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人教版九年级下册数学二次函数知识点总结教案主讲人：李霜霜一、教学目标：(1)了解二次函数的意义，掌握二次函数的图象特征和性质，能确定函数解析式，并能解决简单的实际问题．(2)通过练习及提问，复习二次函数的基础知识；通过对典型例题的分析，培养学生分析问题、解决问题、综合运用数学知识的能力；继续渗透数学思想．二、教学重点、难点教学重点：二次函数的图像，性质和应用教学难点：运用二次函数知识解决较综合性的数学问题． 三、教学过程复习巩固（一）二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．（二）二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：（三）二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．（四）二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． (五)二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．(六)二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.(七)二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴） 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．(八)二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；例题讲解：15.已知二次函数图象的对称轴是30x +=,图象经过(1,-6),且与y 轴的交点为(0,52-). (1)求这个二次函数的解析式;(2)当x 为何值时,这个函数的函数值为0?(3)当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大?17.如图，抛物线2y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D. （1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使APC S ∆：ACD S ∆=5 ：4的点P 的坐标。
试卷第1页，总7页 一．选择题（共18小题） 1．函数y=x 2+2x +1写成y=a （x ﹣h ）2+k 的形式是（ ） A ．y=（x ﹣1）2+2 B ．y=（x ﹣1）2+ C ．y=（x ﹣1）2﹣3 D ．y=（x +2）2﹣1 2．一个二次函数的图象的顶点坐标为（3，﹣1），与y 轴的交点（0，﹣4），这个二次函数的解析式是（ ） A ．y=x 2﹣2x +4 B ．y=﹣x 2+2x ﹣4 C ．y=﹣（x +3）2﹣1 D ．y=﹣x 2+6x ﹣12 3．抛物线y=﹣x 2+x ﹣1，经过配方化成y=a （x ﹣h ）2+k 的形式是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（ ） A ．y=x 2﹣x ﹣2 B ．y=﹣x 2﹣x +2 C ．y=﹣x 2﹣x +1 D ．y=﹣x 2+x +2 5．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ） A ．y=（x ﹣2）2+3 B ．y=（x ﹣2）2﹣3 C ．y=﹣（x ﹣2）2+3 D ．y=﹣（x ﹣2）2﹣3试卷第2页，总7页 6．根据表中的自变量x 与函数y 的对应值，可判断此函数解析式为（ ）A ．y=xB ．y=﹣C ．y=（x ﹣1）2+2D ．y=﹣（x ﹣1）2+27．已知抛物线y=x 2+bx +c 的顶点坐标为（1，﹣3），则抛物线对应的函数解析式为（ ）A ．y=x 2﹣2x +2B ．y=x 2﹣2x ﹣2C ．y=﹣x 2﹣2x +1D ．y=x 2﹣2x +18．若抛物线经过（0，1）、（﹣1，0）、（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（ ）A ．y=x 2+1B ．y=x 2﹣1C ．y=﹣x 2+1D ．y=﹣x 2﹣19．抛物线y=x 2﹣2（m +1）x +2m 2﹣m 的对称轴x=3，则m 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么这个函数的解析式为（ ）A ．y=x 2+x +1B ．y=x 2+x ﹣1C ．y=x 2﹣x ﹣1D ．y=x 2﹣x +111．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB 位置时，水面宽度为10m ，此时水面到桥拱的距离是4m ，则抛物线的函数关系式为（ ）A ．y=B ．y=﹣C ．y=﹣D ．y=12．如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD 的边AB=x 米，面积为S 平方米，则下面关系式正确的是（ ）试卷第3页，总7页 A ．S=x （40﹣x ） B ．S=x （40﹣2x ） C ．S=x （10﹣x ） D ．S=10（2x ﹣20） 13．某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x （x ＞0），设2017年该产品的产量为y 吨，则y 关于x 的函数关系式为（ ） A ．y=100（1﹣x ）2 B ．y=100（1+x ）2 C ．y= D ．y=100+100（1+x ）+100（1+x ）2 14．北京时间3月14日消息，2016年世界羽联超级赛系列赛全英公开赛落下帷幕，中国队只拿到一项冠军．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看成是抛物线y=﹣x 2+bx +c 的一部分（如图所示），其中出球点B 离地面O 点的距离是1m ，球落地点A 到O 点的距离是4m ，那么这条抛物线的解析式是（ ） A ．y=﹣x 2+x +1 B ．y=﹣x 2+x ﹣1 C ．y=﹣x 2﹣x +1 D ．y=﹣x 2﹣x ﹣1 15．两个正方形的周长和是10，如果其中一个正方形的边长为a ，则这两个正方形的面积的和S 关于a 的函数关系式为（ ） A ．S= B ．S= C ．S=a 2+（5﹣a ）2 D ． 16．如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别是边BC 和CD 上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E 、F 怎样动，始终保持AE ⊥EF ．设BE=x ，DF=y ，则y 是x 的函数，函数关系式是（ ）试卷第4页，总7页A ．y=x +1B ．y=x ﹣1C ．y=x 2﹣x +1D ．y=x 2﹣x ﹣117．把160元的电器连续两次降价后的价格为y 元，若平均每次降价的百分率是x ，则y 与x 的函数关系式为（ ）A ．y=320（x ﹣1）B ．y=320（1﹣x ）C ．y=160（1﹣x 2）D ．y=160（1﹣x ）218．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）A ．y=﹣2x 2B ．y=2x 2C ．y=﹣x 2D ．y=x 2试卷第5页，总7页 二．解答题（共3小题） 19．如图，抛物线y=ax 2+bx +2经过点A （﹣1，0），B （4，0），交y 轴于点C ； （1）求抛物线的解析式（用一般式表示）； （2）点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D 使S △ABC =S △ABD ？若存在请直接给出点D 坐标；若不存在请说明理由； （3）将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E ，求BE 的长． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2+ax +b 交x 轴于A （1，0），B （3，0）两点，点P 是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP 与y 轴相交于点C ． （1）求抛物线y=﹣x 2+ax +b 的解析式； （2）当点P 是线段BC 的中点时，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，求sin ∠OCB 的值． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x 2+bx +c 过A ，B ，C 三点，点A 的坐标是（3，0），点C 的坐标是（0，﹣3），动点P 在抛物线上．试卷第6页，总7页 （1）b= ，c= ，点B 的坐标为 ；（直接填写结果）（2）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P 作PE 垂直y 轴于点E ，交直线AC 于点D ，过点D 作x 轴的垂线．垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标．试卷第7页，总7页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
完整版)二次函数求解析式专题练习题1.已知抛物线经过点A(1,1)，求这个函数的解析式。
解析式为y = ax^2 + bx + c，代入点A得1 = a + b + c。
因为抛物线是二次函数，所以需要三个点才能确定解析式。
无法确定解析式。
2.已知二次函数的图象顶点坐标为(-2,3)，且过点(1,0)，求此二次函数的解析式。
设解析式为y = ax^2 + bx + c，代入顶点坐标得3 = 4a - 2b + c，代入过点(1,0)得0 = a + b + c。
解得a = -1，b = 1，c = 0，所以解析式为y = -x^2 + x。
3.抛物线过顶点(2,4)且过原点，求抛物线的解析式。
因为过顶点，所以解析式为y = a(x - 2)^2 + 4.因为过原点，所以代入(0,0)得0 = 4a - 4，解得a = 1.所以解析式为y = (x -2)^2 + 4.4.若一抛物线与x轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为(1,5)，则它们的解析式为。
设解析式为y = ax^2 + bx + c，因为顶点坐标为(1,5)，所以解析式为y = a(x - 1)^2 + 5.设两个交点的横坐标为p和q，且p < q，则有8 = |(p - 1)(q - 1)|/4，化简得4p + 4q = pq - 4.因为顶点在抛物线的对称轴上，所以p + q = 2.解得p = -2，q = 8.代入顶点坐标得a = 1/9.所以解析式为y = (x - 1)^2/9 + 5.5.已知二次函数当x = -1时有最小值-4，且图象在x轴上截得线段长为4，求函数解析式。
设解析式为y = ax^2 + bx + c，因为在x轴上截得线段长为4，所以有b^2 - 4ac = 16.因为当x = -1时有最小值-4，所以有a < 0.代入最小值得-4 = a - b + c。
解得a = -1，b = 4，c = -1.所以解析式为y = -x^2 + 4x - 1.6.抛物线经过(0,0)和(12,0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式。
求二次函数的解析式一 设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)求二次函数的解析式(教材P40练习第2题)一个二次函数的图象经过(0，0)，(－1，－1)，(1，9)三点，求这个二次函数的解析式． 解：设这个二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a －b ＋c ＝－1，a ＋b ＋c ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝5，c ＝0，所以所求的二次函数的解析式为y ＝4x 2＋5x .【思想方法】 若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，将已知条件代入，求出a ，b ，c 的值．如图1，抛物线的函数解析式是( D )A ．y ＝x 2－x ＋2B ．y ＝x 2＋x ＋2C ．y ＝－x 2－x ＋2D ．y ＝－x 2＋x ＋2【解析】 根据题意，设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，因为抛物线过点(－1，0)，(0，2)，(2，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝0，解得a ＝－1，b ＝1，c ＝2，所以这个二次函数的解析式为y ＝－x 2＋x ＋2.图1图2如图2，二次函数y ＝ax 2－4x ＋c 的图象经过坐标原点，与x 轴交于点A (－4，0)．(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上存在点P ，满足S △AOP ＝8，请直接写出点P 的坐标．解：(1)由已知条件得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ×（－4）2－4×（－4）＋c ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ＝－1，∴此二次函数的解析式为y ＝－x 2－4x .(2)∵点A 的坐标为(－4，0)，∴AO ＝4.设点P 的坐标为(x ，h )，则S △AOP ＝12AO ·|h |＝12×4×|h |＝8，解得|h |＝4. ①当点P 在x 轴上方时，－x 2－4x ＝4，解得x ＝－2，∴点P 的坐标为(－2，4)；②当点P 在x 轴下方时，－x 2－4x ＝－4，解得x 1＝－2＋22，x 2＝－2－22，∴点P 的坐标为(－2＋22，－4)或(－2－22，－4)，综上所述，点P 的坐标为(－2，4)或(－2＋22，－4)或(－2－22，－4)．如图3，抛物线经过A (－1，0)，B (5，0)，C (0，－52)三点．图3(1)求抛物线的解析式；(2)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝025a ＋5b ＋c ＝0c ＝－52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－2c ＝－52， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－2x －52； (2)存在．(i)当点N 在x 轴的下方时，如图所示，∵四边形ACNM 是平行四边形，∴CN ∥x 轴，∴点C 与点N 关于对称轴x ＝2对称，∵C 点的坐标为(0，－52)， ∴点N 的坐标为(4，－52)． (ii)当点N ′在x 轴上方时，如图所示，作N ′H ⊥x 轴于点H ，∵四边形ACM ′N ′是平行四边形，∴AC ＝M ′N ′，∠N ′M ′H ＝∠CAO ，∴Rt △CAO ≌Rt △N ′M ′H ，∴N ′H ＝OC ，∵点C 的坐标为(0，－52)， ∴N ′H ＝52， 即点N ′的纵坐标为52， ∴12x 2－2x －52＝52， 解得x 1＝2＋14，x 2＝2－14.∴点N ′的坐标为(2－14，52)和(2＋14，52)． 综上所述，满足题目条件的点N 共有三个，分别为(4，－52)，(2－14，52)和(2＋14，52)．二 设顶点式y ＝a (x ＋m )2＋k (a≠0)求二次函数的解析式(教材P36例4)要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m 处达到最高，高度为3 m ，水柱落地处离池中心3 m ，水管应多长？