待定系数法求函数的解析式

专题二 函数考点2 求函数解析式的3种方法【方法点拨】求函数解析式的常用方法1. 待定系数法：已知函数的类型，利用所给条件，列出方程或方程组，用待定系数法确定系数.2. 配凑法或换元法：已知复合函数f[g(x)]=F(x)的解析式，把F(x)配凑成关于g(x)的表达式，再用x 代替g(x)，称为配凑法；或者，直接令g(x)=t ，解方程把x 表示成关于t 的函数，再代回，称为换元法，此时要注意新元t 的取值范围.3解方程组法(或赋值法)：已知关于f(x)与f(1/x)或f(-x)的表达式，可通过对自变量的不同赋值构造出不同的等式通过解方程组求出f(x).【高考模拟】1．已知()f x 是偶函数,且当0x >时,2()f x x x =-,则当0x <时,()f x 的解析式为（ ） A ．2()f x x x =-B ．2()f x x x =--C ．2()f x x x =+D ．2()f x x x =-+【答案】C【分析】利用()f x 是偶函数，()()f x f x -=，当0x <，()2f x x x -=+，即可求得答案 【解析】设0x <，则0x ->，当0x >时,()2f x x x =- ()2f x x x ∴-=+，()f x 是偶函数，则()()f x f x -=()2f x x x ∴=+ ()0x <故选C【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式，掌握解题方法，较为简单．2．已知幂函数()f x 的图象经过点()327，，则()f x 的解析式()f x =（ ）．A ．3xB ．3xC ．9xD ．3log x【答案】A【分析】 设幂函数解析式为()f x x α= ，将点()327，代入即可求解. 【解析】设幂函数为()f x x α= 函数经过点（3，27），273α∴= 解得3α=故()f x 的解析式()3f x x = 故选A【点睛】本题考查幂函数解析式的确定，是基础题；解题时需要认真审题，准确代入数值.3．若函数2()1x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数，则()f x 的解析式为（ ）． A ．2()1x f x x =-+ B ．2()1x f x x =+ C ．21()1x f x x +=+ D ．2()1x f x x x =++ 【答案】B【解析】【分析】由奇函数得()()f x f x -=-，代入后求出解析式【解析】函数()21x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数 ()()f x f x ∴-=-，即()()00f f -=-，()00f =，001a a ==， 即()21x f x x bx =++()()11f f -=-，1122b b -=--+ 解得0b =则()21x f x x =+ 故选B【点睛】 本题考查了函数奇偶性的运用，当奇函数定义域取到零时有()00f =，然后再赋值法求出解析式，较为基础。

高中数学：用待定系数法求函数的解析式待定系数法是一种求未知数的方法。

一般用法是：将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，从而得到一个恒等式，然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，最后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式。

例1、已知一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，），当x＝4时，y的值为9；当x＝2时，y的值为－3；求这个函数的关系式。

分析：将已知条件代入函数的解析式得到关于的方程再求解即可。

解：依题意得：∴y＝6x－15思考：一般地，函数关系式中有几个系数，就需要有几个等式才能求出函数关系式。

如，一次函数关系：那么，如果要确定二次函数的关系式，又需要几个条件呢？例2、已知二次函数的图象经过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式。

分析：给出三个条件需要列三个等式，应设二次函数的解析式为一般式。

解：设函数的解析式为，则有解得∴y＝1.5x2－1.5x＋1例3、已知一个二次函数的图象经过点（0，1），它的顶点坐标为（8，9），求这个二次函数的关系式。

分析：本题的题目中给了顶点坐标，所以可设二次函数解析式为顶点式。

解：∵顶点坐标是（8，9）∴可设函数关系式为：y＝又∵函数图象经过点（0，1）∴a×＋9＝1 解得a＝∴函数关系式为：y＝（x－8）＋9例4、抛物线的图象经过（0，0）与（12，0）两点，其顶点的纵坐标是3，求它的函数关系式。

分析：根据抛物线的对称性，知顶点的坐标是（6，3）方法一：可设函数关系式为：再将（0，0）点的坐标代入得，解得，所以，所求抛物线解析式为方法二：设函数关系式为：由题意，得，解得所以，所求抛物线解析式为思考：利用已知条件求二次函数的解析式，常用的方法是待定系数法，但可根据不同的条件选用适当形式求的解析式。

