2020全国卷----数学必刷试卷08答案

2020年全国卷Ⅰ理科数学(含答案)-2020数学理科2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：1.若 $z=1+i$，则 $|z^2-2z|=$A。

$1$。

B。

$2$。

C。

$2\sqrt{2}$。

D。

$4$2.设集合 $A=\{x|x^2-4\leq 0\}$，$B=\{x|2x+a\leq 0\}$，且$A\cap B=\{x|-2\leq x\leq 1\}$，则 $a=$A。

$-4$。

B。

$-2$。

C。

$2$。

D。

$4$3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A。

$\dfrac{5-\sqrt{5}}{4}$。

B。

$\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}$。

C。

$\dfrac{5+\sqrt{5}}{4}$。

D。

$\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}$4.已知 $A$ 为抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 上一点，点$A$ 到 $C$ 的焦点的距离为 $12$，到 $y$ 轴的距离为 $9$，则 $p=$A。

$2$。

B。

$3$。

C。

$6$。

D。

$9$5.某校一个课外研究小组为研究某作物种子的发芽率$y$ 和温度 $x$（单位：$^\circ$C）的关系，在 $20$ 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据$(x_i,y_i)(i=1,2,\cdots,20)$ 得到下面的散点图：在 $10^\circ\text{C}$ 至 $40^\circ\text{C}$ 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 $y$ 和温度 $x$ 的回归方程由此散点图，在 $10^\circ\text{C}$ 时发芽率最高的类型的是A。

$y=a+bx$。

B。

$y=a+bx^2$。

C。

$y=a+be^x$。

D。

$y=a+blnx$6.函数 $f(x)=x^4-2x^3$ 的图像在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为A。

2020新课标冲刺高考理科数学必拿分题目强化第八卷3月一模精选基础卷（第8卷）1.已知集合{}{}2|20,|1A x x x B x x =-<=≤，则A B =U （ ） A ．()0,1 B ．(]0,1 C ．[)1,2-D ．[]1,1-【答案】C【解析】由题,因为220x x -<,解得02x <<,则{}|02A x x =<<, 因为1x ≤,解得11x -≤≤,则{}|11B x x =-≤≤, ∴{}|12A B x x =-≤<U 故选:C.2.设复数z 满足|3|2z -=，z 在复平面内对应的点为(,)M a b ，则M 不可能为（ ） A ． B ．(3,2) C ．(5,0) D ．(4,1)【答案】D【解析】设z a bi =+， 因为|3|2z -=， 所以22(3)4a b -+=， 经验证(4,1)M 不满足， 故选：D.3.已知,a b 都是实数，p ：直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切；q ：2a b +=，则p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切，则圆心(),a b 到直线0x y +=的距离等于半径=2a b +=，即2a b +=±.充分性：若直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切，则2a b +=±，充分性不成立； 必要性：若2a b +=，则直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切，必要性成立. 故p 是q 的必要不充分条件. 故选B.4．已知双曲线2213y x m -=m 的值为（ ）A ．1B ．65C D ．9【答案】A【解析】双曲线2213y x m -=的离心率为e ==1m =. 故选A.5.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A B C D 【答案】B【解析】()f x Q 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln xx x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C . 故选B.6.ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，||1a =r，||2b =r 则CD =u u u r （ ）A ．2133a b +r rB ．1233a b +rrC ．3455a b +rrD ．4355a b +r r【答案】A【解析】由题意，因为CD 平分ACB ∠，可得12BD BC AD AC ==,又因为AB CB CA a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r，所以222333AD AB a b ==-u u u r u u u r r r ，所以22213333CD CA AD b a b a b =+=+-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r ．故选A ．7.执行如图所示的程序框图，若输入的25t =-，则输出的n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】输入25t =-,初始值1,0,1S n m ===. 第1次循环：0,2,1S m n ===,?S t >判断为“是” 第2次循环：2,4,2S m n =-==,?S t >判断为“是” 第3次循环：6,8,3S m n =-==,?S t >判断为“是” 第4次循环：14,16,4S m n =-==,?S t >判断为“是” 第5次循环：30,32,5S m n =-==,?S t >判断为“否”. 输出5n =. 故选：C8.函数()cos()(0,0,||)f x A x A ωφωφπ=+>><的部分图象如图所示，现将此图象向左平移12π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()2sin 2=-g x xB ．7()2cos 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．()2sin 2g x x = D ．5()2cos 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C【解析】由图像可知2A =,且周期为236πππ⎡⎤⎛⎫⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故22πωπ==,故()2cos(2)f x x φ=+. 又()23f π=可得22,3k k Z πφπ⨯+=∈,又||φπ<,故23πφ=-. 故2()2cos(2)3f x x π=-. 所以()g x 的解析式为22cos 22cos 22sin 21232x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：C9.5)a 的展开式中x 项的系数为270，则12ax dx =⎰__________．【答案】1【解析】)5a 展开式的通项为5215rr r r T C xa -+=，令512r-=得3r = )5a 的展开式中x 项的系数为335270C a =，解得3a =，12ax dx =⎰123103|1x dx x==⎰，故答案为1.10.已知圆锥的顶点为S ，底面圆周上的两点A 、B 满足SAB ∆为等边三角形，且面积为截面的面积为8，则圆锥的侧面积为__________.【答案】【解析】设圆锥母线长为l ，由△SAB为等边三角形，且面积为所以21sin 23l π=l =4；又设圆锥底面半径为r ，高为h ，则由轴截面的面积为8，得rh =8； 又2216r h +=，解得r h ==所以圆锥的侧面积4S rl ππ===g故答案为：．11.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，030B =，三边,,a b c 成等比数列，且ABC ∆面积为1，在等差数列{}n a 中，11a =，公差为b . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11n n n b a a +=，设n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T 的取值范围. 【解析】（1）∵2b ac =，21111224S ac b =⨯==，2b =， ∴21n a n =-，*n N ∈. （2）∵11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，∴111111111123352121221n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ∵n T 是关于n 的增函数*n N ∈，，∴1132n T ≤<. 12.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AA AB BC ===，E 为1BB 的中点，F 为1AC 的中点.（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）求平面11AB D 与平面1AEC 所成二面角的正弦值. 【解析】（1）证明：如图，连AC BD 、相交于点O ，连OF ，11//,2,//,FO BB FO BB FO BE FO BE =∴=Q ，四边形BEFO 为平行四边形，可得//EF OB ，OB ⊂Q 平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，//EF 平面ABCD .（2）以点D 为坐标原点，向量1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u u r方向分别为x y 、、z 轴建立如图所示空间直角坐标系.各点坐标分别为()()()()0,0,01,0,00,1,01,1,1D A C E 、、、，()()()()11111,0,2,1,1,2,0,1,20,0,2A B C D 、.设平面1AEC 的法向量为()()()1,,,1,1,2,0,1,1m x y z AC AE ==-=u r u u u u r u u u r， 有1200m AC x y z n AE y z ⎧⋅=-++=⎨⋅=+=⎩u u u u v v u u u v v ，取1,1,1x y z =-==-，有()1,1,1m =--u r ； 设平面11AB D 的法向量为()()()111,,,1,1,0,1,0,2n a b c D B AD ⋅==-r u u u u r u u u u r，有111020n D B a b n AD a c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u u v v u u u u v v ，取2,2,1a b c ==-=，有()2,2,1n =-r ；有5,3,cos m n m n m n ⋅=-==〈⋅〉==u r r u r r u r r ， 故平面11AB D 与平面1AEC9=. 13.在极坐标系Ox 中，直线,m n 的方程分别为cos 3,sin 2ρθρθ==，曲线2236:45sin C ρθ=+. 以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系. （1）将直线,m n 的方程与曲线C 的方程化成直角坐标方程；（2）过曲线C 上动点P 作直线,m n 的垂线，求由这四条直线围成的矩形面积的最大值. 【解析】（1）由cos ,sin x y ρθρθ==得 直线,m n 的直角坐标方程分别为3,2x y ==， 曲线C 的方程为224936x y +=；（2）由（1）知曲线22:194x y C +=，故可设()3cos ,2sin P θθ，矩形的两边长分别为33cos ,22sin θθ--，∴矩形的面积()()()33cos 22sin 61sin cos sin cos S θθθθθθ=--=--+，令sin cos t θθ⎡+=∈⎣，则21sin cos 2t θθ-=，2363,S t t t ⎡=-+∈⎣，当t =max 9S =+.14.已知0a b c >>>，且231a b c ++=，求证： （1）11112348a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）2228271a b c ++< 【解析】证明：（1）111112132332123a b c b c a c a ba b c a b c a b c ---+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫---==⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭g g g g48≥=； （2）由0a b c >>>，可知222,,ab b ac c bc c >>>，于是：()2222123494612a b c a b c ab ac bc =++=+++++222222222494612827a b c b c c a b c >+++++=++.。