解：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x 轴，水管所在直线为y 轴，建立直角坐标系．点(1，3)是这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是y ＝a (x －1)2＋3(0≤x ≤3)．由这段抛物线过点(3，0)，可得0＝a (3－1)2＋3解得a ＝－34因此y ＝－34(x －1)2＋3 (0≤x ≤3) 当x ＝0时，y ＝2.25，也就是说，水管应2.25 m 长．【思想方法】 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，可设所求二次函数的解析式为y ＝a (x ＋m )2＋k ，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式即可．已知某二次函数的图象如图4所示，则这个二次函数的解析式为( D )图4A ．y ＝2(x ＋1)2＋8B ．y ＝18(x ＋1)2－8C ．y ＝29(x －1)2＋8 D ．y ＝2(x －1)2－8 一抛物线的形状、开口方向与y ＝12x 2－4x ＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则此抛物线的解析式为( C )A ．y ＝12(x －2)2＋1 B ．y ＝12(x ＋2)2－1 C ．y ＝12(x ＋2)2＋1 D ．y ＝－12(x ＋2)2＋1 【解析】 抛物线的形状、开口方向与y ＝12x 2－4x ＋3相同，所以a ＝12.顶点在(－2，1)，所以抛物线的解析式是y ＝12(x ＋2)2＋1. 已知抛物线y ＝x 2－2x ＋c 的顶点在x 轴上，你认为c 的值应为( C )A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】 根据题意得4c －（－2）24×1＝0，所以c ＝1. 抛物线y ＝x 2－2(m ＋1)x ＋2m 2－m 的对称轴为x ＝3，则m 的值是( B )A ．1B ．2C ．3D ．4三 利用平移规律求二次函数的解析式(教材P34思考)抛物线y ＝－12(x ＋1)2，y ＝－12(x －1)2与抛物线y ＝－12x 2有什么关系？ 解：把抛物线y ＝－12x 2向左平移1个单位，就得到抛物线y ＝－12(x ＋1)2；把抛物线y ＝－12x 2向右平移1个单位，就得到抛物线y ＝－12(x －1)2. 【思想方法】 (1)可按照口诀“左加右减，上加下减”写出平移后的解析式；(2)平移所得函数的解析式与平移的先后顺序无关．抛物线y ＝x 2－4x ＋3的图象向左平移2个单位后所得新抛物线的顶点坐标为( A )A ．(0，－1)B ．(0，－3)C ．(－2，－3)D ．(－2，－1)将抛物线y ＝x 2＋x 向下平移2个单位，所得新抛物线的解析式是__y ＝x 2＋x －2__． 在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2－4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线的解析式为( B )A ．y ＝(x ＋2)2＋2B ．y ＝(x －2)2－2C ．y ＝(x －2)2＋2D ．y ＝(x ＋2)2－2已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (1，0)，B (3，0)，且过点C (0，－3)．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y ＝－x 上，并写出平移后抛物线的解析式．图5解：(1)∵抛物线与x 轴交于点A (1，0)，B (3，0)，∴可设抛物线解析式为y ＝a (x －1)(x －3)，把C (0，－3)代入得：3a ＝－3， 解得：a ＝－1，故抛物线解析式为y ＝－(x －1)(x －3)，即y ＝－x 2＋4x －3，∵y ＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1，∴顶点坐标为(2，1)；(2)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．人教版七年级上册期末测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．某天的最高气温是8℃，最低气温是－3℃，那么这天的温差是() A．－3℃B．8℃C．－8℃D．11℃2．下列立体图形中，从上面看能得到正方形的是()3．下列方程是一元一次方程的是()A．x－y＝6 B．x－2＝xC．x2＋3x＝1 D．1＋x＝34．今年某市约有108 000名应届初中毕业生参加中考，108 000用科学记数法表示为()A．0.108×106B．10.8×104C．1.08×106D．1.08×1055．下列计算正确的是()A．3x2－x2＝3 B．3a2＋2a3＝5a5C．3＋x＝3x D．－0.25ab＋14ba＝06．已知ax＝ay，下列各式中一定成立的是()A．x＝y B．ax＋1＝ay－1C．ax＝－ay D．3－ax＝3－ay7．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为()A．100元B．105元C ．110元D ．120元8．如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角的度数是( )A ．130°B ．40°C ．90°D ．140°9．如图，C ，D 是线段AB 上的两点，点E 是AC 的中点，点F 是BD 的中点，EF ＝m ，CD ＝n ，则AB 的长是( )A ．m －nB ．m ＋nC ．2m －nD ．2m ＋n10．下列结论：①若a ＋b ＋c ＝0，且abc ≠0，则a ＋c 2b ＝－12；②若a ＋b ＋c ＝0，且a ≠0，则x ＝1一定是方程ax ＋b ＋c ＝0的解；③若a ＋b ＋c ＝0，且abc ≠0，则abc ＞0；④若|a |>|b |，则a －b a ＋b >0. 其中正确的结论是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④二、填空题(每题3分，共24分)11．－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23的相反数是________，－15的倒数的绝对值是________． 12．若－13xy 3与2x m －2y n ＋5是同类项，则n m ＝________.13．若关于x 的方程2x ＋a ＝1与方程3x －1＝2x ＋2的解相同，则a 的值为________．14．一个角的余角为70°28′47″，那么这个角等于____________．15．下列说法：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③若∠AOC ＝12∠AOB ，则射线OC 是∠AOB 的平分线；④连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；⑤学校在小明家南偏东25°方向上，则小明家在学校北偏西25°方向上，其中正确的有________个．16．在某月的月历上，用一个正方形圈出2×2个数，若所圈4个数的和为44，则这4个日期中左上角的日期数值为________．17．规定一种新运算：a△b＝a·b－2a－b＋1，如3△4＝3×4－2×3－4＋1＝3.请比较大小：(－3)△4________4△(－3)(填“>”“＝”或“<”)．18．如图是小明用火柴棒搭的1条“金鱼”、2条“金鱼”、3条“金鱼”……则搭n 条“金鱼”需要火柴棒__________根．三、解答题(19，20题每题8分，21～23题每题6分，26题12分，其余每题10分，共66分)19．计算：(1)－4＋2×|－3|－(－5)；(2)－3×(－4)＋(－2)3÷(－2)2－(－1)2 018.20．