函数待定系数法

待定系数法求一次函数解析式题目和解析过程摘要：1.待定系数法简介2.一次函数的概念和形式3.如何使用待定系数法求一次函数解析式4.解析过程示例5.总结正文：1.待定系数法简介待定系数法是一种数学方法，通过给定一些未知数的系数，然后根据已知条件建立方程组，求解这些系数，从而得到未知数的值。

这种方法在求解函数解析式时被广泛应用。

2.一次函数的概念和形式一次函数是指形如y=ax+b 的函数，其中a 和b 是常数，x 是自变量，y 是因变量。

在这个函数中，a 被称为斜率，它表示函数图像的倾斜程度；b 被称为截距，它表示函数图像与y 轴的交点。

3.如何使用待定系数法求一次函数解析式求解一次函数解析式的一般步骤如下：（1）确定函数的形式。

根据已知条件，先假设函数的形式为y=ax+b。

（2）列出方程组。

根据题目所给的条件，列出关于a 和b 的方程组。

（3）解方程组。

通过求解方程组，得到a 和b 的值。

（4）写出解析式。

将求得的a 和b 代入原假设的函数形式中，得到待求函数的解析式。

4.解析过程示例例如，如果已知函数经过点(1,2) 和(2,4)，求该函数的解析式。

（1）假设函数形式为y=ax+b。

（2）列出方程组：a +b = 22a + b = 4（3）解方程组：将第一个方程变形为b = 2 - a，代入第二个方程得到2a + (2 - a) = 4，解得a = 2，再代入第一个方程得到b = 0。

（4）写出解析式：y = 2x。

5.总结待定系数法是求解一次函数解析式的有效方法，通过给定系数，建立方程组，求解系数，从而得到函数解析式。

一次函数待定系数法一次函数待定系数法是解决一元一次方程组的一种常用方法，通过设定待定系数，将方程转化为未知数为常数的形式，从而求出未知数的值。

一次函数待定系数法也被广泛用于物理学、经济学等领域的实际问题求解。

设一元一次方程为ax+b=0，其中a、b为常数，为求解方程，设未知数为x，待定系数为k，即：x=k将x=k代入原方程，得：ak+b=0此时方程的未知数为常数k，将a、b看作已知量，可以直接求解出k的值，从而得到方程的解。

值得注意的是，待定系数的设定需要根据具体情况来确定，一般应该设定为能够使计算简便、公式简单的值。

例题一：已知一元一次方程2x+3=7，试用待定系数法求解该方程。

2k+3=7将方程移项并合并同类项，得到：2k=4于是得到待求的未知数k为：方程的解为：3k-5=16一次函数待定系数法的优点是计算简便、易于掌握，适用于一些简单的问题求解。