2020年高考必刷卷（新课标卷）03数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U R =，A {x |x 1}=<，B {x |x 2}=≥，则集合()U A B ⋃ð等于( ) A ．{}x x 1 B ．{x |x 2}≤ C ．{x |1x 2}<≤ D ．{x |1x 2}≤<【答案】D 【解析】 【分析】求出A 与B 的并集，根据全集U ＝R ，求出并集的补集即可． 【详解】Q 全集U R =，A {x |x 1}=<，B {x |x 2}=≥，A B {x |x 1∴⋃=<或x 2}≥，则()U A B {x |1x 2}⋃=≤<ð，故选：D ． 【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．若复数11z i =+，21z i =-，则下列结论错误的是（ ） A ．12z z ⋅是实数 B ．12z z 是纯虚数C ．24122z z =D ．22124z z i +=【答案】D 【解析】分析：根据题中所给的条件，将两个复数进行相应的运算，对选项中的结果一一对照，从而选出满足条件的项.详解：212(1)(1)12z z i i i ⋅=+-=-=，是实数，故A 正确，21211212z i i i i z i +++===-，是纯虚数，故B 正确， 442221(1)[(1)](2)4z i i i =+=+==，22222(1)224z i i =-=-=，故C 正确，222212(1)(1)220z z i i i i +=++-=-=，所以D 项不正确，故选D.点睛：该题考查的是复数的有关概念和运算，在做题的时候，需要对选项中的问题一一检验，从而找到正确的结果.3．已知55log log n m >，则下列结论中不正确的是（ ）A ．m ＞n ＞1B ．n ＞1＞m ＞0C ．1＞n ＞m ＞0D ．1＞m ＞n ＞0【答案】C 【解析】 【分析】先化简原不等式为11lg lg n m>，再对,m n 分四种情况讨论即得解. 【详解】 由题得lg5lg5lg lg n m>， 所以11lg lg n m>， 当1,1m n >>时，lg lg ,m n >所以,1m n m n >∴>>,所以选项A 正确； 当01,01m n <<<<时，lg lg ,m n > 所以10m n >>>，所以选项D 正确；当1,01n m ><<时，不等式55log log n m >显然成立，所以选项B 正确； 当01,1n m <<>时，不等式55log log n m >显然不成立.所以选项C 不正确.故选：C 【点睛】本题主要考查对数的运算和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A 【解析】 【分析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.故选：A 【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1+x)=f(1−x),若f(1)=1，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2019)=（）A．1B．0C．1D．2019【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数满足f（1﹣x）＝f（x+1），分析可得f（﹣x）＝f（x+2），结合函数为奇函数可得f（x）＝f（x+2），则函数f（x）为周期为4的周期函数，又由f（1）、f（-1）与f（2）及f（0）的值分析可得f（1）=f（5）=……＝f（2017）＝1，f（3）=f（7）=……= f（2019）=-1，f（2）=f（4）＝f（6）＝f（8）＝……＝f（2018）＝0，将其相加即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（x+1），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，则有f （﹣x）＝f（x+2），又由函数f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝-f（x），则有f（x）＝-f（x+2），则f（x+2）=- f（x+4），可得f（x）= f（x+4）则函数f（x）为周期为4的周期函数，又由f（1）＝1，则f（1）=f（5）=……＝f（2017）＝1，f（-1）=- f（1）=-1，则f（3）=f（7）=……= f（2019）=-1，又f（-2）=f（2）＝-f（2），则f（2）=0，且f（0）=0，所以f（2）=f（4）＝f（6）＝f（8）＝……＝f（2018）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝505-505+0=0；故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数周期性的应用，注意分析与利用函数的周期，属于基础题．6．若实数x，y满足2x+2y=1，则x+y的最大值是（）A．-4B．-2C．2D．4【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求x+y 的最大值得解. 【详解】由题得2x +2y ≥2√2x ⋅2y =2√2x+y ,(当且仅当x=y=-1时取等) 所以1≥2√2x+y ，∴14≥2x+y ,∴2−2≥2x+y ， 所以x+y≤-2.所以x+y 的最大值为-2. 故选：B 【点睛】本题主要考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7．等差数列{}n a 中2912142078a a a a a a ++-+-=，则9314a a -=（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．3【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d ，根据题意，求解1104a d +=，进而可求得93113(10)44a a a d -=+，即可得到答案. 【详解】由题意，设等差数列的公差为d ，则291214207112202(10)8a a a a a a a d a d ++-+-=+=+=，即1104a d +=， 又由931111138(2)(10)3444a a a d a d a d -=+-+=+=，故选D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中解答中设等差数列的公差为d ，利用等差数列的通项公式化简求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．已知函数()()002f x Asin x A πωφωφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＞，＜的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．函数的图象关于点,03π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．函数的图象关于直线6x π=-对称C ．函数()2f x 的最小正周期为πD ．当766x ππ≤≤时，函数()f x 的图象与直线2y =围成的封闭图形面积为2π 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再根据余弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：函数()()002f x Asin x A πωφωφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＞，＜的部分图象，可得A ＝2，14•25126πππω=-，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2•6π+φ2π=，∴φ6π=，f （x ）＝2sin （2x 6π+）． 令x 3π=-，求得f （x ）＝﹣2，为函数的最小值，故A 错误； 令x 6π=-，求得f （x ）＝﹣1，不是函数的最值，故B 错误；函数f （2x ）＝2sin （4x 6π+）的最小正周期为242ππ=，故C 错误； 当766x ππ≤≤时，2π≤2x 562ππ+≤，函数f （x ）的图象与直线y ＝2围成的封闭图形为x 6π=、x 76π=、y ＝2、y ＝﹣2构成的矩形的面积的一半，矩形的面积为π•（2+2）＝4π，故函数f （x ）的图象与直线y ＝2围成的封闭图形面积为2π， 故D 正确， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，余弦函数的图象和性质，属于中档题．9．ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，S 表示三角形ABC ∆的面积，且满足2223()4S a c b =+-，则B ∠=（ ） A ．6π B ．3π C ．3π或23π D ．23π【答案】B 【解析】在△ABC 中，∵S=()22234a cb +-=12acsinB ，cosB=2222a c b ac +-．代入原式子得到312cos *sin 42ac B ac B =，tanB=3，∵B ∈（0，π）， ∴B=3π． 故答案为B ．10．如图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为( )A ．e 1<e 2<e 3<e 4B ．e 2<e 1<e 3<e 4C ．e 1<e 2<e 4<e 3D ．e 2<e 1<e 4<e 3 【答案】C 【解析】试题分析：先根据椭圆越扁离心率越大判断a 1、a 2的大小，再由双曲线开口越大离心率越大判断a 3、a 4的大小，最后根据椭圆离心率大于0小于1并且抛物线离心率大于1可得到最后答案．解：根据椭圆越扁离心率越大可得到0＜a 1＜a 2＜1 根据双曲线开口越大离心率越大得到1＜a 3＜a 4 ∴可得到a 1＜a 2＜a 3＜a 4故选A ． 考点：圆锥曲线的共同特征．11．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，4PA =，2AB BC ==，鳌臑P ABC -的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．24π D ．64π【答案】C 【解析】 【分析】四个面都是直角三角形，由AB BC =得AB BC ⊥，然后证明BC PB ⊥，这样PC 中点O ，就是P ABC -外接球球心，易求得其半径，得面积．【详解】四棱锥P ABC -的四个面都是直角三角形，∵2AB BC ==，∴AB BC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，PA CA ⊥，∴BC PB ⊥，取PC 中点O ，则O 是P ABC -外接球球心．由2AB BC ==得22AC =，又4PA =，则81626PC =+=，6OP =，所以球表面积为224()4(6)24S OP πππ==⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是寻找外接球的球心：三棱锥的外接球的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．12．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()'y f x =，当0x >时， ()()'0xf x f x -<，若()()()ln23,,ln23f e f f a b c e-===-，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数g （x ）()f x x=，由g ′（x ）()()2'xf x f x x-=，可得函数g （x ）单调递减，再根据函数的奇偶性得到g （x ）为偶函数，即可判断． 【详解】 构造函数g （x ）()f x x=，∴g ′（x ）()()2'xf x f x x-=，∵xf ′（x ）﹣f （x ）＜0， ∴g ′（x ）＜0，∴函数g （x ）在（0，+∞）单调递减． ∵函数f （x ）为奇函数， ∴g （x ）()f x x=是偶函数，∴c ()33f -==-g （﹣3）＝g （3）， ∵a ()f e e==g （e ），b ()22f ln ln ==g （ln 2）， ∴g （3）＜g （e ）＜g （ln 2）， ∴c ＜a ＜b ， 故选D ．【点睛】本题考查了构造函数并利用导数研究函数的单调性，进行比较大小，考查了推理能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年全国统一高考数学试卷（文科）含答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{x||x|＞1，x∈Z}，则A∩B＝（）A．∅B．{﹣3，﹣2，2，3}C．{﹣2，0，2}D．{﹣2，2}2．（1﹣i）4＝（）A．﹣4B．4C．﹣4i D．4i3．如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12．设1≤i＜j＜k≤12．若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则a i，a j，a k为原位大三和弦；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则称a i，a j，a k为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A．5B．8C．10D．154．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名5．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（）A．B．2+C．﹣2D．2﹣6．记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则＝（）A．2n﹣1B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1D．21﹣n﹣17．执行如图的程序框图，若输入的k＝0，a＝0，则输出的k为（）A．2B．3C．4D．58．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．9．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．3210．设函数f（x）＝x3﹣，则f（x）（）A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减11．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）A．B．C．1D．12．若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（）A．ln（y﹣x+1）＞0B．ln（y﹣x+1）＜0C．ln|x﹣y|＞0D．ln|x﹣y|＜0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考必刷卷08数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|22}A x x =∈-<<N ，{1,1,2,3}B =-，则A B =I （ ） A ．{}1 B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,3【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A ，然后利用交集的定义可求出集合A B I . 【详解】{}{|22}0,1A x x =∈-<<=Q N ，因此，{}1A B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．若61014log 3,log 5,log 7a b c ===,则( )A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】分析：三个对数的底数和真数的比值都是2，因此三者可化为()1f x xx=+的形式，该函数为()0,∞+上的单调增函数，从而得到三个对数的大小关系.详解：22log 31log 3a =+，22log 51log 5b =+，22log 71log 7c =+，令()11,011x f x x x x ==->++，则()f x 在()0,∞+上是单调增函数. 又2220log 3log 5log 7<<<，所以()()()222log 3log 5log 7f f f <<即a b c <<.故选D.点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数本身的底数与真数的关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小. 3．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1R z∈，则z R ∈； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z R ∈，则z ∈R .其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p【答案】B 【解析】令i(,)z a b a b =+∈R ，则由2211i i a b R z a b a b-==∈++得0b =，所以z R ∈，故1p 正确； 当i z =时，因为22i 1z R ==-∈，而i z R =∉知，故2p 不正确；当12i z z ==时，满足121z z R ⋅=-∈，但12z z ≠，故3p 不正确； 对于4p ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确，故选B.点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成i(,)z a b a b =+∈R 的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.4．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高一丈（一丈10=尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高是（ ）A ．2.55尺B ．4.55尺C ．5.55尺D ．6.55尺【答案】B 【解析】 【分析】将问题三角形问题，设出另一直角边，则可求出斜边的长，最后利用勾股定理可求出另一直角边. 【详解】已知一直角边为3尺，另两边和为10尺，设另一直角边为x 尺，则斜边为10x -尺，由勾股定理可得：()222310x x +=-，可得 4.55x =尺. 故选：B【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了勾股定理的应用，考查了数学运算能力.5．函数22()11xf x x=-+在区间[4,4]-附近的图象大致形状是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】通过求特殊点的坐标，结合函数值的正负判断，即可得出结论. 【详解】22()11xf x x=-+过点()10，，可排除选项A ，D .又()20f <，排除C . 故选:B 【点睛】本题考查函数图像的识别，属于基础题.6．在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地里至少有一门被选中的概率是（ ） A ．16B ．12C ．23D ．56【答案】D 【解析】 【分析】本题可从反面思考，两门至少有一门被选中的反面是两门都没有被选中，两门都没被选中包含1个基本事件，代入概率的公式，即可得到答案. 【详解】设{A =两门至少有一门被选中}，则{A =两门都没有选中}，A 包含1个基本事件，则2411()6P A C ==，所以15()166P A =-=，故选D. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中合理应用对立事件和古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．若向量,a b r r 满足||1,||2a b ==r r ，且||3a b -=r r，则向量,a b r r 的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】B 【解析】 【分析】由||3a b -=r r ,平方求出a b ⋅r r,代入向量夹角公式,求出,a b r r 的夹角余弦值,即可得结果.【详解】设,a b r r的夹角为θ||3,a b -=r r 2222||()2523,a b a b a a b b a b -=-=-⋅+=-⋅=r r r r r r r r r r11,cos ,0,23a b a b ab πθθπθ⋅⋅=∴==≤≤∴=r rr r r r故选:B 【点睛】本题考查向量的模长和向量的夹角计算,着重考查计算能力,属于基础题.8．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入( )A ．n 是偶数?，100n ≥?B ．n 是奇数?，100n ≥?C ．n 是偶数?， 100n >?D ．n 是奇数?，100n >?【答案】D 【解析】根据偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，可知第一个框应该是“奇数”，执行程序框图，1,0;2,2;3,4;n s n s n s ====== 22991100...;99,100,;22n s n s -====101100n =>结束，所以第二个框应该填100n >，故选D.9．以n S ?,?T n 分别表示等差数列{}{}n ,?b n a 的前n 项和，若S 73n n n T n =+，则55a b 的值为 A ．7 B ．214C ．378D ．23【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和的性质，当n 为奇数时，12n n s na +=，即可把55a b 转化为99S T 求解.【详解】因为数列是等差数列，所以211(21)n n S n a ++=+，故55955997921==9934a a Sb b T ⨯==+,选B. 【点睛】本题主要考查了等差数列前n 项和的性质，属于中档题.10．已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于,A B 两点．若223AF BF =，125BF BF =，则C 的方程为（ ）.A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得2a =，1b =，可得椭圆的方程．【详解】解：22||3||AF BF =Q ，2||4||AB BF ∴=， 又125BF BF =，又12||||2BF BF a +=，23||aBF ∴=， 2||AF a ∴=，1||53BF a =，12||||2AF AF a +=Q ，1||AF a ∴=， 12||||AF AF ∴=，A ∴在y 轴上．在Rt △2AF O 中，21cos AF O a∠=， 在△12BF F 中，由余弦定理可得222154()()33cos 223a a BF F a +-∠=⨯⨯，根据221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=，可得21320a a a-+=，解得22a =， 222211b a c =-=-=．所以椭圆C 的方程为：2212x y +=．故选：A ．【点睛】本题考查了椭圆的定义及余弦定理，属中档题．11．设函数431,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()()22()30f x a f x -++=恰好有六个不同的实数解，则实数a 的取值范围为 A ．(23－2，32⎤⎥⎦B ．(－23－2，23－2)C ．(32，＋∞) D ．(23－2，＋∞)【答案】A 【解析】 【分析】画出()f x 的图像，利用()f x 图像，利用换元法，将方程()()22()30fx a f x -++=恰好有六个不同的实数解的问题，转化为一元二次方程在给定区间内有两个不同的实数根，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】画出()f x 的图像如下图所示，令()f x t =，则方程()()22()30fx a f x -++=转化为()2230t a t -++=，由图可知，要使关于x 的将方程()()22()30f x a f x -++=恰好有六个不同的实数解，则方程()2230t a t -++=在(]1,2内有两个不同的实数根，所以()()()222212021221213022230a a a a ⎧∆=+->⎪+⎪<<⎪⎨⎪-+⨯+>⎪-+⨯+≥⎪⎩，解得32322a -<≤. 故选：A【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数根于判别式，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12．过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且AB 、AC 、AD 两两夹角都为60︒，若2BD =，则该球的体积为（ ）A ．32πB ．233π C ．34π D ．22π 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可分析四面体A BCD -是正四面体，各条棱长均为2，依据正四面体外接球半径的求法即可得解. 【详解】由题：在四面体A BCD -中，,60AB AC AD BAC BAD CAD ==∠=∠=∠=o，所以,,BAC BAD CAD ∆∆∆均为等边三角形，且边长均为2， 所以四面体A BCD -是正四面体，棱长为2，如图：根据正四面体特征，点A 在底面正投影1O 是底面正三角形的中心，外接球球心O 在线段1AO 上，设外接球半径为R ，取CD 中点E 过点,,B C D 的截面圆的半径1223623323r O B BE ===⨯⨯=， 在△1O AB 中，2211223233O A BA BO =-=-=， 则球心到截面BCD 的距离1233d OO R ==- 在△1O OB 中，22211O B OO OB +=，22262333R R ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-， 解得32R =， 所以球的体积3433322V ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】此题考查求正四面体外接球的体积，通过几何体的特征，确定一个截面，寻找球心，根据三角形关系求出半径即可求解，平常的学习中有必要积累常见几何体外接球半径的求法.第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

