实际问题与二次函数教案

九年级数学上册《实际问题与二次函数》教案、教学设计

一、教学目标

（一）知识与技能

1. 理解并掌握实际问题与二次函数之间的联系，能够运用二次函数解决生活中的实际问题。

2. 能够运用二次函数的性质、图像和公式，分析并解决实际问题的最优解。

3. 培养学生运用数学软件或图形计算器等工具，绘制二次函数图像，直观分析问题的能力。

4. 提高学生运用二次函数知识，进行逻辑推理、数学论证的能力。

（二）过程与方法

1. 通过小组合作、讨论交流，培养学生主动探究、合作学习的良好习惯。

2. 引导学生运用数形结合、分类讨论等数学方法，分析实际问题，培养学生的创新思维和解决问题的能力。

3. 设计具有启发性的问题，引导学生自主探究，培养学生独立思考、勇于创新的精神。

4. 通过实际案例的分析，让学生体会数学知识在实际生活中的应用，提高学生的应用能力。

（三）情感态度与价值观

1. 培养学生对数学学科的兴趣，激发学生的学习热情，使其树立自信心。

2. 培养学生严谨、细致、踏实的科学态度，养成勤奋刻苦、锲而不舍的良好习惯。

3. 通过解决实际问题，培养学生将数学知识应用于生活，提高学生的社会责任感和使命感。

4. 培养学生团结协作、互相帮助的精神，使其在合作中成长，体验团队的力量。

本章节教学设计以实际问题为载体，以二次函数为主线，引导学生运用数学知识解决生活中的问题。在教学过程中，注重培养学生的独立思考、合作交流、创新实践能力，使其在掌握知识的同时，提高综合素质。通过本章节的学习，使学生认识到数学在生活中的重要作用，激发学生学习数学的兴趣，为学生的终身发展奠定基础。

二、学情分析

九年级的学生已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力，他们已经掌握了二次函数的基本概念、性质和图像，能够解决一些简单的二次函数问题。但在实际问题与二次函数的结合上，学生可能还存在以下问题：一是将实际问题转化为数学模型的能力不足，二是运用二次函数解决实际问题时，缺乏对问题深入分析的能力。此外，部分学生对数学学习的兴趣和自信心有待提高。针对这些情况，教师应注重以下几点：1. 引导学生从实际问题中发现数学问题，培养其数学建模能力；2. 设计具有挑战性的问题，激发学生的探究欲望，提高其解决问题的能力；3. 创设轻松愉快的学习氛围，鼓励学生积极参与，增强其学习数学的自信心。通过有针对性的教学策略，使学生在掌握知识的同时，提高解决问题的能力和学习兴趣。

- 1 -

课题：26.3实际问题与二次函数（1）

教学目标：

1、知识与技能：

经历数学建模的基本过程.

2、方法与技能：

会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.

3、情感、态度与价值观：

体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值.

教学重点和难点：

重点：二次函数在最优化问题中的应用.

难点：例1是从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解.

教学方法：

学生学法：

教学设计：

一、创设情境、提出问题

给你长8m的铝合金条，设问：

①你能用它制成一矩形窗框吗？

②怎样设计，窗框的透光面积最大？

③如何验证？

二、观察分析，研究问题

- 2 - 演示动画，引导学生观察、思考、发现：当矩形的一边变化时，另一边和面积也随之改变.深入探究如设矩形的一边长为x米，则另一边长为(4-x)米，再设面积为ym2,则它们的函数关系式为xxy42，并当x =2时，即当设计为正方形时，面积最大=4(m2)

引导学生总结，确定问题的解决方法：

在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决.

步骤：

第一步设自变量；

第二步建立函数的解析式；

第三步确定自变量的取值范围；

第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）.

三、例练应用，解决问题

在上面的矩形中加上一条与宽平行的线段，出示图形

设问：用长为8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，

问窗框的宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？

引导学生分析，板书解题过程.

变式（即课本例1）：现在用长为8米的铝合金条制成如图所示的窗框（把矩形的窗框改为上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形），那么如何设计使窗框的透光面

积最大？（结果精确到0.01米）

- 3 - 四、知识整理，形成系统

1、这节课学习了用什么知识解决哪类问题？

2、解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？

第二十二章 二次函数

22.3 实际问题与二次函数 教学设计

第 2 课时

一、教学目标

1．学会将利润问题转化为利润问题．

2．掌握用二次函数的知识解决有关的利润问题．

二、教学重点及难点

重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题．

难点：从现实问题中建立二次函数模型．

三、教学用具

多媒体课件。

四、相关资源

《市场调查》动画。

五、教学过程

【创设情景，揭示课题】

问题 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

【合作探究，形成新知】

（1）题目中有几种调整价格的方法？

师生活动：教师提出问题，学生回答．

小结：调整价格包括涨价和降价两种情况．

（2）题目涉及哪些变量？哪一个量是自变量？哪一个量随自变量的变化而变化？哪个量是函数？

师生活动：小组合作交流，教师引导学生根据题意设未知数，找出各个量的关系．

小结：题目涉及涨价（或降价）与利润两个变量，其中涨价（或降价）是自变量；设每件涨价（或降价）x元，则每星期售出商品的利润y随之变化而变化；y是x的函数．

（3）当每件涨价1元时，售价是多少？每星期的销售量是多少？成本是多少？设每件涨价x元，销售额是多少？利润呢？最多能涨多少钱呢？

师生活动：一学生回答，全班订正．教师边聆听边板演，不足地方补充总结．

小结：当每件涨价1元时，售价是60＋1=61元；每星期销售量是300－10=290件，成本是40元；设涨价x元，销售额是(60＋x)(300－10x)元，利润是y=（60＋x）(300－10x)－40(300－10x)元，即y=－10x2＋100x＋6 000，其中，0≤x≤30，最多能涨30元．

（4）当每件降 x 元时，售价是多少？每星期的销售量是多少？成本是多少？销售额是多少？利润y 呢？

1 导学案

26.1.1二次函数（第一课时）

一．预习检测案

一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________．

二．合作探究案：

问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系。

问题2: n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系?

提示：多边形有n条边，则有几个顶点？从一个顶点出发，可以连几条对角线？

问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示?

问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?

小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有 的形式。

问题5：什么是二次函数？

形如 。

问题6：函数y=ax²+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数?

(2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？

例1: 关于x的函数mmxmy2)1(是二次函数, 求m的值.

注意:二次函数的二次项系数必须是 的数。

三．达标测评案：

1．下列函数中,哪些是二次函数?

(1)y=3x-1 ; (2)y=3x2+2; (3)y=3x3+2x2; (4)y=2x2-2x+1; (5)y=x2-x(1+x); (6)y=x-2+x.

2.若函数y＝(a－1)x2＋2x＋a2－1是二次函数,则( )