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工程力学第九章

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工程力学-第9章

工程力学-第9章
第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算
工程上将主要承受扭转的杆件称为轴，当轴的横截面 上仅有扭矩（ Mx）作用时，与扭矩相对应的分布内力，其 作用面与横截面重合。这种分布内力在一点处的集度，即 为剪应力。圆截面轴与非圆截面轴扭转时横截面上的剪应 力分布有着很大的差异。本章主要介绍圆轴扭转时的应力 变形分析以及强度设计和刚度设计。 分析圆轴扭转时的应力和变形的方法与分析梁的应力 和变形的方法基本相同。依然借助于平衡、变形协调与物 性关系。
圆轴扭转时的剪应力分析
分析圆轴扭转剪应力的方法与分析梁纯弯曲正应力的方法，基 本相同，就是：根据表面变形作出平面假定；由平面假定得到 应变分布，亦即得到变形协调方程；再由变形协调方程与应力 －应变关系得到应力分布，也就是含有待定常数的应力表达式； 最后利用静力方程确定待定常数，从而得到计算应力的公式。
t G
此即为剪切胡克定律，式中G为比例常数，称为剪切弹性 模量或切变模量
t G
( )
d dx
d t G G dx
TSINGHUA UNIVERSITY 其中
G
d －对于确定的横截面是一个不变的量。 dx
上式表明，横截面上各点的剪应力与点到横截面中心的距离成 正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。
M x 3 16 185.7 Pa 21.98MPa WP3 π 353 10 -9
承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计
TSINGHUA UNIVERSITY
扭转实验与扭转破坏现象
扭转强度设计
扭转刚度设计
扭转实验与扭转破坏现象
为了测定剪切时材料的力学性能，需材料 制成扭转试样在扭转试验机上进行试验。 对于低碳钢，采用薄壁圆管或圆筒进行试验， 使薄壁截面上的剪应力接近均匀分布，这样才能 得到反映剪应力与剪应变关系的曲线。 对于铸铁这样的脆性材料由于基本上不发 生塑性变形，所以采用实圆截面试样也能得到 反映剪应力与剪应变关系的曲线。

工程力学 第九章

工程力学 第九章

O φ
y
方向沿OB。牵连速度ve： ve =
v1 ，方向沿轴Ox正向。相对速度 vr：大小未知，方向沿AB 。
4. 求速度。 应用速度合成定理
B A y'
v1
x' x α
v2 vr
va ve v r
得船B的绝对速度和对于船A的相对 速度的大小 v1 v2 , v r v1 tan cos
此瞬时杆AB的速度方向向上。
18
n
例 题 3
讨论：
若取凸轮上 与顶重合点A1为 动点，动系固连 顶杆AB，则相对 运动轨迹是什么 曲线？
19
例 题3
讨论：
若取凸轮 圆心O′点为动 点，动系固连 顶杆AB，则相 对运动轨迹是 什么曲线？
20
例 题 3
讨论：
若取凸轮 圆心O′点为动 点，动系固连 顶杆AB，则相 对运动轨迹是 什么曲线？
比较上式两端，牵连运动方程为
xo' 5t , yo' 3 t, 4t
2
8
例 题2
M点相对于动系Ox‘ y’沿 半径为r的圆周以速度v作匀 速圆周运动（圆心为O1 ）， 动系Ox‘ y’相对于定系Oxy以 匀角速度ω绕O轴作定轴转动，
如 图 所 示 ， 初 始 时 Ox‘ y’ 与
Oxy重合，M点与O重合，试 求M点的绝对运动方程。
O´
x'
2. 运动分析。 相对运动－直线运动。
绝对运动－垂直向下直线运动。 牵连运动－水平方向平动。
23
例 题 4
y'
vr
M α
ve
3. 速度分析。 绝对速度va：大小已知，方 向沿铅垂方向向下。 牵连速度ve：大小已知，方

