【精品】分式求值的方法与技巧

分式运算中的常用技巧与方法分式运算的常用技巧与方法举例1. 整体通分法例1．化简：21a a --a-1 分析 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。

解：21a a --a-1=21a a --(a+1)= 21a a --(1)(1)1a a a -+-=22(1)1a a a ---=11a - 练习：计算112+-+a a a 2. 逐项通分法例2．计算1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b - 分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法 解：1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b -=22()()a b a b a b +----222b a b +-3444b a b- =222b a b --222b a b +-3444b a b -=2222442()2()b a b b a b a b+----3444b a b - =3444b a b --3444b a b -=0 练习：计算2111111x x x ++++- 3.先约分，后通分例3．计算：2262a a a a +++22444a a a -++ 分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算 解：2262a a a a +++22444a a a -++=(6)(2)a a a a +++2(2)(2)(2)a a a +-+=62a a +++22a a -+=242a a ++=2 练习：计算：343622322222+--+--+-+--x x x x x x x x x4. 裂项相消法例4 计算)3)(2(1)2)(1(111--+--+-x x x x x分析 我们看到题目中每一个分式的分母是两个因数之积，而分子又是一个定值时，可将每一个分式先拆成两项之差，前后相约后再通分.解：原式=2131112111---+---+-x x x x x =31-x 练习：计算：.5. 整体代入法例5．已知1x +1y =5求2522x xy y x xy y-+++的值 解法1：∵1x +1y=5 ∴x y ≠0,.所以2522x xy y x xy y -+++=225112y x y x -+++=112()5112x y x y+-++=25552⨯-+=57 解法2：由1x +1y =5得，x y xy+=5, x+y=5xy ∴2522x xy y x xy y -+++=2()5()2x y xy x y xy +-++=25552xy xy xy xy ⨯-+=57xy xy =57练习：若11x y -=5，求3533x xy y x xy y +---的值． 6.运用公式变形法例6．已知a 2-5a+1=0，计算a 4+41a 解：由已知条件可得a ≠0,∴a+1a=5 ∴a 4+41a =(a 2+21a)2-2=[(a+1a )2-2]2-2=(52-2)2-2=527 练习：（1）已知x 2+3x+1=0，求x 2+21x 的值． 7. 设辅助参数法例7．已知b c a += a c b += a b c +，计算：()()()a b b c c a abc+++ 解：设b c a += a c b += a b c +=k ，则b+c=ak ；a+c=bk ；a+b=ck ； 把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k若a+b+c=0，a+b= -c,则k= -1若a+b+c ≠0，则k=2()()()a b b c c a abc +++=ak bk ck abc⋅⋅=k 3 当k=-1时，原式= -1当k=2时，原式= 8练习：（1）已知实数x 、y 满足x:y=1:2，则=+-y x y x 3__________。

