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第五章相似原理与量纲分析(同济流体力学)

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流体力学第五章相似原理和量纲分析-35页文档资料

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L T M L 1 T 1 M 1 a 1 L 2 T 2 M 2 a 2 L n T n M n an
第五节 量纲分析法（瑞利法）
• 方程两边量纲一致
1a12a2nan 1a12a2nan 1a12a2nan
Ma v c
马赫数；是惯性力 与弹性力的比值。
c为音速
第二节 动力相似准则
（６）表面张力相似（韦伯准则）
We v2l
韦伯数；是惯性力与 张力的比值。
第三节 流动相似条件
二流动相似的必要和充分条件：
• （１）由相同的微分方程所描述；同一类流动。 • （２）单值条件（包括几何条件、边界条件、物
第二节 动力相似准则
• 牛顿相似准则
F F m maaVVdvddvdtt
F F
l2v2 l2v2
kF 1
k

k
2 l
k
2 v
Ne F
l 2v2
牛顿数，是作用力与 惯性力的比值
流场动力相似： N eNe
第二节 动力相似准则
• （１）重力相似准则（弗劳德准则）
在重力作用下相似的流动，其重力场必须相似
kFW WV Vggkkl3kg
v
v
gl12 gl12
k v kl k g
12
1
弗劳德数，是惯性力
Fr

v
gl 1
2
与重力的比值
流场重力作用相似： F rFr
第二节 动力相似准则
• （２）黏滞力相似准则（雷诺准则）
性条件、初始条件）相似。
• （３）相似准则数相等。
例题
• 当通过油池底部的管道向外输油时，如果池内油深
工程流体力学第五章 相似原理和量纲分析

工程流体力学第五章 相似原理和量纲分析

弹性力比： k F 'e dp' A' K ' A' dV ' V ' k k 2 K l F
Fe
dp A
KAdV V
K－体积模量 kK－体积模量比例尺
k k kK
K'
2
1
kF 1 2 2 k kl k
力的比例尺
也可写成:
' '2
2
2
K
柯西数 是惯性力与弹 性力的比值
2 2
推导过程
角速度比例尺:
' ' l ' k k l kl
注：确定了长度比例尺和速度比例尺，一切运动相似比例尺都可以推导出来。
注：*运动粘度比例尺的推导
d F A dy

F ma V a dy 1 则： A d dy m V A d dy A d 1
相似原理
如何去做模型？
第五章 相似原理和量纲分析
数学 分析 理论分析 数值计算 模型实验
解决流体 力学问题 的方法
实验研究
基础：相似原理 相似原理与模型试验研究方法不仅广泛应用于流体力 学，而且广泛应用于传热、燃烧过程机理等的研究中。
第一节 流动的力学相似
表 征 流 动 过 程 的 物 理 量
第五章 相似原理和量纲分析
xcli@
L/O/G/O
相似原理
相似原理 实物 模型
相似理论：
模型流场再现实物流场的准则——指导模型实验 实验结果推广到原型以及应用到相似的流动中
本章内容
1 2 3 4 1 5 流动的力学相似 动力相似准则 流动相似条件 近似模型实验 Click to add title in here 量纲分析法 连续方程
流体力学第五章 量纲分析和相似理论

流体力学第五章 量纲分析和相似理论


第五章 量纲分析与相似原理
5.2 量纲分析与П定理
2. П定理
提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理论基础的是美国物理
学家布金汉（E.Buckingham,1914):
Π定理
若某一物理过程包含 n 个物理量，即：
f(q1 ， q 2，q 3, ……, q n )＝0
其中有 m 个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理 量），则该物理过程可由 n个物理量构成的 n-m 个无 量纲的关系表达式来描述。即：
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
1. 物理量的量纲（因次）：物理量的本质属性。
2. 物理量的单位：物理量的度量标准。
基本量纲和导出量纲：根据物理量之间的关系把无 任何联系且相互独立的量纲作为基本量纲，可由基本量 导出的量纲为导出量纲。
SI制中的基本量纲：
dim m = M , dim l = L , dim t = T ，dim θ=Θ
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量致性原则，也叫量纲齐次性原理（量纲和谐原理）
物理方程可以是单项式或多项式，甚至是微分方程等，同 一方程中各项的量纲必须相同。
用基本量纲的幂次式表示时，每个基本量纲的幂次应相等，
这就是物理方程的量纲一致性原则，也叫量纲齐次原则或量纲
1. 客观性 2. 不受运动规模的影响 3. 可以进行超越函数运算
整理课件
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
2. 量纲一的量(无量纲量)
基本量独立性判别条件：
设A、B、C为三个基本量，他们成立的条件是：指数行列式 不等于零。
diB m M 2L 2T 2 diA m M 1L 1T1 diC m M 3L 3T 3
第五章 相似原理与量纲分析