工程力学第九章chapter09精品PPT课件

工程力学第九章chapter09精品PPT课件

FB= 2F FAx=F FAy=3F
2) 截面法求内力( 取坐标如图) 3) 0x<aF: N=0; FQ=-F; M=-Fx
FM
FN 0 x FQ
6
例2 求外伸梁的内力。
2) 截面法求内力 0x<a: FN=0; FQ=-F; M=-Fx
y F 3F
3F
0 AF aa
FB 45 B x
a
ax<2a: FN=-F；FQ=3F-F=2F M=3F(x-a)-Fx=F(2x-3a)
=384-32x4
结果应当相同。 可以用于验算。
FAy q
M0 F
A BC
DE x
4m 2m 2m 4m FE
FAy q M0 F M4
0 x4 B C D c FQ4
M4
0
x4
FQ4 c
FE
内力同样要按正向假设!
12
内力方程:
FAy q
M0 F
AB段: 0x<4m
A BC
DE x
FQ1=49-9x1; M1=49x1-4.5x12 BC段: 4mx<6m
求梁的内力。
FAy q
M0 F
解：1）求约束反力：
FAx=0 A B C
DE x
4m 2m 2m 4m FE
SFx=FAx=0 SFy=FAy+FE-F-4q=0
FAy q M1
MA(F )=12FE+M0-8F-2×4q=0
0 x1 c FQ1
FAy=49kN；FE=32kN
2) 截面法求内力
3) AB段: 0x1<4m
FQ4=-32; M4=384-32x4 x48: FQD13

工程力学最新版教学课件第9章

工程力学最新版教学课件第9章

B
C
1 DE
2
A
F
9.2 平面几何不变体系的组成规则
对于复杂体系，可以采用以下方法：
5. 先确定一部分为刚片，连续几次使用二刚片或三刚片规则，逐步扩大到整个体系。如 下图所示，从下往上看，下层是按三刚片规则组成的几何不变的三铰刚架 ABH，上 层两个刚片CDE与EFG和下层(刚片)按三刚片规则组成为几何不变体系。
【解】 首先以地基及杆AB为二刚片，由铰A和链杆1联结，链杆l延长线不通过铰A，组成几何不变 部分。以此部分作为一刚片，杆CD作为另一刚片，用链杆2、3及BC链杆（联结两刚片的链 杆约束，必须是两端分别连接在所研究的两刚片上）连接。三链杆不交于一点也不全平行， 符合两刚片规则，故整个体系是无多余约束的几何不变体系。 思考：是否有其他分析方法？ 结论：分析同一体系的几何组成可以采用不同的组成规则；一根链杆可视为一个约束，也可 视为一个刚片。
思考：如何理解“多余约束并非真的是多余”？
9.2 平面几何不变体系的组成规则
9.2.1 二元体概念及二元体规则
规则1(二元体规则)：一个点与一个刚片用两根不共线的链杆相连，则组成无多余约束的 几何不变体系。 由两根不共线的链杆连接一个结点的构造，称为二元体(如图中的BAC)。 推论1：在一个体系上增加或减少任意一个二元体，都不会改变原体系的几何组成性质。
1
2
3
4
A
B
图12-13
9.2 平面几何不变体系的组成规则
对于复杂体系，可以采用以下方法：
2. 从一个刚片(例如地基或铰结三角形等)开始，依次增加二元体，尽量扩大刚片范围， 使体系中的刚片个数尽量少，便于应用规则。以下图为例，将地基视为一个刚片，依 次增加二元体，结点4处有一个二元体，增加在地基上，地基刚片扩大，以此扩充结 点3处二元体，结点2处二元体，结点1处二元体。即体系为几何不变。

工程力学第九章扭转PPT课件

工程力学第九章扭转PPT课件

.
29
第九章 扭转
§9-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
Ⅰ. 横截面上的应力
表面 变形 情况
横截面 推断 的变形
情况
(问题的几何方面)
横截面 上应变 的变化 规律
应力-应变关系
横截面上 内力与应力的关系 横截面上应力
应力变化
的计算公式
规律
(问题的静力学方面)
(27问.03题.202的1 物理方面)
.
45
3. 校核强度
第九章 扭转
2,max >1,max，但有 2,max<[ ] = 80MPa，故
该轴满足强度条件。
Mn图(kN m)
需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应 力集中现象，在以上计算中对此并未考核。
27.03.2021
.
46
第九章 扭转
§9-5 等直圆杆扭转时的变形·刚度条件
第九章 扭转
低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如 图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？
27.03.2021
.
42
第九章 扭转
Ⅲ. 强度条件
max[]
此处[]为材料的许用剪应力。对于等直圆轴亦即 M nmax [ ]
Wp 铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因 拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上 的剪应力有固定关系，故仍可以剪应力和许用剪应力来表 达强度条件。
468
M n (N·m)
扭矩图应与原轴平行对齐画
27.03.2021
.
16
作内力图要求：
1 . 正确画出内力沿杆轴分 布规律
mB
mC
B
C

