湖南省益阳市、湘潭市2018届高三数学9月调研考试试题理

2018年湖南省湘潭市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z =(−1+3i)(1−i)在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2. 若X ∼B(5, 15)，则（ ） A.E(X)=1且D(X)=45 B.E(X)=15且D(X)=1 C.E(X)=1且D(X)=15 D.E(X)=45且D(X)=13. 设集合A ={x|x 2−6x −7<0}，B ={x|x ≥a}，现有下面四个命题： p 1:∃a ∈R ，A ∩B =⌀；p 2：若a =0，则A ∪B =(−7, +∞)； p 3：若∁R B =(−∞, 2)，则a ∈A ； p 4：若a ≤−1，则A ⊆ A.p 1，p 4 B.p 1，p 3，p 4 C.p 2，p 3 D.p 1，p 2，p 44. 若双曲线y 2a2−x 29=1(a >0)的一条渐近线与直线y =13x 垂直，则此双曲线的实轴长为（ ） A.2 B.4C.18D.365. 若sin(2α−β)=16，sin(2α+β)=12，则sinαcosαcosβ=( ) A.23B.13C.16D.1126. 执行如图所示的程序框图，则输出的x =( )A.6B.7C.8D.97. 函数f(x)=x44x−4−x的大致图象为（）A.B.C.D.8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.56B.1763C.883D.889. 已知F是椭圆C：x29+y25=1的左焦点，P是C上一点，A（1，43），则|PA|+|PF|的最小值为( )A. 103B. 113C.4D. 13310. 已知函数f(x)=2sin(π3x+π6)+2，对任意的a∈[1, 2)，方程f(x)−a=2(0≤x<m)有两个不同的实数根，则m的取值范围为（）A.(2, 6]B.[2, 6]C.(2, 7]D.[2, 7]11. 在△ABC 中，AB ＝3AC ＝6，tanA =−√3，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且DE ＝3，记△ADE ，四边形BCED 的面积分别为S 1，S 2，则S 1S 2的最大值为（ ）A.14 B.38C.13D.51212. 若函数f(x)＝a(x −2)e x +lnx +1x 在(0, 2)上存在两个极值点，则a 的取值范围为（ ） A.(−∞, −14e 2) B.(−1e , 14e 2)∪(1, +∞) C.(−∞, −1e )D.(−∞, −1e )∪(−−1e , −14e 2)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）(a −b2)8的展开式中a 5b 3的系数为________．在菱形ABCD 中，∠BAD =60∘，AB =2，E 为CD 的中点，则BA →∗AE →=________．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体（记为ABCD −A 1B 1C 1D 1）的粮仓，宽3丈（即AD =3丈），长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛粟的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，则下列判断正确的是________．（填写所有正确结论的编号） ①该粮仓的高是2丈；②异面直线AD 与BC 1所成角的正弦值为3√1313； ③长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的外接球的表面积为1334π平方丈．设x ，y 满足约束条件{2x +y −3≤02x −2y −1≤0x −a ≥0 ，若x−yx+y 的最大值为2，则z =x −y 的最小值为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知正项数列{an3n}是公差为2的等差数列，且a 1，9，a 2成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，将用电量的数据绘制成频率分布直方图如图1所示．