专题二 函数狂刷08 函数与方程1．函数32()log f x x x=-的一个零点所在的区间是 A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C【解析】32()log f x x x=-是连续的减函数， 又()()3221log 20,3103f f =->=-<，可得f （2）f （3）＜0，∴函数f （x ）的一个零点所在的区间是(2,3). 故选C.2．函数1()ln 1f x x x =--的零点的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】如图所示，易知y =ln x 与11y x =-的图象有两个交点． 故函数1()ln 1f x x x =--的零点的个数是2. 故选C.3．函数f(x)=ln 2x −3lnx +2的零点是 A ．(e,0)或(e 2,0) B ．(1,0)或(e 2,0) C ．(e 2,0) D ．e 或e 2【答案】D【解析】f(x)=ln 2x −3lnx +2=(lnx −1)(lnx −2)， 由f(x)=0得x =e 或x =e 2，而函数零点指的是曲线与x 轴的交点的横坐标， 故选D.4．函数223,0()=2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤⎨-+>⎩的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】由20230x x x ≤⎧⎨+-=⎩得3x =-，由02ln 0x x >⎧⎨-+=⎩得x =e 2，∴f (x )的零点个数为2.故选C.5．已知函数()2log ,12,1x x f x x a x ≥⎧=⎨-<⎩恰有2个零点，则a 的取值范围是A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．() ,2-∞D ．(],2-∞【答案】C【解析】当1x ≥时，()f x 的零点为1，则1x <必有一个零点，由2y x a =-为一次函数，且单调递增，故需20a ->，即2a <.故选C ．6．已知函数f(x)=ax 3−3x 2+1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则实数a 的取值范围是 A ．(2,+∞) B ．(1,+∞) C ．(−∞,−2)D ．(−∞,−1)【答案】C【解析】∵f(x)=ax 3−3x 2+1，∴f ′(x)=3ax 2−6x =3x(ax −2)，f(0)=1， ①当a =0时，f(x)=−3x 2+1有两个零点，不成立；②当a >0时，f(x)=ax 3−3x 2+1在(−∞,0)上有零点，故不成立； ③当a <0时，f(x)=ax 3−3x 2+1在(0,+∞)上有且只有一个零点， 故f(x)=ax 3−3x 2+1在(−∞,0)上没有零点，而当x =2a 时，f(x)=ax 3−3x 2+1在(−∞,0)上取得最小值，故f(2a )=8a 2−3⋅4a 2+1>0， ∴a <−2.综上所述，实数a 的取值范围是(−∞,−2). 故选C.【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. 7．若函数()221f x x x ax =-+--没有零点，则实数a 的取值范围是 A ．332a -≤< B ．31a -≤< C ．332a a ≥<-或 D ．13a a ≥<-或【答案】A【解析】因为函数()221f x x x ax =-+--没有零点， 所以方程221x x ax -+-=无实根，即函数()221g x x x =-+-与()h x ax =的图象无交点， 如图所示，则()h x ax =的斜率a 应满足332a -≤<，故选A.8．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()f x x =，则方程()3log f x x =的根的个数是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】A【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数. 又[1,1]x ∈-时，()||f x x =，所以函数()f x 的图象如图所示.再作出3log y x =的图象，易得两图象有4个交点，所以方程3()log f x x =有4个根. 故选A ．【名师点睛】函数与方程问题是高考的高频考点，考生需要对初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉.9．当0x >时，函数2()2x f x x =-的所有零点之和为___________. 【答案】6【解析】令22x x =，当0x >时，解得：2x =或4x =，∴所求零点之和为246+=.10．已知函数3()log 5f x x x =+-的零点0(,1)x a a ∈+，则整数a 的值为___________.【答案】3【解析】易知()f x 在()0,+∞上单调递增，()f x ∴若存在零点，则存在唯一一个零点，又()313510f =+-=-<，()334log 445log 410f =+-=->，∴由零点存在性定理可知：()03,4x ∈，则3a =. 11．函数()21log 22f x x x =-+的零点的个数为_______________． 【答案】2【解析】求函数()21log 22f x x x =-+的零点的个数，即求方程21log 202x x -+=的解的个数，也就是求函数2log y x =的图象与122y x =-的图象的交点个数．如图所示，可得()21log 22f x x x =-+的零点的个数为2．12．已知函数f (x )＝32x x ax x a ⎧≤⎨>⎩,,，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是_______________．【答案】(−∞，0)∪(1，＋∞) 【解析】令()()3x xx a ϕ=≤，()()2h x x x a =>，函数g (x )＝f (x ) −b 有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y =b 有两个交点，结合图象可得a ＜0或φ(a )＞h (a )，即a ＜0或32a a >，解得a ＜0或a ＞1，故a ∈(−∞，0)∪(1，＋∞)．13．若点()1414log 7,log 56在函数()3f x kx =+的图象上，则()f x 的零点为A ．1B ．34 C ．2D ．32【答案】D【解析】根据题意，点1414log 7log 56（，）在函数()3f x kx +＝的图象上，则1414log 56log 73k ⨯+＝，解得：2k ＝-，则()=2+3f x x -.若()0f x ＝，则32x =，即()f x 的零点为32. 故选D ．14．已知是函数()2sin cos f x x x m =+-在[]0,π内的两个零点，则A ．12B ．35C ．45D ．34【答案】C【解析】因为()2sin cos 5)f x x x m x m ϕ=+-=+-，其中cos 55ϕϕ==()f x 在[]0,π内有两个零点，知方程5sin()0x m ϕ+-=在[]0,π内有两个根，即函数y m =与5sin()y x ϕ=+的图象在[]0,π内有两个交点，且12,x x 关于直线2x ϕπ=-对称，所以12x x +=2ϕπ-，所以124sin()sin(2)sin 22sin cos 5x x ϕϕϕϕ+=π-===，故选C ． 15．已知函数()||()ln 001xf x x a x a =-><<,的两个零点是12x x ,，则 A ．1201x x << B ．121x x = C ．121e x x << D ．12e x x >【答案】A【解析】因为()|||ln ln 0|xxf x x a x a =-=⇔=，作出函数n ||l y x =，x y a =的图象如下图所示，不妨设12x x <，则1210x x <<<，从而1ln 0x <，2ln 0x >，因此111|ln |ln xx a x ==-，22|ln |x x a ==2ln x ．故211212ln ln ln 0x x x x x x a a =+=-<，所以1201x x <<．故选A ．16．已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数12,x x ()12sin x x +=()()7g x f x x =+-的零点所在的区间为A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)【答案】C【解析】根据题意，对任意的(0,)x ∈+∞，都有[]2()log 3f f x x -=，又由()f x 是定义在()0+∞，上的单调函数，则2()log f x x -为定值，设2()log t f x x =-，则()2log f x x t =+，又由()3f t =，知()2log 3f t t t =+=，所以2t =，所以()2log 2f x x =+，所以()2log 5g x x x =+-，因为()()()()()1020304050g g g g g <<<>>，，，，，所以零点所在的区间为（3，4）.故选C.17．已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，且满足f(x −2)=f(x +2)，当x ∈(0,2)时，f(x)=ln (x 2−x +1)，则方程f(x)=0在区间[0,8]上的解的个数是 A ．3 B ．5 C ．7D ．9【答案】D【解析】当x ∈(0,2)时，f(x)=ln(x 2−x +1)， 令f(x)=0，则x 2−x +1=1，解得x =1.∵f(x −2)=f(x +2)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数. 又∵函数f(x)是定义域为R 的奇函数，∴在区间x ∈[−2,2]上，f (−1)=−f(1)=0，f(0)=0， f(2)=f(−2+4)=f(−2)=−f(2)，则f(2)=0， 即f(−1)=f(1)=f(0)=f(2)=f(−2)=0，则方程f(x)=0在区间[0,8]上的解有0，1，2，3，4，5，6，7，8，共9个. 故选D ． 18．若函数()()20(0)x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，且函数()()g x f x m =-有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是A ．1[,1]2- B ．1[,1)2-C ．1(,0)4-D ．1(,0]4-【答案】C【解析】函数()()g x f x m =-有3个不同的零点，等价于()y f x =与y m =的图象有3个不同的交点，作出函数()f x 的图象，如图，由二次函数的知识可知，当12x =时，2x x -取得最小值为14-，函数y m =的图象为平行于x 轴的直线，由图象可知当1(0)4m ∈-，时，两函数的图象有3个不同的交点，即函数()g x 有3个不同的零点，故选C ．【解题技巧】对于已知函数零点的个数求参数的取值范围的问题，通常把它转化为求两个函数图象的交点个数问题来解决．对于此类问题的求解，一般是先分解为两个简单函数，在同一坐标系内作出这两个函数的图象，依交点个数寻找关于参数的不等式，求解即可得结论． 19．若函数()f x 满足()11()1f x f x -=-，当x ∈[−1，0]时，()f x x =，若在区间[−1，1)上，()g x =()f x mx m -+有两个零点，则实数m 的取值范围是A ．1[,1]2B ．1(0,)2C ．1(0,]2D ．11(,0)(0,)22-【答案】C【解析】因为当x ∈[−1，0]时，()f x x =，所以当x ∈(0，1)时，110()x -∈-，，由()11()1f x f x -=-可得，()111x f x -=-，所以()111f x x =+-，作出函数()f x 在[−1，1)上的图象，如图所示，因为()()g x f x mx m =-+有两个零点，所以()y f x =的图象与直线y mx m =-有两个交点，由图可得12(0]m ∈，．故选C ．20．设()f x 是定义在R 上的周期函数，周期4T=，对x ∈R 都有()()f x f x -=，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实根，则a 的取值范围是 A ．()1,2 B ．()2,+∞ C ．(314D ．)34,2【答案】D【解析】∵对x ∈R 都有f (−x )=f (x )，∴函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 在区间(−2,6]内关于x 的方程f (x )−log a (x +2)=0恰有3个不同的实数解， ∴函数y =f (x )与y =log a (x +2)的图象在区间(−2,6]上有三个不同的交点，∵当x ∈[−2,0]时,()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴函数图象如图所示，又f (−2)=f (2)=f (6)=3， 则有log a 4<3,且log a 8>3， 342a <.故a 的取值范围是)34,2.故选D ．21．已知()lg f x x =，则函数()()y ff x =的零点0x 等于___________．【答案】10【解析】根据题意，()lg f x x =，则()()()lg lg f f x x =，若()()()0lg lg 0f f x x ==，即lg x 0＝1，解得0x ＝10，故函数()()y f f x =的零点0x 等于10.故答案为10．22．设函数()22,0,0x f x x bx c x >⎧=⎨++≤⎩，若4=)()(0f f -，()22f -=-，则关于x 的方程()=f x x 的解的个数为__________． 【答案】3【解析】由题意得()()()4022f f f -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得42b c =⎧⎨=⎩，即()22042,0x f x x x x >⎧=⎨++≤⎩,．若()f x x =，当0x >时，2x =；当0x ≤时，2x =-或1-，所以()=f x x 的解的个数为3．23．若函数()ln f x x x mx =--在区间[1，2e ]内有唯一的零点，则实数m 的取值范围为__________．【答案】221[1,1){1}e e--- 【解析】函数()ln f x x x mx =--在区间[1，2e ]内有唯一的零点等价于方程ln x x mx -=在区间[1，2e ]内有唯一的实数解，又0x >，所以ln 1xm x=-，要使方程ln x x mx -=在区间[1，2e ]上有唯一的实数解，只需ln 1x m x =-有唯一的实数解．令()()ln 10x g x x x =->，则()g'x =21ln xx-，由()0g'x >得0e x <<，由()0g'x <得e x >，所以g (x )在区间[1，e]上是增函数，在区间(e ，2e ]上是减函数．又g (1)＝−1，g (e)＝1e −1，g (2e )＝221e -，故2211e m -≤<-或11em =-． 24．设定义域为R 的函数()21,02,0x f x x x x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩，若关于x 的方程()()22210f x af x ++=有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是___________.【答案】3,22⎛-- ⎝ 【解析】由()f x 的解析式可得函数图象如下图所示：()()22210f x af x ++=有6个不同的实数根，∴方程22210x ax ++=有2个不同的，且均在()0,1上的实数根，24802014202010212110a a a a ∆⎧=->⎪⎪<-<⎪∴⎨⎪⨯+⨯+>⎪⨯+⨯+>⎪⎩，解得：322a -<<故答案为3,22⎛-- ⎝.25．已知函数32e ,0()461,0x x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则函数2)(3)]([2)(2--=x f x f x g 的零点个数为__________. 【答案】3【解析】函数()()()22[]32g x f x f x =--的零点，即()()22[]320f x f x --=的解，可得()2f x =或()12f x =-， 当0≥x 时，()32461f x x x =-+，可得2()1212f x x x '=-， 令212120x x -=，可得0x =或1x =， 当()0,1x ∈时，()0f x '<，函数是减函数， 当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，函数是增函数，则1x =时，函数取得极小值1-，又0x <时，()()e 0,1xf x =∈，绘制函数图象如图所示，故()2f x =时，函数有1个零点；21)(-=x f 时，函数有2个零点， 所以，函数()g x 的零点个数为3．26．（2019年高考全国Ⅲ卷）函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0πx ∴=、或2π．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3.故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养，直接求出函数的零点可得答案.27．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】∵(1) 2 ()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-． ∵(0,1]x ∈时，1()(1)[,0]4f x x x =-∈-； ∴(1,2]x ∈时，1(0,1]x -∈，1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x ⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦；∴(2,3]x ∈时，1(1,2]x -∈，()2(1)4(2)(3)[1,0]f x f x x x =-=--∈-， 如图：当(2,3]x ∈时，由84(2)(3)9x x --=-解得173x =，283x =， 若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则73m ≤.则m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选B.【名师点睛】本题考查了函数与方程，二次函数.解题的关键是能够得到(2,3]x ∈时函数的解析式，并求出函数值为89-时对应的自变量的值.28．（2019年高考天津）已知函数2,01,()1,1.x x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤⎥⎝⎦ C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦D ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】作出函数2,01,()1,1x x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩的图象，以及直线14y x =-，如图，关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解， 即为()y f x =和1()4y x a a =-+∈R 的图象有两个交点， 平移直线14y x =-，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两个交点，可得94a =或54a =， 考虑直线1()4y x a a =-+∈R 与1y x =在1x >时相切，2114ax x -=， 由210a ∆=-=，解得1a =（1-舍去）， 所以a 的取值范围是{}59,149⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选D.【名师点睛】根据方程实数根的个数确定参数的取值范围，常把其转化为曲线的交点个数问题，特别是其中一个函数的图象为直线时常用此法.29．（2019年高考浙江）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b1−a ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意； 当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减， 则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：∴b1−a ＜0且()32011(1)1(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−16（a +1）3， 则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．30．（2018年高考新课标I 卷理科）已知函数()e 0ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞）【答案】C【解析】画出函数()f x 的图象，e x y =在y 轴右侧的图象去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点（0,1）时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程()f x x a =--有两个解，也就是函数()g x 有两个零点，此时满足1a -≤，即1a ≥-. 故选C ．【名师点睛】该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.即：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图象，再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a=--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.31．（2017年高考新课标Ⅲ卷理科）设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x = D ．()f x 在(π2,π)单调递减【答案】D【解析】函数()f x 的最小正周期为2π2π1T ==，则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确； 函数()f x 图象的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图象关于直线8π3x =对称，选项B 正确； ()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确；当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.故选D.【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2πT ω=；奇偶性的判断关键是看解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x b ω=+的形式.（2）求()()sin 0()f x A x ωϕω+≠=的对称轴，只需令()ππ2x k k ωϕ+=+∈Z ，求x 即可；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ωϕ+=∈Z 即可.32．（2017年高考新课标Ⅲ卷理科）已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．12- B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+，设()11eex x g x --+=+，则()()21111111e1eeee e x x x x x x g x ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点， 即21a -⨯=-，解得12a =.故选C. 【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用. 33．（2017山东理）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是 A ．(][23)0,1,+∞ B ．(][3,)01,+∞ C ．(][23)2,+∞ D ．(][3)02,+∞【答案】B[]0,1x ∈()21y mx =-y x m =m【解析】当01m <≤时，211,(1)y mx m≥=-在上单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y x m =在上单调递增，且[,1]y x m m m ∈+，此时有且仅有一个交点；当1m >时，101m <<，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)m -≥13m m +⇒≥．故选B ．【名师点睛】已知函数有零点求参数的取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围； （2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．34．（2017年高考天津理数）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C ．[23,2]-D ．39[23,]16- 【答案】A【解析】不等式()||2xf x a ≥+可化为()()2x f x a f x -≤+≤ (*)， 当1x ≤时，(*)式即22332x x x a x x -+-≤+≤-+，即2233322x x a x x -+-≤≤-+， 又22147473()241616x x x -+-=---≤-（当14x =时取等号）， 223339393()241616x x x -+=-+≥（当34x =时取等号）， 所以47391616a -≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+． 又3232()2322x x x x --=-+≤-23x =， []0,1x ∈[]0,1x ∈222222x x x x+≥⨯=（当2x =时取等号），所以232a -≤≤． 综上，47216a -≤≤． 故选A ．【名师点睛】首先将()||2x f x a ≥+转化为()()22x xf x a f x --≤≤-，涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的取值范围．35．（2016天津理）已知函数()()()24330log 110ax a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨++≥⎪⎩,,(a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程()||2f x x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是A ．72(,]43 B ．23[,]34C ．123[,]{}334D ．123[,){}334【答案】C【解析】当0x <时，f (x )单调递减，必须满足432a --≥0，故0＜a ≤34，此时函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (x )在R 上单调递减，还需31a ≥，即13a ≥，所以1334a ≤≤．结合函数图象，当x ≥0时，函数y ＝|f (x )|的图象和直线y ＝2−x 有且只有一个公共点，即当x ≥0时，方程|f (x )|＝2−x 只有一个实数解．因此，只需当x ＜0时，方程|f (x )|＝2−x 恰有一个实数解． 根据已知条件可得，当x ＜0时，f (x )＞0，即只需方程f (x )＝2−x 恰有一个实数解，即()24332x a x a x +-+=-，即()2221320x a x a +-+-=在(−∞，0)上恰有唯一的实数解，判别式()()()()()2242143244734143a a a a a a ∆=---=-+=--，因为1334a ≤≤，所以0∆≥． 当3a −2＜0，即a ＜23时，方程()2221320x a x a +-+-=有一个正实根、一个负实根，满足要求；当3a −2＝0，即a ＝23时，方程()2221320x a x a +-+-=的一个根为0，一个根为23-，满足要求；当3a −2＞0，即23＜a ＜34时，因为− (2a −1)＜0，此时方程()2221320x a x a +-+-=有两个负实根，不满足要求；当a =34时，方程()2221320x a x a +-+-=有两个相等的负实根，满足要求． 综上可知，实数a 的取值范围是123[,]{}334．故选C ．36．（2018年高考新课标Ⅲ卷理科）函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________． 【答案】3【解析】0πx ≤≤，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，或π5π362x +=，解得π4π,99x =或7π9，故有3个零点.【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题.解题时，首先求出π36x +的范围，再由函数值为零，得到π36x +的取值可得零点个数. 37．（2018年高考江苏）若函数f(x)=2x 3−ax 2+1(a ∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[−1,1]上的最大值与最小值的和为________． 【答案】–3【解析】由()2620f x x ax =-='得0x =或3ax =， 因为函数()f x 在()0,+∞上有且仅有一个零点且()0=1f ，所以0,033a a f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭， 因此32210,33a a a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得3a =.从而函数()f x 在[]1,0-上单调递增，在[]0,1上单调递减， 所以()()max 0,f x f =()()(){}()min min 1,11f x f f f =-=-，则()()max min f x f x +=()()0+114 3.f f -=-=- 故答案为3-.【名师点睛】对于函数零点的个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数的取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 38．（2018年高考浙江卷）已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】(1,4) (]()1,34,+∞【解析】由题意得240x x ≥⎧⎨-<⎩或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，故不等式f (x )<0的解集是()1,4,当4λ>时，()40f x x =->，此时()2430,1,3f x x x x =-+==，即在(),λ-∞上有两个零点；当4λ≤时，()40,4f x x x =-==，由()243f x x x =-+在(),λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的取值范围为(]()1,34,+∞.【名师点睛】根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 39．（2019年高考江苏）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ .【答案】12,34⎡⎢⎣⎭【解析】作出函数()f x ，()g x 的图象，如图：由图可知，函数2()1(1)f x x =--1()(12,34,56,78)2g x x x x x =-<≤<≤<≤<≤的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有2个不同的实数根，要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则2()1(1),(0,2]f x x x =--∈与()(2),(0,1]g x k x x =+∈的图象有2个不同的交点，由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为1211k =+，解得20)k k =>， ∵两点(2,0),(1,1)-连线的斜率13k =， ∴1234k ≤<， 综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根的k 的取值范围为1234⎡⎢⎣⎭，. 【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程，点到直线的距离，直线的斜率等，考查知识点较多，难度较大.正确作出函数()f x ，()g x 的图象，数形结合求解是解题的关键因素.40．（2018年天津理）已知0a >，函数()222,0,22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤⎪=⎨-+->⎪⎩若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________. 【答案】()48，【解析】分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=，整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+；当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=，整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-.令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩，其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++--，则原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象，同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件，结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.【名师点睛】本题的核心是考查函数的零点问题，由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图象，数形结合即可求得最终结果.函数零点的求解与判断方法包括： (1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.41．（2017年江苏卷）设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n-==，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是_________． 【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况， 在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质，若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质， 因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分， 且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．。

★绝密 启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前,考生一定将自己的姓名.考生号等填写在答题卡和试题指定位置上.2．回答选择题时,找出每个小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.一.选择题：本题共12小题,每个小题5分,共60分。