如：（1）给出三点坐标，宜使用一般式：（2）已知抛物线的顶点坐标与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常用顶点式：▍▍ ▍▍。

用待定系数法求二次函数解析式待定系数法是求解多项式解析式的有效途径，用来直接求出二次函数解析式的标准型可以以形如$ax^2+bx+c=0$来表示，其中$a,b,c$均为常数。

一、概述1.1 什么是待定系数法待定系数法是指针对未知数多项式的解析方程，通过形如$a_1x^2+a_2x+a_3=0$的解析方程的参数$a_1,a_2,a_3$的确定，来求解形如$ax^2+bx+c=0$的解析式。

1.2 待定系数法的步骤（1）将解析方程形如$ax^2+bx+c=0$的形式确定，将$a,b,c$的系数根据题目替换成未知数，形如$a_1x^2+a_2x+a_3=0$（2）据此，将问题转化为求令$Δ=b_1a_2-2a_1a_3=0$时$a_1,a_2,a_3$的值，其中$b_1$为给定数∵（3）如果$Δ ≠ 0$，有$a_1=Δ/b_1, a_2=2a_1a_3/b_1, a_3=Δ/b_1$（4）将$a_1,a_2,a_3$的值代回原式，可求出$a,b,c$的值（5）最终，得出答案。

二、例题例题1：已知$2x^2+bx+2=0$，求b的值解：由待定系数法可求解出$a_1=2,a_2=b,a_3=2$∴$b_1=2,Δ=2×b−2×2=b-4$∴令$Δ=b-4=0$，解得$b=4$∴$b=4$例题2：已知$2x^2-3x+c=0$，求c的值解：由待定系数法可求解出$a_1=2,a_2=-3,a_3=c$∴$b_1=2,Δ=2×(-3)−2×c=6-2c$∴令$Δ=6-2c=0$，解得$c=3$∴$c=3$三、探究（1）待定系数法的数据限制待定系数法用来求解的多项式解析方程为二次以下的情况，不能用来求解多次多项式方程。

（2）待定系数法的应用范围待定系数法普遍用于求解数学、物理、化学、经济学等学科中，会出现二次式解析方程的问题，它可以用来快速求解解析式，可以极大的节省计算的时间。

七种求法求函数解析式七种求函数解析式的方法一、待定系数法：已知函数的解析式时，可以使用待定系数法构造函数。

例如，设$f(x)$是一次函数，且$f[f(x)]=4x+3$，求$f(x)$的解析式。

设$f(x)=ax+b(a\neq0)$，则$f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b$。

根据题意，有$a^2=4$，解得$a=2$或$a=-2$。

再代入$f[f(x)]=4x+3$中，解得$b=1$或$b=3$。

因此，$f(x)=2x+1$或$f(x)=-2x+3$。

二、配凑法：已知复合函数$f[g(x)]$的表达式，求$f(x)$的解析式，可以使用配凑法。

但需要注意所求函数$f(x)$的定义域不是原复合函数的定义域，而是$g(x)$的值域。

例如，已知$f(x+1)=(x+1)^2-2$，求$f(x)$的解析式。

将$x$换成$x-1$，得$f(x)=(x-1)^2-2(x\geq2)$。

三、换元法：已知复合函数$f[g(x)]$的表达式时，可以使用换元法求$f(x)$的解析式。

与配凑法类似，需要注意所换元的定义域的变化。

例如，已知$f(x+1)=x+2x$，求$f(x)$的解析式。

令$t=x+1$，则$t\geq1$，$x=(t-1)$，$f(t)=(t-1)^2+2(t-1)=t^2-1$，因此$f(x)=x^2-1(x\geq1)$。

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般使用代入法。

例如，已知函数$y=x+\sqrt{x}$与$y=g(x)$的图像关于点$(-2,3)$对称，求$g(x)$的解析式。

设$M(x,y)$为$y=g(x)$上任一点，且$M'(x',y')$为$M(x,y)$关于点$(-2,3)$的对称点，则$x'+x=-4$，$y'+y=6$，解得$y=-x-7+\sqrt{x+4}$，因此$g(x)=-x^2-7x-6$。