第五章 相似原理与量纲分析


例：长度比为1/50的船舶模型，在水池中以1m/s的 速度牵引前进时，则得波浪阻力为0.02N。求（1） 原型中的波浪阻力；（2）原型中船舶航行速度； （3）原型中需要的功率？
第三节 流动相似条动，它们都应为相同 的微分方程组所描述。 2、单值条件（几何条件、边界条件、物性条件、初 始条件）相同或相似； 3、由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等。


四、初始条件和边界条件的相似
初始条件：适用于非恒定流。
边界条件：包含几何、运动和动力三个方面的因素。 例如固体边界上的法线流速为零，自由液 面上的压强为大气压强等 。
流动相似的含义： 1、几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；
2、动力相似是决定两个液流运动相似的主导因素；
3、运动相似是几何相似和动力相似的表现； 4、凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似 和动力相似的流动。
例：有一直径为15cm的输油管，管长5m，管中要通 过的流量为0.18m3/s ，现用水来作模型试验，当模型 管径和原型一样，水温为10℃（原型中油的运动粘度 为 0.13cm2/s），问水的模型流量应为多少时才能达 到相似？若测得5m长模型输水管两端的压差为3cm， 试求在5m长输油管两端的压差应为多少（用油柱高 表示）？
M F l kM k F kl k kl3kv2 M Fl
p Fp A k F kp k kv2 p Fp A k A
功率比例尺 动力粘度比例尺
kP
P F v k F kv k kl2 kv3 P Fv k k k k kl kv

例1：当通过油池底部的管道向外输油时，如果池内 油深太小，会形成大于油面的漩涡，并将空气吸入 输油管。为了防止这种现象，需通过模型实验确定 油面开始出现漩涡的最小油深hmin。已知输油管内 径d=250mm，qV=0.14m3/s，运动黏度ν=7.5x10-5m/s。 倘若选取的长度比例尺kl=1/5，为了保证流动相似， 模型输出管的内径、模型内液体的流量和运动黏度 应等于多少？在模型上测得h'min=60mm，油池的最 小深度hmin应等于多少？
流体力学第5章 相似性原理和量纲分析

流体力学第5章 相似性原理和量纲分析


几何相似只有一个长度比例尺，几何相似是力学 相似的前提
二、运动相似
❖ 流场中所有对应点上对应时刻的流速方向相同大小成比例。
v3' 3
v1'
v2'
1
2
3
v3''
v1 v1
v2 v2
v3 v3
v v
kv
v1''
1
2
kv——速度比例尺
v2''
A
A
o
系统1：v
l t
o
系统2：v l t
时间比例尺 加速度比例尺
1/ p
7.5k,kpkv2'
0.001207, kv 4416(Pa)
22.5, 有
F F ' F ' 1.261104(N)
kF
k
k
2
l
k
2
v
M M ' 2030(N m)
k
k
3k
l
2
v
第五节 量纲分析法
❖一、量纲分析的概念和原理 ❖ 量纲是指物理量的性质和类别。例如长度和质量， 它们分别用 [ L ] ， [ M ]表达。 ❖而单位除表示物理量的性质外，还包含着物理量的 大小，如同为长度量纲的米，厘米等单位。
如何进行模型实验： (1) 几何相似（模型和实物、攻角、位置等）； (2) 确定相似准则数； (3) 确定模型尺度和速度； (4) 实验数据整理(无因次形式)； (5) 试验值与实际值之间的换算。
完全相似：两个流动的全部相似准则数对应相等。不可能实现。 部分相似：满足部分相似准则数相等。
近似的模型试验：在设计模型和组织模型试验时，在 与流动过程有关的定性准则中考虑那些对流动过程起 主导作用的定性准则，而忽略那些对过程影响较小的
流体力学(第五章相似理论与量纲分析b)

流体力学(第五章相似理论与量纲分析b)

