考研积分上限的函数(变上限积分变限积分)知识点全面总结

考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。

注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。

2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。

（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。

）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则⎰=xa dtt f x F )()(在],[b a 上连续。

定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。

定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。

这是积分上限函数的良好性质。

而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。

（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。

它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。

我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。

定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。

重要推论及计算公式：推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。

> 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情况求导。

1专题2——积分上限函数（变限积分）与不定积分之间的关系
注意积分上限函数（数学全书上成为变限积分）的定义：函数为区间上的连续函数，设()f x [,]a b 为区间上的一定点，积分，（这里的积分变量用表示而没有用表0x [,]a b 0()x
x f t dt ⎰[,]x a b ∈t x 示，主要是为了避免与积分上限产生混淆，在定积分中，积分变量的选取与定积分的指没有关系，x 即）定义了一个函数，令为，，且000()()()x
x x x x x f t dt f u du f x dx ==⎰⎰⎰0()()x
x x f t dt φ=⎰[,]x a b ∈有0()(())()
x
x x f t dt f x φ''==⎰由原函数的定义及可知，函数即为在区间0()(())()x
x x f t dt f x φ''==⎰()x φ0()x
x f t dt ⎰()f x 上的一个原函数，那么在区间上的不定积分（即在区间上的全体原函[,]a b ()f x [,]a b ()f x [,]a b 数）可以表示为：，，为任意常数。

0()()x
x f x dx f t dt C =+⎰⎰[,]x a b ∈C 所以，求函数在区间上的不定积分（亦即全体原函数），既可以用不定积分的方法()f x I 求出，也可以用定积分的方法求出。

()f x dx ⎰0()x
x f t dt C +⎰。

关于积分上限函数积分上限函数（或变上限定积分）()()xa F x f t dt =⎰的自变量是上限变量x ，在求导时，是关于x 求导，但在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。

弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。

1． 关于积分上限函数的理论定理1 如果)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上连续.定理2 如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xadt t f x F )()(在],[b a 上可导，且).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。

这是积分上限函数的良好性质。

而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。

（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。

它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。

我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。

定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。

推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰推论3)()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dxd x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰2． 积分限函数的几种变式（1） 比如 ⎰-=xdt t f t x x F 0)()()((被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)在求)(x F '时，先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-xxxxdt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0)()()()(的形式，再对x 求导。

上限积分函数
[∫[0,x] f(t)dt]'=f(x)
即：变动上限积分对变动上限的导数，等于将变动上限带入被积函数。

例：
F(x)=∫[0,x] sint/t dt 尽管sint/t 的原函数F(x) 无法用初等函数表示，但F(x)的导数却可以根据【变动上限积分求导法则】算出：
[F(x)]'=[∫[0,x] sint/t dt ]'=sinx/x
一般形式的【变动上限积分求导法则】为：
【∫[φ(x) ,ψ(x)] f(t)dt】' = f(φ(x))φ'(x)-f(ψ(x))ψ'(x)
设函数y=f(x) 在区间[a，b]上可积，对任意x∈[a，b]，y=f(x)在[a，x] 上可积，且它的值与x构成一种对应关系（如概述中的图片所示），称Φ(x)为变上限的定积分函数。

