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第18讲 函数的零点与方程的解模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解函数零点的概念，了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系；2．会求函数的零点；3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数.知识点 1 函数的零点1、函数零点的概念：对于一般函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点．即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值．【要点辨析】（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；（2）函数的零点也就是函数()=y f x 的图象与轴交点的横坐标；（3）函数()=y f x 的零点就是方程()0f x =的实数根．2、函数的零点与方程的解的关系函数()=y f x 的零点就是方程()0f x =的实数解，也就是函数()=y f x 的图象与x 轴的公共点的横坐标．所以方程()0=f x 有实数根函数()=y f x 的图象与x 轴有交点函数()=y f x有零点．x ⇔⇔知识点 2 函数零点存在定理1、函数零点存在定理如果函数()f x 在区间[],a b 上的图象是一条连续不断的曲线，且()()0⋅<f a f b ，那么，函数()=y f x 在区间().a b 内至少有一个零点，即存在().∈c a b ，使得()0=f c ，这个c 也就是方程()0=f x 的解．【要点辨析】（1）定义不能确定零点的个数；（2）不满足定理条件时依然可能有零点；（3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件；（4）定理反之是不成立的．2、函数零点存在定理的几何意义在闭区间[],a b 上有连续不断的曲线()=y f x ，且曲线的起始点(,())a f a 与终点(,())b f b 分别在x 轴的两侧，则连续曲线与x 轴至少有一个交点．3、函数零点存在定理的重要推论（1）推论1：函数()f x 在区间[],a b 上的图象是一条连续不断的曲线，()()0⋅<f a f b ，且()f x 具有单调性，则函数()f x 在区间().a b 内只有一个零点．（2）推论2：函数()f x 在区间[],a b 上的图象是一条连续不断的曲线，函数()f x 在区间().a b 内有零点，且函数()f x 具有单调性，则()()0⋅<f a f b ．知识点 3 函数零点常用方法技巧1、零点个数的判断方法（1）直接法：直接求零点，令()0=f x ，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点．（2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0⋅<f a f b ，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数．②两个函数图象：将函数()f x 拆成两个函数()h x 和()g x 的差，根据()()()0=⇔=f x h x g x ，则函数()f x 的零点个数就是函数()=y h x 和()=y g x 的图象的交点个数．（4）性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数．2、判断函数零点所在区间的步骤第一步：将区间端点代入函数求函数的值；第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断；第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。
中能用二分法求出函数零点的函数个数为()A．4B．3C．2D．1答案：A解析：画出四个函数的图象，它们都存在区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0，因此，都可以用二分法求零点．4．函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2，e)D．(3,4)答案：B解析：f(1)＝ln2－2<0f(2)ln3－1>0∴f(x)的零点所在区间是(1,2) 5．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半，设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是()A．h2>h1>h4B．h1>h2>h3C．h3>h2>h4D．h2>h4>h1答案：A解析：饮各自杯中酒的一半，柱形杯中酒的高度变为原来的一半，其他的比一半大，前三个杯子中圆锥形的杯子酒的高度最高，可排除选项B、C、D.6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则每件产品的平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件答案：B解析：若每批生产x件产品，则平均每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是元．因为y＝＋＝2＋20≥20，当＝，即x＝80时取等号，所以每批应生产产品80件．二、填空题(每小题5分，共15分)7．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝(A，c为常数)．已知该工人组装第4件产品用时30min，组装第A件产品用时15min，那么c和A的值分别是________．答案：60,16解析：因为组装第A件产品用时15min，所以＝15①；所以必有4<A，且＝＝30②，联立①②解得c＝60，A＝16.8．设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0所在的区间是(n，n＋1)(n∈Z)，则n＝________.答案：1解析：画出函数y＝x3和y＝x－2的图象，如图所示．由函数图象，知1<x0<2，所以n＝1.9．若关于x的方程＝kx有三个不等实数根，则实数k的取值范围是________．答案：解析：由题意可知k≠0，∵＝kx，∴kx2－2kx＝|x|.当x≥0时，kx2－2kx＝x，解得x＝0或x＝，(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：(1)租金增加了900元，所以未租出的车有15辆，一共租出了85辆．(2)设租金提高后有x辆未租出，则已租出(100－x)辆．租赁公司的月收益为y元，y＝(3000＋60x)(10－x)－160(100－x)－60x，其中，x∈[0,100]，x∈N，整理，得y＝－60x2＋3100x＋284000＝－602＋.当x＝26时，y max＝324040，即最大月收益为324040元．此时，月租金为3000＋60×26＝4560(元)．。
双基达标(限时15分钟)1．函数f(x)＝x3＋x的零点是________．解析函数y＝f(x)的零点即为方程x3＋x＝0的解，即为x＝0. 答案02．函数f(x)＝1－x21＋x2的零点是________．解析函数f(x)＝1－x21＋x2的零点即为方程1－x21＋x2＝0的根，即为1或－1.答案1或－13．函数f(x)＝log2(x2－4x＋5)的零点为________．解析所求零点即为方程log2(x2－4x＋5)＝0的解，即为方程x2－4x＋5＝1的解，解得x＝2.答案 24．判断函数f(x)＝x2－(2a＋2)x＋2a＋5(其中a＞2)在区间(1,3)内是否有零点，结论是________(填“有”或填“没有”)．解析因为x＝1时，(－1)2－(2a＋2)(－1)＋2a＋5＝4a＋8＞0，x＝3时32－3(2a＋2)＋2a＋5＝8－4a＜0，且函数f(x)的图象在[1,3]内是不间断的，所以函数f(x)在区间(1,3)内存在零点．答案有5．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是________．解析由题意知，Δ＝4－4a＜0，∴a＞1.答案(1，＋∞)6．已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，求实数m的取值范围．