数学篇分式求值运算是初中代数的重要内容之一.由于分式的形式多样，分式求值问题也存在着多种不同的解法.下面介绍“引入参数”“拆项变形”“整体代入”“巧取倒数”这四种分式求值的方法，供同学们学习与参考.一、借助参数求分式的值在分式求值问题中，如果出现等比例式，就可以引入参数，将等比设成参数，将所有未知量都转换成含有参数的式子，再将之代入分式求得分式的值，这样求解过程将变得非常简单.例1若c 4=b 5=a 6≠0，则b +c a 的值为_____.分析：题中“c 4=b 5=a 6”是一个等比例式，可以设公共比为“t ”，这样可以得到c =4t ，b =5t ，a =6t ，然后将a 、b 、c 的值代入b +c a 即可求出值.解：∵c 4=b 5=a 6≠0，∴设c 4=b 5=a 6=t （t ≠0），∴有a =6t ，b =5t ，c =4t .将a =6t ，b =5t ，c =4t 代入b +c a 有：b +c a =5t +4t 6t =96=32，∴b +c a 的值为32.评注：该题中是一个等比例式，可以通过“引入参数”的方法将比值具体化，将a 、b 、c都替换成含有t 的参数，然后代入到b +c a 中，最后通过约分就能得到具体的数值.二、通过拆项求分式的值在求解比较复杂的分式时，我们可以根据具体的题目特征，对部分分式进行拆分，再配凑出较为容易计算的项来求解.结合题目的结论和条件往中间项配凑，往往能化繁为简，变难为易.例2若1a +1b =5a +b ，则b 2a 2+a 2b 2=_____.分析：待求分式“b 2a 2+a 2b 2”中的“b 2a 2”和“a 2b 2”互为倒数，如果能求出其中一个或知道“a b +b a ”，就可以对其进行平方后求得结果.再细看题目条件“1a +1b =5a +b”，需要配凑出“b a ”或“a b ”，我们可以考虑通分并整理得到“a 2+b 2=3ab ”.再将“a 2+b 2=3ab ”两边同除“ab ”，可得到“a b +b a =3”.解：∵1a +1b =5a +b ，通分并整理可得，a 2+b 2=3ab ，两边同除ab 可得，a b +b a =3，两边平方并整理可得，b 2a 2+a 2b 2=7.解答分式求值问题常用的小妙招江苏省盐城市新洋初级中学王伟解题指南19数学篇评注：此题看起来比较复杂，但是待计算的“b 2a 2+a 2b 2”是非常对称的，可以考虑由“a b +b a ”变形得出.通过通分找出a 、b 的其他数量关系“a 2+b 2=3ab ”，再同除ab 得到需要的“a b +b a ”.所以，本题的解题思路是由两端往中间变换.三、通过整体代换求分式的值整体代入的方法一般用于比较复杂的题目中，这类题目往往有共同的“局部”，解题时将共同的“局部”视为一个整体，然后直接整体代入求值.这种方法可以大大减少计算量，降低解题难度.例3若22y 2+3y +7的值为14，则14y 2+6y -1的值为（）.A.1 B.-1 C.-17 D.15分析：仔细观察条件“22y 2+3y +7=14”和结论“14y 2+6y -1”，发现有公共部分“2y 2+3y ”，可以转化为4y 2+6y =2(2y 2+3y ).若能计算出“2y 2+3y ”，则整个题目就能迎刃而解.解：∵22y 2+3y +7的值为14，∴22y 2+3y +7=14，∴2y 2+3y =1，∴4y 2+6y =2(2y 2+3y )=2×1=2，∴14y 2+6y -1=12-1=1，即14y 2+6y -1=1.∴此题选择A 项.2四、巧取倒数求分式的值倒数法往往出现在分数式的化简求值问题中.当分母相对分子而言比较复杂时，我们可以采用取倒数的方法将分式简单化，通过变形整理后得到“倒数”的具体值，再次通过“倒数法”还原待求值.例4若x +1x =3，则x 2x 4+x 2+1的值为（）.A.10 B.8 C.110 D.18分析：该题“x 2x 4+x 2+1”中分母比较复杂，若分子、分母调换一下位置，求解将会变得容易些.所以采用“巧取倒数法”解此题.设t =x 2x 4+x 2+1，则1t =x 4+x 2+1x 2=x 2+1x 2+1.而题目条件中“x +1x =3”通过平方可以轻松求出x 2+1x 2的值为7，从而求得1t =8，进而求解出t =18.解：设t =x 2x 4+x 2+1,则1t =x 4+x 2+1x 2=x 2+1x 2+1，∵x +1x =3，∴x 2+1x 2=(x +1x )2-2x ⋅1x =7，∴1t =x 2+1x 2+1=8，∴t =18，即x 2x 4+x 2+1=18.故D 项正确.评注：“取倒数法”可以简化解题过程，但是一定要记住在解题结束前再次采用“倒数法”将数值倒回来.分式的求值问题是一种常见问题.它涉及面广，技巧性强，也是中考中出现频率较高的问题.解答这类问题要认真分析条件式和解题指南。

分式运算技巧知识点总结分式运算是数学中一种常见的运算形式，它包括分数的加减、乘除等操作。

在分式运算中，掌握一些技巧可以帮助我们更加快速、准确地计算。

本文将对分式运算的一些常用技巧进行总结，并给出相应的例子加以说明。

一、分数的加减运算技巧1. 寻找相同的分母：在进行分数的加减运算时，首先要寻找相同的分母。

若分母不同，则需要通过通分的方法将分母转化为相同的数。

例子1：计算1/2 + 1/3。

解析：由于1/2和1/3的分母不同，我们需要找到它们的最小公倍数，即6。

将两个分数的分子和分母都乘以适当的数进行通分：1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/62. 合并同类项：在找到相同的分母后，可以将分子进行合并，然后再进行计算。

