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立体角

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立体角计算公式

初醒悟

摘要：本文应用数学工具，推导出灯具在两个相互垂直方向上的发光角同立体角之间的关系。

关键词：立体角，发光角。

0引言

光强度是照明工程中的一个重要术语，其定义是“光源在给定方向的单位立体角中发射的光通量”，一般以I表示。若在某微小立体角dΩ内的光通量为dΦ（ψ，θ），则该方向上的光强为：

I（ψ，θ）=dΦ（ψ，θ）/dΩ。

式中，dΩ的单位为sr（球面度），光强的单位为cd（坎德拉，烛光）。

1 cd=1 lm/sr。

但关于立体角的计算方法，照明教材及各类文献中却没有述及。这给从事照明工程的专业技术人员带来很大的困惑。

1立体角的定义

将弧度表示平面角度大小的定义（弧长除以半径）推广到三维空间中，定义“立体角”为：球面面积与半径平方的比值。即：Ω=2rA

图1平面角（单位：弧度rad） 图2立体角（单位：球面度sr）

2立体角的计算

设灯具在两个相互垂直方向上的发光角为2α和2β，求其所对应的立体角的大小。设0<2α<π，0<2β<π

不失一般性，设球体半径为单位长度1，坐标原点在球心，坐标轴方向如图。根据定义，只须求出两角所夹球面的面积，即是立体角的大小。由于对称性，只需求出第一卦限内的面积再乘以4即可。

图3 计算示意图

曲面面积计算公式为：

A=Dyzxz22)()(1dxdy （1）

上半球球面方程为：

Z=221yx （2） 由 xz=221yxx （3）

221yxyyz （4）

得 222211)()(1yxyzxz （5）

代入（1）式得：

A=Dyxdxdy221 (6)

利用极坐标，得：

A=Drrdrd21 (7)

易知，积分区域在xy平面上的投影是由两条椭圆曲线围成，方程分别为：

22sinx+y2=1 (8)

x2 +22siny=1 (9)

交点坐标（22sinsin1cossin,22sinsin1cossin)

φ1=arctgtgtg (10)

φ2=arctgtgtg (11)

将x=rcosΦ，y=rsinΦ带入（8）、（9）式，得极坐标表示的边界方程为：

222sincossin11r (12)

222sinsincos12r (13)

图4 xy面投影 XY1 2D0r1r2

根据对称性，有：

A=4(A1+A2) (14)

A1=102101rrrdrd

A2=202021rrrdrd

于是，

A1=101021(rrd

=10222sincossin111(）dΦ

=Φ1-102222cossinsinsin1 dΦ

=Φ1-10222sinsinsin1coscosd

设t=sinΦ，则cosΦdΦ=dt

A1=Φ1-1sin022cos1costdt

=Φ1-1sin022cos/1tdt

=Φ1-arcsin(cos·t)1sin0

=Φ1-arcsin(cossinΦ1) (15)

同理，

A2=Φ2-arcsin(cosβsinΦ2) (16)

带入（14）式,得出最终结果：

A=4(arctgtgtg-arcsin(cossin(arctgtgtg))

+arctgtgtg-arcsin(cosβsin(arctgtgtg))) (17)

特别地，当=β时，Φ1=Φ2=π/4，

A1=A2=π/4-arcsin(cos/2)