在每个小题给出的四个选择项中,仅有一项是符合题目要求的.1.若z=1+i ,则|z 2–2z |=（）A. 0 B. 1C.2D. 2【答案】D 【分析】【分析】由题意首先求得 z 2 - 2z 的值,然后计算其模即可.2=(1 i +)2=2i ,则z 2- 2z = 2i - 2(1+ i )= -2【详解】由题意可得：- 2z = -2 = 2.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识,属于基础题.2.设集合A ={x |x 2–4≤0},B ={x |2x +a ≤0},且A ∩B ={x |–2≤x ≤1},则a =（z .z2故）A. –4B. –2C. 2D. 4【答案】B 【分析】【分析】由题意首先求得集合A ,B ,然后结合交集的结果得到关于a 的方程,求解方程即可确定实数a 的值.A = x | -2 ≤ x ≤ 2},{【详解】求解二次不等式 x 2 -4≤ 0 可得：⎧⎩a ⎫2⎭2x + a ≤ 0 B = ⎨x | x ≤ - ⎬求解一次不等式可得：.a A ⋂ B = x | -2 ≤ x ≤1{},故：- =1 a = -2,解得：由于.2故选：B.【点睛】本题主要考查交集的运算,不等式的解法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）5 -15 -1 5 +1 5 +1A.B.C.D.4242【答案】C 【分析】【分析】1设CD = a ,PE = b ,利用PO 2 = CD ⋅ PE a ,b 得到关于的方程,解方程即可得到答案.22a 【详解】如图,设CD = a ,PE = b ,则 PO ,=PE OE 22-=b 2-41a 21b b PO 2= ab ,即b 2-= ab 4( )2 - 2⋅ -1 = 0由题意,化简得,242a ab 1+ 5=（负值舍去）.解得a 4故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算,考查学生的数学计算能力,是一道容易题.4.已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,则p =（）A. 2B. 3C. 6D. 9【答案】C 【分析】【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F ,由抛物线的定义知故选：C.pp | AF |= x A + =12 ,即12 = 9 +p =6 .,解得22【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径,考查学生转化与化归思想,是一道容易题.5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据 (x , y )(i =1,2, , 20) 得到下面的散点图：i i 据此散点图,在10°C 至40°C 之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（y = a + bx）y = a + bx 2B.A.y = a + b ln xD.C. y = a + b e x 【答案】D 【分析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知,散点图分布在一个对数函数的图象附近,y x y = a + b ln x 因此,最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择,主要观察散点图的分布,属于基础题..6.函数 f (x ) = x 4 - 2x 3 的图像在点(1,f (1))处的切线方程为（）y = -2x -1y = -2x +1A.C. B.D.y = 2x -3y = 2x +1【答案】B 【分析】【分析】y = f x ()的导数 f '(x ) f (1)和 f '(1)求得函数【详解】,计算出的值,可得出所求切线的点斜式方程,化简即可.f x = x 4 - 2x 3()∴ f ' x = 4x 3 - 6x 2 ,∴ f (1)= -1, f '(1)= -2,( ),y +1= -2 x -1),即 y = -2x+1.(因此,所求切线的方程为故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程,考查计算能力,属于基础题πf (x ) = cos( x + ) 在[-π,π]7.设函数的图像大致如下图,则f (x )的最小正周期为（）610π7πA.C.B.D.94π63π32【答案】C 【分析】【分析】⎛ 4π⎫⎭⎛ 4ππ ⎫6 ⎭⎛ 4π⎫⎭由图可得：函数图象过点- ,0⎪,即可得到cos - ⋅ω + ⎪ = 0,结合 - ,0⎪ f (x )是函数⎝9⎝9⎝94πππ3x图象与 轴负半轴的第一个交点即可得到-⋅ω + = - ,即可求得ω =9622,再利用三角函数周期公式即可得解.⎛ 4π⎫⎭【详解】由图可得：函数图象过点- ,0⎪,⎝9⎛ 4ππ ⎫6 ⎭将它代入函数( )可得：cos - ⋅ω + ⎪ = 0f x ⎝9⎛ 4π⎫⎭ -,0⎪ f x ( )图象与 轴负半轴的第一个交点,x 又是函数⎝94πππ3所以 -⋅ω + = - ,解得：ω =96222π 2π 4πT ===所以函数( )的最小正周期为f x ω323故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力,还考查了三角函数周期公式,属于中档题.y 28. (x + )(x + y )5 的展开式中x 3y 3的系数为（）xA. 5B. 10C. 15D. 20【答案】C 【分析】【分析】y 2⎫x5-ry rr ∈ N x +求得 (x + y )5展开式的通项公式为T r +1= C 5r（且r ≤ 5）,即可求得⎛与(x + y )5x ⎭⎝展开式的乘积为C r 5x 6-r y r或C 5rx 4-r y r +2形式,对 分别赋值为3,1即可求得r x 3y 3的系数,问题得解.【详解】 (x + y )5展开式的通项公式为Tr +1= C 5r x 5-r y r （r∈ N 且 r ≤ 5）⎛2⎫y x +⎪(x + y )5展开式的乘积可表示为：所以与x ⎭⎝y 2y 2xT r +1 = xC 5x5-r r y r= C 5r x6-ry r=x 5-r = C 5x 4-r y r +2C 5r y r r 或T r +1x xxT r +1 = C 5r x 6-r y r r = 3,可得： xT 4 = C 53x 3y 333x y 的系数为10在在中,令,该项中,y 2y 2T r +1 = C 5r x 4-r y r +2r =1,可得： T 2 = C 51x 3y 3x 3y 3的系数为5中,令,该项中x xx 3y 3的系数为10 + 5 =15所以故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式,还考查了赋值法.转化能力及分析能力,属于中档题.9.已知α∈(0,π),且3cos2α -α = 5 ,则sin α =（）8cos 52A.C. B.3315D.39【答案】A 【分析】【分析】cos αcos α的一元二次方程,求解得出用二倍角的余弦公式,将已知方程转化为关于,再用同角间的三角函数关系,即可得出结论.【详解】3cos 2α - 8cos α = 5,得 6cos 2 α -8cos α -8 = 0 ,2α - 4 cos α - 4 = 0 ,解得cos α = -cos α = 2（舍去）,即 3cos 2或35又 α ∈(0,π ),∴sin α = 1- cos 2 α =.3故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值,熟记公式是解题的关键,考查计算求解能力,属于基础题.A ,B ,C 为球O的球面上的三个点,⊙OABC 的外接圆,若⊙O的面积为4π10.已知为A ,11AB = BC = AC = OO 1 ,则球O的表面积为（）A. 64πB.48πC.36πD. 32π【答案】A 【分析】【分析】由已知可得等边A ABC 的外接圆半径,进而求出其边长,得出OO1的值,根据球截面性质,求出球的半径,即可得出结论.【详解】设圆Or 半径为,球的半径为 R ,依题意,1得πr = 4π,∴r = 22,由正弦定理可得 AB = 2r sin 60︒ = 2 3 ,∴OO = AB = 2 3 ,根据圆截面性质OO ⊥平面 ABC ,11∴OO ⊥ O A ,R = OA = OO 2+ O 1A 2 = OO 12 + r 2 = 4,111∴球O 的表面积 = πS 4 R 2 64π .=故选：A【点睛】本题考查球的表面积,应用球的截面性质是解题的关键,考查计算求解能力,属于基础题.11.已知⊙M ： x 2线PA , PB ,切点为 A , B ,当| PM | ⋅| AB |最小时,直线 AB 的方程为（2x - y -1= 0 2x + y -1= 02x - y +1= 0+y 2 −2x −2y −2 =0,直线 ：l 2x +y +2 =0, P 为 上的动点,过点 P 作⊙M 的切l ）2x + y +1= 0D.A. B. C.【答案】D 【分析】【分析】A , P ,B ,M ⊥由题意可判断直线与圆相离,根据圆的知识可知,四点共圆,且 AB MP ,根据PM ⋅ AB MP PM ⋅ AB = 2S △PAM = 2 PA MP ⊥ l时,可知,当直线最小,求出以为直径的圆的方程,根据圆系的知识即可求出直线 AB 的方程．2⨯1+1+ 2【详解】圆的方程可化为(x 1) (y 1)-2+-2= d == 5 > 24 ,点 M 到直线 的距离为l 22+12l,所以直线 与圆相离．A , P ,B ,M ⊥依圆的知识可知,四点四点共圆,且 AB MP ,所以1PM ⋅ AB = 2S △PAM = 2⨯ ⨯ PA ⨯ AM = 2 PA PA = MP 2- 4,而,2当直线 MP ⊥ l 时,MP = 5PA =1,此时 PM ⋅ AB ,最小．min min ⎧1212⎪ y = x +⎧x = -1⎩y = 01112MP : y 1-= ( - ) y = x +x 1⎨⎨∴即,由解得,．22⎪⎩2x + y + 2 = 0所以以 MP 为直径的圆的方程为(x -1 x +1 + y y -1 = 0)()(),即x 2+ y 2 - y -1= 0,2x + y +1= 0两圆的方程相减可得：,即为直线AB 的方程．故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆,圆与圆的位置关系的应用,以及圆的几何性质的应用,意在考查学生的转化能力和数学运算能力,属于中档题．2a+ log 2 a = 4b + 2 log 4 b,则（12.若）A. a > 2bB. a < 2bC. a > b 2D. a < b 2【答案】B 【分析】【分析】设 f (x ) = 2x + log 2 x ,利用作差法结合 f (x ) 的单调性即可得到答案.f (x ) 为增函数,因为2a+ l og 2 a = 4b+ 2 l og 4 b = 22b + l og 2 b【详解】设 f (x ) = 2x + log 2 x ,则1f (a ) - f (2b ) = 2a + log 2 a - (22b + log 2 2b ) = 22b + log 2 b - (22b + log 2 2b ) = log 2 = -1< 0所以所以,2f (a ) < f (2b ) a < 2b ,所以.f (a ) - f (b 2 ) = 2a log 2+ a -(2b 2+2= 22b + log 2 b - (2b 2 + log 2 b 2 ) = 22b - 2b 2 - log 2 b log 2b ),当b =1时, f (a ) - f (b 2 ) = 2 > 0,此时 f (a ) > f (b 2 )a >b 2,有当b = 2 时, f (a ) - f (b 2 ) = -1< 0,此时 f (a ) < f (b 2 )a <b 2,有,所以C .D 不正确.故选：B.【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用,涉及到构造函数,利用函数的单调性比较大小,是一道中档题.二.填空题：本题共4小题,每个小题5分,共20分。

参考答案2020 年 7—8 月高考使用—、选择题1. D 提示：由题意，A = {x — 1<x <1} A = {x |O<x <1}，所以 A n B = (O —)。

1 — i (1 — i)(1 — i)2. D 提示：由 1 + i=(] +1(1 —i = —i,知a +b i = i,由复数相等,得a = 0 , = 1 ,从而a +b = 1 °3. B 提示：正方形二维码的面积为3X31 089一484=9,则黑色部分的面积为 1 089 X9 = 5。

4. C 提示：因为."” =b 口，艮卩；=sin A sin BJ;1—3 ,所以sin B = 又因为b >a ,所以sin B 1b >a = 4,所以b = 3或乎5. B* 一一 14 + 16 + 18 + 10 + 1；提示:x =-------------------------------------90 — 1； + 10 + 7 + a + 3 31 + a 9=18,y = 十 =十，因为(x,y )在线性回归方程y = — 1. 15x + 18. 1上，所以 $ = — 1. 15 X 18 + 18. 1 = 7. 4,则31 +a7. 4 ,得 a = 53当 0<a < 1 时，leg (；x — 3a ) < 0— log a (1x 一3a )<loga 1=—x — 3a > 1 对 x G [1 —丁渲成立，所以 1X1 — 3a >1—a < *1，故 0<a < 3。

56. B 提示：设切点为(X 0,ax — ln x )),切线的斜率为k = 1 = 3,由f XX = a ——(x > 0),得 a 一 — = 3 ,所以 a =---+ 3 ,而X )G (0 , + x)，所以 a G (3,+x)。