解函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)上，即函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点一个在(－1,0)上，一个在(1,2)上，根据图象列出不等式组⎩⎨⎧ f (－1)＝2＞0f (0)＝2m ＋1＜0f (1)＝4m ＋2＜0f (2)＝6m ＋5＞0，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜－12m ＞－56，∴－56＜m ＜－12.∴实数m 的取值范围是(－56，－12)．综合提高 (限时30分钟)7．已知函数f (x )为偶函数，其图象与x 轴有4个交点，则该函数的所有零点之和等于________．解析 偶函数图象关于y 轴对称，故函数f (x )与x 轴4个交点所形成的零点之和为0.答案 08．已知函数f (x )的图象连续不间断，有如下的x ，f (x )对应值表：解析 利用函数y ＝f (x )零点存在性的判定定理，结合列表可知，存在零点的区间为(2,3)，(3,4)，(4,5)．答案 (2,3)，(3,4)，(4,5)9．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析 设函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，则函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 有两个交点，由图象可知当0＜a ＜1时两函数只有一个交点，不符合；如图所示，当a ＞1时，因为函数y ＝a x (a ＞1)的图象过点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是a ＞1.答案 (1，＋∞)10．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0log 2x ，x ＞0，若关于x 的方程f 2(x )－af (x )＝0恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________．解析 关于x 的方程f 2(x )－af (x )＝0的解即为方程f (x )＝0或f (x )＝a 的解，而函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图象可知，方程f (x )＝0只有一解1，而原方程有三解，所以方程f (x )＝a 有两个不为1的相异的根，即0＜a ≤1，所以所求范围是{a |0＜a ≤1}．答案 {a |0＜a ≤1}11．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．解 令g (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎨⎧ m >0，g (4)<0，或⎩⎨⎧m <0，g (4)>0，即⎩⎨⎧ m ＞0，26m ＋38＜0，或⎩⎨⎧m ＜0，26m ＋38＞0，解得－1913<m <0.12．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝ln x ＋2x －6，试判断函数f (x )的零点个数．解 法一 ∵函数f (x )为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝ln x ＋2x －6.∴当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝ln(－x )－2x －6即－f (x )＝ln(－x )－2x －6，∴f (x )＝－ln(－x )＋2x ＋6，∴函数f (x )的解析式为： f (x )＝⎩⎨⎧ ln x ＋2x －6 (x ＞0)0 (x ＝0)－ln (－x )＋2x ＋6 (x ＜0).易得函数f (x )有3个零点． 法二 当x ＞0时，在同一坐标系中作出函数y ＝ln x 和y ＝6－2x 的图象，由图象的对称性以及奇函数性质可知，函数f (x )在R 上有3个零点．13．(创新拓展)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a 2，3a >2c >2b .求证：(1)a >0且－3<b a <－34；(2)函数f (x )在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，则2≤|x 1－x 2|<574.证明 (1)∵f (1)＝a ＋b ＋c ＝－a 2，∴3a ＋2b ＋2c ＝0.又3a >2c >2b ，∴3a >0,2b <0，∴a >0，b <0.又2c ＝－3a －2b ，由3a >2c >2b ，∴3a >－3a －2b >2b .∵a >0，∴－3<b a <－34.(2)∵f (0)＝c ，f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝a －c . ①当c >0时，∵a >0，∴f (0)＝c >0且f (1)＝－a 2<0，∴函数f (x )在区间(0,1)内至少有一个零点． ②当c ≤0时，∵a >0，∴f (1)＝－a 2<0且f (2)＝a －c >0，∴函数f (x )在区间(1,2)内至少有一个零点． 综合①②得f (x )在(0,2)内至少有一个零点．(3)∵x 1，x 2是函数f (x )上的两个零点，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根．∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a ＝－32－b a .∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝(－b a )2－4(－32－b a ) ＝(b a ＋2)2＋2. ∵－3<b a <－34，∴2≤|x 1－x 2|<574.。
3.4.1 函数的零点一、填空题1．已知函数f(x)＝x2－mx－m2，则f(x)零点的个数有________．【解析】由Δ＝5m2≥0知，f(x)有一个或两个零点．【答案】一个或两个2．若函数f(x)＝mx＋n有一个零点是2，则函数g(x)＝nx2－mx的零点是________．【解析】由条件知，f(2)＝2m＋n＝0，∴n＝－2m.∴g(x)＝nx2－mx＝－2mx(x＋12)，由g(x)＝0得x＝0或x＝－1 2.∴g(x)的零点是0和－12.【答案】0和－1 23．函数f(x)＝(x－1)ln xx－3的零点有________个．【解析】由f(x)＝(x－1)ln xx－3＝0，得x＝1，∴f(x)只有一个零点．【答案】 14．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：(1)在(－2，－1)内有实数根；(2)在(－1,0)内有实数根；(3)在(1,2)内没有实数根；(4)在(－∞，＋∞)内没有实数根，其中正确的序号是________．【解析】设f(x)＝x3＋x2－2x－1，则f(－2)＝－1<0，f(－1)＝1>0，f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，则f(x)在(－2，－1)，(－1,0)，(1,2)内均有实数根，即(1)，(2)正确．【答案】(1)，(2)5．若a＋b＋c＝0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)必有一个零点是________．【解析】∵a＋b＋c＝0，∴方程ax2＋bx＋c＝0必有一个根为x＝1.即二次函数y＝ax2＋bx＋c必有一个零点是1.【答案】 16．函数f(x)＝kx＋2在区间[－2,2]上存在零点，则实数k的取值范围________．【解析】∵f(x)＝kx＋2在区间[－2,2]上存在零点，∴f(－2)·f(2)≤0，∴(－2k＋2)·(2k＋2)≤0，∴k≥1或k≤－1.【答案】k≥1或k≤－17．已知方程a x＝x＋a(a>0且a≠1)有两解，则a的取值范围为________．【解析】如图，当0<a<1时，y＝a x与y＝x＋a的图象只有一个交点，当a>1时y＝a x与y＝x＋a的图象必存在两个交点，故a>1.【答案】(1，＋∞)8．(2013·扬州高一检测)方程log3x＋x＝3的解在区间(n，n＋1)内，n∈N*，则n＝________.【解析】令f(x)＝log3x＋x－3，∵f(2)＝log32＋2－3<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0，∴f(2)·f(3)<0，∴f(x)在区间(2,3)内有零点．即方程log3x＋x＝3的解在区间(2,3)内．∴n＝2.【答案】 2二、解答题9．求函数f(x)＝x log2(x－2)＋3的零点的个数．