多元函数微分学精选练习题

八、多元函数的微积分：

（一）求下列函数的偏导数：

（1）33xyyxz

解:233zxyyx， 323zxxyy．

（2）)ln(xyz

解：12ln()zxy，12111ln()()22ln()zxyyxxyxxy

12111ln()()22ln()zxyxyxyyxy.

（3）2arcsin()cos()zxyxy,

2arcsin()cos()zxyxy；

2212cos()[sin()]sin(2)1()1()zyyxyxyxyxyxxyxy,

2212cos()[sin()]sin(2)1()1()zxxxyxyxxxyyxyxy.

（4）yxyz)1(

解：关于x是幂函数故：121(1)(1)yyzyxyyyxyx，

关于y是幂指函数，将其写成指数函数ln(1)yxyze，故：

ln(1)1[ln(1)](1)(ln(1))11yxyyzxyexyyxxyxyyxyxy

解II: 两边取对数得lnln(1)zyxy，因此

11zyyzxxy , 1ln(1)1zxxyyzyxy,

即

21(1)yzyxyx， 1(1)ln(1)(1)yyzxyxyxyxyy.

（二）求下列函数的全微分：

（1） xzxyy ,

因为1zyxy,2zxxyy. 所以21()d()dzzxdzdxdyyxxyxyyy .

（2）2xyze,

因为2xyzex,22xyzey.

所以2(d2d)xyzzdzdxdyexyxy.

（3）22yzxy

第八章多元函数微分学练习题班级学号姓名

一、单项选择题

1、设

yx

yxuarctan),(

、22ln),(yxyxv，则下列等式成立的是（）

A、

yv

xu







B、

xv

xu







C、

xv

yu







D、

yv

yu







2、设

yx

yxuarctan),(

，22ln),(yxyxv，则下列等式成立的是（）

A、

yv

xu







B、

xv

xu







C、

xv

yu







D、

yv

yu







3、函数

xy

zln在点（2，2）处的全微分

dz为（）

A、

dydx

21

21

B、

dydx

21

21

C、

dydx

21

21

D、

dydx

21

21



4、设),(yxfz为由方程8333

xyzz

所确定的函数，则





00

yx

yz

()

A、

21

B、

21

C、2D、2

5、设

yxz3

)2ln(

在点)1,1(处的全微分为()

A、dydx3B、dydx3C、

dydx3

21

D、

dydx3

21



6、设

2yfx，其中f具有二阶导数，则2

2dy

dx

（）

A、222()2()xfxfx

B、

2224()2()xfxfx



C、224()2()xfxfx

D、

224()xfx

7、已知函数(,)zzxy由方程

33320zxyzx所确定,

则

1

0x

yz

x





（)

A、-1B、0C、1D、2

8、函数

2()zxy，则

1,0xydz

=（）

A、22dxdyB、22dxdyC、22dxdyD、22dxdy

二、填空题

1、函数yxz的全微分

dz

2、设xeuxysin，则





xu

3、设

yx

z

，则全微分

dz

4、设函数),(yxzz由方程12

yzxz所确定，则

xz

＝

5

、设函数2ln4zxy

，则

1

0x

ydz



6、函数

arctany

z

x的全微分dz=

7、设),(yxzz

是由方程12

xyzz所确定的函数，则



xz

三、计算题

1、设),(2

多元函数微分法及其应用：

内容提要：

《大学数学》这套文字教材是中央电大基础课改造工程中“数学课程整合”教学改革的阶段性成果。

大学数学课程的改革是高校教学改革的重点,特别是在学数学如何满足不同规格层次、不同专业科类的需要的改革上,更加困难,随着中央电大人才培养模式改革和开放教育试点的开展,电大专科和专科起点本科的理工、文经类专业相继开出,中央电大数学课程的教学改革同样成为十分重要和紧迫的工作,为配合试点工作,深化以人才培养模式改革为核心、以教学内容和课程体系为重点的教学改革,中央电大从1999年起,与试点工作同步启动了中央电大基础课改革工程,“数学课程整合”便是其中的一个重点项目。