工程力学第九章

工程力学第九章

（3） 根据剪力方程逐段画剪力图；
（4） 根据弯矩方程逐段画弯矩图。
例9-5 作如图9-13所示梁的剪力图和弯矩图。 已知 AC CD a ，DB 2a 。
解： （1） 求约束力。 Fx 0
FAx 0
F 0 M 0
y A
FAy FB 2qa
m FB 4a q 2a 3a
由
F
y
0 得
ql qx (0 x l ) 2
Q FAy qx
即剪力方程
由
M
O
0 （ O 为截面形心）得
即弯矩方程
x ql qx 2 M ( x) FAy x qx x (0 x l ) 2 2 4
（3） 画剪力图和弯矩图。 Q ql 2 ； 由剪力方程可知，剪力图为一斜直线，在 x 0 处， Q ql 2 ，剪力图如图9-12（d）所示。由图可知， 在 x l 处， 在靠近梁支座的横截面上，有最大剪力，而梁中间横截面上的剪 力为零。且有 ql Qmax 2
§9-4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图 梁横截面上的剪力和弯矩，一般随横截面的位置而变化。 剪力和弯矩，都可表示为位置坐标x的函数，即 Q f1 ( x) M f 2 ( x) 此二式分别称为剪力方程和弯矩方程。 为了全面了解剪力和弯矩沿着梁轴线的变化情况，可根据 剪力方程和弯矩方程用曲线把它们表示出来。x坐标表示横截 面位置，剪力 Q 值或弯矩 M 值为纵坐标，所得的图形，分别 称为剪力图和弯矩图。 根据剪力图和弯矩图，很容易找出梁内最大剪力和最大弯矩 （包括最大正弯矩和最大负弯矩）所在的横截面及数值，得到 了这些数值之后，可以进行梁的强度分析。
13 9 dM ( x) 2 x a 0 ，得 令 时，有最大弯矩 M max qa ， 4 32 dx 1 当 x 2a , M qa 2 2

工程力学(材料力学部分第九章)

工程力学(材料力学部分第九章)

Pcr
2EI ( l)2
临界应力
cr
Pcr A
2EI ( l)2 A
将惯性矩写为
I i2A
i 惯性半径
cr
2Ei2 A ( l)2 A
2E l 2
i
16
将惯性矩写为
I i2A
i 惯性半径
cr
2Ei2 A ( l)2 A
2E
l
2
i
柔度 (长细比)
l
i
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全
5) 校核 n = Pcr /P nst 是否成立。
29
1 稳定校核问题
1) 计算 1 ， 2， ；
2) 确定属于哪一种杆(大柔度杆，中柔度杆， 小柔度杆) ；
3) 根据杆的类型求出 cr 和 Pcr ;
4) 计算杆所受到的实际压力 P； 5) 校核 n = Pcr /P nst 是否成立。 2 确定许可载荷 前3步同稳定校核问题； 4) P Pcr / nst 。
其中，A为杆中点的挠度。 l
A的数值不确定。
欧拉公式与精确解曲线
精确解曲线
P 1.152Pcr时，
0.3l
理想受压直杆 非理想受压直杆
11
§9. 3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
1 一端固支一端自由的压杆 由两端铰支压杆的临界 压力公式
2EI
Pcr (2l)2
2 一端固支一端滑动固支 （简称为两端固支）
P
n2 2EI
l2
因为临界压力是微弯平衡状态下的最
小压力， 所以，应取 n = 1 。
Pcr
2EI
l2
欧拉公式
这就是两端铰支细长压杆的临界压力公式。

工程力学—第九章 扭转

工程力学—第九章 扭转
{n}—轴的转速，单位为r/min（转／ 分），或r/s（也可表示为s-1）（转／ 秒）。
第二节 动力传递与扭矩
扭矩与扭矩图 扭转变形的内
力： —扭矩。 扭矩 ：即n－n
截面处的内力偶 矩。
第二节 动力传递与扭矩
扭矩的正负号规定：采用右手螺旋法则。
指向截 面外侧 为正
指向截 面内侧 为负
kW。试作轴的扭矩图。
解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩
M1

(9.55103

500)N 300

m

15.9 103
N

m

15.9
kN
m
M2

M3

(9.55103
150) 300
N
m

4.78103
Nm

4.78
kN m
M4

(9.55103

200) 300
Nm
横截面的扭矩T即为：
T
2 0
Ro2
d

2Ro2
薄壁圆管扭转的切应力为：
＝ T 2Ro2
当 Ro /10 时，该公式足够精确。
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
纯剪切与切应力互等定理： 切应力互等定理：在微体的两个相互垂直
的截面上，切应力总是同时存在，且大小 相等，方向则共同指向或共同背离两截面 的交线。
工程力学
彭雅轩 2019年9月16日
第九章 扭 转
基本概念 动力传递与扭矩 切应力互等定理与剪切虎克定律 圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件 圆轴扭转变形与刚度条件
第一节 引 言

工程力学第9章(扭转)

工程力学第9章(扭转)