扩展资料：
如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。

一般来说，被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。

定义某些特殊的函数：在某些积分的定义下这些函数不可积分，但在另一些定义之下它们的积分存在。

然而有时也会因为教学的原因造成定义上的差别。

最常见的积分定义是黎曼积分和勒贝格积分。

题型13 变上限函数(**)一、基础知识1.变上限函数求导（六种类型） 例1.（07-2-10）设()f x 是区间[0,]4π上的单调、可导函数，且满足 ()10cos sin ()sin cos f x x t tf t dt tdt t t--=+⎰⎰，其中1f-是f 的反函数，求()f x . 【答案】()ln(sin cos ).f x x x =+例2.(06-2)设函数231sin ,0,(),x t dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续，则a =13. 例3.(05-2-11分) 设函数()f x 连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x 【答案】12例4.(02-3)求极限2[arctan(1)]lim(1cos )xu x t dt du x x →+-⎰⎰. 【答案】6π例5.(99-1)220sin()sin .x d x t dt x dx-=⎰练习1. (98-1) 设函数()f x 连续,则220()x d tf x t dt dx-=⎰ 【A 】 (A)2()xf x . (B)2()xf x -. (C)22()xf x . (D)22()xf x -.2.(97-3) .设1cos 2()sin xf x t dt -=⎰,56()56x x g x =+,则当0x →时,()()f x g x 是的 【B 】(A)低阶无穷小. (B)高阶无穷小. (C)等价无穷小. (D)同阶但不等价无穷小. 3.(96-1)设函数()f x 有连续导数,(0)0,'(0)0f f =≠,220()()()xF x x t f t dt =-⎰,且当0x →时'()F x 与kx 是同阶无穷小,则k 等于 【C 】(A)1. (B)2. (C)3. (D)4. 4.(92-2)设函数()f x 连续,220()(),x F x f t dt =⎰则'()F x =42()xf x .5.设1ln ()1xt f x dt t =+⎰,其中0x >,求1()()f x f x +. 【答案】21ln 2x 2.变上限函数的性态(周期性 有界性 奇偶性 单调性 连续性)例6.(06-2)设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则0()x f t dt ⎰是【B 】（A ）连续的奇函数.（B ）连续的偶函数.（C ）在0x =间断的奇函数.（D ）在0x =间断的偶函数.例7.(05-12) 设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 【A 】(A) ()F x 是偶函数⇔()f x 是奇函数. （B ）()F x 是奇函数⇔()f x 是偶函数.(C) ()F x 是周期函数⇔()f x 是周期函数. (D) ()F x 是单调函数⇔()f x 是单调函数.例8.(04-4) 设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则 【B 】(A) ()F x 在0x =点不连续.(B) ()F x 在(-∞ , +∞)内连续，但在0x =点不可导.(C) ()F x 在(-∞ , +∞)内可导，且满足)()(x f x F ='. (D) ()F x 在(-∞ , +∞)内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.例9.(02-24) 设函数()f x 连续,则在下列变上限定积分定义的函数中,必为偶函数的是 【A 】(A)0[()()].xt f t f t dt +-⎰ (B)0[()()].xt f t f t dt --⎰(C)20().xf t dt ⎰(D)20().xf t dt ⎰例10.(02-2)设2232,10,2(),01,(1)x x x x x f x xe x e ⎧+-≤<⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪+⎩求函数1()()x F x f t dt -=⎰的表达式. 【答案】3211,10,22()1ln(1)ln 2,01,(1)2xx x x x F x x e x e -⎧+--≤<⎪⎪=⎨⎪--++-≤≤+⎪⎩例11.(01-34)设0()(),xg x f u du =⎰其中21(1),012()1(1),12,3x x f x x x ⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩则()g x 在区间(0,2)【D 】(A)无界. (B)递减. (C)不连续. (D)连续. 例12.(97-4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续,且0()(2)(),xF x x t f t dt =-⎰试证(1) 若()f x 是偶函数时, ()F x 也是偶函数; (2) 若()f x 是单调不增函数, ()F x 单调不减. 练习1.(99-1234) 设()f x 是连续函数, ()F x 是()f x 的原函数,则 【A 】 (A) 当()f x 是奇函数时, ()F x 必为偶函数. (B) 当()f x 是偶函数时, ()F x 必为奇函数. (C) 当()f x 是周期函数时, ()F x 必为周期函数. (D) 当()f x 是单调增函数时, ()F x 必为单调增函数.2.(97-3)设函数()f x 在[0,)+∞上连续,单调不减且(0)0f ≥,试证函数1(),0,()00x nt f t dt x F x x x ⎧>⎪=⎨⎪=⎩⎰在[0,)+∞上连续且单调不减(其中0n >).3.若()f x 是连续函数且为奇函数,证明 0()xf t dt ⎰是偶函数;若()f x 是连续函数且为偶函数,证明()xf t dt ⎰是奇函数.题型14 有关定积分的证明例1.(05-3)设(),()f x g x 在[0,1]上的导数连续,且(0)0,'()0,'()0f f x g x =≥≥,证明:对任何[0,1]a ∈,有1()'()()'()()(1)ag x f x dx f x g x dx f a g +≥⎰⎰例2.(04-2)设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()f x 的值域. 【答案】[2例 3.(01-3)设()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足110(1)()(1)x k f k xe f x dx k -=>⎰,证明:至少存在一点(0,1)ξ∈,使得1'()(1)()f f ξξξ-=-例4.(00-2)设函数0()cos ,xS x t dt =⎰(1) 当n 为正整数,且(1)n x n ππ≤<+时,证明:2()2(1);n S x n ≤<+ （2）求()lim.x S x x →+∞ 【答案】2π例 5.(00-1) 设函数()f x 在[0,]π上连续,且()0f x dx π=⎰,0()cos 0f x xdx π=⎰,试证:在(0,)π内至少存在两个不同的点12,,ξξ使得12()()0f f ξξ==.例6.（01-4）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导,且满足21130(1)3()x f e f x dx -=⎰, 证明：存在(0,1)ξ∈，使得()2().f f ξξξ'=题型15 定积分的应用一、基础知识 几何应用（一）平面图形的面积 1．直角坐标情形由曲线)0)(()(≥=x f x f y 及直线 x a =与 x b = ( a b < ) 与 x 轴所围成的曲边梯形面积A 。