例子2：计算2/5 + 3/5。

解析：由于2/5和3/5的分母相同，直接将分子相加即可：2/5 + 3/5 = (2 + 3)/5 = 5/5 = 13. 化简分数：在进行分数的加减运算时，可以先将分数化简，再进行计算。

这样可以简化计算过程，得到更简洁的结果。

例子3：计算3/10 + 2/5。

解析：先对3/10进行化简，即可以将分子和分母都除以最大公约数2得到1/5：3/10 + 2/5 = 1/5 + 2/5 = (1 + 2)/5 = 3/5二、分数的乘除运算技巧1. 分数的乘法：将分数的分子相乘，分母相乘即可。

例子4：计算2/3 × 4/5。

解析：将分子相乘得到2 × 4 = 8，分母相乘得到3 × 5 = 15，所以结果为8/15。

2. 分数的除法：将除数的分子乘以被除数的倒数，即可进行分数的除法运算。

例子5：计算2/3 ÷ 4/5。

解析：将除数2/3的分子乘以被除数4/5的倒数5/4，即2/3 × 5/4，根据分数的乘法规则可得到结果10/12，化简得到5/6。

三、其他分式运算技巧1. 分数的幂运算：对分式进行幂运算时，可以将分子和分母分别进行幂运算。

分式专题三---分式求值的方法与技巧一．求值。

1．已知()224++=+-x B x A x x x ，求A ，B 的值。

2．已知:22)2(2)2(3-+-=-+x B x A x x ，则A= 、B = 3．若()()212112+++=+++x B x A x x x 恒成立，则A ＋B ＝_______________。

二．将条件式变形后代入求值。

1．已知432z y x ==，z y x z y x +--+22求的值． （提示：已知连比，常设比值k 为参数，这种解题方法叫参数法）2.二、将求值变形代入求值． 1．已知31=+xx ，的值求1242++x x x ． 2．已知的值求ba b a b ab a +-=-+,0622． 3.已知0132=+-a a ，求142+a a 的值。

4． 已知yxy x y xy x y x ---+=-2232,311则分式的值为__________． 5．已知231=-x x ，求分式221xx +的值． 6．已知b a 43=，则222232b a b ab a -+-＝_______________。

7.（2007赤峰）已知114a b +=，则3227a ab b a b ab-+=+- ． 8．已知311=+b a ，则b ab a b ab a +++-23的值是_________.9．如果a+a 1=3，则=+221aa __________. 10．已知1a - 1b =3，求分式2a+3ab-2b a-ab-b 的值. 11．若ab=2,a+b=-1,则ba 11+ 的值为 12．若0152=+-x x ，则x x x x 1122+++＝_______________。

13.已知02322=-+y xy x （x ≠0，y ≠0），求xyy x x y y x 22+--的值。

三、将条件式和求值式分别变形后代入求值．14．已知a 2＋2a －1＝0，求分式24)44122(22+-÷++--+-a a a a a a a a 的值． 注意：本例是将条件式化为“122=+a a ”代入化简后的求值式再求值，这种代入的技巧叫做整体代入．15．已知abc ＝1，则111++++++++c ca c b bc b a ab a 的值为________． 16．已知)11()11()11(,0cb a ac b b a c c b a +++++=++求的值． 17．若.1,11,11的值求b ab a c c b +=+=+ 18．若7=+b a ，12=ab ，则ab b a 22+＝_______________。

分式化简求值解题技巧分式化简求值解题技巧一、整体代入对于一些分式表达式，可以先将其中的变量整体代入，然后再求值。

比如：已知a+2b=2006，求3a²+12ab+12b² ÷ (2a+4b)的值。

可以先将a替换为2006-2b，然后化简得到：3a²+12ab+12b² ÷ (2a+4b) = 3(2006-2b)² + 12b(2006-2b) + 12b² ÷ (2(2006-2b)+4b)再进行进一步化简求解。