解方程：(1)4－3(2－x)＝5x；(2)x－22－1＝x＋13－x＋86.21．先化简，再求值：2(x2y＋xy)－3(x2y－xy)－4x2y，其中x＝1，y＝－1.22．有理数b在数轴上对应点的位置如图所示，试化简|1－3b|＋2|2＋b|－|3b－2|.23．如图①是一些小正方体所搭立体图形从上面看得到的图形，方格中的数字表示该位置的小正方体的个数．请在如图②所示的方格纸中分别画出这个立体图形从正面看和从左面看得到的图形．24．已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线．(1)当点C，E，F在直线AB的同侧时(如图①所示)，试说明∠BOE＝2∠COF.(2)当点C与点E，F在直线AB的两侧时(如图②所示)，(1)中的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由．25．为鼓励居民节约用电，某市电力公司规定了电费分段计算的方法：每月用电不超过100度，按每度电0.50元计算；每月用电超过100度，超出部分按每度电0.65元计算．设每月用电x度．(1)当0≤x≤100时，电费为________元；当x>100时，电费为____________元．(用含x的整式表示)(2)某用户为了解日用电量，记录了9月前几天的电表读数．日期9月1日9月2日9月3日9月4日9月5日9月6日9月7日电表读123130137145153159165 数/度该用户9月的电费约为多少元？(3)该用户采取了节电措施后，10月平均每度电费0.55元，那么该用户10月用电多少度？26．如图，O为数轴的原点，A，B为数轴上的两点，点A表示的数为－30，点B表示的数为100.(1)A，B两点间的距离是________．(2)若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点O的距离的3倍，求点C表示的数．(3)若电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位长度/s的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向左运动，设两只电子蚂蚁同时运动到了数轴上的点D，那么点D表示的数是多少？(4)若电子蚂蚁P从点B出发，以8个单位长度/s的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向右运动．设数轴上的点N到原点O的距离等于点P到原点O的距离的一半(点N在原点右侧)，有下面两个结论：①ON＋AQ的值不变；②ON－AQ的值不变，请判断哪个结论正确，并求出正确结论的值．(第26题)答案一、1.D 2.A 3.D 4.D 5.D 6.D7．A8.D9.C10.B二、11.23；512.－813.－514．19°31′13″15.316.717．>18.(6n＋2)三、19.解：(1)原式＝－4＋2×3＋5＝－4＋6＋5＝7；(2)原式＝12＋(－8)÷4－1＝12－2－1＝9.20．解：(1)去括号，得4－6＋3x＝5x.移项、合并同类项，得－2x＝2.系数化为1，得x＝－1.(2)去分母，得3(x－2)－6＝2(x＋1)－(x＋8)．去括号，得3x－6－6＝2x＋2－x－8.移项、合并同类项，得2x＝6.系数化为1，得x＝3.21．解：原式＝2x2y＋2xy－3x2y＋3xy－4x2y＝(2x2y－3x2y－4x2y)＋(2xy＋3xy)＝－5x2y＋5xy.当x＝1，y＝－1时，原式＝－5x2y＋5xy＝－5×12×(－1)＋5×1×(－1)＝5－5＝0.22．解：由题图可知－3<b<－2.所以1－3b>0，2＋b<0，3b－2<0.所以原式＝1－3b－2(2＋b)＋(3b－2)＝1－3b－4－2b＋3b－2＝－2b－5.23．解：如图所示．24．解：(1)设∠COF＝α，则∠EOF＝90°－α.因为OF是∠AOE的平分线，所以∠AOE＝2∠EOF＝2(90°－α)＝180°－2α.所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－(180°－2α)＝2α.所以∠BOE＝2∠COF.(2)∠BOE＝2∠COF仍成立．理由：设∠AOC＝β，则∠AOE＝90°－β，又因为OF是∠AOE的平分线，所以∠AOF＝90°－β2.所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－(90°－β)＝90°＋β，∠COF＝∠AOF＋∠AOC＝90°－β2＋β＝12(90°＋β)．所以∠BOE＝2∠COF.25．解：(1)0.5x；(0.65x－15)(2)(165－123)÷6×30＝210(度)，210×0.65－15＝121.5(元)．答：该用户9月的电费约为121.5元．(3)设10月的用电量为a度．根据题意，得0.65a－15＝0.55a，解得a＝150.答：该用户10月用电150度．26．解：(1)130(2)若点C在原点右边，则点C表示的数为100÷(3＋1)＝25；若点C在原点左边，则点C表示的数为－[100÷(3－1)]＝－50.故点C表示的数为－50或25.(3)设从出发到同时运动到点D经过的时间为t s，则6t－4t＝130，解得t＝65.65×4＝260，260＋30＝290，所以点D表示的数为－290.(4)ON－AQ的值不变．设运动时间为m s，则PO＝100＋8m，AQ＝4m. 由题意知N为PO的中点，得ON＝12PO＝50＋4m，所以ON＋AQ＝50＋4m＋4m＝50＋8m，ON－AQ＝50＋4m－4m＝50.故ON－AQ的值不变，这个值为50.。
2019年中考复习《二次函数》求解析式专题训练1. 如图，抛物线y =x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动（点P 不与点A 重合），过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D .（1）求抛物线的解析式；（2）求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；第1题图3. 在平面直角坐标系中，抛物线y = -21x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，直线y =x +4经过A ，C 两点.（1）求抛物线的解析式；图①4. 在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝-21x 2+bx +c (b 、c 为常数)的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，-1），点C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限.(1)如图，若抛物线经过A 、B 两点，求抛物线的解析式；5. 如图，抛物线y = -21x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA =2，OC =3.（1）求抛物线的解析式；第5题图6. 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，AB ∥OC ，OA =AB =2，OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ，将∠DBC 绕点B 顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 、F .（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；7. 如图①，二次函数y =ax 2+bx +3的图象与x 轴相交于点A （-3，0）、B (1，0)，与y 轴相交于点C ，点G 是二次函数图象的顶点，直线GC 交x 轴于点H (3，0)，AD 平行GC 交y 轴于点D .（1）求该二次函数的表达式；图①8.如图①，关于x 的二次函数y = -x 2+bx +c 经过点A (-3，0)，点C (0，3)，点D 为二次函数的顶点，DE 为二次函数的对称轴，E 在x 轴上.