2013年高考数学全国新课标Ⅱ卷试卷分析与思考

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合M=｛x|(x-1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=( ）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i（3）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3 = a2 +10a1，a5 = 9，则a1=（）（A）13（B）13-（C）19（D）19-（4）已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。

直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l l αβ⊄⊄，则（）（A ）α∥β且l ∥α（B ）α⊥β且l ⊥β（C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx ）(1+x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ=（ ） （A ）-4（B ）-3（C ）-2（D ）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（A ）11112310++++ （B ）11112!3!10!++++（C ）11112311++++ （D ）11112!3!11!++++（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)（8）设a=log36,b=log510,c=log714,则（A）c＞b＞a （B）b＞c＞a（C）a＞c＞b(D)a＞b＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A) 14 (B) 12(C)1(D)2（10）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ，下列结论中错误的是 （A ）∃x α∈R,f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若x 0是f （x ）的极值点，则()0'0f x =（11）设抛物线y 2=3px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为（A ）y 2=4x 或y 2=8x （B ）y 2=2x 或y 2=8x （C ）y 2=4x 或y 2=16x （D ）y 2=2x 或y 2=16x（12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（A ）（0，1）(B)112⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭( C) 113⎛⎤⎥ ⎦⎝(D) 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。

2013年高考数学新课标（二）试题分析发表时间：2013-12-23T16:03:38.920Z 来源：《素质教育》2013年9月总第132期供稿作者：郭万生[导读] 实验班、重点班的成绩分布基本上呈正态分布，中间高，两头低；普通班的成绩中等以上学生少，低分学生较多；成绩分布不均衡。

郭万生甘肃省武威第八中学733000一、2013年高考数学试卷总体评价纵观全卷, 与2012年宁夏考的新课标卷对比，其难度有所下降，各题型中规中矩，对平时教学中的重难点知识做了全面考查，没有偏题、怪题、难题，其中选择题简洁平稳,填空题难度适中,解答题层次分明，选择、填空题考查知识点单一,注重了对基础知识、基本方法、基本技能及高中数学主干知识的考查,有利于稳定考生情绪,也有助于考生发挥出自己理想的水平。

而在解答题中,每道题均以多问形式出现,其中第一问相对容易,大多数考生能顺利完成;而第二问难度逐渐加大,灵活性渐强,对知识的迁移和应用知识解决问题的能力要求较高,给个性品质优秀、数学成绩良好的考生留有较大的展示空间。

二、试卷考点内容、所占分值及特点考点1.集合与函数。

考查题目第1、8、12题，分值15分。

其中第1题考集合运算，是会考水平的要求;第8题考对数运算和对数函数，在教材中能找到它的影子，属于教材习题的改编题; 第12题考查数学建模，是一道较难的能力题。

考点2.统计与概率。

考查题目第14、19题，分值17分。

其中，第14题是最基本的古典概型，是一道送分题;第19题以统计为载体考查概率与统计，该题贴近生活，考查学生从大量阅读信息中快速提取数据的能力，是去年高考题的重组题。

考点3.导数应用。

考查题目第10、16、21题分值22分。

其中第10题考查对函数与导数的关系的理解；第16题考查导数的工具性作用，利用导数求数列的最值；第21题考查利用导数研究函数的最值、极值、单调性、不等式及含参问题等知识，考查学生的综合能力，本题具有一定难度，是整个试卷的最高点，给成绩良好的考生提供了展示空间。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(新课改II)(理科)第Ⅰ卷〔选择题 共50分〕一.选择题：本大题共10小题。

每题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

〔1〕已知集合M = {x | (x -1)2 < 4, x ∈R }，N =｛-1, 0, 1, 2, 3｝，则M ∩ N =〔A 〕{0, 1, 2｝ 〔B 〕{-1, 0, 1, 2} 〔C 〕{-1, 0, 2, 3} 〔D 〕{0, 1, 2, 3}答案：A【解】将N 中的元素代入不等式：(x -1)2 < 4进行检验即可. 〔2〕设复数z 满足(1-i )z = 2 i ，则z =〔A 〕-1+ i 〔B 〕-1- i 〔C 〕1+ i 〔D 〕1- i答案：A【解法一】将原式化为z = 2i1- i,再分母实数化即可.【解法二】将各选项一一检验即可.〔3〕等比数列{a n }的的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1 =〔A 〕13〔B 〕- 13〔C 〕19〔D 〕- 19答案：C【解】由S 3 = a 2 +10a 1 ⇒ a 3 = 9a 1 ⇒ q 2 = 9 ⇒ a 1 =a 5q 4 = 19〔4〕已知m , n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β . 直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊂ /α，l ⊂ /β, 则：〔A 〕α∥β且l ∥α 〔B 〕α⊥β且l ⊥β 〔C 〕α与β 相交，且交线垂直于l 〔D 〕α与β 相交，且交线平行于l 答案：D【解】显然α与β 相交，不然α∥β 时⇒ m ∥n 与m , n 为异面矛盾. α与β 相交时，易知交线平行于l .〔5〕已知(1+a x )(1+x )5的展开式中x 2的系数为5，则a = 〔A 〕- 4 〔B 〕- 3〔C 〕- 2 〔D 〕- 1 答案：D 【解】x 2的系数为5 ⇒C 25+a C 15 = 5 ⇒a = - 1〔6〕执行右面的程序框图，如果输入的N =10，那么输出的S =〔A 〕1+ 12 + 13 + … + 110〔B 〕1+ 12! + 13! + … + 110!〔C 〕1+ 12 + 13 + … + 111〔D 〕1+ 12! + 13! + … + 111!答案：B【解】变量T , S , k 的赋值关系分别是：T n+1 =T nk n, S n+1 = S n+ T n+1, k n+1 = k n + 1.( k 0 =1, T 0 = 1, S 0 = 0) ⇒ k n= n + 1, T n= T nTn -1×T n -1T n -2× …×T 1T 0×T 0= 1k n -1×1k n -2×…×1k 0 = 1n !, S n= (S n - S n -1) + (S n -1- S n -2) + … + (S 1- S 0) + S 0 = T n+ T n -1 + … + T 0= 1+12! + 13! + … + 1n !满足k n> N 的最小值为k 10= 11，此时输出的S 为S 10〔7〕一个四面体的顶点在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标分别是(1, 0, 1)，(1, 1, 0〕，(0, 1, 1〕，(0, 0, 0)，画该四面体三视图中的正视图时，以z O x 平面为投影面，则得到正视图可以为答案：A 【解】〔8〕设a = log 36，b = log 510，c = log 714，则〔A 〕c > b > a 〔B 〕b > c > a 〔C 〕a > c > b 〔D 〕a > b > c答案：D【解】a = 1 + log 32，b = 1 + log 52，c = 1 + log 72log 23 < log 25 < log 27 ⇒ log 32 > log 52 > log 72 ⇒ a > b > c〔9〕已知a > 0，x , y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1x + y≤3y ≥a (x - 3) , 假设z =2x + y 的最小值为1，则a =〔A 〕14〔B 〕12〔C 〕1 〔D 〕2 答案：B 【解】如下图，当z =1时，直线2x + y = 1与x = 1的交点C (1, -1) 即为最优解，此时a = k BC = 12(A)(B) (C) (D)l xy C1A (1, 2)B (3, 0)o〔10〕已知函数f (x ) = x 3 + a x 2 + b x + c ，以下结论中错误的选项是〔A 〕 x 0∈R , f (x 0)= 0〔B 〕函数y = f (x )的图像是中心对称图形〔C 〕假设x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(-∞, x 0)单调递减〔D 〕假设x 0是f (x )的极值点，则f '(x 0 ) = 0答案：C【解】f (x ) 的值域为(-∞, +∞), 所以〔A 〕正确； f (x ) = [x 3 + 3x 2• a 3 + 3x •( a 3)2 + ( a 3)3 ]+ b x - 3x •( a 3)2 + c - ( a3)3= (x + a 3)3 + (b - a 23)(x + a 3) + c - ab 3 - 2a 327因为g (x ) = x 3 + (b -a 23)x 是奇函数，图像关于原点对称， 所以f (x ) 的图像关于点(- a 3 , c - ab 3 - 2a 327)对称.所以〔B 〕正确；显然〔C 〕不正确；〔D 〕正确.〔11〕设抛物线C ：y 2 =2p x ( p > 0)的焦点为F ，点M 在C 上，| MF |=5，假设以MF 为直径的圆过点(0, 2)，则C 的方程为 〔A 〕y 2 = 4x 或y 2 = 8x 〔B 〕y 2 = 2x 或y 2 = 8x 〔C 〕y 2 = 4x 或y 2 = 16x 〔D 〕y 2 = 2x 或y 2 = 16x 答案：C【解】设M (x 0, y 0)，由| MF |=5 ⇒ x 0 + p 2 = 5 ⇒ x 0 = 5 - p2圆心N (x 02 + p 4 , y 02 )到y 轴的距离| NK | = x 02 + p 4 = 12| MF |，则圆N 与y 轴相切，切点即为K (0, 2)，且NK 与y 轴垂直⇒ y 0 = 4 ⇒2p (5 - p2 ) = 16 ⇒ p = 2或8 .〔12〕已知点A (-1, 0)，B (1, 0)，C (0, 1)，直线y = a x +b (a > 0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是：〔A 〕(0, 1)〔B 〕(1-22 , 12)〔C 〕(1-22 , 13](D) [ 13 , 12)答案：B【解】情形1：直线y = a x +b 与AC 、BC 相交时，如下图，设MC = m , NC = n , 由条件知S △MNC = 12 ⇒ mn = 1显然0 < n≤ 2 ⇒ m =1n ≥ 22又知0 < m≤ 2 , m ≠n 所以22≤ m ≤ 2 且m ≠1D 到AC 、BC 的距离为t , 则t m + t n = DN MN + DMMN= 1⇒ t = mn m +n ⇒1t = m + 1mf (m ) = m + 1m (22 ≤ m ≤ 2 且m ≠1)的值域为(2, 322 ] ⇒ 2 < 1t ≤322 ⇒ 23 ≤ t < 12因为b =1- CD =1- 2t ，所以1-22 < b ≤ 13情形2：直线y = a x +b 与AB 、BC 相交时，如下图， 易求得x M = - b a , y N = a +b a +1 ,由条件知(1+ b a ) a +ba +1 = 1⇒ b 21-2b= aM 在线段OA 上⇒0< ba <1 ⇒0 < a < bN 在线段BC 上⇒0<a +ba +1<1 ⇒b < 1 解不等式：0 < b 21-2b < b 得 13 < b < 12综上：1-22 < b < 12二、填空题：本大题共4小题，每题5分。

