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§1.1.1 集合的含义及其表示一、教学目标（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；初步了解属于关系和集合相等的意义（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；（3）熟记有关数集,培养学生认识事物的能力二、教学重点集合的基本概念与表示方法；三、教学难点运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；四、教学过程1、创设情境，引入新课在小学和初中我们已经接触了一些集合，例如自然数的集合，有理数的集合，不等式x-7<3的解的集合，到一个定点的距离的定长的集合（即圆），到一条线段的两个端点距离相等的点的集合（即这条线段的垂直平分线）……那么集合的含义是什么呢？我们再来看看下面的一些例子：（1）1~20以内的所有质数（2）2010年4月1日之前与我国建立外交关系的所有国家（2）所有的正方形（3）高一<2>班的学生在上数学课（4）方程x2+3x-2=0的所有实数解上面这些例子有什么共同的特征？2、推进新课（1）元素与集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。
（2）集合的性质○1确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。
○2互异性：集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个。
○3无序性：集合中的元素间是无次序关系的。
（3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
练习：1.判断以下元素的全体是否组成集合（1）大于3小于11的偶数。
（2）我国的小河流。
2.说出集合A=｛a,b,c｝和集合B=｛b, a,c｝的关系。
（4）集合与元素的表示：集合通常用大括号或大写的拉丁字母表示,如{1，2，3，4，5}与{高一（2）班的所有学生}，又如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A。
1.1.1 集合的含义与表示方法教案教学目标：1，集合的概念，怎样判断一句自然语言所说的对象构不构成集合？关键是“元素的确定性”。
2，元素与集合的关系，属于与不属于（注意集合的元素本来就是集合的情况） 3，集合中元素的性质，确定性，互异性（出题较多），无序性。
4，常用数集的表示符号，课堂检验是否记住，练习元素与集合的属于与不属于关系。
5，集合的表示，（一）自然语言（二）列举法（三）描述法，其中描述法最难是初中到高中思维能力提升，需要高度的抽象概括能力。
（四）图像法（Venn 图）6，集合语言的运用与解读：教学难点：描述法：按代表元素分类教学过程（一）引入事实上我们已接触过“集合”这一概念。
比如：在对数分类时，就用到“正数的集合”，“负数的集合”；“奇数集”，“偶数集”。
此外，在解不等式时，可能会得到一些数，这些数放到一起就构成不等式的解的集合，称为不等式的解集。
在学习圆的时候，说圆是到定点距离等于定长的点的集合，到一条线段两个端点距离相等的点的集合（即这条线段的垂直平分线），直线可以看成点的集合。
我们一口气说了这么多集合，我们仔细来分析一下。
①所有正数②所有奇数③x-7<3的解④x-7=3的解⑤到定点o距离等于定长d的所有点⑥隆回一中高一班的所有学生集合的含义是什么呢？例①中，我们把每一个正数作为研究对象，称它为元素，这些元素的全体就是一个集合。
同样的例②中，我们把每一个奇数作为研究对象，也就是元素，所有的奇数构成一个集合。
谁来说下下面几个集合的例子中，它们的元素分别是什么？集合的定义：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
（二）如何判断元素的全体是否构成集合呢？关键看什么？给定的集合，它的元素必须是确定的。
也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。
这就是集合的确定性。
这是判断是不是集合最关键的第一步。
看几个例子：玩一个是不是的游戏，我说一句话，如果你觉得你是在我所说的研究对象内，你就举手①我们班所有的学生②我们班所有男生③我们班所有高个子男生④我们班所有身高超过1米6的超级爱好DOTA 游戏的男生。
第1课时 集合的含义知识归纳1、 集合：某些 的对象集在一起就形成一个集合，简称集。
元素：集合中的每个 叫做这个集合的元素。
2、集合的符号表示：⑴集合用 表示，元素用 表示。
⑵如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作：⑶常用数集符号：非负整数集〔或自然数集〕： 正整数集： 整数集： 有理数集： 实数集：3、元素的性质：〔1〕 〔2〕 〔3〕一、根底过关1． 以下各项中，不可以组成集合的是( ) A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数2． 集合A 中只含有元素a ，则以下各式正确的是( ) A ．0∈A B ．a ∉A C ．a ∈AD ．a ＝A 3． 由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含( ) A ．2个元素 B ．3个元素 C ．4个元素 D ．5个元素4． 由以下对象组成的集体属于集合的是________．(填序号)①不超过π的正整数； ②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．5． 如果有一集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________．6． 判断以下说法是否正确？并说明理由．(1)参加20xx 年伦敦奥运会的所有国家构成一个集合； (2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素； (4)某的年轻教师． 7．集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .二、能力提升8． 集合S 中三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是 ( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形9．集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为()A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3均可10．方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，假设集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________.11．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？三、探究与拓展12．设A为实数集，且满足条件：假设a∈A，则11－a∈A(a≠1)．求证：(1)假设2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．答案1． 4．①④ 5．x ≠0,1,2，1±52. 6． 解 (1)正确．因为参加20xx 年伦敦奥运会的国家是确定的，明确的．(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定． (3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一个元素，故这个集合含有三个元素．(4)不正确．因为年轻没有明确的标准．7． 解 由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32. 则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3， ∴a ＝－32. 8． D 9．B 10．211．解 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8；当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个．12．证明 (1)假设a ∈A ，则11－a∈A . 又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A . ∵－1∈A ，∴11－(－1)＝12∈A . ∵12∈A ，∴11－12＝2∈A . ∴A 中另外两个元素为－1，12. (2)假设A 为单元素集，则a ＝11－a，即a 2－a ＋1＝0，方程无解． ∴a ≠11－a ，∴集合A 不可能是单元素集．。
1.1集合的含义与表示一等奖创新教案集合的含义与表示一．教学目标1．（1）了解集合的含义①通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；②知道常用数集及其专用记号；③了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；④会用集合语言表示有关数学对象。
（2）会用适当的方法表示集合2．教学重点、难点重点：集合的含义与表示方法；难点：表示法的恰当选择。
二．教学过程：引例：考察下列实例，试指出每一组表示的对象是什么，包含的对象的个数是多少？（1）数组1、3、5、7.（2）到两定点距离等于两定点间距离的点.（3）满足3x-2>x+3的全体实数.（4）所有直角三角形.（5）高一(1)班全体女同学.1.定义。
（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。
（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。
2．集合的表示方法一般用大括号表示集合,如{1，3，5，7}、{直角三角形}等。
集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……（1）描述法：符号语言或文字语言（2列举法（3）图示法练习1：把引例中的每一组对象形成的集合用适当的方法表示出来3．元素的特征：（1）确定性：（2）互异性：集合中的元素没有重复。
（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）练习2：（1）A={1，3}，问3、5哪个是A的元素（2）A={所有素质好的人}，能否表示为集合（3）A={2，2，4}，表示是否准确？（4）A={a,b,c}，B={b,a,c}是否表示为同一集合？4．元素与集合的关系元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于”两种。
如果a是集合A的元素就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A5、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。
记作N，（2）正整数集：非负整数集内排除0的集。