积分变上限函数求导定理概述说明以及解释1. 引言1.1 概述积分变上限函数求导是微积分中的重要概念，指的是对一个积分式中的上限函数进行求导。

在实际问题中，我们经常会遇到需要对此类函数进行求导的情况，因此掌握积分变上限函数求导的定理和方法具有重要意义。

1.2 研究目的本文旨在介绍积分变上限函数求导定理及其推导过程，并通过示例演练来展示其应用。

同时，我们还将展望该定理在其他相关领域中的应用前景，并提供习题以及扩展阅读推荐，帮助读者进一步深入了解和掌握这一概念。

1.3 文章结构本文共分为五个主要部分。

首先，在引言部分概述了文章的主题和目标；接下来，在“2. 积分变上限函数求导简介”部分对该定理进行简介并解析其求导过程；紧接着，在“3. 积分变上限函数求导定理的推导”部分详细说明了该定理的推导原理、步骤以及举例说明；然后，在“4. 应用与拓展”部分展望了相关领域中该定理的应用展望，并提供了练习题和扩展阅读推荐；最后，在“5. 结论与总结”部分对全文进行总结，归纳了要点并展望了进一步的研究方向。

通过这样的结构安排，读者可以逐步深入理解和掌握积分变上限函数求导定理及其相关知识。

2. 积分变上限函数求导简介：2.1 定理说明：积分变上限函数求导定理是微积分中的一个重要定理，用于计算带有积分上限的复合函数的导数。

假设函数g(t)在区间[a, b]上连续，并且f(u)为一个可导函数，则定义如下复合函数G(x)：G(x) = ∫[a,x] f(g(t)) dt根据积分变上限函数求导定理，我们可以得到G'(x)的表达式。

2.2 求导过程解析：为了求解G'(x)，我们需要使用基本的微积分技巧和链式法则。

具体步骤如下：1. 首先，我们将G(x)表示为两个独立变量的复合函数：G(x) = F(u(x), v(x))，其中u(x) = x，v(x) = ∫[a,x] f(g(t)) dt 。

2. 然后，对于F(u, v)应用链式法则：dF/du * du/dx + dF/dv * dv/dx。

变上限积分公式大全
变上限积分公式是∫f(t)dt（积分限a到x），根据映射的观点，每给一个x就积分出一个实数，因此这是关于x的一元函数，记为g(x)=∫f(t)dt（积分限a到x），注意积分变量用什么符号都不影响积分值，改用t是为了不与上限x混淆。

积分下限为a，下限是g(x) 那么对这个变上限积分函数求导，就用g(x)代替f(t)中的t，再乘以g(x)对x求导，即g'(x) 所以导数为f[g(x)]*g'(x)。

注意积分变量用什么符号都不影响积分值，改用t是为了不与上限x混淆。

变上限积分是微积分基本定理之一，通过它可以得到“牛顿——莱布尼茨”定理，它是连接不定积分和定积分的桥梁，通过它把求定积分转化为求原函数，这样就使数学家从求定积分的和式极限中解放出来了，从而可以通过原函数来得到积分的值！
变上限积分定理：连续函数f(x)在[a,b]有界，x属于（a,b)，取βX足够小，使x+βX属于（a,b），则存在函数F(x)=∫(0,x)f(t)dt, 使F(x)的导数为f(x)。

变上限积分知识点总结一、基本概念1. 变上限积分的定义变上限积分是积分学中的一种特殊情况，指的是被积函数的上限是一个变量的函数，即上限积分的上限是一个变量，而下限是一个常数。