第八单元三角恒等变换与解三角形考点一三角恒等变换1.(2017年江苏卷)若tan-=,则tanα=.【解析】tanα=tan-=--==.【答案】2.(2016年全国Ⅱ卷)若cos-α=,则sin2α=().A.B.C.- D.-【解析】因为cos-α=,所以sin2α=cos-2α=cos2-α=2cos2-α-1=2×-1=-.【答案】D3.(2015年全国Ⅰ卷)sin20°cos10°-cos160°sin10°=().A.-B.C.-D.【解析】sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=,故选D.【答案】D4.(2017年北京卷)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=,则cos(α-β)=.【解析】由题意知α+β=π+2kπ(k∈Z),∴β=π+2kπ-α(k∈Z),sinβ=sinα,cosβ=-cosα.又sinα=,∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos2α+sin2α=2sin2α-1=2×-1=-.【答案】-考点二解三角形5.(2016年全国Ⅲ卷)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=().A. B. C.- D.-【解析】设△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由题意得S△ABC=×a×a=ac sin B,∴c= a.由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B=a2+a2-2×a×a×=a2,∴b= a.∴cos A=-=-=-.【答案】C6.(2016年全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.【解析】因为A,C为△ABC的内角,且cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=,所以sin B=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C=×+×=.又a=1,所以由正弦定理得b===×=.【答案】7.(2017年山东卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin A cos C+cos A sin C,则下列等式成立的是().A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A【解析】∵等式右边=sin A cos C+(sin A cos C+cos A sin C)=sin A cos C+sin(A+C)=sin A cos C+sin B,等式左边=sin B+2sin B cos C,∴sin B+2sin B cos C=sin A cos C+sin B.由cos C>0,得sin A=2sin B.由正弦定理得a=2b.故选A.【答案】A8.(2017年浙江卷)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.【解析】依题意作出图形,如图所示,sin∠DBC=sin∠ABC.由题意知AB=AC=4,BC=BD=2,则sin∠ABC=,cos∠ABC=.所以S△BDC=BC·BD·sin∠DBC=×2×2×=.因为cos∠DBC=-cos∠ABC=-=-=,所以CD=.由余弦定理,得cos∠BDC==.【答案】9.(2016年江苏卷)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin B sin C,则tan A tan B tan C的最小值是.【解析】在锐角三角形ABC中,∵sin A=2sin B sin C,∴sin(B+C)=2sin B sin C,∴sin B cos C+cos B sin C=2sin B sin C,等号两边同时除以cos B cos C,得tan B+tan C=2tan B tan C.∴tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=-=-.①∵A,B,C均为锐角,∴tan B tan C-1>0,∴tan B tan C>1.由①得tan B tan C=-.又由tan B tan C>1,得->1,∴tan A>2.∴tan A tan B tan C=-=---=(tan A-2)+-+4≥2+4=8,当且仅当tan A-2=-,即tan A=4时取等号.故tan A tan B tan C的最小值为8.【答案】810.(2017年全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.【解析】(1)由题设及A+B+C=π得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去)或cos B=.故cos B=.(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=ac sin B=ac,又S△ABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6,得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2××=4.所以b=2.11.(2017年全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.【解析】(1)由已知可得tan A=-,所以A=.在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4c cos,即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去)或c=4.(2)由题设可得∠CAD=,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1.又△ABC的面积为S=×4×2sin∠BAC=2,所以△ABD的面积为.12.(2017年全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.(1)求sin B sin C;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.【解析】(1)由题设得ac sin B=,即c sin B=.由正弦定理得sin C sin B=,故sin B sin C=.(2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-,即cos(B+C)=-,所以B+C=,故A=.由题意得bc sin A=,a=3,所以bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9.由bc=8,得b+c=.故△ABC的周长为3+.高频考点:两角和与差的正弦、余弦公式,正弦和余弦的倍角公式,解三角形.命题特点:1.两角和与差的正弦、余弦公式的考查是高考热点,要么单独命题,要么与三角函数的性质或解三角形相结合考查;倍角公式也是如此.2.对于三角恒等变换内容的考查通常以容易题和中档题为主.3.解三角形是高考的必考内容,一般出现在解答题的第17题.作为解答题考查难度不是很大,但作为选择题或填空题考查,有难有易.§8.1三角恒等变换一两角和与差的余弦、正弦、正切公式Cα-β:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;Cα+β:cos(α+β)=;Sα-β:sin(α-β)=;Sα+β:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;Tα-β:tan(α-β)=-;Tα+β:tan(α+β)=.二二倍角公式sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α-sin2α==;tan2α=.三辅助角公式函数f(α)=a cosα+b sinα(a,b为常数),可以化为f(α)=sin(α+φ)其中或f(α)=cos(α-φ)其中.-cos105°sin75°的值为.函数f(x)=2sin x(sin x+cos x)的最小值为.=,则tan-=().若-A.-2B.2C.-D.若α+β=,求(1-tanα)(1-tanβ)的值.知识清单一、cosαcosβ-sinαsinβsinαcosβ-cosαsinβ二、2cos2α-11-2sin2α基础训练1.【解析】cos75°cos15°-cos105°sin75°=cos75°cos15°+sin15°sin75°=cos60°=.【答案】2.【解析】f(x)=2sin2x+2sin x cos x=2×+sin2x=sin2x-cos2x+1 =2sin-+1≥-1.【答案】-13.【解析】由-=,等式左边分子、分母同时除以cosα得-=,解得tanα=-3,则tan-=-=2.【答案】B4.【解析】∵-1=tan=tan(α+β)=,∴tanαtanβ-1=tanα+tanβ.∴1-tanα-tanβ+tanαtanβ=2,即(1-tanα)(1-tanβ)=2.题型一三角函数式的化简、求值问题【例1】若tan cos=sin-m sin,则实数m的值为().A.2B.C.2D.3【解析】由tan cos=sin-m sin,得sin cos=cos sin-m sin cos,则m sin=sin-,解得m=2.【答案】A.【变式训练1】=.【解析】原式=-===-=-=-4.【答案】-4题型二角的变换【例2】已知tan(α-β)=,tanβ=-,则tan2α=.【解析】∵tanα=tan[(α-β)+β]=--=-=,∴tan2α===.【答案】在选取函数时,遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,若角的范围是【变式训练2】已知α,β为锐角,cosα=,sin(α-β)=,则β的大小为.【解析】∵α,β为锐角,又sin(α-β)=,∴0<β<α<,∴cos(α-β)=.∵cosα=,∴sinα=,∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+×=,则β=.【答案】题型三三角变换的简单应用【例3】已知函数f(x)=2sin2+(sin2x-cos2x),x∈.(1)求f的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)若不等式|f(x)-m|<2恒成立,求实数m的取值范围.【解析】因为f(x)=2sin2+(sin2x-cos2x),所以化简得f(x)=1-cos-cos2x=2sin-+1,x∈.(1)f=2sin-+1=2sin+1=3.(2)当2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z)时,即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).因为x∈,所以f(x)的单调递增区间为,同理f(x)的单调递减区间为.(3)若不等式|f(x)-m|<2恒成立,即m>f(x)-2或m<f(x)+2恒成立,则m>2sin--1或m<2sin-+3恒成立.因为x∈,所以2sin-∈[1,2].当m>2sin--1时,只需满足m大于2sin--1的最大值1,即m>1;当m<2sin-+3时,只需满足m小于2sin-+3的最小值4,即m<4.综上所述,实数m的取值范围是1<m<4.【变式训练3】已知函数f(x)=cos x-sin2x,x∈R.(1)求f(x)在上的最大值和最小值;(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,且g=,g-=-,求的值.【解析】f(x)=cos x-sin2x=2sin x cos x+cos2x-sin2x=sin2x+cos2x=2sin.(1)∵0≤x≤,∴≤2x+≤,∴≤sin≤1,则1≤f(x)≤2,∴f(x)max=2,f(x)min=1.(2)由(1)得g(x)=2sin2x,∴g=2sin(α+β)=,g-=2sin(α-β)=-,解得即-两式相除得=-.方法利用三角函数的“三变”进行化简求值“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.【突破训练】2sin50°cos10°+sin20°(1+tan10°)=().A.1B.C.D.2【解析】原式=2sin50°cos10°+sin10°cos10°·=2sin50°cos10°+2sin10°=2sin50°cos10°+2sin10°cos(60°-10°)=2sin50°cos10°+2sin10°cos50°=2sin60°=.【答案】C1.(2017江西师大附中三模)已知cosα-sinα=,则sin2α的值为().A.B.- C.D.-【解析】∵cosα-sinα=,∴1-sin2α=,∴sin2α=.【答案】C2.(2017衡水中学三模)已知sin=,则cos(π-2α)的值为().A.B.- C.D.-【解析】因为sin=-cosα,所以cosα=-.所以cos(π-2α)=-cos2α=-2cos2α+1=.【答案】A3.(2017泸州四诊)已知sin-=,则cos+2α=().A.-B.C.-D.【解析】sin-=sin-=cos=,则cos=cos2=2cos2-1=-.【答案】C4.(2017德阳二模)若α∈,且sin2α+cos2α=,则tan的值为().A.-3B.C.-2D.-3【解析】∵α∈,且sin2α+cos2α=,∴sin2α+cos2α-sin2α=,∴cos2α=,∴cosα=,∴tanα=,∴tan=-3.【答案】D5.(2017湖南考前演练)若tanαtanβ=3,且sinαsinβ=,则cos(α-β)的值为().A.-B.C.D.1【解析】由题意可知sinαsinβ=3cosαcosβ,因为sinα·sinβ=,所以cosαcosβ=,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=,故选C.【答案】C6.(2017九江一模)cos275°+cos215°+cos75°cos15°的值为.【解析】cos275°+cos215°+cos75°cos15°=sin215°+cos215°+sin15°cos15°=1+sin30°=.【答案】7.(2017广西二模)若θ∈,sin2θ=,则cosθ=.【解析】∵θ∈,∴2θ∈.∴cos2θ=-=-,则2cos2θ-1=-,∴cosθ=.【答案】8.(2017山东二模)已知cos-=,α∈,则=.【解析】∵cos-=,α∈,∴sin-=,即cosα-sinα=,∴=-=cosα-sinα=.【答案】9.(2017佛山二模)已知α,β为锐角,且tanα=,cos(α+β)=,则cos2β=().A.B.C.D.【解析】∵α,β∈,∴α+β∈(0,π).∵cos(α+β)=,∴sin(α+β)=.∵tanα=,∴sinα=,α=.∴cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα==.∴cos2β=2cos2β-1=2×-1=,故选C.【答案】C10.(2017湖南师大附中月考)设△ABC的三个内角分别为A,B,C,且tan A,tan B,tan C,2tan B依次成等差数列,则sin2B=().A.1B.-C.D.±【解析】由题意得tan C=tan B,tan A=tan B,所以△ABC为锐角三角形.又tan A=-tan(C+B)=-=-=tan B,得tan B=2,所以sin2B=2sin B cos B===.【答案】C11.(2017淮北一中押题)已知α,β∈,cos(α+β)=,cos-=-,则sin=().A.B.-C.-D.【解析】因为α,β∈,则α+β∈,β-∈,所以sin(α+β)=-,sin-=,所以sin=sin--=sin(α+β)cos--cos(α+β)sin-=-×--×=-.【答案】B12.(2017长沙模拟)在锐角△ABC中,B>,sin=,cos-=,则sin(A+B)=.【解析】∵sin=,∴cos=±,∵cos=-<cos120°,∴A+>⇒A>(舍去),∴cos=.由cos-=得sin-=,∴sin(A+B)=sin-=sin cos-+cos sin-=×+×=.【答案】13.(2016株洲三模)已知tanα=,m sinαcosα=.(1)若cos-=,求cos的值;(2)设函数f(x)=cos+sin2x,求函数f(x)的单调递减区间.【解析】∵m sinαcosα===,tanα=,∴=,得m=2.(1)∵cos-=,∴cos=cos-=-cos-=-.(2)∵f(x)=cos+sin2x=cos2x+sin2x=sin,由+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),∴函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).§8.2解三角形一正弦定理和余弦定理1.正弦定理:===2R,其中R是三角形外接圆的半径.正弦定理可以变形为(1)a∶b∶c=;(2)a=,b=,c=;(3)sin A=,sin B=,sin C=.2.余弦定理:a2=,b2=,c2=.余弦定理可以变形为cos A=-,cos B=-,cos C=-.二面积公式S△ABC=ab sin C=bc sin A=ac sin B==(a+b+c)r(r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R,r.在△ABC中,∠A=,AB=2,且△ABC的面积为,则边AC的长为().A.1B.C.2D.1在△ABC中,a2+b2-c2=3ab sin C,则tan C等于().A.B.C.D.在△ABC中,sin A=,a=8,b=6,则角B等于().A.60°B.150°C.60°或120°D.60°或150°知识清单一、1.(1)sin A∶sin B∶sin C(2)2R sin A2R sin B2R sin C2.b2+c2-2bc cos A a2+c2-2ac cos B a2+b2-2ab cos C基础训练1.【解析】∵S△ABC=AB·AC sin A,∴AC=,则AC=1.【答案】A2.【解析】a2+b2-c2=3ab sin C⇒-=cos C=sin C⇒tan C=.【答案】C3.【解析】由正弦定理得=,则sin B=.∵a<b,∴B=60°或B=120°.【答案】C题型一利用正弦定理求解三角形【例1】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2sin A=a cos B,b=,c=2,求sin C.【解析】∵2sin A=a cos B,=,b=,∴2sin B=cos B,即tan B=,∴sin B=.∵c=2,∴sin C==.【变式训练1】在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(2b-c)cos A=a cos C,求sin A.【解析】由(2b-c)cos A=a cos C,得2b cos A=c cos A+a cos C,即2sin B cos A=sin C cos A+sin A cos C,则2sin B cos A=sin(A+C)=sin B,所以cos A=,则sin A=.题型二利用余弦定理求解三角形【例2】在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且=-.(1)求角B的大小;(2)若b=,a+c=4,求ac的值.【解析】(1)由=-及正弦定理,得=-,∴ac+a2=b2-c2,∴a2+c2-b2=-ac.由余弦定理得cos B=-=-=-.又B为△ABC的内角,∴B=.(2)将b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2ac cos B,得b2=(a+c)2-2ac-2ac cos B,∴13=16-2ac,∴ac=3.【变式训练2】在△ABC中,D是边AC的中点,且AB=AD=1,BD=.(1)求cos A的值;(2)求BC的长.【解析】(1)在△ABC中,AB=AD=1,BD=,∴cos A=-==.(2)由(1)知,cos A=,且0<A<π,∴sin A==.∵D是边AC的中点,∴AC=2AD=2.在△ABC中,cos A=-=-=,解得BC=.题型三正弦定理、余弦定理的综合应用【例3】(2017孝义考前训练)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2ac sin B=a2+b2-c2.(1)求角C的大小;(2)若b sin(π-A)=a cos B,且b=,求△ABC的面积.【解析】(1)由2ac sin B=a2+b2-c2,得=-,∴=cos C,∴tan C=,∴C=.(2)由b sin(π-A)=a cos B,∴sin B sin A=sin A cos B,∴sin B=cos B,∴B=.由正弦定理=,可得=,解得c=1,∴S△ABC=bc sin A=××1×sin A=sin(π-B-C)=sin=.在已知关系式中,既含有边又含有角,通常的思路是将角都化成边或将边都化成角,再结合正、余弦定理【变式训练3】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.(1)若c=2,C=,且△ABC的面积为,求a,b的值;(2)若sin C+sin(B-A)=sin2A,试判断△ABC的形状.【解析】(1)∵c=2,C=,∴由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C得a2+b2-ab=4.∵△ABC的面积为,∴ab sin C=,∴ab=4.联立方程组-解得(2)由sin C+sin(B-A)=sin2A,得sin(A+B)+sin(B-A)=2sin A cos A,即2sin B cos A=2sin A cos A,∴cos A·(sin A-sin B)=0,∴cos A=0或sin A-sin B=0.当cos A=0时,∵0<A<π,∴A=,∴△ABC为直角三角形;当sin A-sin B=0时,得sin B=sin A,由正弦定理得a=b,即△ABC为等腰三角形.综上所述,△ABC为等腰三角形或直角三角形.方法数学建模——实际应用能力实际问题经抽象概括后,如果已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;如果已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解可用正弦定理或余弦定理直接求解的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.【突破训练】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔顶的最大仰角为30°,求塔高.【解析】如图所示,AB为塔高,CD=40,此时∠DBF=45°,过点B作BE⊥CD于点E,则∠AEB=30°.在△BCD中,CD=40(米),∠BCD=30°,∠DBC=135°,由正弦定理,得=,所以BD==20(米),∠BDE=180°-135°-30°=15°.在Rt△BED中,BE=BD sin15°=20×-=10(-1)(米).在Rt△ABE中,∠AEB=30°,所以AB=BE tan30°=(3-)(米).故所求的塔高为(3-)米.1.(2017衡水中学押题卷)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,bc=16,则△ABC的面积为().A.2B.4C.6D.8【解析】由题意有b2+c2-a2=bc,∴cos A=-=,sin A==,则△ABC的面积为S=bc sin A=4.【答案】B2.(2017广丰二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a cos A=2b sin B,则sin A cos A+2cos2B等于().A.-1B.-C.D.2【解析】∵a cos A=2b sin B,∴sin A cos A=2sin B sin B,即sin A cos A-2sin2B=0,∴sin A cos A-2(1-cos2B)=0,∴sin A cos A+2cos2B=2.【答案】D3.(2016郑州一测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=,则cos B=().A.-B.C.-D.【解析】由正弦定理,得=,∴=,∴tan B=,又0<B<π,∴B=,∴cos B=.【答案】B4.(2017龙泉二模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知=,且a2-c2=2b,则b等于().A.1B.2C.3D.4【解析】由=得a cos C=3c cos A,则a·-=3c·-,整理得2(a2-c2)=b2.又a2-c2=2b,∴4b=b2,解得b=4或b=0(舍去).【答案】D5.(2017甘肃二诊)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列条件中,能使得△ABC的形状唯一确定的是().①a=1,b=2,c∈Z;②A=150°,a sin A+c sin C+a sin C=b sin B;③a=,b=2,A=30°;④C=60°,cos A sin B cos C+cos(B+C)cos B cos C=0.A.①③B.①②③C.①②D.②③④【解析】②中,由正弦定理可知a2+c2+ac=b2,∴cos B=-=-,此时A=150°,B=135°,三角形无解.④中,-cos(B+C)sin B cos C+cos(B+C)cos B cos C=0,∴cos(B+C)cos C(cos B-sin B)=0,则B=45°或B+C=90°,B=30°,三角形的解不唯一.排除②④两种说法,只有选项A符合题意.【答案】A6.(2017徐州质检)江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则这两条船相距m.【解析】如图,OA为炮台,M,N为两条船的位置,∠AMO=45°,∠ANO=60°,OM==30m,ON===10m.∴MN==10m.【答案】107.(2017重庆二诊)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC的面积为,则C=.【解析】由余弦定理得,c2=a2+b2-2ab cos C,又ab sin C=-,,ab sin C=,tan C=,即C=30°.【答案】30°8.(2017娄底二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b=4,c=5,且B=2C,点D为边BC上的一点,且CD=3,则△ADC的面积为.【解析】由正弦定理得==,可得cos C=,△ADC=CD·AC sin C=×3×4×=6.【答案】69.(2017山西二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=().A.B.C.D.【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=2b2(1-cos A),∴2b2(1-sin A)=2b2(1-cos A),∴sin A=cos A,即tan A=1,又0<A<π,∴A=.【答案】C10.(2017广安二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=,则cos B的值为().A.B.C.- D.-【解析】由正弦定理可得==,结合已知=,故有sin B=2sin cos=sin,解得cos=.因为0<B<π,可得0<<,所以=,解得B=,所以cos B=cos=-,故选C.【答案】C11.(2017重庆月考)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=1,AC=2,BD=2,∠ACD=60°,则AD=().A.2B.C.D.13-6【解析】由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos60°,解得BC=,则AC2=AB2+BC2,故BC⊥AB,又AB∥CD,所以BC⊥CD.在Rt△BCD中,CD=-==3.在△ACD中,由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2AC·CD cos60°=7,所以AD=.【答案】B12.(2017马鞍山三模)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(c+b)(sin C-sin B)=a(sin A-sin B).若c=2,则a2+b2的取值范围是.【解析】由正弦定理得(c+b)(c-b)=a(a-b)⇒c2-b2=a2-ab,所以cos C=-=,解得C=,则===4,-所以a=4sin A,b=4sin-,所以a2+b2=16sin2A+16sin2--=16×+16×=16-8-=16-8cos.因为△ABC是锐角三角形,所以A∈,所以2A+∈,所以cos∈--,所以a2+b2=16-8cos∈(20,24].【答案】(20,24]13.(2017漳州质检)如图所示,已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中b≠c,且b cos B=c cos C,延长线段BC到点D,使得BC=4CD=4,∠CAD=30°.(1)求证:∠BAC是直角.(2)求tan∠ADC的值.【解析】(1)因为b cos B=c cos C,由正弦定理,得sin B cos B=sin C cos C,所以sin2B=sin2C,又b≠c,所以2B=π-2C,所以B+C=,所以A=90°,即∠BAC是直角.(2)设∠ADC=α,CD=1,BC=4,在△ABC中,因为∠BAC=90°,∠ACB=30°+α,所以cos(30°+α)=,所以AC=4cos(30°+α).在△ADC中,=,即==2,所以AC=2sinα,所以2cos(30°+α)=sinα,即2-=sinα,整理得cosα=2sinα,所以tanα=,即tan∠ADC=.。