解：⑴ 计算外力偶矩 PA 4 M A 9549 9549 76.4N m n 500 PB 10 M B 9549 9549 191N m n 500 PC 6 M C 9549 9549 114.6N m n 500 ⑵ 计算轴各段的扭矩 1-1：
所以BD的直径
d 4.47 102 m
AC AB BC 1.50 102 (1.17 102 ) 0.33 102 rad
⑵ 校核轴的刚度 T T 180 180 max max AB 0.43o /m GI P GI P 80 109 3.0 105 1012 所以轴的刚度满足要求
TBA 468N m TAC 700N m TCD 350N m Tmax 700N m
⑶ 计算BD的直径 按强度条件设计轴的直径 T 16Tmax max max 3 WP d
按强度条件设计轴的直径 T 16Tmax max max 3 WP d
M
x
(F ) 0 : (F ) 0 :
T1 M A 0 T2 MC 0
解得： T1 76.4N m 2-2：
M
x
解得： T2 114.6N m
⑶ 绘制扭矩图
§9-3
切应力互等定理与剪 切胡克定律
一、薄壁圆管的扭转应力
各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不 变；各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩 形变为平行四边形。
圆轴扭转横截面上的应力
各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变； 各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形变为平 行四边形。
· 平面假设 圆轴扭转变形前原为平面的 横截面，变形后仍为平面，形状、 大小不变，半径仍为直线，两相 邻截面间的距离不变。 ·切应变在横截面上的分布

16816_工程力学(第9章)

16816_工程力学(第9章)
第9章 压杆稳定简介
9.1
压杆稳定的概念
9.2
细长压杆临界力的计算
9.3
稳定性校核
9.4
提高压杆稳定性的措施
9.1 压杆稳定的概念
图9.2 压杆稳定性实验 （a）对杆施加干扰力；（b）杆恢复到直线状态； （c）杆产生显著的弯曲变形；（d）压杆失稳
压杆失稳后，表明压杆已丧失了承载 能力，能引起机器或结构的整体损坏，这 是由失稳造成的失效。
压杆总是在柔度大的纵向平面内失稳， 为使压杆在任一纵向平面内有相等或接近 相等的稳定性，应使其各个纵向平面内的 柔度相等或接近相等。
2．合理安排压杆的约束与选择杆 长
压杆的临界压力或临界应力与相当长 度（l）的平方成反比，因此，增强对压 杆的约束与合理地选择杆长，能够提高压 杆的稳定性，如图9.8所示。
2．欧拉公式的适用范围
由于计算压杆临界压力的欧拉公式是 根据挠曲线近似微分方程推导得出的，而 且该方程只在材料服从胡克定律时才成立， 因此，欧拉公式（9.2）只有在压杆的临界 应力不超过材料的比例极限p时才能应用， 即
或
令 范围为Βιβλιοθήκη p πEp
，则得到欧拉公式的应用
≥ P
只有满足≥P条件的压杆，才可用欧 拉公式计算压杆的临界应力。≥P的压杆 通常称为大柔度杆或细长压杆。P仅与材 料的弹性模量E、比例极限p有关。材料不 同，其P值不同。例如，Q235号钢的 E=206GPa，p=200MPa，可得
应该指出，表9.1所示的4种杆端支承 情况是理想情况，许多工程实际问题并不 具备这种典型形式，应根据具体情况选择 长度因数。
表9.1
不同支承情况下的长度因数
例9.1 如图9.3所示，一矩形截面压 杆，一端固定，一端自由，材料为45号钢， 已知弹性模量E =200GPa，l =2m，h=80mm， b=45mm。试计算该压杆的临界压力；若 h=b=60mm，压杆长度不变，此压杆的临界 力又为多大？

第九章 工程力学 拉伸与压缩

第九章 工程力学 拉伸与压缩

截面杆，其边长a=60mm，P=10KN，试求AB和BC横截
面上的正应力。
d A
解：
FNAB sin 300 F FNAB cos 300 FNBC
FNAB
300
B
AB
FNAB AAB
28.3MPa
C
FNBC a
F
BC
FNBC ABC
4.8MPa
3
许用应力.强度条件
关于 形后仍然保持为平面， 且仍垂直与轴线，称 为平面假设。
(b) 变形和受力关系
F
A
FN
S ——轴向拉伸或压缩时 横截面上应力计算式
是垂直于横截面的应力-
正应力
轴力为拉力时为拉应力
轴力为压力时为压应力 （可用负号表示）
例题9-3
图示支架，AB杆为圆截面杆，d=30mm，BC杆为正方形
❖ 材料所能承受的应力都是有限度的，超过这一限 度，材料就会发生破坏；
❖ 极限应力：材料所能承受的最大应力； ❖ 工作应力：正常工作时由载荷引起的应力； ❖ 许用应力：为保证构件安全正常工作，应使其工
作应力小于材料的极限应力，因此有必要低于极 限应力若干来确定构件所允许承受的最大应力， 此最大应力称为许用应力，符号[σ]。
第九章 拉伸与压缩
❖轴力 ❖轴向拉伸与压缩时横截面上的应力 ❖ 许用应力.强度条件 ❖轴向拉伸与压缩时斜截面上的应力 ❖ 轴向拉伸与压缩时的变形.胡克定律 ❖材料在拉伸时的力学性能 ❖材料在压缩时的力学性能 ❖应力集中的概念 ❖安全系数和许用应力的确定 ❖简单拉压静不定问题
受力特点：作用在杆件上的外力的作用线或外力合 力的作用线与杆件轴线重合。
σα α pα
τα
5 轴向拉伸与压缩时的变形.胡克定律

