2020年数学中考复习专题：《三角形综合》(后附解析)

1 中考复习冲刺：《三角形综合》

1．如图，在三角形ABC中，AB＝8，BC＝16，AC＝12．点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→＞B→C→A的方向运动，点Q从点B沿B→C→A的方向与点P同时出发；当点P第一次回到A点时，点P，Q同时停止运动；用t（秒）表示运动时间．

（1）当t＝

秒时，P是AB的中点．

（2）若点Q的运动速度是23个单位长度/秒，是否存在t的值，使得BP＝2BQ．

（3）若点Q的运动速度是a个单位长度/秒，当点P，Q是AC边上的三等分点时，求a的值．

2．如图，在△ABC中，BC＝7cm，AC＝24cm，AB＝25cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索主要过程：

（1）经过多少时间后，P、Q两点的距离为5cm？

（2）经过多少时间后，S△PCQ的面积为15cm2？

（3）用含t的代数式表示△PCQ的面积，并用配方法说明t为何值时△PCQ的面积最大，最大面积是多少？

2 3．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．

（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，求证：△ABC是倍角三角形；

（2）若△ABC是倍角三角形，∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，AC＝42 ，求△ABC面积；

（3）如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE＝AB，若AB+AC＝BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．

4．如图，如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），将线段AB平移至线段CD，使点A的对应点C在y轴的正半轴上，点D在第一象限．

（1）若点C的坐标（k，0），求点D的坐标（用含k的式子表示）；

（2）连接BD、BC，若三角形BCD的面积为5，求k的值；

（3）如图2，分别作∠ABC和∠ADC的平分线，它们交于点P，请写出∠A、和∠P和∠BCD之间的一个等量关系，并说明理由．

3 5．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．

（1）求证：S△ABD＝S△ACE；

（2）如图2，AM是△ACE的中线，MA的延长线交BD于N，求证：MN⊥BD．

6．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．

（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；

（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；

（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC＝3MC，请直接写出的值．

4 7．定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“和美三角形”，这条边称为“和美边”，这条中线称为“和美中线”．

理解：（1）请你在图①中画一个以AB为和美边的和美三角形，使第三个顶点C落在格点上；

（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝．

求证：△ABC是“和美三角形”．

运用：（3）已知，等腰△ABC是“和美三角形”，AB＝AC＝20，求底边BC的长（画图解答）．

8．【问题提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）

【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．

请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是 三角形；∠ADB的度数为 ．

【问题解决】

在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；

【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC＝7，AD＝2．请直接写出线段BE的长为 ． 5 9．如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．

（1）如图1，求C点坐标；

（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，求证：PA＝CQ；

（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．

10．问题原型：如图①，在锐角△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在AD上取点E，使DE＝CD，连结BE．求证：BE＝AC．

问题拓展：如图②，在问题原型的条件下，F为BC的中点，连结EF并延长至点M，使FM＝EF，连结CM．

（1）判断线段AC与CM的大小关系，并说明理由．

（2）若AC＝，直接写出A、M两点之间的距离．

6 11．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．

（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；

（2）证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点；

（3）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

12．如图，AC平分钝角∠BAE交过B点的直线于点C，BD平分∠ABC交AC于点D，且∠BAD+∠ABD＝90°．

（1）求证：AE∥BC；

（2）点F是射线BC上一动点（点F不与点B，C重合），连接AF，与射线BD相交于点P．

（ⅰ）如图1，若∠ABC＝45°，AF⊥AB，试探究线段BF与CF之间满足的数量关系；

（ⅱ）如图2，若AB＝10，S△ABC＝30，∠CAF＝∠ABD，求线段BP的长．

7 13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．

（1）当∠BDA＝110°时，∠EDC＝

°，∠DEC＝ °；点D从B向C的运动过程中，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；

（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由．

（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数，若不可以，请说明理由．

14．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，过点C作CG⊥AD于点G，过点B作FB⊥CB于点B，交CG的延长线于点F，连接DF交AB于点E．

（1）求证：△ACD≌△CBF；

（2）求证：AB垂直平分DF；

（3）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．

8 15．【阅读理解】

截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．

（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．

解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．

根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是

；

【拓展延伸】

（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；

【知识应用】

（3）如图3，两块斜边长都为14cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长分别为 cm．

9 16．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D在边AC上，AE⊥BD于 E．

（1）如图1，作CF⊥BD于F，求证：CF﹣AE＝EF；

（2）如图2，若BC＝CD，求证：BD＝2AE；

（3）如图3，作BM⊥BE，且BM＝BE，AE＝2，EN＝4，连接CM交BE于N，请直接写出△BCM的面积为 ．

17．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，M为CE中点．

（1）如图1，若D点在BA延长线上，直接写出BM与DM的数量关系与位置关系不必证明．

（2）如图2，当C，E，D在同直线上，连BE，探究BE与AB的的数量关系，并加以证明．

（3）在（2）的条件下，若AB＝AE＝2．求BD的长．