流体力学(第五章相似理论与量纲 分析b)
目录
• 引言 • 相似理论 • 量纲分析 • 相似理论与量纲分析的关系 • 案例研究
01 引言
主题概述
01
流体力学是研究流体（液体和气体）运动规律的科 学。
02
流体力学在工程、环境、生物医学等领域有广泛应 用。
03
本章将介绍相似理论与量纲分析在流体力学中的应 用。
意义。
ห้องสมุดไป่ตู้
案例三
总结词
水坝设计中，相似理论与量纲分析的结合应用能够提 高设计精度和稳定性，降低工程风险。
详细描述
水坝设计是流体力学在工程实践中的重要应用之一。在 设计过程中，需要考虑水流的压力、速度、流向等因素 ，以及水坝的稳定性、安全性等问题。相似理论与量纲 分析的结合应用能够提高水坝设计的精度和稳定性，降 低工程风险。通过建立水坝模型进行模拟实验，可以更 好地了解水流运动规律和压力分布情况，从而优化水坝 设计，提高其安全性和稳定性。这对于保障人民生命财 产安全和经济发展具有重要意义。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
无量纲化处理
将物理量表示为无量纲的数，消除单位对分析的影响， 便于比较和推导。
无量纲数的计算
通过将物理量代入相应公式，化简得到无量纲数，如 雷诺数、弗劳德数等。
无量纲化的优点
简化计算过程，便于比较不同实验或不同条件下的结 果，提高分析的通用性和可靠性。
量纲分析的应用
相似性原理
通过量纲分析可以推导出不同实验或模型之 间的相似性原理，如流体动力学中的相似准 则。
量纲分析
02
基于物理量之间的基本关系，通过量纲的组合来推导物理规律。
两者联系
流体力学(相似原理与)

流体力学(相似原理与)


四、初始条件和边界条件的相似
初始条件：适用于非恒定流。 边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界 上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等 。
五、流动相似的含义
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定两个流体运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流 动。
1 v l
小，失去了模型实验的价值。
v l
显然，要同时满足以上两个条件，则
l 1
,即模型不能缩
从上述分析可见，一般情况下同时满足两个或两个以上作用力
相似是难以实现的。
二、模型设计
模型设计首先定出长度比尺 ，再以选定的比尺 l 小（或放大）原型的几何尺度，得出模型流动的几何边界。 通常，模型和原型采用同一种类流体，则 1 ，然后按 所选用的相似准则确定相应的速度比尺，再按下式计算出模型流的
二、佛汝德准则
作用在流体上的力主要是重力。即：重力
重力比尺
G V g p p p p 3 G g l G V g m mm m
G = mg = ρVg
由于作用力F中仅考虑重力G，因而 F = G，即λf = λG 于是
2 2 3 l v g l
模型流量为
Q p
因为
Q m

vpA p v mA m

2 l
vp v m
所以
Q v . 3 ( 90 4 . 3 ) 8 . 2 0 . 325 3 p m 2 Q 0 . 091 ( m / s ) m 2 2 v 50 2 . 3 l p
第五章 相似原理和量纲分析

第五章 相似原理和量纲分析


kρklkv 1 k
klkv 1 k
• 的制约，不能全部任意选择。
• 当模型与原型用同一流体时，kρ= kμ= 1，故有
k

1 kl
三、压力相似准则
在压力作用下相似的流动，其压力场必相似。
kF

Fp Fp

pA pA

p p
A A
k pkl2
代入
kF k ρkl2kv2
v v kv 速度比例尺
图5-2 速度场相似
由于流场的几何相似是运动相似的前提条件, 因此甚易证明，模型与原型流场中流体微团经过 对应路程所需要的时间也必互成一定比例，即
时间比例尺
kt

t t

l l
v v

l v
l v

kl kv
由几何相似和运动相似还可导出用kl、kv表 示的有关运动学量的比例尺如下：
• 二流动的重力作用相似，其弗劳德数必定相等， 即 Fr′= Fr ；反之亦然。
• 重力相似准则，又称弗劳德准则。
• 重力作用相似的流场，有关物理量的比例尺要受
kv
kl k g
12
1
的制约，不能全部任意选择。
• 由于在重力场中
故有
g g kg 1 kv kl1 2
二、黏滞力相似准则
在黏滞力作用下相似的流动，其黏滞力分布必 须相似。
kF

