当前位置：文档之家 › 概率论与数理统计总结

概率论与数理统计总结

  • 格式：doc
  • 大小：284.00 KB
  • 文档页数：8

3、分布函数与概率的关系 xxXPxF),()(

)()()()()(aFbFaXPbXPbXaP

4、离散型随机变量的分布函数

(1) 0 – 1 分布 1,0,)1()(1kppkXPkk

(2) 二项分布 ),(pnB nkppCkXPknkkn,,1,0,)1()(

泊松定理 0limnnnp 有

,2,1,0!)1(limkkeppCkknnknknn

(3) 泊松分布 )(P=,2,1,0,!)(kkekXPk

〔5〕几何分布 pqkpqkXPk1,2,1}{1

dttfxFx)()(则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为随机变量X的概率密度函数，

2、分布函数的性质：

〔1〕连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数。

〔2〕对于连续型随机变量X来说，它取任一指定实数a的概率均为零，即P{X=a}=0。

3、常见随机变量的分布函数

(1) 均匀分布 ),(baU

其他,0,1)(bxaabxf

1,,0)(abaxxF

(2) 指数分布 )(E

其他,00,)(xexfx 0,10,0)(xexxFx

(3) 正态分布 N ( , 

2 )

xexfx222)(21)( xttexFd21)(222)(

N (0,1) — 标准正态分布

xexx2221)( xtexxtd21)(22 2、连续型随机变量函数的分布：

〔1〕分布函数法；yxgXlXyYdxxfdxxflXPyFy)()()(

〔2〕设随机变量X具有概率密度fX(x)，又设函数g(x)处处可导且恒有g(x)>0 (或恒有g(x)<0) ，则Y=g(X)的概率密度为其他0yyhyhfyfXY其中x=h(y)为y=g(x)的反函数，gggg,max,,min

3、 二维连续型随机变量

〔1〕联合分布函数为dudvvufyxFyx),(),(函数 f(x,y)称为二维向量(X,Y)的(联合)概率密度. 其中： 0),(yxf，1),(dxdyyxf

〔2〕基本二维连续型随机向量分布

均匀分布：其他0),(1),(GyxAyxf

二维正态分布：yxeyxfyyxx,121),(])())((2)([)1(212212222212121212

3、离散型边缘分布律：

4、 连续型边缘概率密度

,),()(dyyxfxfX dxyxfyfY),()(

F(x，y)=Fx(x)FY(y) 则称随机变量X和Y是相互独立的

3、连续型随机变量独立的等价条件 设(X，Y)是连续型随机变量，f(x，y)，fx(x)，fY(y)分别为(X，Y)的概率密度和边缘概率密度，则X和Y相互独立的充要条件是等式 f(x，y) = fx(x)fY(y)

对f(x，y)，fx(x)，fY(y)的所有连续点成立.

五、条件分布

1、离散型随机变量的条件分布律：

〔3〕条件分布函数：

2、连续型随机变量的条件分布

〔1〕条件分布函数xYYXYxYXduyfyufyxFyfduyufyxF)(),()|()(),()|(||或写成，

〔2〕条件概率密度

在Y=y条件下X的条件概率密度)(),()|(|yfyxfyxfYYX 同理 X=x条件下X的条件概率密度)(),()|(|xfyxfxyfXXY

六、多维随机函数的分布

1、离散型随机变量函数分布：

二项分布：设X和Y独立,分别服从二项分布b(n1,p), 和b(n2,p)，则 Z=X+Y的分布律：Z～b(n1+n2,p).