练一练：1.已知x+y=3，求(2x+3y) ÷ (x-y)的值。

2.已知112x-3xy+2y ÷ xy-x-2y = 5，求xy ÷ (x+2y)的值。

3.若a+b=3ab，求(1+2b²) ÷ (2a-b)的值。

二、构造代入有些分式表达式可以通过构造代入的方式来求解。

比如：已知x-5 ÷ (x-2) = 2001，求(x-2)³ - (x-1)² + 1的值。

可以构造一个分式，使得它的分母为(x-2)，分子为(x-2)³-(x-1)²+1，然后将其化简，得到：x-2)³-(x-1)²+1 ÷ (x-2) = (x-5) + 4(x-2) + 9再进行进一步化简求解。

练一练：4.若ab=1，求a ÷ (b+c) + b ÷ (c+a) + c ÷ (a+b)的值。

5.已知xy+yz+zx ÷ xyz = 2，求(x+y)² ÷ z²的值。

三、参数辅助，多元归一有些分式表达式可以通过引入参数或多元归一的方式来求解。

比如：已知a+b+c=1，求a(1-b) ÷ (b+c) + b(1-c) ÷ (c+a) + c(1-a) ÷(a+b)的值。

分式求值技巧
2023年中考复习
设参数k法
方法介绍
当题目给出的条件出现连比形式，或者连等式时，经常采用增设参数k的方法，用含参数k的代数式表示分式中的各字母．在化简求值过程中，参数k最终都能消去，即可求出结果．
例1：
解答：
例2：
解答：
设定主元法
方法介绍
当题目中给出2个字母，却只给出1个方程，或者给出3个字母，却只给出2个方程时，我们无法具体求出每个字母的值．因此，可以设定其中一个字母作为主元，用含主元的代数式来表示其他字母，从而可以在分式化简中，达到只含有主元的目的，最终消去主元求值．
例1：
解答：
例2：
解答：
整体同除法
方法介绍
对于有些题目，我们可以从需要求值的分式入手，将分子分母同除分式中次数最高的项，以达到让分式中出现与已知条件相关的代数式，从而可以将已知条件作为整体，代入求值．
例1：
解答：
例2：
解答：
用乘法公式
方法介绍
对于一些本身，或者通分后含平方和类型的分式，我们可以联系以前所学的乘法公式，利用配方等方法，对分式进行变形，从而更快求解．
例1：
解答：
例2：
解答：
特殊值法
方法介绍
这是最后没有办法的办法了，适用于选择填空题．对于一些无法求出具体数值的字母，我们可以根据已知条件，取字母的一组特殊值，然后代入求解．当然，如果你不确定结果是否正确，可以多代几组特殊值检验．
例1：
解答：
例2：
解答：。

本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==初中数学分式求值的10个常用技巧分式求值是分式运算中的一类常见问题，对计算能力的要求较高.在求解此类问题时，既要注意基本法则的应用，也要掌握相关的解题技巧.下面是小编为大家带来的初中数学学习方法分式求值的10个常用技巧，欢迎阅读。

一、整体通分例1：计算x2+x+1-.分析：把（x2+x+1）看成一个整体，对式子进行通分，并且分子还可利用乘法公式简化运算.解：原式 =-==-.二、部分通分例2：计算 ---.分析：按照常规解法是把四个分母一起通分，这样求解过于繁琐.若选择前面两个分式通分，然后再逐个通分，这样便化繁琐为简单.解：原式=--=-=-.三、取倒数例3：已知=1，求x+的值.分析：根据已知分式的特点，运用取倒数的方法是解决这类问题的常用方法.解：把=1两边取倒数，得=1，即x-3+=1，所以x+=4.四、整体代入例4：已知-=，则的值是（）.A. B. - C. 2 D. -2分析：将已知等式变形，转化为含有ab、（a-b）的代数式，整体代入求解.解：将已知条件通分合并得=，所以ab=2×（b-a）=-2（a-b），则==-2.故答案选D.五、特值思想例5：已知-=1，则的值是（）.A. B. - C. 1 D. -1分析：本题从不同的角度来思考，可以得到不同解法，但用特值思想求解最简捷.解：取b = 1，则a=，代入得，原式 =-1，故答案选D.六、因式分解例6：计算+.分析：通过观察发现，每个分式的分子、分母均可进行因式分解，因此可将每个分式先因式分解，约分后，再进行计算.解：原式 =+=+==七、巧用拼凑例7：化简.分析：观察分式不难发现，其中的常数3给该分式的运算带来了不便.为此可设法将3巧妙拼凑成与a、b、c有关的式子，这样很容易想到3=++.解：原式=+=+=。