F F

d vx d vx
d yA d yA

d vx d vx

1 d y

A A
dy

k kv
1 kl
kl2

k kv kl
流体力学第五章 相似原理和量纲分析

流体力学第五章 相似原理和量纲分析


3
第五章 相似原理和量纲分析

流动的物理现象常受到各种因素的影响，对于简单的现象可以通过简化，建 立运动微分方程，求得精确解。

对于大量复杂的流动现象，理论分析本身就比较困难，由于流动边界条件的 复杂性，往往难以用数学形式准确表达和求解。

因此必须结合实验，才能使理论分析深入进行。 如果没有正确的理论指导，不知需要测定哪些物理量和应该如何整理实验数 据——虽然能获取大量数据，却无法找出影响现象本质的因素，使实验带有 盲目性。
kq

qV qV

l / t l
3
3

kl
3
V
k l kv
2
/t
kt

运动粘度比例尺
k


l / t l
2
2

kl
2
k l kv
/t
kt

角速度比例尺
k


v / l v/l

kv kl
过程装备与控制工程教研室
10
第五章 相似原理和量纲分析 三、动力相似
过程装备与控制工程教研室
16
第五章 相似原理和量纲分析

任何系统的机械运动都必须服从牛顿第二定律 F=ma

原型
F ma Va

模型
F ma V a
F F

m a ma

V a Va
kv kl
2
k F k kV ka k kl


——模型与原型流场的几何相似、运动相似和动力相似是两个流
场完全相似的重要特征和条件
流体力学B5 量纲分析与相似原理

流体力学B5 量纲分析与相似原理

1 1 1
(4)满足π为无量纲项, (4)满足π为无量纲项, 满足 定各π 定各π项基本量指数 a,b.c. (5)整理方程式 5)整理方程式
1. 量纲分析法一般步骤
量纲分析圆球在静止粘性流体中运动时所受到的阻力. 量纲分析圆球在静止粘性流体中运动时所受到的阻力. (1)列举所有相关的物理量(5个 列举所有相关的物理量(5 阻力), ),ρ (1)列举所有相关的物理量(5个):FD(阻力),ρ(流体 密度),V(圆球速度),d(圆球直径) ),V(圆球速度),d(圆球直径 流体粘度) 密度),V(圆球速度),d(圆球直径)μ(流体粘度) FD = ϕ ( ρ , V , d , µ ) 组成关系式: 组成关系式: (2)选择包含不同基本量纲的物理量为基本量( (2)选择包含不同基本量纲的物理量为基本量(取3个) 选择包含不同基本量纲的物理量为基本量 选取: 流体密度ρ 包含质量量纲; 选取:①流体密度ρ:包含质量量纲; 圆球速度V:包含时间量纲; V:包含时间量纲 ②圆球速度V:包含时间量纲; 圆球直径d:包含长度量纲; d:包含长度量纲 ③圆球直径d:包含长度量纲; (3)基本量依次与其余物理量组成π (3)基本量依次与其余物理量组成π项 基本量依次与其余物理量组成 π 1= ρ a V b d c FD π 2= ρ a V b d c µ
B5.2.2 Βιβλιοθήκη 纲分析法(1)找出 (1)找出物理量过程有关的 (3)基本量依次与其余 (3)基本量依次与其余
物理量 f (q1 , q2 , q3 ,..., qn ) = 0 (2)从 个物理量中选取m (2)从n个物理量中选取m个 物理量为基本量( 物理量为基本量(一般取 α β γ dim q1 = M 1 L1 T1 m=3) α β γ dim q2 = M 2 L2 T2 α β γ dim q3 = M 3 L3 T3 α1 β1 γ 1 α2 β2 γ 2 ≠ 0 α 3 β3 γ 3 对不可压流,取速度V, V,密度 对不可压流,取速度V,密度 特征长度L为基本量. ρ,特征长度L为基本量. 物理量组成π 物理量组成π项 q4 π 1= a b c q1 q2 q3 q5 π 2= a2 b2 c3 q1 q2 q3 ... qn π n −3= an−3 bn−3 cn−3 q1 q2 q3
流体力学 第5章 相似原理与量纲分析