（1）求频率分布直方图中x的值并估计这50户用户的平均用电量；（2）若将用电量在区间[50, 150)内的用户记为A类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间[250, 350)内的用户记为B类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，并将打分数据绘制成茎叶图如图2所示：①从B类用户中任意抽取3户，求恰好有2户打分超过85分的概率；②若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”？附表及公式：K2=n(ad−bc)2，n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=AA1=2，D为棱CC1的中点，G为棱AA1上一点，AB1∩A1B=O．(1)确定点G 的位置，使得平面C 1OG // 平面ABD ，并说明理由；(2)设二面角D −AB −C 的正切值为√22，AC ⊥BC ，E 为线段A 1B 上一点，且CE 与平面ABD 所成角的正弦值为2√23，求线段BE 的长．已知点A(−12, y 0)是抛物线C:x 2＝2py(p >12)上一点，且A 到C 的焦点的距离为58． （1）若直线y ＝kx +2与C 交于B 1，B 2两点，O 为坐标原点，求∠B 1OB 2；（2）若P 是C 上一动点，且P 不在直线l:y ＝2x +9y 0上，过P 作直线l 1垂直于x 轴且交l 于点M ，过P 作l 的垂线，垂足为N ，试判断|AN|2|AM|与|AM|2|AN|中是否有一个定值？若是，请指出哪一个为定值，并加以证明；若不是，请说明理由．已知函数f(x)=x 3−6x 2+ax +b(a,b ∈R)的图象在与x 轴的交点处的切线方程为y =9x −18．(1)求f(x)的解析式；(2)若110kx(x −2)2<f(x)<9x +k 对x ∈(2, 5)恒成立，求k 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2t 2−1y =2t −1 （t 为参数）．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρ(2sinθ−cosθ)=m ．（1）求曲线C 的普通方程；（2）若l 与曲线C 相切，且l 与坐标轴交于A ，B 两点，求以AB 为直径的圆的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|3x −1|−|2x +1|+a ． （1）求不等式f(x)>a 的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数n ，使得f(n)<0，求a 的取值范围．参考答案与试题解析2018年湖南省湘潭市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算求出z在复平面内对应的点的坐标得答案．【解答】∵z=(−1+3i)(1−i)=2+4i，∴复数z=(−1+3i)(1−i)在复平面内对应的点的坐标为(2, 4)，位于第一象限．2.【答案】A【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】根据二项分布的性质计算．【解答】∵X∼B(5, 15)，∴E(X)=5×15=1，D(X)=5×15×(1−15)=45．3.【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据题意化简集合A，再判断命题p1、p2、p3和p4是否正确．【解答】集合A={x|x2−6x−7<0}={x|−1<x<7}，B={x|x≥a}；对于命题p1:a≥7时，A∩B=⌀，∴p1正确；对于命题p2:a=0时，B={x|x≥0}，∴A∪B={x|x>−1}=(−1, +∞)，∴p2错误；对于命题p3：若∁R B=(−∞, 2)，则a=2，且a∈A，p3正确；对于命题p4：若a≤−1，把集合A、B用数轴表示出来，如图所示，∴A⊆B，p4正确．综上，所有的真命题为p1、p3、p4．4.【答案】 C【考点】 双曲线的特性 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意知双曲线的一条渐近线的方程为y =−a3x ， 则有−a3×13=−1，得2a =18． 故选C ． 5.【答案】 C【考点】两角和与差的三角函数 【解析】利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简求解即可． 【解答】sin(2α−β)=16，可得sin2αcosβ−cos2αsinβ=16sin(2α+β)=12，可得sin2αcosβ+cos2αsinβ=12， 则2sin2αcosβ=16+12=23， 可得：sinαcosαcosβ=16． 6.【答案】 B【考点】 程序框图 【解析】直接利用程序框图中的应用求出结果． 