分式求值的技巧点拨胡伟在分式运算中，常遇到求值问题，这类问题题型多样，技巧性强，若根据题目中分式的结构特点，采用适当方法，则可巧妙获解。

一、巧用配方法求值例1 已知01x 5x 2=+-求44x 1x +的值。

解：由0x 01x 5x 2≠=+-知，由此得5x 1x =+∴2)x1x (x 1x 22244-+=+ 5272]2)x1x [(22=--+= 说明：在求解有关分式中两数（或两式）的平方和问题时，可考虑用完全平方公式进行解答。

二、巧用因式分解法求值例2 先化简，再求值：1n mn )n m n mn n mn 2m n m (22222--+-+--。

其中231m -=，231n +=。

解：原式=1n mn ])n m )(n m ()n m (n )n m (n m [2--++--- n m mn 1n mn n m n 11n mn )n m n n m 1(--=-⋅--=----= ∵23231m --=-=，23231n +-=+=∴1)23)(23(mn -=+---=，4)23()23(n m -=+----=- ∴41n m mn -=--=原式 说明：因式分解法是一种重要的数学方法，解决很多数学问题都要用到它，尤其是在分式化简和分式的四则运算中运用较多。

因此，希望同学们对因式分解的各种方法熟练掌握。

三、巧用整体代入法求值例3 已知3b 1a 1=-，求bab 2a b 2ab 3a 2---+的值。

解：由3b1a 1=-变形得ab 3b a -=-，代入所求式得： 原式ab 2)b a (ab 3)b a (2--+-= 53ab 2ab 3ab3ab 6=--+-=说明：在解答给定条件下求分式的值这类问题时，需要把待求值的分式进行恒等变形，转化成能用已知条件表示的形式，再代入计算，或先把条件进行化简再采用上述方法求值。

四、巧设参数（辅助未知数）求值例4 已知实数x 、y 满足x:y=1:2，则=+-yx y x 3__________。

分式求值 技巧多分式求值是分式运算中较为常见的题型，若能灵活地运用各种解题方法，掌握一定的解题技巧，常常可简捷、快速获解.一、先化简分式，再将条件直接代入求值例1 先化简，再求值：(1 –11-a ) ÷ (aa a a -+-2244)，其中a = – 1. 分析：当分式的分子或分母是多项式时，应先分解因式，然后按照运算顺序进行化简，化成最简分式或整式形式，再把已知条件直接代入求值即可.解：原式 =12--a a ·2)2()1(--a a a =2-a a . 当a = – 1时，原式=211---=31. 二、将分式以已知条件为目标进行变形，然后代入求值例2 已知ab = – 1，a + b = 2，则式子ba ab += . 分析：所给的条件不容易化简，可考虑将所求的分式变形，然后将已知条件作为整体代入求值. 解：ba ab +=ab a b 22+=ab ab b a 2)(2-+. 将ab = – 1，a + b = 2整体代入，得原式=1)1(222--⨯-= – 6. 三、将所给条件转化后代入分式求值例3 若a + 3b = 0，则 (1 –b a b 2+) ÷ 222242ba b ab a -++= . 分析：不能求出a ，b 的值，可利用a + 3b = 0找出a ，b 之间的关系，然后代入化简后的式子求值.解：原式= (b a b b a b a 222+-++)×2)()2)(2(b a b a b a +-+= (b a b a 2++)×2)()2)(2(b a b a b a +-+=b a b a +-2. 由a + 3b = 0，得a = – 3b ，所以原式=b b b b +---323=b b 25--=25. 四、将所给条件和分式双方同时变形，再求值 例4已知y x 11-= 3，则yxy x y xy x ---+232的值是 . 分析：本题可对已知条件变形，再将所求式变形为更接近已知条件的式子.解：因为y x 11-= 3，所以xyx y -= 3，所以x – y = – 3xy .所以y xy x y xy x ---+232=xy y x xy y x --+-3)(2=xy xy xy xy --+-336=xy xy 43--=43. 故填43.。