流体力学 第5章 相似原理与量纲分析


§5.1 流动的力学相似
P F v 3 功率比例尺： k P k F kv k kl2 kv P Fv
v 动力粘度比例尺： k k k v k kl k v v
可见，有了模型与原型的密度比例尺kρ、长度比例尺kl及速度
比例尺kv，就可以由它们确定其他所有的动力学量的比例尺。
2 a v / t kv kv 加速度比例尺 ka a v/t kt kl
§5.1 流动的力学相似
体积流量比例尺
3 3 qV l / t kl 2 3 kl kv qV kt l /t
kqV
运动粘度比例尺
l 2 / t kl2 k 2 kl kv l / t kt

v v Fr 1/ 2 1/ 2 ( g l ) ( gl)
Fr——弗劳德数，是惯性力与重力的比值。
当模型与原型的重力相似，则其弗劳德数必定相等，反 之亦然。这就是重力相似准则（弗劳德准则）。
重力场中： g'
g, kg 1
则： v
k k
12 l
§5.2 动力相似准则
2.粘滞力相似准则——雷诺准则
L
L
§5.1 流动的力学相似 二、运动相似 （时间相似）
定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应点流速（加 速度）的方向一致，大小的比例相等，即它们的速度（加 速度场）相似。
或者说模型与原形的流场所有对应点上、对应时刻的流速方向
v kv v t l / v kl kt t l /v kv
12 l
消耗的功率P Fv 76800 2.28 175.1 [kW]
§5.3 流动相似条件

流体力学第五章量纲分析与相似原理


l l'
h h'
kl
l l' l * h h'
l * 称为相似准则数或无量纲边长。
2. 流动相似
①几何相似准则数：
② 运动相似准则数：
③ 动力相似准则数：
（ F为i 惯性力）
2021/1/12
l l* b
v v* U F F* Fi
28
四、相似准则数的确定
1. 量纲分析法
对不可压缩粘性流体的流动：ρ，V，l，μ，g，Δp，ω
M : a 1 0
L
:
3a b c 1 0
T : b 2 0
解得： a = -1 , b = -2 , c = 0
Π1
p
1 ρV 2
Eu
2
（欧拉数，1/2是人为加上去的）
② П2 =ρa v b d cμ
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T –1 ) b L c (M L – 1 T – 1 )
Cp
p p0
1 2
ρ
v02
1( v v0
)2
（沿流线）
v 0 , Cp 1 v 2v0 , Cp 3
p0,v0 A
C·
a
B
其他点 vθ 2v0 sin , Cp 1 4sin2θ
·
D
柱面外： 流场中 C还p与无量纲半径
有关
r R
• 以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都界层 外流速度
距前缘距离
Re 1 Rer 2300
低雷诺数粘性流动 区分粘性流动层流与湍流态 边界层外无粘流
Re 1
粘性力相似
边界层内以 态
2021/1/12

同济流体力学第五章相似原理与量纲分析


第一节 流动现象的相似
一）相似的定义
如果描述一个系统中发生的全部物理量（线性尺寸、速度、力、时 间间隔等）可以从另一个系统的同类量乘以相应的常数得到，则这两个 系统中发生的现象称为相似。
二）相似现象的分类
根据现象的性质和特点，相似现象可分为力学相似、热力学相似、电 学相似等。
三）相似理论的研究对象
通过试验得到的准则方程式就是描述流动现象的微分方程组的解。也就 是说，对于复杂的流动现象，当靠数学分析无法求解时，相似原理提供了 通过试验求解的可能。因此，相似原理是模型试验研究的理论基础。
第二节 相似定理
相似三定理解决了模型试验中必须解决的一系列问题，归纳起来可概述 如下：
1、要进行模型试验，首先会遇到如何设计模型，如何选择模型中的流 动介质，才能保证与原型中的流动相似？ 相似第二定理表明，凡同类现象，当单值条件相似，而且由单值条
对许多实际流动，直接用实物（原型）进行实验会遇到很大困难： 如新型飞机，汽车，大型流体机械因尺寸大，造价昂贵，没有足够把握 是不能冒然投产并进行原型实验的；有的原型尺寸太小，实测非常困难。 因此，在研究过程中，都必须要用一定尺度的模型进行实验。
第五章 相似原理和量纲分析
模型实验方法起始于19世纪末。如今，随着工业技术的高速发展， 应用模型实验方法进行科学研究和产品开发就更为普遍。例如用风洞模 型实验研究航空航天飞行器的性能；用船模在水池或水洞中研究船只的 航行性能；用气候风洞研究汽车在各种气候条件下的驾驶性能；用建筑 物模型在风洞内进行风载实验；用环境风洞进行大气污染实验等等。
u1 uU1, v1 vU1, w1 wU1
对应点上的其他无量纲量速度
p1 pp01, t1 t T1, f x1 f x g1