泊松分布：假设X和Y相互独立,它们分别服从参数为21,的泊松分布,则Z=X+Y服从参数为21的泊松分布。

2、连续型随机变量函数分布：

〔1〕Z=X+Y dyyyzfzfZ),()(或dxxzxfzfZ),()(

假设X和Y相互独立时，

dxxzfxfzfdyyfyzfzfYXZYXZ)()()()()()(；

正态分布的特点：

a设X,Y相互独立且XN(μ1，σ12)，YN(μ2，σ22经过计算知Z=X+Y

仍然服从正态分布,且有ZN(μ1+μ2，σ12+σ22).

b假设XN(µ,σ2)，则)1,0(~*NXX

c 假设XN(µ,σ2)，则),(~212121kkkNkXkY

〔2〕M=max(X,Y) N=min(X,Y)的分布

设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为Fx(x)和FY(y) M=max(X,Y)：)()()(maxzFzFzFYX

N=min(X,Y)：)](1)][(1[1)(minzFzFzFYX

(2)几种常见分布的数学期望

i. X服从参数为p的(0,1)分布：E(X)=0×(1-p)+1×p=p

ii. 假设Xb(n,p),则E(X)=np

π(λ)，则 E(X)=λ

2、连续型随机变量的数学期望

(1)定义：

.d)()(.)(,d)(,d)(,)(xxfxXEXEXxxfxxxfxxfX即记为的数学期望的值为随机变量则称积分绝对收敛积分若的概率密度为设连续型随机变量 (2)几个常见连续型随机变量的数学期望

XU(a,b),则E(X)=(a+b)/2

ii. 假设XN(µ,σ2)，则E(X)=μ

iii.假设X服从指数分布

000)(xxexfx ，则E(X)=1/

3、函数 Y = g(X ) 的数学期望

(1)离散型：离散型变量X 的概率分布为,2,1,)(ipxXPii假设无穷级数1)(iiipxg绝对收敛，则1)()(iiipxgYE。

(2)连续型：连续型随机变量X的 概率密度为f (x)，假设广义积分dxxfxg)()(绝对收敛，则dxxfxgYE)()()(。

4、数学期望的性质：

i C为常数,则有E(C)=C；

ii 设X是一个随机变量，C常数，则有E(CX)=CE(X)；

iii 设X，Y是两个随机变量，则有 E(X+Y)=E(X)+E(Y)

这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况:

)()()()(2121nnXEXEXEXXXE

iv 设X，Y是相互独立的随机变量，则有:E(XY)=E(X)E(Y)

这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况)()()()(2121nnXEXEXEXXXE

二、方差

1、定义：设X是一个随机变量，假设}])([{2XEXE存在，则称}])([{2XEXE为X方差，记为D(X)或Var(X).称它的平方根为标准差，记作(X)

2、计算方法：

(1)用定义：离散型：,)]([)(12kkkpXExXD

连续型：,d)()]([)(2xxfXExXD

(2)用公式：.)]([)()(22XEXEXD

3、方差的性质

(1) 设C是常数，则D(C)=0；

(2) 设X是随机变量，a是常数，则D(aX)=a2D(X),从而 D(aX+b)=a2D(X)；

(3) 设X，Y是两个相互独立的随机变量，则有D(XY)=D(X)+D(Y)； (4) 对任意常数C, D (X )  E(X – C)2 , 当且仅当

C = E(X )时等号成立

(5) D (X ) = 0 则P (X = E(X))=1称为X 依概率 1 等于常数 E(X)

4、常见分布的方差

(1) (0-1)分布，其分布律为P{X=0}=1-p，P{X=1}=p,则D(X)=p(1-p)

(2)二项分布 Xb(n,p),，其分布律为.,....,2,1,0}{nkqpCkXPknkkn则E(X)=np,D(X)=npq

(3)泊松分布 X(),其分布律为,.....2,1,0!}{kkekXPk 则E(X)=, D(X)=

(4)均匀分布 X在区间(a，b)均匀分布E(X)=(a+b)/2， .12)()(2abXD

(5)正态分布XN(µ,σ2)，,21)(222xexfE(X)=μ，D(X)=σ2.

