改变分式的分子、分母与分式本身的符号，使分式符合题目要求．【例1】不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含“－”号． (1)32b a--；(2)3y x -；(3)2b a -. 分析：(1)同时改变分子、分母的“负”号，分式值不变；(2)同时改变分子和分式本身的符号，分式值不变；(3)同时改变分母和分式本身的符号，分式值不变．解：(1)322b b a a-=-； (2)33y y x x-=-； (3)22b b a a =--. 规律总结 (1)分式的分子或分母的符号，可以直接写在分数线的前面；(2)有理数除法的符号法则“同号得正，异号得负”，在分式(两式相除)中同样适用．变式训练1．下列变形正确的是( )A ．a b a b c c -++=-B ．a a b c b c-=---- C ．a b a b a b a b -+-+=----+ D ．a b a b a b a b --+=-+- 2．不改变分式的符号，使分式33233x b--的分子、分母最高次项的系数为正数． 分析解答1．解析：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，即“符号变其二，分式值不变”．答案：D2．分析：解决此类问题，首先判断分子与分母的最高次项的符号，若分子或分母的最高次项的系数是负数，则把分子或分母的各项放到括号前是“－”号的括号内，注意放到括号内的各项都要变号，再根据分式的符号变化规律解决问题．解：33333323(32)32 3(3)3 x x xb b b----==----.能力点2 分式中的分数化为整数题型导引当分式的分子和分母中含有分数系数时，需要根据分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个适当的不等于零的数(分子、分母的分数系数的最小公倍数)，使分子、分母中的系数全都化为整数．【例2】不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项的系数都化为整数．(1)0.20.30.5x yx y-+；(2)12123m nm n+-.分析：依据分式的基本性质将每一个分式的分子、分母都扩大相同的倍数即可．解：(1)0.20.310(0.20.3)230.510(0.5)105x y x y x yx y x y x y ---==+++；(2)116362211122 26233m nm n m nm n m n m n⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==-⎛⎫--⎪⎝⎭.规律总结(1)注意分式分子、分母中的每一项都要同时扩大相同的倍数．(2)将系数化为整数后，还要检查一下分子、分母有没有公约数，如果有，要继续运用分式的基本性质，把分子、分母都除以这个公约数．变式训练1．不改变分式0.510.32xx-+的值，把分子、分母中的各项系数都化为整数，则所得的结果是()A．5132xx-+B．510320xx-+C．2132xx-+D．2320xx-+2．将分式10.221243x yx y-+的分子和分母中的分数系数都化为整数．分析解答1．解析：本题中有的系数含有小数，且所有小数点后的位数都是1位，所以原分式的分子、分母都乘以10，故应选B.答案：B2．解：111600.2123052212121540604343x y x y x y x y x y x y ⎛⎫-⨯-⎪-⎝⎭==+⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭. 综合应用综合点1 分式的化简求值应用概述 由已知条件，根据分式的基本性质，适当把分式进行变形，分式化为最简，然后再把未知数的值代入求值，或使变形后的分式出现已知条件的形式，然后把已知条件代入变形后的分式，来求分式的值．【例1】先化简，后求值． (1)22m mn mn n++，其中m ＝－28，n ＝56. (2)2222444a ab b a b-+-，其中12a =-，b ＝1. 分析：求代数式的值时，应先仔细观察原式能否化简，若能化简，要先化简，再代入求值，使运算简便．解：(1)22()()m mn m m n m mn n n m n n++==++. 当m ＝－28，n ＝56时，281562-==-原式. (2)2222244(2)24(2)(2)2a ab b a b a b a b a b a b a b-+--==-+-+. 当12a =-，b ＝1时，原式＝15215221332122--⨯-==--+⨯. 规律总结 若已知条件是分式的形式，常常把要求值的分式的分子、分母同除以一个适当式子进行变形，使要求值的分式出现已知的形式．迁移训练1．已知3x y =，求222223x xy y x xy y +--+的值． 2．如果132a a -=，求1a a+的值． 分析解答1．分析：由已知条件可知，y ≠0.利用分式的基本性质，用y 2去除待求式的分子与分母，再将其变形，使之出现条件式x y ，把3x y=代入即可求解． 解：22222223239631293171x x y y x xy y x xy y x x y y ⎛⎫+- ⎪+-+-⎝⎭===-+-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 2．分析：在分式的求值问题中，经常运用整体思想解决问题．当已知条件与要求的分式形式上有些相似，但又有区别时，要灵活运用整体思想，把已知条件或要求的分式进行变形，把已知条件整体转化．解：因为132a a -=，两边平方，得221924a a +-=， 所以21944a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即21254a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.所以152a a +=±. 综合点2 分式的应用应用概述 在实际问题中，根据题意列出分式，再根据分式的基本性质，把分式约分或通分，从而来解决有关分式的实际问题．【例2】(1)要配制一种盐水，将m g 盐完全溶解于n g 水后仍然达不到所需的含盐量，又加入5 g 盐完全溶解后才符合要求．请问：要配制的盐水的含盐量是多少？(2)小李将单价为m 元/kg 的茶叶100 kg 和单价为n 元/kg 的茶叶200 kg 混合，求两次的平均价格；若m ＝60，n ＝30时，混合茶叶出售的平均价是多少？分析：(1)根据有m g 盐完全溶解于n g 水后，又加入5 g 盐，得出总盐有(5＋m )g ，盐水有(m ＋n ＋5)g ，即可得出答案．(2)平均价格＝总价÷总数量，把相关数值代入后即可求值．解：(1)根据题意得：要配制的盐水的含盐量是：55m m n +++. (2)由题意得，平均价格为10020021002003m n m n ++=+. 当m ＝60，n ＝30时，60230403+⨯==原式，即混合茶叶出售的平均价是40元/kg. 规律总结 实际问题中的数量关系，是解决应用题的关键．迁移训练1．有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度．先称出这捆钢筋的总质量为m kg ，再从中截取5 m 长的钢筋，称出它的质量为n kg ，那么这捆钢筋的总长度为( )A ． m m nB ． m 5mnC ．5 m m nD ．55m m n ⎛⎫- ⎪⎝⎭2．底面为正方形的长方体，体积为32 cm 3，底面边长为x cm ，请用含x 的式子表示这个长方体的高h ，并求当底面棱长x ＝2 cm 时，h 的值．分析解答1．解析：此题要根据题意列出代数式．可先求1 kg 钢筋的长度，即5m n ，再求m kg 钢筋的长度．答案：C2．分析：先根据长方体的体积公式得出x 2h ＝32，再把等式进行整理，最后把x ＝2 cm 代入计算即可．解：∵长方体底面为正方形，体积为32 cm 3，底面边长为x cm ，这个长方体的高为h cm ， ∴x 2h ＝32，∴232h x=. 当底面棱长x ＝2 cm 时，2328cm h x ==.。

