概率论及数理统计学习心得

概率论及数理统计学习心得

这个学期我们学习了概率论及数理统计这一门课。对于我们来说，这是一门非常重要的课程，对于我们的学习，科研以及生活都有一定的指导意义。下面我就谈一谈我对这门课的学习心得。

一 概率论简史

概率论的起源与赌博问题有关。16世纪，意大利的学者吉罗拉莫•卡尔达诺开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。17世纪中叶，当时的法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏，游戏规则是玩家连续掷 4 次骰子，如果其中没有 6 点出现，玩家赢，如果出现一次 6 点，则庄家赢。按照这一游戏规则，从长期来看，庄家扮演赢家的角色，而玩家大部分时间是输家，因为庄家总是要靠此为生的，因此当时人们也就接受了这种现象。

后来为了使游戏更刺激，游戏规则发生了些许变化，玩家这回用 2 个骰子连续掷 24

次，不同时出现2个6点，玩家赢，否则庄家赢。当时人们普遍认为，2 次出现 6 点的概率是一次出现 6 点的概率的 1 / 6 ，因此 6 倍于前一种规则的次数，也既是 24 次赢或输的概率与以前是相等的。然而事实却刚好相反，从长期来看，这回庄家处于输家的状态，于是他们去请教当时的数学家帕斯卡，求助其对这种现象作出解释,这个问题的解决直接推动了概率论的产生。

随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发展。使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家j.伯努利，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率。随后棣莫弗和p.s.拉普拉斯 又导出了第二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。19世纪末，俄国数学家p.l.切比雪夫、a.a.马尔可夫、a.m.李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。20世纪初受物理学的刺激，人们开始研究随机过程。这方面a•n•柯尔莫哥洛夫、n.维纳、a•a•马尔可夫、a•r•辛钦、p•莱维及w•费勒等人作了杰出的贡献。

二 生活中的相关事例

生活中涉及到概率的事件比比皆是，下面是几件比较具有代表意义的以及比较有趣味的，他们对于我们研究概率，了解概率，体会概率很有帮助：

1.六合彩：在六合彩（49选6）中，一共有13983816种可能性（参阅组合数学），普遍认为，如果每周都买一个不相同的号，最晚可以在13983816/52（周）=268919年后获得头等奖。事实上这种理解是错误的，因为每次中奖的机率是相等的，中奖的可能性并不会因为时间的推移而变大。

2.生日悖论：在一个足球场上有23个人（2×11个运动员和1个裁判员），不可思议的是，在这23人当中至少有两个人的生日是在同一天的机率要大于50％。

3.轮盘游戏：在游戏中玩家普遍认为，在连续出现多次红色后，出现黑色的机率会越来越大。这种判断也是错误的，即出现黑色的机率每次是相等的，因为球本身并没有“记忆”，它不会意识到以前都发生了什么，其机率始终是18/37。

4.轮盘：在电视台举办的猜隐藏在门后面的汽车的游戏节目中，在参赛者的对面有三扇关闭的门，其中只有一扇门的后面有一辆汽车，其它两扇门后是山羊。游戏规则是，参赛者先选择一扇他认为其后面有汽车的门，但是这扇门仍保持关闭状态，紧接着主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门中后面有山羊的一扇门，这时主持人问参赛者，要不要改变主意，选择另一扇门，以使得赢得汽车的机率更大一些？正确结果是，如果此时参赛者改变主意而选择另一扇关闭着的门，他赢得汽车的机率会增加一倍。

5数学骗局，一次去外地旅游,在一个旅游点有一个摆地摊的赌主,他拿了8个白的,8个黑的的围棋子,放在一个布袋里,赌主精心绘制了一张中彩表:凡愿摸彩者,每人交一元钱作"手续费",然后一次从袋里摸出5个棋子,中彩情况如下:摸到5个白棋子的彩金是20元;摸到4个白棋子的彩金是2元;摸到3个白棋子的彩金是纪念品一份(价值5角);其他的彩金是同乐一次(无任何奖品).由于本钱较小,许多游客都跃跃欲试,有的竟连摸数十次,结果许多人"乘兴而摸,败兴而归",据我观察,摸到5个白棋子和得到4个白棋子的很少,大多游客玩了十几元钱后发现自己得到了几个纪念品之外,什么也没得到.这是怎么一回事呢 为何赌主敢于这样设局而不怕亏本呢?

我们来研究一下这其中的奥秘,按摸1000次统计,看赌主可净赚多少钱 应用学过的概率知识,不难看出:摸到5个白棋子的概率;摸到4个白棋子的概率;摸到3个白棋子的概率,按照1000次摸彩来计算,赌主手续费的收入为1000元,而他支付的彩金(包括纪念品)是:约13人获得20,128人获得2元,359人获得纪念品,所以共计20×13+128×2+0.5×359=695.5(元),即每1000次摸彩,赌主可赚300元以上.