工程力学 第9章 杆件横截面上的切应力分析

工程力学 第9章 杆件横截面上的切应力分析

第 9 章 弹性杆件横截面上的切应力分析
对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件，当其横截面上仅有 扭矩（Mx）或剪力（FQy 或 FQz）时，与这些内力分量相对应的分布 内力，其作用面与横截面重合。这时分布内力在一点处的集度，即为 切应力。 分析与扭矩和剪力对应的切应力方法不完全相同。对于扭矩存 在的情形，依然借助于平衡、变形协调与物性关系，其过程与正应力 分析相似。对于剪力存在的情形，在一定的前提下，则仅借助于平衡 方程。 本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用下其横截面切应力以及薄壁 杆件的弯曲切应力分析。
§ 9-1 圆轴扭转时横截面上的切应力
９－１－１ 圆轴扭转变形特征 －反对称性论证圆轴扭转时横截面保持平面 ９－１－２ 变形协调方程 ９－１－３ 物性关系－剪切胡克定律 ９－１－４ 静力学方程 ９－１－５ 圆轴扭转时横截面上的切应力表达式
§ 9-2 非圆截面杆扭转时的切应力
图 9－8 例 9－2 图
解： 1．各轴所承受的扭矩 各轴所传递的功率分别为 P1 ＝14 kw ， P 2 ＝ P3 ＝P 1 ／2＝7 kw 转速分别为 n1 ＝ 120 r／min
n 3＝n1 ×
据此，算得各轴承受的扭矩：
z1 36 ＝120 × r/min ＝360r/min z3 12
14 M x1 = M e1 = 9549 × N ⋅ m = 1114 N ⋅ m 120 7 M x2 = M e2 = 9549 × N ⋅ m = 557 N ⋅ m 120 7 M x2 = M e2 = 9549 × N ⋅ m = 185 .7 N ⋅ m 360
2．计算最大切应力 E 、H、C 轴横截面上的最大切应力分别为

工程力学第9章圆轴的扭转

工程力学第9章圆轴的扭转

τ ′d x d z
d
τ
c
τ d yd z
x
∑F = 0 ∑F = 0 ∑M = 0
y x z
自动满足 存在τ'
(τ d y d z ) d x = (τ ′ d x d z ) d y
得
τ′ =τ
y
τ'
a dy b z
切应力互等定理 d
在相互垂直的两个面上， 在相互垂直的两个面上，切 应力总是成对出现，并且大小相 应力总是成对出现，并且大小相 等，方向同时指向或同时背离两 个面的交线。 个面的交线。
一、圆轴扭转时横截面上的应力 1、几何关系：由实验找出变形规律 应变的变化规律 几何关系 由实验找出变形规律→应变的变化规律 1）实验： 实验：
2）观察变形规律： 观察变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 形状、大小、间距不变， 圆周线 形状 了一个不同的角度。 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 纵向线 倾斜了同一个角度 扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面， 扭转平面假设 变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大 小 以及间距不变，半径仍为直线。 以及间距不变，半径仍为直线。
3
) 16T 3 16(1.5×103N⋅m = = 0.0535 m d ≥ 6 π(50×10 Pa) π[τ ]
m 取： d = 54 m
2. 确定空心圆轴内、外径 确定空心圆轴内、
Wp =
3
πD3 16
(1−α )
4
16T π 3 D (1−α 4) 16
结论： 结论：
横截面上