重点：1.掌握设参数法进行分式运算；2.利用公式变形进行分式运算；3.掌握整体通分的思想方法。

难点：会选用恰当的方法解决与分式有关的问题。

微课程1：设k 求值【考点精讲】运用已知条件，求代数式的值是数学学习的重要内容之一。

除了常规代入求值法，还要根据题目的特点，灵活运用恰当的方法和技巧，才能达到预期的目的。

如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数，以便沟通数量关系，设k 求值，也叫做设参数法。

通常是用含有字母的代数式来表示变量，这个代数式叫作参数式，其中的字母叫做参数。

参数法，是许多解题技巧的源泉。

【典例精析】例题1已知0345a b c ==≠，求322a b ca b c-+--的值。

思路导航：首先设345a b c k ===，则可得a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ，然后将其代入322a b ca b c-+--，即可求得答案。

答案：解：设345a b ck ===（k≠0），则a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ， 所以322a b c a b c -+--＝332453245k k k k k k ⨯-⨯+-⨯-＝610k k -＝35-点评：本题考查了运用设k 值的方法求分式的值，用“设k 法”表示出a 、b 、c 可以使运算更加简便。

例题2已知a ，b ，c 均不为0，且232537a b b c c a +--==，求223c bb a-+的值。

思路导航：仔细观察223c bb a-+，只要a 、b 、c 用同一个未知数表示，就可以约去分式中的未知数。

所以，设232537a b b c c a+--==＝k ，用k 来表示a 、b 、c ，然后将其代入所求的分式即可。

答案：解：设232537a b b c c a+--==＝k ， 则a ＋2b ＝5k ，① 3b －c ＝3k ，②2c －a ＝7k ，③由①＋③得，2b ＋2c ＝12k ， ∴b ＋c ＝6k ，④ 由②＋④，得4b ＝9k ， ∴b ＝94k ，分别代入①、④得， a ＝12k ， c ＝154k ，∴223c b b a -+＝159429322k k k k -+＝346kk -＝18- 例题3已知b c a c a b a b c +++==，计算()()()a b b c c a abc +++。

分式的整体思想求值总结分数是数学中非常重要的概念，它在各个领域中都有广泛的应用。

分数可以帮助我们描述比例、比率、概率等概念，同时也可以帮助我们进行计算和求解问题。

在学习分数的过程中，我们会遇到各种各样的分式，我们需要学会将其化简、比较大小、加减乘除以及求值。

下面我们将对这些方面逐一进行探讨。

首先，分式的化简是分式运算中的基本操作。

化简一个分式的过程，就是将其化为最简形式，即分子和分母没有公因数或互质的形式。

例如，将分式$\frac{2}{4}$化简为最简形式，我们可以将分子和分母都除以它们的最大公约数，得到$\frac{1}{2}$。

接下来，我们需要学会比较分式的大小。

当分子和分母不同时，我们可以通过找到它们的公共分母，然后比较分子的大小来确定分式的大小。

例如，比较$\frac{1}{2}$和$\frac{2}{3}$的大小，我们可以先找到它们的公共分母为6，然后比较$\frac{3}{6}$和$\frac{4}{6}$的大小，得知$\frac{1}{2}$小于$\frac{2}{3}$。