§集合的含义与表示一、教学目标：l. 知识与技能(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；(2)知道常用数集及其专用记号；(3)了解集合中元素确实定性、互异性、无序性；(4)会用集合语言表示有关数学对象；2. 过程与方法(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.(2)让学生归纳整理本节所学知识.3. 情感.态度与价值观(1)培养学生抽象概括的能力.(2)使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.二. 教学重点.难点重点：集合的含义与表示方法.难点：表示法的恰中选择.三. 学法与教学用具1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完本钱节课的教学目标.2. 教学用具：多媒体.四. 教学情境设计(一)创设情境，揭示课题1．教师首先提出问题：在，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗?引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价.2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.〔二〕研探新知1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面8个实例：(1)1—20以内的所有素数；注释：质数又称素数。
指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。
换句话说，只有两个正因数〔1和自己〕的自然数即为素数。
比1大但不是素数的数称为合数。
1和0既非素数也非合数。
(2)我国古代的四大创造；〔指南针、造纸术、火药、印刷术〕(3)所有的安理会常任理事国；注释：联合国是一个由主权国家组成的国际组织。
在1945年10月24日在美国加州旧金山签定生效的《联合国宪章》标志着联合国正式成立。
在第二次世界大战前，存在着一个类似于联合国的组织国际联盟，通常可以认为是联合国的前身。
联合国对所有接受《联合国宪章》的义务以及履行这些义务的“热爱和平的国家〞开放。
到20xx年为止，联合国共有192个成员国。
“1_示范教案（1_1集合的含义与表示）”一、教学目标1. 了解集合的含义，掌握集合的表示方法。
2. 能够运用集合的概念解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
二、教学内容1. 集合的含义集合的定义集合的元素特点2. 集合的表示方法列举法描述法图像法三、教学重点与难点1. 教学重点：集合的含义与表示方法。
2. 教学难点：集合的表示方法的应用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解集合的含义与表示方法。
2. 案例分析法：分析实际问题，运用集合的概念解决。
3. 小组讨论法：分组讨论，分享各自的理解和应用。
五、教学准备1. 课件：集合的图像示例。
2. 练习题：巩固集合的概念和表示方法。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入集合的概念，让学生思考生活中遇到的集合例子。
2. 学生分享例子，教师总结集合的特点。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解集合的含义，解释集合的定义和元素特点。
2. 介绍集合的表示方法：列举法、描述法、图像法。
3. 举例说明集合的表示方法及其应用。
三、案例分析（10分钟）1. 给出实际问题，让学生运用集合的概念解决。
2. 学生分组讨论，分享解题过程和答案。
四、课堂练习（10分钟）1. 学生独立完成练习题，巩固集合的概念和表示方法。
2. 教师点评答案，讲解错误之处。
五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结集合的含义和表示方法。
2. 学生分享自己的收获和感悟。
六、作业布置1. 课后习题：巩固集合的概念和表示方法。
2. 实践作业：寻找生活中的集合例子，用集合的表示方法进行描述。
教学反思：本节课通过讲解集合的含义与表示方法，让学生掌握集合的基本概念，并能运用到实际问题中。
在教学过程中，注意引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
通过案例分析和练习题，巩固所学知识，提高学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
六、教学章节：“1_示范教案（1_2集合的性质与运算”六、教学目标1. 理解集合的性质，包括确定性、互异性和无序性。
1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示整体设计教学分析集合语言是现代数学的基本语言，同时也是一种抽象的数学语言．教材将集合的初步知识作为初、高中数学课程的衔接，既体现出集合在高中数学课程中举足轻重的作用，又体现出集合在数学中的奠基性地位．课本除了从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发，结合实例给出元素、集合的含义、性质、表示方法之外，还特别注意渗透了“概括”与“类比”这两种常用的逻辑思考方法．因此，建议教学时，应引导学生从大量的实例中概括出集合的含义；多创设让学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，以便学生在实际应用中逐渐熟悉自然语言、集合语言和图形语言各自的特点和表示方法，能进行相互转换并且灵活应用，充分掌握集合语言．与此同时，本小节作为高一数学教学的第一节新授课，知识体系中的新概念、新符号较多，建议教学时先引导学生阅读课本，然后进行交流、讨论，让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用．这样，既能够培养学生自我阅读、共同探究的能力，又能提高学生主动学习、合作交流的精神．三维目标1．了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”关系；熟记常用数集专用符号．2．深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题．3．能选择不同的形式表示具体问题中的集合．重点难点教学重点：集合的基本概念与表示方法．教学难点：选择适当的方法表示具体问题中的集合．课时安排1课时教学过程导入新课思路1．集合对我们来说可谓是“最熟悉的陌生人”．说它熟悉，是因为我们在现实生活中常常用到“集合”这个名词；比如说，军训的时候，教官是不是经常喊：“高一(4)班的同学，集合啦！”那么说它陌生，是因为我们还未从数学的角度理解集合，从数学的层面挖掘集合的内涵．那么，在数学的领域中，集合究竟是什么呢？集合又有着怎样的含义呢？就让我们通过今天这堂课的学习，一起揭开“集合”神秘的面纱．思路2．你经常会谈论你的家庭，你的班级．其实在讲到你的家庭、班级的时候，你必定在联想构成家庭、班级的成员，例如：家庭成员就是被你称为父亲、母亲、哥哥、姐姐、妹妹、弟弟……的人；班级成员就是与你在同一个教室里一起上课、一起学习的人；一些具有特定属性的人构成的群体，在数学上就是一个集合．那么，在数学中，一些对象的总体怎样才可以构成集合、集合中的元素有哪些特性？集合又有哪些表示方法呢？这就是本节课我们所要学习的内容．思路3．“同学们，在小学和初中的学习过程中，我们已经接触过一些集合的例子，比如说：有理数集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合(圆)，那么大家是否能够举出更多关于集合的例子呢？”(通过两个简单的例子，引导大家进行类比，运用发散性思维思考说出更多的关于集合的实例，然后教师予以点评．)“那么，集合的含义究竟是什么？它又该如何表示呢？这就是我们今天要研究的课题．”推进新课新知探究提出问题①中国有许多传统的佳节，那么这些传统的节日是否能构成一个集合？如果能，这个集合由什么组成？②全体自然数能否构成一个集合？如果能，这个集合由什么组成？③方程x2－3x＋2＝0的所有实数根能否构成一个集合？如果能，这个集合由什么组成？④你能否根据上述几个问题总结出集合的含义？讨论结果：①能．这个集合由春节、元宵节、端午节等有限个种类的节日组成，称为有限集．②能．这个集合由0,1,2,3，……等无限个元素组成，称为无限集．③能．这个集合由1,2两个数组成．④我们把研究对象统称为“元素”，把一些元素组成的总体叫做“集合”．提出问题通过以上的学习我们已经知道集合是由一些元素组成的总体，那么是否所有的元素都能构成集合呢？请看下面几个问题.①近视超过300度的同学能否构成一个集合？②“眼神很差”的同学能否构成一个集合？③比较问题①②，说明集合中的元素具有什么性质？④我们知道冬虫夏草既是一种植物，又是一种动物.那么在所有动植物构成的集合中，冬虫夏草出现的次数是一次呢还是两次？⑤组成英文单词every的字母构成的集合含有几个元素？分别是什么？⑥问题④⑤说明集合中的元素具有什么性质？⑦在玩斗地主的时候，我们都知道3，4，5，6，7是一个顺子，那比如说老师出牌的时候把这五张牌的顺序摆成了5，3，6，7，4，那么这还是一个顺子么？类比集合中的元素，一个集合中的元素是3，4，5，6，7，另外一个集合中的元素是5，3，6，7，4，这两个集合中的元素相同么？集合相同吗？这体现了集合中的元素的什么性质？讨论结果：①能．②不能．③确定性．问题②对“眼神很差”的同学没有一个确定的标准，到底怎样才算眼神差，是近视300度？400度？还是说“眼神很差”只是寓意？我们不得而知．因此通过问题①②我们了解到，对于给定的集合，它的元素必须是确定的，即任何一个元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，这就是集合中元素的确定性．④一次．⑤4个元素．e，v，r，y这四个字母．⑥互异性．一个集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素不能重复出现．⑦是．元素相同．集合相同．体现集合中元素的无序性，即集合中的元素的排列是没有顺序的．只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．提出问题①如果用A表示所有的自然数构成的集合，B表示所有的有理数构成的集合，a＝1.58，那么元素a和集合A，B分别有着怎样的关系？②大家能否从问题①中总结出元素与集合的关系？③A表示“1～20内的所有质数”组成的集合，那么3__________A，4__________A.讨论结果：①a是集合B中的元素，a不是集合A中的元素．②a是集合B中的元素，就说a属于集合B，记作a∈B；a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.因此元素与集合的关系有两种，即属于和不属于．③3∈A,4∉A.提出问题①从这堂课的开始到现在，你们注意到我用了几种方法表示集合吗？②字母表示法中有哪些专用符号？③除了自然语言法和字母表示法之外，课本还为我们提供了几种集合的表示方法？分别是什么？④列举法的含义是什么？你能否运用列举法表示一些集合？请举例！⑤能用列举法把下列集合表示出来吗？小于10的质数；不等式x－2＞5的解集.⑥描述法的含义是什么？你能否运用描述法表示一些集合？请举例！⑦集合的表示方法共有几种？讨论结果：①两种，自然语言法和字母表示法．②非负整数集(或自然数集)，记作N；除0的非负整数集，也称正整数集，记作N*或N＋；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.③两种，列举法与描述法．④把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．例如“地球上的四大洋”组成的集合可以用列举法表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，方程x2－3x＋2＝0的所有实数根组成的集合可以用列举法表示为{1,2}．⑤“小于10的质数”可以用列举法表示出来；“不等式x－2＞5的解集”不能够用列举法表示出来，因为这个集合是一个无限集．因此，当集合是无限集或者其元素数量较多而不便于无一遗漏地列举出来的时候，如果我们再用列举法来表示集合就显得不够简洁明了．⑥用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．