通常表示为∫[a, x] f(t) dt，其中x是变量，a是常数，f(t)是被积函数。

2. 变上限积分的意义变上限积分常常在物理、工程、经济等领域中应用广泛，尤其是对于描述动态变化的情况。

例如，描述质点在一定时间内的路程、速度、加速度等都可以用变上限积分来表示。

3. 变上限积分的性质变上限积分具有很多与常规积分类似的性质，比如线性性质、加法性质、减法性质、定积分的性质等等，这些性质使得变上限积分具有很强的计算和推导能力。

二、变上限积分的计算1. 计算方法变上限积分的计算方法和常规积分非常相似，通常采用牛顿-莱布尼兹公式、分部积分法、换元积分法等进行计算。

2. 牛顿-莱布尼兹公式牛顿-莱布尼兹公式是变上限积分的基本定理，也称为上限导函数的几何意义。

公式表明，若函数F(x)是f(x)的一个原函数，则有∫[a, x] f(t) dt = F(x) - F(a)。

这个公式类似于不定积分中的基本定理，可以用来求解变上限积分。

3. 分部积分法分部积分法是计算变上限积分的一种常用方法，它和常规积分中的分部积分法类似，通过选择适当的u和dv，然后应用积分的分部积分公式进行计算。

4. 换元积分法换元积分法也可以用来计算变上限积分，其思想是将变上限积分中的变量进行替换，然后将原变量的积分变成新变量的积分。

这种方法在一些特殊情况下可以简化计算。

三、变上限积分的应用1. 物理学中的应用在物理学中，变上限积分广泛应用于描述物体的位置、速度、加速度等动态变化的情况。

例如，当质点的加速度是给定的函数时，可以通过变上限积分来求解质点的速度和位移。

2. 工程学中的应用在工程学中，变上限积分通常用来描述系统的动态变化和特定的工程问题。

例如，机械工程中的速度、加速度、位移等问题都可以用变上限积分来求解。

考研积分上限的函数知识点全面总结1.变上限积分的定义变上限积分是确定了一个变量作为积分上限的积分形式，记作\(\int_{a}^{x} f(t) \, dt\)，其中\(f(t)\)是被积函数，\(a\)是积分下限，\(x\)是积分上限。

2.变上限积分的性质变上限积分具有以下性质：- 可加性：\(\int_a^x f(t) \, dt + \int_x^b f(t) \, dt =\int_a^b f(t) \, dt\)- 导数性质：\(\frac{d}{dx}\int_a^x f(t) \, dt = f(x)\)- 积分性质：\(\int_a^x f'(t) \, dt = f(x) - f(a)\)- 形式不变性：\(\int_a^x f(t) \, dt = \int_a^b f(t) \, dt\)，其中\(a \leq x \leq b\)3.变上限积分的计算方法变上限积分的计算方法与定积分类似，需要先找到原函数\(F(x)\)。

具体方法如下：-先求导得到\(f(x)\)；-对\(f(x)\)进行积分，得到\(F(x)+C\)，其中\(C\)为常数；-最后将\(F(x)\)的上限替换为\(x\)即可。

4.变上限积分的应用变上限积分在数学和物理学中有广泛的应用，例如：-平均值定理：根据变上限积分的导数性质，可以推导出平均值定理，用于求函数在一些闭区间上的平均值；-曲线长度：通过变上限积分可以计算曲线的长度；-物理学应用：变上限积分可以用于描述物体在不同时间段内的速度、加速度等物理量。