在进行分式的加减乘除运算时，我们需要先找到它们的公共分母，然后根据运算规则进行计算。

例如，计算$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}$，我们可以先找到它们的公共分母为6，然后将分子相加得到$\frac{7}{6}$。

对于分式的乘法和除法运算，我们可以直接将分子相乘或除以，分母相乘或除以。

例如，计算$\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}$，我们可以直接将分子1和分母2相乘，分子2和分母3相乘，得到$\frac{2}{6}$。

最后，我们需要学会对分式进行求值。

求值是指根据给定的实际数值，计算分式的结果。

例如，求值$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}$，我们可以先找到它们的公共分母为6，然后将分子相加得到$\frac{5}{6}$，最后将结果化简为最简形式得到$\frac{5}{6}$。

分式求值中的思想已知分式中的字母所满足的条件，求分式的值是最常见的一类题型，解决这类问题时，我们常用以下几种思想方法．一、消元思想例1 已知x 、y 、z 均不为零，且有|4x －3y －6z |+(2x －2y －2z )2=0，求分式22222275632z y x z y x +-++的值． 分析：先将z 看作“常数”，从已知条件中求出x 、y ，然后再代入分式进行化简． 解：由已知可得⎩⎨⎧=--=--02220634z y x z y x ，以x 、y 为主元解得x=3z ，y=2z ．所以原式=2222227)2(5)3(6)2(3)3(2zz z z z z +⋅-+⋅+⋅=22436z z -=－9． 二、参数思想例2 已知2x =3y =4z ，求分式22223z y x xz yz xy ++++的值． 分析：此题若用消元思想，分别用z 表示x 、y ，然后代入可以求值，但运算量较大；如果利用参数思想，设2x =3y =4z =k ，则有x=2k ，y=3k ，z=4k ，再代入计算可减少运算量． 解：设2x =3y =4z =k ，则有x=2k ，y=3k ，z=4k ，所以原式=222)4()3(2)2(3424332k k k k k k k k k +⋅+⋅⋅+⋅+⋅= 22)161812()8126(k k ++++=2313． 三、整体思想例3 已知x －y=4xy ，求yxy x y xy x ---+2232的值． 分析：一个方程两个未知数，显然无法求出x 、y ，可把所求分式作适当变形，视x －y 为一个整体代入．解：因为原式=xy y x xy y x 2)(3)(2--+-，而x －y=4xy ，所以原式=xy xy xy xy 24342-+⨯=211211=xy xy ． 四、分类讨论思想例4 已知x+y+z=0，且xyz ≠0，求分式z y x ++z x y ++yx z +的值． 分析：根据x+y+z=0且xyz ≠0知，x 、y 、z 中有两正一负或两负一正两种情况，故应分类加以讨论．解：（1）当x 、y 、z 中是两正一负，不妨设x 、y 为正，z 为负，则原式=x x -+y y -+zz -=1+1－1=1； （2）当x 、y 、z 中是两负一正，不妨设x 为正，y 、z 为负，则原式=x x -+y y -+zz -=1－1－1=－1．。