3数值结果

2β 2α 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180°

15° 0.068

30° 0.135 0.268

45° 0.200 0.397 0.588 对

60° 0.261 0.519 0.770 1.011

75° 0.318 0.633 0.940 1.237 1.519

90° 0.370 0.736 1.096 1.445 1.780 2.094 称

105° 0.415 0.827 1.234 1.632 2.016 2.382 2.723

120° 0.453 0.904 1.351 1.791 2.212 2.636 3.030 3.392

135° 0.484 0.966 1.445 1.921 2.389 2.848 3.291 3.710 4.091

150° 0.506 1.011 1.515 2.016 2.514 3.008 3.492 3.964 4.411 4.811

165° 0.519 1.038 1.557 2.075 2.592 3.108 3.621 4.130 4.632 5.115 5.544

180° 0.524 1.047 1.571 2.094 2.618 3.146 3.665 4.189 4.712 5.236 5.760 6.283

参考文献

⑴周太明等，电气照明设计，复旦大学出版社，2001，11

⑵同济大学数学教研室，高等数学，高等教育出版社，1998，12

⑶陈大华等译，光源与照明（第四版），复旦大学出版社，2000，1

注：本文发表于《中国照明学会（2005）学术年会论文集》，2005.9·上海

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立体角计算题目

立体角计算题目

立体角计算题目

立体角是三维空间中与立体图形相关的一个概念，它用于描述一个点所在的空间角度范围。立体角的单位是立体弧度（sr）。

以下是一个简单的立体角计算题目：

一个正方体的一个顶点被连接到它的对角面上的一个点。计算这个顶点所在的立体角。

解答：

首先，可以利用正方体的几何特征来确定这个所在点的立体角。这个顶点在正方体中与另一个对角顶点相对，它的连接点在正方体的另一面上。因此，可以将正方体视为由两个完全相同的四面体组成的结构，这些四面体的顶点分别为正方体的两个对角顶点和两个中心点。

接下来，可以计算其中一个四面体的立体角，然后将结果乘以2来得到整个正方体的立体角。使用三角函数和几何关系，可以计算每个四面体的立体角为：

立体角 = 2 * arctan(√2) ≈ 3.14 sr

因此，正方体一个顶点所在的立体角为：

立体角 = 2 * 3.14 ≈ 6.28 sr

注意：这只是一个简单的例子，实际的立体角计算可能需要更复杂的数学和几何技能。

立体角

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Steradian

立体角，Ω，是一个物体对特定点的三维空间的角度。它是站在那一点的观察者测量物体大小的尺度。例如，一个附近的小物体可以与一个远处的大物体对于一个点有相同的立体角。立体角是物体在一个以观测点为圆心的球的投影面积与球半径的比。（Ω =S/r）这正像平面角是圆的弧长与半径的比。

立体角的国际制单位是steradian(球面度)。 更严密的，立体角是面S对点P的面积分：

[编辑] 常见几何体的立体角 [编辑] 圆锥，球冠

Section of cone (1) and spherical cap (2) inside a sphere. In

this figure

θ =

a/2 and r = 1.

顶角为2θ的圆锥的立体角为一个单位球的球冠。

（上面结果由下式得到，参见 surface element in spherical polars）

应该注意阿基米德在2200年前不用微积分证明了球冠的表面积与半径为球冠边沿到球冠最低点的距离的圆的面积相等。球冠边沿到球冠最低点的距离为

显然，在单位圆中球冠立体角为

相关的维基共享资源：

立体角

当 θ = π/2, 球冠变为有着立体角 2π的半球.

当 θ = π, 立体角涵盖整个球体，球冠变为有着立体角 4π的球，我们将4π称为全方位立体角。

利用立体角求解带电半球面球心处的场强

利用立体角求解带电半球面球心处的场强

第２７卷增刊　、，ｏ１．２７　Ｓｕｏｏｌ　辽宁工程技术大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｌｉａｏｎｉｎ￣Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　２ｏｏ８年５月　Ｍａｖ　２００８　

文章编号：１００８．０５６２（２００８）增刊Ｉ一０３３５—０２　

利用立体角求解带电半球面球心处的场强　

白静　

（辽宁工程技术大学理学院，辽宁阜新１２３０００）　摘　要：为了求解均匀带电半球面球心处的场强，采用立体角的方法来处理此问题，结果表明：采用立体角的方法来求解决均匀带　电半球面球心处的场强与使用分割带电体直接积分方法处理此问题虽然采用的方法不同，但可以得到相同的结果，与分割带电体直接　积分方法相比，使用立体角的方法来求解此问题更为简便。该方法为处理均匀带电体场强问题的求解提供了新的思路，使此类问题从　

