26.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像
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26.1.4二次函数y=ax2+bx+c的函数图象和性质
怎样把函数y=3x2-6x+5的转化成y=a(x-h）2+k的形式?
y 3x 6 x 5 配方: 5 2 3 x 2 x 3 5 2 3 x 2 x 1 1 3 2 老师提示: 2 3x 1 3 配方后的表达
2 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 y
x
画函数y=ax²+bx+c的图象
你能画出二次函数y=3x2-6x+5的图像吗？
我们知道,像二次函数y=a(x-h）2+k的图 象,顶点坐标为（h,k）,通过平移抛物线 y=ax2可以得到。
二次函数y=3x2-6x+5也能化成这种形式吗？
函数y=ax²+bx+c的图象
函数y=ax²+bx+c的顶点式
配方:
2 b 4 ac b y a x . 2a 4a
2
例.求次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶点坐标．
y ax2 bx c
c 2 b a x x a c 2提取二次项系数老师提 Nhomakorabea:2
提取二次项系数 配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方 整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项 化简:去掉中括号
式通常称为顶 点式
3x 1 2.
2
函数y=3x2-6x+5的图象特征
2.根据顶点式确定开口方向,对称轴,顶点 坐标.
y 3x 1 2. ∵a=3>0,∴开口向上; 对称轴:直线x=1; 顶点坐标:(1,2).
增减性 最值
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
y 3x 6 x 5 配方: 5 2 3 x 2 x 3 5 2 3 x 2 x 1 1 3 2 老师提示: 2 3x 1 3 配方后的表达
2 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 y
x
画函数y=ax²+bx+c的图象
你能画出二次函数y=3x2-6x+5的图像吗？
我们知道,像二次函数y=a(x-h）2+k的图 象,顶点坐标为（h,k）,通过平移抛物线 y=ax2可以得到。
二次函数y=3x2-6x+5也能化成这种形式吗？
函数y=ax²+bx+c的图象
函数y=ax²+bx+c的顶点式
配方:
2 b 4 ac b y a x . 2a 4a
2
例.求次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶点坐标．
y ax2 bx c
c 2 b a x x a c 2提取二次项系数老师提 Nhomakorabea:2
提取二次项系数 配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方 整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项 化简:去掉中括号
式通常称为顶 点式
3x 1 2.
2
函数y=3x2-6x+5的图象特征
2.根据顶点式确定开口方向,对称轴,顶点 坐标.
y 3x 1 2. ∵a=3>0,∴开口向上; 对称轴:直线x=1; 顶点坐标:(1,2).
增减性 最值
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象ppt
y＝ 1 x2得到抛
2
1
物线 y＝ 2 x2－6x+21
5
10 x
y
· （0，21）
y＝
1 2
x2－6x＋2120
·（12，21）
y＝
1 2
(x－6)2＋3
当_x_<__6_时y随x 的增大而减小
当_x_>__6_时y随x 的增大而增大
15
10
·· · 5 （4，5）
（8，5） (6，3)
怎样平移抛物线
也能化成这样的形式吗？
y 1 x2 6x 21 2
提取 12,使二次 项系数为1
1 (x2 12x) 21
2
加上再减去一次项
1 (x2 12x 36 36) 21 系数一半的平方
2
1 (x 6)2 36 21 2
1 (x 6)2 3 2
整理:前三项化为平方
形式,
“定”
总结：1、“五点”：①顶点坐标
②与y轴的交点坐标
③与y轴的交点坐标关于对称轴的对称点
④与x轴的交点坐标（有交点时），
这样就可以画出它的大致图象。
总结：2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点的 求法：令x=0，即y= c，则交点为（0，c）;
3、抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的求法： 令y=0，即ax2+bx+c=0，求得x1，x2， 则交点为 （ x1，0）、（x2，0 ）
(a≠0)的顶点与对称轴
y
ax2
bx c
a x
b
2
4ac
b2
2a 4a
因此，抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是 x b
26.1.4二次函数 的图象
26.1.4二次函数2y ax bx c =++的图象九年级下册 编号07【学习目标】1.能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2()+y a x h k =-的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。
2．熟记二次函数c bx ax y ++=2的顶点坐标公式；3．会画二次函数一般式c bx ax y ++=2的图象．【学习过程】 一、知识链接：1.抛物线()2231y x =+-的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；当x = 时y有最值是 ；当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小。
2. 二次函数解析式2()+y a x h k =-中，很容易确定抛物线的顶点坐标为 ，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。