例如，不等式x－2＞5的解集可以表示为{x∈R|x＞7}；所有的正方形的集合可以表示为{x|x是正方形}，也可写成{正方形}．⑦自然语言法、字母表示法、列举法、描述法．应用示例例1 下列所给对象不能构成集合的是__________．(1)高一数学课本中所有的难题；(2)某一班级16岁以下的学生；(3)某中学的大个子；(4)某学校身高超过1.80米的学生．活动探究：教师首先引导学生通过读题、审题，了解本题考查的基本知识点——集合中元素的确定性；然后指导学生对4个选项进行逐一判断；判断所给元素是否能构成集合，关键是看是否满足集合元素的确定性．解析：(1)不能构成集合．“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确的标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观地判断．实际上一道数学题是“难者不会，会者不难”，因而“高一数学课本中所有的难题”不能构成集合．(2)能构成集合，其中的元素是某班级16岁以下的学生．(3)因为未规定大个子的标准，所以(3)不能组成集合．(4)由于(4)中的对象具备确定性，因此，能构成集合．)(3)个元素，则实数(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合．活动探究：讲解例2的过程中，可以设计如下问题引导学生：针对例2(1)：①自然数中是否含有0？②小于10的自然数有哪些？③如何用列举法表示小于10的所有自然数组成的集合？针对例2(2)：①解一元二次方程的方法有哪些？分别是什么？②方程x2＝x的解是什么？③如何用列举法表示方程x2＝x的所有实数根组成的集合？针对例2(3)：①如何判断一个数是否为质数(即质数的定义是什么)？②1～20以内的质数有哪些？③如何用列举法表示由1～20以内的所有质数组成的集合？在用列举法表示集合的过程中，应让学生先明确集合中的元素，再把元素写入“{}”内，并用逗号隔开．解：(1)小于10的自然数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}；(2)方程x2＝x的两个实根为x1＝0，x2＝1，设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}；(3)1～20以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19，设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．点评：本题主要考查了集合表示法中的列举法，通过本题的教学可以体会利用集合表示(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．活动探究：讲解例3的过程中，可以设计如下问题引导学生：针对例3(1)——列举法①方程x2－2＝0的解是什么？②如何用列举法表示方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合？针对例3(1)——描述法①描述法的定义是什么？②所求集合中元素有几个共同特征？分别是什么？③如何用描述法表示所求集合？针对例3(2)——列举法①大于10小于20的所有整数有哪些？②由大于10小于20的所有整数组成的集合用列举法如何表示？针对例3(2)——描述法①所求集合中元素有几个共同特征？分别是什么？②如何用描述法表示所求集合？解：(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足x2－2＝0，因此，用描述法表示为A ＝{x∈R|x2－2＝0}；方程x2－2＝0的两个实根为x1＝－2，x2＝2，因此，用列举法表示为A＝{－2，2}．(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z且10＜x＜20，因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10＜x＜20}；大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为{11,12,13,14,15,16,17,18,19}．点评：例2和例3是通过“问题引导”的方式，使学生逐步逼近答案的过程．在此过程中，既帮助学生理清了解答问题的基本思路，又使得列举法和描述法在实例中得到进一步的巩固.课后练习1,2.【补充练习】1．考查下列对象能否构成集合：(1)著名的数学家；(2)某校2013年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体．答案：(1)(2)(5)(6)不能组成集合，(3)(4)能组成集合．2．用适当的符号填空：(1)0__________N，5__________N，16__________N；(2)－12__________Q，π__________Q，e__________∁R Q(e是个无理数)；(3)2－3＋2＋3＝__________{x|x＝a＋6b，a∈Q，b∈Q}．答案：(1)∈∉∈(2)∈∉∈(3)∈3．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．解：∵2∈A，∴m＝2或m2－3m＋2＝2.若m＝2，则m2－3m＋2＝0，不符合集合中元素的互异性，舍去．若m2－3m＋2＝2，求得m＝0或3.m＝0不合题意，舍去．∴m只能取3.4．用适当方法表示下列集合：(1)函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上所有点的集合；(2)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合；(3)不等式x －3＞2的解集；(4)自然数中不大于10的质数集．答案：(1)描述法：{(x ，y )|y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，a ≠0}．(2)描述法：⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ＝x ＋3y ＝－2x ＋6＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝4. 列举法：{(1,4)}．(3)描述法：{x |x ＞5}(4)列举法：{2,3,5,7}．拓展提升问题1：设集合P ＝{x －y ，x ＋y ，xy }，Q ＝{x 2＋y 2，x 2－y 2,0}，若P ＝Q ，求x ，y 的值及集合P ，Q .活动探究：首先，应让学生思考两个数集相等的条件——集合中的元素分别对应相等；然后，再引导学生讨论：本题中集合P ，Q 对应相等时，其元素可能出现的几种情况，并根据讨论的结果进行计算；最后，应当指导学生自主探究，应用集合中元素的性质检验所求结果是否符合要求．解：∵P ＝Q 且0∈Q ，∴0∈P .若x ＋y ＝0或x －y ＝0，则x 2－y 2＝0，从而Q ＝{x 2＋y 2,0,0}，与集合中元素的互异性矛盾，∴x ＋y ≠0且x －y ≠0；若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0.当y ＝0时，P ＝{x ，x,0}，与集合中元素的互异性矛盾，∴y ≠0；当x ＝0时，P ＝{－y ，y,0}，Q ＝{y 2，－y 2,0}，由P ＝Q 得⎩⎪⎨⎪⎧ －y ＝y 2，y ＝－y 2，y ≠0， ① 或⎩⎪⎨⎪⎧ －y ＝－y 2，y ＝y 2，y ≠0.②由①得y ＝－1，由②得y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1， 此时P ＝Q ＝{1，－1,0}．点评：本题综合性地考查了两数集相等的条件、集合中元素的性质以及学生的运算能力和分类讨论能力．问题2：已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}，若A 中的元素至多只有一个，求a 的取值范围．活动探究：讨论关于x 的方程ax 2－3x ＋2＝0实数根的情况，从中确定a 的取值范围，依题意，方程有一个实数根或两个相等的实数根或无实数根．解：(1)a ＝0时，原方程为－3x ＋2＝0，x ＝23，符合题意． (2)a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0为一元二次方程．由Δ＝9－8a ≤0，得a ≥98. ∴当a ≥98时，方程ax 2－3x ＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根． 综合(1)(2)，知a ＝0或a ≥98. 点评：“a ＝0”这种情况最容易被忽视，只有在“a ≠0”的条件下，方程ax 2－3x ＋2＝0才是一元二次方程，才能用判别式Δ解决问题．问题3：设S ＝{x |x ＝m ＋2n ，m ，n ∈Z }．(1)若a ∈Z ，则a 是否是集合S 中的元素？(2)对S中的任意两个x1，x2，则x1＋x2，x1·x2是否属于S?活动探究：针对问题(1)——首先引导学生仔细观察集合S中元素的共同特征与构成方式；然后，再引导学生思考题中所给的元素a能否表示成m＋2n的形式；如果能，m和n 分别是多少，如果不能，请说明理由；最后小结，判断一个元素是否属于集合时，转化为判断这个元素是否满足集合元素的特征即可．针对问题(2)——首先引导学生将x1，x2分别表示出来，再引导大家根据正确的表示结果，推断x1＋x2，x1·x2是否是集合S中的元素．解：(1)a是集合S中的元素，a＝a＋2×0∈S.(2)不妨设x1＝m＋2n，x2＝p＋2q，m，n，p，q∈Z.则x1＋x2＝(m＋2n)＋(p＋2q)＝(m＋p)＋2(n＋q)，m，n，p，q∈Z.∴x1＋x2∈S；x1·x2＝(m＋2n)·(p＋2q)＝(mp＋2nq)＋2(mq＋np)，m，n，p，q∈Z.∴x1·x2∈S.综上，x1＋x2，x1·x2都属于S.点评：本题考查集合的描述法以及元素与集合间的关系．课堂小结本节学习了：(1)集合的含义；(2)集合中元素的性质；(3)元素与集合的关系；(4)集合的表示方法．课后作业习题1.1A组3,4.设计感想本节教学设计是以数学课程标准的要求为指导，结合生活中的一些实例，重视引导学生积极思考，主动参与到教学中，体现了学生的主体地位．同时结合高考的要求适当拓展了教材，使学生的发散性思维得到拓展，最大限度地挖掘了学生的学习潜力，真正做到了对教材的“活学活用”．备课资料集合论的诞生集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.17世纪，数学中出现了一门新的分支：微积分．在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果．其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.19世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动．正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端．到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念．他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素．人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日．康托尔把无穷集这一词汇引入数学．对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子．“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示．”学过集合的所有人应该对这句话不会感到陌生．但在接受这句话时我们根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作．