【解】f(x)的定义域为(2，＋∞), 在(2，＋∞)内f(x)为增函数．因为f(218)＝178log218＋3＝－518＋3＝－278<0，f(4)＝4log22＋3＝7>0，f(218)·f(4)<0，所以f(x)在(218，4)内有一个零点．又因为f(x)是单调函数，所以只有一个零点．10．试讨论函数y＝mx2＋3x－1零点的个数．【解】(1)当m＝0时，函数y＝3x－1为一次函数，它有一个零点为13.(2)当m≠0时，函数y＝mx2＋3x－1为二次函数，①当Δ＝9＋4m>0，即m>－94且m≠0时，函数有两个零点．②当Δ＝9＋4m＝0，即m＝－94时，函数有一个零点．③当Δ＝9＋4m<0，即m<－94时，函数无零点．综上，当m >－94且m ≠0时，函数有两个零点；当m ＝0或m ＝－94时，函数有一个零点；当m <－94时，函数无零点．11．已知二次函数y ＝x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3，其中m 为实数．(1)试讨论当m 取任意实数时，这个二次函数的零点个数，并证明你的结论；(2)若这个二次函数有两个零点x 1，x 2，且x 1，x 2的倒数和为23，求二次函数的解析式．【解】 (1)记二次函数对应的方程为x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3＝0， 则Δ＝4(m －1)2－4(m 2－2m －3)＝4m 2－8m ＋4－4m 2＋8m ＋12＝16>0，∴方程x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3＝0必有两个不相等的实数根，即不论m 取何值，这个二次函数必有两个零点．(2)依题意，x 1，x 2是方程x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3＝0的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝2(m －1)，x 1x 2＝m 2－2m －3.又1x 1＋1x 2＝23，即x 1＋x 2x 1x 2＝23， ∴2(m －1)m 2－2m －3＝23，① 解之得m ＝0或m ＝5.经检验m ＝0或m ＝5都是方程①的解．故所求二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x －3或y ＝x 2－8x ＋12.。
高中数学-函数零点问题及例题解析高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）1) 对于函数 y=f(x)，将方程 f(x)=0 的实数根称为函数y=f(x) 的零点。
2) 方程 f(x)=0 有实根⇔函数 y=f(x) 的图像与 x 轴有交点⇔函数 y=f(x) 有零点。
若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的图像是连续的曲线，则 f(a)f(b)<0 是 f(x) 在区间 (a,b) 内有零点的充分不必要条件。
2、二分法：对于在区间 [a,b] 上连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数 y=f(x)，通过不断地把函数 y=f(x) 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法。
二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且 f(a)f(b)<0，那么，函数 y=f(x) 在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个 c 也是方程 f(x)=0 的根”。
根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件。
例如，函数 f(x)=ln(x+1)-2 的零点所在的大致区间是 ( )。
分析：显然函数 f(x)=ln(x+1)-2 在区间 [1,2] 上是连续函数，且 f(1)0，所以由根的存在性定理可知，函数 f(x)=ln(x+1)-2 的零点所在的大致区间是 (1,2)，选 B。
二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。
函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。
对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。
[学业水平训练]一、填空题1.函数y ＝x －1x的零点是________． 解析：令y ＝x －1x ＝0，得x 2－1x＝0， ∴x 2－1＝0，∴x ＝±1.答案：1，－12.若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0，1)内，则b 的取值范围为________．解析：∵f (x )＝x ＋b 是增函数，又f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0，1)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＜0f （1）＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＜01＋b ＞0， ∴－1＜b ＜0.答案：(－1，0)3.若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是________．解析：令x 2＋2x ＋a ＝0，由Δ＜0，即22－4a ＜0，解得a ＞1，所以a ＞1时，方程f (x )＝0无解，即函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点．答案：a ＞14.方程x 2＋x ＋1－a ＝0有两个异号的实根，则a 应满足的条件是________．解析：Δ>0且x 1x 2<0.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－4（1－a ）>01－a <0，∴a >1. 答案：a >15.已知方程x 2＋x ＋4－2m ＝0的两实根α，β满足α<2<β，则m 的取值范围是________． 解析：∵(α－2)(β－2)＝αβ－2(α＋β)＋4＝(4－2m )＋2＋4＝10－2m <0，∴m >5，又Δ＝1－4(4－2m )>0，m >158，综合得m >5. 答案：m >56.已知函数f (x )为偶函数，其图象与x 轴有4个交点，则该函数的所有零点之和等于________．解析：偶函数关于y 轴对称，故函数f (x )与x 轴4个交点所形成的零点之和为0.答案：0二、解答题7.求下列函数的零点．(1)f (x )＝2x －1；(2)f (x )＝2x 2＋4x ＋2；(3)f (x )＝x 3－2x 2－3x ；(4)f (x )＝x 3－4x 2＋4x －1.解：(1)令f (x )＝0，即2x －1＝0，2x ＝1，∴x ＝0，∴f (x )有一个零点0.(2)令f (x )＝0，即2x 2＋4x ＋2＝0，x 2＋2x ＋1＝0，∴x ＝－1，∴f (x )有一个零点－1.(3)令f (x )＝0，即x 3－2x 2－3x ＝0，x (x 2－2x －3)＝0，x (x －3)(x ＋1)＝0，∴x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝3，∴f (x )有三个零点－1，0，3.(4)令f (x )＝0，即x 3－4x 2＋4x －1＝(x －1)(x 2＋x ＋1)－4x (x －1)＝(x －1)(x 2－3x ＋1)＝0，∴x 1＝1，x 2＝3＋52，x 3＝3－52， ∴f (x )有三个零点1，3＋52，3－52. 8.求函数f (x )＝ln (x －1)＋0.01x 的零点的个数．解：因为f (3)＝ln 2＋0.03＞0，f (1.5)＝－ln 2＋0.015＜0，所以f (3)·f (1.5)＜0，说明函数f (x )＝ln (x －1)＋0.01x 在区间(1.5，3)内有零点．又y ＝ln (x －1)与y ＝0.01x 在(1，＋∞)上都是增函数，所以该函数只有一个零点．[高考水平训练]一、填空题1.已知f (x )是二次函数，当x ＝1时有最大值1，f (0)＝－1，则f (x )的零点为________． 解析：设f (x )＝a (x －1)2＋1(a <0)．由f (0)＝－1，得a (0－1)2＋1＝－1，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2(x －1)2＋1，由f (x )＝0，得－2(x －1)2＋1＝0，即(x －1)2＝12，∴x 1＝1－22，x 2＝1＋22， 故f (x )的零点是1－22，1＋22. 