2020届中考数学复习专题：三角形(含答案)

2020届中考数学复习专题：三角形

1．定义：如果一个三角形一边上的中线与这条边上的高线之比为，那么称这个三角形为“神奇三角形”．

（1）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°．

①当AC＝BC时，求证：△ABC是“神奇三角形”；

②当AC≠BC时，且△ABC是“神奇三角形”，求tanA的值；

（2）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是AB边上的中线，若∠DCB＝45°，求证：△ABC是“神奇三角形”．

2．如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E．

（1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；

（2）若△PDE为正三角形时，求BD+CE的值；

（3）当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值．

3．在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．

（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，直接写出∠ADE的度数；

（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

（3）如图2，作AH⊥BC，垂足为H，作AG⊥EC，垂足为G，连接HG，判断△GHC的形状，并说明理由．

4．（1）发现

如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE．

填空：

①∠DCE的度数是 ；

②线段CA、CE、CD之间的数量关系是 ．

（2）探究

如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，连接CE．请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由．

（3）应用

如图3，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝6．若点D满足DB＝DC，且∠BDC＝90°，请直接写出DA的长．

5．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B（b，0），C（2，7），连接AC，交y轴于D，且a＝，（）2＝5．

（1）求点D的坐标．

（2）如图2，y轴上是否存在一点P，使得△ACP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．

（3）如图3，若Q（m，n）是x轴上方一点，且△QBC的面积为20，试说明：7m+3n是否为定值，若为定值，请求出其值，若不是，请说明理由．

6．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足．D为线段AC的中点．在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为，．

（1）则A点的坐标为 ；点C的坐标为 ．D点的坐标为 ．

（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．设运动时间为t（t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S△ODP＝S△ODQ，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC＝∠FCO，点G是第二象限中一点，连OG，使得∠AOG＝∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．

7．已知：如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0）、B（0，b）、且|a+2|+（b+2a）2＝0，点P为x轴上一动点，连接BP；

（1）求点A、B的坐标；

（2）如图，在第一象限内作BC⊥AB且BC＝AB，连接CP，当CP⊥BC时，作CD⊥BP于点D，求线段CD的长度；

（3）在第一象限内作BQ⊥BP且BQ＝BP，连接PQ，设P（p，0），直接写出S△PCQ＝ （用含p的式子表示）．

8．在△ABC和△DBE中，CA＝CB，EB＝ED，点D在AC上．

（1）如图1，若∠ABC＝∠DBE＝60°，求证：∠ECB＝∠A；

（2）如图2，设BC与DE交于点F．当∠ABC＝∠DBE＝45°时，求证：CE∥AB；

（3）在（2）的条件下，若tan∠DEC＝时，求的值．

9．如图，在△ABC中，BC＝7cm，AC＝24cm，AB＝25cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索主要过程：

（1）经过多少时间后，P、Q两点的距离为5cm？

（2）经过多少时间后，S△PCQ的面积为15cm2？

（3）用含t的代数式表示△PCQ的面积，并用配方法说明t为何值时△PCQ的面积最大，

最大面积是多少？

10．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“广益值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB∇AC＝OA2﹣BO2．

（1）在△ABC中，若∠ACB＝90°，AB∇AC＝81，求AC的值．

（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，求AB∇AC，BA∇BC的值．

（3）如图3，在△ABC中，AO是BC边上的中线，S△ABC＝24，AC＝8，AB∇AC＝﹣64，求BC和AB的长．

11．已知：等边△ABC中．

（1）如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足∠AMN＝60°，求的值；

（2）如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A、B重合），点N在CB的延长线上且∠MNB＝∠MCB，求证：AM＝BN．

（3）如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足

∠AEP＝∠PFC，求的值．

12．如图，等边△ABC的边长为15cm，现有两点M，N分别从点A，点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动

（1）点M、N运动几秒后，M，N两点重合？

（2）点M、N运动几秒后，△AMN为等边三角形？

（3）当点M，N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M，N运动的时间．

13．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比例相互唯一确定，因此，边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的关系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝＝．容易知

道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．

根据上述角的正对定义，解下列问题：

（1）sad60°＝ ．

（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 ．

（3）如图②，已知∠C＝90°，sinA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF，过点A作AG∥BD，交直线BE于点G．

（1）当点D在BC的延长线上时，如果CD＝2，求tan∠FBC；

（2）当点D在BC的延长线上时，设AG＝x，S△DAF＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写函数的定义域）；

（3）如果AG＝8，求DE的长．

15．如图，点O为平面直角坐标系的原点，三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝m．顶点A，C的坐标分别为（1，0），（n，0），且|m﹣3|+（n﹣5）2＝0．

（1）求三角形ABC的面积；

（2）动点P从点C出发沿射线CA方向以每秒1个单位长度的速度运动，设点P的运动

时间为t秒，连接PB，请用含t的式子表示三角形ABP的面积；

（3）在（2）的条件下，当三角形ABP的面积为时，直线BP与y轴相交于点D，求点D的坐标．

16．已知△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°．

（1）若D为AB上一动点时（如图1），

①求证：△ACD≌△BCE．

②试求线段AD，BD，DE间满足的数量关系．

（2）当点D在△ABC内部时（如图2），延长AD交BE于点F．

①求证：AF⊥BE．

②连结BD，当△BDE为等边三角形时，直接写出△DCE与△ABC的边长之比．

17．如图，直角坐标系中，点A，B分别在x，y轴上，点B的坐标为（0，2），∠BAO＝30°．以AB为边在第一象限作等边△ABC，MN垂直平分OA，MA⊥AB．

（1）求AB的长．

（2）求证：MB＝OC．

（3）如图2，连接MC交AB于点P．点P是否为MC的中点？请说明理由．