该方法不仅可以用于未知数为常数的一元一次方程，还可以推广到一些更高阶的方程组求解，例如二元一次方程组、二元二次方程组等。

一次函数待定系数法的缺点是其需要设定待定系数，而待定系数的选择对结果有决定性影响。

如果待定系数选择不合适，有可能会导致答案错误。

在一些复杂的问题求解中，一次函数待定系数法可能不太适用，对于这些问题，需要采用其他更加复杂的方法进行求解。

结束语一次函数待定系数法是解决一元一次方程组常用的方法之一。

本文主要介绍了一次函数待定系数法的原理、优点和缺点，并通过例子进行了实际练习。

希望本文对读者掌握一次函数待定系数法有所帮助。

一次函数待定系数法是学习数学时必须掌握的基础内容，适用范围广泛，应用于物理学、经济学等领域的实际问题求解。

在应用中，一次函数待定系数法具有数值计算快捷和解法简单等优点，但同时存在着较为明显的一些不足之处。

一次函数待定系数法的优点之一是计算速度快，能够在较短时间内求得答案。

这是由于该方法以待定系数为中心，旨在通过设定合适的待定系数，将方程转换为未知数为常数的形式，从而使得计算更为简便。

二次函数待定系数法二次函数待定系数法是一种常用的参数估计方法，它可以用来评估二次函数的未知系数和参数。

该方法的核心思想是，通过观察函数的图像，获取未知参数的近似值，将其作为函数参数的初值，然后用迭代法来逼近它们的准确值。

二次函数待定系数法用于描述连续变化的事物，它具有准确性、稳定性和可拓展性等优点，可以准确表征曲线的弯曲程度，所以在实际应用中，常常被广泛使用。

二、二次函数待定系数法的实现步骤（一）构造二次函数模型首先，我们要构造二次函数模型，它由三个参数组成：函数上凸系数a、函数下凸系数b、函数拐点c。

二次函数模型的数学表达式可以用如下形式表示：y=ax2+bx+c（二）求取函数参数参数a、b、c是二次函数的“待定系数”，要获取这三个参数的准确值，可以通过以下迭代法来求取：①确定函数上凸系数a：首先，在函数图像上观察，求取函数的1/4顶点坐标（x1，y1），然后用以下公式：a=4(y1-c)/x1出参数a 的值；②确定函数下凸系数b：在函数图像上观察，求取函数的3/4顶点坐标（x2，y2），然后用以下公式：b=4(y2-c)/x2出参数b的值；③确定函数拐点c：通过将第①步和第②步求出的参数a和b代入到函数模型中，求出参数c的值。

（三）迭代法为了接近参数a、b、c的准确值，需要用迭代法对参数进行调整，使函数图像尽可能地拟合实际事件。

（四）最小二乘法在迭代的过程中，需要用最小二乘法确定参数的最佳状态：S=∑（y-y）2y=ax2+bx+c其中，S为误差平方和，“y”为实际数据，“y”为拟合函数值，a、b、c是待定系数。

参数a、b、c调整到使“S”最小的状态下，此时参数a、b、c的值就是最合适的数值，函数拟合实际事件的精度也就最高了。

三、二次函数待定系数法的应用二次函数待定系数法可以应用于多个领域，以优化事件及其关系的表达，其中包括：1、工程计算2、医学研究3、预测分析4、机器学习5、机器人控制这些领域都有一系列的实际物理参数，这些物理参数可以用二次函数待定系数法描述，从而更加准确、精确地表征事件及其关系，从而做出更准确的决策和预测。

待定系数法求二次函数待定系数法求二次函数是特别有用的，也是很常用的。

一、待定系数法的定义待定系数法是根据给定条件，构造一个形如ax2+bx+c=0的二次方程，其中a、b、c为未知的系数，条件可以是一个定值，也可以是两个不等的定值，或者点的坐标。

二、待定系数法的步骤1. 将给定条件拆分成ax2+bx+c=0的三个未知数a,b,c；2. 用给定条件来确定其中的三个未知数a,b,c；3. 根据第二步得出的三个系数来求解这个二次方程，得出最终的解。

三、待定系数法的几种应用1. 将给定定值拆分成ax2+bx+c=0：例如，已知定值m，构造ax2+bx+c=m的二次方程，待定三个系数a，b，c，以及定值m，根据拉格朗日定理，有2a+b=m，a+b+c=0，可求得a=-b，c=-2b，进而求解最终的二次方程；2. 将给定不等值拆分成ax2+bx+c=0：例如，已知不等值m和n，构造ax2+bx+c=m和ax2+bx+c=n的二次方程，待定三个系数a，b，c，由拉格朗日定理得2a+b=m+n，a+b+c=0，可求得a=(m+n)/2，b=-(m+n)/2，c=-m-n，故可得最终的二次方程；3. 将给定点的坐标表示成ax2+bx+c=0：例如，已知A(x1,y1)和B(x2,y2)，构造ax2+bx+c=0的二次方程，待定三个未知数b，a，c，令y1=ax12+bx1+c=0，y2=ax22+bx2+c=0，求得a=(y2-y1)/(x2-x1)，b=(x2y1-x1y2)/(x2-x1)，c=y1-ax12-bx1，故可得最终的二次方程。

四、总结用待定系数法来求解二次函数是一种特别有效的方法，当给出它们给定条件时，不管是一组定值，还是两个不等的定值，还是点的坐标，都可以很容易地解决构造成ax2+bx+c=0的二次方程，最后得出二次方程的解。