2013年全国高考文科数学试卷分析与点评（全国新课标卷2）作者：邢昌振来源：《吉林省教育学院学报·上旬刊》2013年第12期摘要：今年是吉林省参加全国实行新课标改革的第四年高考，纵观这几年高考试卷的变化，笔者仅就2012和2013两年的试题，在考点内容、试卷特点、考察的重难点、数学思想方法以及新课标高考带给我们的教学思考做了简要的对比分析。

关键词：信度；效度；区分度中图分类号：G622.0 文献标识码：A 文章编号：1671—1580（2013）12—0102—022013年试卷与2012年试卷相比，试题结构大体相同，但试题的难度相比2012年有所降低，因此，绝大部分考生在考完后都表现出极大的兴奋。

一、试卷总体评价2013年高考数学新课标全国卷是以《课程标准》《考试大纲》为依据，试卷的结构保持了新课程高考数学试卷的一贯风格，试题设计体现了“大稳定、小创新”的稳健、成熟设计理念。

今年试卷贴近中学教学实际，在坚持对五个能力、两个意识考查的同时，注重对数学思想与方法的考查，体现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特色。

以支撑学科知识体系的重点内容为考点来挑选合理背景，善于应用知识之间的内在联系进行融合构建试卷的主体结构，在新课程新增内容和传统内容的结合处寻找创新点，考查更加科学。

试卷从多视角、多维度、多层次考查数学思维品质，考查考生对数学本质的理解，考查考生的数学素养和学习潜能。

从考试性质上审视这份试卷，它有利于中学数学教学和课程改革，有利于高校选拔有学习潜能的新生，是具有较高的信度、效度以及必要的区分度和适当的灵活度的可圈可点的试卷。

二、试卷特点评析1.注重基础考查，试题区分度明显纵观全卷，选择题简洁平稳，填空题难度适中，解答题层次分明。

选择、填空题考查知识点单一，注重了对基础知识、基本方法、基本技能及高中数学主干知识的考查，有利于稳定考生情绪，也有助于考生发挥出自己理想的水平。

而在解答题中，每道题均以两问形式出现，其中第一问相对容易，大多数考生能顺利完成；而第二问难度虽然较2012年略有降低，但是灵活性仍然较强，对知识的迁移和应用知识解决问题的能力要求较高，仍然能够体现出考生的个体差异，给个性品质优秀、数学成绩良好的考生留有较大的展示空间。