总结起来，变上限积分是定积分的一种形式，它的自变量是积分上限。

变上限积分具有可加性、导数性质、积分性质和形式不变性等性质。

计算变上限积分时，需要找到原函数并替换上限。

变上限积分在数学和物理学中有广泛的应用，例如平均值定理、曲线长度和物理学应用。

积分上限函数的性质及应用积分上限函数（即变上限的定积分）揭示了定积分和不定积分之间的联系,是一元函数微积分学中的一个重要概念.积分上限函数具有很多的性质，既具有普通函数相似的特征，由于它的上限是变化的，因而又有许多与积分有关的特殊性质.本文首先总结归纳出积分上限函数的重要性质，并对这些性质进行详细的证明;其次总结归类出证明积分等式、不等式的方法并进一步给出这些方法的具体应用.1 积分上限函数1.1 积分上限函数的定义)220](1[P设函数()f x 在区间[,]a b 上可积，对任何[,]x a b ∈,()f x 在[,]a x 上也可积.于是，由()(),[,]xaF x f t dt x a b =∈⎰,定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为积分上限函数即变上限的定积分.1.2 积分上限函数的几何意义)350](2[P如果[,]x a b ∀∈，有函数()0f x ≥，对区间[,]a b 上任意x ，积分上限函数()F x 是区间[,]a x 上曲边梯形的面积，如下图的阴影部分.图1.11.3 积分上限函数的性质1.3.1积分上限函数的连续性)221](1[P若函数()f x 在区间[,]a b 上可积，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上连续. 证 [,]x a b ∀∈,且[,]x x a b +∆∈，有()()()()()()x xx x xaaxF x F x x F x f t dt f t dt f t dt +∆+∆∆=+∆-=-=⎰⎰⎰因为f 在[,]a b 上可积，所以f 在[,]a b 上有界， 即存在正数M ，使得()f x M ≤，[,]x a b ∀∈，当0x ∆≥时，x M dt t f dt t f x F xx x xx x ∆≤≤=∆⎰⎰∆+∆+)()()( 当0x ∆<时，x M dt t f dt t f x F xx xxx x ∆≤≤=∆⎰⎰∆+∆+)()()(所以0lim ()0x F x ∆→∆=, 即积分上限函数()F x 在点x 连续，而由x 的任意性，可知函数()F x 在区间[,]a b 上连续.1.3.2积分上限函数的可导性[1](221)P若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上可导，且()()F x f x '=. 证 [,]x a b ∀∈，且[,]x x a b +∆∈，(0)x ∆≠有()()()()()()x xx x xaaxF x F x x F x f t dt f t dt f t dt +∆+∆∆=+∆-=-=⎰⎰⎰由积分第一中值定理，有()1()()x xx F x f t dt f x x x xθ+∆∆==+∆∆∆⎰ (01)θ≤≤ 因为函数)(x f 在区间],[b a 上连续，所以00()()lim lim ()()x x F x F x f x x f x xθ∆→∆→∆'==+∆=∆即()F x 在点x 可导. 而由x 的任意性，可知函数()F x 在区间[,]a b 上可导.1.3.3积分上限函数的可积性若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上可积.证 已知函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在区间[,]a b 上可积，所以由1.3.1可推出积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上连续，则()F x 在区间[,]a b 上可积.1.3.4积分上限函数的单调性若函数)(x f 在区间[,]a b 上连续且非负（正），则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上单调递增（减）.证 因为)(x f 在区间[,]a b 上连续且非负，则()()0F x f x '=≥，所以)(x F 在区间[,]a b 上单调递增.同理可证另一种情况.特别地,若()f x 在[,]a b 上非负单调递增（减），则()F x 在[,]a b 上单调递增. 1.3.5积分上限函数的奇偶性[3](140)P若函数)(x f 在区间[,]a a -上连续且为奇（偶）函数时，则积分上限函数)(x F 为偶（奇）函数. 证 设)(x f 在区间[,]a a -上连续且为奇函数，即)()(x f x f -=-.()()xF x f t dt --=⎰，令t u -=()()()()()()xxxF x f u d u f u du f t dt F x -=--===⎰⎰⎰，所以)(x F 为偶函数.同理 当)(x f 在区间[,]a a -上连续且为偶函数，即)()(x f x f =-.()()xF x f t dt --=⎰，令t u -=()()()()()()xxxF x f u d u f u du f t dt F x -=--=-=-=-⎰⎰⎰所以)(x F 为奇函数.1.3.6积分上限函数的凹凸性[4](32)P若函数)(x f 在区间上[,]a b 单调递增（递减），则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上是凸（凹）函数.