待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a 值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等．待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解．例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解．使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决．如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： ① 利用对应系数相等列方程；② 由恒等的概念用数值代入法列方程；③ 利用定义本身的属性列方程；④ 利用几何条件列方程．比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程．Ⅰ、再现性题组：1. 设f(x)＝＋m ，f(x)的反函数f (x)＝nx －5，那么m 、n 的值依次为_____． A. , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－2 2. 二次不等式ax ＋bx ＋2>0的解集是(－,)，则a ＋b 的值是_____． A. 10 B. －10 C. 14 D. －143. 在(1－x )（1＋x ）的展开式中，x 的系数是_____． A. －297 B.－252 C. 297 D. 2074. 函数y ＝a －bcos3x (b<0)的最大值为，最小值为－，则y ＝－4asin3bx 的最小正周期是_____．5. 与直线L ：2x ＋3y ＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L ’的方程是_______________． ≡≡x 2-15252525221213310532126. 与双曲线x －＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________．【简解】1小题：由f(x)＝＋m 求出f (x)＝2x －2m ，比较系数易求，选C ； 2小题：由不等式解集(－,)，可知－、是方程ax ＋bx ＋2＝0的两根，代入两根，列出关于系数a 、b 的方程组，易求得a ＋b ，选D ；3小题：分析x 的系数由C 与(－1)C 两项组成，相加后得x 的系数，选D ；4小题：由已知最大值和最小值列出a 、b 的方程组求出a 、b 的值，再代入求得答案； 5小题：设直线L ’方程2x ＋3y ＋c ＝0，点A(1,-4)代入求得C ＝10，即得2x ＋3y ＋10＝0；6小题：设双曲线方程x －＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程－＝1． Ⅱ、示范性题组：例1. 已知函数y ＝的最大值为7，最小值为－1，求此函数式． 【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m 、n 的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”．【解】 函数式变形为： (y －m)x －4x ＋(y －n)＝0， x ∈R, 由已知得y －m ≠0 ∴ △＝(－4)－4(y －m)(y －n)≥0 即： y －(m ＋n)y ＋(mn －12)≤0 ① 不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y －(m ＋n)y ＋(mn －12)＝0的两根， 代入两根得： 解得：或 ∴ y ＝或者y ＝ 此题也可由解集(-1,7)而设(y ＋1)(y －7)≤0,即y －6y －7≤0，然后与不等式①比较系数而得：，解出m 、n 而求得函数式y ． 【注】 在所求函数式中有两个系数m 、n 需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m 、n 的关于y 的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m 、n ．两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m 、n 的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m 、n 的方程组求解．本题要求对一元二次不等式的解2y 24x 2-11213121325105102523π2y 24x 23y 212mx x n x 22431+++2332221120497120+++-=-++-=⎧⎨⎩()()m n mn m n mn m n ==⎧⎨⎩51m n ==⎧⎨⎩155431122x x x +++x x x 224351+++2m n mn +=-=-⎧⎨⎩6127集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y 视为参数，函数式化成含参数y 的关于x 的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了关于参数y 的不等式，解出y 的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程．例2. 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是－，求椭圆的方程．【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a 、b 、c 之值，问题就全部解决了．设a 、b 、c 后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a －c 的值后列出第二个方程． 【解】 设椭圆长轴2a 、短轴2b 、焦距2c ，则|BF ’|＝a ∴ 解得： ∴所求椭圆方程是：＋＝1 也可有垂直关系推证出等腰Rt △BB ’F ’后，由其性质推证出等腰Rt △B ’O ’F ’，再进行如下列式：，更容易求出a 、b 的值．【注】 圆锥曲线中，参数（a 、b 、c 、e 、p ）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式．在曲线的平移中，几何数据（a 、b 、c 、e ）不变，本题就利用了这一特征，列出关于a －c 的等式．一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入．