《隐函数存在定理》PPT课件

注2. 必须注意, 定理1是一个局部性的隐
函数存在定理. 例如, 从双纽线图形可以看
出, 除了
三点以外, 曲线上其
余各点处都存在局部隐函数
(这不
难用定理1加以检验).
(0,0),(1,0),(1,0)
y f (x)
注3. 在方程
中, 与 的地位是
平等的. 当条件(iii)改为
时, 将在
点
的局部由方程
确定唯一
的隐函数 成立.
定理1相应的全部结F论(均x, y) 0
xy
例1 方程 邻域内确定隐函数
能否在原点的某 或
Fx (x0 , y0 ) 0
P0 (x0 , y0 )
F(x, y) 0
x g(y),
cos y sin x e xy y f (x)
x g(y)?
定理2 设 (i) 偏导数
x (x0 , x0 )
(x, f (x)) U (P0 ), F(x, f (x)) 0, y0 f (x0 );
y f (x) y f (x)
(x0 , x0 ) (x0 , x0 )
f (x) Fx (x, y) . Fy (x, y)
注1. 一方面, 定理1中的条件仅是存在隐 函数的充分条件, 而非必要条件. 例如, 方程
注3. 隐函数一般需要同时指出自变量与 因变量的取值范围. 例如, 由方程 可确定如下两个隐函数
注4. 类似可定义多元隐函数. 例如, 由方
程
确定的隐函数
x2 y2 1
y 1 x2 , x [1,1], y [0,1], y 1 x2 , x [1,1], y [1,0].
F(x, y, z) 0
在(
在
x1
,内 内x连 有2 续连,续; 的, x偏n
)
U
(Q0
)
F (x1, x2 ,, xn , f (x1, x2 ,, xn )) 0,
y (0)
f
(
x1(0)
,
x2(0),,x来自(0 n));
y f (x1, x2 ,, xn ) U (Q0 )
隐函数的一般定义: 设有一方程
其中
若存在
对任一 有唯一确定的 与之对应,
使得 满足上述方程, 则称由上述方程确
定了一个定义在 值域含于 的隐函F数(x. 如, y) 0,
果把此隐函数记为
F : X Y R, X R,Y R.
I R, J R,
x I, (x, y)
yJ
I,
J
则成立恒等式
,,
xn(0)
,
y (0)
)
0;
Fy
(x1(0)
,
x(0) 2
,,
x(0) n
,
y (0)
)
0.
(1) 存在
的一个邻域
使得在点
的某邻域内,
方程
唯一地确定一个定义
在 的 元隐函数
Q0 (x满1(0足) , x2(0) ,, xn(0) )
U (Q0 ),
换句话说, 存在函数
P0 (x1(0) , x2(0) ,, xn(0) , y (0) )
z f (x, y).
隐函数存在性条件分析
当函数 满足怎样一些条件时, 由方
程
能确定一个隐函数
并使
该隐函数具有连续、可微等良好性质?
(a) 把上述隐函数 看F作(曲x面, y)
与坐标平面 的交线, 故至少要求该交集
非空, 即存在F (x, y满)足 0
y f (x),
y f (x)
z F(x, y)
z0
P0 (x0 , y0 ),
F (x0 , y0 ) 0.
(b) 为使
在 连续, 应要求
在点 连续.
(c) 为使
在 可导, 即曲线
在点 y 存在切线, 而此切线是曲面 f (x)
在点 的切平面与 的交线, 故应要求
x0
P 在点 可微, 且 0
y f (x) x0
F(x, y) y f (x)
隐函数的概念
显函数: 因变量可由自变量的某一表达式 来表示的函数. 例如,
隐函数: 自变量与因变量之间的对应关系 是由某一个方程式所确定的函数. 例如,
y 1 sin 3 x, z x2 y2 .
x 2 / 3 y 2 / 3 a 2 / 3 , x3 y 3 z 3 3xyz 0.
显然
但仍能确定唯一隐函数
另一方面, 定理1中的条件又是非常重要的.
例如,
(双纽线),
在 同样不满足条件(iii), 而在该点无论
F (x, y) y3 x 0,
Fy (0,0) 0,
F (x, y) (x2 y 2 )2 x2 y 2 0 (0,0)
1
y x3.
多小的邻域内都不存在唯一的隐函数(见图).
注1. 隐函数不一定能化为显函数, 也不一
定需要化为显函数. 上面把隐y函数仍f记(为x), x I , y J ,
这与它能否用显函数表示无关.
注2. 不是任一方程 函数. 例如,
都能确定F隐(x, f (x)) 0, x I.
y f (x),
F(x, y) 0
x 2 y 2 1 0.
P0
z F(x, y)
P0
z0
F(x, y)
P0 (Fx (x0 , y0 ), Fy (x0 , y0 )) (0,0).
隐函数存在定理(单个方程情形)
定理1 设 (i) 在
满足下列条件: 上连续;
(ii)
(iii) 则 (1)
F(x, y)
在 的某邻域 内, 由方程
上的唯隐一函地数确定F了x ,一F个满y定足义在D :| x x0 | a,| y y0 | b
F (x1, x2 ,, xn , y) 0
U (Q0 ) n
y f (x1, x2 ,, xn ),
y (0)
f
( x1(0)
,
x2(0)
,,
x
(0) n
).
y f (x1, x2 ,, xn ), (x1, x2 ,, xn ) U (Q0 ),
使得当
时, 有
且 (2) (3)
导数, 且
F (x0 , y0 ) 0;
Fy (x0 , y0 ) 0.
0, P0
U (P0 )
F(x, y) 0
x0 )
y f (x),
(x0 ,
y0 f (x0 ).
换句话说, 存在函数
定义在
上, 当
时, 有
且
(2)
在
上连续;
(3)
在
上有连续的导
数, 且 (x0 , x0 )
y f (x),
上连续, 其中 (ii) (iii)
则
多元隐函数存在定理
满足下列条件: 和在
F (x1, x2 ,, xn , y)
Fxi (i 1,2,, n) Fy D :| xi xi(0) | ai (i 1,2,, n), | y y (0) | b
ai 0,b 0;
F (x1(0)
,
x
(0) 2