流体力学第五章 相似原理与量纲分析

Vm = Vp Lm Lp
模型流动特征长度不能太小
流体力学
近似模型法－弗劳德相似3
已知某船体长122m， 航行速度15m/s，现用船模 已知某船体长122m， 航行速度15m/s，现用船模 在水池中实验船模长 3.05m 。 求船模应以多大速 在水池中实验船模长3.05m。求船模应以多大速 运动才能保证与原型相似。若测得船模运动阻力 运动才能保证与原型相似。若测得船模运动阻力 为20N，实物船所受阻力等于多少？ 为20N，实物船所受阻力等于多少？
V1 m V2 m = = V1 p V2 p
流体力学
针对描述运动状态的量
= CV
CV – 速度比例系数
运动相似2
流体质点通过对应距离的时间相似
tm Lm Vm CL = = Ct = tp CV Lp V p
流体质点的加速度 相似
am Vm tm CV = = Ca = ap Ct Vp t p
弗劳德相似
明渠流、兴波阻力问题
(惯性力)p (压力)p (惯性力)m
α
(重力)p
(压力)m
α
(重力)m
单值条件相似 仅有弗劳德准则为决定性准则
流体力学
近似模型法－弗劳德相似2
( Fr ) m = ( Fr ) p
⎛ V ⎞ ⎛ V ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ gL ⎠ m ⎝ gL ⎠ p
一般情况下 g p = gm
可压缩流动
⎛V ⎞ = ⎛V ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ a ⎠m ⎝ a ⎠ p
欧拉相似
压差起主要作用
⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞ ⎜ ⎜ ρV 2 ⎟ = ⎜ ρV 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠m ⎝ ⎠p
(Eu )m = (Eu ) p

《流体力学》课件 第五章 相似原理与量纲分析


[ML T ] ] [L] [ML ]
1 2 b1
3 c1
4) 确定无量纲量的表达式： 5) 写出准数方程:
v a2 l b2 ρ c2 g π 3 = a3 b3 c3 v l ρ
p = Eu ρv 2 1 π2 = = ρvl Re
π1 =
π4 =
τ
v a4 l b4 ρ c4
gl = Fr 2 v vτ π4 = = Ho l
13
量纲
物理量所属的种类，反映物理量的本质，与单位之 间存在密切的联系，又有一定的区别。
量纲表达式
导出量与基本量之间的关系式。
规则： I. II. III.
C = A× B
C= A B
C = An
[C ] = [A]× [B] [C ] = [A] [B ] [C ] = [A]n
14
量纲指数
量纲和谐原理 在一个有意义的方程中，任意两项的量纲都必须相同。 量纲分析法推导相似准数
C ρ Cv Cτ
=
C ρ Cv2 Cl
=
C Cv Cl2
7
=
Cp Cl
= Cρ Cg
相似准数的导出
C ρ Cv Cτ ① = Cρ C Cl ②
2 v
v′′ v′y′ v′′ x = = z = Cv v′ v′y v′ x z
=
C Cv Cl2 ③
=
Cp Cl ④
= Cρ Cg
τ ′′ = Cτ τ′
π1 =
F a v∞ d b ρ c
1 a
(v∞ , d , ρ )
π2 =
2 3 c 2
a v∞′ d b′ ρ c′ 1 1
[π 1 ] =

流体力学第5章 量纲分析和相似性原理


（1） 瑞利法
•瑞利法的基本原理如下：若某一物理过程可用下面的函数表
示
f (q1 , q2 , q3 ,qn ) 0
则其中任何一个物理量qi可以表示为其他物理量的指数的乘积
qi Kq q q qn (不含qi项)
将各物理量的量纲代入上式，并根据量纲和谐原理，确定出指 数a,b,c,…p,即可得到表达该物理过程的方程式。 瑞利法只能用于一些比较简单的过程。
2 1 1
1 b2 a 2 1 [ ML T ] 1 1 a2 3b2 c2 b2 1 a2 3 b2 1 c2 [ L] [ ML ] [ LT ] c 1 1 c 2 2 0 b3 a3 1 [ LT ] 1 1 a3 3b3 c3 b3 0 a3 3 b3 1 c3 [ L] [ ML ] [ LT ] 2 c c 2 3 3
2
（5）整理方程式
D g f ( 1 , 2 , 3 ) f ( 2 2 , , 1 2 ) 0 l v lv l v
D gl lv v f1 ( , 2 ) f2 ( , ) 2 2 l v lv v gl v D l v f 2 ( , ) gl
•
在量纲分析法中，将物理过程表示成了无量纲量的函数，似 乎物理过程涉及的因素减少了，其实涉及的物理量并未减少，只 是这些物理量组合成了若干无量纲量相互关联。比起有量纲表达 来，无量纲表达更接近于相关物理量之间规律性联系的实质，也 更具普遍性。
•
应用 定理要点（也是难点）在于：确定物理过程涉及的物 理量时，既不能遗漏，也不要多列。
2 2
lv
§5—3 相似理论基础