答案：1±222.若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是________(填序号)．①若f (a )·f (b )＜0，不存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0；②若f (a )·f (b )＜0，存在且只存在一个实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0；③若f (a )·f (b )＞0, 不存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0；④若f (a )·f (b )＞0，有可能存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0.解析：由零点存在性定理可知①不正确；②可通过反例f (x )＝x (x －1)·(x ＋1)在区间[－2，2]上满足f (－2)·f (2)＜0，但其存在三个零点：－1，0，1；③可通过反例f (x )＝(x －1)(x ＋1)在区间[－2，2]上满足f (－2)·f (2)＞0，但其存在两个零点：－1，1.答案：④二、解答题3.函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示．(1)写出方程f (x )＝0的根；(2)求a ，b ，c 的值．解：(1)方程f (x )＝0的根是x 1＝－3，x 2＝－1.(2)设f (x )＝a (x ＋3)(x ＋1)，将点(0，－3)代入得－3＝a (0＋3)(0＋1)，∴a ＝－1，∴f (x )＝－(x ＋3)(x ＋1)＝－x 2－4x －3.所求a ＝－1，b ＝－4，c ＝－3.4.(1)关于x 的方程x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围；(2)关于x 的方程x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，分别在(0，1)和(3，4)之间，求m 的取值范围．解：(1)令f (x )＝x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14，∵对应抛物线开口向上，又方程有两实根，且一个大于1，一个小于1，∴f (1)＜0，即m ＜－214. (2)令f (x )＝x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14，⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （3）＜0，f （4）＞0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－7，m ＜－214，m ＜－418，m ＞－275，∴－275＜m ＜－214.。
题型02.109 函数的零点问题1一、问题概述此部分问题是一个考察学生综合素养的很好途径，它主要涉及到基本初等函数的图象，渗透着转化、化归、数形结合、函数与方程等重要思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到积极的作用．近几年函数的零点问题主要涉及到：1、函数方程（函数零点）的求解与零点区间的判断，需要通过函数的单调性和零点存在性定理来确定（例题3）；2、函数零点的个数问题，通常是讨论单调性和极值，借助函数的单调性、图像、零点存在性定理来确定零点的个数；3、已知函数的零点情况，求解参数及取值范围问题，通常利用零点存在性定理或转化为函数图像交点问题处理（例题1、例题2）． 二、释疑拓展1．已知函数)(2ln )(2R k kx x x x f ∈-+=．（1）讨论f (x)的单调性；（2）若)(x f 存在极值，求)(x f 的零点个数．2．【扬州市2018届高三第一学期期末调研.19题】 已知函数（1）若，且函数)(x g 的图像是函数图像的一条切线，求实数的值； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）若对任意实数，函数在上总有零点，求实数的取值范围．3．【苏北四市2017届高三第一学期期中调研.19题】设函数f （x ）＝lnx ﹣ax 2+ax ，a 为正实数．（1）当a ＝2时，求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）求证：f （a1）≤0； （3）若函数f （x ）有且只有1个零点，求a 的值．4．【泰州市2016届高三第一学期期末调研.20题】 已知函数()4212f x ax x =-，(0,)x ∈+∞，()()()g x f x f x '=-． （1）若0a >，求证：（ⅰ）()f x 在()f x '的单调减区间上也单调递减； （ⅱ）()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点；（2）若1a >，记()g x 的两个零点为12,x x ，求证：1244x x a <+<+．三、专题反思（你学到了什么？还想继续研究什么？）四、巩固训练1．【南通市2017届高三第一次学情调研.19题】 已知函数2()ln f x ax x x =--，a ∈R ．（1）当38a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点； （3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．2．【无锡市2015届高三第一学情期末调研.20题】设函数()22ln -+f x x x ax b =在点()()0,0x f x 处的切线方程为y x b =-+.（1）求实数a 及0x 的值； （2）求证：对任意实数，函数()f x 有且仅有两个零点.3．【镇江市2018届高三第一学期期末调研.19题】已知 b ＞0，且b ≠ 1，函数 f (x ) = e x + b x ，其中e 为自然对数的底数： （1）如果函数 f (x ) 为偶函数，求实数b 的值，并求此时函数的最小值；（2）对满足b ＞0，且 b ≠ 1的任意实数b ，证明函数y = f (x )的图像经过唯一定点； （3）如果关于x 的方程 f (x ) = 2 有且只有一个解，求实数 b 的取值范围．二、释疑拓展1、【解】（1）函数的定义域为（0，+∞），xkx x x f 1)(2+-='，方程012=+-kx x 的判别式△=42-x ，（i ）当-2＜k ＜2时，△＜0，在f (x )的定义域内f ′(x )＞0，f (x )是增函数；（ii ）当k ＝±2时，△=0， 若k ＝-2，0)1()(2>+='xx x f ，f (x )是增函数若k ＝2，xx x f 2)1()(-='，那么x ∈(0,1)∪(1,+∞)时，f ′(x )＞0，且f (x )在x ＝1处连续，所以f (x )是增函数；（iii ）当k ＜-2或k ＞2时，△＞0，方程x 2-kx +1＝0有两不等实根2421--=k k x ，2422-+=k k x 当k ＜-2时，x 1＜x 2＜0，当x ＞0时，x 2-kx +1＞0恒成立，即f ′(x )＞0，f (x )是增函数当k ＞2时，x 2＞x 1＞0，此时f (x )的单调性如下表：x （0，x1 ）x1 （x1，x ）x2 （x2，+∞）f′（x ）+-0 +f （x ） 增减增综上：当k ≤2时，f (x )在（0，+∞）是增函数当k ＞2时，f (x )在)24,0(2--k k ，)24(2∞+--，k k 是增函数，在)2424(22-+--k k k k ，是减函数（2）由（1）知当k ＞2时，f （x ）有极值∵124224221<<-+=--=kk k k k x∴1ln x ＜0，且)()(1x f x f =极大值02)4(11<-=x x ∵f (x )在（0，x 1 ）是增函数，在（x 1，x 2）是减函数，∴当x ∈（0，x 2]时，f (x )≤f （x 1）＜0，即f (x )在（0，x 2]无零点，当x ∈（x 2，+∞）时，f (x )是增函数，故f (x )在（x 2，+∞）至多有一个零点， 另一方面，∵f (2k )=ln (2k)＞0，f （x 2）＜0，则f （x 2）f (2k )＜0， 由零点定理：f (x )在（x 2，2k ）至少有一个零点， ∴f (x )在（x 2，+∞）有且只有一个零点综上所述，当f (x )存在极值时，f (x )有且只有一个零点．2、【解】：（1）由(1)0g -=知，()g x 的图象直线过点(1,0)-， 设切点坐标为00(,)T x y ，由'()x f x e =得切线方程是000()x x y ee x x -=-此直线过点(1,0)-，故0000(1)x x e e x -=--，解得00x =， 所以'(0)1a f ==（2）由题意得2,(0,)x m e x x <-∈+∞恒成立，令2(),(0,)x m x e x x =-∈+∞，则'()2x m x e x =-，再令()'()2x n x m x e x ==-，则'()2x n x e =-， 故当(0,ln 2)x ∈时，'()0n x <，()n x 单调递减； 当(ln 2,)x ∈+∞时，'()0n x >，()n x 单调递增， 从而()n x 在(0,)+∞上有最小值(ln 2)22ln 20n =->， 所以()m x 在(0,)+∞上单调递增， 所以(0)m m ≤，即1m ≤ 注：漏掉等号的扣2分（3）若0a <，()()()x F x f x g x e ax b =-=--在(0,)+∞上单调递增， 故()()()F x f x g x =-在(0,)+∞上总有零点的必要条件是(0)0F <，即1b >， 以下证明当1b >时，()()()F x f x g x =-在(0,)+∞上总有零点。