5、契比雪夫不等式：设随机变量X的期望和方差都存在，且 E(X)=μ,D(X)=σ2，则对任意的ε>0,有.}|{|22XP

6、矩的概念：

(1)设X和Y是随机变量，假设)(kXE存在，,2,1k称为k阶原点矩，简称k阶矩。

(2)假设,3,2,})]({[kXEXEk存在，称为k阶中心矩。

(3)假设,2,1,,)(lkYXElk存在，称为k+l阶混合矩。

(4)假设,2,1,,})]([)]({[lkYEYXEXElk存在，称为k+l阶混合中心矩。

7、标准化随机变量 设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X )都存在, 且D(X )  0,

则称)()(XDXEXX为 X 的标准化随机变量，显然，1)(,0)(XDXE

三、协方差和相关系数

1、协方差

(1)定义：E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}称为随机变量X与Y的协方差，记为Cov(X，Y)，即 Cov(X，Y)=

E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}。

离散型：ijiijipYEyXExYXCov)]([)]([),(11

连续型：ijiijipYEyXExYXCov)]([)]([),(11

合集下载

概率论与数理统计公式定理全总结

概率论与数理统计公式定理全总结

概率论与数理统计公式定理全总结

一、概率论公式：

1.基本概率公式：对于随机试验E，事件A的概率可以表示为P(A)=事件A的样本点数/所有样本点数。

2.条件概率公式：对于事件A和事件B，若P(B)>，则事件A在事件B发生的条件下的概率可以表示为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。

3.全概率公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B有P(B)=Σ(P(Ai)×P(B，Ai))。

4.贝叶斯公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B，有P(Ai，B)=(P(B，Ai)×P(Ai))/Σ(P(B，Ai)×P(Ai))。

二、数理统计公式：

1.期望：随机变量X的期望E(X)=Σ(Xi×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。

2. 方差：随机变量X的方差Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 ×

P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，E(X)为随机变量X的期望，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。

3. 协方差：随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y) = E((X - E(X))(Y

- E(Y)))，其中E(X)和E(Y)分别为随机变量X和Y的期望。 4. 相关系数：随机变量X和Y的相关系数ρ(X,Y) = Cov(X,Y) /

√(Var(X) × Var(Y))，其中Cov(X,Y)为随机变量X和Y的协方差，Var(X)和Var(Y)分别为随机变量X和Y的方差。

三、概率论与数理统计定理：

1.大数定律：对于独立同分布的随机变量X1,X2,...,Xn，它们的均值X̄=(X1+X2+...+Xn)/n，当n趋向于无穷大时，X̄趋向于X的期望E(X)。

2.中心极限定理：对于独立同分布的随机变量X1,X2,...,Xn，它们的和Sn=X1+X2+...+Xn，当n趋向于无穷大时，Sn的分布近似服从正态分布。

概率论与数理统计知识点总结!-知识归纳整理

概率论与数理统计知识点总结!-知识归纳整理

《概率论与数理统计》

第一章随机事件及其概率

§1.1 随机事件

一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件：

二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性：

§1.2 概率

古典概型公式：P（A）=

所含样本点数所含样本点数

A

实用中经常采用“罗列组合”的想法计算

补例1：将n个球随机地放到n个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A：

“每个盒子恰有1个球”。求：P(A)=？Ω所含样本点数：nnnnn...

Α所含样本点数：!1...)2()1(nnnn

nnn

AP!

)(

补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概

率各是多少？

解：设A

i ：“信箱中信的最大封数为i”。(i =1,2,3)求：P(A

i)=？

Ω所含样本点数：644444

3

A

1所含样本点数：24234

83

6424

)(

1AP

A

2所含样本点数： 3634

2

3C

169

6436

)(

2AP

A

3所含样本点数：44

3

3C

161

644

)(

3AP

注：由概率定义得出的几个性质：

第 1 页/共 34 页知识归纳整理

1、0

2、P(Ω)=1，P(φ) =0

§1.3 概率的加法法则

定理：设A、B是互不相容事件（AB=φ），则：

P（A∪B）=P（A）+P（B）

推论1：设A

1、 A

2、…、 A

n 互不相容，则

P(A

1+A

2+...+ A

n)= P(A

1) + P(A

2) +…+ P(A

n)

推论2：设A

1、 A

2、…、 A

n 构成完备事件组，则

P(A

1+A

2+...+ A

n)=1

推论3： P（A）=1－

P（A

）

推论4：若B

A，则P(B－A)= P(B)－P(A)

推论5（广义加法公式）：

对任意两个事件A与B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A B)

补充——对偶律：

nnAAAAAA......