专题一 分式的意义及性质的4种题型题型1：分式的识别1．在3x 4x －2，－5x 2＋7，4x －25，2m ，x 2π＋1，2m 2m 中，不是分式的式子有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：4x －25，2m ，x 2π＋1不是分式．选C2．从a －1，3＋π，2，x 2＋5中任选2个构成分式，共有________个． 解析：以a －1为分母，可构成3个分式；以x 2＋5为分母，可构成3个分式，∴共可构成6个分式．题型2：分式有无意义的条件3．若代数式1a －4在实数范围内有意义，则实数a 的取值范围为( )A ．a ＝4B ．a >4C ．a <4D ．a ≠4解析：D4．当x ＝________时，分式x －1x 2－1无意义． 解析：±15．已知不论x 为何实数，分式3x ＋5x 2－6x ＋m 总有意义，试求m 的取值范围．解析：x 2－6x ＋m ＝(x －3)2＋(m －9)． ∵(x －3)2≥0，∴当m －9＞0，即m ＞9时，x 2－6x ＋m 始终为正数，分式总有意义．题型3：分式值为正、负数或0的条件6．若x ＋2x 2－2x ＋1的值为正数，则x 的取值范围是解析：x 2－2x ＋1＝(x －1)2，∵分式的值为正数，∴x ＋2＞0且x －1≠0.解得x ＞－2且x ≠17．已知分式a －1a 2－b2的值为0，求a 的值及b 的取值范围．解析：∵分式a －1a 2－b2的值为0，∴a －1＝0且a 2－b 2≠0，解得a ＝1且b ≠±1.题型4：分式的基本性质及其应用 8．下列各式正确的是( ) A.a b ＝a 2b 2B.a b ＝ab a ＋bC.a b ＝a ＋c b ＋cD.a b ＝abb2 解析：选D9．要使式子1x －3＝x ＋2x 2－x －6从左到右的变形成立，x 应满足的条件是( ) A ．x ＞－2B ．x ＝－2C ．x ＜－2D ．x ≠－2解析：选B10．已知 x 4＝y 6＝z7≠0，求 x ＋2y ＋3z 6x －5y ＋4z 的值．解析：设x 4＝y 6＝z7＝k (k ≠0)，则x ＝4k ，y ＝6k ，z ＝7∴x ＋2y ＋3z 6x －5y ＋4z ＝4k ＋2×6k ＋3×7k 6×4k －5×6k ＋4×7k ＝37k 22k ＝372211．已知x ＋y ＋z ＝0，xyz ≠0，求x |y ＋z|＋y |z ＋x|＋z|x ＋y|的值解析：由x ＋y ＋z ＝0，xyz ≠0可知，x ，y ，z 必为两正一负或两负一正当x ，y ，z 为两正一负时，设x ＞0，y ＞0，z ＜0，原式＝x |－x|＋y |－y|＋z|－z|＝1＋1－1＝1当x ，y ，z 为两负一正时，设x ＞0，y ＜0，z ＜0，原式＝x |－x|＋y |－y|＋z|－z|＝1－1－1＝－1.综上所述，所求式子的值为1或－1专题二 分式8种运算技巧技巧1：约分计算法 1．计算：a 2＋6a a 2＋3a －a 2－9a 2＋6a ＋9.解析：原式＝a （a ＋6）a （a ＋3）－（a ＋3）（a －3）（a ＋3）2＝a ＋6a ＋3－a －3a ＋3＝9a ＋3. 小结：在分式的加减运算中，若分式的分子、分母是多项式，则首先把能因式分解的分子、分母分解因式，其次把分子、分母能约分的先约分，然后再计算，这样可简化计算过程．技巧2：整体通分法 2．计算：a －2＋4a ＋2.解析：原式＝a －21＋4a ＋2＝a 2－4a ＋2＋4a ＋2＝a 2a ＋2.小结：整式与分式相加减时，可以先将整式看成分母为1的式子，然后通分相加减．技巧3：顺次相加法3．计算：1x －1＋1x ＋1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1.解析：原式＝x ＋1x 2－1＋x －1x 2－1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1＝2x x 2－1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1＝2x （x 2＋1）＋2x （x 2－1）（x 2－1）（x 2＋1）＋4x 3x 4＋1＝4x 3x 4－1＋4x 3x 4＋1＝4x 3（x 4＋1）＋4x 3（x 4－1）（x 4－1）（x 4＋1） ＝8x 7x 8－1. 小结：此类题在计算时，采用“分步通分相加”的方法，逐步递进进行计算，达到化繁为简的目的．在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑．4．计算：(3m －2n )＋（3m －2n ）33m －2n ＋1－(3m －2n )2＋2n －3m3m －2n －1.解析：设3m －2n ＝x ， 则原式＝x ＋x 3x ＋1－x 2－xx －1＝x （x 2－1）＋x 3（x －1）－x 2（x 2－1）－x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝－2x（x ＋1）（x －1） ＝4n －6m（3m －2n ＋1）（3m －2n －1）.技巧5：裂项相消法⎝ ⎛⎭⎪⎫即1n （n ＋1）＝1n －1n ＋15．计算：1a （a ＋1）＋1（a ＋1）（a ＋2）＋1（a ＋2）（a ＋3）＋…＋1（a ＋99）（a ＋100）.解析：原式＝1a －1a ＋1＋1a ＋1－1a ＋2＋1a ＋2－1a ＋3＋…＋1a ＋99－1a ＋100＝1a －1a ＋100 ＝100a （a ＋100）小结：对于分子是1，分母是相差为1的两个整式积的分式相加减，常用1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1进行裂项，然后相加减，这样可以抵消一些项．技巧6：整体代入法6．已知1a ＋1b ＝16，1b ＋1c ＝19，1a ＋1c ＝115，求abcab ＋bc ＋ac 的值．解析：1a ＋1b ＝16，1b ＋1c ＝19，1a ＋1c ＝115，上面各式两边分别相加，得⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ×2＝16＋19＋115， 所以1a ＋1b ＋1c ＝31180.易知abc ≠0，所以abc ab ＋bc ＋ac ＝11c ＋1a ＋1b ＝18031.7．已知 x x 2－3x ＋1＝－1，求x 2x 4－9x 2＋1的值．解析：由xx 2－3x ＋1＝－1，知x ≠0，所以x 2－3x ＋1x ＝－1.所以x －3＋1x ＝－1.即x ＋1x＝2.所以x 4－9x 2＋1x 2＝x 2－9＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－11＝22－11＝－7. 所以x 2x 4－9x 2＋1＝－17.技巧8：消元法8．已知4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0，且xyz ≠0，求5x 2＋2y 2－z 22x 2－3y 2－10z 2的值．解析：以x ，y 为主元，将已知的两个等式化为⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝6z ，x ＋2y ＝7z.解得x ＝3z ，y ＝2z . 因为xyz ≠0，所以z ≠0.所以原式＝5×9z 2＋2×4z 2－z 22×9z 2－3×4z 2－10z 2＝－13.小结：此题无法直接求出x ，y ，z 的值，因此需将三个未知数的其中一个作为常数，解关于另外两个未知数的二元一次方程组，然后代入待求值的分式消元求值．