江苏高一数学基本初等函数中的零点问题分析含答案一、题型特征与解答方法函数的零点，即是能让函数f (x )＝0成立时的x 的值，注意零点不是坐标点。
学习中要注意记住下面这个关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． 零点存在性定理对于零点问题来说，运用非常灵活，是绝对要记住、理解并会运用的。
二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系对于非二次函数形式的函数零点，一般会涉及分离参数、换元等等，需要根据图像单调性分析，区间内零点存在与否遵循零点存在性定理。
下面这道解答题，是一道老题，但近年以来一直是热点备考题型，2018年1月徐州高一期末、2018年10月无锡月考均出现在考卷上，变形题也非常多，这道题目不仅仅是考察根的问题，主要还用到换元、分类讨论等等方法，综合性很强，值得学习研究。
★已知函数)1,0(12)(2<≠++-=b a b ax ax x g ，在闭区间[]3,2上有最大值4，最小值1，设xx g x f )()(=。
（1）求b a ,的值；（2）不等式02)2(≥∙-x x k f 在[]1,1-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围。
（3）方程03122)12(=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x xk f 有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围。
解：（1）a b x a x g -++-=1)1()(2，因为0>a ，所以)(x g 在区间]3,2[上是增函数，故⎩⎨⎧==4)3(1)2(g g ，解得⎩⎨⎧==01b a ．（2）由已知可得21)(-+=x x x f ，所以02)2(≥⋅-x x k f 可化为x x x k 22212⋅≥-+， 化为k x x ≥⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+2122112，令x t 21=，则122+-≤t t k ，因]1,1[-∈x ，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21t ，记=)(t h 122+-t t ，因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21t ，故1)(max =t h ， 所以k 的取值范围是]1,(-∞．（3）原方程可化为0)12(|12|)23(|12|2=++-⋅+--k k x x ，令t x =-|12|，则),0(∞+∈t ，0)12()23(2=+++-k t k t 有两个不同的实数解1t ，2t ，其中101<<t ，12>t ，或101<<t ，12=t ． 记)12()23()(2+++-=k t k t t h ，则⎩⎨⎧<-=>+0)1(012k h k ①或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<=-=>+122300)1(012k k h k ② 解不等组①，得0>k ，而不等式组②无实数解．所以实数k 的取值范围是),0(∞+．二、例题精炼题型一 二次函数零点问题此类问题主要是考察零点存在性定理的理解和直接运用，或者利用数形结合判断根的个数，或者利用图形判断根的大小，涉及参数问题一般是根据根的分布条件计算参数或根据参数范围讨论根的个数。
例1. (2017-2018徐州高一上期中12)若关于x 的方程3tx 2+（3﹣7t ）x+2=0的两实根α，β满足0＜α＜1＜β＜2，则实数t 的取值范围是 ．变式训练1.(2017-2018南通盐城六校联考高一上期中11)函数()()221f x x m x =+-+的两个零点分别在区间()()0,11,2和之内，则实数m 的取值范围为 ．变式训练2.已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，实数a 的取值范围是________．变式训练3.函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________．例2. (2017-2018南通盐城六校联考高一上期中12)已知函数()244,1,43,1,x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩,()ln ,g x x =那么函数()()y f x g x =-的零点个数为 ．变式训练4．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 解析 求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2.变式训练5．（2017-2018无锡一中高一上期中13）已知函数22()1f x x x kx=-++在区间(0，2)上有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ．变式训练6．（2018无锡锡东高中上学期期中14）已知函数22()1f x x mx x =+--(R m ∈)，若()f x 在区间(﹣3，0)上有且只有1个零点，则实数m的取值范围是 ．例3.（盐城2017-2018高一上期中14）设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=,2,23,2,2)(22x a ax x x a x f x若函数()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围为 .变式训练7．（2017-2018南京高一上期末14）若m ＞0，且关于x 的方程 (mx －1)2－m ＝x在区间 [0，1] 上有且只有一个实数解，则实数m 的取值范围是 ．变式训练8．(宿迁2017-2018高一上期末14)．已知函数2()1f x x ax =-++，()2x h x =，若 不等式()()f x h x >恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是 ． .例4.（镇江2017-2018学年高一上期末14）已知m R ∈，函数()()2|21|1log 11x x f x x x + , ≤ ⎧⎪=⎨- , > ⎪⎩，若函数()y f x m =-有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是 .变式训练9.（2017-2018扬州高一上期中14）已知m R ∈,函数2|21|,1()log (1),1x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，2()221g x x x m =-+-，若函数[()]y f g x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是 .题型二 综合性考察零点问题零点的综合问题一般出现在解答题中，在函数形式上比较灵活，且往往涉及换元、分类讨论、数形结合等等方法，但最终一般都是利用二次函数根的分布来讨论，再利用符合函数性质得到最终结果，难度一般较大。