2013年全国统一高考新课标版Ⅱ卷全国2卷文科数学试卷及参考答案与解析一、选择题：本大题共12小题.每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1.(5分)已知集合M＝{x|－3＜x＜1,x∈R},N＝{－3,－2,－1,0,1},则M∩N＝( )A.{－2,－1,0,1}B.{－3,－2,－1,0}C.{－2,－1,0}D.{－3,－2,－1}2.(5分)＝( )A.2B.2C.D.13.(5分)设x,y满足约束条件,则z＝2x－3y的最小值是( )A.－7B.－6C.－5D.－34.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b＝2,B＝,C＝,则△ABC的面积为( )A.2＋2B.C.2－2D.－15.(5分)设椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点PF2⊥F1F2,∠PF1F2＝30°,则C的离心率为( )A. B. C. D.6.(5分)已知sin2α＝,则cos2(α＋)＝( )A. B. C. D.7.(5分)执行如图的程序框图,如果输入的N＝4,那么输出的S＝( )A.1＋＋＋B.1＋＋＋C.1＋＋＋＋D.1＋＋＋＋8.(5分)设a＝log32,b＝log52,c＝log23,则( )A.a＞c＞bB.b＞c＞aC.c＞a＞bD.c＞b＞a9.(5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为( )A. B. C. D.10.(5分)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|＝3|BF|,则l的方程为( )A.y＝x－1或y＝－x＋1B.y＝(x－1)或 y＝－(x－1)C.y＝(x－1)或 y＝－(x－1)D.y＝(x－1)或 y＝－(x－1)11.(5分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c,下列结论中错误的是( )A.∃x0∈R,f(x)＝0B.函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x )在区间(－∞,x)上单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x)＝012.(5分)若存在正数x使2x(x－a)＜1成立,则a的取值范围是( )A.(－∞,＋∞)B.(－2,＋∞)C.(0,＋∞)D.(－1,＋∞)二、填空题：本大题共4小题,每小题4分.13.(4分)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是.14.(4分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则•＝.15.(4分)已知正四棱锥O－ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为.16.(4分)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后,与函数y＝sin(2x＋)的图象重合,则φ＝.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)已知等差数列{an }的公差不为零,a1＝25,且a1,a11,a13成等比数列.(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.18.(12分)如图,直三棱柱ABC－A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点(Ⅰ)证明：BC1∥平面A1CD；(Ⅱ)AA1＝AC＝CB＝2,AB＝,求三棱锥C－A1DE的体积.19.(12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (Ⅰ)将T表示为X的函数；(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(Ⅰ)求圆心P的轨迹方程；(Ⅱ)若P点到直线y＝x的距离为,求圆P的方程.21.(12分)已知函数f(x)＝x2e－x(Ⅰ)求f(x)的极小值和极大值；(Ⅱ)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.选做题.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,作答时请写清题号.22.【选修4－1几何证明选讲】如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC•AE＝DC•AF,B、E、F、C四点共圆.(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.23.已知动点P、Q都在曲线(β为参数)上,对应参数分别为β＝α与β＝2α(0＜α＜2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.24.(14分)【选修4－－5；不等式选讲】设a,b,c均为正数,且a＋b＋c＝1,证明：(Ⅰ)(Ⅱ).2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题.每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1.(5分)已知集合M＝{x|－3＜x＜1,x∈R},N＝{－3,－2,－1,0,1},则M∩N＝( )A.{－2,－1,0,1}B.{－3,－2,－1,0}C.{－2,－1,0}D.{－3,－2,－1}【分析】找出集合M与N的公共元素,即可求出两集合的交集.【解答】解：∵集合M＝{x|－3＜x＜1,x∈R},N＝{－3,－2,－1,0,1},∴M∩N＝{－2,－1,0}.故选：C.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.(5分)＝( )A.2B.2C.D.1【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果.【解答】解：＝＝＝.故选：C.【点评】本题考查复数的模的求法,考查计算能力.3.(5分)设x,y满足约束条件,则z＝2x－3y的最小值是( )A.－7B.－6C.－5D.－3【分析】先画出满足约束条件：,的平面区域,求出平面区域的各角点,然后将角点坐标代入目标函数,比较后,即可得到目标函数z＝2x－3y的最小值.【解答】解：根据题意,画出可行域与目标函数线如下图所示,由得,由图可知目标函数在点A(3,4)取最小值z＝2×3－3×4＝－6.故选：B.【点评】用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解.4.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b＝2,B＝,C＝,则△ABC的面积为( )A.2＋2B.C.2－2D.－1【分析】由sinB,sinC及b的值,利用正弦定理求出c的值,再求出A的度数,由b,c及sinA 的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.【解答】解：∵b＝2,B＝,C＝,∴由正弦定理＝得：c＝＝＝2,A＝,∴sinA＝sin(＋)＝cos＝,则S△ABC＝bcsinA＝×2×2×＝＋1.故选：B.【点评】此题考查了正弦定理,三角形的面积公式,以及两角和与差的余弦函数公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.5.(5分)设椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点PF2⊥F1F2,∠PF1F2＝30°,则C的离心率为( )A. B. C. D.【分析】设|PF2|＝x,在直角三角形PF1F2中,依题意可求得|PF1|与|F1F2|,利用椭圆离心率的性质即可求得答案.【解答】解：|PF2|＝x,∵PF2⊥F1F2,∠PF1F2＝30°,∴|PF1|＝2x,|F1F2|＝x,又|PF1|＋|PF2|＝2a,|F1F2|＝2c∴2a＝3x,2c＝x,∴C的离心率为：e＝＝. 故选：D.【点评】本题考查椭圆的简单性质,求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键,考查理解与应用能力,属于中档题.6.(5分)已知sin2α＝,则cos2(α＋)＝( )A. B. C. D.【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简,再利用诱导公式变形,将已知等式代入计算即可求出值.【解答】解：∵sin2α＝,∴cos2(α＋)＝[1＋cos(2α＋)]＝(1－sin2α)＝×(1－)＝.故选：A.【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式,以及诱导公式的作用,熟练掌握公式是解本题的关键.7.(5分)执行如图的程序框图,如果输入的N＝4,那么输出的S＝( )A.1＋＋＋B.1＋＋＋C.1＋＋＋＋D.1＋＋＋＋【分析】由程序中的变量、各语句的作用,结合流程图所给的顺序可知当条件满足时,用S＋的值代替S得到新的S,并用k＋1代替k,直到条件不能满足时输出最后算出的S值,由此即可得到本题答案.【解答】解：根据题意,可知该按以下步骤运行第一次：S＝1,第二次：S＝1＋,第三次：S＝1＋＋,第四次：S＝1＋＋＋.此时k＝5时,符合k＞N＝4,输出S的值.∴S＝1＋＋＋故选：B.【点评】本题主要考查了直到型循环结构,循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构,以及表格法的运用,属于基础题.8.(5分)设a＝log32,b＝log52,c＝log23,则( )A.a＞c＞bB.b＞c＞aC.c＞a＞bD.c＞b＞a【分析】判断对数值的范围,然后利用换底公式比较对数式的大小即可.【解答】解：由题意可知：a＝log32∈(0,1),b＝log52∈(0,1),c＝log23＞1,所以a＝log32,b＝log52＝,所以c＞a＞b,故选：C.【点评】本题考查对数值的大小比较,换底公式的应用,基本知识的考查.9.(5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为( )A. B. C. D.【分析】由题意画出几何体的直观图,然后判断以zOx平面为投影面,则得到正视图即可. 【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),几何体的直观图如图,是正方体的顶点为顶点的一个正四面体,所以以zOx平面为投影面,则得到正视图为：故选：A.【点评】本题考查几何体的三视图的判断,根据题意画出几何体的直观图是解题的关键,考查空间想象能力.10.(5分)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|＝3|BF|,则l的方程为( )A.y＝x－1或y＝－x＋1B.y＝(x－1)或 y＝－(x－1)C.y＝(x－1)或 y＝－(x－1)D.y＝(x－1)或 y＝－(x－1)【分析】根据题意,可得抛物线焦点为F(1,0),由此设直线l方程为y＝k(x－1),与抛物线方程联解消去x,得－y－k＝0.再设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系和|AF|＝3|BF|,建立关于y1、y2和k的方程组,解之可得k值,从而得到直线l的方程.【解答】解：∵抛物线C方程为y2＝4x,可得它的焦点为F(1,0), ∴设直线l方程为y＝k(x－1)由消去x,得－y－k＝0设A(x1,y1),B(x2,y2),可得y1＋y2＝,y1y2＝－4…(*)∵|AF|＝3|BF|,∴y1＋3y2＝0,可得y1＝－3y2,代入(*)得－2y2＝且－3y22＝－4,消去y2得k2＝3,解之得k＝∴直线l方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1) 故选：C.【点评】本题给出抛物线的焦点弦AB被焦点F分成1：3的两部分,求直线AB的方程,着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识,属于中档题.11.(5分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c,下列结论中错误的是( )A.∃x0∈R,f(x)＝0B.函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x )在区间(－∞,x)上单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x)＝0【分析】对于A,对于三次函数f(x )＝x3＋ax2＋bx＋c,由于当x→－∞时,y→－∞,当x→＋∞时,y→＋∞,故在区间(－∞,＋∞)肯定存在零点；对于B,根据对称变换法则,求出对应中心坐标,可以判断；对于C：采用取特殊函数的方法,若取a＝－1,b＝－1,c＝0,则f(x)＝x3－x2－x,利用导数研究其极值和单调性进行判断；D：若x0是f(x)的极值点,根据导数的意义,则f′(x)＝0,正确.【解答】解：A、对于三次函数f (x )＝x3＋ax2＋bx＋c,A：由于当x→－∞时,y→－∞,当x→＋∞时,y→＋∞,故∃x0∈R,f(x)＝0,故A正确；B、∵f(－－x)＋f(x)＝(－－x)3＋a(－－x)2＋b(－－x)＋c＋x3＋ax2＋bx＋c＝－＋2c,f(－)＝(－)3＋a(－)2＋b(－)＋c＝－＋c,∵f(－－x)＋f(x)＝2f(－),∴点P(－,f(－))为对称中心,故B正确.C、若取a＝－1,b＝－1,c＝0,则f(x)＝x3－x2－x,对于f(x)＝x3－x2－x,∵f′(x)＝3x2－2x－1∴由f′(x)＝3x2－2x－1＞0得x∈(－∞,－)∪(1,＋∞)由f′(x)＝3x2－2x－1＜0得x∈(－,1)∴函数f(x)的单调增区间为：(－∞,－),(1,＋∞),减区间为：(－,1), 故1是f(x)的极小值点,但f(x )在区间(－∞,1)不是单调递减,故C错误；D：若x0是f(x)的极值点,根据导数的意义,则f′(x)＝0,故D正确.由于该题选择错误的,故选：C.【点评】本题考查了导数在求函数极值中的应用,利用导数求函数的单调区间,及导数的运算.12.(5分)若存在正数x使2x(x－a)＜1成立,则a的取值范围是( )A.(－∞,＋∞)B.(－2,＋∞)C.(0,＋∞)D.(－1,＋∞)【分析】转化不等式为,利用x是正数,通过函数的单调性,求出a的范围即可.【解答】解：因为2x(x－a)＜1,所以,函数y＝是增函数,x＞0,所以y＞－1,即a＞－1,所以a的取值范围是(－1,＋∞).故选：D.【点评】本题考查不等式的解法,函数单调性的应用,考查分析问题解决问题的能力.二、填空题：本大题共4小题,每小题4分.13.(4分)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是0.2 .【分析】由题意结合组合数公式可得总的基本事件数,再找出和为5的情形,由古典概型的概率公式可得答案.【解答】解：从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数共有＝10种情况,和为5的有(1,4)(2,3)两种情况,故所求的概率为：＝0.2故答案为：0.2【点评】本题考查古典概型及其概率公式,属基础题.14.(4分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则•＝ 2 .【分析】根据两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,可得要求的式子为()•(),再根据两个向量垂直的性质,运算求得结果.【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则＝0,故＝( )•()＝()•()＝－＋－＝4＋0－0－＝2,故答案为 2.【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量垂直的性质,属于中档题.15.(4分)已知正四棱锥O－ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为24π.【分析】先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥O－ABCD的高,再利用直角三角形求出正四棱锥O－ABCD的侧棱长OA,最后根据球的表面积公式计算即得.【解答】解：如图,正四棱锥O－ABCD的体积V＝sh＝(×)×OH＝,∴OH＝,在直角三角形OAH中,OA＝＝＝所以表面积为4πr2＝24π；故答案为：24π.【点评】本题考查锥体的体积、球的表面积计算,考查学生的运算能力,属基础题.16.(4分)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后,与函数y＝sin(2x＋)的图象重合,则φ＝.【分析】根据函数图象平移的公式,可得平移后的图象为y＝cos[2(x－)＋φ]的图象,即y＝cos(2x＋φ－π)的图象.结合题意得函数y＝sin(2x＋)＝的图象与y ＝cos(2x＋φ－π)图象重合,由此结合三角函数的诱导公式即可算出φ的值.【解答】解：函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后,得平移后的图象的函数解析式为y＝cos[2(x－)＋φ]＝cos(2x＋φ－π),而函数y＝sin(2x＋)＝,由函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后,与函数y＝sin(2x＋)的图象重合,得2x＋φ－π＝,解得：φ＝.符合－π≤φ＜π.故答案为.【点评】本题给出函数y＝cos(2x＋φ)的图象平移,求参数φ的值.着重考查了函数图象平移的公式、三角函数的诱导公式和函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换等知识,属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)已知等差数列{an }的公差不为零,a1＝25,且a1,a11,a13成等比数列.(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.【分析】(I)设等差数列{an}的公差为d≠0,利用成等比数列的定义可得,,再利用等差数列的通项公式可得,化为d(2a1＋25d)＝0,解出d即可得到通项公式an；(II)由(I)可得a3n－2＝－2(3n－2)＋27＝－6n＋31,可知此数列是以25为首项,－6为公差的等差数列.利用等差数列的前n项和公式即可得出a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.【解答】解：(I)设等差数列{an}的公差为d≠0,由题意a1,a11,a13成等比数列,∴,∴,化为d(2a1＋25d)＝0,∵d≠0,∴2×25＋25d＝0,解得d＝－2.∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.(II)由(I)可得a3n－2＝－2(3n－2)＋27＝－6n＋31,可知此数列是以25为首项,－6为公差的等差数列.∴Sn ＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2＝＝＝－3n2＋28n.【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式是解题的关键.18.(12分)如图,直三棱柱ABC－A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点(Ⅰ)证明：BC1∥平面A1CD；(Ⅱ)AA1＝AC＝CB＝2,AB＝,求三棱锥C－A1DE的体积.【分析】(Ⅰ)连接AC1交A1C于点F,则DF为三角形ABC1的中位线,故DF∥BC1.再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD.(Ⅱ)由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形,由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1.求得CD的值,利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值,可得A1D⊥DE.进而求得的值,再根据三棱锥C－A1DE的体积为••CD,运算求得结果.【解答】解：(Ⅰ)证明：连接AC1交A1C于点F,则F为AC1的中点.∵直棱柱ABC－A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,故DF为三角形ABC1的中位线,故DF∥BC1.由于DF⊂平面A1CD,而BC1不在平面A1CD中,故有BC1∥平面A1CD.(Ⅱ)∵AA1＝AC＝CB＝2,AB＝2,故此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形.由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1,∴CD＝＝.∵A1D＝＝,同理,利用勾股定理求得 DE＝,A1E＝3.再由勾股定理可得＋DE2＝,∴A1D⊥DE.∴＝＝,∴＝••CD＝1.【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用,求三棱锥的体积,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.19.(12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (Ⅰ)将T表示为X的函数；(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.【分析】(I)由题意先分段写出,当X∈[100,130)时,当X∈[130,150)时,和利润值,最后利用分段函数的形式进行综合即可.(II)由(I)知,利润T不少于57000元,当且仅当120≤X≤150.再由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值.