新的角度得到了更为简便的解决方法，并且可以为求解均匀带电球面、球冠、柱面的场强等相关类型的问题提供可参考的研究方法。　关键词：电场强度；立体角；带电圆环　

中图分类号：Ｏ　４４１　文献标识码：Ａ　

Ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｕｓｉｎｇ　ｓｏｌｉｄ　ａｎｇｌｅ　ｔｏ　ｃａｌｃｕｌａｔｅ　ｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｆｉｅｌｄ　ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ　ｉｎ　ｃｅｎｔｅｒ　ｏｆ　

ｃｈａｒｇｅｄ　ｈｅｍｉｓｐｈｅｒｅ　ｓｕｒｆａｃｅ　

ＢＡＩＪＩＮＧ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｌｉａｏｎｉｎｇ　Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｆｕｘｉｎ，Ｃｈｉｎａ　１２３￣ｏ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ　ｎｅｗ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｓｏｌｉｄ　ａｎｇｌｅ　ｉｓ　ｕｓｅｄ　ｔｏ　ｃａｌｃｕｌａｔｅ　ｔｈｅ　ｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｆｉｅｌｄ　ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｃｅｎｔｅｒ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｈａｒｇｅｄ　ｈｅｍｉｓｐｈｅｒｅ　ｓｕｒｆａｃｅ．Ａｌｔｈｏｇｈ　ｔｈｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｄｉｆｅｒｅｎｔ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｄｉｖｉｄｉｎｇ　ｔｈｅ　ｃｈａｒｇｅｄ　ｂｏｄｙ，　

立体角和球面角的计算

立体角和球面角的计算

立体角和球面角的计算

立体角是用来度量几何体内部的角度的概念，常用于计算体积、投影面积等几何问题。球面角是度量球面上的角度的概念，常用于计算球体表面积、球冠体积等球面几何问题。在本文中，我们将介绍立体角和球面角的计算方法。

一、立体角的计算

立体角是用立体上两条射线之间的夹角来度量的。在三维空间中，可以通过将立体分割为多个小面元，再计算每个小面元上的角度之和来获得立体角。以下是几种常见的立体角计算方法：

1. 平面上的立体角

对于平面上的立体角，可以通过计算其边界上的线段与原点之间的夹角来求得。具体计算步骤如下：

- 将平面分割成多个小区域，如三角形、四边形等。

- 计算每个小区域的边界上的线段与原点之间的夹角。

- 将每个小区域的夹角相加，得到平面的立体角。

2. 立体图形的立体角

对于立体图形，可以通过计算其面上的法线与原点之间的夹角来求得立体角。具体计算步骤如下：

- 将立体图形划分为多个小面元，每个小面元的面积为A。 - 计算每个小面元的法线与原点之间的夹角。

- 根据每个小面元的夹角和面积，计算每个小面元上的立体角。

- 将每个小面元上的立体角相加，得到立体图形的立体角。

二、球面角的计算

球面角是度量球面上某一部分的大小的概念。在球面几何学中，可以通过计算球面上两条弧的夹角来求得球面角。以下是几种常见的球面角计算方法：

1. 以球心为顶点的球面角

对于以球心为顶点的球面角，可以通过计算球心到两条弧的夹角来求得。具体计算步骤如下：

- 已知球心和两条弧的切点，计算球心到切点的距离为R。

- 计算球心到两条弧的夹角。

- 根据夹角和球半径R，计算球面角。

2. 不以球心为顶点的球面角

对于不以球心为顶点的球面角，可以通过计算两个球心角和球半径的乘积来求得。具体计算步骤如下：

- 已知两条弧上的两个切点与球心的连线长度分别为r1和r2。

- 计算两个切点到球心的连线与球半径的夹角。 - 根据两个夹角和球半径R，计算球面角。