例3. 是否存在常数a 、b 、c ，使得等式1·2＋2·3＋…＋n(n ＋1)＝(an ＋bn ＋c)对一切自然数n 都成立？并证明你的结论． （89年全国高考题）【分析】是否存在，不妨假设存在．由已知等式对一切自然数n 都成立，取特殊值n ＝1、2、3列出关于a 、b 、c 的方程组，解方程组求出a 、b 、c 的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n 都成立．【解】假设存在a 、b 、c 使得等式成立，令：n ＝1，得4＝(a ＋b ＋c)；n ＝2，得22＝(4a ＋2b ＋c)；n ＝3，得70＝9a ＋3b ＋c ．整理得： ,解得，105a b c a a b a c 2222222105=++=-=-⎧⎨⎪⎩⎪()a b ==⎧⎨⎪⎩⎪105x 210y 25b c a c a b c=-=-=+⎧⎨⎪⎩⎪105222222n n ()+11221612a b c a b c a b C ++=++=++=⎧⎨⎪⎩⎪2442449370a b c ===⎧⎨⎪⎩⎪31110 y B’于是对n ＝1、2、3，等式1·2＋2·3＋…＋n(n ＋1)＝(3n ＋11n ＋10)成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n ，该等式都成立： 假设对n ＝k 时等式成立，即1·2＋2·3＋…＋k(k ＋1)＝(3k ＋11k ＋10)；当n ＝k ＋1时，1·2＋2·3＋…＋k(k ＋1)＋(k ＋1)(k ＋2)＝(3k ＋11k ＋10) ＋(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋2)（3k ＋5）＋(k ＋1)(k ＋2)＝（3k ＋5k ＋12k ＋24）＝[3(k ＋1)＋11(k ＋1)＋10]， 也就是说，等式对n ＝k ＋1也成立．综上所述，当a ＝8、b ＝11、c ＝10时，题设的等式对一切自然数n 都成立．【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到．此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法．对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行．本题如果记得两个特殊数列1＋2＋…＋n 、1＋2＋…＋n求和的公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由n(n ＋1)＝n ＋2n ＋n 得S ＝1·2＋2·3＋…＋n(n ＋1)＝(1＋2＋…＋n )＋2(1＋2＋…＋n )＋(1＋2＋…＋n)＝＋2×＋＝(3n ＋11n ＋10)，综上所述，当a ＝8、b ＝11、c ＝10时，题设的等式对一切自然数n 都成立．例4. 有矩形的铁皮，其长为30cm ，宽为14cm ，要从四角上剪掉边长为xcm 的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x 为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究．【解】 依题意，矩形盒子底边边长为(30－2x)cm ，底边宽为(14－2x)cm ，高为xcm ． ∴ 盒子容积 V ＝(30－2x)(14－2x)x ＝4(15－x)(7－x)x ，显然:15－x>0，7－x>0，x>0．设V ＝(15a －ax)(7b －bx)x (a>0,b>0） 要使用均值不等式，则 解得：a ＝， b ＝ ， x ＝3 ． 从而V ＝(－)(－x)x ≤()＝×27＝576． 222n n ()+1122222k k ()+11222222k k ()+11222k k ()+1122()()k k ++12122()()k k ++12122333222232n 222333222n n 2214()+n n n ()()++1216n n ()+12n n ()+11224ab--+=-=-=⎧⎨⎩a b a ax b bx x 101571434643154x 4214346431542143+3643所以当x ＝3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm ．【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求．本题解答中也可以令V ＝(15a －ax)(7－x)bx 或 (15－x)(7a －ax)bx ，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”．Ⅲ、巩固性题组：1. 函数y ＝log x 的x ∈[2,+∞)上恒有|y|>1，则a 的取值范围是_____．A. 2>a>且a ≠1B. 0<a<或1<a<2C. 1<a<2D. a>2或0<a< 2. 方程x ＋px ＋q ＝0与x ＋qx ＋p ＝0只有一个公共根，则其余两个不同根之和为_____．A. 1B. －1C. p ＋qD. 无法确定3. 如果函数y ＝sin2x ＋a ·cos2x 的图像关于直线x ＝－对称，那么a ＝_____． A. B. － C. 1 D. －14. 满足C ＋1·C ＋2·C ＋…＋n ·C <500的最大正整数是_____．A. 4B. 5C. 6D. 75. 无穷等比数列{a }的前n 项和为S ＝a － , 则所有项的和等于_____． A. － B. 1 C. D.与a 有关6. (1＋kx)＝b ＋b x ＋b x ＋…＋b x ，若b ＋b ＋b ＋…＋b ＝－1，则k ＝______．7. 经过两直线11x －3y －9＝0与12x ＋y －19＝0的交点，且过点(3,-2)的直线方程为_____________．8. 正三棱锥底面边长为2，侧棱和底面所成角为60°，过底面一边作截面，使其与底面成30°角，则截面面积为______________．9. 设y ＝f(x)是一次函数，已知f(8)＝15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比数列，求f(1)＋f(2)＋…＋f(m)的值．10. 设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2)，对称轴与x 轴平行，开口向右，直线y ＝2x ＋7和抛物线截得的线段长是4, 求抛物线的方程．34ab 4aba 12121222π822n 0n 1n 2n nn n 1212129012299012910。