【解答】解：(I)由题意得,当X∈[100,130)时,T＝500X－300(130－X)＝800X－39000,当X∈[130,150]时,T＝500×130＝65000,∴T＝.(II)由(I)知,利润T不少于57000元,当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力,求解的重点是对题设条件及直方图的理解,了解直方图中每个小矩形的面积的意义.20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(Ⅰ)求圆心P的轨迹方程；(Ⅱ)若P点到直线y＝x的距离为,求圆P的方程.【分析】(Ⅰ)由题意,可直接在弦心距、弦的一半及半径三者组成的直角三角形中利用勾股定理建立关于点P的横纵坐标的方程,整理即可得到所求的轨迹方程；(Ⅱ)由题,可先由点到直线的距离公式建立关于点P的横纵坐标的方程,将此方程与(I)所求的轨迹方程联立,解出点P的坐标,进而解出圆的半径即可写出圆P的方程.【解答】解：(Ⅰ)设圆心P(x,y),由题意得圆心到x轴的距离与半径之间的关系为2＝－y2＋r2,同理圆心到y轴的距离与半径之间的关系为3＝－x2＋r2,由两式整理得x2＋3＝y2＋2,整理得y2－x2＝1即为圆心P的轨迹方程,此轨迹是等轴双曲线(Ⅱ)由P点到直线y＝x的距离为得,＝,即|x－y|＝1,即x＝y＋1或y＝x＋1,分别代入y2－x2＝1解得P(0,－1)或P(0,1)若P(0,－1),此时点P在y轴上,故半径为,所以圆P的方程为(y＋1)2＋x2＝3；若P(0,1),此时点P在y轴上,故半径为,所以圆P的方程为(y－1)2＋x2＝3；综上,圆P的方程为(y＋1)2＋x2＝3或(y－1)2＋x2＝3【点评】本题考查求轨迹方程的方法解析法及点的直线的距离公式、圆的标准方程与圆的性质,解题的关键是理解圆的几何特征,将几何特征转化为方程21.(12分)已知函数f(x)＝x2e－x(Ⅰ)求f(x)的极小值和极大值；(Ⅱ)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.【分析】(Ⅰ)利用导数的运算法则即可得出f′(x),利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义,即可求出函数的极值；(Ⅱ)利用导数的几何意义即可得到切线的斜率,得出切线的方程,利用方程求出与x轴交点的横坐标,再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可.【解答】解：(Ⅰ)∵f(x)＝x2e－x,∴f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2),令f′(x)＝0,解得x＝0或x＝2,令f′(x)＞0,可解得0＜x＜2；令f′(x)＜0,可解得x＜0或x＞2,故函数在区间(－∞,0)与(2,＋∞)上是减函数,在区间(0,2)上是增函数.∴x＝0是极小值点,x＝2极大值点,又f(0)＝0,f(2)＝.故f(x)的极小值和极大值分别为0,.(Ⅱ)设切点为(),则切线方程为y－＝(x－x),令y＝0,解得x＝＝,∵曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数,∴(＜0,∴x0＜0或x＞2,令,则＝.①当x0＜0时,0,即f′(x)＞0,∴f(x)在(－∞,0)上单调递增,∴f(x)＜f(0)＝0；②当x0＞2时,令f′(x)＝0,解得.当时,f′(x0)＞0,函数f(x)单调递增；当时,f′(x)＜0,函数f(x)单调递减.故当时,函数f(x)取得极小值,也即最小值,且＝.综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是(－∞,0)∪.【点评】本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域,综合性强,考查了推理能力和计算能力.选做题.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,作答时请写清题号.22.【选修4－1几何证明选讲】如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC•AE＝DC•AF,B、E、F、C四点共圆.(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.【分析】(1)已知CD为△ABC外接圆的切线,利用弦切角定理可得∠DCB＝∠A,及BC•AE＝DC•AF,可知△CDB∽△AEF,于是∠CBD＝∠AFE.利用B、E、F、C四点共圆,可得∠CFE＝∠DBC,进而得到∠CFE＝∠AFE＝90°即可证明CA是△ABC外接圆的直径；(2)要求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.只需求出其外接圆的直径的平方之比即可.由过B、E、F、C四点的圆的直径为CE,及DB＝BE,可得CE＝DC,利用切割线定理可得DC2＝DB•DA,CA2＝CB2＋BA2,都用DB表示即可.【解答】(1)证明：∵CD为△ABC外接圆的切线,∴∠DCB＝∠A,∵BC•AE＝DC•AF,∴.∴△CDB∽△AEF,∴∠CBD＝∠AFE.∵B、E、F、C四点共圆,∴∠CFE＝∠DBC,∴∠CFE＝∠AFE＝90°.∴∠CBA＝90°,∴CA是△ABC外接圆的直径；(2)连接CE,∵∠CBE＝90°,∴过B、E、F、C四点的圆的直径为CE,由DB＝BE,得CE＝DC,又BC2＝DB•BA＝2DB2,∴CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB•DA＝3DB2,故过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC面积的外接圆的面积比值＝＝.【点评】熟练掌握弦切角定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆的性质、直径的判定、切割线定理、勾股定理等腰三角形的性质是解题的关键.23.已知动点P、Q都在曲线(β为参数)上,对应参数分别为β＝α与β＝2α(0＜α＜2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.【分析】(1)利用参数方程与中点坐标公式即可得出；(2)利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性即可得出.【解答】解：(1)依题意有P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),因此M(cosα＋cos2α,sinα＋sin2α).M 的轨迹的参数方程为为参数,0＜α＜2π).(2)M点到坐标原点的距离d ＝(0＜α＜2π).当α＝π时,d＝0,故M的轨迹过坐标原点.【点评】本题考查了参数方程与中点坐标公式、两点之间的距离公式、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.24.(14分)【选修4－－5；不等式选讲】设a,b,c均为正数,且a＋b＋c＝1,证明：(Ⅰ)(Ⅱ).【分析】(Ⅰ)依题意,由a＋b＋c＝1⇒(a＋b＋c)2＝1⇒a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1,利用基本不等式可得3(ab＋bc＋ca)≤1,从而得证；(Ⅱ)利用基本不等式可证得：＋b≥2a,＋c≥2b,＋a≥2c,三式累加即可证得结论.【解答】证明：(Ⅰ)由a2＋b2≥2ab,b2＋c2≥2bc,c2＋a2≥2ca得：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca,由题设得(a＋b＋c)2＝1,即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1,所以3(ab＋bc＋ca)≤1,即ab＋bc＋ca ≤.(Ⅱ)因为＋b≥2a,＋c≥2b,＋a≥2c,故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c),即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.【点评】本题考查不等式的证明,突出考查基本不等式与综合法的应用,考查推理论证能力,属于中档题.第21页，共21页。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(全国卷II 新课标)解析1.答案：A解析：解不等式(x －1)2＜4,得－1＜x ＜3,即M ＝{x |－1＜x ＜3}．而N ＝{－1,0,1,2,3},所以M ∩N ＝{0,1,2},故选A.2.答案：A 解析：2i 2i 1i =1i 1i 1i z (+)=-(-)(+)＝22i 2-+＝－1＋i. 3.答案：C解析：设数列{a n }的公比为q ,若q ＝1,则由a 5＝9,得a 1＝9,此时S 3＝27,而a 2＋10a 1＝99,不满足题意,因此q ≠1.∵q ≠1时,S 3＝31(1)1a q q --＝a 1·q ＋10a 1,∴311q q--＝q ＋10,整理得q 2＝9. ∵a 5＝a 1·q 4＝9,即81a 1＝9,∴a 1＝19. 4.答案：D解析：因为m ⊥α,l ⊥m ,l α,所以l ∥α.同理可得l ∥β. 又因为m ,n 为异面直线,所以α与β相交,且l 平行于它们的交线．故选D.5.答案：D解析：因为(1＋x )5的二项展开式的通项为5C r rx (0≤r ≤5,r ∈Z ),则含x 2的项为225C x ＋ax ·15C x ＝(10＋5a )x 2,所以10＋5a ＝5,a ＝－1. 6.答案：B解析：由程序框图知,当k ＝1,S ＝0,T ＝1时,T ＝1,S ＝1； 当k ＝2时,12T =,1=1+2S ； 当k ＝3时,123T =⨯,111+223S =+⨯； 当k ＝4时,1234T =⨯⨯,1111+223234S =++⨯⨯⨯；…； 当k ＝10时,123410T =⨯⨯⨯⨯L ,1111+2!3!10!S =+++L ,k 增加1变为11,满足k ＞N ,输出S ,所以B 正确．7.答案：A解析：如图所示,该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图像为下图：则它在平面zOx 上的投影即正视图为,故选A.8.答案：D 解析：根据公式变形,lg 6lg 21lg 3lg 3a ==+,lg10lg 21lg 5lg 5b ==+,lg14lg 21lg 7lg 7c ==+,因为lg 7＞lg 5＞lg 3,所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg 5lg 3<<,即c ＜b ＜a .故选D. 9.答案：B解析：由题意作出1,3x x y ≥⎧⎨+≤⎩所表示的区域如图阴影部分所示,作直线2x ＋y ＝1,因为直线2x ＋y ＝1与直线x ＝1的交点坐标为(1,－1),结合题意知直线y ＝a (x －3)过点(1,－1),代入得12a =,所以12a =.10.答案：C解析：∵x 0是f (x )的极小值点,则y ＝f (x )的图像大致如下图所示,则在(－∞,x 0)上不单调,故C 不正确．11.答案：C解析：设点M 的坐标为(x 0,y 0),由抛物线的定义,得|MF |＝x 0＋2p ＝5,则x 0＝5－2p .又点F 的坐标为,02p⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以以MF 为直径的圆的方程为(x －x 0)2p x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋(y －y 0)y ＝0. 将x ＝0,y ＝2代入得px 0＋8－4y 0＝0,即202y －4y 0＋8＝0,所以y 0＝4.由20y ＝2px 0,得16252p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,解之得p ＝2,或p ＝8.所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .故选C. 12.答案：B二．填空题13.答案：2解析：以AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,如图所示,则点A 的坐标为(0,0),点B 的坐标为(2,0),点D 的坐标为(0,2),点E 的坐标为(1,2),则AE u u u r ＝(1,2),BD u u u r＝(－2,2),所以2AE BD ⋅=u u u r u u u r.14.答案：8解析：从1,2,…,n 中任取两个不同的数共有2C n 种取法,两数之和为5的有(1,4),(2,3)2种,所以221C 14n =,即24111142n n n n ==(-)(-),解得n ＝8.15.答案：5-解析：由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭,得tan θ＝13-,即sin θ＝13-cos θ. 将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1,得210cos 19θ=.因为θ为第二象限角,所以cos θ＝10-,sin θ＝10,sinθ＋cos θ＝. 16.答案：－49解析：设数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则S 10＝1109102a d ⨯＋＝10a 1＋45d ＝0,①S 15＝11514152a d ⨯+＝15a 1＋105d ＝25.② 联立①②,得a 1＝－3,23d =, 所以S n ＝2(1)211032333n n n n n --+⨯=-. 令f (n )＝nS n ,则32110()33f n n n =-,220'()3f n n n =-. 令f ′(n )＝0,得n ＝0或203n =. 当203n >时,f ′(n )＞0,200<<3n 时,f ′(n )＜0,所以当203n =时,f (n )取最小值,而n ∈N ＋,则f (6)＝－48,f (7)＝－49,所以当n ＝7时,f (n )取最小值－49.三．简答题 17.解：(1)由已知及正弦定理得 sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ．① 又A ＝π－(B ＋C ),故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①,②和C ∈(0,π)得sin B ＝cos B ,又B ∈(0,π),所以π4B =. (2)△ABC 的面积12sin 24S ac B ac ==. 由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－π2cos 4ac . 又a 2＋c 2≥2ac ,故22ac ≤-,当且仅当a ＝c 时,等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为2+1.18.解：(1)连结AC 1交A 1C 于点F ,则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点,连结DF ,则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ,BC 1平面A 1CD , 所以BC 1∥平面A 1CD .(2)由AC ＝CB ＝22AB 得,AC ⊥BC . 以C为坐标原点,CA uu u r的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CA ＝2,则D (1,1,0),E (0,2,1),A 1(2,0,2),CD uuu r＝(1,1,0),CE uuu r ＝(0,2,1),1CA u u u r＝(2,0,2)．设n ＝(x 1,y 1,z 1)是平面A 1CD 的法向量,则10,0,CD CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即11110,220.x y x z +=⎧⎨+=⎩可取n ＝(1,－1,－1)． 同理,设m 是平面A 1CE 的法向量,则10,0,CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m 可取m ＝(2,1,－2)． 从而cos 〈n ,m〉＝||||3=·n m n m 故sin 〈n ,m〉＝3即二面角D －A 1C －E的正弦值为319.解：(1)当X ∈[100,130)时,T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000,当X ∈[130,150]时,T ＝500×130＝65 000.所以80039000,100130,65000,130150.X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150. 由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T 的分布列为T45 000 53 000 61 000 65 000P0.1 0.20.3 0.4所以ET ＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.20.解：(1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 0,y 0),则221122=1x y a b +,222222=1x y a b+,2121=1y yx x ---,由此可得2212122121=1b x x y ya y y x x (+)-=-(+)-.因为x 1＋x 2＝2x 0,y 1＋y 2＝2y 0,0012y x =, 所以a 2＝2b 2.又由题意知,M 的右焦点为故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6,b 2＝3.所以M 的方程为22=163x y +.(2)由220,1,63x y x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩解得,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩因此|AB |. 由题意可设直线CD 的方程为y＝3x n n ⎛+-<< ⎝, 设C (x 3,y 3),D (x 4,y 4)．由22,163y x n x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0. 于是x 3,4.因为直线CD 的斜率为1, 所以|CD |43|x x -=. 由已知,四边形ACBD的面积1||||2S CD AB =⋅=. 当n ＝0时,S 取得最大值,. 所以四边形ACBD面积的最大值为3.21.解：(1)f ′(x )＝1e x x m-+. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0,所以m ＝1.于是f (x )＝e x －ln(x ＋1),定义域为(－1,＋∞),f ′(x )＝1e 1x x -+. 函数f ′(x )＝1e 1x x -+在(－1,＋∞)单调递增,且f ′(0)＝0. 因此当x ∈(－1,0)时,f ′(x )＜0； 当x ∈(0,＋∞)时,f ′(x )＞0.所以f (x )在(－1,0)单调递减,在(0,＋∞)单调递增． (2)当m ≤2,x ∈(－m ,＋∞)时,ln(x ＋m )≤ln(x ＋2),故只需证明当m ＝2时,f (x )＞0.当m ＝2时,函数f ′(x )＝1e 2x x -+在(－2,＋∞)单调递增． 又f ′(－1)＜0,f ′(0)＞0,故f ′(x )＝0在(－2,＋∞)有唯一实根x 0,且x 0∈(－1,0)． 当x ∈(－2,x 0)时,f ′(x )＜0；当x ∈(x 0,＋∞)时,f ′(x )＞0,从而当x ＝x 0时,f (x )取得最小值．由f ′(x 0)＝0得0e x ＝012x +,ln(x 0＋2)＝－x 0, 故f (x )≥f (x 0)＝012x +＋x 0＝20012x x (+)+＞0.综上,当m ≤2时,f (x )＞0.22.解：(1)因为CD 为△ABC 外接圆的切线, 所以∠DCB ＝∠A ,由题设知BC DCFA EA=, 故△CDB ∽△AEF ,所以∠DBC ＝∠EFA . 因为B ,E ,F ,C 四点共圆, 所以∠CFE ＝∠DBC , 故∠EFA ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝90°,因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)连结CE ,因为∠CBE ＝90°,所以过B ,E ,F ,C 四点的圆的直径为CE ,由DB ＝BE ,有CE ＝DC ,又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2,所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2,故过B ,E ,F ,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.23.解：(1)依题意有P (2cos α,2sin α),Q (2cos 2α,2sin 2α),因此M (cos α＋cos 2α,sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数,0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ==＜α＜2π)． 当α＝π时,d ＝0,故M 的轨迹过坐标原点．解：(1)由a 2＋b 2≥2ab ,b 2＋c 2≥2bc ,c 2＋a 2≥2ca ,得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1,即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1,即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为22a b a b +≥,22b c b c +≥,22c a c a+≥, 故222()a b c a b c b c a+++++≥2(a ＋b ＋c ), 即222a b c b c a++≥a ＋b ＋c . 所以222a b c b c a++≥1.。