专题三 分式方程解求字母的值或范围4大技巧技巧1：利用分式方程解的定义求字母的值1．已知关于x 的分式方程2x ＋4＝m x 与分式方程32x ＝1x －1的解相同，求m 2－2m 的值．解析：解分式方程32x ＝1x －1，得x ＝3.经检验，x ＝3是该方程的解． 将x ＝3代入2x ＋4＝mx ，得27＝m 3.解得m ＝67. ∴m 2－2m ＝⎝⎛⎭⎫672－2×67＝－4849.技巧2：利用分式方程有解求字母的取值范围2．若关于x 的方程x －2x －3＝m x －3＋2有解，求m 的取值范围．解析：去分母并整理，得x ＋m －4＝0.解得x ＝4－m . ∵分式方程有解， ∴x ＝4－m 不能为增根． ∴4－m ≠3.解得m ≠1.∴当m ≠1时，原分式方程有解．技巧3：利用分式方程有增根求字母的值 3．如果解关于x 的分式方程m x －2－2x 2－x＝1时出现增根，那么m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．4D ．－4解析：D4．若关于x 的方程m x 2－9＋2x ＋3＝1x －3有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m 的值．解析：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x ＋3)(x －3)＝0， 所以x ＝3或x ＝－3是原方程的增根．原方程两边同乘(x ＋3)(x －3)，得m ＋2(x －3)＝x ＋3. 当x ＝3时，m ＋2×(3－3)＝3＋3，解得m ＝6； 当x ＝－3时，m ＋2×(－3－3)＝－3＋3，解得m ＝12. 综上所述，原方程的增根是x ＝3或x ＝－3. 当x ＝3时，m ＝6； 当x ＝－3时，m ＝12.小结：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的m 的值．技巧4： 利用分式方程无解求字母的值5．若关于x 的分式方程x －ax ＋1＝a 无解，则a ＝________.解析：1或－16．已知关于x 的方程x －4x －3－m －4＝m3－x无解，求m 的值．解析：原方程可化为(m ＋3)x ＝4m ＋8.由于原方程无解，故有以下两种情形： (1)若整式方程无实根，则m ＋3＝0且4m ＋8≠0，此时m ＝－3；(2)若整式方程根是原方程增根，4m ＋8m ＋3＝3，解得m ＝1.经检验，m ＝1是方程4m ＋8m ＋3＝3解综上所述，m 的值为－3或1.7．已知关于x 的分式方程x ＋a x －2－5x ＝1.(1)若方程的增根为x ＝2，求a 的值； (2)若方程有增根，求a 的值； (3)若方程无解，求a 的值．解析：原方程去分母并整理，得(3－a )x ＝10. (1)因为原方程的增根为x ＝2， 所以(3－a )×2＝10.解得a ＝－2. (2)因为原分式方程有增根， 所以x (x －2)＝0.解得x ＝0或x ＝2.因为x ＝0不可能是整式方程(3－a )x ＝10的解， 所以原分式方程的增根为x ＝2. 所以(3－a )×2＝10. 解得a ＝－2.(3)①当3－a ＝0，即a ＝3时，整式方程(3－a )x ＝10无解，则原分式方程也无解； ②当3－a ≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，a ＝－2. 综上所述，a 的值为3或－2.小结：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的解使最简公分母等于0或整式方程无解．专题四 5种分式求值方法方法1： 直接代入法求值 1．先化简，再求值：⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋1＋a ＋2a 2－1÷a a －1，其中a ＝5.解析：原式＝[2a ＋1＋a ＋2（a ＋1）（a －1）]·a －1a＝2（a －1）＋（a ＋2）（a ＋1）（a －1）·a －1a＝3a ＋1. 当a ＝5时，3a ＋1＝35＋1＝12.方法2：活用公式求值2．已知实数x 满足x 2－5x ＋1＝0，求x 4＋1x 4的值．解析：由x 2－5x ＋1＝0得x ≠0， ∴x ＋1x＝5.∴⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＝25.∴x 2＋1x 2＝23. ∴x 4＋1x4＝⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22－2＝232－2＝527. 小结：在求解有关分式中两数(或两式)的平方和问题时，可考虑运用完全平方公式进行解答．3．已知x ＋y ＝12，xy ＝9，求x 2＋3xy ＋y 2x 2y ＋xy 2的值．解析：x 2＋3xy ＋y 2x 2y ＋xy 2＝x 2＋2xy ＋y 2＋xy xy （x ＋y ）＝（x ＋y ）2＋xy xy （x ＋y ）.因为x ＋y ＝12，xy ＝9， 所以（x ＋y ）2＋xy xy （x ＋y ）＝122＋99×12＝1712.方法3：整体代入法求值4．已知x y ＋z ＋y z ＋x ＋z x ＋y ＝1，且x ＋y ＋z ≠0，求x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y 的值．解析：因为x ＋y ＋z ≠0，所以等式的两边同时乘x ＋y ＋z ，得x （x ＋y ＋z ）y ＋z ＋y （x ＋y ＋z ）z ＋x ＋z （x ＋y ＋z ）x ＋y＝x ＋y ＋z ，所以x 2y ＋z ＋x （y ＋z ）y ＋z ＋y 2z ＋x ＋y （z ＋x ）z ＋x ＋z 2x ＋y ＋z （x ＋y ）x ＋y ＝x ＋y ＋z .所以x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y ＋x ＋y ＋z ＝x ＋y ＋z .所以x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y＝0.小结：条件分式的求值，如需对已知条件或所求条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能收到事半功倍的效果．条件分式的求值问题体现了数学中的整体思想和转化思想．方法4：巧变形法求值5．已知实数x 满足4x 2－4x ＋1＝0，求2x ＋12x 的值．解析：∵4x 2－4x ＋1＝0， ∴(2x －1)2＝0.∴2x ＝1. ∴2x ＋12x ＝1＋11＝2.方法5：设参数求值6．已知x 2＝y 3＝z4≠0，求x 2－y 2＋2z 2xy ＋yz ＋xz 的值．解析：设x 2＝y 3＝z4＝k ≠0，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k .所以x 2－y 2＋2z 2xy ＋yz ＋xz ＝（2k ）2－（3k ）2＋2（4k ）22k·3k ＋3k·4k ＋2k·4k＝27k 226k 2＝2726.专题五 热门考点整合应用考点1：三个概念概念1 分式1．下列说法中，正确的是( )A ．分式的分子中一定含有字母B ．分母中含有字母的式子是分式C ．分数一定是分式D ．式子A B一定是分式(A ，B 为整式) 解析：B2．若式子1x 2－2x ＋m不论x 取任何数总有意义，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥1 B ．m >1 C ．m ≤1 D ．