12020 年高考必刷卷 08数学（文）（本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用 2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合 A = {x |x = 3n + 2,n C N ሽ,ǡ = {6,8,1͸,12,1ǡሽ，则集合 A fi ǡ 中的元素个数为( )A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【答案】D【解析】由已知得 A fi ǡ 中的元素均为偶数， n 应为取偶数，故 A fi ǡ = 8,1ǡ ，故选 D.2．已知复数 z 满足 z + z = 1+ i ，则 z =A ． -i 【答案】B【解析】B ． iC ．1-iD ．1+ i⎧⎪a = 1设 z = a + b i ，依题意有 a + b i = 1+ i ，故 ⎨ ⎪⎩b = 1，解得 a = 0 .所以 z = i .3．2018 年 9～12 月某市邮政快递业务量完成件数较 2017 年 9～12 月同比增长 25%，该市 2017 年 9～12 月邮政快递业务量柱形图及 2018 年 9～12 月邮政快递业务量结构扇形图如图所示，根据统计图， 给出下列结论：①2018 年9～12 月，该市邮政快递业务量完成件数约1500 万件；②2018 年9～12 月，该市邮政快递同城业务量完成件数与2017 年9～12 月相比有所减少；③2018 年9～12 月，该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长超过75%，其中正确结论的个数为( )A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】【分析】先计算出2͸17 年的快递业务总数，乘以1猪2⺁得到2͸18 年的快递业务总数，根据扇形图计算出2͸18点各项业务的快递数，由此判断出正确的结论个数.【详解】2͸17 年的快递业务总数为2ǡ2猪ǡ+ 9ǡ8 + 9猪6 = 12͸͸ 万件，故2͸18 年的快递业务总数为12͸͸ ×1猪2⺁ = 1⺁͸͸万件，故①正确.由此2018 年9～12 月同城业务量完成件数为1⺁͸͸ × 2͸% = 3͸͸万件，比2͸17年提升，故②错误.2018年9～12月国际及港澳台业务量1⺁͸͸×1猪ǡ%=21万件，21÷ 9猪6 =2猪187⺁，故该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长超过7⺁%.故③正确.综上所述，正确的个数为2 个，故选B.【点睛】本小题主要考查图像的识别，考查图标分析能力，考查实际应用问题，属于中档题.x224．已知椭圆C: +y=1的左右顶点分别为A、B，点P 为椭圆C 上一动点，那么∠APB 的最大3值是A．30 B．60 C．90 D．1205y【答案】D【解析】x2分析：利用特值法，当点P 为椭圆+3y2 = 1的上顶点时，求得∠APB ，即可排除选项A, B, C ，从而可得结果.详解：本题可用特值法将不合题意的选项排除，当点P 为椭圆x2+23=1的上顶点时，tan ∠OPA = tan ∠OPB =3,∠OPA =∠OPB = 60 , ∠APB = 120 ，所以，可以排除选项A, B, C ，故选D.点睛：用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是（）．A．B．3 C．3D．3 5 2【答案】D 【解析】52,5, ,四个面的面积分别为 32 2，所以最大的是 2，故选 D 。

2020年全国卷Ⅰ高考文科数学试题真题及答案一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出 四个选项中，只有一项是符合题目要求 .1.已知合集，，则{}2340A x x x =--<{}4,1,3,5B =-A B =I A. {}4,1-B. {}1,5C. {}3,5D. {}1,32.若，则 312z i i =++z =A.0 B.1D. 23. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它 形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥 高为边长 正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形 面积，则其侧面三角形底边上 高与底面正方形 边长 比值为4. 设O 为正方形ABCD 中心，在O, A ,B, C, D 中任取3点，则取到 3点共线 概率为A. 15B.25C.12D.455. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子 发芽率y 和温度x （ 单位:） 关系，在20C o 个不同 温度条件下进行种子 发芽实验，由实验数据1,2,…,20)得到下面 散点,)(i i y i =（x 图:由此散点图，在10至40之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度C o C o x 回归方程类型 是 A. y a bx =+B. 2y a bx =+C. x y a be =+D. ln y a b x =+6. 已知圆，过点（ 1，2） 直线被该圆所截得 弦 长度 最小值为 2260x y x +-=A. 1 B. 2 C. 3D. 47. 设函数在 图像大致如下图，则 最小正周期为()cos(6f x x πω=+[]-ππ，()f xA. 109πB.76πC.43πD.32π8. 设，则3a log 42=-a4A. 116B.19C.18D.169.执行右面 程序框图，则输出 n =A. 17 B. 19 C. 21 D. 2310.设是等比数列，且，，则 {}n a 123+1a a a +=2342a a a ++=678+a a a +=A. 12 B. 24 C. 30 D. 3211. 设，是双曲线 两个焦点，为坐标原点，点在上且|| 1F 2F 22:13y C x -=O P C OP =2，则 面积为∆12PF F A. 72B.3C.52D.212. 已知，，为球 球面上 三个点，为 外接圆. 若 面积为A B C O e 1O △ABC e 1O ，，则球 表面积为4π1AB BC AC OO ===O A ． 64πB ． 48πC ． 36πD ．32π二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若x ，y 满足约束条件，则z=x+7y 最大值为_____.2x -20x -10y 10y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩14.设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4)，若a b ，则m=______.⊥15. 曲线 一条切线 斜率为2，则该切线 方程为____. ln 1y x x =++16. 数列满足，前16项和为540，则=____.{}n a ()2131nn n a a n ++-=-1a三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个考题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （ 一）必考题:共60分 综合题分割17.（ 12分）某厂接受了一项加工业务，加工出来 产品（ 单位:件）按标准分为A,B,C ，D 四个等级，加工业务约定:对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D 级品，厂家每件赔偿原料损失费50元，该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件，厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品 等级，整理如下:甲分厂产品等级 频数分布表等级 A B C D 频数40202020乙分厂产品等级 频数分布表等级 A B C D 频数28173421（1） 分别估计甲、乙两分厂加工出来 一件产品为A 级品 概率； （2） 分别求甲、乙两分厂加工出来 100件产品 平均利润，以平均利润 为依据，厂家应该选哪个分厂承接加工业务?18.（ 12分）内角 对边分别为，已知.△ABC ,,A B C ,,a b c 150B =o（ 1）若，，求 面积；a =b =△ABC（ 2）若. sin A C =C19. （ 12分）如图，为圆锥 顶点，是圆锥底面 圆心，是底面 内接正三D O △ABC 角形，为上一点，. P DO 90APC ∠=o （ 1）证明:平面平面； PAB ⊥PAC（ 2）设,圆锥 π，求三棱锥 体积.DO =P ABC -20.(12分)已知函数 ()(2).xf x e a x =-+（1） 当a=1时，讨论 单调性; ()f x （2） 若有两个零点，求 取值范围. ()f x a21.（ 12分）已知A,B 分别为椭圆E: (a>1) 左右顶点，G 为E 上顶点，，P 为直222x +y 1a=线x=6上 动点，PA 与E 另一交点为C ，PB 与E 另一交点为D. （1） 求E 方程；（2） 证明:直线CD 过顶点.（ 二）选考题:共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做 第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程]（ 10分）在直角坐标系中，曲线 参数方程为，（ 为参数)，以坐标原点为极xOy 1C cos sin kkx ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩t 点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 极坐标方程为x 2C .4cos 16cos 30ρθρθ-+=（ 1）当k=1时，是什么曲线?1C （ 2）当k=4时，求与 公共点 直角坐标. 1C 2C23.[选修4—5:不等式选讲]（ 10分） 已知函数=│3+1│-2│-1│.()f x xx（1）画出y= 图像；()f x （2）求不等式> 解集. ()f x (1)f x文科数学参考答案全卷完 1、相信自己吧！坚持就是胜利！祝考试顺利，榜上有名！ 2、愿全国所有的考生都能以平常的心态参加考试，发挥自己的水平，考上理想的学校。

2020 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

1．若 z=1+i ，则 |z2–2z|=A．0B．1C．2D．22．设集合 A={ x|x2– 4≤，0}B={ x|2x+a≤ 0}，且 A∩B={ x|– 2x≤≤1} ，则 a=A．–4B．–2C．2D．43．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A ．51B．51C．51D．51 42424．已知 A为抛物线 C:y2=2px（ p>0）上一点，点 A到 C的焦点的距离为12，到 y轴的距离为 9，则 p=A ． 2B． 3C． 6D． 95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度 x（单位：°C）的关系，在20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据( x i , y i )(i1,2, ,20) 得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至 40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度 x 的回归方程类型的是A ． y a bx B． y a bx2C． y a be x D ． y a b ln x 6．函数 f ( x)x42x3的图像在点 (1， f (1)) 处的切线方程为A ． y2x 1B． y2x 1C． y 2 x 3 D ． y 2 x 17．设函数f ()cosπ在 [ π,π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为x(x)6A． 10πB．7πC．4πD ．3π9632 8．( x y2)( x y)5的展开式中x3y3的系数为xA ． 5B． 10C． 15D．20 9．已知(0, π) ，且3cos2 8cos 5 ，则 sinA ．5B．2C．1D．5333910．已知A, B, C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB BC AC OO1，则球O的表面积为A ．64πB．48πC．36πD．32π11．已知⊙ M：x2y22x 2y 2 0，直线 l ：2x y 2 0 ， P 为l上的动点，过点P 作⊙M的切线 PA, PB ，切点为A,B ，当 |PM || AB |最小时，直线AB 的方程为A ．2x y 1 0B．2x y 1 0C．2x y 1 0D．2x y 1 012．若2a log 2 a4b2log 4 b ，则A ．a 2b B．a 2b C．a b2D．a b2二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。