用待定系数法求二次函数解析式的几种方法待定系数法是一种可以用来求二次函数解析式的有效方法。

基本原理是，通过把二次函数拆分为两个一次函数的乘积，然后根据给定的条件将未知的系数代入到两个一次函数之中，从而计算出二次函数的解析式。

首先，我们可以用待定系数法计算二次函数的标准形式的解析式。

一般来说，二次函数的标准形式是ax^2+bx+c=0，根据定理，二次函数的根为： x = [-b (b^2-4ac)] / 2a.二次函数分解为两个一次函数相乘：ax^2 + bx + c = a(x+p)(x+q),p + q = -b, pq = c.结合给定的条件，将未知的系数代入到两个一次函数之中，即可求得p、q的值。

最后，根据互相关联的关系，计算出q p的值，就可以得到二次函数的标准形式的解析式。

其次，我们可以用待定系数法求解二次函数的非标准形式的解析式。

一般来说，非标准形式的二次函数是一般形式ax^2 + bx + c = 0类似于标准形式，我们可以将二次函数分解为两个一次函数相乘：ax^2 + bx + c = a(x + p/a )(x + q/a)。

对于任意给定的一般形式的二次方程，我们可以先将它降幂变为标准形式，然后再计算p、q的值。

最后，根据互相关联的关系，计算出 q p的值，就可以得到二次函数的非标准形式的解析式。

再次，我们还可以用待定系数法解决一些特殊情况下的二次函数。

比如说，二次函数在x=0处有极值点时，ax^2+bx+c= 0.种情况下，我们可以将二次函数分解为两个一次函数:ax^2 + bx + c = a(x + p)(x + q) + ap, q = 0。

根据给定的条件，将未知的系数代入到两个一次函数之中，即可求得p、q的值。

最后，根据互相关联的关系，计算出q p的值，就可以得到二次函数的特殊情况下的解析式。

总之，待定系数法是一种可以用来求二次函数解析式的有效方法。

它可以用来求解二次函数的标准形式和非标准形式，以及一些特殊情况下的二次函数的解析式。

用待定系数法求解析式：1、三点式：已知三点坐标，设一般形式2y ax bx c =++，解方程组； 2、顶点式：已知顶点坐标（h ，k ），或对称轴x=h ，设成顶点式2()y a x h k =-+； 3、交点式：已知与x 轴的两个交点（1,0x ）（2,0x ）设成交点式12()()y a x x x x =--；4、对称点式：已知两个对称点（1,x m ）（2,x m ），则设成12()()y a x x x x m =--+的形式； 练习题：1、若二次函数2y x bx c =++的图象经过点（-4，0），（2，6），则这个二次函数的解析式为 。

2、抛物线2y ax bx c =++经过点A （1，-8），B （0，-7）两点，且它的对称轴为13x =，则解析式为（ ） A 、227y x x =+- B 、 21272y x x =-+ C 、2327y x x =-+- D 、2327y x x =-++ 3、抛物线的顶点是（-2，3），且点（-1，5）在这条抛物线上，则这个二次函数的关系式为（ ）A 、2811y x x =++B 、2811y x x =-+C 、22811y x x =++D 、22811y x x =-+4、已知抛物线经过A （-1，0），B （-3，0）两点，与y 轴交于点C ，且BC=，则解析式为（ ）A 、243y x x =---B 、243y x x =++C 、222323y x x y x x =-++=+-或D 、224343y x x y x x =++=---或5、已知抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）B （1，0），且过点C （2，8），（1）求该抛物线解析式；（2）求抛物线的顶点坐标；6、在直角坐标系中，O 为坐标原点，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴的负半轴相交于点A ，与x 轴的正半轴相交于点B ，与y 轴相交于点C （如图所示），点C 的坐标为（0，-3），且BO=CO 。