m <1解析：∵x 2－2x ＋m ＝x 2－2x ＋1＋m －1＝(x －1)2＋m －1，∴当m －1>0，即m >1时，式子1x 2－2x ＋m总有意义，选B概念2 分式方程34．某服装店用10 000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14 700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x 件衬衫，则所列方程为( ) A.10 000x －10＝14 700（1＋40%）xB.10 000x ＋10＝14 700（1＋40%）xC.10 000（1－40%）x－10＝14 700x D.10 000（1－40%）x＋10＝14 700x 解析：B4．下列关于x 的方程：①x 2－x －13＝6；②x 900＝500x －30；③x 3＋1＝32x ；④a 2x ＝1x ；⑤320x －400x＝4；⑥x a ＝35－x ，其中分式方程有 ．(填序号) 解析：②④⑤概念3 增根5．若关于x 的方程x －4x －5－3＝a x －5有增根，则增根为( ) A ．x ＝6B ．x ＝5C ．x ＝4D ．x ＝3解析：B6．已知关于x 的方程21＋x －k 1－x ＝6x 2－1有增根x ＝1，求k 的值． 解析：方程两边同乘x 2－1，得2(x －1)＋k (x ＋1)＝6.整理得(2＋k )x ＋k －8＝0.∵原分式方程有增根x ＝1，∴2＋k ＋k －8＝0.解得k ＝3.7．若关于x 的分式方程2m ＋x x －3－1＝2x 无解，求m 的值． 解析：方程两边都乘x (x －3)，得(2m ＋x )x －x (x －3)＝2(x －3)，即(2m ＋1)x ＝－6.①(1)当2m ＋1＝0时，此方程无解，∴原分式方程也无解．此时m ＝－0.5；(2)当2m ＋1≠0时，要使关于x 的分式方程2m ＋x x －3－1＝2x 无解， 则x ＝0或x －3＝0，即x ＝0或x ＝3.把x ＝0代入①，m 的值不存在；把x ＝3代入①，得3(2m ＋1)＝－6，解得m ＝－1.5.∴m 的值是－0.5或－1.5.考点2：一个性质——分式的基本性质8．不改变下列分式的值，将分式的分子和分母中的各项的系数化为整数．(1)15x －12y 14x ＋23y ； (2)0.1x ＋0.3y 0.5x －0.02y . 解析：(1)原式＝12x －30y 15x ＋40y ；(2)原式＝5x ＋15y 25x －y.考点3：一种运算——分式的运算9．先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫2ab 2a ＋b 3÷⎝⎛⎭⎫ab 3a 2－b 22·⎣⎡⎦⎤12（a －b ）2，其中a ＝－12，b ＝23. 解析：原式＝（2ab 2）3（a ＋b ）3·（a 2－b 2）2（ab 3）2·14（a －b ）2＝8a 3b 6（a ＋b ）3·（a ＋b ）2（a －b ）2a 2b 6·14（a －b ）2＝2a a ＋b . 当a ＝－12，b ＝23时，2a a ＋b ＝2×⎝⎛⎭⎫－12－12＋23＝－6.考点4：一个解法——分式方程的解法10．小明解方程1x －x －2x＝1的过程如下．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．解析：方程两边同乘x ，得1－(x －2)＝1.……①去括号，得1－x －2＝1.……②合并同类项，得－x －1＝1.……③移项，得－x ＝2.……④解得x ＝－2.……⑤∴原方程的解为x ＝－2.……⑥解析：步骤①去分母时，没有在等号右边乘x ；步骤②括号前面是“－”，去括号时，没有变号；步骤⑥前没有检验．正确的解答过程如下：解析：方程两边都乘x ，得1－(x －2)＝x ，去括号，得1－x ＋2＝x ，移项、合并同类项，得－2x ＝－3，解得x ＝32. 经检验x ＝32是原分式方程的解．考点5：一个应用——分式方程的应用11．近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A ，B 两种设备．每台B 种设备价格比每台A 种设备价格多0.7万元，花3万元购买A 种设备和花7.2万元购买B 种设备的数量相同．(1)求A 种、B 种设备每台各多少万元？(2)根据单位实际情况，需购进A ，B 两种设备共20台，总费用不高于15万元，求A 种设备至少要购买多少台？解析：(1)设每台A 种设备x 万元，则每台B 种设备(x ＋0.7)万元，根据题意，得3x ＝7.2x ＋0.7. 解得x ＝0.5.经检验，x ＝0.5是原方程的解且符合题意．∴x ＋0.7＝1.2.答：每台A 种设备0.5万元，每台B 种设备1.2万元．(2)设购买A 种设备m 台，则购买B 种设备(20－m )台，根据题意，得0.5m ＋1.2(20－m )≤15.解得m ≥907. ∵m 为整数，∴m ≥13.答：A 种设备至少要购买13台．考点6：四种思想思想1 数形结合思想12．如图，点A ，B 在数轴上，它们所表示的数分别是－4，2x ＋23x －5，且点A ，B 到原点的距离相等，求x 的值．(第12题)解析：由题意，得2x ＋23x －5＝4. 去分母，得2x ＋2＝4(3x －5)．解得x ＝2.2.经检验，x ＝2.2是原方程的根．所以x 的值是2.2.小结：本题运用了数形结合思想，通过观察数轴上A ，B 两点的位置情况并结合已知条件“点A ，B 到原点的距离相等”可知，A ，B 两点所表示的数互为相反数，于是可建立方程求出x 的值．思想2 整体思想13．已知实数a 满足a 2＋4a －8＝0，求1a ＋1－a ＋3a 2－1·a 2－2a ＋1a 2＋6a ＋9的值． 解析：原式＝1a ＋1－a ＋3（a ＋1）（a －1）·（a －1）2（a ＋3）2＝1a ＋1－a －1（a ＋1）（a ＋3） ＝4（a ＋1）（a ＋3） ＝4a 2＋4a ＋3. 由a 2＋4a －8＝0得a 2＋4a ＝8，故4a 2＋4a ＋3＝411. 小结：本题根据已知条件求出a 的值很困难，因此考虑将已知条件变形后整体代入化简后的式子思想3 消元思想14．已知2x －3y ＋z ＝0，3x －2y －6z ＝0，且z ≠0，求x 2＋y 2＋z 22x 2＋y 2－z 2的值． 解析：由2x －3y ＋z ＝0，3x －2y －6z ＝0，z ≠0，得到⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝－z ，3x －2y ＝6z.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4z ，y ＝3z. 所以原式＝（4z ）2＋（3z ）2＋z 22（4z ）2＋（3z ）2－z 2＝16z 2＋9z 2＋z 232z 2＋9z 2－z 2＝1320. 小结：本题先用含z 的式子分别表示出x 与y ，然后代入所求式子消去x ，y 这两个未知数，从而简化求值过程，体现了消元思想．思想4 类比思想15．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －b a ＋b －b a －b ÷a －2b a －b. 解析：原式＝（2a －b ）（a －b ）－b （a ＋b ）（a ＋b ）（a －b ）·a －b a －2b＝2a 2－2ab －ab ＋b 2－ab －b 2（a ＋b ）（a －2b ）＝2a 2－4ab （a ＋b ）（a －2b ）＝2a （a －2b ）（a ＋b ）（a －2b ）＝2a a ＋b小结：本题是类比思想的典范，分式的性质、运算顺序、运算律都可以类比分数的相关知识。