2020年普通高招全国统一考试原创模拟卷-理数8第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(共10题，每题5分，共50分)1．已知集合A ={x |√x-1<2,x ∈N },B ={y |y =x 2-2x ,x ∈R },则A ∩B =A.[1,+∞)B.{-1,1,2,3}C.{1,2,3,4}D.(1,+∞)2．已知复数z 满足z (1+i)=3+4i,则复数z 的虚部为A.-i2B.i2C.-12D.123．若双曲线x 2a2-y 2=1(a >0)的实轴长为4,则该双曲线的渐近线方程为A.y =±14xB.y =±12xC.y =±2xD.y =±4x4．如图,圆柱的底面半径为1,平面ABCD 为圆柱的轴截面,从A 点开始,沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C 点,若绳子的最短长度为3π,则该圆柱的侧面积为A.4√2π2B.2√2π2C.5√2π2D.4π25．已知函数f (x )={2x +2-x -1,x ≥1,f(x +1),x <1,则f (x )的最小值是A.12B.1C.32D.26．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3,S 9,S 6成等差数列,且a 2=10,则S 9的值为A.28B.36C.42D.467．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π),它的部分图象如图所示,若将函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度后,所得的函数图象关于y 轴对称,则m 的最小值为A.12B.14C.13D.168．某工厂生产甲、乙两种电子产品均需要A ,B 两种电子元件,现A 有120个,B 有54个,生产一件甲产品需要6个A 元件,3个B 元件,生产一件乙产品需要5个A 元件,2个B 元件.已知销售一件甲产品可获利5元,销售一件乙产品可获利4元,则以现有库存生产甲、乙两种产品,该工厂获得的最大收益为A.96元B.98元C.100元D.102元9．已知函数f (x )=12ln x ,g (x )=x +1,直线y =t (t ∈R )与函数f (x ),g (x )的图象分别交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),若对任意t ∈R ,不等式|x 2-x 1|≥2a +1成立,则实数a 的取值范围为A.(-∞,ln2+14]B.(-∞,ln2+34) C.(-∞,ln24] D.(-∞,ln 2-1]10．已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的半焦距为c ,F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,P 为C 上一动点,过F 2作∠F 1PF 2的外角平分线l 的垂线,与l 交于点Q ,若|OQ |=1(O 为坐标原点),则b 2+c 2-6b -8c 的取值范围为A.[-9,11]B.[-9,2]C.[4,2√5)D.[-9,-5)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)11．已知向量a =(λ,2),2a +b =(2,0),c =(1,λ),若c ∥b ,则λ= .12．如图,将∠A 为60°角的Rt△ABC 绕点A 逆时针旋转60°,得到Rt△ADE ,若在Rt△ABC扫过的区域中随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为 .13．某人将编号分别为1,2,3,4,5的5个小球随机放入编号分别为1,2,3,4,5的5个盒子中,每个盒子中放一个小球.若球的编号与盒子的编号相同,则视为放对,否则视为放错,则全部放错的情况有 种.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2a n -1.若集合M ={n |n (n +1)≥λa n ,n ∈N *}中有3个元素,则λ的取值范围是 .三、解答题(共6题，每题12分，共72分)15．在锐角△ABC 中,sin A +cos(B +C )=1+sin B+C 2.(1)求sin A 的值;(2)若AB =4,△ABC 的面积为3√7,求BC 边上的高.16．已知抛物线C 1:y 2=2px (p >0)的焦点为F ,圆C 2:x 2+y 2=3p 2,C 1与C 2的交点为A ,B ,且FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB⃗⃗⃗⃗⃗ =-74.(1)求C 1,C 2的方程;(2)过焦点F 作倾斜角为锐角的直线,分别交C 1于M ,N 两点,交C 2于P ,Q 两点,求|PQ||MN|的取值范围.17．某批产品在出厂前每件产品都需要进行质量检验,检验方案是:第一次检验,每件产品的合格率为35,如果合格,则可出厂,如果不合格,则进行技术处理,处理后再进行第二次检验,每件产品的合格率为45,如果合格,则可出厂,不合格则当废品回收.现各种费用如表所示:(1)求某件产品能出厂的概率;(2)假如每件产品是否合格相互独立,记ξ为任意两件产品所获得的利润之和,求随机变量ξ的分布列与数学期望.18．已知函数f (x )={1-a2x 2+ax-lnx,x >0,axe x,x ≤0.(1)当a =1时,求函数f (x )的极值;(2)若∀a ∈(2,3)及∀x 1,x 2∈[1,2],恒有ma +ln 2>|f (x 1)-f (x 2)|,求m 的取值范围.19．[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线C 的参数方程为{x =√32+cosφ,y =12+sinφ(φ为参数),以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2ρsin(θ-π6)=√3.(1)写出曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 交于M ,N 两点,P 为曲线C 上的动点,求△PMN 面积的最大值.20．[选修4-5:不等式选讲]已知f (x )=|x -2a |+a .(1)若不等式f (x )≤1的解集为A ,且A ⊆{x |-1≤x ≤2},求实数a 的取值范围;1 a )+f(a)的最小值.(2)若a<0,求关于a的函数f(-参考答案1.C【解析】本题考查不等式的求解、函数的值域以及集合的交运算,考查运算求解能力. 首先将A ,B 两个集合进行化简,然后利用集合交集的定义,借助数轴即可解得. 由√x-1<2,得0≤x -1<4,∴1≤x <5.∵x ∈N ,∴A ={1,2,3,4}.∵y =x 2-2x =(x -1)2-1≥-1,∴B ={y |y ≥-1},∴A ∩B ={1,2,3,4},故选C. 【备注】无 2.D【解析】本题主要考查复数的四则运算及复数虚部的概念,考查运算求解能力.先利用复数的四则运算求出复数z ,再由复数虚部的概念求解. 解法一 由z (1+i)=3+4i 可得,z =3+4i 1+i=(3+4i)·(1-i)(1+i)·(1-i)=7+i 2=72+i 2,所以复数z 的虚部为12.故选D.解法二 设z =a +b i(a ,b ∈R ),由z (1+i)=3+4i,得(a +b i)·(1+i)=3+4i,即(a -b )+(a +b )i=3+4i,由复数相等可知{a-b =3,a +b =4,解得{a =72,b =12.所以复数z 的虚部为12.故选D. 【备注】无3.B【解析】本题主要考查双曲线的几何性质,体现了数学运算核心素养.根据双曲线的实轴长为4求得a 的值,即可求双曲线的渐近线方程.因为该双曲线的实轴长为4,所以2a =4,a =2.易知该双曲线的虚半轴长b =1,所以该双曲线的渐近线方程为y =±12x .故选B.【备注】无 4.A【解析】本题考查圆柱的侧面展开图,考查考生的空间想象能力及运算求解能力.试题以圆柱的侧面展开图为依托,设置最短路径问题,不仅体现了注重考查基础知识的理念,还体现了直观想象、数学运算等核心素养.沿AD 将圆柱的侧面展开,绳子的最短长度即侧面展开图中A ,C 两点间的距离,连接AC ,所以AC =3π,展开后AB 的长度为π.设圆柱的高为h ,则AC 2=AB 2+h 2,即9π2=π2+h 2,得h =2√2π,所以圆柱的侧面积为2×π×1×2√2π=4√2π2. 【备注】无 5.C【解析】本题主要考查分段函数以及分段函数的局部的周期性,考查数形结合思想,运算求解能力.试题通过对函数的设计,使考生将函数性质、函数图象这些知识迁移到创设的问题情境中,体现了直观想象核心素养.易知当x ≥1时,f (x )单调递增,所以当x ≥1时,f (x )≥32.当x <1时,f (x )是以1为周期的函数,作出f (x )的大致图象,如图,所以f (x )≥32,f (x )的最小值是32.【备注】无 6.B【解析】本题主要考查等差数列的性质、前n 项和公式,考查考生的化归与转化能力、运算求解能力.先根据等差数列的性质和前n 项和公式求出首项和公差的关系,再根据a 2=10求出首项和公差,最后利用等差数列的前n 项和公式求出结果.解法一 因为S 3,S 9,S 6成等差数列,所以2S 9=S 3+S 6,所以(S 9-S 3)+(S 9-S 6)=0,所以(a 4+a 5+…+a 9)+(a 7+a 8+a 9)=0,所以9a 7=0,所以a 7=0.设{a n }的公差为d ,因为a 2=10,所以d =a 7-a 27-2=0-105=-2,所以S 9=9a 1+9×82d =9(a 2-d )+9×82d =36.解法二 因为S 3,S 9,S 6成等差数列,所以2S 9=S 3+S 6,设{a n }的公差为d ,则2×(9a 1+9×82d )=3a 1+3×22d +6a 1+6×52d ,得a 1=-6d .又a 2=10,所以a 1=12,d =-2,所以S 9=9a 1+9×82d =36.【备注】无 7.D【解析】本题考查正弦型函数的图象与性质、正弦型函数图象的平移变换,考查数形结合思想、逻辑思维能力、运算求解能力.根据图象求出A ,ω和φ,即可求出函数f (x )的解析式,再根据平移后所得函数图象关于y 轴对称求m 的最小值. 通解 由题图知A =2,函数f (x )的最小正周期T =4×(13−112)=1,由T =2πω,得ω=2π,故f (x )=2sin(2πx +φ).将(13,2)代入函数f (x )的解析式,得sin(φ+2π3)=1,则φ=2k π-π6(k ∈Z ),因为|φ|<π,所以φ=-π6,所以f (x )=2sin(2πx -π6).将函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度后,所得图象对应的解析式为g (x )=f (x -m )=2sin[2π(x -m )-π6]=2sin[2πx -(2πm +π6)].因为函数g (x )的图象关于y 轴对称,所以2πm +π6=k 1π+π2(k 1∈Z ),解得m =k 12+16(k 1∈Z ),故m 的最小值为16.优解 由题图知函数f (x )的最小正周期T =4×(13−112)=1,由图分析可知,y 轴左侧离y 轴最近的对称轴为直线x =112−T4=-16,所以m 的最小值为16. 【备注】无 8.B【解析】本题考查线性规划的实际应用问题,考查考生通过试题情境建立关系式,抽象出数学模型并进行求解的能力.设分别生产甲、乙产品x 件、y 件,利用已知条件,写出x ,y 满足的约束条件以及目标函数,然后画出可行域,数形结合即可求出最大收益.设分别生产甲、乙产品x 件、y 件,z 为利润,则{6x +5y ≤120,3x +2y ≤54,x,y∈N,z =5x +4y .由z =5x +4y ,得y =-54x +z4,要使z 最大,只需z4最大,易知直线y =-54x +z4的纵截距取得最大值时,z 最大.由{6x +5y =120,3x +2y =54解得{x =10,y =12,故D (10,12).作出可行域,为图中阴影部分的整数点,数形结合可知,当直线y =-54x +z 4过D 点时,纵截距最大,所以z max =5×10+4×12=98,故最大收益为98元.【备注】【解后反思】求解线性规划应用题应注意两点:(1)画可行域时,要注意边界线的虚实;(2)注意结合实际问题的实际意义,判断所设未知数x ,y 的取值范围,特别注意分析x ,y 是否是整数. 9.A【解析】本题考查函数与不等式的综合问题,考查学生分析、解决问题的能力.由题意可知f (x 1)=g (x 2)=t ,将x 1,x 2用t 表示,然后将|x 2-x 1|转化为关于t 的代数式,设h (t )=e 2t -t +1,利用导数求h (t )的最小值,即可求得a 的范围.由题意可知f (x 1)=g (x 2)=t ,由12ln x 1=t ,得x 1=e 2t ,由x 2+1=t ,得x 2=t -1,易知x 1>x 2,所以|x 2-x 1|=x 1-x 2=e 2t -t +1.令h (t )=e 2t -t +1,由h'(t )=2e 2t -1=0,得t =-ln22.当t <-ln22时,h'(t )<0,当t >-ln22时,h'(t )>0,所以当t =-ln22时,h (t )取得最小值,为12+ln22+1=ln2+32,所以要使对任意t ∈R ,|x 2-x 1|≥2a +1成立,只需ln2+32≥2a +1,解得a ≤ln2+14.故选A.【备注】无 10.D【解析】本题主要考查椭圆的定义、标准方程以及圆的有关知识,考查化归与转化思想及数形结合思想.设直线F 2Q 与线段F 1P 的延长线交于点R ,由题意推出Q 为线段F 2R 的中点,再由椭圆的定义及三角形中位线定理求得a =1,从而得到b 2+c 2=1(b >0,c >0),最后利用数形结合思想及b 2+c 2-6b -8c 的几何意义即可求范围.设直线F 2Q 与线段F 1P 的延长线交于点R ,易得|F 2Q |=|QR |,|PR |=|F 2P |,所以Q 为线段F 2R 的中点,所以在△F 1RF 2中,|OQ |=|F 1R|2=|F 1P|+|PR|2=|F 1P|+|PF 2|2.因为P 为椭圆上的点,所以|F 1P |+|PF 2|=2a ,则|OQ |=|F 1P|+|PF 2|2=2a 2=a =1,所以b 2+c 2=1(b >0,c >0),表示以原点为圆心、1为半径的四分之一圆弧(不包含端点).b 2+c 2-6b -8c =(b -3)2+(c -4)2-25,表示动点M (b ,c )到点N (3,4)距离的平方再减去25,连接ON ,则|ON |=5,连接MN ,易知|MN |min =4.又N (3,4)到点(1,0)的距离d 1=2√5,到点(0,1)的距离d 2=3√2,所以b 2+c 2-6b -8c 的取值范围为[-9,-5),故选D.【备注】【素养落地】试题把外角平分线和椭圆的有关知识有机结合,构建数形结合的情境,增强考生运用几何直观思考问题的意识,突出了直观想象、数学运算等核心素养. 【解后反思】本题求解的关键是利用a 的值得到点(b ,c )的轨迹,分析出代数式b 2+c 2-6b -8c 的几何意义;易错之处是求得b 2+c 2=1后,忽略b >0,c >0,而错选A. 11.2或-1【解析】本题考查向量的坐标运算、向量平行的充要条件,考查考生对基础知识的掌握情况.计算出b 的坐标,由向量平行列方程,求解即可.由已知条件得b =(2-2λ,-4),因为c ∥b ,所以-4=λ(2-2λ),解得λ=2或λ=-1. 【备注】【易错警示】向量平行和垂直的充要条件容易混淆,对于a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),若a ∥b ,则x 1y 2=x 2y 1;若a ⊥b ,则x 1x 2+y 1y 2=0.12.4π+3√3【解析】本题考查平面几何图形的旋转问题及几何概型概率的求解,考查直观想象及数学运算等核心素养.先求阴影部分的面积,再利用几何概型的概率计算公式求解即可. 设AC =x ,则AB =2x ,BC =√3x .S 阴影=S 扇形ABD +S △ADE -S △ABC -S 扇形ACE =S 扇形ABD -S 扇形ACE =60π×(2x)2360−60π×x 2360=π2x 2,故所求概率P =S 阴影S 扇形ABD +S △ADE =π2x 260π×(2x)2360+√32x =4π+3√3. 【备注】无 13.44【解析】本题主要考查排列组合的有关知识,体现了逻辑推理核心素养.可以利用两个计数原理从正面求解,如解法一,也可先算出所有的放法的种数,然后分别计算有1,2,3,4,5个小球放对的情况,最后相减即可得到结果.解法一 第一步,若1号盒子放错,则1号盒子有C 41=4种不同的放法;第二步,考虑与1号盒子中所放小球编号相同的盒子的放法,若该盒子中的小球编号恰好为1,则5个小球全部放错的放法有C 21=2(种),若该盒子中的小球编号不是1,则5个小球全部放错的放法有C 31(1+C 21)=9(种).由计数原理可知,5个小球全部放错的放法有4×(2+9)=44(种).解法二 将5个小球放入5个盒子中,且每个盒子中放一个小球,共有A 55=120种不同的放法,其中恰有1个小球放对的情况有C 51C 31(1+C 21)=45(种),恰有2个小球放对的情况有C 52C 21=20(种),恰有3个小球放对的情况有C 53=10(种),恰有4个小球放对的情况有0种,恰有5个小球放对的情况有1种,故全部放错的情况有120-45-20-10-1=44(种). 【备注】无 14.(2,52]【解析】本题主要考查a n 与S n 之间的关系、等比数列的通项公式等,考查运算求解能力、逻辑思维能力,考查的核心素养是数学运算、逻辑推理.利用a n 与S n 之间的关系确定数列{a n }的通项公式,构造f (n )=n(n+1)2n-1n ∈N *,分别写出n =1,2,3,4,5时的函数值,并判断出n ≥3时,f (n +1)<f (n ),从而求得λ的取值范围.当n =1时,S 1=2a 1-1,得a 1=1.当n ≥2时,由S n =2a n -1 ①,得S n -1=2a n -1-1 ②,①-②,得a n =2a n -1(n ≥2),则a na n-1=2(n ≥2),因此{a n }是等比数列,且公比是2,所以a n =2n -1.由n (n +1)≥λa n 可得λ≤n(n+1)2.令f (n )=n(n+1)2,n ∈N *,则f (1)=2,f (2)=3,f (3)=3,f (4)=52,f (5)=158. 因为f (n +1)-f (n )=(n+1)(n+2)2n−n(n+1)2n-1=(n+1)(2-n)2n,所以当n ≥3时,f (n +1)-f (n )<0,f (n +1)<f (n ).因为集合M 中有3个元素,所以关于n 的不等式λ≤n(n+1)2n-1的解的个数为3,所以2<λ≤52.【名师点睛】求数列中最大或最小项的方法:可以借助数列的增减性来研究数列的最值问题,数列的增减性有时可以利用作差或作商比较法来探究. 【备注】无15.解:(1) 由题意得,sin A +cos(π-A )=1+sinπ-A 2,即sin A -cos A =1+cos A 2,所以2sin A2cos A2-2cos 2A2+1=1+cos A2.因为在锐角△ABC 中,cos A 2≠0,所以2sin A 2-2cos A2=1,等式两边同时平方,得4-4sin A =1,解得sin A =34.(2)由S △ABC =12×AB ×AC ×sin A =12×4×AC ×34=3√7,得AC =2√7.由(1)知,cos A =√74,由余弦定理,得BC 2=AB 2+AC 2-2×AB ×AC ×cos A =16+28-2×4×2√7×√74=16,得BC =4.设BC 边上的高为h ,则12×BC ×h =3√7,即12×4×h =3√7,解得h =3√72,即BC 边上的高为3√72. 【解析】本题考查余弦定理的应用、诱导公式、三角形面积公式等,考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力.(1)利用三角形内角和定理、二倍角公式、同角三角函数的基本关系等化简已知等式,即可得sin A 的值;(2)先利用三角形面积公式求得AC 的长,再利用余弦定理求得BC 的长,最后利用三角形面积公式求出BC 边上的高. 【备注】无16.解:(1)由{x 2+y 2=3p 2,y 2=2px,得x 2+2px -3p 2=0,解得x =p 或x =-3p (舍去),所以y =±√2p ,不妨设A (p ,√2p ),B (p ,-√2p ).又F (p 2,0),所以FA⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(p 2,√2p )·(p 2,-√2p )=-74,解得p 2=1,所以p =1. 故抛物线C 1的方程为y 2=2x ,圆C 2的方程为x 2+y 2=3. (2)由(1)知,抛物线C 1的焦点F (12,0),设直线方程为x =my +12,即x -my -12=0,则圆C 2的圆心到直线的距离d =12√2,所以|PQ |=2√3-141+m .将x =my +12代入y 2=2x 得y 2-2my -1=0,Δ=4m 2+4>0.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),所以{y 1+y 2=2m,y 1y 2=-1,所以|MN |=2|y 1-y 2|=2(1+m 2).|PQ||MN|=12(1+m 2)·2√3-141+m 2=12(1+m 2)·√12-11+m 2,令t =11+m 2,0<t <1,则|PQ||MN|=t2·√12-t =12√12t 2-t 3,令f (t )=12t 2-t 3,0<t <1,则f '(t )=3t (8-t )>0, 所以函数f (t )在(0,1)上单调递增,所以0<f (t )<11, 所以|PQ||MN|的取值范围是(0,√112). 【解析】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质,直线方程,直线与抛物线的位置关系,直线与圆的位置关系,考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力.(1)联立圆的方程与抛物线的方程,得一元二次方程,求根,借助FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB⃗⃗⃗⃗⃗ =-74,求出p 的值,即可得C 1,C 2的方程;(2)设出直线方程,利用点到直线的距离公式和勾股定理表示出|PQ |,将直线方程代入抛物线方程,利用根与系数的关系和弦长公式表示出|MN |,进而表示出|PQ||MN|,换元,构造函数,利用函数的单调性即可求出|PQ||MN|的取值范围.【备注】【素养落地】试题以抛物线、圆为依托,考查考生对解析几何知识的理解和掌握,通过对直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系的探求,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.17.解:(1)设事件A 为“某件产品第一次检验合格”,事件B 为“某件产品第二次检验合格”,则P (A )=35,P (B )=25×45=825,所以某件产品能够出厂的概率P =35+825=2325.(2)由已知,若两件产品均不合格,则ξ=-(1 000+100×2+200)×2+100×2=-2 600, 若一件不合格,另一件是经过第二次检验才合格,则ξ=-(1 000+100×2+200)+[3 000-(1 000+100×2+200)]+100=300,若一件不合格,另一件第一次检验合格,则ξ=-(1 000+100×2+200)+[3 000-(1 000+100)]+100=600,若两件都是经过第二次检验才合格,则ξ=2×[3 000-(1 000+100×2+200)]=3 200, 若两件都合格,其中一件第一次检验合格,另一件是经过第二次检验才合格,则ξ=[3 000-(1 000+100)]+[3 000-(1 000+100×2+200)]=3 500, 若两件都是第一次检验合格,则ξ=2×[3 000-(1 000+100)]=3 800, 所以ξ的所有可能取值为-2 600,300,600,3 200,3 500,3 800.因为每件产品第一次检验合格的概率为35,第一次检验不合格、第二次检验合格的概率为825,两次检验均不合格的概率为(1-35)×(1-45)=225,所以P (ξ=-2 600)=(225)2=4625,P (ξ=300)=C 21×825×225=32625,P (ξ=600)=C 21×35×225=12125,P (ξ=3 200)=(825)2=64625, P (ξ=3 500)=C 21×35×825=48125,P (ξ=3 800)=(35)2=925. ξ的分布列为数学期望E (ξ)=-2 600×625+300×625+600×125+3 200×64625+3 500×48125+3 800×925=3096.【解析】本题主要考查相互独立事件的概率,离散型随机变量的分布列与数学期望,考查考生分析问题、解决问题的能力.(1)分别求出某件产品第一次检验合格和第二次检验合格的概率,利用相互独立事件的概率加法公式计算即可;(2)先分析ξ的所有可能取值,再计算每个取值对应的概率,最后求出数学期望. 【备注】无18.解:(1)当a =1时,f (x )={x-lnx,x >0,xe x ,x ≤0,则f'(x )={1-1x ,x >0,e x (1+x),x ≤0.由f'(x )=0,得x =1或x =-1.x ,f'(x ),f (x )的变化情况如下:由表可知,函数f (x )的极小值为f (-1)=-e,f (1)=1,无极大值. (2)因为 x 1,x 2∈[1,2],所以只需考虑f (x )=1-a 2x 2+ax -ln x .f'(x )=(1-a )x +a -1x=(1-a)(x-1a-1)(x-1)x ,又a ∈(2,3),所以1a-1∈(12,1),1-a <0,所以在[1,2]上,f'(x )≤0,f (x )单调递减, 所以在[1,2]上,f (x )的最大值为f (1)=1+a 2,f (x )的最小值为f (2)=2-ln 2,所以|f (x 1)-f (x 2)|≤|1+a 2-2+ln 2|=a 2−32+ln 2.若ma +ln 2>|f (x 1)-f (x 2)|恒成立,则ma +ln 2>a2−32+ln 2对a ∈(2,3)恒成立,所以(1-2m )a <3,即1-2m <3a.因为3a∈(1,32),所以1-2m ≤1,解得m ≥0, 故m 的取值范围是[0,+∞).【解析】本题主要考查利用导数研究函数的极值、不等式恒成立问题,考查化归与转化思想.(1)对函数求导,利用导函数的正负判断函数的单调性,进而得到极值;(2)利用导数判断函数的单调性及最值,将ma +ln 2>|f (x 1)-f (x 2)|恒成立转化为ma +ln 2>a2−32+ln 2恒成立,再利用分离参数法,结合a 的取值范围即可求解.【备注】【解后反思】求解与恒成立有关的问题的关键是转化、对题意的理解以及对隐含条件的挖掘,如本题中,利用函数的单调性,将ma +ln 2>|f (x 1)-f (x 2)|恒成立,转化为ma +ln 2>a2−32+ln 2恒成立,利用分离参数法即可得结果.19.解:(1)将 {x =√32+cosφ,y =12+sinφ消去参数φ,得曲线C 的普通方程为(x -√32)2+(y -12)2=1. 2ρsin(θ-π6)=√3,即√3ρsin θ-ρcos θ=√3,将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入上式,得直线l 的直角坐标方程为x -√3y +√3=0.(2)由(1)知曲线C的圆心坐标为(√32,12),圆心到直线x -√3y +√3=0的距离d =|√32-√3×12+√3|2=√32, 则|MN |=2√1-34=1,易知点P 到直线x -√3y +√3=0距离的最大值为1+√32, 所以△PMN 面积的最大值为12+√34. 【解析】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、点到直线的距离公式、三角形的面积公式等知识,考查化归与转化能力、运算求解能力.(1)消去参数,即可得曲线C的普通方程,利用{x=ρcosθ,y=ρsinθ得到直线l的直角坐标方程;(2)先利用点到直线的距离公式和勾股定理得到弦长,再利用数形结合思想得到点P到直线x-√3y+√3=0距离的最大值,最后利用三角形的面积公式进行求解.【备注】无20.解:(1) f(x)≤1可化为|x-2a|≤1-a.当1-a<0,即a>1时,不等式的解集为空集,符合题意.当1-a≥0,即a≤1时,a-1≤x-2a≤1-a,因而3a-1≤x≤a+1,那么,由已知可得{3a-1≥-1,a+1≤2,解得0≤a≤1.综上,实数a的取值范围为[0,+∞).(2)因为a<0,所以f(-1a )+f(a)=|-1a-2a|+a+|a-2a|+a=-1a+(-a)≥2,当且仅当-a=-1a,即a=-1时取等号,故当a<0时,关于a的函数f(-1a)+f(a)的最小值为2.【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解,基本不等式的应用,考查分类讨论思想和运算求解能力.(1)分类讨论,利用集合间的关系进行求解;(2)去绝对值符号,利用基本不等式求解.【备注】无。