证 因为函数)(x f 在区间[,]a b 上单调递增，取123,,[,]x x x a b ∈，且123x x x <<， 则123()()()f x f x f x <<.2121()()F x F x x x --2121()()x x aaf t dt f t dtx x -=-⎰⎰2121()x x f t dtx x =-⎰2()f x ≤≤3232()x x f t dtx x -⎰3232()()F x F x x x -=-所以()F x 在区间[,]a b 上是凸函数.同理可证明另一种情况.1.3.7积分上限函数的周期性[3](140)P若函数)(x f 在(,)-∞+∞上以T 为周期，对任意a b <, )(x f 在区间[,]a b 上可积，且()0Tf t dt =⎰,则积分上限函数()F x 也以T 为周期. 证 ()()x T a F x T f t dt ++=⎰()()()Tx TaTf t dt f t dt f t dt +=++⎰⎰⎰0()0()x TaTf t dt f t dt +=++⎰⎰令t u T =+()()()()()xaF x T f u T d u T f u T d u T +=+++++⎰⎰()00()xaf u T du f u T du=+++⎰⎰00()()xaf u du f u du =+⎰⎰()()xaf t dt F x ==⎰所以()F x 是一个以T 为周期的函数.1.3.8积分上限函数的有界性若函数)(x f 在区间[,]a b 上连续，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上有界. 证 因为函数)(x f 在区间[,]a b 上连续，所以由积分上限函数的可积性可知 函数)(x f 在区间[,]a b 上可积，即函数)(x f 在区间[,]a b 上有界. 所以存在正数M ，使得()f x M ≤，[,]x a b ∈ 则()F x ()xaf t dt ≤⎰()()xaf t dt M b a ≤≤-⎰,所以积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上有界.2 积分上限函数的应用给出积分上限函数在证明积分等式、不等式的问题中应用. 2.1 利用积分上限函数证明积分等式在证明积分等式时，根据题设条件设积分上限函数为()F x ，由拉格朗日中值定理的推论：如果在某个区间上恒有()0F x '=，则在该区间上()F x 恒等于一个常数，即可证明某些关于积分的等式.例1 若()f x 在区间[,]a b 上连续,则()()bbaaf x dx f a b x dx =+-⎰⎰.证 设()()xaF x f t dt =⎰,则()()F x f x '=()()()ba f x dx Fb F a =-⎰()()()bb aaf a b x dx f a b x d a b x +-=-+-+-⎰⎰()b aF a b x =-+-()()F a b b F a b a =-+-++-()()F b F a =-于是命题得证.例2 设()f x 是连续函数，证明0[()]()()xu xf t dt du x u f u du =-⎰⎰⎰.证 方法一 令00()[()]()()x ux F x f t dt du x u f u du =--⎰⎰⎰()()()()()0xxF x f t dt f u du x f x xf x '=--+=⎰⎰()F x C ≡（C 为常数），因为(0)0F =，所以()0F x ≡， 即[()]()()x uxf t dt du x u f u du =-⎰⎰⎰.方法二 记 10()()()()()xx xg x x u f u du x f u du uf u du =-=-⎰⎰⎰20()[()]xug x f t dt du =⎰⎰则由 10()()()()()xx g x f u du xf x xf x f u du '=+-=⎰⎰， 20()()xg x f u du '=⎰由此得到 12()()g x g x ''=，所以12()()g x g x C -≡，（C 为常数）12(0)(0)0g g ==，所以12()()g x g x =即[()]()()xu xf t dt du x u f u du =-⎰⎰⎰.例3 设函数()f x 在区间[,]a b 上可积，则[,]x a b ∃∈，证明 ()()xbaxf t dt f t dt =⎰⎰.证 令()()()ybayF y f t dt f t dt =-⎰⎰.由函数)(x f 在区间[,]a b 上可积，可知()F y 区间[,]a b 上连续，且()(),()()b baaF a f t dt F b f t dt =-=⎰⎰.若()0baf t dt ≠⎰，则()()0F a F b <，由零点定理可知[,]x a b ∃∈,使得()()()0x b axF x f t dt f t dt =-=⎰⎰或()()x ba xf t dt f t dt =⎰⎰.若()0baf t dt =⎰，则取x a =或x b =，有()().x baxf t dt f t dt =⎰⎰于是命题得证.例4 设()f x 是连续函数，证明 232001()()2aa x f x dx xf x dx =⎰⎰.证 构造辅助函数232001()()()2a a F a x f x dx xf x dx =-⎰⎰.