分式求值的常用技巧分式是一种特殊类型的数学表达式，它包含有一个或多个数（称为分子）除以另一个数（称为分母）。

分式可以代表有理数和算术运算，例如加法、减法、乘法和除法。

在解决分式求值问题时，有一些常用的技巧可以帮助我们简化计算和得出结果。

1.化简分式首先，我们可以通过化简分式来简化计算过程。

化简分式的目的是找到分子和分母的最大公约数，并将分子和分母都除以它，使分式更简单。

例如，考虑分式12/24，我们可以找到最大公约数为12，并将分子和分母都除以12，得到1/2、这样，原分式就被化简为最简分式。

2.找到分子和分母的公因式在一些分式中，分子和分母可能有一个或多个公因式。

我们可以通过找到它们来简化计算。

例如，考虑分式16/24，我们可以发现分子和分母都可以被2整除。

我们可以将16除以2得到8，24除以2得到12，从而得到化简后的分式8/12、然后，我们可以继续找到8和12的最大公约数，并将它们化简为最简分式。

3.交换分子和分母的位置有时候，分式的分子和分母的位置可以互换。

我们可以利用这个性质来简化计算。

例如，考虑分式1/4，我们可以将分子和分母互换，得到4/1、然后，我们可以将4除以1得到4，从而得到最简分式44.将分式转化为小数形式有时候，将分式转化为小数形式可以更便于计算。

我们可以通过将分子除以分母来得到分数的小数形式。

例如，考虑分式3/5，我们可以将3除以5得到0.6、这样，我们就得到了分式的小数形式。

5.使用乘法和除法的性质在进行分式求值时，我们可以利用乘法和除法的性质来简化计算。

例如，考虑分式(2/3)*(4/5)，我们可以将分子和分母相乘得到8/15、同样的，如果我们考虑分式(2/3)/(4/5)，我们可以将分子乘以分母的倒数得到(2/3)*(5/4)，然后进行乘法操作得到10/12，最后化简为5/66.使用加法和减法的性质在进行分式求值时，我们还可以利用加法和减法的性质来简化计算。

例如，考虑分式(2/3)+(4/5)，我们可以找到两个分数的公共分母，然后将分子相加得到一个新的分数作为结果。

分式求值中的一些解题技巧一、本章知识框架图建立本章知识框架图，形成本章知识体系：二、分式的基本知识点回顾1、分式的定义：一般地，如果A 、B 表示两个 ，并且 中含有字母，那么代数式 叫做分式。

注意分式中字母代表什么数或者式子是有条件的:.0 .⎧⎨⎩分式有意义的条件:分式为的条件：2、分式的基本性质：分式的 都乘以（或除以） . 式子：MB A B A B M A B A ÷÷=⋅⋅=)(,) (（其中，M 是 ） 3、分式的运算 Ⅰ、乘法 ：分式乘分式， 做积的分子， 做积的分母. Ⅱ、除法：分式除以分式，把分式的 颠倒位置后再与被除式 .Ⅲ、加减：⎩⎨⎧. , . , 后先异分母的分式相加减：分子分母同分母的分式相加减：路曼曼其修远兮，吾将上下而求索专题 典例引路—分式运算的常用技巧分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。

但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，这节课我们来学习运用数学思想和方法技巧来对分式进行运算。

1、整体例1 计算(1)242++-a a （2）1132+--+x x x x观察归纳丰富的问题情景分式的概念分式方程的概念分式方程的解法 分式方程的应用分式的基本性质通分约分分式的运算分式的乘除法分式的加减法 分式的混合运算 分式的化简求值例2 .3353,511)1(的值求若yxy x yxy x y x ---+=-.111,1)2(的值求已知++++++++=c ac cb bc b a ab a abc.3515x 5,411x )3(224242的值求如果xx x x +-=++整体思想就是考虑数学问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。