解：由已知条件可知，xy≠0. 原式＝（（2xx－ ＋32xxyy－ －2y）y）÷÷（（－－xxy）y）＝2（（1x1x－－1y1y））－＋23. ∵1x－1y＝5， ∴原式＝2×5－5＋2 3＝133.
方法 2 引入参数法求值 2．已知x3＝y4＝7z≠0，求3x＋yy＋z的值．
解：设x3＝y4＝7z＝k≠0，则 x＝3k，y＝4k，z＝7k. ∴原式＝3×3k＋4k4k＋7k＝240kk＝5.
方法 3 消元法求值 3．已知ba＝dc＝2，求a＋a b和cc＋－dd的值．
解：∵ba＝dc＝2，∴a＝2b，c＝2d. ∴a＋a b＝2b2＋b b＝32. ∴cc－ ＋dd＝22dd－ ＋dd＝13.
4．【整体思想】已知1a＋1b＝6，求aa＋－132aabb＋＋bb的值．
解：由1a＋1b＝6，得b＋ aba＝6，∴a＋b＝6ab. ∴aa＋－132aabb＋＋bb＝aa＋＋bb＋－132aabb＝66aabb＋－132aabb＝138aabb＝16.
面的题目： 已知x2－3xx＋1＝15，求x4＋xx22＋1的值．
解：由x2－3xx＋1＝15知 x≠0， ∴x2－3xx＋1＝5，即 x－3＋1x＝5.∴x＋1x＝8. ∴x4＋xx22＋1＝x2＋1＋x12＝(x＋1x)2－1＝82－1＝63. ∴x4＋xx22＋1＝613.
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方法 1 利用分式的基本性质求值 1．【整体思想】已知1x－1y＝5，求分式2xx－ ＋32xxyy－ －2yy的值．
方法 4 整体代入法求值 5．已知 a2－a＋1＝2，则a2－2 a＋a－a2 的值为 1 ． 6．若 a2＋5ab－b2＝0，则ba－ba的值为 5 ．