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类、选择题：本大题共 （ 全国新课标卷 II ）第Ⅰ卷12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 21）已知集合 M ＝{x |（ x － 1） 2< 4， x ∈ R} ，N ＝{－1,0,1,2,3} B ．{ －1,0,1,2} C ．{ －1,0,2,3} D 1． （2013 课标全国Ⅱ，理 A ．{0,1,2} 2． （2013 课标全国Ⅱ，理 2）设复数 z 满足（1 － i ） z ＝2i ，则 z ＝（ A ．－1＋i B ．－ 1－I C3．（2013 课标全国Ⅱ，理 3）等比数列 { a n }的前 n 项和为 11A ． 3B ． 3C 4．（2013 课标全国Ⅱ， 理 4） 已知 m ，n 为异面直线， m ⊥平面 l β，则 （ A ．α∥ β 且 l ∥α B，则 M ∩N ＝( ) ． ．{0,1,2,3} )． ． 1＋i D ．1－i S n . 已知 S 3＝ a 2＋ 10a 1，a 5＝ 9， 1． 9 D α ，n ⊥平面 β . 直线 l 满足 l )．．α⊥β 且 l ⊥ β则 a 1＝（ ） ．⊥m ，l ⊥n ，l α， C ． α 与 β 相交，且交线垂直于 l D ． α 与 β 相交，且交线平行于 5．（2013 课标全国Ⅱ，理 5）已知（1 ＋ ax ）（1 ＋ x ） 5的展开式中 x 2的系数为 5，则a ＝（ ．－ 1 N ＝ 10，那么输出的 S A ．－4 B ．－ 3 C ．－ 2 D6．（2013 课标全国Ⅱ，理 6） 执行下面的程序框图，如果输入的 ＝（）．A． 2 3 101+ 1 11B ．2! 3!10!1+1 111C ． 2 3111+1 1 1 1D 2! 3! 11 1+1 11 l )． 7．（2013 课标全国Ⅱ，理 7） 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 （0,1,1） ，（0,0,0） O － xyz 中的坐标分别是 (1,0,1) ，(1,1,0) ，( ) ．8．（2013 课标全国Ⅱ，理 8）设 a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则（ ）．． a > c > b D ． a > b > cx 1,x y 3, 若 z ＝ 2x ＋y 的最小值为 1，则 y a x 3 .A ．c >b > aB ．b >c > a C9． （2013 课标全国Ⅱ，理 9） 已知a >0，x ， y 满足约束条件 a ＝( 1 ．2）． 1 A ． 4 ． 1 D ．210．(2013 课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x) ＝x 3＋ax2＋bx＋ c ，下列结论中错误的是( )．A．x0∈R，f(x0) ＝0B．函数y ＝f(x) 的图像是中心对称图形C．若x0 是f(x) 的极小值点，则f(x) 在区间( －∞，x0) 单调递减D．若x0 是f(x) 的极值点，则f′ (x0) ＝011．(2013 课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px( p> 0)的焦点为F，点M在C上，| MF| ＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2) ，则C的方程为( ) ．A．y2 ＝4x 或y2＝8x B ．y2＝2x 或y2＝8xC．y2＝4x 或y2＝16x D ．y2＝2x 或y2＝16x12．(2013 课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0) ，B(1,0) ，C(0,1) ，直线y＝ax＋b(a>0)将△ ABC分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是( ) ．12 , 11,12 ,11,1,1 A．(0,1) B．2 2 C ． 2 3 D ．3,2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。