工程力学第九章

工程力学第九章
I p 32
D4 d4
D4 (14 ) ( d )
32
D
W p I R pD 1 4 D d 6 41 D 3(6 1 4)
三、薄壁圆截面
IpA2 d A R 0 2A d A 2R 0 3
WpR Ip0 2R R0032R02
T T 92
2R02 2A0
§9-6 圆轴扭转破坏与强度条件
侧面上的剪力为dydz
由于剪切变形，右侧 面向下错动的距离为
dx。假设切应力 有一增
d 量 ，切应变的相
应 d增量为 ，
右侧面向下位移的增量为
ddx
剪力dydz 在位移 ddx 上完成的功是 dyddzdx
在应力从零开场逐渐增加的过程中，
右侧面上剪力 dydz共作功为
dW 1dyddzdx 0
单元体内储存的应变能为
应力分布 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料， 构造轻便，应用广泛。
R 0 不宜过大，否那么容易产生扭转的局部失稳〔褶 皱现象〕
为减缓应力集中，对阶梯轴，在粗细交接处，应配置 适当的过渡圆角．
§9-7 圆轴扭转变形与刚度条件
一、圆轴扭转变形
扭转变形的标志为扭转角, 由公式 d T 97
约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻 截面的翘曲程度不同，纵向纤维长度改变，横截面上 既有切应力也有正应力。
约束扭转的实体杆件:正应力很小，与自由扭转差异不大。
约束扭转的薄壁杆件:正应力相当大。
2.自由扭转时横截面上应力分布特点
〔1〕横截面上边缘各点的切应力与截面边界相切。 〔2〕横截面上凸角处的切应力与等于零。
三、 矩形截面轴的自由扭转
1〕边缘各点的切应力与周边 相切，形成剪力流。

工程力学 第九章 梁的强度刚度计算

工程力学 第九章 梁的强度刚度计算

由结果知，梁的强度不满足要求。
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y2
z
例9-6 试为图示钢轨枕木选择矩形截面。已知矩形截面尺寸的比 例为b:h=3:4,枕木的弯曲许用正应力[]=15.6MPa,许用剪应力 P P 0 0 .2 m 1 .6 m []=1.7MPa,钢轨传给枕木的压力P=49KN。 .2 m
a
M D ya Iz
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10.7
第二节 梁横截面上的剪应力
一、矩形截面梁：
矩形截面剪应力计算公式： τ沿截面高度按抛物线规律变化：
2Iz 4
3
QS
* z
I zb
bh
4
τ m ax
2 3
y
h 2
, 0 ; y 0 , max
6 Qh 4 bh
校核梁的正应力强度。
解：(1) 内力及抗弯截面模量计算: MC=3.0KN.m; MD=-4.8KN.m
W1 W2
P1
A
a C a
P2
D
a B
y1

z

763 5 .2
146 . 7 cm
3
y1

z

763 8 .8
86 . 7 cm
3
4 .8 k N m
y2
(2)C截面的正应力强度校核:
4 Q 3 A1
max 2
Q A2
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例9-3 矩形截面简支梁如图,已知：l=2m，h=15cm，b=10cm， h1=3cm，q=3kN/m。试求A支座截面上K点的剪应力及该截面的最 b q 大剪应力。 解：1.求剪力：QA=3kN

工程力学第九章圆柱扭转

工程力学第九章圆柱扭转

x
73.4MPa
从以上计算结果看出：最大切应力发生在扭矩较小的
BC段。由于max=73.4MPa＞[ ]，所以轴AC的强度不够。
第九章
圆轴的扭转
由无缝钢管制成的汽车传动轴AB，外径D＝90mm，壁厚 t=2.5mm，材料为45钢，许用切应力[ ] =60MPa，工作时最大 外扭矩Mn＝1.5kN· m。 1)试校核AB轴的强度。 2)如将AB轴改为实心轴，试在相同条件下确定轴的直径。 3)比较实心轴和空心轴的质量。
扭矩。
MA 一传动系统的主轴ABC，其转 速n=960r/min，输入功率 PA=27.5kW，输出功率PB=20kW， PC=7.5kW，不计轴承摩擦等功率 消耗。试作ABC轴的扭矩图。 解 1)计算外力偶矩。由式(9-1)得
MB 第九章
MC 圆轴的扭转
A
B
C
PA 27.5 M A 9550 9550 N m 274 N m n 960 PB 20 M B 9550 9550 N m 199 N m n 960 PC 7.5 M C 9550 9550 N m 75N m n 960
O
M
Mn O
A
max
=K 。
第九章
Mn 圆轴的扭转 O
=K
扭转切应力的计算如图，圆轴横截面上微 面积dA上的微内力为dA ，对截面中心O的力 矩为dA· 。 整个横截面上所有微力矩之和应等于该截面 上的扭矩Mn，则有 （9-2）
A
max dA
Mn dA O
M n dA K 2dA
故AB轴满足强度要求 。
第九章
圆轴的扭转
已知：D＝90mm，t=2.5mm， [ ] =60MPa，Mn=1.5kN· m。 1)试校核AB轴的强度。 2)如将AB轴改为实心轴，试在相同条件下确定轴的直径。 3)比较实心轴和空心轴的质量。 解 1)校核AB轴的强度。 2)确定实心轴的直径。若实心轴与空心轴的强度相同，则
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9.4