高中待定系数法求函数解析式高中数学中求函数解析式是一个常见的问题。

待定系数法是一种常用的解题方法，它适用于求解包含未知系数的方程或函数的解析式。

本文将介绍高中待定系数法的基本思路和步骤，帮助学生更好地理解和掌握这一方法。

一、待定系数法的基本思路待定系数法基于以下基本思路：通过假设未知系数的值，并代入方程或函数中，根据已知条件和方程的性质来确定未知系数的值，进而求得函数的解析式。

二、待定系数法的步骤1. 确定未知函数的形式首先，根据已知条件，确定未知函数的形式。

常见的函数形式包括多项式、指数函数、对数函数、三角函数等。

在确定函数形式时，需要考虑已知条件和方程的性质，选择合适的函数形式以便于求解。

2. 设定未知系数根据待定系数法的思路，我们需要假设未知系数的值，并代入函数中。

一般情况下，未知系数的个数与问题中所给的条件和方程的未知数个数相等。

3. 代入已知条件将假设的未知系数代入已知条件中，得到一系列带有未知系数的方程。

通过这些方程，我们可以利用方程的性质和已知条件，求解出未知系数的值。

4. 求解未知系数根据带有未知系数的方程组，使用代数运算和方程解法，求解出未知系数的值。

这一步骤需要运用高中数学所学的方程解法技巧，如高斯消元法、代数法等。

5. 求得函数解析式根据已知条件和已知的未知系数的值，将未知系数代入假设的函数中，得到最终的函数解析式。

以一个具体的例题来说明待定系数法的应用。

例题：已知函数 f(x) = ax^2 + bx + c，且 f(1) = 5，f(2) = 10，f(3) = 17，求函数 f(x) 的解析式。

1. 确定未知函数的形式根据已知条件，未知函数 f(x) 为二次函数。

2. 设定未知系数假设未知系数 a，b，c 的值，即 f(x) = ax^2 + bx + c。

3. 代入已知条件根据已知条件，代入 f(1) = 5，f(2) = 10，f(3) = 17，得到以下方程组：a +b +c = 5 （1）4a + 2b + c = 10 （2）9a + 3b + c = 17 （3）4. 求解未知系数通过解方程组（1），（2），（3）可以得到未知系数 a，b，c 的值。

函 数 解 析 式 的 八 种 求 法一．待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）若已知)(x f 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得)(x f 的表达式。

【例1】已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x -1)=2x +17，求f(x )的解析式。

分析：所求的函数类型已定，是一次函数。

设f(x)=ax+b(a≠0)则f(x+1)=?，f(x-1)=?解：设f(x)=ax+b(a≠0)，由条件得：3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17，∴f(x)=2x+7 【例2】求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7分析：所求的函数类型已定，是一次函数。

设f(x)=ax+b(a≠0)则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=? 解：设f(x)=ax+b （a≠0)，依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7 ∴x a 3+b(2a +a+1)=8x+7，∴f(x)=2x+1例 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设bax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 例、已知二次函数)(x f y =满足),2()2(--=-x f x f 且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数)(x f y =的解析式。

分析：二次函数的解析式有三种形式： ① 一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f② 顶点式：()为函数的顶点点其中k h a kh x a x f ,,0)()(2≠++=③ 双根式：的两根是方程与其中0)(,0))(()(2121=≠--=x f x x a x x x x a x f解法1：设)0()(2≠++=a cbx ax x f ，则由y 轴上的截距为1知：1)0(=f ，即c=1 ① ∴ 1)(2++=bx ax x f由)2()2(--=-x f x f 知：1)2()2(1)2()2(22+--+--=+-+-x b x a x b x a 整理得：0)4(=-x b a , 即： 04=-b a ②由被x 轴截得的线段长为22知，22||21=-x x ， 即84)()(21221221=-+=-x x x x x x . 得:814)(2=--aab .整理得： 2284a a b =- ③ 由②③得： 2,21==b a , ∴ 1221)(2++=x x x f .解法2：由)2()2(--=-x f x f 知：二次函数对称轴为2-=x ，所以设)0()2()(2≠++=a kx a x f ；以下从略。

待定系数法求二次函数解析一般式：y=ax2+bx+c(a≠0) 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)一、若已知二次函数经过三点坐标用一般式求二次函数解析式例1 已知二次函数的图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)，求它的解析式。

解:设解析式为y=ax2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得解得∴解析式为y=x2+2.变式：已知一个二次函数，当x=-1时，y=3；当x=1时，y=3；当x=2时，y=6。

求二次函数的解析式。

二、若已知二次函数的顶点坐标，或对称轴可用顶点式求二次函数解析式例2 已知二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(3，10)，求这个二次函数的解析式。

