求矩阵的秩的方法

第五节：矩阵的秩及其求法之五兆芳芳创作一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式 定义1 设 在A 中任取k 行k 列穿插处元素按原相对位置组成的阶行列式，称为A 的一个k 阶子式.例如共有个二阶子式，有 个三阶子式矩阵 A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所组成的二阶子式为 而为 A 的一个三阶子式.显然， 矩阵 A 共有 个k 阶子式.2. 矩阵的秩 定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 ,称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A ).规则： 零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .(2) 有行列式的性质，(3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } .(4) 如果An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R()nm ij a A ⨯={}),min 1(n m k k ≤≤43334=C C 1015643213-=D nm ⨯()nm ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠( A ) = n ,则因此，方阵 A 可逆的充分需要条件是 R ( A ) = n . 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法(定义).例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B ). 解 由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则R (B ) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数.例如 一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数. 例2 设 如果 求a .解 或例3则 2、用初等变换法求矩阵的秩定理2矩阵初等变换不改动矩阵的秩. 即则注： 只改动子行列式的符号. 是 A 中对应子式的k 倍.2021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a A 111111(),3<A R ()3<A R 1=∴a 2-=a ()3=A R =K 3-BA →)()(B R A R =ji r r ↔.1irk .2是行列式运算的性质.求矩阵A 的秩办法：1）利用初等行变换化矩阵A 为阶梯形矩阵B 2）数阶梯形矩阵B 非零行的行数即为矩阵A 的秩. 例4求 解R(A ) = 2例5三、满秩矩阵定义3A 为n 阶方阵时，称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵） 称 A 是降秩阵，（奇异矩阵） 可见：对于满秩方阵A 施行初等行变换可以化为单位阵E ,又按照初等阵的作用：每对A 施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的定理. 定理3设A 是满秩方阵，则存在初等方阵 使得对于满秩矩阵A ，它的行最简形是n 阶单位阵 E . 例如A 为满秩方阵.关于矩阵的秩的一些重要结论：ji krr +.3().A R μλμλ,2,6352132111，求）（且设=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=A R A (),n A R =(),n A R <()0≠⇔=A nA R EA P P P P s s =-121,定理5R (AB )R (A ),R (AB )R (B ),即R (AB )min{R (A )，R (B )}设A 是 矩阵，B 是 矩阵， 性质1性质2 如果 A B = 0 则性质3 如果 R (A )= n, 如果A B = 0 则 B = 0. 性质4 设A,B 均为矩阵，则例8 设A 为n 阶矩阵，证明R （A+E ）+R （A-E ）≥n 证： ∵ （A+E ）+（E-A ）=2E∴R （A+E ）+ R （ E-A ）≥ R （2E ）=n而 R （ E-A ）=R （ A-E ） ∴ R （A+E ）+R （A-E ）≥n≤nm ⨯tn ⨯).()()(AB R n B R A R ≤-+.)()(n B R A R ≤+nm ⨯).()()(B R A R B A R +≤±。

矩阵求秩方法
求矩阵的秩是线性代数中常见的问题，以下是关于矩阵求秩的10条方法及其详细描述：
1. 奇异值分解法：通过对矩阵进行奇异值分解，将矩阵变换为一个对角矩阵，其中非零元素的个数即为矩阵的秩。

2. 初等变换法：利用矩阵的初等行（列）变换，将矩阵化简为行简化阶梯型矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。

3. 极大线性无关组法：通过逐步选择矩阵中的列，构建一个极大线性无关组，其中向量的个数即为矩阵的秩。

4. 秩-零空间法：矩阵的秩与其零空间的维数之和为矩阵的列数。

可以通过计算矩阵的零空间 (null space) 的维数来求解矩阵的秩。

5. 行列式法：矩阵的行列式非零的最大子阵的阶数就是矩阵的秩。

6. 直接检验法：将矩阵转换为梯形矩阵或行阶梯矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。

7. 特征值法：矩阵的秩等于其特征值不为零的个数。

8. 与单位矩阵求秩法：通过将矩阵与单位矩阵进行连接，得到一个增广矩阵，进而将其化简为行简化阶梯型矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。