梁的弯曲变形与刚度
2.
挠度和转角
(1) 挠度 是指梁轴线上的一点在垂直于轴线方向上的位移， 通常用y表示。

一般规定向上的挠度为正，向上的挠度为负。它的单位是mm。 (2) 转角 是指梁的各截面相对原来位置转过的角度，用θ 表
示。

一般规定，逆时针方向的转角为正，顺时针的转角为负。它 的单位是弧度(rad)或度(º)。
远的边缘处。其计算公式为
max

(2) 梁的正应力强度条件为
M max y max M max Iz Wz
M max ≤[σ ] Wz
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max
小

结

max
* FQ S z
(3) 梁横截面上的切应力与切应力强度条件 对矩形截面梁，横截面上的切应力计算公式为 其最大切应力在截面的中性轴上，计算公式为 梁的切应力强度条件为τ max≤[τ ]
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9.2


梁弯曲时正应力强度计算
梁弯曲时正应力强度计算
9.2
为了保证梁在载荷作用下能够正常工作，必须使梁具备足够 的强度。也就是说，梁的最大正应力值不得超过梁材料在单 向受力状态(轴向拉、压情况)下的许用应力值[σ ]，即 M max max ≤[σ ] （9.10） Wz 式(9.10)就是梁弯曲时的正应力强度条件。需要指出的是， 式(9.10)只适用于许用拉应力[σ l]和许用压应力[σ y]相等 的材料。如果两者不相等(例如铸铁等脆性材料)，为保证梁 的受拉部分和受压部分都能正常工作，应该按拉伸式
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My Iz
(9.4)
9.1
9.1.4

梁弯曲时横截面上的正应力
常用截面的惯性矩的计算
y 2 dA
即可导出梁的截面为各种形状时的Iz的计算公
为了应用公式（9.4），必须解决惯性矩Iz的计算问题。根据
式。
Iz=
1.
A

因此，提高梁的强度和刚度可从以下几方面入手。


9.5.1 合理安排梁的支承及增加约束
当梁的尺寸和截面形状已定时，合理安排梁的支承或增加约束， 可以缩小梁的跨度、降低梁上的最大弯矩。

增加约束，缩短梁的跨度，对提高梁的刚度极为有效。
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9.5


提高梁的强度和刚度的措施
选择合理的截面形状
9.5.2
9.1

梁弯曲时横截面上的正应力
Iz = Wz y max
相应地，抗弯截面系数为
bh 6
2
(9.7b)

2.
圆形截面的惯性矩Iz
下面我们直接给出圆形截面的和圆环形截对中性轴的


惯性矩Iz计算公式：
(1) 圆形截面(图9-5)的惯性矩
Iz
d 4
64
(9.8a) 上一页 下一页 返回
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9.1


梁弯曲时横截面上的正应力
正应力分布规律
9.1.2
律：
根据平面假设可得出矩形截面梁在纯弯曲时的正应力分布规

(1) 中性轴上的线应变为零，所以其正应力亦为零。 (2) 距中性轴距离相等的各点，其线应变相等，根据胡克定 律，它们的正应力也相等。

(3) 横截面上的正应力沿横截面y轴线性分布，即σ =Ky，或 K=，K为待定常数，如图9-2所示。
9.1

梁弯曲时横截面上的正应力
Wz
其抗弯截面系数为
d 3
32
(9.8b)
(2) 圆环形截面(图9-6)的惯性矩
Iz

64
(D 4 d 4 )
D 4
64
(1 4 )
(9.8a)
其抗弯截面系数为
Wz
D 3
32
(1 4 )
(9.8b) 上一页 下一页 返回
9.1

(6) 梁的弯曲的刚度条件为
ymax≤[y]；θ max≤[θ ]

(7) 为提高梁的强度和刚度，可从合理安排梁的支承、合理 布置梁的载荷、选用合理的截面等几个主要方面入手，根据 实际情况确定合适的方法。
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图 9-1
F
a F F a
＋
B
A C D
―
F
(a)
Fa
(b)
＋
(c) 返回
图 9-2
SZ*——距中性轴为y的横线外侧部分的面积A*对中性轴z的静
矩；