为搞好大学数学课程的建设,项目组经过较长时间的调研和教学实验,确定了“科学性、应用性、开放性;模块化、信息化、一体化”的课程建设和改革原则。

1.科学性:通过数学大师和数学教育家的联合把关,确保数学课程教学内容的准确无误,并在此基础上,充分考虑各类大学生在数学基本素养和能力的培养上应有的要求,以调整和改革人才培养的知识、能力和素质结构。

2.应用性:坚持“必需、够用”的原则,在保证学生数学基本素养和后续课程需要的前提下,强调数学方

图书目录：

第1章多元函数微分学

1.1预备知识

1.2二元函数

1.3偏导数

1.4全微分

1.5复合函数和隐函数的微分法

1.6二元函数的极值

习题1

学习指导

自我测试题

第2章多元函数积分学

2.1二重积分的概念及性质

2.2直角坐标系中二重积分的计算

2.3极坐标系中二重积分的计算

2.4二重积分的应用

习题2

学习指导

自我测试题

参考答案

多元函数微分法及其应用：

F(x,y,z)=x^2+y^2-1 Fx=2x,Fy=2y Fz=0

Fx(√bai1/2),√1/2,√7/2)=√2,Fy(√1/2),√1/2,√7/2)=√2 Fz=0

G(x,y,z)=y^2+z^2-4 Gx=0,Gy=2y Fz=2z

暑期，是考研黄金复习期。同学们要多利用这段时间夯实基础，千万不要眼高手低，无论是哪本数学复习书，大家一定要去做，去看。不要一份试题放到你面前，你根本就不知道无从下手。高数中，多元部分较为重要。高等数学中有多元函数微分学，多元函数积分学。从本质上讲多元是一元的升华，相应的理论和方法也可以从一元那里类比过来。但是多元部分也有自己的特点，它与一元部分也有所区别。

1.深刻理解概念

前面我说了多元与一元有联系，但也有区别。所以在这里，我说的深刻理解概念就是要说清楚多元函数微分学与一元函数微分学的区别以及大家需要注意的地方。那么，在多元函数微分学的知识体系中，最重要的就是对基本概念的理解。也就是要理解多元函数的极限，连续，可导与可微。首先，大家对极限的理解很关键。它与一元部分是有区别的。以二元函数为例，大家要清楚逼近方式的任意性，而一元函数中就两个方向。所以一般考研考二元函数极限就是问大家这个极限是否存在，那么大家就选取两个方向来说明就够了。至于连续，把极限搞清楚了，连续就不是问题了。然后，可导的概念。还是以二元函数为例。二元函数有两个变量，那么可导就是说的偏导数。基本思想是：求一个变量的导数那么就固定另外一个变量。所以实质上还是求一元函数的导数。至于可微的思想可以直接平移一元的。虽然有些变化，但是基本的形式是一样的。最后，三者关系。这是相当重要的一个点。具体来说，可微可以推出可导和连续，而反之不成立。希望大家不仅要记住结论，还要知道为什么是这样的关系。大家通过自己推一推就可以准确的把握这三个概念了。在大家深刻理解了这些概念后，后面的内容就偏向计算了。

2.培养计算能力

在前面，我说了对基本概念理解的重要性。那么，说完概念，这章考查的重点还是计算。计算实质上就是多元函数微分学的应用。它主要包括偏导数的计算；方向导数与梯度；二元函数极值(无条件与条件)。其实考查计算对大家来说是最容易的考法。因为大家只要懂方法就够了，不用理解方法怎么来的。具体来说，计算偏导数，特别是高阶偏导数，大家只要掌握了链式法则就够了。同时掌握下高阶导数与求导次序无关的条件。至于计算方向导数与梯度，大家就需要知道它的含义，然后记住两个公式就行了。最后是二元函数的极值。它分为无条件极值和有条件极值。先说无条件极值。大家可以把它跟一元函数极值做个类比。这样会学的轻松些。至于条件极值，大家只要会了拉格朗日乘数法就行了。所以，这章对大家的计算能力要求很高。大家一定要沉下心仔细体会方法，然后多做练习就够了。