二次函数与实际问题

二次函数与实际问题(总11页)

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--内页可以根据需求调整合适字体及大小-- 实际问题与二次函数

一、利用函数求图形面积的最值问题

一、 围成图形面积的最值

1、 只围二边的矩形的面积最值问题

例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。

（1） 设矩形的一边长为 米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式；

（2） 当x为何值时，所围成的苗圃面积最大最大面积是多少

解：（1）设矩形的长为x（米），则宽为（18- x）（米），

根据题意，得：xxxxy18)18(2；

又∵180,0180＜x＜x＞x＞

（2）∵xxxxy18)18(2中，a= -1＜0，∴y有最大值，

即当9)1(2182abx时，81)1(41804422maxabacy

故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。

2、 只围三边的矩形的面积最值

例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大

解：设养鸡场的长为x（米），面积为y（平方米），则宽为（250x）（米），

根据题意，得：xxxxy2521)250(2；

又∵500,02500＜x＜＞xx＞

∵xxxxy2521)250(2中，a=21＜0，∴y有最大值，

即当25)21(2252abx时，2625)21(42504422maxabacy

故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为2625平方米。

3、 围成正方形的面积最值

例3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少

(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x）cm

由题意得： 17)420()4(22xx解得： 4,1621xx

当161x时，20-x=4；当42x时，20-x=16

答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。

（2）不能

理由是：设第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形的边长为)5(4420xxcm，围成两个正方形的面积为ycm2，

根据题意，得：25102)5(222xxxxy，

∵25102)5(222xxxxy中，a= 2＞0，∴y有最小值，

即当2522102abx时， 225241025244422minabacy=＞12,故两个正方形面积的和不可能是1 2cm2.

练习1、如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y.

(1)求出y与x之间的函数关系式；

(2)正方形EFGH有没有最大面积若有，试确定E点位置；若没有，说明理由.

答 （1）y=2x2-2ax+a2 (2) 有.当点E是AB的中点时，面积最大.

二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题

例题1 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 212yx .

. 图（1） 图（2） 练习 1某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上 ，抛物线形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系是4522xxy.请回答下列问题：

(1)柱子OA的高度是多少米

(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米

(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外

答 （1）45 （2）49 （3）25

2．一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米.要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米.

（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系.

①求抛物线的解析式；

②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米

（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分.

①求圆的半径；

②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过

多少米

答 （1）①21425yx；②10；

（2）①；②47．

三、利用抛物线解决最大利润问题

例题1 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数：y＝－10x＋500.

（1）设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润（6分）

（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元（3分）

（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元(成本＝进价×销售量) （3分）

答案：（1）35；（2）30或40；（3）3600.

练习 1．某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售3只．

（1）平均每天的销售量y(只)与销售价x(元／只)之间的函数关系式为 ；

（2）求该批发商平均每天的销售利润W(元)与销售只x(元／只)之间的函数关系式；

（3）物价部门规定每只售价不得高于55元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润最大利润是多少元

答(1）y=-3x+240；(2)w=-3x2+360x-9600；(3)定价为55元时，可以获得最大利润是1125元.

2，一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：y2x80. 设这种产品每天的销售利润为w元.

（1）求w与x之间的函数关系式；

（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大最大利润是多少元

答（1）2w2x120x1600；（2）该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大 销售利润200元

3．某公司营销,AB两种产品，根据市场调研，发现如下信息：

信息1：销售A种产品所获利润y(万元)与所售产品x(吨)之间存在二次函数关系

2yaxbx.当1x时，1.4y ；当3x时，3.6y．

信息2：销售B种产品所获利润y (万元)与所售产品x(吨)之间存在正比例函数关系0.3yx．

根据以上信息，解答下列问题：(1)求二次函数解析式；

(2)该公司准备购进,AB两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售,AB两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少

答 二次函数解析式为y=+；

（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，

则W=++（10-m）=++3=（m-6）2+，∵＜0，

∴当m=6时，W有最大值，

∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是万元．

4．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：10500yx．

（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元

（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润

（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元

答 （1）政府这个月为他承担的总差价为600元；（2）当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000；（3）销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.

5．某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个. 设销售价为x元/个.

（1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为 个（用含x的式子表示）； （2）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；

（3）当x取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大最大利润是多少元

答 （1）（220－10x）；（2）2103202200wxx（３）当x=14时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大是320元．

6．一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数(y)有如下关系：

x 3000 3200 3500 4000

y 100 96 90 80

（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式.

（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x（x≥3000）的代数式填表:

租出的车辆数 未租出的车辆数

租出每辆车的月收益 所有未租出的车辆每月的维护费

（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益请求出公司的最大月收益是多少元．

．解：（1）由表格数据可知y与x是一次函数关系，设其解析式为ykxb，

将（3000，100），（3200，96）代入得3000kb1003200kb96，解得：1k50b160 。∴1yx16050。

将（3500，90），（4000，80）代入检验，适合。

∴y与x间的函数关系是1yx16050。

（2）填表如下：

（3）设租赁公司获得的月收益为W元，依题意可得：

2W150x160x150x3000150x163x24000x3000（）（）