解：设函数关系式为： y＝a(x－3)2＋10由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入y＝a(x－3)2＋10得1=a（0-3）2＋10解得 a=-1∴解析式为y=- (x－3)2＋10，即y＝-x2＋6x＋1待定系数法求二次函数解析一般式：y=ax2+bx+c(a≠0) 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)一、若已知二次函数经过三点坐标用一般式求二次函数解析式例1 已知二次函数的图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)，求它的解析式。

解:设解析式为y=ax2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得解得∴解析式为y=x2+2.变式：已知一个二次函数，当x=-1时，y=3；当x=1时，y=3；当x=2时，y=6。

求二次函数的解析式。

二、若已知二次函数的顶点坐标，或对称轴可用顶点式求二次函数解析式例2 已知二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(3，10)，求这个二次函数的解析式。

解：设函数关系式为： y＝a(x－3)2＋10由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入y＝a(x－3)2＋10得1=a（0-3）2＋10解得 a=-1∴解析式为y=- (x－3)2＋10，即y＝-x2＋6x＋1变式1：已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8，求它的解析式。

一次函数是指一个函数的最高幂次为1的多项式函数，也可以称为线性函数。

它的解析式的一般形式为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数。

本文将介绍通过待定系数法求解一次函数的解析式的方法。

待定系数法的基本原理待定系数法是通过给定的数据点来确定一次函数的解析式。

假设已知两个点(x₁, y₁) 和(x₂, y₂)，我们可以通过待定系数法求解一次函数的解析式。

假设一次函数的解析式为 y = ax + b，那么我们可以得到以下两个等式：y₁ = ax₁ + b ...(1) y₂ = ax₂ + b (2)通过解这个方程组，我们可以得到一次函数的解析式。

解析过程假设我们已经知道两个点的坐标为 (3, 5) 和 (7, 9)，并且要求解出一次函数的解析式。

我们可以将这两个点的坐标代入方程组 (1) 和 (2)：5 = 3a + b ...(3) 9 = 7a + b (4)为了解方程组，我们可以使用消元法或代入法。

在这个例子中，我们将使用消元法。

首先，我们将方程 (3) 乘以 7，方程 (4) 乘以 3，以使得系数 a 的系数相等：35 = 21a + 7b ...(5) 27 = 21a + 3b (6)然后，我们将方程 (6) 从方程 (5) 中减去，消除系数 a：8 = 4b解得 b = 2。

将 b 的解代入方程 (3) 或 (4) 中，我们可以求解 a：5 = 3a + 2 3a = 5 - 2 3a = 3 a = 1所以，我们得到了 a = 1 和 b = 2，代入一次函数的解析式 y = ax + b：y = x + 2因此，通过待定系数法，我们求解出了一次函数的解析式 y = x + 2。

总结待定系数法是一种通过给定的数据点来求解一次函数的解析式的方法。

它的基本原理是通过将数据点代入方程组，然后通过消元法或代入法解方程组，得到一次函数的解析式。

这种方法在实际应用中非常常见，可以用于拟合数据以及预测未知数据点的值。

二次函数待定系数法求解析式
二次函数待定系数法是求解二次函数解析式的一种常用方法。

它的基本思想是：已知二次函数的某些性质或特征，根据这些性质或特征列出方程组，通过待定系数的方式求解二次函数的解析式。

具体来说，二次函数待定系数法的求解步骤如下：
1. 根据题目条件列出方程组。

2. 假设二次函数的解析式为 $y=ax^2+bx+c$，其中 $a$，$b$，$c$ 为待定系数。

3. 根据方程组解出 $a$，$b$，$c$ 的值，从而得到二次函数的解析式。

常用的二次函数待定系数法有以下几种：
1. 已知二次函数图像过某个点和另一个点的切线，求解析式。

2. 已知二次函数图像过三个点，求解析式。

3. 已知二次函数的对称轴和顶点坐标，求解析式。

4. 已知二次函数的零点和另一个点，求解析式。

5. 已知二次函数的一个根和一个点，求解析式。

6. 已知二次函数的一个根和对称轴的位置，求解析式。

二次函数待定系数法是数学中一个非常重要的方法，掌握它可以帮助我们更好地理解和应用二次函数。

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