第五章——量纲分析和相似原理


（3）运动相似 ——速度（加速度）场相似 在不同的流动空间中，对应点、对应时刻上的速度（加 速度）方向一致，大小成比例
速度比例常数
CV
V' V
基本比例常数
加速度比例常数
Ca
a ' V '/ t ' CV a V / t Ct
CV2 Cl
流量比例常数
CQ

Q' Q

l '3/ t ' l3 /t
'
不可压定常流相似，他们的弗劳德数、欧拉数、雷诺数必相等
这些无量纲数组称为相似准则或相似判据
相似原理可表述为：两种流动现象相似的充分必要条件是：能 够用同一微分方程描述同一种类的现象；并且满足单值条件相 似；有单值条件中的物理量组成相似准则相等
19
5.2 相似原理与模型实验
3. 相似原理的应用 应用相似原理进行试验研究的步骤： （1）分析导出的相似准则，判断决定性准则 （2）根据选定的相似准则设计实验方案 （3）确定实验中要测量的物理量，测定相似准则中的物理量 （4）将实验结果换算到实物系统中
p
g

V2 2g
l d
F2

Vd
,

d

令


F2

Vd
,

d

则
p V 2 l g 2g d
——达西公式。为沿程阻力系数。
8
5.1 量纲分析
3. Π定理的几点说明 （1）无量纲数组的特性 ① 对于确定的物理现象，无量纲数组个数是固定的 但是形式上不是唯一的 ② 无量纲数的算术运算的结果仍是无量纲数
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模型实验方法起始于19世纪末。如今，随着工业技术的高速发 展，应用模型实验方法进行科学研究和产品开发就更为普遍。例如 用风洞模型实验研究航空航天飞行器的性能；用船模在水池或水洞 中研究船只的航行性能；用气候风洞研究汽车在各种气候条件下的 驾驶性能；用建筑物模型在风洞内进行风载实验；用环境风洞进行 大气污染实验等等。 由于实物实验和比拟实验的缺陷，模型实验可控制、相对易 实施等，所以，模型实验在流体力学实验中占有重要的地位。
2）比拟实验 比拟方法有水电比拟和水气比拟，是用电磁场来模拟流场，用 液体来模拟气体，实施起来有许多限制。
§5.1 相似原理与量纲分析的提出
3）模型实验 模型实验是流体力学研究中一种最为常用的实验方法，这种方 法就是将实物原型按照一定的比例进行缩小或放大，建立实验模 型，并按照一定的相似准则进行实验，再将实验结果推回到实物 原型上，获取实物流场的流动规律。
§5.1 相似原理与量纲分析的提出
2）计算流体力学方法（CFD）： 是近些年来发展起来的一种有效解决流体力学问题的数值计 算方法。这种方法的问题是，对于复杂的流体力学问题，它的计 算准确度、精度不能完全保证，计算结果的合理性还需要实验结 果进行验证。所以， CFD还有待进一步发展和成熟。 3）实验研究方法： 实验研究历来都是科学研究中的一种非常重要和有效的研究 手段。对于流体力学问题，由于解析方法、数值计算方法一方面 自身存在缺陷，另一方面他们的一些研究结果还有待实验检验， 再加上实验研究结果直观、真实、可靠等，所以，实验研究在解 决流体力学问题中就显得更为重要。
§5.1 相似原理与量纲分析的提出
量纲分析会对实验方案的制定，实验结果的整理提 供理论指导。在实验研究中，经常会遇到一些多个物理 量都会对流动特性有影响的复杂流动问题。如果不利用 量纲分析对实验方案进行处理，实验将会变得很复杂， 浪费人力、物力，也很浪费时间。量纲分析可以提供各 物理量之间的关系，使得实验方案更科学，实验过程更 简捷。所以，量纲分析也是实验研究的一个重要理论工 具。 相似原理与量纲分析是为实验研究服务的，是科 学组织实验和整理实验结果的理论基础，是解决流体力 学问题的一个重要工具 。
§5.2 相似概念和相似定理
一、流体力学相似原理