【解答】当x =1时，t =2−2=0，当x =2时，t =2⋅22−22=4， 当x =3时，t =2⋅32−23=10， …当x =6时，t =2⋅62−26=8，当x =7时，t =2⋅72−27=−30<0， 故输出：x =7． 7.【答案】 A函数与方程的综合运用函数的图象与图象的变换【解析】判断函数的奇偶性排除选项，特殊值对于点的位置排除选项即可．【解答】函数f(x)=x44x−4−x是奇函数，排除选项BD，当x=2时，f(2)=1616−116>1，对应点在y=1的上方，排除C．8.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】利用三视图画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积．【解答】由题意可知几何体的直观图如图：是正方体挖去一个四棱锥剩余部分，所以几何体的体积为：43−13×2×2×4=1763．9.【答案】D【考点】椭圆的定义【解析】本题考查椭圆的定义及几何性质. 【解答】解：因为19+1695<1，所以点A(1,43)在椭圆C的内部，设椭圆x29+y25=1的右焦点为F′，易知F′(2,0).由A(1,43)，得|AF′|=53，根据椭圆的定义可得|PF|+|PF′|=2a=6，所以|PA|+|PF|=|PA|+6−|PF′|，因为|PA|−|PF′|≥−|AF′|，所以|PA|+|PF|≥6−|AF′|=6−53=133，所以|PA|+|PF|的最小值为133.10.【答案】A【考点】三角函数的最值【解析】直接利用三角函数的图象及三角函数的性质求出结果．【解答】方程f(x)−a=2(0≤x<m)等价于f(x)=a+2(0≤x<m)，所以：对任意的a∈[1, 2)，方程f(x)−a=2(0≤x<m)有两个不同的实数根，等价于：函数f(x)=2sin(π3x+π6)+2，(0≤x<m)的图象与直线y=a+2有两个交点，由于：a∈[1, 2)，所以：a+2∈[3, 4)，令f(x)=3，即2sin(πx3+π6)+2=3，所以：πx3+π6=2kπ+π6或πx3+π6=2kπ+5π6(k∈Z)，解得：x=6k或x=2+6k(k∈Z)，所以：2<m≤6，故m的取值范围是：(2, 6]．11.【答案】C【考点】解三角形【解析】可设AD＝x，AE＝y，利用余弦定理与基本不等式求解．【解答】由题意可知A＝120∘，S△ABC=12×2×6×sin120=3√3．设AD＝x(0<x≤6)，AE＝y(0<y≤2)，由余弦定理得DE2＝x2+y2−2xycos120∘，即9＝x2+y2+xy，从而9≥2xy+xy＝3xy，即xy≤3．当且仅当x＝y=√3时等号成立．∴S1=12xysinA=√34xy≤3√34，∴S1S2的最大值为3√343√3−3√34=13．12.【答案】D【考点】利用导数研究函数的极值【解析】函数f(x)在(0, 2)上存在两个极值点，等价于f′(x)在(0, 2)上有两个零点，令f′(x)＝0，求出x ＝1和ae x +1x 2=0，且x ≠1，x ∈(0, 2)； 求出a =−1e x ⋅x 2，x ∈(0, 1)∪(1, 2)；设t(x)＝e x ⋅x 2，x ∈(0, 1)∪(1, 2)，求出t(x)的取值范围，即得a 的取值范围． 【解答】函数f(x)＝a(x −2)e x +lnx +1x 在(0, 2)上存在两个极值点， 等价于f′(x)＝a(x −1)e x +1x −1x 2在(0, 2)上有两个零点， 令f′(x)＝0，则a(x −1)e x +x−1x 2=0，即(x −1)(ae x +1x 2)＝0， ∴ x −1＝0或ae x +1x 2=0，∴ x ＝1满足条件，且ae x +1x 2=0（其中x ≠1且x ∈(0, 2)）； ∴ a =−1e x ⋅x 2，其中x ∈(0, 1)∪(1, 2)； 设t(x)＝e x ⋅x 2，其中x ∈(0, 1)∪(1, 2)； 则t′(x)＝(x 2+2x)e x >0， ∴ 函数t(x)是单调增函数， ∴ t(x)∈(0, e)∪(e, 4e 2)， ∴ a ∈(−∞, −1e )∪(−1e , −14e 2)．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 【答案】 −7【考点】二项展开式的特定项与特定系数 二项式定理的应用 【解析】利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中a 5b 3的系数． 【解答】(a −b2)8展开式的通项公式为：T r+1=C 8r⋅a 8−r ⋅(−b2)r ，令r =3，求得展开式中a 5b 3的系数为：C 83⋅(−12)3=56×(−18)=−7．