二、自主学习：（一）、问题：（1）你能直接说出函数222++=x x y 的图像的对称轴和顶点坐标吗？（2）你有办法解决问题（1）吗？解：222++=x x y 的顶点坐标是 ，对称轴是 .（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式从而直接得到它的图像性质.（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：①222+-=x x y ②52212++=x x y ③c bx ax y ++=2（5）归纳：二次函数的一般形式c bx ax y ++=2可以用配方法转化成顶点式： ，因此抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标是 ；对称轴是 ，（6）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。
用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。
①4322+-=x x y ②222++-=x x y ③x x y 42--=（二）、用描点法画出12212-+=x x y 的图像. （1）顶点坐标为 ；（2）列表：顶点坐标填在 ；（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．）（3）描点，并连线：（4）观察：①图象有最 点，即x =时，y 有最 值是 ；②x 时，y 随x 的增大而增大；x 时y 随x 的增大而减小。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质ppt课件
而减小，则实数b的取值范围是(
D)
习
A.b≥－1
B.b≤－1
C.b≥1
D.b≤1
课 3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图
y
堂
练 象如图所示，则下列结论：
习 （1）a、b同号；
（2）当x＝－1和x＝3时，函数值相等；
（3）4a＋b＝0；
（4）当其y中＝正－确2时的，是x的（值2）只能. 取0；
解：y=(x2-2x)+1
解：y=2(x2-2x)+6
y=(x2-2x+12)+1-1×12
y=2(x2-2x+12)+6-2×12
y=(x-1)2
y=2(x-1)2-4
顶点坐标为(1，0)
顶点坐标为(1，4)
探 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
索 我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨 求
a、b异号
对称轴在y轴的_右___侧
c＝0
经过原点
c＞0
与y轴交于__正___半轴
c＜0
与y轴交于__负___半轴
典 例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：
例 精
①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.
D
y
其中正确
析 的个数是(
)
A．1
B．2
当x＜h时,y随着x的增大而 增大；当x＞h时， y随着x的增大而减小.
最值
x=h时，y最小=k
x=h时，y最大=k
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
二次函数yax2bxc的图像与性质
方法归纳
1
配方法
2
公式法
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
2
91 22
1 2
x
32
5
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y
随x的增大而减小。
解法二：
Q a 1 0 ，∴抛物线开口向下，
2
Q b 3 3 2a 212
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y 随x的增大而减小。
例已知二次函数
y m 1 x 2 2 m x 3 m 2 m 1
4 2
所以当x＝2时，y最小值＝－7 。
总结：求二次函数最值，有两个方法． (1)用配方法；(2)用公式法．
例已知函数 y1x2 3x1，当x为何值时，
2
2
函数值y随自变量的值的增大而减小。
解法一：Q a 1 0 ，∴抛物线开口向下，
2
又y1x2 3x1 1 x26x991
2
22
2
1x32
二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质
y
o
x
一般地，抛物线y=a(x-h)2 +k与 y=ax2的 形状 相同， 位置 不同
y=ax2 上加下减 y=a(x-h)2 +k 左加右减
2634二次函数y=ax2+bx+c的图像 ppt课件
2020/12/27
14
5）P在直线y＝－2x＋1上， 则可设P点坐标为 (a，-2a+1) ；
6）P在抛物线y＝－x2－x上， 则可设P点坐标为 (a，-a2-a) ；
2020/12/27
15
总结：2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点的 求法：令x=0，即y= c，则交点为（0，c）;
3、抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的求 法：令y=0，即ax2+bx+c=0，求得x1，x2， 则交 点为（ x1，0）、（x2，0 ）
(-
b 2a
，4a4ca-b2)
对称轴
直线x=-
b 2a
直线x=-
b 2a
增减性 在对称轴的左侧，y随着x的 在对称轴的左侧，y随着x的 增大而减小，在对称轴的右 增大而增大，在对称轴的右 侧，y随着x的增大而增大 侧，y随着x的增大而减小
最值2020/12/27 当 x2ba时 ， y最 小 值 =4ac4a b2
2020/12/27
8
例题1：
1、抛物线y＝x2+px+q的对称轴
直线x=-
p 2
，
顶点坐标
(-
p 2
，4q-p2 4
）。
2、求下列二次函数的开口方向、对 称轴、顶点坐标
(1)yx26x3 (2)y2x25x2
(3)y5x23x2 (4)y3x22x 2
2020/12/27
9
例题2：
3、抛物线y＝3x2-2x-1，当x
11
例题4：
3、抛物线y=-
1 5
x2+(2-m)x+3m+1的对称轴是
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b 4ac b 2 . 它的顶点是 , 2a 4a
?