在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释．无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在的．这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.18世纪数学王子高斯就持这种观点．由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是不足为怪的．然而康托尔并未就此止步，他以前所未有的方式，继续正面探讨无穷．他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数．他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势．由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应关系——也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数．这与传统观念“全体大于部分”相矛盾．而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征．在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集．又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集．后来当他又证明了实数集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集．但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集．有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”．然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认．在1900年第二次国际数学家大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了．从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等．而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的．因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结．“它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一．康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献．”。
模块纵览课标要求1.知识与技能认识和理解集合、映射、函数、幂函数、指数函数、对数函数等概念,认识和理解它们的有关性质和运算 .具有一定的把函数应用于实际的能力.2.过程与方法通过背景的给出 ,通过经历、体验和实践探索过程的展现 ,通过数学思想方法的渗透 ,让学生体会过程的重要 ,并在过程中学习知识 ,同时领会一定的数学思想和方法 .3.情感、态度与价值观教育的根本目的是育人 .通过对本模块内容的教学 ,使学生在学习和运用知识的过程中提高对数学学习的兴趣 ,并在初中函数的学习基础上 ,对数学有更深刻的感受 ,提高说理、批判和质疑精神 ,形成锲而不舍追求真理的科学态度和习惯 ,树立良好的情感态度和价值观 .内容概述本模块共三章 :第一章集合与函数概念 ;第二章基本初等函数 (Ⅰ );第三章函数的应用 . 本模块为了用集合与对应的语言刻画函数概念,先在第一章给出集合的有关概念、表示、关系和运算等 ;然后从函数实例出发深化函数概念及其表示,并研究映射概念 ; 进而又给出了函数的性质 :单调性、最值、奇偶性 ,这也是对函数的深化 ;接下来再回到特殊的函数——几个基本初等函数 ,继续认识函数 ,本模块重点涉及了指数函数、对数函数、幂函数 ;最后专门给出了函数在数学和实际中的一些应用实例,使函数的价值得到体现 ,也是进一步巩固函数的概念 ,更加强了数学应用 .概括地说 ,本模块的核心内容是“函数”函.数是描述现实世界最重要、最常用的数学模型,是贯穿整个高中数学的纽带 ,是学生进一步学习的准备 ,是未来公民的必需 ,因此 ,整个模块以函数作为中心 ,以函数思想作为指导思想 .本模块无论是数还是形都用函数观点来研究,研究它们的变化及其规律 .对方程的认识和研究也是从函数出发 ,把它与两个函数相结合 ,把它的解看成两个函数图象的交点的横坐标.这里把函数作为整体来认识 ,方程则被看成是包含于函数的局部.教学建议教师 ,对数学应该有自己深入的想法 ,只有教师深入了才能有教学的浅出;教师 ,对于教学也应该有自己的想法 ,唯其有自己的想法 ,才能发挥自己的特长 ,教出具有独到想法的学生 .1.抓住核心 ,重点突破由于函数是本模块的重点和核心,因此教师要重视函数的教学 ,向学生贯彻函数的数学思想 ,逐步让学生掌握学会函数 ,更会用函数的思想去解决数学和实际问题.函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质,教学中可引导学生联系生活常识,尝试列举具体函数 ,构建函数的一般定义 .要注意：①构成函数的要素和相同函数的含义,②函数的三种表示法的联系、区别与适用性 ,③分段函数的意义 ,④映射的概念和判断 .教学中应强调对函数概念本质的理解 ,在求函数定义域、值域时 ,要控制难度 .2.用课本教 ,而非教课本《普通高中数学课程标准》是在《基础教育课程改革纲要 (试行 )》的指导下编写的 ,是数学学科教育目标的具体化 ,体现数学学科对学生最起码的要求 ,是编制高考大纲的依据 ,是数学教学和培养学生数学素质的主要依据,具有指导性 .《普通高中数学课程标准》的目标是包含“双基”在内的三维发展目标 :知识与技能 ,过程与方法 ,情感、态度与价值观 .在这种教学过程中, 课本仅仅是一种学习工具 ,是课程标准的具体化 ,课本内容仅仅是帮助学生实现三维发展目标的一种载体 ,并不要求学生将课本内容全部掌握 .由于高中数学课本版本的多样化 ,高考数学只能依据高中数学课程标准而不是某个版本的课本来命题 .因此在处理新课标课本时 ,首先要考虑高中数学课程标准的培养目标和具体要求.就课本来说 ,版本不同 ,对课程标准的理解就有不同,其处理的方式也就不同 ,因此,在教学中 ,要深入钻研课程标准、课本、学生,找准三者的连接点 .这样在新课程改革的形势下 ,课本仅仅是教学的素材 ,在教学过程中 ,以课本为依托 , 把课本当作指导教学的素材和蓝本,创造性地使用、改造课本 ,最终突破课本 ,即变“教课本”为“用课本教”树,立“用课本教”的课本观 .同时这也要求提醒学生 ,不要把课本看得过于神圣 .3.把学生当成学习的主人独立自主地思考是学习数学的需要,但是合作交流更不能少 .在课堂上 ,教师尽量不要大包大揽 ,以先知先觉出现 ,把结论告诉学生 ,而是推出判断 ,引导学生独立思考 ,并在此基础上进行合作和交流 ,努力实现师生的互动 ,这是课标的要求也是时代发展的必然.4.强调应用 ,突出提出、分析和解决问题的能力数学是美的 ,这正是数学使人兴趣盎然、乐此不疲之处 .数学的美 ,有两个方面 :一是其中的思维之美 ,内在的逻辑和运用逻辑的机智 ,外在的形式 ,莫不充满着思维之美 ;另一方面则是它的作用 ,它在方方面面的应用 .新课标要求强化数学应用 ,在应用中 , 应该特别重视实践能力和创造能力的培养 ;在教学中 ,要重视动手和一题多解的能力 .第一章集合与函数概念本章教材分析通过本章的学习 ,使学生会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象 ,并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换 ,体会用集合语言表达数学内容的简洁性、准确性,帮助学生学会用集合语言描述数学对象 ,发展学生运用数学语言进行交流的能力 .通过本章的学习 ,使学生不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还会用集合与对应的语言刻画函数,为后续学习奠定基础 .函数是高中数学的核心概念 ,本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习 ,强调结合实际问题 ,使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法,从而发展学生对变量数学的认识 ,培养学生的抽象概括能力 ,增强学生应用数学的意识 . 课本力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识,通过列举丰富的实例 ,强调从实例出发 ,让学生对集合和函数概念有充分的感性认知基础,再用集合与对应语言抽象出函数概念.课本突出了集合和函数概念的背景教学,这样比较符合学生的认识规律 .教学中要高度重视数学概念的背景教学 .课本尽量创设使学生运用集合语言和数学符号进行表达和交流的情境和机会, 并注意运用 Venn 图表达集合的关系及运算 ,用图象表示函数 ,帮助学生借助直观图示认识抽象概念 .课本在例题、习题的教学中注重运用集合和函数的观点研究、处理数学问题,这一观点 ,一直贯穿到以后的数学学习中 .在例题和习题的编排中 ,渗透了分类讨论思想 ,让学生体会到分类讨论思想在生活中和数学中的广泛运用 ,这是学生在初中阶段所缺少的 .函数的表示是本章的主要内容之一 ,课本重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法）,目的是丰富学生对函数的认识 , 帮助理解抽象的函数概念 .在教学中 ,既要充分发挥图象的直观作用,又要适当地引导学生从代数的角度研究图象,使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.课本将函数推广到了映射 ,体现了由特殊到一般的思维规律 ,有利于学生对函数概念学习的连续性.在教学中 ,要坚持循序渐进 ,逐步渗透数形结合、分类讨论这方面的训练 .对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解 ,而对定义域、值域的繁难计算 ,特别是人为的过于技巧化的训练不作提倡 ,要准确把握这方面的要求 ,防止拔高教学 .重视函数与信息技术整合的要求 ,通过电脑绘制简单函数动态图象 ,使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用.为了体现课本的选择性 ,在练习题安排上加大了弹性 ,教师应根据学生实际情况 ,合理地取舍 . 本章教学时间约需 13课时,具体分配如下（仅供参考）:1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示整体设计教学分析集合论是现代数学的一个重要的基础.在高中数学中 ,集合的初步知识与其他内容有着密切的联系,是学习、掌握和使用数学语言的基础 .课本从学生熟悉的集合（自然数的集合、有理数的集合等）出发 ,结合实例给出元素、集合的含义 ,课本注重体现逻辑思考的方法 ,如抽象、概括等.值得注意的问题 :由于本小节的新概念、新符号较多 ,建议教学时先引导学生阅读课本 ,然后进行交流 ,让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用.在信息技术条件较好的学校可以利用网络平台让学生交流学习概念后的认识;也可以由教师给出问题 ,让学生读后回答问题,再由教师给出评价 .这样做的目的是培养学生主动学习的习惯,提高阅读与理解、合作与交流的能力 .在处理集合问题时 ,根据需要 ,及时提示学生运用集合语言进行表述. 三维目标1.