人教版八年级数学下册讲义第11讲 菱形

第11讲 特殊的平行四边形（二）
知识要点梳理：
1．菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形。

2．菱形的性质：
（1）对边平行，四边相等。

（2）对角相等，邻角互补。

（3）对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角。

ABCD AB BC CD DA ⇒===是菱形
12AC BD ABCD ⊥⎧⇒⎨∠=∠⎩
是菱形
3．菱形的判定：
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
ABCD ABCD AC BD ⎫
⇒⎬⊥⎭平行四边形是菱形
（3）四条边都相等的四边形。

AB BC CD DA ABCD ===⇒是菱形。

4．菱形的面积=边长×高=对角线的乘积的一半。

【典型例题】
例1．菱形的周长为20cm ，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长是 ；一组对边的距离为 。

例2．已知：菱形的周长为40cm ，两对角线长的比是3:4，求：两对角线长分别是多少？面积是多少？
例3．如图，已知菱形ABCD 的对角线AC=16cm ，BD=12cm ，DE 垂直BC 于点E ，求DE 的长。

A B
C
D
1 2 A B
C
D
A B D E F C
图2
C
例4.如图，DE 是口ABCD 中∠ADC 的平分线，EF ∥AD 交DC 于F 。

求证：（1）四边形AEFD 是菱形。

（2）如果∠A=60°，AD=5，求菱形AEFD 的面积。

例5.如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线交BC 、AD 于点E 、F ，
求证：四边形AECF 是菱形。

例6. Rt △ABC 中，且∠BAC =90°BC AD 于D 点，BE 平分∠ABC,交AD 于M 点，AN 平分∠DAC ，交BC 于点N.求证:四边形AMNE 是菱形。

【经典练习】
1．有一组邻边相等的 是菱形，对角线 的四边形是菱形。

2．菱形的面积为24cm 2
，一条对角线的长为6cm ，则另一条对角线长为 cm ，边长为 cm ，
高为 cm 。

3．如图1所示，菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，BE=EC ，AE=2，BD= 。

★4．如图2所示，菱形ABCD 中，AB=AE=EF=FA ，∠C= 。

5.菱形的周长为a ，高为h ，一条对角线长为h ，则另一对角线的长可表示为： 。

D A
E B C
F B A D E
F A B C E 图1
B
C
6.菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为______.
7.菱形的面积为83平方厘米，两条对角线的比为1∶3,那么菱形的边长为_______.
8．菱形对角线的平方和等于一边平方的（ ） A ．2倍 B ．3倍 C ．4倍 D ．8倍
9．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A ．对角线互相平分
B ．对角线相等
C ．对角相等
D ．每条对角线平分一组对角
10．下列条件中不能确定菱形的形状和大小的是（ ）
A ．已知菱形的两条对角线
B ．已知菱形的一边和一个内角
C ．已知菱形的四条边
D ．已知菱形的周长和面积
11．下列命题正确的是（ ）
A ．有两组邻角相等的四边形是菱形
B ．有一组邻边相等的四边形是菱形
C ．对角线互相垂直的四边形是菱形
D ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
12．能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ）
A.对角线相等且互相平分
B.对角线互相垂直且相等
C.对角线互相平分
D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角
13．菱形的周长为100 cm ，一条对角线长为14 cm ，它的面积是（ ）
A.168 cm 2
B.336 cm 2
C.672 cm 2
D.84 cm 2
14．四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E ，求证：∠AFD=∠CBE 。

15．如图，已知BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD 交BC 于E ，交BD 于F ，∠FAG=∠FAD 。

连结EG 、ED ，求证：四边形AGED 为菱形。

A
B C D E F
16．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，E ，F 为垂足，FG ⊥AC ，EH ⊥AB ，且交于Q ，G 、H 为垂足，求证：四边形DEQF 为菱形。

17．如图所示，□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ，BC 分别交于E ，F. 求证：四边形AFCE 是菱形．
18．如图所示，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ，求证：OE•⊥DC ．
19．如图所示，过
ABCD 的对角线的交点O 作互相垂直的两条直线EG ，FH ，•与平行四边形各边分别交
于E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是菱形．
A
B
D
E F G H Q
20．如图所示，O是矩形对角线交点，过O作EF⊥AC分别交AD，BC于E，•F，•若AB=2cm，BC=4cm，求四边形AECF的面积．
能力拓展
（贵阳）已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC．（1）求证：AE=EC；
（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．
巩固练习
1．菱形的一个内角等于120°，过这个角的顶点的对角线长为8cm，则这个菱形的周长为_________cm。

2．若从菱形的一个顶点到对边的距离等于边长的一半，则该菱形的两个相领内角的度数分别是 _和。

3．菱形的面积为96cm2，一对角线长为12cm，则另一对角线长为______，边长为______.
4．如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CF//BE交AD于F，连结BF、CE，求证：四边形BECF是菱形。

5．如图，在菱形ABCD 中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°。

求证：∠CEF=20°
6．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，∠B 的平分线交高CD 于E ，交AC 于F ，FG ⊥AB ，G 为垂足， 求证：四边形CEGF 是菱形。

7．如图，在
ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，连结DE ，BF ，BD ．
(1)求证：△ADE ≌△CBF ．
(2)若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是什么特殊四边形?请证明你的结论．
8．如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠BAD ，CE ∥AD 交AB 于E ．
(1)求证：四边形AECD 是菱形；
(2)若点E 是AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理由．
A
B
C
D
E
F
G
A
B C D
E
F。