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 1. y 2x2 12x 13; 2. y 5x2 80x 319;
1 3. y 2 x x 2; 4. y 32x 12 x. 2
y 0.0225x 2 0.9 x 10.
由此可知钢缆的最低点
两条钢缆最低点之间的 距离为 20 20 40m.
请你总结函数 函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象和性质
想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2 的图象之间的关系是什么？
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
b 4ac b2 a x . 2a 4a
2
这个结果通常称为求顶 点坐标公式.
顶点坐标公式
b 4ac b2 y a x . 2a 4a
2
因此,二次函数y=ax² +bx+c的图象是一条抛物线.
b 它的对称轴是直线 : x . 2a
Y/m 10
桥面
-5 0 5
x/m
这条抛物线的顶点坐标 20,1. 是
由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m。
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的 ？与同伴交流. 想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗? y 0.0225x 2 0.9 x 10 y 0.0225x 2 0.9 x 10 2
函数y=ax² +bx+c的顶点式
y ax2 bx c
c 2 b a x x a a
2 b b 2 b 2 c a x x a 2a 2a a
2 b 4ac b 2 a x 2 2a 4a
小结
拓展
回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax² 的关系
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称 轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y 都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . b 4ac b 2 2.不同点: (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 2a , 4a 和(0,0). b (3)对称轴不同:分别是直线x 和y轴. 2a 4ac b (4)最值不同:分别是 4a 和0. 3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax² 的图象先沿x轴整 b b 体左(右)平移| 2a |个单位,再沿对称轴整体上(下)平移| 4ac a|个单 4 4ac b 4ac b 位 (当 >0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的. 4a 4a
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
பைடு நூலகம்
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
0.0225 x 20 1.
且左右两条钢缆关于 轴对称, y
Y/m 10
右边的钢缆的表达式为 :
桥面
-5 0 5
y 0.0225 x 20 1.
2
x/m
y 0.0225x 2 0.9 x 10.
即y 0.0225x 2 0.9x 10.
因此,其顶点坐标为: 20,1.
两条钢缆最低点之间的 距离为 20 20 40m.
⑶你还有其它方法吗？与同伴交流. 直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的 最低点到桥面的距离以及两条钢缆最低点之间的距离．
y 0.0225x 2 0.9 x 10
b 4ac b 2 得: 由顶点坐标公式 , 2a 4a b 0. 9 20, 2a 2 0.0225
2 2 2 2
练习
确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶 点坐标.
1. y 5x 2 ; 2. y 2x2 4x 1; 3. y 3x 2 6x 2; 4. y x 1x 2;
5. y 3x 3x 9.
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质(2)
知识回顾应用 1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。 (1) y=2(x－3)2 －5 (3) y = 3(x+4)2+2 2.它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎 样的平移得到。 (2)y= －0.5(x+1)2
函数y=ax² +bx+c的图象 我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线 y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象. 那是怎样的平移呢？ 只要将表达式右边进行配方就可以知道了。 y=3x2-6x+5 y=3(x-1)2+2 配方后的表达式通常称为 配方式或顶点式
函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用
如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐 标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x² +0.9x+10表示, 而且左右两条抛物线关于y轴对称．
y 0.0225x 2 0.9 x 10
Y/m 10
桥面 -5 0 5
x/m
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？ ⑶你是怎样计算的？与同伴交流.
y 0.0225x 2 0.9 x 10
Y/m 10
桥面 -5 0 5
x/m
这条抛物线的顶点坐标 20,1. 到桥面的距离是1m。 是
同理, 右边抛物线的顶点坐标 : 20,1. 为
4ac b 2 4 0.022510 0.92 1. 4a 4 0.0225
⑴.钢缆的最低点到桥面的距离是少？你是怎样计算 的？与同伴交流. 可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从 而获得钢缆的最低点到桥面的距离; 2 y 0.0225x 2 0.9 x 10 y 0.0225x 0.9 x 10
4000 2 0.0225 x 40x 9 4000 2 2 2 0.0225 x 40x 20 20 9 400 2 0.0225x 20 9 2 0.0225 x 20 1.