通过实例了解集合的含义 ,体会元素与集合的“属于”关系 ,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题 ,提高语言转换和抽象概括能力 ,树立用集合语言表示数学内容的意识.2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号 ,并能够用其解决有关问题 ,提高学生分析问题和解决问题的能力 ,培养学生的应用意识 .重点难点教学重点 :集合的基本概念与表示方法 .教学难点 :选择恰当的方法表示一些简单的集合.课时安排1 课时设计方案（一）教学过程导入新课思路 1.军训前学校通知 :8月15日 8点,高一年级学生到操场集合进行军训 .试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里 ,集合是我们常用的一个词语 ,我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体 ,而不是个别的对象 ,为此 ,我们将学习一个新的概念——集合.思路 2.首先教师提出问题 :在初中 ,我们已经接触过一些集合 ,你能举出一些集合的例子吗 ?引导学生回忆、举例和互相交流自己举的例子 .与此同时 ,教师对学生的活动给予评价 .接着教师指出 :那么,集合的含义是什么呢 ?这就是我们这一堂课所要学习的内容.推进新课新知探究提出问题①请我们班的全体女生起立！接下来问 : “咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？”②下面请班上身高在 1.75 以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？③其实 ,生活中有很多东西能构成集合 ,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等. 那么 ,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义 .④如果用 A 表示高一（3）班全体学生组成的集合 ,用 a 表示高一（3）班的一位同学 ,b 是高一（4）班的一位同学 ,那么 a、b与集合 A 分别有什么关系 ?由此看见元素与集合之间有什么关系？⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？⑥世界上的高山能不能构成一个集合？⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？⑧由实数 1、 2、 3、1 组成的集合有几个元素？⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？⑩由实数 1、2、3组成的集合记为 M,由实数 3、1、2 组成的集合记为 N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？讨论结果：①能.②能.③我们把研究的对象统称为“元素”那,么把一些元素组成的总体叫“集合”.④a是集合 A的元素,b不是集合 A的元素 .学生得出元素与集合的关系有两种 :属于和不属于 . ⑤能 ,是珠穆朗玛峰 .⑥不能 .⑦确定性 .给定的集合 ,它的元素必须是明确的 ,即任何一个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中 ,这就是集合的确定性 .⑧3 个 .⑨互异性 .一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的,这就是集合的互异性 .⑩集合 M 和 N 相同 .这说明集合中的元素具有无序性 ,即集合中的元素是没有顺序的 .可以发现: 如果两个集合中的元素完全相同 ,那么这两个集合是相等的 .提出问题阅读课本 P3中 :数学中一些常用的数集及其记法 .快速写出常见数集的记号 . 活动：先让学生阅读课本 ,教师指定学生展示结果 .学生写出常用数集的记号后 ,教师强调 :通常情况下 ,大写的英文字母 N、Z、 Q、 R 不能再表示其他的集合 ,这是专用集合表示符号 ,类似于 110、 119 等专用电话号码一样 .以后 , 我们会经常用到这些常见的数集 ,要求熟练掌握 . 讨论结果：常见数集的专用符号 .N:非负整数集（或自然数集）（全体非负整数的集合）;N*或 N+:正整数集（非负整数集 N 内排除 0 的集合）;Z:整数集（全体整数的集合）; Q:有理数集（全体有理数的集合）;R:实数集（全体实数的集合）. 提出问题①前面所说的集合是如何表示的？②阅读课本中的相关内容 ,并思考 : 除字母表示法和自然语言之外,还能用什么方法表示集合？③集合共有几种表示法 ?活动：①学生回顾所学的集合并作出总结.教师提示可以用字母或自然语言来表示.②教师可以举例帮助引导 :例如 ,24 的所有正约数构成的集合,把 24 的所有正约数写在大括号“{} ”内 ,即写出为{1,2,3,4,6,8,12,24} 的形式 ,这种表示集合的方法是列举法 .注意：大括号不能缺失 ;有些集合所含元素个数较多 , 元素又呈现出一定的规律 ,在不至于发生误解的情况下 ,亦可用列举法表示 , 如: 从 1 到 100 的所有整数组成的集合 :{1,2,3, ⋯,100}自, 然数集 N:{0,1,2,3,4, ⋯,n, ⋯区};分 a 与{a}:{a} 表示一个集合 ,该集合只有一个元素 ,a 表示这个集合的一个元素 ; 用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序 ;相同的元素不能出现两次 .又例如 ,不等式 x-3>2 的解集 ,这个集合中的元素有无数个 ,不适合用列举法表示 .可以表示为 {x ∈ R|x-3>2} 或{x|x-3>2}, 这种表示集合的方法是描述法 .③让学生思考总结已经学习了的集合表示法 .讨论结果：①方法一（字母表示法）:大写的英文字母表示集合 ,例如常见的数集 N、 Q,所有的正方形组成的集合记为 A 等等 ;方法二（自然语言）:用文字语言来描述出的集合 ,例如“所有的正方形”组成的集合等等 .②列举法 :把集合中的全部元素一一列举出来,并用大括号“{} 括”起来表示集合 ,这种表示集合的方法叫做列举法 ;描述法 :在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值（或变化）范围 ,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 .这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法 .注 :在不致混淆的情况下 ,也可以简写成列举法的形式 ,只是去掉竖线和元素代表符号 ,例如 :所有直角三角形的集合可以表示为 {x|x 是直角三角形 }, 也可以写成 {直角三角形 }.③表示一个集合共有四种方法 : 字母表示法、自然语言、列举法、描述法.应用示例思路 11.下列各组对象不能组成集合的是（）A.大于 6 的所有整数B.高中数学的所有难题1C.被 3 除余 2 的所有整数D.函数 y= 图象上所有的点x活动：学生先思考、讨论集合元素的性质,教师指导学生此类选择题要逐项判断.判断一组对象能否构成集合 ,关键是看是否满足集合元素的确定性 .在选项 A、C、D中的元素符合集合的确定性 ;而选项 B 中,难题没有标准 ,不符合集合元素的确定性 ,不能构成集合答案： B变式训练1. 下列条件能形成集合的是 （ ） A.充分小的负数全体 C.中国的富翁 答案： D2.2007 浙江宁波高三第一次 “十校联考 ”理, 1 在数集 {2x,x 2-x} 中 ,实数 x 的取值范围是 .分析 :实数 x 的取值满足集合元素的互异性 ,则 2x ≠x 2-x,解得 x ≠0且 x ≠ 3∴,实数 x 的取值范围 是 {x|x<0 或 0<x<3 或 x>3}.答案： {x|x<0 或 0<x<3 或 x>3}B.爱好足球的人D.某公司的全体点评： 本题主要考查集合的含义和元素的性质 .当所指的对象非常明确时就能构成集合 ,若元素不明确 ,没有判断的标准就不能构成集合 .2. 用列举法表示下列集合 :(1) 小于 10 的所有自然数组成的集合 ;(2) 方程 x 1 2=x 的所有实数根组成的集合 ;(3) 由 1~20 以内的所有质数组成的集合 .活动：学生先思考或讨论列举法的形式 ,展示解答过程 .当学生出现错误时 ,教师及时加以纠正 利用相关的知识先明确集合中的元素 ,再把元素写入大括号 “{} 内” ,并用逗号隔开 .所给的集合均是用自然语言给出的 .提示学生注意以下方面 :(1) 自然数中包含零 ;(2) 解一元二次方程有公式法和分解因式法 ,方程 x 2=x 的根是 x=0,x=1;(3) 除去 1 和本身外没有其他约数的正整数是质数 ,1~20 以内的所有质数是 2、3、5、7、11、1 所有绝对值等于 8 的数的集合 A;2 所有绝对值小于 8 的整数的集合 B. 答案： (1)A={-8,8};(2) B={-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7}.3. 试分别用列举法和描述法表示下列集合 :(1) 方程 x 2-2=0 的所有实数根组成的集合 ;(2) 由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合 .活动： 先让学生回顾列举法表示集合的步骤 ,思考描述法的形式 ,再找学生到黑板上书写 .当学生出现错误时 ,教师指导学生书写过程 .用描述法表示集合时 ,要用数学符号表示集合元素的 特征 .大于 10 小于 20 的所有整数用数学符号可以表示为 10<x<20,x ∈ Z.(重点引导用描述法表示集合 )用描述法表示集合时 ,用一个小写英文字母表示集合中的元素 ,作为集合中元素的代表符号找到集合中元素的共同特征 ,并把共同特征用数学符号来表达 ,然后写在大括号 “{} 内”,在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值 (或变化 )范围 ,再画一条竖线 ,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 .在(1) 中利用条件中现有元素代表符号 x,集合中元素的共同特征就是满足方程x 2-2=0.13、 17、19. 解： (1)设小于 10的所有自然数组成的集合为A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2) 设方程 x 2=x 的所有实数根组成的集合为 A={0,1}.(3) 设由 1~20 以内的所有质数组洁性和严谨性 ,以后我们尽量用集合来表示数学内容 如果一个集合是有限集 ,并且元素的个数较少时 表示出了集合中的元素 ,是常用的表示法 ; 列举法表示集合的步骤 :(1) 用字母表示集合 大括号 “{}内”,并写成 A={⋯⋯}的形式 . 变式训练 用列举法表示下列集合 :成的集合为C={2,3,5,7,11,13,17,19}.点评：本题主要考查集合表示法中的列举法A,那么B,那么C,那么.通过本题可以体会利用集合表示数学内容的简,通常选择列举法表示 ,其特点是非常显明地 ;(2) 明确集合中的元素 ;(3)把集合中所有元素写在在 (2)的条件中没有元素代表符号 ,故要先设出 ,用一个小写英文字母表示即可 ;集合中元素的 共同特征有两个 : 一是大于 10 小于 20(用不等式表示 ),二是整数 (用元素与集合的关系符号 “∈”来表示 ).解： (1)设方程 x 2-2=0 的实根为 x,它满足条件 x 2-2=0,因此,用描述法表示为 A={x ∈R|x 2-2=0}.方程 x 2-2=0 的两个实数根为 2 , 2 ,因此 ,用列举法表示为 A={ 2 , 2 }.(2) 设大于 10 小于 20 的整数为 x,它满足条件 x ∈Z,且 10<x<20,因此 ,用描述法表示为 B={x ∈ Z |10<x<20}.大于 10 小于 20 的整数有 11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此 ,用列举法表示为 B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.