Iz——横截面对中性轴z的惯性矩；

b——矩形截面的宽度。
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9.3
弯曲切应力简介
9.3.2 典型截面梁的最大切应力计算
常见典型截面梁如工字形、圆形截面梁、圆环形截面梁，最大切应
力发生在中性轴上， 如图9-8所示，其值分别为 F
矩形截面的惯性矩Iz
图9-4矩形截面，其高度为h，宽度为b，通过形心O的轴为z和
y。为了计算该截面对z轴的惯性矩Iz，可取平行于z轴的狭长 条为微面积，即dA=bdy，这样矩形截面对z轴的惯性矩即为

Iz=

3 bh y 2 dA by 2 dy A h / 2 12

h/2
(9.7a)
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9.1


梁弯曲时横截面上的正应力
弯曲正应力的计算
9.1.3
在纯弯曲梁的横截面上任取一微面积dA(图9-3)，微面积上的
微内力为σ dA。由于横截面上的内力只有弯矩M，所以由横截
面上的微内力构成的合力必为零，而梁横截面上的微内力对 中性轴z的合力矩就是弯矩M，即 FN= dA 0
梁的切应力强度条件为

τ max≤[τ ]
(9.18)
式（9.18）中，[τ ]为梁所用材料的许用切应力。
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9.4


梁的弯曲变形与刚度
9.4.1
1.
梁的弯曲变形概述
梁的变形必须限制在一定范围内，即梁应满足刚度要求。


挠曲线方程
梁在发生弯曲变形时，若其最大工作应力不超过材料的弹性 极限，梁的轴线由原来的直线被弯成一条光滑的曲线AB´，变 形后的梁轴线称为挠曲线（图9-9）。当梁发生平面弯曲时， 梁的挠曲线可用方程y = f (x) 来表示。称为梁的挠曲线方 程 。

梁弯曲时横截面上的正应力
3.
组合截面的惯性矩Iz
设有一平面图形，通过形心C点的轴线zC与相互平行的z轴的距离 为d，若图形面积为A，对于zC轴的惯性矩为IzC，则此图形对于z 轴的惯性矩
Iz=IzC+Ad2

(9.9)
即截面对任一轴z的惯性矩，等于它对平行于该轴的形心轴zC的
惯性矩，加上截面面积与两平行轴距离平方之积。式(9.9)称为 惯性矩的平行移轴公式。
I zb
3 FQ 2 A

(4) 弯矩引起的最大正应力是判断梁是否安全的主要依据。故通常
采用梁的正应力进行梁的强度计算，必要时再进行切应力强度校核。
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小

结
(5) 梁的变形用挠度y和转角θ 来度量。简单载荷作用下梁的
挠曲线方程，端截面的转角和最大挠度可查表9.1。由于梁的
变形和载荷成线性关系，故工程上常用叠加法来求复杂载荷 下梁的变形。
(9.19a) (9.19b)
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9.5

提高梁的强度和刚度的措施
提高梁的强度和刚度，就是在材料消耗最低的前提下，提高梁的
承载能力，满足既安全又经济的要求。梁上的最大弯曲正应力
σ max和梁上的最大弯矩Mmax成正比，和抗弯截面系数Wz成反比； 梁的变形和梁的跨度l的高次方成正比，和梁的抗弯刚度EI成反比。

此外，在结构允许条件下，应尽可能把集中力改变为分散的 力。
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小

结
My Iz
(1) 平面弯曲时，梁横截面上的正应力的大小沿横截面的高度呈 现线性变化，其计算公式为

中性轴上正应力为零，离中性轴最远的边缘上各点的正应力绝对 值最大。梁的最大正应力发生在弯矩最大的截面上且离中性轴最
yc
x
n1 B´
n
l
返回
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9.4


梁的弯曲变形与刚度
用叠加法求梁的变形
9.4.2
当梁上同时受到几个载荷作用时，每一载荷所引起的梁的变 形不受其它载荷的影响。于是，就可以用叠加法来计算梁的
变形：即先求出各个载荷单独作用下梁的挠度和转角，然后
将它们代数相加，得到几个载荷同时作用时梁的挠度与转角。
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9.4


梁的弯曲变形与刚度
9.4.3
梁的刚度条件
计算梁的变形，主要目的在于进行刚度计算。所谓梁要满足
刚度要求，就是指梁在外力作用下，应保证最大挠度小于许
用挠度，最大转角小于许用转角，即梁的刚度条件为

ymax≤[ y ]
θ max≤[θ ] [ y ]为梁的许用挠度，[θ ]为的许用转角。

（1）横截面上各点的剪应力方向与剪力FQ方向相同。 （2）切应力沿截面宽度均匀分布，距中性轴等距离的各点切应 力数值都相等。据此可以推导出矩形截面梁横截面上距中性轴 为y处的切应力计算公式为：
* FQ S z


(9.12)
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I zb
9.3

弯曲切应力简介
式中：FQ——横截面上的剪力；