6-8多元函数微分学习题课

第八章 多元函数微分学

习题8－1

3*. :证明下列极限不存在

332)0,0(),(lim)1(yxyxyx

证：时，有趋向于为任意常数，沿直线当)0,0()1(),(kkkxyyx

,1)1(im),(lim3333kxy0xkxy0xkkxkkxyxf

.lim332)0,0(),(不存在的不同而不同，因此显然极限值随斜率yxyxkyx

yxxyyx)0,0(),(lim)2(

证：时，有趋向于为任意非零实常数沿曲线当)0,0()(-),(2kxkxyyx

,1kim),(lim223x-kxy0xx-kxy0x22kxxkxyxf

.lim)0,0(),(不存在的不同而不同，因此显然极限值随斜率yxxykyx

4. :求下列极限

11xylim)1()3,1(),(xyyx

解：；原式31-13131

xyxyyx42lim)2()0,0(),(

解：；）（原式41-42lim)0,0(),(xyxyxyyx

)1sin1sin(lim)3()0,0(),(xyyxyx 解：量仍为无穷小量）；（利用无穷小量乘有界原式0

2233)0,0(),(*lim)4(yxyxyx

解：，则，令sincosyx

.0)scos(limscoslim330233330inin原式

习题8－2

2. .5,4,2,4)(4122轴的倾角）处切线对于在点（求曲线xyyxz

解：轴的）处的切线对于即表示在点（）处，，在点（xzxzxx5,4,2,15,4,221

.4,1tan.1轴的倾角为故所求切线对于，则有设相应的倾角为斜率为x

4. ，证明：设222zyxr

.2)2(;11222222222rzryrxrzryrxr）（）（））（（

多元函数微分法及其应用：

内容提要：

《大学数学》这套文字教材是中央电大基础课改造工程中“数学课程整合”教学改革的阶段性成果。

大学数学课程的改革是高校教学改革的重点,特别是在学数学如何满足不同规格层次、不同专业科类的需要的改革上,更加困难,随着中央电大人才培养模式改革和开放教育试点的开展,电大专科和专科起点本科的理工、文经类专业相继开出,中央电大数学课程的教学改革同样成为十分重要和紧迫的工作,为配合试点工作,深化以人才培养模式改革为核心、以教学内容和课程体系为重点的教学改革,中央电大从1999年起,与试点工作同步启动了中央电大基础课改革工程,“数学课程整合”便是其中的一个重点项目。

为搞好大学数学课程的建设,项目组经过较长时间的调研和教学实验,确定了“科学性、应用性、开放性;模块化、信息化、一体化”的课程建设和改革原则。

1.科学性:通过数学大师和数学教育家的联合把关,确保数学课程教学内容的准确无误,并在此基础上,充分考虑各类大学生在数学基本素养和能力的培养上应有的要求,以调整和改革人才培养的知识、能力和素质结构。

2.应用性:坚持“必需、够用”的原则,在保证学生数学基本素养和后续课程需要的前提下,强调数学方

图书目录：

第1章多元函数微分学

1.1预备知识

1.2二元函数

1.3偏导数

1.4全微分

1.5复合函数和隐函数的微分法

1.6二元函数的极值

习题1

学习指导

自我测试题

第2章多元函数积分学

2.1二重积分的概念及性质

2.2直角坐标系中二重积分的计算

2.3极坐标系中二重积分的计算

2.4二重积分的应用

习题2

学习指导

自我测试题

参考答案

多元函数微分法及其应用：

F(x,y,z)=x^2+y^2-1 Fx=2x,Fy=2y Fz=0

Fx(√bai1/2),√1/2,√7/2)=√2,Fy(√1/2),√1/2,√7/2)=√2 Fz=0

G(x,y,z)=y^2+z^2-4 Gx=0,Gy=2y Fz=2z

第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答

一、选择题

1. 极限limxyxyxy00242= （提示：令22ykx） （ B ）

(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0或12

2、设函数fxyxyyxxyxy(,)sinsin11000，则极限lim(,)xyfxy00= （ C ）

（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）

(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2

3、设函数fxyxyxyxyxy(,)222222000，则(,)fxy （ A ）

（提示：①在220xy，(,)fxy处处连续；②在0,0xy ，令ykx，22222000limlim0(0,0)1xxykxkxfxkxk ，故在220xy，函数亦连续.所以，(,)fxy在整个定义域内处处连续.）

(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续

(C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续

4、函数zfxy(,)在点(,)xy00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ）

(A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件

(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件

5、设uyxarctan，则ux= （ B ）

(A) xxy22 (B) yxy22 (C) yxy22 (D) xxy22

6、设fxyyx(,)arcsin，则fx'(,)21 （ A ）

1、多元函数存在的条件存在是指P(x，y)以任何方式趋于P0(x0，y0)时，函数都接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0(x0，y0)时，即使函数接近某一确定值，我们还不能由此断定函数存在。反过来，如果当P(x，y)以不同方式趋于P0(x0，y0)时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的不存在。例如函数：f(x，y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠0

2、多元函数的连续性定义设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)则称f(x，y)在点P0(x0，y0)连续。

性质(最 大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最 大值和最小值。

性质(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。

3、多元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数值f(P)趋于f(P0)，但不能保证

点P按任何方式趋于P0时，函数值f(P)都趋于f(P0)。

4、多元函数可微的必要条件一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件，但多元函数各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件，即可微=>可偏导。

5、多元函数可微的充分条件定理(充分条件)如果函数z=f(x，y)的偏导数存在且在点(x，y)连续，则函数在该点可微分。

6.多元函数极值存在的必要、充分条件定理(必要条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)具有偏导数，且在点(x0，y0)处有极值，则它在该点的偏导数必为零。