描述法表示集合的步骤 :(1) 用字母分别表示集合和元素 ;(2)用数学符号表达集合元素的共同 特征 ;(3) 在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值 (或变化 )范围 ,再画一条竖线 ,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 .并写成 A={⋯| ⋯}的形式 .描述法适合表示有无数个元素的集合 .注意： 当集合中的元素个数较少时 ,通常用列举法表示 ,否则用描述法表示 .思路 21. (1)A={1,3}, 判断元素 3,5 和集合 A 的关系 ,并用符号表示 . (2) 所有素质好的人能否表示为集合 ? (3) A={2,2,4} 表示是否准确 ?(4) A={ 太平洋 ,大西洋 },B={ 大西洋 ,太平洋 } 是否表示同一集合 ? 活动： 如果学生没有解题思路 ,让学生思考以下知识 : (1) 元素与集合的关系及其符号表示 ; (2) 集合元素的性质 ; (3) 两个集合相同的定义 .解：(1)根据元素与集合的关系有两种 :属于(∈)和不属于 ( ),知3属于集合 A,即 3∈A,5 不属 于集合 A, 即 5 A. (2) 由于素质好的人标准不可量化 ,不符合集合元素的确定性 ,故 A 不能表示为集合 (3) 表示不准确 ,不符合集合元素的互异性 ,应表示为 A={2,4}. (4) 因其元素相同 ,A 与 B 表示同一集合 . 变式训练 1.数集{3,x,x 2-2x}中,实数 x满足什么条件 ? 解： 集合元素的特征说明 {3,x,x 2-2x} 中元素应满足x 3, x 3, x 3,x 2 x 2x,即 2 x 3x,也就是 x 0, 即满足 x ≠-1,0,33 2 x2x, 2 x 2x 3 0, x 1, 2.方程 ax 2+5x+c=0 的解集是{ 11, }, 则___,c= ____ .231 11 1 分析 :方程 ax 2+5x+c=0 的解集是 { , }, 那么 、 是方程的两根2 32 31 15,2 3 a a -6,即有 2 3 a得那么 a=-6,c=-1.1 ?1 c, c -1,2?3 a,答案： 6 -13.集合 A 中的元素由关于 x 的方程 kx2-3x+2=0 的解构成 ,其中 k∈ R,若 A 中仅有一个元素 ,求 k 的值 .解：由于 A 中元素是关于 x 的方程 kx2-3x+2=0(k ∈R)的解,2若 k=0, 则 x= ,知 A 中有一个元素 ,符合题设 ;3若 k≠ 0则, 方程为一元二次方程 ,9当Δ=9-8k=0 即 k= 时 ,kx2-3x+2=0 有两相等的实数根 ,此时 A 中有一个元素 .89综上所述 k=0 或 k= .84.2006山东高考 ,理1定义集合运算 :A ⊙B={z|z=xy(x+y),x ∈A,y∈B}, 设集合A={0,1},B={2,3}, 则集合 A ⊙ B 的所有元素之和为⋯( )A.0B.6C.12D.18 分析 :∵x∈ A, ∴ x=0 或 x=1.当 x=0,y ∈B 时 ,总有 z=0;当 x=1 时 ,若 x=1,y=2 时 ,有 z=6;当 x=1,y=3 时 ,有 z=12.综上所得 ,集合 A ⊙ B 的所有元素之和为 0+6+12=18.答案： D注意：①判断元素与此集合的关系时 ,用列举法表示的集合 ,只需观察这个元素是否在集合中即可 .用符号∈ , 表示 ,注意这两个符号的左边写元素 ,右边写集合 ,不能互换它们的位置 ,否则没有意义 .②如果有明确的标准来判断元素在集合中,那么这些元素就能构成集合 ,否则不能构成集合 .③用列举法表示的集合 ,直接观察它们的元素是否完全相同,如果完全相同 , 那么这两个集合就相等 ,否则不相等 .2.用列举法表示下列集合 :(1)小于 5 的正奇数组成的集合 ;(2)能被 3整除且大于 4 小于 15的自然数组成的集合 ;(3)方程 x2-9=0 的解组成的集合 ;(4){15 以内的质数 };6(5){x| 6∈Z,x∈Z}.3x活动：教师指导学生思考列举法的书写格式,并讨论各个集合中的元素 .明确各个集合中的元素,写在大括号内即可 .提示学生注意：(2)中满足条件的数按从小到大排列时 ,从第二个数起 ,每个数比前一个数大 3; (4)中除去 1 和本身外没有其他的约数的正整数是质数 ;(5)中 3-x 是 6 的约数 ,6 的约数有±1, ±2, ±3, ±6.解： (1)满足题设条件小于 5的正奇数有 1、3,故用列举法表示为 {1,3};(2)能被 3 整除且大于 4 小于 15 的自然数有 6、9、12,故用列举法表示为{6,9,12};(3)方程 x2-9=0 的解为 -3、 3,故用列举法表示为 {-3,3};(4)15 以内的质数有 2、 3、5、7、11、13,故该集合用列举法表示为{2,3,5,7,11,13};(5)满足6∈Z 的 x 有 3-x=±1、±2、±3、±6,解之,得 x=2、4、1、5、0、 6、-3、9,故用列3x举法表示为 {2,4,1,5,0,6,-3,9}. 变式训练用列举法表示下列集合 :(1)x 2-4 的一次因式组成的集合 ;(2){y|y=-x 2-2x+3,x ∈R,y∈N};(3)方程 x2+6x+9=0 的解集 ;(4){20 以内的质数 };(5){(x,y)|x 2+y2=1,x∈ Z ,y∈ Z };(6){ 大于 0 小于 3 的整数 };(7){x ∈ R |x2 +5x-14=0};(8){(x,y)|x ∈N 且 1≤ x<4,y-2x=0};(9){(x,y)|x+y=6,x ∈ N,y∈N}.思路分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素 ,要注意不重不漏,不计次序地用“,隔”开放在大括号内 .解： (1)因 x2-4=(x-2)(x+2), 故符合题意的集合为 {x-2,x+2};(2)y=-x 2-2x+3=-(x+1) 2+4,即 y≤ 4又. y∈N,∴y=0、1、2、3、4, 故{y|y=-x 2-2x+3,x ∈R,y∈N}={0,1,2,3,4};(3)由 x2+6x+9=0 得 x1=x2=-3,∴方程 x2+6x+9=0 的解集为 {-3};(4){20 以内的质数 }={2,3,5,7,11,13,17,19};(5)因 x∈Z ,y∈ Z ,则 x=-1、0、1 时,y=0、1、-1, 那么 {(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z}={(-1,0),(0,1),(0,-1),(1,0)};(6){ 大于 0 小于 3 的整数 }={1,2};(7)因 x2+5x-14=0 的解为 x1=-7,x 2=2,则{x ∈ R |x2+5x-14=0}={-7,2};(8)当 x∈N 且 1≤x<4时,x=1、2、3,此时 y=2x,即 y=2、4、6,那么 {(x,y)|x ∈N 且 1≤x<4,y-2x=0}={(1,2),(2,4),(3,6)};(9){(x,y)|x+y=6,x ∈ N,y∈N}={(0,6)(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}. 点评：本题主要考查集合的列举法表示 .列举法适用于元素个数有限个并且较少的集合.用列举法表示集合 :先明确集合中的元素 ,再把元素写在大括号内并用逗号隔开, 相同的元素写成一个.3.用描述法分别表示下列集合 :(1)二次函数 y=x2图象上的点组成的集合 ;(2)数轴上离原点的距离大于 6 的点组成的集合 ;(3)不等式 x-7<3 的解集 . 活动：让学生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐标。
1.1.1集合的含义与表示学习目标：要求学生初步理解集合的概念，理解元素与集合间的关系，掌握集合的表示法，知道常用数集及其记法.学习重点： 1、元素与集合间的关系2、集合的表示法学习难点：集合的表示方法学习过程：一、新授：1、集合的概念 2、实例引入：⑴ 1~20以内的所有质数;⑵我国从1991~2003的13年内所发射的所有人造卫星;⑶金星汽车厂2003年生产的所有汽车;⑷ 2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家;⑸所有的正方形; ⑹黄图盛中学2004年9月入学的高一学生全体.结论：一般地，我们把研究对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合，也简称集.2、集合元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素.（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写练习：判断下列各组对象能否构成一个集合⑴2，3，4 ⑵（2，3），（3，4）⑶三角形⑷2，4，6，8，…⑸1，2，（1，2），{1，2}⑹我国的小河流⑺方程x2+4=0的所有实数解⑻好心的人⑼著名的数学家⑽方程x2+2x+1=0的解3、集合相等构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等4、集合元素与集合的关系集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示：（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∈A5、常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N；除0的非负整数集，也称正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.练习：（1）已知集合M={a，b，c}中的三个元素可构成某一三角形的三条边，那么此三角形一定不是（）A直角三角形 B 锐角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形（2）说出集合{1，2}与集合{x=1，y=2}的异同点？6、集合的表示方式（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内；（2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示的方法.（具体方法）二、例题分析例 1、用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合；（3）由1~20以内的所有质数组成。
“1_示范教案（1_1集合的含义与表示）”一、教学目标：1. 理解集合的含义，掌握集合的表示方法。
2. 能够运用集合的概念解决实际问题。
二、教学内容：1. 集合的含义2. 集合的表示方法：列举法、描述法三、教学重点与难点：1. 教学重点：集合的含义，集合的表示方法。
2. 教学难点：集合的表示方法的应用。
四、教学方法：1. 采用问题导入法，引导学生思考集合的概念。
2. 通过实例讲解，让学生掌握集合的表示方法。
3. 运用小组讨论法，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学步骤：1. 导入新课：通过提问，引导学生回顾已学的数学概念，为新课的学习做好铺垫。
2. 讲解集合的含义：讲解集合的定义，让学生理解集合是一种数学概念，用于表示一些确定的对象的全体。
3. 讲解集合的表示方法：3.1 列举法：通过列举集合中的所有元素，表示该集合。
3.2 描述法：通过描述集合中元素的属性，表示该集合。
4. 实例分析：运用集合的表示方法解决实际问题，巩固所学知识。
5. 课堂练习：布置一些有关集合表示的练习题，让学生独立完成，检验学习效果。
7. 课后作业：布置一些有关集合表示的作业题，让学生巩固所学知识。
8. 课后反思：教师对本节课的教学效果进行反思，为下一步的教学做好准备。
六、教学评价：1. 评价学生对集合概念的理解程度。
2. 评价学生对集合表示方法的掌握情况。
3. 评价学生在解决实际问题中运用集合概念的能力。