【答案】 −4【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】直接利用向量的坐标运算和向量的数量积运算求出结果． 【解答】利用菱形的特点，建立平面直角坐标系．则：菱形ABCD 中，∠BAD =60∘，AB =2，E 为CD 的中点， 如图所示，所以：A(−√3,0)，B(0, −1)，C(√3,0)，D(0, 1)，E(√32,12)，所以：BA →=(−√3,1)，AE →=(3√32,12)， 故：BA →∗AE →=−92+12=−4． 【答案】 ①③ 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】①，根据长方体的体积公式求出它的高AA 1； ②，根据异面直线所成的角的定义求出即可；③，求出长方体的对角线是外接球的直径，再求外接球的表面积． 【解答】长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AD =3，AB =4.5，V =10000×2.7×10−3=27， 粮仓的高AA 1=V AD∗AB =273×4.5=2（丈），①正确； 如图①所示，AD // BC ，∴ ∠CBC 1是异面直线AD 与BC 1所成的角， ∴ sin∠CBC 1=CC 1BC1=22=2√1313，②错误； 长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的外接球的直径为 (2R)2=(AC 1)2=22+32+4.52=33.25=1334，∴ 外接球的表面积为4πR 2=1334π（平方丈），③正确．综上，正确的命题是①③．【答案】34【考点】 简单线性规划 【解析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，然后分别利用目标函数的几何意义求解． 【解答】由x ，y 满足约束条件{2x +y −3≤02x −2y −1≤0x −a ≥0作出可行域如图，x−yx+y 的最大值为2，即x +3y ≤0恒成立，x >0时，可得y x ≤−13．由可行域可知不正确； 当x <0时，y x ≥−13由可行域可知OA 的斜率是最小值−13，联立{x +3y =02x +2y −1=0，解得A(34, −14)；可得a =34， 联立{x =342x +y −3=0，解得B(34, 32)； 化z =x −y 为y =x −z ，由图可知，当直线y =x −z 过B 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为：34−32=34；三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【答案】因为数列{a n 3n }是公差为2的等差数列，所以a232−a 13=2，则a 2=3a 1+18，又a 1，9，a 2成等比数列，所以a 1a 2=a 1(3a 1+18)=81， 解得a 1=3或a 1=−9，因为数列{a n3}为正项数列，所以a 1=3．所以an3n =1+2(n −1)=2n −1，故an =(2n −1)3n ．由（1）得S n =1×3+3×32+...+(2n −1)3n ， 所以3S n =1×32+3×32+...+(2n −1)3n+1， 所以−2S n =3+2(32+33+...+3n )−(2n −1)3n+1，=3+2×9−3n−11−3−(2n −1)3n+1=3n+1−6+(1−2n)3n+1， 故S n =(n −1)3n+1+3． 【考点】等差数列与等比数列的综合 【解析】（1）利用已知条件求出数列的首项，然后求解数列的通项公式． （2）利用错位相减法求解数列的和即可． 【解答】因为数列{a n 3n }是公差为2的等差数列，所以a232−a 13=2，则a 2=3a 1+18，又a 1，9，a 2成等比数列，所以a 1a 2=a 1(3a 1+18)=81，解得a 1=3或a 1=−9，因为数列{an3n }为正项数列，所以a 1=3． 所以an3n =1+2(n −1)=2n −1，故an =(2n −1)3n ．由（1）得S n =1×3+3×32+...+(2n −1)3n ，所以3S n=1×32+3×32+...+(2n−1)3n+1，所以−2S n=3+2(32+33+...+3n)−(2n−1)3n+1，=3+2×9−3n−11−3−(2n−1)3n+1=3n+1−6+(1−2n)3n+1，故S n=(n−1)3n+1+3．【答案】由频率分布直方图知，x=150−(0.006+0.0036+0.0024×2+0.0012)=0.0044，按用电量从低到高的六组用户数分别为6，9，15，11，6，3，所以估计平均用电量为6×75+9×125+15×175+11×225+6×275+3×32550=186度．