分式化简求值中的数学思想数学思想和方法是数学知识的精髓，也是知识转化为能力的桥梁.所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识.所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映.数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为.分式的化简求值运算中蕴含着很多的数学思想，值得我们关注.一、整体思想所谓整体思想，就是把所考察的对象，作为一个整体来对待，而这个整体是各要素按一定的思路组合成的有机统一体.从整体上去认识问题，思考问题，是一种重要的思想方法.例1 已知1a-1b=4，求a-2ab-b2a-2b+7ab的值.解析：可以把1a-1b看成一个整体，将所求分式的分子、分母同除以ab，即可采用整体代入.或者由已知条件得a－b=－4ab，将a－b看做一个整体代入求值即可.方法１：a-2ab-b2a-2b+7ab=1b-2-1a2b-2a+7=-(1a-1b)-2-2(1a-1b)+7=-4-2-2×4+7=6.方法２：由1a-1b=4，得a－b=－4ab.a-2ab-b2a-2b+7ab=(a-b)-2ab2(a-b)+7ab=-4ab-2ab2(-4ab)+7ab==6.二、逆向思维逆向思维也叫求异思维，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式.人们习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法.其实，对于某些问题，尤其是一些特殊问题，从结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化，解决起来也变得轻而易举，甚至因此而有所发现，创造出惊天动地的奇迹来.例２已知a、b、c为实数，且aba+b=13,bcb+c=14,aca+c=15,求1a+1b+1c的值.解析：对于条件，可以先取其倒数，然后再拆分，即可得到a、b、c的倒数.由aba+b=13，得a+bab=3，即1a+1b=3.同理，可得1b＋1c=4，1a+1c=5.2（1a＋1b＋1c）=12，1a＋1b＋1c=6.三、消元转化的思想转化是指把生疏的问题转化熟悉的问题，把抽象的问题转化为具体的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把一般的问题转化为特殊问题，把未知的转化为已知的.题目中有时会有多个未知元，给解题带来困难，可以通过转化将多元化为一元.例3 已知3x+y=4y+z=5x+z，求xyz(x+y)（y+z）(x+z)的值.解析：本题含有三个未知元，可以通过已知条件将三个未知量统一转化成一个未知量.由题意设x+y=3k，y+z=4kx+z=5k，（k≠0）,解方程组得：x=2k，y=k，z=3k.所以xyz(x+y)(y+z)(x+z)=2k&#8226;k&#8226;3k3k&#8226;4k&#8226; 5k=110.四、方程的思想方程思想，是指从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.例4 若分式4x-93x2-x-2=A3x+2-Bx-1（A、B为常数），求A、B的值.解析：解决本题的关键是将等式的右面通分，利用“两个分式的值相等，若分母相同，则分子的值也相等”来构造方程组解题.A3x+2-Bx-1=A(x-1)-B(3x+2)(3x+2)(x-1)=(A-3B)x+(-A-2B)3x2-x-2=4x-93x2-x-2.比较上边的等式，得方程组A-3B=4，-A-2B=-9..解得A=7,B=1.五、特殊值的思想特殊值就是在字母的取值范围内，将字母赋于一些符合条件的特殊值，然后将这些值代入分式中进行计算.这种方法简单方便.注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF 格式阅读原文。