七、教学资源：1. 教学PPT：包含集合的概念、表示方法及实例分析。
2. 练习题：包括选择题、填空题和应用题。
3. 小组讨论工具：如白板、便签纸等。
八、教学进度安排：1. 第1-2周：讲解集合的概念和表示方法。
2. 第3-4周：通过实例分析，让学生运用集合表示方法解决实际问题。
3. 第5-6周：进行课堂练习和课后作业，巩固所学知识。
九、教学反思：1. 教师在课后应对本节课的教学效果进行反思，了解学生的学习情况。
2. 对教学方法和教学内容进行调整，以提高教学效果。
《集合的概念》教案教材分析集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上．此外，集合理论的应用也变得更加广泛．教学目标【知识与能力目标】1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；2．知道常用数集及其专用记号；3．了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；4．会用集合语言表示有关数学对象；5．培养学生抽象概括的能力．【过程与方法目标】1．让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．2．让学生归纳整理本节所学知识．【情感态度价值观目标】使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．教学重难点【教学重点】集合的含义与表示方法．【教学难点】对待不同问题，表示法的恰当选择．课前准备学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．教学过程（一）创设情景，揭示课题请分析以下几个实例：1．正整数1，2，3， ；2．中国古典四大名著；3．2018足球世界杯参赛队伍；4．《水浒》中梁山108好汉；5．到线段两端距离相等的点．在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体．（二）研探新知1．集合的有关概念（1）一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．思考：上述5个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？①很小的数②不超过30的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④π的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2的整数⑧正三角形全体（2）关于集合的元素的特征（a）确定性：设A一个给定的集合，对于一个具体对象a，则a或者是集合A的元素，或者不是集合A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（b）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．（c）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关．（3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题．答案：（a）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合．（b）不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的．（4）元素与集合的关系；（a）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A（b）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a∉A例如：A表示方程x2＝1 的解．2∉A，1∈A（5）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合．（a）列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列表法．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；思考2，引入描述法答案：（1）1~9内所有偶数组成的集合（2）不能，因为集合中元素的个数是无穷多个．说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．（b）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．如：{x|x-3>2}，{（x，y）|y=x2+1}，{直角三角形}，…；思考3：描述法表示集合应注意集合的代表元素{（x，y）|y= x2+3x+2}与{y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z．（6）常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}．下列写法{实数集}，{R}也是错误的．如果写{实数}是正确的．说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．（7）集合的分类问题2：我们看这样一个集合：{ x |x2＋x＋1＝0}，它有什么特征？显然这个集合没有元素．我们把这样的集合叫做空集，记作∅．练习：（1）0 ∅（填∈或∉）（2）{ 0 } ∅（填＝或≠）集合的分类：（1）按元素多少分类：有限集、无限集；（2）按元素种类分类：数集、点集等（三）例题讲解例1．用集合表示：①x 2－3＝0的解集；②所有大于0小于10的奇数；③不等式2x －1＞3的解．例2．已知集合S 满足：1S ∉，且当a S ∈时11S a ∈-，若2S ∈，试判断12是否属于S ，说明你的理由．例3．设由4的整数倍加2的所有实数构成的集合为A ，由4的整数倍再加3的所有实数构成的集合为B ，若,x A y B ∈∈，试推断x +y 和x -y 与集合B 的关系．（四）归纳小结本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法．。
1.1.1集合的含义及其表示一、知识与技能(1)理解集合的含义，掌握元素与集合的属于关系。
(2)理解常用数集及其专用记号。
(3)理解集合元中元素的确定性、互异性、无序性。
(4)观察集合的几组实例，并能举出一些集合的例子。
(5)通过实例，体会元素与集合的“属于”关系，准确的理解集合。
三、情感态度与价值观在学生使用集合语言的过程中，增强学生理解事物的水平，初步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度。
四、重点集合的概念，元素与集合的关系。
难点集合概念的理解五、教学过程：（一）导入新课1、问：我们初中学习都有哪些数集啊？生：有自然数集，有理数集等(老师讲解一下圆的概念，让同学温故知新产生兴趣)(二) 教学过程1、问：同学们对于课本上的8个例子，你们能发现出他们有什么共同特点吗？通过教材的例子等，给出集合概念的描绘性说明：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。
（质数：也称素数，指除１和自身外不能被其他自然数整除的数）只要是构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合是相等的。
2、问：结合教材“思考”，通过举例观察例题（1）里面我们列举出的1~20的素数，这些元素之间有什么关系呢？（引导学生明确集合元素的性质—确定性、互异性、无序性）3、阐述元素与集合的关系。
“属于”记为“∈”；“不属于”记为“∉”。
一般地，元素用小写字母表示；集合用大写字母．4、常用数集及其记法记法：①全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；所有正整数组成的集使称为正整数集，记作或N*或N+；②全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；③全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；④全体实数组成的集合称为实数集，记作R。
5、问：你能用列举法表例如1中的集合吗？思考一以下举法的特点，完成习题1.1A组第3 题。
师和学生一起讨论例2，教师讲解引导，让同学们探讨第4页的“思考”。
讨论理应如何根据问题选择适当的集合表示法。
第1章 集合1.1 集合的含义及其表示一、 学习内容、要求及建议知识、方法要求 建议集合的概念 确定性、互异性、无序性 了解 集合是不定义的原始概念，通过举例进行概念辨析；会用适当的方法表示集合；数形结合、分类讨论思想在集合中有重要应用.集合的表示 列举法、描述法、Venn 图了解 元素与集合、集合与集合的关系属于、包含了解二、 预习指导 1. 预习目标(1)通过预习初步了解集合的概念，能用集合的语言描述具体问题； (2)会判断元素与集合的关系；知道几个常用数集的表示方法； (3)会用列举法、描述法及Venn 图表示集合. 2. 预习提纲(1)对集合的理解应从初中数学和实际生活中寻找实例，请举例，并与同学交流辨析. (2)对课本中集合的定义的理解要注意关键词的内涵，请找出你认为的关键词.(3)用列举法、描述法表示集合时，应注意根据问题选择合理的表示方法，归纳一下哪类问题宜用哪种表示法.(4)课本例1是解一元一次不等式，并将不等式的解用集合的形式表示出来，这是一种常见题型.同学们解不等式要正确，解集的表达也要正确. (5)上网查阅集合论的创始人康托(Cantor)的资料. 3. 典型例题例1 判断下列描述的对象能否构成集合：(1)某校高一(1)班的女生； (2)某校高一(1)班比较聪明的女生； (3)某校高一(1)班学生家长；(4)某校高一(1)班经常体育锻炼的学生. 分析：根据集合的定义判断特性所描述的对象是否确定，若对象确定，则他们可以构成集合；反之，则不能构成集合.解：(1)由于“某校高一(1)班的女生”所描述的对象是确定的，所以，某校高一(1)班的女生可以构成集合.(2)由于“某校高一(1)班比较聪明的女生”所描述的对象不确定，所以，某校高一(1)班比较聪明的女生不能构成集合.(3)由于“某校高一(1)班学生家长”所描述的对象是确定的，所以，某校高一(1)班学生家长可以构成集合.(4)由于“某校高一(1)班经常体育锻炼的学生”所描述的对象不确定，所以，某校高 一(1)班经常体育锻炼的学生不能构成集合.点评：判断某种对象能否构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个元素，都确定它是不是给定集合的元素. 例2 用“∈”或“∉”符号填空：(1)3.14 N ； (2)π R ； (3)2 N ； (4)3 Q ；(5)sin450 R ； (6)cos450Z ； (7)49 Q ； (8)3 {(2，3)}.分析：首先了解常用数集符号表示方法，而后判断“数”是否是集合中的元素，最后填写符号“∈”或“∉”.解：(1) 3.14 ∉N ； (2)π∈R ； (3)2∈N ； (4)3 ∉Q ；(5)sin450∈R ； (6)cos450∉Z ； (7)49∈Q ； (8)3 ∉{(2，3)} .点评：判断元素与集合的关系，必须先确定集合是由什么元素组成，然后再判断所给对象是否是集合中的元素.例3 用适当的方法表示下列集合：(1)由15的正约数组成的集合； (2)能被3整除的整数；(3)方程0322=--x x 的解； (4)直角坐标平面中一、三象限角平分线上的点.解：(1)因为15的正约数为1，3，5，15，所以15的正约数组成的集合用列举法表示为{1，3，5，15}. (2)用描述法表示为{}Z n n x x ∈=,3.(3)用列举法表示为{-1，3}.(4)用描述法表示为{}R x x y y x ∈=,),（.点评：(1)列举法表示集合时,要符合互异性，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的顺序无关.