①B类用户共9人，打分超过85分的有6人，所以从B类用户中任意抽取3户，恰好有2户打分超过85分的概率为P=C62C31C93=1528；②根据题意填写列联表如下；计算K2的观测值为k=24×(6×9−6×3)212×12×9×15=1.6<3.841，所以没有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”．【考点】独立性检验【解析】（1）由频率和为1求得x的值，计算平均值；（2）①根据古典概型的概率公式计算所求的概率值；②根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．【解答】由频率分布直方图知，x=150−(0.006+0.0036+0.0024×2+0.0012)=0.0044，按用电量从低到高的六组用户数分别为6，9，15，11，6，3，所以估计平均用电量为6×75+9×125+15×175+11×225+6×275+3×32550=186度．①B类用户共9人，打分超过85分的有6人，所以从B类用户中任意抽取3户，恰好有2户打分超过85分的概率为P=C62C31C93=1528；②根据题意填写列联表如下；计算K 2的观测值为k =24×(6×9−6×3)212×12×9×15=1.6<3.841，所以没有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”． 【答案】解：(1)G 为棱AA 1的中点．∵ 四边形ABB 1A 1为平行四边形， ∴ O 为A 1B 的中点，∴ OG//AB ．∵ AG //C 1D ，∴ 四边形ADC 1G 为平行四边形，则C 1G//AD ．又∵ OG ∩C 1G =G ，AB ∩AD =A ， ∴ 平面C 1OG//平面ABD ．(2)过点C 作CH ⊥AB 于点H ，连结DH ， 则∠DHC 即为二面角D −AB −C 的平面角． ∵ DC =1,tan∠DHC =√22，∴ CH =√2．又∵ AC =2,AC ⊥BC ，∴ BC =2．以C 为原点，CA,CB,CC 1所在直线分别为x,y,z 轴， 建立空间直角坐标系C −xyz ，如图所示， 则A(2,0,0),B(0,2,0),D(0,0,1)，A 1(2,0,2)， ∴ AB →=(−2,2,0),BD →=(0,−2,1)． 设平面ABD 的一个法向量为n →=(x,y,z)， 则{AB →⋅n →=0,BD →⋅n →=0,即{−2x +2y =0,−2y +z =0.令y =1，得n →=(1,1,2)．设BE →=λBA 1→(0≤λ≤1)，∵ BA 1→=(2,−2,2)， ∴ CE →=CB →+λBA 1→=(2λ,2−2λ,2λ)． ∴ CE 与平面ABD 所成角的正弦值为 |cos⟨CE →,n →⟩|=6×√12λ2−8λ+4=2√23， ∴ 36λ2−44λ+13=0，∴ λ=12或λ=1318． 又∵ BA 1=2√3，结合|BE →|=λ|BA 1→|可知BE =√3或13√39．【考点】平面与平面平行的性质 平面与平面平行的判定 二面角的平面角及求法 点、线、面间的距离计算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)G 为棱AA 1的中点．∵ 四边形ABB 1A 1为平行四边形， ∴ O 为A 1B 的中点，∴ OG//AB ．∵ AG //C 1D ，∴ 四边形ADC 1G 为平行四边形，则C 1G//AD ．又∵ OG ∩C 1G =G ，AB ∩AD =A ， ∴ 平面C 1OG//平面ABD ．(2)过点C 作CH ⊥AB 于点H ，连结DH ， 则∠DHC 即为二面角D −AB −C 的平面角． ∵ DC =1,tan∠DHC =√22，∴ CH =√2．又∵ AC =2,AC ⊥BC ，∴ BC =2．以C 为原点，CA,CB,CC 1所在直线分别为x,y,z 轴， 建立空间直角坐标系C −xyz ，如图所示， 则A(2,0,0),B(0,2,0),D(0,0,1)，A 1(2,0,2)， ∴ AB →=(−2,2,0),BD →=(0,−2,1)． 设平面ABD 的一个法向量为n →=(x,y,z)， 则{AB →⋅n →=0,BD →⋅n →=0,即{−2x +2y =0,−2y +z =0.令y =1，得n →=(1,1,2)．设BE →=λBA 1→(0≤λ≤1)，∵ BA 1→=(2,−2,2)， ∴ CE →=CB →+λBA 1→=(2λ,2−2λ,2λ)．∴ CE 与平面ABD 所成角的正弦值为 |cos⟨CE →,n →⟩|=√6×√12λ2−8λ+4=2√23， ∴ 36λ2−44λ+13=0，∴ λ=12或λ=1318． 