（1）求抛物线的解析式；图①9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A （0，4），B （1，0），C （5，0），其对称轴与x 轴相交于点M .（1）求此抛物线的解析式和对称轴；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△P AB 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；第4题图10.如图，抛物线y=ax 2+bx +c 经过A (1，0)、B (4，0)、C (0，3)三点.（1）求抛物线的解析式；图①11. 如图，直线y =-21x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点B 、C 和点A （-1，0）.（1）求B 、C 两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；12.已知正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点C 在x 轴的正半轴上，点B （4，4）.二次函数y = -61x 2+bx +c 的图象经过点A 、B .点P （t ，0）是x 轴上一动点，连接AP .（1）求此二次函数的解析式；13. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点左侧，B 点的坐标为（4，0），与y 轴交于C （0，-4）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式；15.如图，已知抛物线y ＝-m1（x +2）（x -m ）（m ＞0）与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，且点A 在点B 的左侧.（1）若抛物线过点G （2，2），求实数m 的值.（2）在（1）的条件下，解答下列问题：①求△ABC 的面积.②在抛物线的对称轴上找一点H ，使AH +CH 最小，并求出点H 的坐标.第1题图【答案】1.解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），解得⎩⎨⎧==3-4c b ， ∴抛物线的解析式为y =x 2-4x +3.（2）令x =0，则y =3，∴点C （0，3），又∵点A (3，0)，∴直线AC 的解析式为y = -x +3，设点P （x ，x 2-4x +3），∵PD ∥y 轴，且点D 在AC 上，∴点D (x ，-x +3)，∴PD =(-x +3)-(x 2-4x +3)=-x 2+3x =-(x-23)2+49， ∵a =-1<0，∴当x =23时，线段PD 的长度有最大值，最大值为49. 3.解：（1）对于直线y =x +4，令x =0，得y ＝4，令y =0，得x =-4，则A (-4，0)，C (0，4)，代入抛物线解析式得⎩⎨⎧==+404-8-c c b ， 解得⎩⎨⎧==4-1c b ， ∴抛物线的解析式为y = -21x 2-x +4. 4.(1)解：设AC 与x 轴的交点为M ，∵等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(0，-1)，C 的坐标为(4，3)， ∴直线AC 的解析式为y=x-1，∴直线AC 与x 轴的交点M (1，0).∴OM =OA ，∠CAO =45°.∵△CAB 是等腰直角三角形，∴∠ACB =45°，∴BC ∥y 轴，又∵∠OMA =45°，∴∠OAB ＝90°，∴AB ∥x 轴，∴点B 的坐标为(4，-1).∵抛物线过A (0，-1)，B (4，-1)两点，将两点代入抛物线的解析式中， 得⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=-141621--1c b c ，解得⎩⎨⎧==-12c b ， ∴抛物线的解析式为y ＝-21x 2+2x -1. 5.解：（1）∵OA =2，∴点A 的坐标为（-2，0）.∵OC =3，∴点C 的坐标为（0，3）.把A （-2，0），C （0，3）分别代入抛物线y = -21x 2+bx +c ， 得⎩⎨⎧=+=c c b 32--20， 解得⎩⎨⎧==312c b ， ∴抛物线的解析式为y ＝-21x 2+21x +3. 6.解：(1)由题意得A (0，2)、B (2，2)、C (3，0).设经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为y =ax 2+bx +2(a ≠0)，将点B 、C 分别代入得⎩⎨⎧=++=++02392224b a b a ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3432-b a ，∴抛物线的解析式为y = - 32x 2+ 34x +2. 7.(1)解：∵二次函数y =ax 2+bx +3过点A (-3，0)、B (1，0)，∴⎩⎨⎧=++=+03033-9b a b a ，，解得⎩⎨⎧==-2-1b a ， ∴二次函数的表达式为y =－x 2－2x +3.8.解：（1）将A (-3，0)，C (0，3)代入y =-x 2+bx +c ，得⎩⎨⎧=+=03-9-3c b c ，解得⎩⎨⎧==3-2c b . ∴抛物线的解析式为y = -x 2-2x +3.9.解：（1）∵抛物线过点A （0，4）、B （1，0）、C （5，0），∴设过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y =a (x -1)·(x -5)(a ≠0)，∴将点A （0，4）代入y=a (x -1)(x -5)，得a =54， ∴此抛物线的解析式为y =54x 2-524x +4， ∵抛物线过点B （1，0）、C （5，0），∴抛物线的对称轴为直线x ＝251+=3. （2）存在，如解图①，连接AC 交对称轴于点P ，连接B P 、BA ， ∵点B 与点C 关于对称轴对称，∴PB =PC ，∴AB +AP +PB =AB +AP +PC =AB +AC ，∵AB 为定值，且AP +P C≥AC ，∴当A 、P 、C 三点共线时△P AB 的周长最小，∵ A （0，4）、C （5，0），设直线A C 的解析式为y =ax +b (a ≠0)， 第4题解图① 将A 、C 两点坐标代入解析式得⎩⎨⎧=+=054b a b ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧==454-b a ，∴直线AC 的解析式为y = -54x +4. ∵在y = -54x +4中，当x ＝3时，y =58， ∴P 点的坐标为（3，58）， 即当对称轴上的点P 的坐标为（3，58）时，△ABP 的周长最小. 10.解：（1）∵点A （1，0），B （4，0）在抛物线上，∴设抛物线解析式为y =a (x -1)(x -4)，将点C （0，3）代入得a (0-1)(0-4)=3，解得a =43， ∴抛物线解析式为y =43(x -1)(x -4)， 即y =43x 2-415x+3. 11. 解：（1）令x =0，可得y =2，令y =0，可得x =4，即点B （4，0），C （0，2）.（2）设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，将点A 、B 、C 的坐标代入解析式得，⎪⎩⎪⎨⎧==++=+204160-c c b a c b a ，解得b c b a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===22321- ， 即该二次函数的关系式为y=-21x 2+23x +2. 12.