由积分上限函数的导数定理及复合函数求导法则得32221()()()202F a a f a a f a a '=-⋅=，所以()F a C ≡（C 为常数）,又因为(0)0F =,所以()0F a =, 故2321()()2aa x f x dx xf x dx =⎰⎰.例5在区间(0,1)上连续，证明 ⎰⎰⎰⎰=1311])([61)()()(dt t f dz z f dy y f dx x f x y x .证 令0()()xF x f t dt =⎰，则()()F x f x '=. 原等式左端11(){()[()()]}x f x f y F y F x dy dx =-⎰⎰12101(){[()()]}2x f x F y F x dx=-⎰1201()[(1)()]2f x F F x dx =-⎰ 3101[(1)()]6F F x =-=3)]1([61F==⎰13])([61dt t f 右端 故所证等式成立.2.2 利用积分上限函数证明积分不等式在证明积分不等式时，根据题意构造积分上限函数，可适时选择常数变易法、辅助函数法等方法去解决问题.例1 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且单调增加，求证()()2bbaa ab xf x dx f x dx +≥⎰⎰. 证明 构造辅助函数()F x ()xa t f t dt =⎰()2xaa x f t dt +-⎰，则()0F a =，对任意[,]x ab ∈，()F x 关于x 求导，有()F x '=1()()()22x a a xxf x f t dt f x +--⎰ 1()()22x a x a f x f t dt-=-⎰ 1[()()]2xaf x f t dt =-⎰ 因为()f x 单调递增，所以()0F x '≥.()F x 在区间[,]a b 上连续并且单调递增，则()()F b F a ≥0=,所以命题得证.例2设()f x 在区间],[b a 上单调增并且连续，证明 ()a b +()2()bbaaf x dx xf x dx ≤⎰⎰.证 构造辅助函数()()()2()x xaaF x a x f t dt tf t dt =+-⎰⎰则 ()F x '=()xa f t dt ⎰+()()2()a x f x xf x +-()()()xaf t dt x a f x =--⎰()()()()0x a f x x a f x ≤---=由此可知,()F x 在区间[,]a b 上单调递减，所以()()F b F a ≤0=，即()a b +()2()bbaaf x dx xf x dx ≤⎰⎰.例3 设()f x 在区间[,]a b 上正值连续,证明⎰badxx f )(1()badx f x ≥⎰2()b a -. 证 构造辅助函数()F x =2()()()xxaadtf t dt x a f t --⎰⎰则()F x '=1()()xaf x dt f t ⎰+1()2()()xaf t dt x a f x --⎰ ()()[]2()()()xaf x f t dt x a f t f x =+--⎰ 因为()()2()()f x f t f t f x +≥, ()2()2()0F x x a x a '≥---= 所以()F x 在区间[,]a b 上单调递增，而()0F a =，()0F x ≥ )(a x ≥，则()0F b ≥,即⎰badxx f )(≥⎰dx x f ba)(12)(a b -. 例4 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续且单调递减，证明 对任意(0,1]a ∈，均有()af x dx ⎰1()a f x dx ≥⎰.证 方法1 设x at =,等式左端化为:11()()()af x dx a f at dt a f ax dx ==⎰⎰⎰因为()f x 单调递减,01a <≤,所以()()f ax f x ≥,于是11()()()af x dx a f ax dx a f x dx =≥⎰⎰⎰.方法21()()af x dx a f x dx ≥⎰⎰等价于1()()1af x dx f x dx a≥⎰⎰ (0)a >设0()()xf x dx F x x=⎰,(01)x <≤,则02()()()x f x x f t dtF x x⋅-'=⎰.因为()f x 连续,利用积分中值定理2()()()f x x f x F x x ξ⋅-⋅'=()()f x f xξ-= (0)x ξ<< 因为()f x 在[0,1]上单调递减，所以当x <<ξ0时,)()(ξf x f <,从而当10≤<x 时()0F x '≤，故()F x 在[0,1]上单调递减，于是对任意(0,1)a ∈，有()(1)F a F >，特别地当1a =时,原不等式中的等号成立，所以1001()()af x dx f x dx a≥⎰⎰， 即1()()af x dx a f x dx ≥⎰⎰.例5已知当b x a ≤≤时，()0,()0f x f x '''>>，证明()()()[()()]2bab ab a f a f x dx f a f b --<<+⎰. 证 ⑴令()()()()xaF x f t dt x a f a =--⎰()a x b ≤≤，则()()()F x f x f a '=-当b x a ≤≤时，()0f x '>，所以()f x 在区间[,]a b 上单调递增,即 ()()f x f a ≥. 当且仅当a x =时，()0F x '=，所以()F x 在区间[,]a b 上单调递增, 即 ()()0F b F a >=，则 ()()()ba b a f a f x dx -<⎰.