感谢倾听2013 年全国新课标 2 卷理数试题答案及分析一、选择题：本大题共10 小题。

每题 5分，共 50 分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。

（1 ）已知会合 M= ｛ x|(x-1)2 < 4,x ∈R｝， N= ｛ -1， 0， 1， 2 ， 3｝，则 M ∩ N=（）（A ）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C ）{-1 ，0，2，3} （D）{0，1，2，3}答案： A[ 分析 ]该题主要考察会合交集运算与不等式的解法，由 M{ x | ( x1) 24, x R}{ x |1x 3} 因此由交集的定义可知M N { 0,1,2}（2 ）设复数 z知足（ 1-i） z=2 i ，则 z=（）（A ） -1+i（ B） -1-i（ C ） 1+i（ D ）1-i答案： A[ 分析 ]此题主要考察复数的基本运算，由题目中的表达式可得z2i2i (1i) 1 i(1i)(11 i i )（3 ）等比数列｛ an ｝的前 n 项和为Sn，已知S3a210a1， a59 ，则 a1（）（A）1（B ）1（C）1（ D）1 3399答案： C[ 分析 ]此题主要考察等比数列的基本公式的运用，由题中S3 a210a1得出 a1a2 a3a210a1，进而就有a3 9a1q2a39 ，又由 a5a1 q49a11a194、已知m, n为异面直线，m平面，n平面。