解：（1）∵B （4，4），∴AB =BC =4，∵四边形ABCO 是正方形，∴OA =4，∴A （0，4），将点A （0，4），B （4，4）代入y = -61x 2+bx +c ， 得⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=441661-4c b c ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧==432c b ，∴二次函数解析式为y =-61x 2+32x +4. 13.解：（1）将B 、C 两点的坐标代入得：⎩⎨⎧==++-40416c c b ，解得⎩⎨⎧==-4-3c b ， ∴二次函数的表达式为y =x 2-3x -4.14.解：(1)∵抛物线过点G (2，2)，∴2=-m1 (2+2)(2-m )， ∴m =4.(2)①y =0，- m 1 (x +2)(x -m )=0，解得x 1=-2，x 2=m ，∵m ＞0，∴A (-2，0)、B (m ，0)，又∵m =4，∴AB =6.令x =0，得y =2，∴C (0，2)，∴OC =2，∴S △ABC =21×AB ×OC =21×6×2＝6.第1题解图① ②∵m =4，∴抛物线y = -41(x +2)(x -4)的对称轴为x =1，如解图①，连接BC 交对称轴于点H ，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质可知， 此时AH +CH =BH +CH =BC 最小.设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0).则⎩⎨⎧==+204b b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==221-b k ，∴直线BC 的解析式为y=-21x +2.当x =1时，y =23，∴H (1， 23).。
求二次函数的解析式【知识要点】二次函数解析式有三种形式：一、一般式：()0,,,2≠++=a c b a c bx axy 为常数；根据三点坐标求其解析式，关键是：（1）熟悉待定系数法；（2）点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的解析式；（3）会解简单的三元一次方程组。
例1 ： 已知二次函数的图象过(1，0)，(－1，－4)和(0，－3)三点，求这个二次函数解析式。
二、顶点式：()()0,,,2≠+-=a k h a k h x a y 为常数；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 用配方法可化成：y ＝a(x-h)2＋k ，顶点是(h ，k)。
配方:c bx ax y ++=2＝ab ac ab x a 44)2(22-++对称轴是x ＝－b 2a ，顶点坐标是(－b 2a ，abac 442-),ab ac k ab h 44,22-=-=说明：（1）任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式()k h x a y +-=2，抛物线的顶点坐标是()k h ,，当0=h 时，抛物线k ax y +=2的顶点在y 轴上；当0=k 时，抛物线()2h x a y -=的顶点在x 轴上；当0=h 且0=k 时，抛物线2ax y =的顶点在原点上．例1：请直接写出下列函数的对称轴、顶点坐标。
(1) 222+-=x x y (1) 2432y x x =-++(3) 222+-=x x y 2q px ++2与x 轴只有一个公共点，坐标为()0,2-．例3： 已知二次函数2y ax bx c =++的最大值是2，图像顶点在直线1y x =+上，并且图像经过点（3,-6），求,,a b c 的值．三、两根式：()()()0,,,2121≠--=a x x a x x x x a y 是常数．说明： 当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次方程02=++c bx ax 有实数根21x x 和存在时，根据二次三项式的分解公式()()212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式()()21x x x x a y --=．例1：已知二次函数的图象与x 轴交点坐标分别（-2，0），（5，0），y 轴的交点坐标为（0，-2），求二次函数解析式例2：已知二次函数与x 轴两交点坐标分别为()12,0-、()12,0+，并且与y 轴交于点（0，-2）．求二次函数解析式（（（c 的图象经过()()1,11,2--B A 和两点，则c a ,的值为（ ）.A 、2,1-==c aB 、1,1-==c aC 、3,2-==c aD 、65,61-=-=c a2．二次函数2223m m x mxy -+-=的图象经过原点，则m 的值为（ ）.A 、2B 、1C 、0D 、0或2 3．若二次函数142-++=m x mxy 的最小值是2，则m 的值是（ ）． A 、4 B 、3 C 、-1 D 、4或-14．二次函数c bx ax y ++=2的图象的顶点坐标为()3,1-，与y 轴交于点()2,0，则此二次函数的解析式为（ ）A 、222+-=x x yB 、222+--=x x yC 、222+--=x x yD 、222+-=x x y 5．抛物线232+-=x x y 不经过（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 6．抛物线862++=x x y 的图象与y 轴的交点坐标是（ ）．A 、()8,0B 、()8,0-C 、()6,0D 、()()0,4,0,2-- 7．满足下列关系的二次函数是（ ）．x… -5 -4 -3 -1 0 … y…142-21434…A 、34244++=x x yB 、34244++-=x x yC 、243442++=x x yD 、243442++-=x x y 二、填空题：1．二次函数c bx ax y ++=2满足下列表格中的关系．x … 0 1 2 3 4 … y…-124-12…则其图象开口 ，对称轴为 ，顶点坐标 与轴的交点坐标为 ，与x 轴交点坐标为 .2．已知抛物线()4112--+=x m x y 的顶点横坐标是2，则=m .三、解答题：1.已知二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，求二次函数解析式2.3．已知二次函数的图像与轴交点的横坐标分别为-2和3，并且过点（4，6）作 业1．已知二次函数的图象与一次函数48y x =-的图象有两个公共点P （2，m ）和Q （n,－8）,如果抛物线的对称轴是x=－1，求这个二次函数的解析式。
待定系数法求二次函数的解析式知识集结知识元利用一般式求二次函数的解析式知识讲解已知三个点求二次函数的解析式，一般选择一般式，基本的作法是：（1）设出二次函数的一般式；（2）将三个点的值分别代入到解析式中，得到一个三元一次方程组；（3）解方程组得出三个字母的值，即可得到为此函数的解析式.例题精讲利用一般式求二次函数的解析式例1.'二次函数y=ax2+bx+c的变量x与变量y的部分对应值如下表：求此二次函数的解析式．'例2.'y=ax2+b与y=x+2交于A、B两点，A点横坐标为﹣1，B点横坐标为2，求二次函数解析式．'例3.'已知：抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，8）、B（3，0）、C（0，3）三点（1）求抛物线的表达式；（2）写出该抛物线的顶点坐标．'利用顶点式求二次函数的解析式知识讲解当已知条件中出现二次函数的顶点或者顶点的横、纵坐标之一等顶点相关的内容时，会考虑用顶点式来求解二次函数的解析式.例题精讲利用顶点式求二次函数的解析式例1.一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为（）A．y=﹣2（x﹣1）2+3 B．y=﹣2（x+1）2+3C．y=﹣（2x+1）2+3 D．y=﹣（2x﹣1）2+3例2.二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+3C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2+4例3.