列举法一般适用于元素不多的有限集.(2)描述法表示集合时要符合确定性，元素x 满足的条件p(x)要表达准确.描述法适用于元素比较多的有限集或无限集. 例4 用列举法表示下列集合：(1)；为非零实数},,|||||{b a bb a a x x A +== (2) },36|),{(*N x Z xy y x A ∈∈-==. 解：(1)根据绝对值的定义化简bb a a x ||||+=, 当0,0>>b a 时, 2=x ； 当0,0<<b a 时, 2-=x ；当b a ,异号时, 0=x .所以}2,0,2{-=A . (2)根据元素x 满足的条件Z x∈-36且*N x ∈得到x 的值. x 所取的正整数必须使得x -3整除6,所以6,3,2,13±±±±=-x ,.9,3,6,0,5,1,4,2-=x 因为*N x ∈所以.9,6,5,4,2,1=x所以 )}1,9(),2,6(),3,5(),6,4(),6,2(),3,1{(----=A .点评：用列举法表示集合时，要把元素不重复、不遗漏、不计顺序的全部列出来. 例5 已知集合}33,)1(,2{22++++=a a a a A ，若A ∈1，求实数a 的值.分析： A ∈1，则33,)1(,222++++a a a a 均有可能为1，则需分类讨论解决，且必须检验是否满足集合中元素的互异性.解：(1)若12=+a 则1-=a ；此时，}1,0,1{=A 与集合中元素的互异性矛盾，(舍去)； (2)若1)1(2=+a ，则0=a 或2-，当0=a 时}3,1,2{=A ，满足题意；当2-=a 时，}1,1,0{=A 与集合中元素的互异性矛盾，(舍去)；(3)若 1332=++a a 则1-=a (舍去)或2-=a (舍去)．综上所述，0=a ，此时集合}3,1,2{=A .点评：本题易错原因：忽视元素的互异性.在解决集合问题时常用分类讨论思想，需要弄清“为什么要分类”、“按什么分类”和“怎样进行分类”.例6 已知集合{}1,1,12A x x =++，集合{}21,,B y y =，且A B =，求实数x 和y 的值.分析：求未知数x y 和的值，常需要用解方程的方法，根据集合相等，可列出方程组.解：∵A B =，∴(Ⅰ)21,12;x y x y +=⎧⎨+=⎩或(Ⅱ)21,12.x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 解方程组(Ⅰ)，得0,1.x y =⎧⎨=⎩检验知不合题意，舍去.解方程组(Ⅱ)，得3,0,41 1.;2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩或检验知0,1.x y =⎧⎨=⎩不合题意，舍去. 综上所述，31,42x y =-=-. 4. 自我检测(1)以下元素的全体不能够构成集合的是 .①中国古代四大发明； ②地球上的小河流； ③方程210x -=的实数解； ④周长为10cm 的三角形.(2)方程组{23211x y x y -=+=的解集是 .(3)给出下列关系：①12R ∈； ②2Q ∈；③ *3N ∈；④0Z ∈. 其中正确的个数是 .(4)下列各组中的两个集合M 和N, 表示同一集合的是 .①{}M π=, {3.14159}N =； ②{2,3}M =, {(2,3)}N =； ③{|11,}M x x x N =-<≤∈, {1}N =； ④{1,3,}M π=, {,1,|3|}N π=-. (5)已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是 . (6)已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为 . 三、 课后巩固练习A 组1．判断下列特性描述的对象能否形成集合： (1)算术平方根等于自身的数；(2)高一(1)班1988年出生的学生； (3)与一个角的两边距离相等的点； (4)难解的题目.2．分别写出下列集合中的元素: (1){中国的直辖市)；(2){大于0且小于5的整数的平方}； (3){大于10且小于20的合数}； (4){既是质数又是偶数的整数}； (5){大于10且小于20的质数}； (6){方程020*******=+-x x 的解}； (7){24和36的正公因数}； (8){江苏省的省辖市}． 3．用“∈”或∉号填空： (1)若}78,76,54{=A 则3649A ； (2)若B={小于10的质数}，则3B ； (3)若},102|{<<-∈=x Z xC 则5.5 C ； (4)若},9|{2≤∈=x N xD 则8 D ； (5)(){}22,2450M x y xy x y =++-+=，则数对()1,2- M .4．下面七个命题：(1)集合N 中的最小元素是1：(2)若a N -∉，则a N ∈ (3)244x x +=的解集为{2，2}；(4)0.7Q ∈；(5)方程()()()31250x x x -+-=的解集中含有3个元素；(6)0∈∅；(7)满足1x x +>的实数的全体形成的集合为R .其中正确命题是 ；不正确命题为 .5．下列命题(1){}200x ∈=；(2)(){}00,0∈；(3)0∈∅；(4)0N ∈中表述正确的是 .6．下列命题(1){}0=∅；(2){}{}1,22,1=；(3)0N ∉中表述正确的是 .7．用列举法表示不等式组240121x x x +>⎧⎨+≥-⎩的整数解集为 .8．在实数范围内，方程062=-+x x 的解集是 ；方程012=++x x 的解集是 .9．设集合M ={正方形}，T ={能被7整除的数},P ={比2大3的数}，H ={大于1且小于2的有理数}，其中无限集为 .10．下列每一题中各个集合的意义是否相同？并说明理由．(1){1,5},{(1,5)},{5,1},{(5,1)}; (2){|0},{(,)|0,}x x x y x y R ==∈.11．已知1212{|,,0},{|,,0}A x Q x Z x B y Z y Z y x y =∈∈==∈∈=//. (1)试判断集合A 、B 是有限集还是无限集； (2)试判断21,8,1-是否是这两个集合的元素． 12．已知集合}5|{>=x x p ，则以下结论中正确的是 (1)2P ∈且3P ∈；(2)2P∈但3P ∉；(3)2P ∉但3P ∈；(4)2P ∉且3P ∉.B 组13．集合{有长为2的边和40度的内角的等腰三角形}的元素个数为 . 14．已知集合12,6A x x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭用列举法表示集合A 为 . 15．下列四个集合中表示空集的是 (1){0}；(2){(x ,y )|y 2=-x 2,x ∈R ，y ∈R }； (3){x ∈N |2x 2+3x -2=0}.16．若集合}01|{2=++x ax x 有且只有一个元素，则实数a 的取值集合为 . 17．数集},{2a a a -中实数a 的取值范围是 . 18. 用列举法表示下列集合： ⑴{(x ,y )|x +y =5, x ∈N ，y ∈N }； ⑵{(x ,y )|y =x 2-1, |x |≤2，x ∈Z }.19．直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为 . (1){(x ,y )|x =0, y ≠0或x ≠0，y =0}；(2){(x ,y )|x =0且y =0}； (3){(x ,y )|xy =0}；(4){(x ,y )|x ,y 不同时为0}.20．若},0|{2},0|{122=++∈=++∈b ax x x b ax x x 求b a ,的值.21. 设b a ,均为整数，把形如5b a +的一切数构成的集合记作M ，设M y x ∈,，试判断yxxy y x y x ,,,-+是否属于集合M ，并说明理由.C 组22．已知集合241x A a x x a⎧⎫-⎪⎪==⎨⎬+⎪⎪⎩⎭关于的方程有惟一解，用列举法表示集合A 为 .23．集合},,|{},22,|{2A x x y y B x Z x x A ∈==≤≤-∈=用列举法表示集合B ． 24．设{}{}2,y x ax b A x y x a =++===，求,a b . 25. 已知集合{}2210,A x ax x x R =++=∈，a 为实数. (1)若A 是空集，求a 的取值范围； (2)若A 是单元素集，求a 的值；(3)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．26．已知集合}{Z n Z m n m x x A ∈∈-==,,22，求证：(1)3A ∈；(2)()21,k A k Z +∈∈(3)偶数()42k k Z -∈不属于A .知识点 题号 注意点集合的概念集合是不定义的原始概念，通过举例进行辨析；会用适当的方法表示集合；分类讨论思想在集合中有重要应用. 集合的表示注意列举法、描述法、Venn 图各自的特点.元素与集合、集合与集合的关系分清元素与集合、集合与集合的属于关系和包含关系综合题用分类讨论思想四、 学习心得五、 拓展视野罗素悖论十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击.但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉.数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦.因而集合论成为现代数学的基石.“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉.1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”可是，好景不长.1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国著名数学家伯特兰·罗素（Russel ，1872—1970）提出的著名的罗素悖论：把所有集合分为两类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，令第一类所组成的集合为P ，第二类所组成的集合为Q ，于是有：P ={A ∣A ∈A }，Q ={A ∣A ∉A } 问，Q ∈P 还是 Q ∈Q ？ 罗素悖论还有一些较为通俗的版本，即理发师悖论：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人.可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸.罗素悖论提出，危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案.人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则.“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来.”公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机.但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响.有人说：“提出问题就是解决问题的一半”，而悖论提出的正是让数学家无法回避的问题.它对数学家说：“解决我，不然我将吞掉你的体系！”正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的.人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果.如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它.而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生.数学由此获得了蓬勃发展，这或许就是数学悖论重要意义之所在吧，而罗素悖论在其中起到了重要的作用.。