决战2020年中考数学必刷试卷08第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．若a 是绝对值最小的有理数，b 是最大的负整数，c 是倒数等于它本身的自然数，则代数式a ﹣b +c 的值为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】根据题意得：a ＝0，b ＝﹣1，c ＝1， 则a ﹣b +c ＝0﹣（﹣1）+1＝2， 故选：C ．2．使得式子4xx-有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x≥4 B ．x ＞4C ．x≤4D ．x ＜4【答案】D【解析】使得式子4xx-有意义，则：4﹣x ＞0，解得：x ＜4即x 的取值范围是：x ＜4 故选D ．3．学校开展捐书活动，以下是5名同学捐书的册数：4，9，5，x ，3，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）A．3和3B．4和4C．3和4D．5和5【答案】B【解析】∵（4+9+5+x+3）÷5=5∵x=4将4，9，5，4，3按从小到大进行排列得：3，4，4，5，9所以中位数为4，众数为4故答案为：B4．在下图所示的四个三角形中，能由∵ABC经过平移得到的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】观察可得C可由∵ABC经过平移得到，故选C．5．如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，其左视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】从左面看易得有一列有2个正方形． 故选：B6．从长度分别为2，4，6，8的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C【解析】∵从长度分别为2，4，6，8的四条线段中任选三条作边，等可能的结果有：2，4，6； 2，4，8； 2，6，8； 4，6，8；其中能构成三角形的只有4，6，8； ∵能构成三角形的概率为：14． 故选C ．7．若关于x 、y 的方程组3526x my x ny -=+={的解是x y =1=2{则mn 的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】A【解析】∵关于x、y的二元一次方程组3x my52x ny6-=⎧⎨+=⎩的解是x1y2=⎧⎨=⎩，∵32m5 22n6-=⎧⎨+=⎩解得：12 mn=-⎧⎨=⎩∵mn2=-故选：A．8．观察“田”字中各数之间的关系：则a+d﹣b﹣c的值为（）A．52B．﹣52C．51D．51【答案】B【解析】由图可得，左上角的数字分别为1，3，5，7，9，…，是一些连续的奇数，左下角的数字依次是2，4，8，16，32，…，则可以用2n表示，右下角的数字是左上角和左下角的数字之和，右上角的数字比右下角的数字小1，则a＝11，b＝26＝64，d＝11+64＝75，c＝75﹣1＝74，∵a+d﹣b﹣c＝11+75﹣64﹣74＝﹣52，故选：B．9．已知抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 为常数，0a <），其对称轴是1x =，与x 轴的一个交点在()2,0，()3,0之间.有下列结论：∵0abc <；∵0a b c -+=；∵若此抛物线过()12,y -和()23,y 两点，则12y y <，其中，正确结论的个数为( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】∵抛物线的对称轴为x=1， ∵b12a-=，∵a 0< ∵b 0>∵抛物线与x 轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1， ∵抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和点（-1，0）之间， ∵抛物线与y 轴的正半轴相交，∵c 0>，∵abc 0<，∵正确； ∵抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和点（-1，0）之间， ∵当x=-1时，y=a -b+c ＜0，故∵错误；， ∵抛物线的对称轴为x=1，∵()12,y -与（4，1y ）关于对称轴对称，∵抛物线开口向下，当x 1>时，y 随x 的增大而减小， ∵12y y <，故∵正确，故选：C ．10．如图，等边ABC ∆的边长为2，∵A 的半径为1，D 是BC 上的动点，DE 与∵A 相切于点E ，DE 的最小值是（ ）A．1B．2C．3D．2【答案】B【解析】如图，连接AE，AD，作AH∵BC于H，∵DE与∵A相切于E，∵AE∵DE，∵∵A的半径为1，∵2221=-=-，DE AD AE AD当D与H重合时，AD最小，∵等边∵ABC的边长为2，∵BH=CH=1，∵22AH=-=，213∵DE的最小值为：22-=．(3)12故选B ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算()2236+的结果等于_____.【答案】18122+【解析】()2236+=22(23)2236(6)+⨯⨯+=12+122+6=18+122.故答案为：18+12212．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为____．【答案】512【解析】抬头看信号灯时，是绿灯的概率为2553025512=++．故答案为：512． 13．计算：1623ax x x-+--＝_____． 【答案】22731556ax x ax x x --+-+ 【解析】原式＝(1ax)(3x)6(2x)(2x)(3x)--+---23x 3ax ax 126x (2x)(3x)--++-=--2ax 7x 3ax 15(2x)(3x)--+=--22ax 7x 3ax 15x 5x 6--+=-+． 14．如图，已知PA ＝PB ＝PC ＝4，∵BPC ＝120°，PA∵BC ，以AB 、PB 为邻边作平行四边形ABPD ，连接CD ，则CD 的长为_____________________．【答案】42【解析】连接BD 交AP 于O ，作PE∵BC 于E ，连接OE ，如图所示 ∵PB ＝PC ＝4，∵BPC ＝120°，PE∵BC ， ∵∵PBE ＝30°，BE ＝CE ，∵PE ＝12PB ＝2， ∵四边形ABPD 是平行四边形， ∵OP ＝OA ＝2，OB ＝OD ， ∵OE 是∵BCD 的中位线， ∵CD ＝2OE ， ∵PA∵BC ，∵PA∵PE，∵∵APE＝90°，由勾股定理得：OE＝22OP PE＝2∵CD＝2OE＝42故填：42.15．如图，AB是反比例函数y＝3x在第一象限内的图象上的两点，且A、B两点的横坐标分别是1和3，则S∵AOB＝_____．【答案】4【解析】∵A，B是反比例函数y＝3x在第一象限内的图象上的两点，且A、B两点的横坐标分别是1和3，∵当x＝1时，y＝3，即A（1，3），当x＝3时，y＝1，即B（3，1）．如图，过A，B两点分别作AC∵x轴于C，BD∵x轴于D，则S∵AOC＝S∵BOD＝12×3＝32．∵S四边形AODB＝S∵AOB+S∵BOD＝S∵AOC+S梯形ABDC，∵S∵AOB＝S梯形ABDC，∵S梯形ABDC＝12（BD+AC）•CD＝12（1+3）×2＝4，∵S∵AOB＝4．故答案为4．16．如图，在Rt∵ABC中，∵C＝90°，∵B＝30°，BC＝3，点D是BC边上一动点（不与B，C重合），过点D做DE∵BC交AB于点E，将∵B沿着直线DE翻折，点B落在BC边上的点F处，若∵AFE＝90°，则BD 的长是_____．【答案】1【解析】根据题意得：∵EFB＝∵B＝30°，DF＝BD，EF＝EB，∵DE∵BC，∵∵FED＝90°﹣∵EFD＝60°，∵BEF＝2∵FED＝120°，∵∵AEF＝180°﹣∵BEF＝60°，∵在Rt∵ABC中，∵ACB＝90°，∵B＝30°，BC＝3，∵AC＝BC•tan∵B＝3×333，∵BAC＝60°，∵∵AFE ＝90°，∵在Rt∵ABC 中，∵ACB ＝90°， ∵∵EFD +∵AFC ＝∵F AC +∵AFC ＝90°， ∵∵F AC ＝∵EFD ＝30°， ∵CF ＝AC •tan∵F AC ＝333⨯＝1， ∵BD ＝DF ＝2BC CF- ＝1；故答案为1． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分8分）先化简，后求值：a 2•a 4﹣a 8÷a 2+（a 3）2，其中a=﹣1． 【解析】原式=a 6﹣a 6+a 6=a 6， 当a =﹣1时，原式=1．18．（本小题满分8分）如图，点C ，F ，E ，B 在一条直线上，AB ＝CD ，AE∵BC ，DF∵BC ，垂足分别为E 点，F 点，BF ＝CE ．求证：AB∵CD ．【解析】∵AE∵BC ，DF∵BC ， ∵∵AEB ＝∵DFC ＝90°． ∵BF ＝CE ，∵BF ﹣EF ＝CE ﹣EF ，即BE ＝CF 在Rt∵AEB 和Rt∵DFC 中，BE CFAB DC=⎧⎨=⎩， ∵Rt∵AEB∵Rt∵DFC （HL ）， ∵∵B ＝∵C ， ∵AB∵CD ．19．（本小题满分8分）某校为了开展读书月活动，对学生最喜欢的图书种类进行了一次抽样调查，所有图书分成四类：艺术、文学、科普、其他．随机调查了该校m 名学生（每名学生必选且只能选择一类图书），并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）m ＝ ，n ＝ ，并请根据以上信息补全条形统计图； （2）扇形统计图中，“艺术”所对应的扇形的圆心角度数是 度；（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校900名学生中有多少学生最喜欢科普类图书． 【解析】（1）510%50%155030%m n =÷==÷=， ， 文学有：501015520---= ， 补全的条形统计图如右图所示；故答案为50，30；（2）由题意可得，“艺术”所对应的扇形的圆心角度数是：10 3607250︒⨯=o，故答案为72；（3）由题意可得，15 90027050⨯=，即该校900名学生中有270名学生最喜欢科普类图书．20．（本小题满分8分）如图，已知等边∵ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）（1）作∵ABC的外接圆圆心O；（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个等边∵DFH，使点F，点H分别在边BC和AC上；（3）在（2）的基础上作出一个正六边形DEFGHI．【解析】（1）如图所示：点O即为所求．（2）如图所示，等边∵DFH即为所求；（3）如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形．21．（本小题满分8分）如图，AB是∵O的弦，OP∵OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP＝CB．（1）求证：BC是∵O的切线；（2）若OA＝5，OP＝3，求CB的长；（3）设∵AOP的面积是S1，∵BCP的面积是S2，且1210 9S S ．若∵O的半径为4，BP ＝655，求tan∵CBP．【解析】（1）证明：连接OB，如图，∵OP∵OA，∵∵AOP＝90°，∵∵A+∵APO＝90°，∵CP＝CB，∵∵CBP＝∵CPB，而∵CPB＝∵APO，∵∵APO＝∵CBP，∵OA＝OB，∵∵A＝∵OBA，∵∵OBC＝∵CBP+∵OBA＝∵APO+∵A＝90°，∵OB∵BC，∵BC是∵O的切线；（2）解：设BC＝x，则PC＝x，在Rt∵OBC中，OB＝OA＝5，OC＝CP+OP＝x+3，∵OB2+BC2＝OC2，∵52+x2＝（x+3）2，解得x＝83，即BC的长为83；（3）解：如图，作CD∵BP于D，∵PC＝PB，∵PD＝BD＝12PB ＝355，∵∵PDC＝∵AOP＝90°，∵APO＝∵CPD，∵∵AOP∵∵PCD，∵1210 9SS=，∵209AOPPCDSS=VV，∵22209 OACD=，∵OA＝4，∵CD ＝655，∵tan∵CBP＝CDBD＝2．22．（本小题满分10分）一家商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件（1）若降价3元，则平均每天销售数量为件；（2）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？（3）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润的最大值是多少元？【解析】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3＝26件．故答案为：26；（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元，根据题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1200整理，得x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20要求每件盈利不少于25元∵x2＝20应舍去，解得x＝10答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．（3）设每件商品降价n元时，该商店每天销售利润为y元则：y＝（40﹣n）（20+2n）y＝﹣2n2+60n+800n＝﹣2＜0∵y有最大值当n＝15时，y有最大值＝1250元，此时每件利润为25元，符合题意即当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大值为1250元．23．（本小题满分10分）已知：在Rt∵ABC中，∵ACB＝90°，AC＝BC，点D在直线AB上，连接CD，并把CD绕点C逆时针旋转90°到CE．（1）如图1，点D在AB边上，线段BD、BE、CD的数量关系为．（2）如图2，点D在点B右侧，请猜想线段BD、BE、CD的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，点D在点A左侧，BC＝2，AD＝BE＝1，请直接写出线段EC的长．【解析】（1）结论：BE2+BD2＝2CD2．理由：如图1中，连接DE．∵∵ACB＝∵DCE＝90°，∵∵ACD＝∵BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∵∵ACD∵∵BCE（SAS），∵AD＝BE，∵CAD＝∵CBE，∵CA＝CB，∵ACB＝90°，∵∵A＝∵CBA＝45°，∵∵CBE＝∵A＝45°，∵∵ABE＝90°，∵DE2＝BD2＝BE2，∵DE＝2CD，∵BE2+BD2＝2CD2．（2）结论：BE2+BD2＝2CD2．理由：如图2中，连接DE．∵∵ACB＝∵DCE＝90°，∵∵ACD＝∵BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∵∵ACD∵∵BCE（SAS），∵AD＝BE，∵CAD＝∵CBE，∵CA＝CB，∵ACB＝90°，∵∵A＝∵CBA＝45°，∵∵CBE＝∵A＝45°，∵∵ABE＝∵EBD＝90°，∵DE2＝BD2+BE2，∵DE＝2CD，∵BE2+BD2＝2CD2．（3）如图3中，连接DE．∵AC ＝BC ＝2，∵ACB ＝90°，∵AB ＝2BC ＝2， ∵AD ＝BE ＝1， ∵BD ＝3，由（2）可知：BD 2+BE 2＝2EC 2， ∵9+1＝2EC 2， ∵EC ＝5．24．（本小题满分12分）如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为()4,3A ，与y 轴相交于点()0,5B -，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点.（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；（3）设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标.【解析】（1）函数表达式为：()243y a x ==+，将点B 坐标代入上式并解得：12a =-， 故抛物线的表达式为：21452=-+-y x x ； （2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标代入上式得：345k =-，解得：2k =，故直线AB 的表达式为：25y x =-；（3）设点()4,Q s 、点21,452P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭， ∵当AM 是平行四边形的一条边时，点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M ， 同样点21,452P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭向左平移2个单位、向下平移4个单位得到()4,Q s ， 即：24m -=，214542m m s -+--=， 解得：6m =，3s =-，故点P 、Q 的坐标分别为()6,1、()4,3-；∵当AM 是平行四边形的对角线时，由中点定理得：424m +=+，2131452m m s -=-+-+，解得：2m =，1s =， 故点P 、Q 的坐标分别为()2,1、()4,1；故点P 、Q 的坐标分别为()6,1，()4,3-或()2,1、()4,3-，()2,1或()4,1．。