将y=2x2﹣12x﹣12变为y=a（x﹣m）2+n的形式，则m•n=．例4.'已知抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．（1）求y1的解析式；（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．'利用两点式（也叫交点式、双根式）求二次函数的解析式知识讲解当已知的点中出现与x轴的交点时，常会考虑设成两点式求二次函数的解析式，此类问题已知点的坐标的形式比较多，除了可以直接已知与x轴的两个交点坐标外，还可以已知其中一个与x轴的交点的坐标及对称轴等其他形式.例题精讲利用两点式（也叫交点式、双根式）求二次函数的解析式例1.若抛物线经过（0，1）、（-1，0）、（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（）A．B．C．D．例2.抛物线与轴的两个交点为（-1，0），（3，0），其形状与抛物线相同，则的函数关系式为（）B．C．D．A．例3.过（﹣1，0），（3，0），（1，2）三点的抛物线的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（1，）C．（﹣1，5）D．（2，）例4.'已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣5，0）、（﹣1，0）、（1，12），求这个抛物线的表达式及其顶点坐标．'顶点在原点的二次函数解析式的求法知识讲解2（a≠0）的形式，其中一次项系数和顶点在原点的二次函数的解析式的结构一定是形如y=ax常数项都为0，所以顶点在原点是一个非常强大的已知条件，接下来再找到一个等量关系即可.例题精讲顶点在原点的二次函数解析式的求法例1.若二次函数函数的图象是顶点在原点，则的值为（）A．-2 B．2C．±2 D．4例2.'抛物线的顶点在原点，且经过点（﹣2，8），求该抛物线的解析式．'例3.'一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且经过点M（﹣2，4），（1）求出这个抛物线的函数表达式，并画出函数图象；（2）写出抛物线上点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出△MON的面积．'顶点在 y 轴上的二次函数的解析式的求法知识讲解顶点在y轴上的抛物线的解析式的形式是b=0，即一次项系数为0.例题精讲顶点在 y 轴上的二次函数的解析式的求法与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线对应的函数是（）.A．B．C．D．例2.已知一抛物线的顶点在y轴上，且过二点（1，2）、（2，5），则此抛物线的解析式为．例3.对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（﹣2，﹣6）的抛物线的解析式为．顶点在 x 轴上的二次函数的解析式的求法知识讲解顶点在x轴上的二次函数可以有多种表述方法：（1）与x轴只有唯一的交点；（2）判别式等于0；（3）图象不在x轴上方（或下方）；（4）对应的一元二次方程有两个相等的实根等.例题精讲顶点在 x 轴上的二次函数的解析式的求法已知抛物线的顶点在轴上，则等于（）A．4B．8C．-4D．16例2.若函数的图象顶点在轴上，则的值为（）A．B．-1C．D．或例3.'如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点在x轴上，且OA=1，与一次函数y=﹣x﹣1的图象交于y轴上一点B和另一交点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为线段BC上一点，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，交抛物线于点F，请求出线段DF的最大值．'过原点的二次函数的解析式的求法知识讲解2（a≠0）的形式，其中一次项系数和顶点在原点的二次函数的解析式的结构一定是形如y=ax常数项都为0，所以顶点在原点是一个非常强大的已知条件，接下来再找到一个等量关系即可.例题精讲过原点的二次函数的解析式的求法例1.如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是（）D．±2A．2B．-2C．例2.'二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣2，0）．求此二次函数的解析式．'例3.'已知抛物线经过原点，点（1，﹣4）和（﹣1，2），求抛物线解析式．'例4.'如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B，求△OAB的面积S．'与长度相关的解析式的求法知识讲解在利用线段的长度或者线段之间的等量关系求二次函数解析式时，可以先通过已知条件求出所需的点的坐标，再将点的坐标代入到设出的二次函数的解析式中求出字母的值即可.例题精讲与长度相关的解析式的求法例1.'已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，﹣6），对称轴是直线x=3，与x轴交于A、B 两点，且AB=8．求函数解析式．'例2.'如图，已知Rt△ABC的斜边AB在x轴上，斜边上的高CO在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2，求经过A、B、C三点的二次函数解析式．'例3.'在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴的负半轴相交于点C （如图），点C的坐标为（0，﹣3），且BO=CO．（1）求出B点坐标和这个二次函数的解析式；（2）若顶点为D，求四边形ABDC的面积．'与面积相关的解析式的求法知识讲解在利用几何图形的面积求二次函数解析式时，可以先通过已知条件求出所需的点的坐标，再将点的坐标代入到设出的二次函数的解析式中求出字母的值即可.例题精讲与面积相关的解析式的求法例1.'已知二次函数y=ax2+2ax﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A点在B点的左侧），与y 轴交于点C，△ABC的面积为12，求此二次函数的解析式．'例2.'在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=﹣x2+kx+4与y轴交于A，与x轴的负半轴交于B，且△ABO的面积是8．（1）求点B的坐标和此二次函数的解析式；（2）当y≤4时，直接写出x的取值范围．'例3.'已知抛物线y=ax2﹣2x+c的对称轴为直线x=﹣1，顶点为A，与y轴正半轴交点为B，且△ABO的面积为1．（1）求抛物线的表达式；（2）若点P在x轴上，且PA=PB，求点P的坐标．'利用几何综合性质求函数解析式知识讲解利用几何性质求函数解析式是求解析式中的较难问题，其难点在于对几何性质的探究，并通过几何性质找到所需的点或列出所需的等式.例题精讲利用几何综合性质求函数解析式例1.'如图，抛物线的顶点M在x轴上，抛物线与y轴交于点N，且OM=ON=4，矩形ABCD的顶点A、B在抛物线上，C、D在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）设点A的横坐标为t（t＞4），矩形ABCD的周长为l，求l与t之间函数关系式．'例2.'如图，已知点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（﹣1，﹣），菱形ABCD的对角线交于坐标原点O．（1）求C、D两点的坐标；（2）求菱形ABCD的面积；（3）求经过A、B、D三点的抛物线解析式，并写出其对称轴方程与顶点坐标．'例3.'已知抛物线y=a（x﹣h）2﹣2（a，h，是常数，a≠0），x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点M为抛物线顶点．