整体思想在处理数学问题时，有广泛的应用。

分式运算中的技巧与方法通分一、整体通分法 将后两项看作一个整体,则可以整体通分，简捷求解例1．化简：21a a -—a —1=21a a --(a+1)= 21a a -—(1)(1)1a a a -+-=22(1)1a a a ---=11a -二、逐项通分法1a b --1a b +—222b a b +—3444b a b -=22()()a b a b a b +---—222b a b +-3444b a b -=222ba b -—222ba b +-3444b a b -=2222442()2()b a b b a b a b +---—3444b a b -=3444b a b -—3444b a b -=04214121111a a a a ++++++- = =8-18a分组计算技巧21-a +12+a —12-a -21+a =(21-a —21+a )+(12+a —12-a ）=442-a +142--a =)1)(4(1222--a a=++-++-++++34x x 123x x 112x x 112222x x =三、先约分,后通分 分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值2262a a a a +++22444a a a -++ =(6)(2)a a a a +++2(2)(2)(2)a a a +-+=62a a +++22a a -+=242a a ++=2 2312+++x x x +4222--x x x =)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21+x +2+x x =21++x x1132322-++---a aa a a a a ==122-a a2222222222222)()()()()()(b a c c b a a c b b a c c b a a c b -+--+-+--+-+-- = =1四、化简：分子≥分母次数，先化简233322+-+-x x x x -657522+-+-x x x x —3412+-x x =231)23(22+-++-x x x x —651)65(22+-++-x x x x -3412+-x x=1+2312+-x x —1-6512+-x x -3412+-x x=)2)(1(1--x x -)3)(2(1--x x -)3)(1(1--x x =)3)(2)(1(----x x x x裂项相消技巧 利用111)1(1+-=+n n n n )(1m n n +=m 1（n 1—m 1）)1(1+x x +)3)(1(2++x x +)6)(3(3++x x =（x 1-11+x ）+22(11+x —31+x ）+33(31+x —61+x =)6(6+x x30111209112716512222+++++++++++x x x x x x x x ==12842++x x=+++++++--)3)(2(1)2)(1(1)1(1)1(1x x x x x x x x。

)
一
．
、
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．
15
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．
13
解析
视
，
z
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z
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，
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解析
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1
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． ．
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5
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不 得 要 领 常常 无 功 而 返 为 此 本 文 归 纳介 绍
，
，
16
种 常用
方 法 与 技 巧 供参 考
，
代数 式
A
．
技巧
1
整 体 代换 法
-
．
例
1
( 1 ) 已知
x
=
万
，
一
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，
=
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1
，
求生
了
．
+
上
互
的
丢 糍 ÷
一
的值 等 于 (
B
19

分式求值五技巧求分式的值这种题型在《分式》一章中经常出现有些求值题用一般方法直接可以解答，但有些求值题用一般的方法解起来很困难所以我们要善于总结，寻找技巧，这样才能顺利解题以下向同学们介绍了几种常用的技巧一、巧用整体代换例1：已知：x 1=2，求221x 的值 分析：用x 1表示221x ，用已知式整体代换所求式 解：由x 1=2可得 ⎝⎛⎪⎭⎫+21x x =4所以221x = ⎝⎛⎪⎭⎫+21x x -2••x 1=4-2=2二、巧用变形代入：例2：已知：n m =4求2222n mn m mn m +--的值分析：先将求值式化简，再把已知条件变形代入解：由n m=4可得m=4n 代入原式，原式=)()(2n m n m m --=n m m -=n n n -44=n n 34=34 三、巧设比值代入例3：已知：2a =3b =4c 求分式222cb a ac bc ab ++++的值 分析：已知条件2a =3b =4c 为等比形式时，常设比值为，把a ，b ，c 都用K 来表示，这样就可以求值了 解：设2a =3b =4c =则a=2b=3c=4代入求值式：原式=2221694424332k k k k k k k k k ++•+•+•=222926k k =2926 四、巧用倒数：例4：已知：a a1=5则1242++a a a 为________ 分析：由a a 1=5求出a 的值式代入1242++a a a 明显比较复杂，对求值式取倒数，并向已知条件靠拢有下列解法 解：把1242++a a a 的分子、分母倒过来即2241a a a ++=24a a 22a a 21a=a 221a 1 = ⎝⎛⎪⎭⎫+21a a -21 = ⎝⎛⎪⎭⎫+21a a -1 =52-1=24 所以，原式1242++a a a =241 五、巧选特殊值代入：例5：若x 1-y 1=31，求yxy x y xy x ---+3232的值 分析：通过条件式的一组特殊值来计算求值式的值这种特殊的方法计算起来简单快捷，但是条件中字母不能任意取值，要受限制所以我们在选值时要让它符合两个条件：（1）代入条件式和求值式中都有意义（2）尽量找整数，利于求值计算解：令=2代入已知等式得，y=6把=2，y=6代入求值式，得y xy x y xy x ---+3232=662326262322-••-•-••+•=636212364---+ 原式=4028-=-107 以上例5题还有其它的巧解方法，希望同学们在今后的学习中多找技巧，提高数学的学习兴趣，丰富自己的生活。