例1. （扬州2017-2018高一上期末19）已知关于x 的函数2()2(1)g x mx m x n =--+为R 上的偶函数，且在区间[]1,3-上的最大值为10. 设xx g x f )()(=． ⑴ 求函数)(x f 的解析式；⑵ 若不等式(2)22x x f k -⋅≤在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数k 的取值范围； ⑶ 是否存在实数t ，使得关于x 的方程2(21)32021x xtf t -+--=-有四个不相等的实数根？如果存在，求出实数t 的范围，如果不存在，说明理由.变式训练1.已知关于x 的函数)0(2)(2>+-=m n mx mx x g 在区间[]3,0上的最大值为4，最小值为0. 设xx g x f )()(=． ⑴ 求函数()f x 的解析式；⑵ 若不等式02)2(≥⋅-xxk f 在[]2,1-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围；⑶ 若关于x 的方程03122)12(=--+-t tf xx 有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．变式训练2.已知函数()21k f x x x+=+，其中R k ∈．（1）当0k ≥时，证明()f x 在)+∞上单调递增；（2）若对任意[]1,7k ∈，不等式()f x m ≥在[]2,3x ∈上恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若关于x 的方程()21320xf k ---=有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．例2. (宿迁2017-2018高一上期末19)．已知函数||()x a f x x -=(0)a >，且满足1()12f =. （1）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用定义证明； （2）设函数()()f xg x x =，求()g x 在区间1[,4]2上的最大值； （3）若存在实数m ，使得关于x 的方程222()||20x a x x a mx ---+=恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围.变式训练3.（扬州2017-2018高一上期末20）已知函数()11lg +-=x xx f . (1) 求不等式0)2(lg ))((>+f x f f 的解集;(2) 函数()),1,0(2≠>-=a a a x g x 若存在[),1,0,21∈x x 使得)()(21x g x f =成立,求实数a 的取值范围;(3) 若函数(),11,111),(⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+<<-=x x x k x x f x h 或讨论函数2))((-=x h h y 的零点个数(直接写出答案，不要求写出解题过程).变式训练4.（镇江2017-2018学年高一上期末20）已知b R ∈，b 为常数，函数()21f x x bx b =-+-.(1)求关于x 的不等式()0f x ≥的解集； (2)若函数()()()1||2F x f x f x =--有两个不同的零点，求实数b 的取值范围； (3)对于给定的12,x x R ∈，且12x x <，()()12f x f x ≠，证明：关于x 的方程()()()12123f x f x f x =+⎡⎤⎣⎦在区间()12,x x 内有且仅有一个实根.变式训练5. （2017-2018苏州高一上期中20）已知函数f （x ）=x 2﹣4，g （x ）=k•|x ﹣a|． （1）当a=2时，求函数y=f （x ）+g （x ）在区间[0，4]上的最大值；（2）当a=2时，若函数y=f （x ）﹣g （x ）有且仅有一个零点，求实数k 的取值范围．例题精炼参考答案题型一 二次函数零点问题例1. (2017-2018徐州高一上期中12)若关于x 的方程3tx 2+（3﹣7t ）x+2=0的两实根α，β满足0＜α＜1＜β＜2，则实数t 的取值范围是 ．【解答】解：令f （x ）=3tx 2+（3﹣7t ）x+2，由题意可得，求得＜t ＜4，故答案为：（，4）．变式训练1.(2017-2018南通盐城六校联考高一上期中11)函数()()221f x x m x =+-+的两个零点分别在区间()()0,11,2和之内，则实数m 的取值范围为 ． 102m -<< 变式训练2.已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，实数a 的取值范围是________．解 法一 设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)＜0，∴x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＜0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1＜0， 即a 2＋a －2＜0，∴－2＜a ＜1.法二 函数图象大致如图，则有f (1)＜0，即1＋(a 2－1)＋a －2＜0，∴－2＜a ＜1.故实数a 的取值范围是(－2,1)．变式训练3.函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________．因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，所以(－a )·(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0.所以0＜a ＜3. 例2. (2017-2018南通盐城六校联考高一上期中12)已知函数()244,1,43,1,x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩,()ln ,g x x =那么函数()()y f x g x=-的零点个数为 ．3变式训练4．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 解析 求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2. 答案 2变式训练5．（2017-2018无锡一中高一上期中13）已知函数22()1f x x x kx=-++在区间(0，2)上有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ．(72-，﹣1)变式训练6．（2018无锡锡东高中上学期期中14）已知函数22()1f x x mx x =+--(R m ∈)，若()f x 在区间(﹣3，0)上有且只有1个零点，则实数m的取值范围是 ． m ≤13或m ＝1例3.（盐城2017-2018高一上期中14）设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=,2,23,2,2)(22x a ax x x a x f x若函数()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围为 .(]()+∞,42,1变式训练7．（2017-2018南京高一上期末14）若m ＞0，且关于x 的方程 (mx －1)2－m ＝x在区间 [0，1] 上有且只有一个实数解，则实数m 的取值范围是 ．(0，1]∪[3，＋∞)变式训练8．(宿迁2017-2018高一上期末14)．已知函数2()1f x x ax =-++，()2x h x =，若不等式()()f x h x >恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是 ．6513716[,)(]24823--，. 例4.（镇江2017-2018学年高一上期末14）已知m R ∈，函数()()2|21|1log 11x x f x x x + , ≤ ⎧⎪=⎨- , >⎪⎩，若函数()y f x m =-有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是 .(]03，变式训练9.（2017-2018扬州高一上期中14）已知m R ∈,函数2|21|,1()log (1),1x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，2()221g x x x m =-+-，若函数[()]y f g x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是 . 305m <<题型二 综合性考察零点问题例1. （扬州2017-2018高一上期末19）已知关于x 的函数2()2(1)g x mx m x n =--+为R上的偶函数，且在区间[]1,3-上的最大值为10. 