（Ⅰ）若点A（﹣1，0），B（5，0），求抛物线的解析式；（Ⅱ）若点A（﹣1，0），且△ABM是直角三角形，求抛物线的解析式；（Ⅲ）若抛物线与直线y1=x﹣6相交于M、D两点①用含a的式子表示点D的坐标；②当CD∥x轴时，求抛物线的解析式．'当堂练习单选题练习1.顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是（）A．y=（x+6）2B．y=（x﹣6）2C．y=﹣（x+6）2D．y=﹣（x﹣6）2练习2.若抛物线经过（0，1）、（-1，0）、（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（）A．B．C．D．练习3.与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线对应的函数是（）.A．B．C．D．练习4.如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是（）D．±2A．2B．-2C．练习5.二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+3C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2+4练习1.已知一抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（3，﹣3），则该抛物线的函数解析式为．练习2.对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（﹣2，﹣6）的抛物线的解析式为．练习3.若抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为．练习4.将y=2x2﹣12x﹣12变为y=a（x﹣m）2+n的形式，则m•n=．解答题练习1.'如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=1，求点B的坐标．'练习2.'一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且经过点M（﹣2，4），（1）求出这个抛物线的函数表达式，并画出函数图象；（2）写出抛物线上点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出△MON的面积．'练习3.'如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B，求△OAB的面积S．'练习4.'如图，二次函数y=﹣x2+mx+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且△AOB的面积为6．（1）求该二次函数的表达式；（2）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．'练习5.'已知，抛物线的顶点为P（3，﹣2），且在x轴上截得的线段AB=4．求抛物线的解析式．'练习6.'如图，一个二次函数的图象经过点A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C在y轴的正半轴上，且AB=OC．求这个二次函数的解析式．'练习7.'直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y=ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP=，求二次函数关系式．'练习8.'如图，二次函数y=﹣x2+mx+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且△AOB的面积为6．求该二次函数的表达式．'练习9.'如图，已知点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（﹣1，﹣），菱形ABCD的对角线交于坐标原点O．（1）求C、D两点的坐标；（2）求菱形ABCD的面积；（3）求经过A、B、D三点的抛物线解析式，并写出其对称轴方程与顶点坐标．'练习10.'y=ax2+b与y=x+2交于A、B两点，A点横坐标为﹣1，B点横坐标为2，求二次函数解析式．'练习11.'已知：抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，8）、B（3，0）、C（0，3）三点（1）求抛物线的表达式；（2）写出该抛物线的顶点坐标．'。
二次函数解析式求法方法总结及专题训练方法一：一般式)0(2≠++=a c bx ax y题目条件特征：任意给定三个点，无明显规律，我们一般设一般式来求解。
例1：已知二次函数的图象经过A （0，－1），B （1，－3），C （－1，3）三点，求这个二次函数的解析式。
变式训练1： 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A （2，0），B （0，－1），C （4，5）三点．求二次函数的解析式．变式训练2：已知在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A （1，0），B （0，－5），C （2，3）．求这个二次函数的解析式。
方法二：交点式（两点式）))((21x x x x a y --=题目条件特征：给定抛物线图象并标出与x 轴的交点，或给定的已知点为（1x ,0）和（2x ，0）的形式，一般设成两点式。
例1：已知抛物线的图象如图所示，求它的解析式．例2：已知抛物线经过三点A （－1，0），B （4，0），C （0，－2），求抛物线的解析式。
变式训练1：根据图中条件求抛物线的解析式．变式训练2：已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）经过点（－2，0），（3，0），（0，4），求此抛物线的解析式。
方法三：顶点式k h x a y +-=2)(（a ≠0）题目条件特征：给定顶点坐标例1：已知抛物线的顶点坐标是（3，-1），与y 轴的交点是（0，-4），求这个二次函数的解析式。
变式训练1：已知顶点坐标为（1,3），且过点（3,0），求抛物线的解析式。
变式训练2:若二次函数的图象的顶点坐标（2，1），且经过点（1，-2），求二次函数的解析式。
当堂小测1. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）经过点（－2，0），（3，0），（0，4），求此抛物线的解析。
2.已知抛物线经过点A（1，0），B（0，－3），且对称轴是直线x＝2，求此抛物线的解析式。
二次函数解析式求法与例题
小编整理了关于二次函数解析式求法与例题，希望对于同学们的二次函数解析式的求法有所了解，包括相关例题以供同学们呢练习和实践！二次函数一般形式：y=ax2+bx+c(任意三点)
顶点式：y=a(x+d)2+h(顶点和任意除顶点以外的点)有的版本教材也注原理相同
例：某二次函数图像顶点(-2,1)且经过(1,0),求二次函数解析式
解:设y=a(x+2)2+l注意：y=a(x-d)2+h中d是顶点横坐标,h是顶点纵坐标
由于二次函数图像过点(1,0)
因此a*3的平方的二0解得a=T∕9
所以所求作二次函数解析式为y=-l∕9(x+2)2÷l
(此题是样题，所以就不进一步化简成一般形式)
两根式：函数图像与X轴两交点与另外一点首先必须有交点(b2-4ac0)y=a(χ-χl)(χ-χ2)其中xl,x2是图像与X轴两交点并且是ax2+bx+c=0的两根
如果二次函数一般形式和与X轴的一个交点，那么可以求出另一个交点利用根与系数的关系
例：y=x2+4x+3与X轴的一个交点是(T,0),求其与X轴的另一交点坐标解：由根与系数的关系得：
xl+x2=-b∕a--4那么x2=-4-XI=-4-(T)=-3
所以与X轴的另一交点坐标为(-3,0)
另外将y=ax2+bx+c向右平移2个单位可得
y=a(x-2)2÷b(χ-2)+c
再向下平移2个单位得：y=a(x-2)2+b(x-2)+c-2
二次函数解析式求法与例题，仅供同学们参考，希望同学们的二次函数解析式学习有所帮助！。