分式求值的几种常用方法分式求值是指解决一个分式的数值的过程。

分式由分子和分母组成，分数线表示两者的除法关系。

求解分式的数值可以使用几种常用的方法。

下面将介绍一些常用的方法。

1.分母与分子同乘（常用于消除分母中的变量）这种方法适用于分母中有变量的情况，为了简化计算，可以通过同乘一个合适的因式使分子或分母中的变量消除。

例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将分子和分母都同乘(a+b)，得到(a+b)*(a+b)/(a-b)。

这样，原先的分式变为了一个更简单的形式，可以更容易地求解。

2.分子与分母同除（常用于消除分子中的变量）这种方法适用于分子中有变量的情况，同样为了简化计算，可以通过同除一个合适的因式使分子或分母中的变量消除。

例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将分子和分母都同除(a+b)，得到(a+b)/(a+b)*(a+b)/(a-b)。

同样地，原先的分式变为了一个更简单的形式。

3.分解分子或分母（常用于将复杂的分式化简为简单的分式）当分子或分母中出现更复杂的表达式时，可以将其进行分解，将分式化简为简单的分式。

例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将分子展开为(a+b)=a+b，将分母展开为(a-b)=a-b，然后将其带入分式，得到(a+b)/(a-b)=(a+b)/(a-b)。

这样，原先的分式变为了一个更简单的形式。

4.改变分割点（常用于化简复杂的分式）有时，将分式中的表达式写成更简单的形式，可以更好地进行计算。

例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将(a+b)分别分成a和b的和，将(a-b)分别分成a和b的差，即得到a/(a-b)+b/(a-b)。

这样，原先的分式变为了两个简单分式相加的形式，可以更容易地求解。

5.用分母的乘法倒数取代除法（常用于取消除法运算）当分式中存在除法运算时，可以用乘以分母的倒数来替代除法。

例如，对于分式1/(a+b)，可以将其写为1*(a+b)^（-1），然后使用指数的乘法法则将指数变为负数，得到(a+b)^-1、这样，原先的分式变为了一个更简单的形式。

分式求值的方法
分式求值是数学中比较常见的一种计算方法，它主要是指对于一个分数式子进行化简和计算的过程。

下面将介绍分式求值的基本方法和一些常见的技巧。

一、基本方法
1. 首先要对分式进行化简，把分子分母中的公因数约掉，使得分式的形式更加简单。

2. 然后要找到分式的最简公共分母，把分式统一为相同的分母，这样就可以进行加减乘除等运算了。

3. 进行加减乘除等运算后，最后还要对结果进行化简，把分式中的公因数约掉，得到最简形式。

二、常见技巧
1. 对于分式中含有多项式的情况，可以使用分解因式的方法进行化简。

2. 对于分式中含有根式的情况，可以使用有理化分母的方法进行化简。

3. 对于分式中含有三角函数的情况，可以使用三角恒等式进行化简。

4. 对于分式中含有指数的情况，可以使用指数运算的规律进行化简。

总之，分式求值是一种基本的数学技能，掌握了基本的方法和技巧，就可以轻松应对各种题目。