6抽签先后是否公平 生活中,我们有时要用抽签的方法来决定一件事情.例如,我校去年举行庆祝五·四诗歌大赛,各班派出10名代表参加,为使人人参与,学校规定全校同学都作准备,赛前由各班用抽签方法决定参赛的人选,很多同学们对抽签之事展开讨论,有的同学说先抽的人抽到的机会比较大,也有同学持不同意见,那么,抽签有先有后(后抽人不知先抽人抽出的结果),对各人真的公平吗

我们就来研究一下,从概率的方面来说明抽签次序是否影响抽签结果 不失一般性,第一,不妨考察5个签中有一个彩签的情况,对第1个抽签者来说,他从5个签中任抽一个,得到彩签的概率,为了求得第2个抽签者抽到彩签的概率,把前2人抽签的情况作一整体分析,从5个签中先后抽出2个,可以看成从5个元素中抽出2个进行排列,它的种数是,而其中第2人抽到彩签的情况有,因此,第1人未抽到彩签,而第2人抽到彩签的概率为,通过类似的分析,可知第3个抽签的概率为,第4个,第5个分别为,.一般地,如果在n个签中有1个彩签,n个人依次从中各抽1个,且后抽人不知先抽人抽出的结果,那么第i个抽签者(i=1,2,…,n)抽到彩签的概率为,即每个抽签者抽到彩签的概率都是,也就是说,抽到彩签的概率与抽签的顺序无关.通过对上述简单问题的分析,我们看到在抽签时顺序虽然有先有后,但只要不让后抽人知道先抽人抽出的结果,那么各个抽签者中签的概率是相等的,也就是说,并未因为抽签的顺序不同而影响到其公平性.

这些都是非常有趣的涉及概率论的事件，随着我们的深入研究，生活中的许多有趣事件都逐一揭开他们神秘的面纱，展现出他们的本质。这也使得概率论成为一门极具趣味性的学科。

三 对于一些习题的做题心得

学好概率论离不开习题的积累，下面我将对一些习题做一下列举，并谈谈我在做这些问题时的一些小小的心得体会。

例：设随机变量X的概率密度为

sin,0,()0,cxxfx其他.

求：（1）常数C；（2）使()()PXaPXa成立的a.

解 （1）001()sincos2fxdxcxdxcxc，12c；

（2）1111()sincoscos2222aaPXaxdxxa，

001111()sincoscos,2222aaPXaxdxxa

可见 cos0a， 2a。

这一道题解法比较巧妙，利用了概率密度的性质解决了求系数问题。而且这道题体现了积分的重要性。作为一个非常重要的工具，我们要会用积分，巧用积分，利用它来解决更多的问题。

例：设随机变量~[2,2]XU，记

1,1,1,2,0,1,kXkYkXk

则12Cov(,)YY__________.

解：1[2,2]()40Xxfx其它

212111(1,1)(0,1)(1)44PYYPXXPXdx

112011(1,0)(0,1)(01)44PYYPXXPXdx

0122111(0,0)(0,1)(0)2442PYYPXXPXdx

12(0,1)(0,1)0PYYPXX. 01113024411104411122jipp

111101222EY

231101444EY

12111144EYY

121212cov()YYEYYEYEY1111.4248

这一道题比较典型，融合了第4章第5章的知识。它的解法比较基本，最终利用协方差的性质解出答案。通过这一题的练习，我对第四章第五章的知识又有了更深的了解，对其中涉及的一些解题方法有了更好的掌握，所以这道题对我帮助很大。

例：设,AB是两个事件，若()0PAB，则（ ）.

（A）,AB互不相容； （B）AB是不可能事件；

（C）()0PA或()0PB； （D）AB未必是不可能事件.

解：()0PABAB.  选D

这道题看似简单，但却考察了比较基本的一些问题。不等价的关系是我们在学习中一定要注意的，千万不可以想当然，犯下低级错误。

这是一些我在做题过程中感觉比较好比较有代表意义的一些题，以及在解题过程中的一些心得，拿出来分享一下。

四 总结

概率论及数理统计这门课结课了，在学习的过程中，老师的精妙讲解，探索过程中的一些有趣发现让我爱上了这一门课。概率论对于我们有着很重要的意义，无论是我们从事科学研究还是社会调查。我希望工大的概率论及数理统计这门课越办越好，武装更多工大学子，让我工大人顶起民族的屋脊！

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