实际问题与二次函数教案
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实际问题与二次函数
一、 学习目标·重点难点
1、 初步让学生学会用二次函数知识解决实际问题。
2、 在问题转化，建摸的过程中，发展合情推理，体会数形结合的思想。
3、 通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛运用，发展数学思维，激发学生学习热情。
教学重点：用二次函数的知识解决实际问题。
教学难点：建立二次函数数学模型。
教学方法：引导、启发式教学，学生自主学习，合作探索。
二、 直击考试·例题解析
例1:我们班小红家开了一个商店，某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映:如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件;每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该商品的进价为每件40元，如何定价才能使小红的爸爸获得利润最大？
分析：1、如何确定函数关系式？
2、每件的利润=售价—进价
总利润=每件的利润×卖出的总件数
3、变量x有范围要求吗？
解:调整价格包括涨价和降价两种情况
(1)设每件涨价x元，则每件的利润为(60+x-40)元，可卖的商品的件数为(300-10x)，此时每星期商品的利润为y元，于是有
y=(60+x-40)(300-10x)
=-10x2+100x+6000
=-10(x-5)2+6250 (其中0≤x≤30)
∴当x=5时，y最大=6250元
所以在涨价的情况下，每件涨5元即定价为65元/件时利润最大是6250元。
(2)设每件降价x元，则每件的利润为(60-x-40)元，可卖的商品件数为(300+20x)，此时每星期商品的利润为y元，于是有
y=(60-x-40)(300+20x)
=-20x2+100x+6000
=-20(x-2.5)2+6125 (其中0≤x≤20)
∴当x=2.5时， y最大=6125元
所以在降价的情况下，每件降价2.5元即定价为57.5元时，利润最大是6125元。
综合(1) (2)可知，商品的定价为65元时才能使小红的爸爸获得利润最大。
由此题可知，做生意也是有很大的学问。只靠“勤劳”未必能挣更多的钱，还是应多学习科学文化知识，因此在座的各位都是聪明，明智的，要珍惜咱们学习的大好时机，将来挣更多的钱，过上更美好的生活。记住：“不好好学习就是一个最大的浪费者。”等卖了货之后，清点了靠自己合法经营赚来最多的钱高高兴兴的锁上门正准备回家时，突然变天要下大雨，小红的爸爸在回家的路上要路过一座危险的拱桥。（引出例2）
例2、如图是一个抛物线形的拱桥，正常时拱顶离水面2米，水面宽4米，当下大雨时水面以每小时0.5米的速度上涨，当桥下的水面宽为2米时，桥就有被冲垮的可能，小红的爸爸下午3点从商店出发，此时天正在下大雨,问他最迟在下午几点之前要通过这座拱桥？
分析：用转化的思想引导学生分析怎样去解决问题。要求时间，有速度转化为求距离；要求距离转化为建立二次函数数学模型，解决正常水位与警戒线水位纵坐标的差。
解:以抛物线的顶点为原点建立如图所示的坐标系
由题意可知:A(-2，-2) B(2，-2)
设抛物线的解析式为:y=ax2
∴ -2=a×22 ∴ a=
∴这个二次函数的解析式为： y= x2
当x＝1时，y＝ ， ∴OD＝
则CD＝OC－OD＝2－ ＝
所以水面宽由4米上涨到水面宽2米时水面上涨的高度为1.5米此时需时间为1.5÷0.5＝3小时
故小红的爸爸务必在下午6点之前经过这座拱桥。
此题鼓励学生用多种建模的思想去解决，然后让学生上台去展示自己的成果。从中总结出“先想后算，多想少算，反思巧算”。
三、 实验课堂·巩固练习
1．在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V0（m/s）竖直向上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：S=V0t-12gt2（其中g是常数，通常取10m/s2），若V0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距离地面___m．
2．如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1 m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ．
x y
A B
O
3．（2006年青岛市）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，•某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：
销售价x（元/千克） … 25 24 23 22 … - 3 D 1 1
A(-2，-2) B(2，-2) x y
C O
N M 212121212321销售量y（千克） … 2000 2500 3000 3500 …
（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；
（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？
4．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．
(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式；
(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式．
(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)？
5．(2008湖北恩施)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ．
(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；
(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少?
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元?
6．(2008河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x(吨)时，所需的全部费用y(万元）与x满足关系式9051012xxy，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）
（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；
（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；
（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？
四、课堂总结·错题集锦