?
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 1. y 2x2 12x 13; 2. y 5x2 80x 319;
1 3. y 2 x x 2; 4. y 32x 12 x. 2
y 0.0225x 2 0.9 x 10.
由此可知钢缆的最低点
两条钢缆最低点之间的 距离为 20 20 40m.
请你总结函数 函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象和性质
想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2 的图象之间的关系是什么？
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
b 4ac b2 a x . 2a 4a
2
这个结果通常称为求顶 点坐标公式.
顶点坐标公式
b 4ac b2 y a x . 2a 4a
2
因此,二次函数y=ax² +bx+c的图象是一条抛物线.
b 它的对称轴是直线 : x . 2a
Y/m 10
桥面
-5 0 5
x/m
这条抛物线的顶点坐标 20,1. 是
由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m。
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的 ？与同伴交流. 想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗? y 0.0225x 2 0.9 x 10 y 0.0225x 2 0.9 x 10 2
函数y=ax² +bx+c的顶点式
y ax2 bx c
c 2 b a x x a a
2 b b 2 b 2 c a x x a 2a 2a a
2 b 4ac b 2 a x 2 2a 4a
小结
拓展
回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax² 的关系
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称 轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y 都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . b 4ac b 2 2.不同点: (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 2a , 4a 和(0,0). b (3)对称轴不同:分别是直线x 和y轴. 2a 4ac b (4)最值不同:分别是 4a 和0. 3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax² 的图象先沿x轴整 b b 体左(右)平移| 2a |个单位,再沿对称轴整体上(下)平移| 4ac a|个单 4 4ac b 4ac b 位 (当 >0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的. 4a 4a
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
பைடு நூலகம்
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
0.0225 x 20 1.
且左右两条钢缆关于 轴对称, y
Y/m 10
右边的钢缆的表达式为 :
桥面
-5 0 5
y 0.0225 x 20 1.
2
x/m
y 0.0225x 2 0.9 x 10.
即y 0.0225x 2 0.9x 10.
因此,其顶点坐标为: 20,1.
两条钢缆最低点之间的 距离为 20 20 40m.
⑶你还有其它方法吗？与同伴交流. 直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的 最低点到桥面的距离以及两条钢缆最低点之间的距离．
y 0.0225x 2 0.9 x 10
b 4ac b 2 得: 由顶点坐标公式 , 2a 4a b 0. 9 20, 2a 2 0.0225
2 2 2 2
练习
确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶 点坐标.
1. y 5x 2 ; 2. y 2x2 4x 1; 3. y 3x 2 6x 2; 4. y x 1x 2;
5. y 3x 3x 9.
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质(2)
知识回顾应用 1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。 (1) y=2(x－3)2 －5 (3) y = 3(x+4)2+2 2.它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎 样的平移得到。 (2)y= －0.5(x+1)2
函数y=ax² +bx+c的图象 我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线 y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象. 那是怎样的平移呢？ 只要将表达式右边进行配方就可以知道了。 y=3x2-6x+5 y=3(x-1)2+2 配方后的表达式通常称为 配方式或顶点式
函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用
如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐 标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x² +0.9x+10表示, 而且左右两条抛物线关于y轴对称．
y 0.0225x 2 0.9 x 10
Y/m 10
桥面 -5 0 5
x/m
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？ ⑶你是怎样计算的？与同伴交流.
y 0.0225x 2 0.9 x 10
Y/m 10
桥面 -5 0 5
x/m
这条抛物线的顶点坐标 20,1. 到桥面的距离是1m。 是
同理, 右边抛物线的顶点坐标 : 20,1. 为
4ac b 2 4 0.022510 0.92 1. 4a 4 0.0225
⑴.钢缆的最低点到桥面的距离是少？你是怎样计算 的？与同伴交流. 可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从 而获得钢缆的最低点到桥面的距离; 2 y 0.0225x 2 0.9 x 10 y 0.0225x 0.9 x 10
4000 2 0.0225 x 40x 9 4000 2 2 2 0.0225 x 40x 20 20 9 400 2 0.0225x 20 9 2 0.0225 x 20 1.