实际问题与二次函数教案

人教版数学九年级上册 教案：22.3《实际问题与二次函数》

一、教学目标

1. 理解实际问题与二次函数之间的关系。

2. 掌握解决实际问题的二次函数模型建立方法。

3. 能够应用二次函数解决实际问题。

二、教学重难点

1. 掌握如何将实际问题抽象为二次函数模型。

2. 解决实际问题时的思维过程和方法。

三、教学准备

1. 课本《人教版数学》九年级上册。

2. 教学投影仪。

3. 讲义、笔、纸等。

四、教学过程

1. 导入新知识

通过提问学生，引导他们回顾上节课学习的内容，并复习二次函数的定义、图像和性质。

2. 引入实际问题

给出一个实际问题，例如：小明用压岁钱买了一台照相机，照相机的价格是x元，如果每售出一台照相机，他能从中获利5x - x^2 元。请问小明应该以多少价格售出照相机，才能使利润最大化？ 3. 建立二次函数模型

解释给出问题，并引导学生思考如何建立二次函数模型。提示学生需要确定自变量和因变量，并分析问题中的关系。

通过与学生互动，引导出二次函数模型：利润函数 P(x) = 5x - x^2。

4. 解决问题

通过对利润函数进行求导，并求得导函数为0的临界点 x = 2.5。由此可得，当照相机的价格为2.5元时，小明的利润最大化。

5. 拓展实际问题

给出更多类似的实际问题，例如：某体育用品店销售护膝，价格为x元一副，销量为100 - 5x副。请问店家应该以多少价格销售护膝，才能使利润最大化？

引导学生分析问题并建立二次函数模型。通过解法流程的讲解，帮助学生掌握解决实际问题的方法。

6. 总结回顾

对本节课学习的内容进行总结回顾。重点强调实际问题与二次函数之间的联系，以及解决实际问题的方法。

五、课堂练习

根据给出的实际问题，学生单独完成建立二次函数模型，并求解出最优解。

1. 某农场种植西瓜，每亩土地种植西瓜数量为x只，销量为100x - 2x^2只。请问农场应该种植多少只西瓜，才能使销售额最大化？

第1页（共8页） 二次函数实际问题

一、解答题

1．（15085－2011重庆）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1(元)与月份x(1≤x≤9，且x取整数)之间的函数关系如下表：

月份x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

价格y1(元/件) 560 580 600 620 640 660 680 700 720

随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2(元)与月份x(10≤x≤12，且x取整数)之间存在如图所示的变化趋势：

(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；

(2)若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1(万件)与月份x满足函数关系式p1＝0.1x＋1.1(1≤x≤9，且x取整数)10至12月的销售量p2(万件)与月份x满足函数关系式p2＝－0.1x＋2.9(10≤x≤12，且x取整数)．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；

(3)今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．

(参考数据：992＝9901，982＝9604，972＝9409，962＝9216，952＝9025)

第2页（共8页） 2．（10425）我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格20元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160元，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．

数学《实际问题与二次函数》教案

一、教学目标：

1.了解什么是二次函数，掌握二次函数的基本概念。

2.能够解决与实际问题有关的二次函数。

二、教学重点：

1.二次函数的基本概念。

2.实际问题与二次函数的联系。

三、教学难点：

1.如何将实际问题转化为二次函数。

2.分析和解决复杂的实际问题。

四、教学内容：

1.引入

教师可以从生日蜡烛的点燃过程开始引入二次函数，引导学生思考问题，看看他们能否找到一种数学模型。

2.二次函数的基本概念

教师可以通过展示二次函数的图像，让学生了解二次函数的基本形式和概念，以及与一次函数的区别。

3.实际问题与二次函数的联系

教师可以通过展示一些实际问题的例子，引导学生用二次函数解决实际问题。例如，让学生用二次函数来解决小球抛掷问题。

4.练习与检测

教师可以提供一些实际问题，让学生用二次函数解决，并检查他们的答案。

五、教学方法：

1.理论讲授

2.实际例题演练

3.学生自主探究、小组合作探究

4.课堂讨论

五、教学评估：

1.课堂提问。

2.课堂作业。

3.小组合作探究成果汇报。

4.个人练习册答案。

六、教学资源：

1.多媒体设备。

2.实际问题与二次函数的例子。

3.刻度尺、板子、小球等教学资源。

七、教学模式：

1.学生自主探究模式。

2.小组合作探究模式。

3.课堂讨论模式。

八、教学环节：

一、引入（5分钟）

让学生看一段视频，例如实际生活中小球的运动过程，引导学生思考，看看他们能否找到一种数学模型。

二、二次函数的基本概念（10分钟）

展示二次函数的图像，让学生了解二次函数的基本形式和概念，以及与一次函数的区别。

三、实际问题与二次函数的联系（30分钟）

展示一些实际问题的例子，让学生用二次函数解决，例如小球抛掷问题。

四、练习与检测（10分钟）

提供一些实际问题，让学生用二次函数解决，并检查他们的答案。

五、总结（5分钟）

总结一下本课所学的知识点及实际应用场景，提出本节课问题解决的关键点和难点，查漏补缺。

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课题：26.3实际问题与二次函数（1）

教学目标：

1、知识与技能：

经历数学建模的基本过程.

2、方法与技能：

会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.

3、情感、态度与价值观：

体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值.

教学重点和难点：

重点：二次函数在最优化问题中的应用.

难点：例1是从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解.

教学方法：

学生学法：

教学设计：

一、创设情境、提出问题

给你长8m的铝合金条，设问：

①你能用它制成一矩形窗框吗？

②怎样设计，窗框的透光面积最大？

③如何验证？

二、观察分析，研究问题

- 2 - 演示动画，引导学生观察、思考、发现：当矩形的一边变化时，另一边和面积也随之改变.深入探究如设矩形的一边长为x米，则另一边长为(4-x)米，再设面积为ym2,则它们的函数关系式为xxy42，并当x =2时，即当设计为正方形时，面积最大=4(m2)

引导学生总结，确定问题的解决方法：

在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决.

步骤：

第一步设自变量；

第二步建立函数的解析式；

第三步确定自变量的取值范围；

第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）.

三、例练应用，解决问题

在上面的矩形中加上一条与宽平行的线段，出示图形

设问：用长为8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，

问窗框的宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？

引导学生分析，板书解题过程.

变式（即课本例1）：现在用长为8米的铝合金条制成如图所示的窗框（把矩形的窗框改为上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形），那么如何设计使窗框的透光面

积最大？（结果精确到0.01米）

- 3 - 四、知识整理，形成系统

1、这节课学习了用什么知识解决哪类问题？

2、解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？