⑵令()()[()()]2xax aG x f t dt f a f x -=-+⎰ ()a x b ≤≤，则 1()()[()()]()22x aG x f x f a f x f x -''=-+-()()()22f x f a x af x --'=-因为()f x 在],[x a )(b x a ≤<上满足拉格朗日中值定理，所以(,)a x ξ∃∈，得()()()()f x f a x a f ξ'-=-()[()()]2x aG x f f x ξ-'''=- ()a x ξ<< 当a x b ≤≤时，()0f x ''>,()f x '在[,]a b 上单调递增，则()()f f x ξ''< 故()0G x '< ()a x b <≤，所以可知,()G x 在a x =处连续.因为()G x 在[,]a b 上单调减,()()0G b G a -<. 则 ()[()()]02bab af x dx f a f b ---<⎰, 所以()[()()]2bab af x dx f a f b -<+⎰，结合⑴原不等式得证. 例6 证明 若函数()f x 与()g x 在区间[,]a b 可积，则[][]222(()())()()b bbaaaf xg x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰（施瓦茨不等式）证 构造辅助函数222()[()][()](()())xx xaaaF x f t dt g t dt f t g t dt =-⎰⎰⎰2222()()()()()2()()()()xxxaaaF x f x g t dt g x f t dt f x g x f t g t dt '=⋅+⋅-⎰⎰⎰2222[()()2()()()()()()]xaf xg t f x g x f t g t f t g x dt =-⋅+⎰2[()()()()]0xaf xg t f t g x dt =-≥⎰从而()F x 在区间[,]a b 上单调递增，故有()()0F b F a ≥= 则222(()())[()][()]bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰.例7 设()f x 在[0,1]上连续可微，且满足(0)0f =，0()1f x '<≤,证明11230(())()f x dx f x dx ≥⎰⎰.证 作辅助函数230()(())()xxF x f t dt f t dt =-⎰⎰ [0,1]x ∈.由于(0)0F =，32()2()()()()[2()()]xxF x f x f t dt f x f x f t dt f x '=-=-⎰⎰ .令20()2()()xG x f t dt f x =-⎰，[0,1]x ∈.由于()f x 在区间[0,1]上连续可微，(0)0f =，0()1f x '<≤,所以()f x 单调递增. 故()0f x >,(0,1]x ∈.(0)0G =,则()2()2()()2()[1()]0G x f x f x f x f x f x '''=-=-≥,故()(0)0G x G ≥=，[0,1]x ∈.当(0,1)x ∈时，()0F x '≥，()F x 单调递增.特别当1123(1)(())()(0)0F f x dx f x dx F =-≥=⎰⎰,即得证11230(())()f x dx f x dx ≥⎰⎰.例8 设()f x 在区间[,]a b 上有连续的导数，且()0F a =，证明2221()()[()]2bb aa f x dxb a f x dx '≤-⎰⎰证 2221()()[()]()2x x a a F x x a f t dt f t dt '=--⎰⎰22221()()[()]()[()]()2x a F x x a f x x a f t dt f x '''=-+--⎰ 22221()[()]()1[()]2x x a a x a f x f x dx f t dt''=--+⋅⎰⎰ 22221()[()]()(())2x a x a f x f x f t dt ''≥--+⎰（施瓦茨不等式）22221()[()]()()2x a f x f x f x '=--+ 221()[()]02x a f x '=-≥ 得出()F x 为单调递增函数，当a x >∀时，()()0F x F a ≥=特别地2221()()[()]()02b b a a F b b a f x dx f x dx '=--≥⎰⎰得证2221()()[()]2bb aa f x dxb a f x dx '≤-⎰⎰.例9设函数()f x 在区间[,]a b 上连续并可微，且()0f a =，证明不等式22()[()]baM b a f x dx '≤-⎰，其中max ()a x bM f x ≤≤=证 由施瓦茨不等式可知 222(()())()()bb ba aaf xg x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰因为22()[()]1[()]xxx aaax a f x dx dx f x dx ''-=⎰⎰⎰22[()]()xaf x dx f x '≥=⎰ ([,])x a b ∀∈引入辅助函数2()()[()]xaF x x a f x dx '=-⎰,222()1[()][()]()xxx aaaF x dx f x dx f x dx f x ''=≥=⎰⎰⎰ ([,])x a b ∈所以22()()[()]()ba Fb b a f x dx f x '=-≥⎰.11 故由题设[,]x a b ∀∈，所以22()[()]b a M b a f x dx '≤-⎰.。