设xx g x f )()(=． ⑴ 求函数)(x f 的解析式；⑵ 若不等式(2)22xxf k -⋅≤在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数k 的取值范围；⑶ 是否存在实数t ，使得关于x 的方程2(21)32021x xtf t -+--=-有四个不相等的实数根？如果存在，求出实数t 的范围，如果不存在，说明理由.变式训练1.已知关于x 的函数)0(2)(2>+-=m n mx mx x g 在区间[]3,0上的最大值为 4，最小值为0. 设xx g x f )()(=． ⑴ 求函数()f x 的解析式；⑵ 若不等式02)2(≥⋅-x x k f 在[]2,1-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围； ⑶ 若关于x 的方程03122)12(=--+-t tf xx 有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．解：（1）∵)0()1(2)(22>-+-=+-=m m n x m n mx mx x g ，[]3,0∈x ，∴当1=x 时，0)1()(min =-==m n g x g ， 当3=x 时，43)3()(max =+==n m g x g ， 解得：1==n m ，即)0(21)()(≠-+==x xx x x g x f （2）不等式02)2(≥⋅-x x k f 在[]2,1-∈x 上恒成立，即022212≥⋅--+x x xk 在[]2,1-∈x 上恒成立，上式可化为1)21(2)21(2+-≤xx k 在[]2,1-∈x 上恒成立， 令x s 21=，∵[]2,1-∈x ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,41s ， 则22)1(12-=+-≤s s s k 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,41s 上恒成立，又∵当1=s 时，0)12(min 2=+-s s∴0≤k ，即所求实数k 的取值范围为(]0,∞- （3）方程03122)12(=--+-t t f x x ，即03122212112=--+--+-t t xx x， 可化为：)012(0)12(12)23(122≠-=++-+--xxxt t ，令12-=xr ，则),0(,0)12()23(2+∞∈=+++-r t r t r ，若关于x 的方程03122)12(=--+-t tf xx 有三个不相等的实数根， 则关于r 的方程0)12()23(2=+++-t r t r 必须有两个不相等的实数根1r 和2r ， 并且1,1021><<r r 或1,1021=<<r r ，记=)(r h ),0(,0)12()23(2+∞∈=+++-r t r t r ，则⎩⎨⎧<-=>+=0)1(012)0(t h t h ①，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<=-=>+=122300)1(012)0(t t h t h ②解①得：0>t ，解②得：无解，综上可知所求实数t 的取值范围为()+∞,0 变式训练2.已知函数()21k f x x x+=+，其中R k ∈． （1）当0k ≥时，证明()f x在)+∞上单调递增；（2）若对任意[]1,7k ∈，不等式()f x m ≥在[]2,3x ∈上恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若关于x 的方程()21320xf k ---=有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．例2. (宿迁2017-2018高一上期末19)．已知函数||()x a f x x -=(0)a >，且满足1()12f =. （1）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用定义证明； （2）设函数()()f xg x x =，求()g x 在区间1[,4]2上的最大值； （3）若存在实数m ，使得关于x 的方程222()||20x a x x a mx ---+=恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围.(1) 由1||12()=1122a f -=，得1a =或0. 因为0a >，所以1a =，所以|1|()x f x x-=. …………………2分当1x >时，11()=1x f x x x-=-，任取12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <， 则12122112121211(1)(1)()()=x x x x x x f x f x x x x x ------=-12212212(1)(1)=x x x x x x ---1212=x x x x -，………3分因为12x x <<1，则1212<0,0x x x x ->，12()()0f x f x -<，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数； …………………4分（2）2221,1()|1|()==11,12x x f x x x g x x x x x x -⎧⎪-⎪=⎨-⎪<⎪⎩≤≤4≤， …………………6分 当1x ≤≤4时，222111111()=()24x g x x x x x -==---+， 因为1114x ≤≤，所以当11=2x 时，max 1()=4g x ； …………………8分当112x <≤时，222111111()=()24x g x x x x x -==---， 因为112x <≤时，所以11x <≤2，所以当1=2x时，max ()=2g x ；综上，当1=2x 即1=2x 时，max ()=2g x . …………………10分（3）由（1）可知，()f x 在(1,)+∞上为增函数,当(1,)x ∈+∞时，1()=1(0,1)f x x-∈.同理可得()f x 在(0,1)上为减函数，当(0,1)x ∈时，1()=1(0,)f x x-∈+∞.方程222(1)|1|20x x x mx ---+=可化为22|1||1|220x x m x x---+=， 即22()()20f x f x m -+=. …………………12分 设()t f x =,方程可化为2220t t m -+=. 要使原方程有4个不同的正根，则方程2220t t m -+=在(0,1)有两个不等的根12,t t ， …………14分则有211602021120m m m ⎧->⎪>⎨⎪⨯-+>⎩，解得1016m <<，所以实数m 的取值范围为1(0,)16. ………………16分变式训练3.（扬州2017-2018高一上期末20）已知函数()11lg +-=x xx f . (4) 求不等式0)2(lg ))((>+f x f f 的解集;(5) 函数()),1,0(2≠>-=a a a x g x 若存在[),1,0,21∈x x 使得)()(21x g x f =成立,求实数a 的取值范围;(6) 若函数(),11,111),(⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+<<-=x x x k x x f x h 或讨论函数2))((-=x h h y 的零点个数(直接写出答案，不要求写出解题过程).变式训练4.（镇江2017-2018学年高一上期末20）已知b R ∈，b 为常数，函数()21f x x bx b =-+-.(1)求关于x 的不等式()0f x ≥的解集； (2)若函数()()()1||2F x f x f x =--有两个不同的零点，求实数b 的取值范围； (3)对于给定的12,x x R ∈，且12x x <，()()12f x f x ≠，证明：关于x 的方程()()()12123f x f x f x =+⎡⎤⎣⎦在区间()12,x x 内有且仅有一个实根.(1) 提示：因式分解对b 讨论，当2b =时，x R ∈；当2b >时，(][),11,x b ∈-∞⋃-+∞；当2b <时，(][),11,x b ∈-∞-⋃+∞.(2) 提示：()0f x ≥不满足题意，即()()()20y f x f x =≤ 与12y =- 有两个零点， 所以()(),13,b ∈-∞⋃+∞. (3) 提示：“关于x 的方程()()()12123f x f x f x =+⎡⎤⎣⎦在区间()12,x x 内有且仅有一个 变式训练5. （2017-2018苏州高一上期中20）已知函数f （x ）=x 2﹣4，g （x ）=k•|x ﹣a|．（1）当a=2时，求函数y=f （x ）+g （x ）在区间[0，4]上的最大值；（2）当a=2时，若函数y=f （x ）﹣g （x ）有且仅有一个零点，求实数k 的取值范围．