9. Gauss-Jordan消元法：通过高斯消元法和高斯约当消元法将矩阵化简为行简化阶梯型矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。

10. 极大线性无关组与生成组比较法：利用极大线性无关组与生成组的关系来求解矩阵的秩，其中生成组的个数等于矩阵的秩。

矩阵求秩方法(一)矩阵求秩方法什么是矩阵求秩？矩阵求秩是一种数学运算，用于确定一个矩阵的秩（rank）。

矩阵的秩是指矩阵中线性独立的行或列的最大个数。

矩阵求秩在线性代数、计算机科学和工程学等领域中都有广泛的应用。

列主元高斯消元法列主元高斯消元法是一种常用的矩阵求秩方法。

它的基本思想是通过一系列基本行变换将矩阵转化为阶梯形矩阵，然后根据阶梯形矩阵中非零行的个数确定矩阵的秩。

具体步骤如下： 1. 选取第一个列向量中绝对值最大的元素作为主元，与第一列交换位置。

2. 用第一列的主元将后面各行第一元素消为零。

3. 选取第二个列向量中绝对值最大的元素作为主元，与第二列交换位置。

4. 用第二列的主元将后面各行第二元素消为零。

5. 重复上述步骤，直到矩阵变为阶梯形矩阵。

基本行变换法基本行变换法是另一种常见的矩阵求秩方法。

它的基本思想是通过一系列基本行变换将矩阵转化为行简化阶梯形矩阵，然后根据行简化阶梯形矩阵中非零行的个数确定矩阵的秩。

具体步骤如下： 1. 将矩阵化为行简化阶梯形矩阵，即确保每一行的主元（第一个非零元素）为1，且每一主元所在列的其余元素都为0。

2. 将行简化阶梯形矩阵中所有主元所在行上方的元素都消为零。

奇异值分解法奇异值分解法是一种较为复杂但有效的矩阵求秩方法。

它的基本思想是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，然后利用特殊的奇异值矩阵来确定矩阵的秩。

具体步骤如下： 1. 计算矩阵的奇异值分解，得到三个矩阵：左奇异矩阵、奇异值矩阵和右奇异矩阵。

2. 统计奇异值矩阵中非零奇异值的个数，作为矩阵的秩。

其他方法除了上述提到的方法，还有其他一些矩阵求秩的方法： - 基于行列式的方法：计算矩阵的行列式，非零的子式的阶数即为矩阵的秩。

- 基于特征值的方法：计算矩阵的特征值，非零特征值的个数即为矩阵的秩。

总结矩阵求秩是一项重要的数学运算，常用于线性代数和计算机科学等领域。

列主元高斯消元法、基本行变换法和奇异值分解法是常见的矩阵求秩方法，而基于行列式和特征值的方法也有其独特的优势。

矩阵秩的计算方法：将矩阵A按初等行数变换为梯形矩阵B，梯形矩阵B的非零行数即为矩阵A的秩。

在线性代数中，矩阵A的列秩是A的线性独立列数的最大值，类似地，行秩是A的线性独立的水平行数的最大值，一般说来，如果将矩阵看作行向量或列向量，则秩是这些行向量或列向量的秩，即包含在最大不相关群中的向量的个数。

矩阵秩的性质；
1.矩阵的行秩、列秩、秩均相等。

2.初等变换不改变矩阵的秩。

3.矩阵Rab<=min{Ra，Rb}乘积的秩。

4.如果p和q是可逆矩阵，则r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)。

5.当r(A)<=n-2时，最高阶非零子公式的阶数<=n-2，n-1阶子公式为零，而伴随矩阵中的每个元素都是n-1阶子公式加一个符号，所以伴随矩阵是零矩阵。

6.当r(A)<=n-1时，最高阶非零子公式的阶数为<=n-1，因此n-1
阶子公式可能不为零，因此伴随矩阵可能为非零(等号成立时伴随矩阵必须为非零)。

矩阵中秩的计算全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矩阵是线性代数中的一个重要概念，它是由m行n列元素排成的矩形阵列。