直线 l 知足 l m ，l n ，l，l，则（）（A）//且 l / /（B ）且 l（C）与订交，且交线垂直于 l（D ）与订交，且交线平行于l答案： D[ 分析 ]此题主要考察空间线面关系的判断，若//，由题中条件可知 m// n ，与题中 m, n 为异面直线矛盾，故 A 错；若l则有 l // n ，与题设条件 l n 矛盾，故B错；因为m, n，则 m, n 都垂直于,的交线，而 m和n 是两条异面直线，可将m平移至与n订交，此时确立一个平面，则,的交线垂直于感谢倾听（5）已知 (1 ax)(1 x) 5 的睁开式中 x 2 的系数为 5 ，则 a =（A ）-4 （B ） -3（C ）-2（D ）-1答案： D[ 分析 ]此题考察二项式睁开式中各项系数确实定，因为 (1 x)5的睁开式中的通项可表示为 Tr 1C 5r x r ，从而有 (1x)5 中 x 2与 x 的系数分别为 C 5210和C 515 ，因此原式 (1 ax)(1 x)5(1 x) 5 ax (1 x)5 中x 2系数为10 5a 5 .a 1（ 6）履行右边的程序框图，假如输入的 N=10，那么输出的 s=履行右边的程序框图，假如输入的 N 10 ，那么输出的 S （ ）（A ）111 1 23 10 1 1 1 （B ）13! 10! 2! 11 1 （C ） 13 11 2（D ）111 1 2!3!11!答案： B[ 分析 ]该题考察程序的输出结果， 要点是认识算法中循环构造的功能，TT1k的计算结果是N 10 时， k11时结束循环，因此， S S T 是乞降的算法语句，联合以上两点，当k!应当选 B 。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝( )．A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )．A．－1＋i B．－1－I C．1＋i D．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )．A．13 B．13-C．19 D．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则( )．A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )．A．－4 B．－3 C．－2 D．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝( )．A．111 1+2310+++B．111 1+2!3!10!+++C．111 1+2311+++D．111 1+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )．A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a＞0，x，y满足约束条件1,3,3.xx yy a x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )．A ．14B ．12 C ．1 D ．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )．A ．∃x0∈R ，f(x0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D ．若x0是f(x)的极值点，则f ′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )．A ．y2＝4x 或y2＝8xB ．y2＝2x 或y2＝8xC ．y2＝4x 或y2＝16xD ．y2＝2x 或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )．A ．(0,1) B．1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C．1123⎛⎤- ⎥ ⎝⎦ D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第1页，总16页2013年全国高考理数真题试卷（新课标Ⅱ卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题i ）z=2i ，则z=（ ） A.﹣1+i B.﹣1﹣i C.1+i D.1﹣i2.等比数列{a n }的前n 项和为S n ， 已知S 3=a 2+10a 1 ， a 5=9，则a 1=（ ） A.13 B.- 13 C.19 D.- 193.已知（1+ax ）（1+x ）5的展开式中x 2的系数为5，则a=（ ） A.﹣4 B.﹣3 C.﹣2 D.﹣14.已知a ＞0，实数x ，y 满足： {x ≥1x +y ≤3y ≥a(x −3)，若z=2x+y 的最小值为1，则a=（ ）A.2B.1C.12 D.145.已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c ，下列结论中错误的是（ ） A.∃x α∈R，f （x α）=0B.函数y=f （x ）的图象是中心对称图形C.若x α是f （x ）的极小值点，则f （x ）在区间（﹣∞，x α）单调递减D.若x α是f （x ）的极值点，则f′（x α）=06.设抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为（ ） A.y 2=4x 或y 2=8x答案第2页，总16页…外…………○…………装…※※请※※不※※要※…内…………○…………装…B.y 2=2x 或y 2=8x C.y 2=4x 或y 2=16x D.y 2=2x 或y 2=16x7.已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y=ax+b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） A.（0，1） B.(1−√22,12) C.(1−√22,13]D.[13,12)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）8.从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为 114 ，则n= ．9.设θ为第二象限角，若 tan(θ+π4)=12，则sinθ+cosθ= ．10.等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 已知S 10=0，S 15=25，则nS n 的最小值为 ．三、解答题（题型注释）11.△ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB ． （1）求B ；（2）若b=2，求△ABC 面积的最大值．12.如图，直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1=AC=CB= √22 AB ．（1）证明：BC 1∥平面A 1CD（2）求二面角D ﹣A 1C ﹣E 的正弦值．13.经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品．以x （单位：t ，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．第3页，总16页…○…………装…………………○…………线…………○…学校:___________姓名：_______：___________…○…………装…………………○…………线…………○…（1）将T 表示为x 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T 的数学期望． 14.平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ： x 2a 2+y 2b 2=1 （a ＞b ＞0）右焦点的直线x+y ﹣ √3 =0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为 12 ．（1）求M 的方程（2）C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值． 15.已知函数f （x ）=e x ﹣ln （x+m ）（1）设x=0是f （x ）的极值点，求m ，并讨论f （x ）的单调性； （2）当m≤2时，证明f （x ）＞0． 16.【选修4﹣1几何证明选讲】如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC•AE=DC•AF，B 、E 、F 、C 四点共圆．（1）证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；（2）若DB=BE=EA ，求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值． 17.选修4﹣﹣4；坐标系与参数方程 已知动点P ，Q 都在曲线C ： {x =2cosβy =2sinβ(β为参数) 上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点． （1）求M 的轨迹的参数方程（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 18.【选修4﹣﹣5；不等式选讲】设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：答案第4页，总16页（1）ab +bc +ca ≤13（2）a 2b+b 2c+c 2a≥1 ．第5页，总16页…………○…………订………○…………线……：___________班级：___________考号：_______…………○…………订………○…………线……参数答案1.A【解析】1.解：∵复数z 满足z （1﹣i ）=2i ， ∴z= 2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i) =﹣1+i故选A ．【考点精析】解答此题的关键在于理解复数的乘法与除法的相关知识，掌握设则；．2.C【解析】2.解：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵S 3=a 2+10a 1 ， a 5=9，∴，解得 {q 2=9a 1=19．∴ a 1=19 ．故选C ．【考点精析】掌握等比数列的前n 项和公式是解答本题的根本，需要知道前项和公式：．3.D【解析】3.解：已知（1+ax ）（1+x ）5=（1+ax ）（1+ c 51 x+ c 52 x 2+ c 53 x 3+ c 54 x 4+ c 55 x 5） 展开式中x 2的系数为 c 52 +a• c 51 =5，解得a=﹣1，故选：D ． 4.C【解析】4.解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分） 由z=2x+y ，得y=﹣2x+z ， 平移直线y=﹣2x+z ，由图象可知当直线y=﹣2x+z 经过点C 时，直线y=﹣2x+z 的截距最小，此时z 最小． 即2x+y=1， 由 {x =12x +y =1 ，解得 {x =1y =−1，即C （1，﹣1），∵点C 也在直线y=a （x ﹣3）上， ∴﹣1=﹣2a ，答案第6页，总16页○…………外…………○…………装…………○…………○…………线…………○※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※题※※○…………内…………○…………装…………○…………○…………线…………○解得a= 12．故选：C．5.C【解析】5.解：f′（x）=3x2+2ax+b．2①x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（﹣∞，x2）不具有单调性，故C不正确．②∵ f(−2a3−x) +f（x）= +x3+ax2+bx+c=4 27a3﹣2ab3+2c，= ，∵ f(−2a3−x) +f（x）= 2f(−a3)，∴点P (−a3,f(−a3))为对称中心，故B正确．③由表格可知x1， x2分别为极值点，则f′(x1)=f′(x2)=0，故D正确．④∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃xα∈R，f（xα）=0，故A正确．（2）当△≤0时，f′(x1)=3(x+a3)2≥0，故f（x）在R上单调递增，①此时不存在极值点，故D正确，C不正确；②B同（1）中②正确；③∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃xα∈R，第7页，总16页f （x α）=0，故A 正确．综上可知：错误的结论是C ． 由于该题选择错误的，故选：C ．【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，以及对函数的极值的理解，了解极值反映的是函数在某一点附近的大小情况． 6.C【解析】6.解：∵抛物线C 方程为y 2=2px （p ＞0）， ∴焦点F 坐标为（ p 2 ，0），可得|OF|= p2 ， ∵以MF 为直径的圆过点（0，2）， ∴设A （0，2），可得AF⊥AM， Rt△AOF 中，|AF|= √22+(p 2)2= √4+p 24， ∴sin∠OAF= |OF||AF| = P2√4+p24，∵根据抛物线的定义，得直线AO 切以MF 为直径的圆于A 点， ∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF= |AF||MF| = P2√4+p24，∵|MF|=5，|AF|= √4+p24∴√4+p245=P 2√4+p24，整理得4+ p 24 = 5p2 ，解之可得p=2或p=8因此，抛物线C 的方程为y 2=4x 或y 2=16x ． 故选：C ． 方法二：∵抛物线C 方程为y 2=2px （p ＞0），∴焦点F （ p2 ，0）， 设M （x ，y ），由抛物线性质|MF|=x+ p 2 =5，可得x=5﹣ p2 ， 因为圆心是MF 的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为5−P 2+P22= 52 ，由已知圆半径也为 52 ，据此可知该圆与y 轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4，即M （5﹣ p2 ，4），代入抛物线方程得p 2﹣10p+16=0，所以p=2或p=8． 所以抛物线C 的方程为y 2=4x 或y 2=16x ．答案第8页，总16页○…………线…………○○…………线…………○故答案C ．7.B【解析】7.解：由题意可得，三角形ABC 的面积为 12AB ⋅OC =1， 由于直线y=ax+b （a ＞0）与x 轴的交点为M （﹣ b a ，0），由直线y=ax+b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0， 故﹣ ba ≤0，故点M 在射线OA 上． 设直线y=ax+b 和BC 的交点为N ，则由 {y =ax +b x +y =1可得点N 的坐标为（ 1−b a+1 ， a+ba+1 ）．①若点M 和点A 重合，则点N 为线段BC 的中点，故N （ 12 ， 12 ）， 把A 、N 两点的坐标代入直线y=ax+b ，求得a=b= 13 ．②若点M 在点O 和点A 之间，此时b ＞ 13 ，点N 在点B 和点C 之间，由题意可得三角形NMB 的面积等于 12 ，即 12⋅MB ⋅y N = 12 ，即 12×(1+b a )⋅a+b a+1 = 12 ，可得a= b 21−2b ＞0，求得 b ＜ 12 ，故有 13 ＜b ＜ 12 ．③若点M 在点A 的左侧，则b ＜ 13 ，由点M 的横坐标﹣ ba ＜﹣1，求得b ＞a ． 设直线y=ax+b 和AC 的交点为P ，则由 {y =ax +b x +y =1求得点P 的坐标为（ 1−b a+1 ， a−ba−1 ），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于 12 ，即 12 •（1﹣b ）•|x N ﹣x P |= 12 ， 即 12 （1﹣b ）•| 1−b a+1 ﹣ 1−b a−1 |= 12 ，化简可得2（1﹣b ）2=|a 2﹣1|． 由于此时 b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2=|a 2﹣1|=1﹣a 2 ．两边开方可得 √2 （1﹣b ）= √1−a 2 ＜1，∴1﹣b ＜ √2 ，化简可得 b ＞1﹣ √22 ，第9页，总16页…订…………○…………线…………○…_____考号：___________…订…………○…………线…………○…故有1﹣ √22＜b ＜ 13．再把以上得到的三个b 的范围取并集，可得b 的取值范围应是 (1−√22,12) ，故选：B ．