2121

nnAAAAAA......

概率论与数理统计公式大全

概率论与数理统计公式大全

概率论与数理统计公式大全

一、概率基本公式

1.事件的概率：对于事件A，在随机试验中发生的次数记为n(A)，则事件A的概率为P(A)=n(A)/n，其中n为试验总次数。

2.互斥事件的概率：对于互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。

3.事件的余事件概率：设事件A为必然事件，全集的概率为P(S)=1，事件A的余事件为A'，则有P(A')=1-P(A)。

4.条件概率：对于两个事件A和B，假设事件B已经发生，事件A发生的概率记为P(A，B)，则P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。

二、随机变量及其概率分布

1.离散型随机变量：设X是一个离散型随机变量，其概率函数为P(X=k)，其中k为X的取值，概率函数满足P(X=k)≥0，且∑P(X=k)=1

2. 连续型随机变量：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，概率密度函数满足f(x)≥0，且∫f(x)dx = 1

3. 随机变量的数学期望：对于离散型随机变量X，其数学期望为E(X)

= ∑k*P(X=k)；对于连续型随机变量X，其数学期望为E(X)=∫xf(x)dx。

4. 随机变量的方差：对于离散型随机变量X，其方差为Var(X) =

E(X^2) - [E(X)]^2；对于连续型随机变量X，其方差为Var(X) = E(X^2)

- [E(X)]^2

三、常见的概率分布 1.伯努利分布：表示一次实验成败的概率分布，概率函数为P(X=k)=p^k(1-p)^(1-k)，其中0≤p≤1

2.二项分布：表示n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布，概率函数为P(X=k)=C(n,k)*p^k(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数。

3. 泊松分布：表示单位时间或单位面积内发生事件次数的概率分布，概率函数为P(X=k) = (lambda^k)/(k!)*e^(-lambda)，其中lambda为平均发生率。

4.均匀分布：表示在一个区间内取值相等的概率分布，概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，其中[a,b]为区间。

概率论与数理统计

概率论与数理统计

概率论与数理统计

概率论与数理统计是现代数学中非常重要的分支之一，它们在自然科学、社会科学，以及工程技术等领域都有广泛的应用。在生物学，物理学，化学等领域，常常需要采用概率论和数理统计的方法，来研究和分析现象。这篇文章将要探讨概率论和数理统计的一些基本概念和方法，并介绍它们在现实生活中的应用。

一、概率论

概率论是一门研究随机现象及其规律的数学学科。它的基本思想是通过建立数学模型，来描述随机事件的概率分布及其规律。随机事件指某一次试验中可能发生或不发生的事情，例如掷骰子、抛硬币、抽扑克牌等，这些事件的结果是随机的，因此需要采用概率论的方法来研究。

1.概率和概率分布

概率是指某一事件发生的可能性，用一个数值来表示。在概率论中，对于某一特定随机事件，概率的大小常常用P(A)来表示，其中A是这个事件。例如，抛一枚硬币，正面朝上的概率是0.5，用数学语言可以表示为P(正面)=0.5，反面朝上的概率也是0.5，即P(反面)=0.5。

概率分布是指某个随机事件的各种结果的概率分布情况。在一次试验中，随机事件可能会有多个结果，即样本空间。概率分布用来描述每个结果的概率大小。例如，抛一枚硬币的样本空间是{正面，反面}，正面和反面各占1/2的概率。

2.条件概率和独立事件

条件概率是指在已知某个事件发生的情况下，某个随机事件会发生的概率。条件概率的计算方法一般采用贝叶斯公式，例如给定事件A，以及事件B，P(A|B)表示在B发生的情况下，A发生的概率，则条件概率可以表示为：

P(A|B) = P(AB)/P(B)

其中AB表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

独立事件是指某个随机事件的发生不会对另一个随机事件的发生产生影响。如果事件A、B是独立事件，则可以表示为P(A|B) = P(A)，P(B|A) = P(B)，即A和B的概率相互独立，并不受对方的影响。

3.期望值和方差

期望值是统计学中一个非常重要的概念，用来描述一个随机变量的总体平均数。可以用数学公式表示为：