流体力学的模型实验就是要把实物按照一定的比例制成 模型，流场要按照一定的规律形成适合模型实验的流场。这 就要求模型流动和实物流动遵循相似原理。 相似原理实质上是模型流动和实物流动之间的一种力学 相似关系。力学相似是指模型流动和实物流动在对应点上对 应的物理量应该有一定的比例关系。 这一比例关系是由三个相似组成的：
目前，解决流体力学问题的方法很多，可归纳为三类： 解析方法，计算流体力学方法（CFD），实验研究方法
1）解析方法：还远不能解决流体力学的许多实际问题 （1）一些流动现象的机理还不很清楚，难以建立起相应的物理数学模 型。 例如，我们正在建设中的汽车气动－声学风洞，在试验段，从喷口到 收集口之间的气体流动规律还不清楚，至今无法建立起流场的空气动力分 析模型，导致了风洞中出现的低频颤振现象无法准确地进行描述和解释， 为控制这种现象增加了难度。 （2）虽然对有些流动现象可以建立物理数学模型，但是由这些模型得 到的偏微分方程很难求解。 例如，微分形式的动量方程：纳维－斯托克斯（N-S）方程，它是一 个非线性的二阶偏微分方程，目前，只有极少数流动情况可以得到精确解 ，对绝大多数流动问题还无法求出解析解。
§5.1 相似原理与量纲分析的提出
2、实验研究方法
有三大类：实物实验、比拟实验、模型实验 1）实物实验 就是用实验仪器对实物原型系统的流动参数进行实际测量，对于 适度尺寸的实物系统这种实验方法比较合适，对于大型系统就很难。 有的原型尺寸太小，实测非常困难。
（1）有些情况下实物实验几乎不可能实现。如飞机巡航状态下，要测量机体外流场参 数，安装传感器非常困难。 （2）实测数据也不一定可靠，它会受到其它因素，如外界环境的影响，如温度、风速 和风向等可能是瞬时变化的，得不到准确的值。
第五章作业
5-1，5-2， 5-3 ，5-4 ，5-6， 5-11 ， 5-17
第12周交作业
第五章 相似原理和量纲分析
§5.1 相似原理与量纲分析的提出
§5.2
§5.3 §5.4 §5.5
相似概念和相似定理
相似准则 模型试验方法 量纲分析
§5.1 相似原理与量纲分析的提出
1、流体力学问题的研究方法
§5.2 相似概念和相似定理
相似的定义ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如果描述一个系统中发生的全部物理量（线性尺寸、速度、力、时 间间隔等）可以从另一个系统的同类量乘以相应的常数得到，则这两个 系统中发生的现象称为相似。
相似现象的分类
根据现象的性质和特点，相似现象可分为力学相似、热力学相似、电 学相似等。
相似理论的研究对象
相似理论主要研究的对象是发生在其和相似系统中的同一性质的物 理现象之间的相似问题，即首先是两个系统确保几何相似，其次两个系 统中的物理现象变化过程可以用同一个关系方程来描述。
§5.1 相似原理与量纲分析的提出
3、相似原理和量纲分析的作用 我们已经知道实验研究在流体力学问题研究中的重要性，模 型实验又在实验研究中占有重要的位置。那么，如何科学地组织 和开展实验，并对实验结果进行整理和分析，这也是实验研究中 的一个重要课题。相似原理和量纲分析为解决这一问题提供了重 要的理论基础，成为解决流体力学试验问题的一个重要工具。 模型实验总是在一定条件下进行的，怎样才能保证模型和 原型之间有相对应的流动规律，使得模型流动能够真正地反应 原型的流动规律呢？相似原理可以为两者之间提供相互遵循的 相似关系，满足这样的关系，就能够保证模型实验有意义。所 以，相似理论是模型试验的理论基础。
同济大学 Tongji University
汽车学院
流体力学
第五章 相似原理与量纲分析
上海地面交通工具风洞中心 Shanghai Automotive Wind Tunnel Center
目
绪论 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章
录
流体及其主要物理性质 流体静力学 流体运动学基础 流体动力学基础 相似原理和量纲分析 理想流体不可压缩流体的定常流动 粘性流体流动 定常一元可压缩气流 实验流体力学