【考点精析】关于本题考查的点到直线的距离公式，需要了解点到直线的距离为：才能得出正确答案．8.8【解析】8.解：从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的情况有：（1，4），（2，3）共2种情况；从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数的所有不同取法种数为 C n 2，由古典概型概率计算公式得：从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的概率为p=2C n2=114 ．所以 C n 2=28 ，即 n(n−1)2=28 ，解得n=8．所以答案是8． 9.- √105【解析】9.解：∵tan（θ+ π4 ）= tanθ+11−tanθ = 12 ， ∴tanθ=﹣ 13 ， 而cos 2θ=cos 2θsin 2θ+cos 2θ=11+tan 2θ， ∵θ为第二象限角， ∴cosθ=﹣ √11+tan 2θ=﹣ 3√1010 ，sinθ= √1−cos 2θ = √1010 ， 则sinθ+cosθ= √1010 ﹣3√1010 =﹣ √105．答案第10页，总16页…………装…………○…………订…………○………线…………○※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………装…………○…………订…………○………线…………○所以答案是：﹣√105【考点精析】本题主要考查了两角和与差的正切公式的相关知识点，需要掌握两角和与差的正切公式：才能正确解答此题．10.-49【解析】10.解：设等差数列{a n }的首项为a 1 ， 公差为d ， ∵S 10=10a 1+45d=0，S 15=15a 1+105d=25， ∴a 1=﹣3，d= 23 ， ∴S n =na 1+n(n−1)2 d= 13 n 2﹣ 103n ， ∴nS n = 13 n 3﹣ 103 n 2 ， 令nS n =f （n ）， ∴f′（n ）=n 2﹣ 203 n ，∴当n= 203 时，f （n ）取得极值，当n ＜ 203 时，f （n ）递减；当n ＞ 203 时，f （n ）递增； 因此只需比较f （6）和f （7）的大小即可．f （6）=﹣48，f （7）=﹣49， 故nS n 的最小值为﹣49． 所以答案是：﹣49．【考点精析】关于本题考查的函数的极值与导数和等差数列的前n 项和公式，需要了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；前n 项和公式：才能得出正确答案．11.（1）解：由已知及正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinBsinC①， ∵sinA=sin（B+C ）=sinBcosC+cosBsinC②， ∴sinB=cosB，即tanB=1， ∵B 为三角形的内角， ∴B= π4 ；（2）解：S △ABC = 12 acsinB= √24 ac ，由已知及余弦定理得：4=a 2+c 2﹣2accos π4 ≥2ac﹣2ac× √22 ，○…………装…………○…订…………○…………线学校:___________姓名：___________班级：考号：___________○…………装…………○…订…………○…………线整理得：ac≤ 2−√2 ，当且仅当a=c 时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 12 × √22 × 2−√2 = 12 × √2 ×（2+ √2 ）= √2 +1．【解析】11.（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出tanB 的值，由B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数；（2）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC 的面积，把sinB 的值代入，得到三角形面积最大即为ac 最大，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ac 的最大值，即可得到面积的最大值．【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:，以及对余弦定理的定义的理解，了解余弦定理:;;．12.（1）解：证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点， 又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF， 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD ．（2）解：因为直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，所以AA 1⊥CD， 由已知AC=CB ，D 为AB 的中点，所以CD⊥AB， 又AA 1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB 1A 1， 设AB=2 √2，则AA 1=AC=CB=2，得∠ACB=90°， CD= √2 ，A 1D= √6 ，DE= √3 ，A 1E=3故A 1D 2+DE 2=A 1E 2，即DE⊥A 1D ，所以DE⊥平面A 1DC ，又A 1C=2 √2 ，过D 作DF⊥A 1C 于F ，∠DFE 为二面角D ﹣A 1C ﹣E 的平面角，答案第12页，总16页在△A 1DC 中，DF=A 1D⋅DC A 1C = √62，EF= √DE 2+DF 2 =3√22， 所以二面角D ﹣A 1C ﹣E 的正弦值．sin∠DFE= DEEF =√63．【解析】12.（1）通过证明BC 1平行平面A 1CD 内的直线DF ，利用直线与平面平行的判定定理证明BC 1∥平面A 1CD （2）证明DE⊥平面A 1DC ，作出二面角D ﹣A 1C ﹣E 的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可．【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行． 13.（1）解：由题意得，当x∈[100，130）时，T=500x ﹣300（130﹣x ）=800x ﹣39000， 当x∈[130，150）时，T=500×130=65000，∴T= {800x −39000,x ∈[100,130)65000,x ∈[130,150]．（2）解：由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120≤x≤150． 由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7．【解析】13.（1）由题意先分段写出，当x∈[100，130）时，当x∈[130，150）时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．（2）由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120≤x≤150．再由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值．（3）利用利润T 的数学期望=各组的区间中点值×该区间的频率之和即得．【考点精析】本题主要考查了频率分布直方图和用样本的频率分布估计总体分布的相关知识点，需要掌握频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息；样本数据的频率分布表和频率分布直方图，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况才能正确解答此题． 14.（1）解：把右焦点（c ，0）代入直线x+y ﹣ √3 =0得c+0﹣ √3 =0，解得c= √3 ． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点P （x 0，y 0），则 x 12a 2+y 12b 2=1 ， x 22a 2+y 22b 2=1 ，相减得 x 12−x 22a 2+y 12−y 22b 2=0 ，…………外……………………内…………∴x 1+x 2a 2+y 1+y 2b 2×y 1−y2x 1−x 2=0 ，∴ 2x 0a 2+2y 0b 2×(−1)=0 ，又 k OP =12 = y0x 0，∴ 1a 2−12b2=0 ，即a 2=2b 2． 联立得 {a 2=2b a 2=b 2+c 2c =√3，解得 {b 2=3a 2=6， ∴M 的方程为 x 26+y 23=1 ．（2）解：∵CD⊥AB，∴可设直线CD 的方程为y=x+t ，联立 {y =x +tx 26+y 23=1，消去y 得到3x 2+4tx+2t 2﹣6=0，∵直线CD 与椭圆有两个不同的交点，∴△=16t 2﹣12（2t 2﹣6）=72﹣8t 2＞0，解﹣3＜t ＜3（*）． 设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），∴ x 3+x 4=−4t3 ， x 3x 4=2t 2−63． ∴|CD|= √(12+12)[(x 3+x 4)2−4x 3x 4] = √2[(−4t 3)2−4×2t 2−63] = 2√2⋅√18−2t 23． 联立 {x +y −√3=0x 26+y 23=1得到3x 2﹣4 √3 x=0，解得x=0或 34√3 ，∴交点为A （0， √3 ），B (43√3,−√33) ，∴|AB|= √(43√3−0)2+(−√33−√3)2=4√63． ∴S四边形ACBD = 12|AB||CD| = 12×4√63×2√2⋅√18−2t 23 = 8√3⋅√18−2t 29， ∴当且仅当t=0时，四边形ACBD 面积的最大值为 83√6 ，满足（*）． ∴四边形ACBD 面积的最大值为 83√6 ．答案第14页，总16页【解析】14.（1）把右焦点（c ，0）代入直线可解得c ．设A （x 1 ， y 1），B （x 2 ， y 2），线段AB 的中点P （x 0 ， y 0），利用“点差法”即可得到a ，b 的关系式，再与a 2=b 2+c 2联立即可得到a ，b ，c ．（2）由CD⊥AB，可设直线CD 的方程为y=x+t ，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|．把直线x+y ﹣ √3 =0与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|AB|，利用S 四边形ACBD = 12|AB||CD| 即可得到关于t 的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值． 15.（1）解：∵ f ′(x)=e x −1x+m ，x=0是f （x ）的极值点，∴ f ′(0)=1−1m =0 ，解得m=1．所以函数f （x ）=e x ﹣ln （x+1），其定义域为（﹣1，+∞）． ∵ f ′(x)=e x −1x+1=e x (x+1)−1x+1． 设g （x ）=e x （x+1）﹣1，则g′（x ）=e x （x+1）+e x ＞0，所以g （x ）在（﹣1，+∞）上为增函数，又∵g（0）=0，所以当x ＞0时，g （x ）＞0，即f′（x ）＞0；当﹣1＜x ＜0时，g （x ）＜0，f′（x ）＜0．所以f （x ）在（﹣1，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数；（2）解：证明：当m≤2，x∈（﹣m ，+∞）时，ln （x+m ）≤ln（x+2），故只需证明当m=2时f （x ）＞0．当m=2时，函数 f ′(x)=e x −1x+2 在（﹣2，+∞）上为增函数，且f′（﹣1）＜0，f′（0）＞0．故f′（x ）=0在（﹣2，+∞）上有唯一实数根x 0，且x 0∈（﹣1，0）． 当x∈（﹣2，x 0）时，f′（x ）＜0，当x∈（x 0，+∞）时，f′（x ）＞0， 从而当x=x 0时，f （x ）取得最小值． 由f′（x 0）=0，得 e x 0=1x 0+2，ln （x 0+2）=﹣x 0． 故f （x ）≥ f(x 0)=1x 0+2+x = (x 0+1)x 0+2 ＞0．综上，当m≤2时，f （x ）＞0．【解析】15.（1）求出原函数的导函数，因为x=0是函数f （x ）的极值点，由极值点处的导数等于0求出m 的值，代入函数解析式后再由导函数大于0和小于0求出原函数的单调区间；（2）证明当m≤2时，f （x ）＞0，转化为证明当m=2时f （x ）＞0．求出当m=2时函数的导函数，可知导函数在（﹣2，+∞）上为增函数，并进一步得到导函数在（﹣1，0）上有唯一零点x 0 ， 则当x=x 0时函数取得最小值，借助于x 0是导函数的零点证出f （x 0）＞0，从而结论得证．【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一……○………○…般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．16.（1）证明：∵CD 为△ABC 外接圆的切线，∴∠DCB=∠A， ∵BC•AE=DC•AF，∴ BC FA =DCEA ．∴△CDB∽△AEF，∴∠CBD=∠AFE．∵B、E 、F 、C 四点共圆，∴∠CFE=∠DBC，∴∠CFE=∠AFE=90°． ∴∠CBA=90°，∴CA 是△ABC 外接圆的直径（2）解：连接CE ，∵∠CBE=90°，∴过B 、E 、F 、C 四点的圆的直径为CE ，由DB=BE ，得CE=DC ， 又BC 2=DB•BA=2DB 2， ∴CA 2=4DB 2+BC 2=6DB 2． 而DC 2=DB•DA=3DB 2，故过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与△ABC 面积的外接圆的面积比值=CE 2AC2 =30B 260B2=12【解析】16.（1）已知CD 为△ABC 外接圆的切线，利用弦切角定理可得∠DCB=∠A，及BC•AE=DC•AF，可知△CDB∽△AEF，于是∠CBD=∠AFE．利用B 、E 、F 、C 四点共圆，可得∠CFE=∠DBC，进而得到∠CFE=∠AFE=90°即可证明CA 是△ABC 外接圆的直径；（2）要求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．只需求出其外接圆的直径的平方之比即可．由过B 、E 、F 、C 四点的圆的直径为CE ，及DB=BE ，可得CE=DC ，利用切割线定理可得DC 2=DB•DA，CA 2=CB 2+BA 2， 都用DB 表示即可． 17.（1）解：根据题意有：P （2cosα，2sinα），Q （2cos2α，2sin2α）， ∵M 为PQ 的中点，故M （cosα+cos2α，sin2α+sinα）， ∴求M 的轨迹的参数方程为： {x =cosα+cos2αy =sinα+sin2α（α为参数，0＜α＜2π）．（2）解：M 到坐标原点的距离d= √x 2+y 2 = √2+2cosα （0＜α＜2π）． 当α=π时，d=0，故M 的轨迹过坐标原点．【解析】17.（1）根据题意写出P ，Q 两点的坐标：P （2cosα，2sinα），Q （2cos2α，2sin2α），再利用中点坐标公式得PQ 的中点M 的坐标，从而得出M 的轨迹的参数方程；（2）利用两点间的距离公式得到M 到坐标原点的距离d= √x 2+y 2 = √2+2cosα，再验证当α=π时，d=0，故M 的轨迹过坐标原点． 18. （1）证明：由a 2+b 2≥2ab，b 2+c 2≥2bc，c 2+a 2≥2ca 得： 222答案第16页，总16页由题设得（a+b+c ）2=1，即a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=1， 所以3（ab+bc+ca ）≤1，即ab+bc+ca≤ 13 ．（2）证明：因为 a 2b +b≥2a， b 2c +c≥2b， c 2a +a≥2c， 故 a 2b+b 2c+c 2a +（a+b+c ）≥2（a+b+c ），即 a 2b+b 2c+c 2a ≥a+b+c．所以 a 2b+b 2c+c 2a ≥1．【解析】18.（1）依题意，由a+b+c=1⇒（a+b+c ）2=1⇒a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=1，利用基本不等式可得3（ab+bc+ca ）≤1，从而得证；（2）利用基本不等式可证得： a 2b +b≥2a， b 2c+c≥2b， c 2a +a≥2c，三式累加即可证得结论．【考点精析】认真审题，首先需要了解不等式的证明(不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等)．。