在实际问题中，经常会遇到需要对矩阵进行分析和计算的情况。

矩阵的秩是一个非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和特点。

矩阵的秩是指矩阵中线性独立的行或列的最大个数，也可以理解为矩阵中非零的行列式数量。

计算矩阵的秩是一项复杂而重要的工作，它涉及到矩阵的行变换和列变换等操作。

在计算矩阵的秩时，我们可以采用多种方法，如高斯消元法、矩阵的行列式等。

我们来看一种常用的计算矩阵秩的方法，即高斯消元法。

高斯消元法是一种基本的线性代数运算方法，在计算矩阵的秩时非常有效。

其基本思想是通过一系列的行变换操作将矩阵化为行阶梯形式，然后统计非零行的个数即为矩阵的秩。

具体步骤如下：1. 将矩阵化为增广矩阵形式，也就是矩阵的最右边添加一个单位矩阵。

2. 从左上角开始，通过一系列的行变换操作将矩阵化为行阶梯形式。

3. 统计非零行的个数，即为矩阵的秩。

通过高斯消元法，我们可以比较容易地计算矩阵的秩。

但需要注意的是，由于矩阵的秩是矩阵自带的性质，所以在进行行变换过程中需要保持同构性，即不能改变矩阵的秩。

另一种常用的方法是通过求解矩阵的行列式来计算矩阵的秩。

矩阵的行列式是一个标量值，表示矩阵中所有元素的线性组合。

矩阵的秩等于行列式非零的最大子式的阶数。

这种方法的优点是简单直观，适用于小规模矩阵的计算。

通过计算矩阵的秩，我们可以得到很多关于矩阵的信息。

矩阵的秩可以反映矩阵的线性无关性，即矩阵中非零行列向量的独立性。

当矩阵的秩小于其行数或列数时，说明矩阵中存在线性相关的行列向量；当矩阵的秩等于其行数或列数时，说明矩阵是满秩的，行列向量线性无关。

矩阵的秩还可以反映矩阵的奇异性。

一个矩阵是奇异的，当且仅当其秩小于其阶数。

奇异矩阵的行列式为0，没有逆矩阵。

通过计算矩阵的秩可以判断矩阵是否奇异。

矩阵的秩还与方程组的解有密切关系。

求矩阵的秩的三种方法矩阵是线性代数中的一个重要概念，它由一个数域中的矩形阵列组成，是线性变换的一种表现形式。

矩阵的秩是矩阵的重要性质之一，它可以告诉我们矩阵中行向量或列向量之间的关系。

在实际应用中，求解矩阵的秩是非常常见的问题。

本文将介绍矩阵的三种求解秩的方法。

方法一：高斯消元法高斯消元法是求解矩阵秩的一种基础方法。

对于一个矩阵A，如果它的秩为r，则A必然存在一个大小为r的非零行列式。

我们可以通过对矩阵A进行初等行变换将矩阵转化为行简化阶梯矩阵，然后统计矩阵中非零行的个数来确定矩阵的秩。

具体步骤如下：1. 对矩阵A进行高斯列变换，将A转化为行简化阶梯矩阵形式。

2. 统计矩阵中非零行的个数，即为矩阵的秩。

对于下面的矩阵A，我们可以通过高斯消元法求解矩阵的秩：$$A=\begin{bmatrix}1 &2 & 3\\4 &5 & 6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix}$$按照高斯消元法的步骤对A进行初等行变换，得到行简化阶梯矩阵：方法二：矩阵的列空间对于一个矩阵A，其列空间是由A中所有列向量所张成的向量空间。

矩阵的秩等于它的列空间的维度。

我们可以先求解矩阵A的列空间的维度，然后确定矩阵A的秩。

具体步骤如下：2. 取矩阵A中与非零列对应的列向量，将它们作为张成列空间的一组基。

3. 求解列空间的维度，即为矩阵A的秩。

阶梯矩阵中非零列的位置分别是1和2，因此取A中的第1列和第2列作为列空间的一组基。

可以看出，这组基中存在一个线性关系：第2列 = 2*第1列。

矩阵A的列空间实际上只由A中的第1列张成，其维度为1，因此矩阵A的秩为1。

总结：本文介绍了求解矩阵秩的三种方法：高斯消元法、矩阵的列空间和矩阵的行空间。

对于一般的矩阵，三种方法的求解结果并不一定相同。

但无论采用哪种方法，都能够有效地求解矩阵的秩。

还有一些特殊的矩阵，它们的秩具有一些特殊性质：1. 对于一个n阶矩阵A，如果它是一个可逆矩阵，那么它的秩为n。

第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1. ｋ 阶子式定义1 设 在A 中任取k 行ｋ 列交叉处元素按原相对位置组成的 阶行列式,称为A 的一个k 阶子式。

例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行,第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。

显然, 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。

２. 矩阵的秩定义2 设 有r 阶子式不为0，任何ｒ+1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称ｒ为矩阵Ａ的秩,记作R (Ａ）或秩(A )。

规定： 零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0,且更高阶子式均为 0,r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .（2) 有行列式的性质, （3) R(Ａ) ≤m , R (A ) ≤n ， ０ ≤R (A ） ≤min { m , n } ．(4) 如果 An ×ｎ , 且 则 R( A ） = n .反之，如 R ( Ａ ) = n ,则因此,方阵 Ａ 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n ．二、矩阵秩的求法1、子式判别法（定义)。

例1 设 为阶梯形矩阵,求Ｒ（B ）。

解 由于 存在一个二阶子式不为0,而任何三阶子式全为0,则 Ｒ(B ) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。

例如()n m ij a A ⨯={}),m in 1(n m k k ≤≤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643213-=D n m ⨯k n k m c c ()n m ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000007204321B 02021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3R E =一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。

求矩阵的秩的步骤在学习矩阵的秩之前，首先我们要先了解矩阵A的k阶子式：即在m×n矩阵A中，任取k行k列( k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式。

先在矩阵中的m行中任选k行，得到组合；再在矩阵中的n列任选k列，得到组合。

将二者相乘，便是矩阵A的k阶子式计算公式。

现在我们就可以定义矩阵的秩：设在m×n矩阵A中有不为零的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）均为零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，阶数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。