【解答】解：（1）当x ∈[0，4]时y=f （x ）+g （x ）=，因为y=f （x ）+g （x ）在区间[0，4]上图象由两段抛物线段组成，且这两个抛物线开口均向上，所以其最大值只可能是f （0）、f （2）、f （4）其中之一． 又f （0）=2k ﹣4，f （2）=0，f （4）=12+2k ，显然f （4）＞f （0）． 所以当k≥﹣6时，所求最大值为f （4）=12﹣2k ； 当k ＜﹣6时，所求最大值为f （2）=0．（2）由题意得，y=f （x ）﹣g （x ）=x 2﹣4﹣k|x ﹣2|，方程x 2﹣4﹣k|x ﹣2|=0有且仅有一个解，显然，x=2已是该方程的解，当x≥2时，方程变为（x ﹣2）（ x+2﹣k ）=0；当x ＜2时，方程变为（x ﹣2）（ x+2+k ）=0． 从而关于x 的方程x+2﹣k=0（x≥2）有且仅有一个等于2的解或无解，且x+2+k=0（x ＜2）无解．又x=2时，k=4，此时x=﹣6也是方程的解，不合题意．所以关于x 的方程x+2﹣k=0（x≥2）无解，且x+2+k=0（x ＜2）无解． 所以，k ＜4且k≤﹣4．综上，k≤﹣4，即实数k 的取值范围为（﹣∞，﹣4]．三、综合训练1．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为________．【解答】当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．答案 0或－142．已知方程|x 2－a |－x ＋2＝0(a ＞0)有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是________． 【解答】依题意，知方程|x 2－a |＝x －2有两个不等的实数根，即函数y ＝|x 2－a |的图象与函数y ＝x －2的图象有两个不同交点．如图，则a ＞2，即a ＞4.答案 (4，＋∞)3．已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【解答】作出函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，x ∈[0,3)的图象，可见f (0)＝12，当x ＝1时，f (1)＝12，f (3)＝72，方程f (x )－a ＝0在x ∈[－3,4]上有10个零点，即函数y ＝f (x )和图象与直线y ＝a 在[－3,4]上有10个交点，由于函数f (x )的周期为3，因此直线y ＝a 与函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，x ∈[0,3)应该有4个交点，则有a ∈⎝⎛⎭⎫0，12. 答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 4．设函数f (x )＝x 3－2e x 2＋mx －ln x ，记g (x )＝f (x )x ，若函数g (x )至少存在一个零点， 则实数m 的取值范围是________．【解答】由条件得：g (x )＝x 2－2e x ＋m －ln xx，其函数的定义域为(0，＋∞)，从而g (x )的零点即为函数h 1(x )＝x 2－2e x ＋m ＝(x －e)2＋m －e 2与函数h 2(x )＝ln xx的交点，而由h 2′(x )＝1－ln xx 2知当x ∈(0，e)时，h 2(x )单调递增，当x ∈(e ，＋∞)时，h 2(x )单调递减， 又当x ∈(0，e)时，h 1(x )单调递减，当x ∈(e ，＋∞)时，h 1(x )单调递增，所以欲使g (x ) 有零点，必须满足h 1(x )min ≤h 2(x )max ，即m －e 2≤1e ，所以m ∈⎝⎛⎦⎤－∞，e 2＋1e . 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，e 2＋1e5.（江苏省江阴市四校联考2017—2018 高一（上）期中）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤=)(,42)(,)(2m x m m x x m x x x f ,其中m>0，若存在实数b,使得关于x 的方程b x f =)(有三个不同的根,则m 的取值范围是______________． 【解答】()+∞,36.（江苏省江阴市四校联考2016—2017 高一（上）期中）10．已知函数f （x ）=log 3x+x ﹣5的零点x 0∈[a ，b]，且b ﹣a=1，a ，b ∈N *，则a+b= ．【解答】77.（江苏省江阴市四校联考2016—2017 高一（上）期中）13．若关于x 的方程log |x+a|=|2x﹣1|有两个不同的负数解，则实数a 的取值范围是 ． 【解答】a ＞18.(宿迁2017-2018高一上期末12)．已知函数()2|log |,02,3,2,x x f x x x <⎧=⎨-+>⎩≤ 若函数()()()g x f x m m =-∈R 有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则()1231mxx x +-的取值范围是 ． 【解答】(2,0)-9.(江苏省天一中学2018－2019学年第一学期高一数学期中考试试题（强化班）13)不等式230x ax -+<存在正整数解，则a 的取值范围为 ．【解答】10.(江苏省天一中学2018－2019学年第一学期高一数学期中考试试题（强化班）14)设0()|1|f x x =-，100()(())f x f f x =，201()(())f x f f x =，……，一般地，01()(())n n f x f f x -=，其中*n N ∈，则使方程11((2))2x n f f =有2018个根的n 的值为 ． 【解答】201411.（江苏省南通市沛县、如皋市2017-2018 高一（上）期中）若函数22()log (||1)||48a f x x a x a a ππ=+--++在实数R 上有三个不同的零点，a 为常数，则实数a =__________．【解答】12.对于实数a 和b ，定义运算“*”：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=*ba ab b b a ab a b a ,,22， 设)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程为f （x ）=m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根123x x x 、、，则123x x x ++的取值范围是____________．【解答】13.（泰州中学2016-2017学年高一（上）期末数学试卷13）若方程||x|﹣a 2|﹣a=0有四个不 同的实根，则实数a 的取值范围为 ．【解答】解：方程||x|﹣a 2|﹣a=0，可得方程||x|﹣a 2|=a ，∴a ＞0，∴|x|=a 2±a ， ∵方程||x|﹣a 2|﹣a=0有四个不同的实根，∴a 2+a ＞0且a 2﹣a ＞0，∴a ＞1， 故答案为（1，+∞）．14．已知()f x 是定义在R 上且周期为6的奇函数，当(0,3)x ∈时，2()lg(2)f x x x m =-+. 若函数()f x 在区间[3,3]-上有且仅有5个零点（互不相同），则实数m 的取值范围是 ．【解答】19(,1]{}8815.已知函数()11x x f x +--=，函数()221g x ax x =-+．若方程)()(x g x f =恰好有2个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为 . 【解答】()()9,00,4-∞16.（江苏省南通市沛县、如皋市2017-2018 高一（上）期中）已知函数()(1)||().f x x x a a R =+-∈（1）当1a =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）当2a =时，若对任意互不相等的实数12,(,4)x x m m ∈+，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，求实数m 的取值范围；（3）判断函数1()()2(0)2g x f x x a a =---<<在R 上的零点的个数，并说明理由． 【解答】（1）当时，不等式为，∴或，解得，∴原不等式的解集为.（2)的单调增区间为和又在上单调增，，解得或∴实数m的取值范围为.（3）由题意得①当时，对称轴为，因为，∴，∵，即∴，又由零点存在性定理可知，函数在区间和区间各有一个零点；②当时，对称轴为，函数在区间上单调递增且，所以函数在区间有一个零点。