特别地规定了零矩阵的秩等于0。

举个例子，我们先假定一个3阶矩阵。

由定义可得S不可能再有大于三阶的子阵，那么我们知道S的三阶子阵只有一个|S|，若计算出|S|≠0，那么S的秩就为3，记做R(S)=3；若是|S|=0，那就同理再看S的9个二阶子阵……当然，越高阶的矩阵的秩会越难计算，下面的视频来讲解行阶梯形矩阵在求解高阶矩阵的秩中的妙用。

学习矩阵的秩并归纳出矩阵秩的一些最基本的四个性质，具体证明过程详见课本，其中最主要的是第三条性质，它证明了两个等价矩阵的秩是相等的，因此将矩阵通过初等变换化为行阶梯形矩阵能大大简化矩阵秩的运算。

矩阵的子式定义：在m×n矩阵A中，任取k行k列(k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。

矩阵的秩定义：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且所有r +1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。

规定零矩阵的秩为零。

矩阵的秩基本性质：①若A为m×n矩阵，则0≤R(A)≤min(m, n)②R(AT)=R(A)③若A~B，则R(A)=R(B)④若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A)矩阵的秩常用性质：max{R(A), R(B)}≤R(A, B)≤R(A)＋R(B) 特别地，当B = b 为非零列向量时，有R(A)≤R(A, b)≤R(A)＋1⑥R(A＋B)≤R(A)＋R(B) ．⑦R(AB)≤min{R(A), R(B)} ．⑧若Am×nBn×l = O，则R(A)＋R(B)≤n。

【导语】矩阵的秩是线性代数中的⼀个概念。

在线性代数中，⼀个矩阵A的列秩是A的线性独⽴的纵列的极⼤数，通常表⽰为r(A)，rk(A)或rankA。

在线性代数中，⼀个矩阵A的列秩是A的线性独⽴的纵列的极⼤数⽬。

类似地，⾏秩是A的线性⽆关的横⾏的极⼤数⽬。

即如果把矩阵看成⼀个个⾏向量或者列向量，秩就是这些⾏向量或者列向量的秩，也就是极⼤⽆关组中所含向量的个数。

下⾯是分享的⾼中数学矩阵的秩求解⽅法。

欢迎阅读参考！⾼中数学矩阵的秩怎么求 ⼀、矩阵的秩求解⽅法 矩阵的秩计算公式：A=(aij)m×n 矩阵的秩是线性代数中的⼀个概念。

在线性代数中，⼀个矩阵A的列秩是A的线性独⽴的纵列的极⼤数，通常表⽰为r(A)，rk(A)或rankA。

在线性代数中，⼀个矩阵A的列秩是A的线性独⽴的纵列的极⼤数⽬。

类似地，⾏秩是A的线性⽆关的横⾏的极⼤数⽬。

即如果把矩阵看成⼀个个⾏向量或者列向量，秩就是这些⾏向量或者列向量的秩，也就是极⼤⽆关组中所含向量的个数。

⼆、矩阵的秩的本质是什么？ ⼀句话总结:矩阵是⼀种操作。

对谁的操作呢？是对向量的操作。

学习线性代数前，我们⼀直在实数的范畴考虑问题，学习线性代数后，就应该以向量（也就是⼀组数）作为考虑问题的基本单元。

考虑⼆维向量的集合。

可以直观地看到，⼆维平⾯中点的集合就等同于⼆维向量的集合。

矩阵A乘以向量b，可以得到另⼀个向量c。

若向量b,c均是⼆维，矩阵A就可以看做⼀个对⼆维向量的操作。

矩阵不满秩有两种情况（讨论⾏不满秩）： ⼀，某⼀⾏或者列为零。

⼆，某两⾏或者多⾏线性相关。

1：讨论某⾏为零 这时可以发现，如果向量b两个元素全都不是零，⽽矩阵A没有0⾏，则向量c两个元素⼀定都不是0。

如果矩阵A仅有⼀个⾮零⾏，则向量c必有⼀个元素为零，另⼀个⾮零。

如果矩阵A没有⾮零⾏，则向量c为零向量。

这时候，你可以理解为，⼀个有零⾏的矩阵，会对⼀个向量构成⼀种"降维"的操作。

第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。

例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而为 A 的一个三阶子式。

显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。

2. 矩阵的秩定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 ,称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。

规定： 零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .(2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } . (4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n . 二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。

例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B )。

解由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R (B ) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。

例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。

()n m ij a A ⨯={}),m in 1(n m k k ≤≤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643213-=D n m ⨯kn k m cc ()nm ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000007204321B 02021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3R E =例2 设 如果 求 a .解或 例3则2、用初等变换法求矩阵的秩定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。