又∵ BA 1=2√3，结合|BE →|=λ|BA 1→|可知BE =√3或13√39．【答案】由题意得{2py 0=14y 0+p 2=58 ，即18p +p 2=58， ∵ p >12，∴ p ＝1， ∴ C 的方程为x 2＝2y ．由{x 2=2yy =kx +2 ，得x 2−2kx −4＝0， 设B 1(x 1, y 1)，B 2(x 2, y 2)， 则x 1x 2＝−4，y 1y 2=(x 1x 2)24=4，∴ OB 1→⋅OB 2→=0， ∴ ∠B 1OB 2=π2； 由（1）知，y 0=18， ∴ l 的方程为y =2x +98， 设P(m, m 22)(m ≠−12且m ≠92)，则M 的横坐标为m ，|AM|=√5|m +12|，由题意可知PN:y −m 22=−12(x −m)与y =2x +98联立可得，x N =15(m 2+m −94)，∴ |AN|=√5|15(m 2+m −94)+12|=√55(m +12)2，则|AN|2|AM|=√525|(m +12)3|不是定值，|AM|2|AN|=5√5为定值．【考点】 抛物线的性质 【解析】（1）由题意得{2py 0=14y 0+p 2=58，即可求出p 的值，可得C 的方程为x 2＝2y ，联立{x 2=2y y =kx +2，得x 2−2kx −4＝0，设B 1(x 1, y 1)，B 2(x 2, y 2)，由韦达定理结合向量知识即可求出∠B 1OB 2；（2）由（1）知，y 0=18，则l 的方程为y =2x +98，设P(m, m 22)(m ≠−12且m ≠92)，则M 的横坐标为m ，求出|AM|，由题意可知PN:y −m 22=−12(x −m)与y =2x +98联立可得，x N =15(m 2+m −94)，再求出|AN|，则可得|AN|2|AM|=√525|(m +12)3|不是定值，|AM|2|AN|=5√5为定值． 【解答】由题意得{2py 0=14y 0+p 2=58 ，即18p +p 2=58， ∵ p >12，∴ p ＝1， ∴ C 的方程为x 2＝2y ．由{x 2=2yy =kx +2 ，得x 2−2kx −4＝0， 设B 1(x 1, y 1)，B 2(x 2, y 2)， 则x 1x 2＝−4，y 1y 2=(x 1x 2)24=4，∴ OB 1→⋅OB 2→=0， ∴ ∠B 1OB 2=π2； 由（1）知，y 0=18， ∴ l 的方程为y =2x +98， 设P(m, m 22)(m ≠−12且m ≠92)，则M 的横坐标为m ，|AM|=√5|m +12|，由题意可知PN:y −m 22=−12(x −m)与y =2x +98联立可得，x N =15(m 2+m −94)，∴ |AN|=√5|15(m 2+m −94)+12|=√55(m +12)2，则|AN|2|AM|=√525|(m +12)3|不是定值，|AM|2|AN|=5√5为定值． 【答案】解：(1)由9x −18=0得x =2，所以切点为(2, 0)，因为f′(x)=3x 2−12x +a ，所以f′(2)=a −12=9，所以a =21．又f(2)=8−24+2a +b =0，所以b =−26，所以f(x)=x 3−6x 2+21x −26．(2)由f(x)<9x +k 得k >f(x)−9x =x 3−6x 2+12x −26.设g(x)=x 3−6x 2+12x −26，则g′(x)=3(x 2−4x +4)=3(x −2)2>0对x ∈(2, 5)恒成立，所以g(x)在(2, 5)上单调递增，所以k ≥g(5)=9．因为f(x)=x 3−6x 2+12x −8+9(x −2)=(x −2)3+9(x −2)， 所以由110kx(x −2)2<f(x)对x ∈(2, 5)恒成立得 110k <x−2x +9x(x−2)=1+13−2x x −2x 对x ∈(2, 5)恒成立，设ℎ(x)=1+13−2xx 2−2x(2<x <5)，则ℎ′(x)=2(x 2−13x+13)x 2(x−2)2，当2<x <5时，x 2−13x +13<0，所以ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)在(2, 5)上单调递减，所以110k ≤ℎ(5)=65，即k ≤12．综上，k 的取值范围为[9, 12]． 【考点】函数恒成立问题利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由9x −18=0得x =2，所以切点为(2, 0)，因为f′(x)=3x 2−12x +a ，所以f′(2)=a −12=9，所以a =21．又f(2)=8−24+2a +b =0，所以b =−26，所以f(x)=x 3−6x 2+21x −26．(2)由f(x)<9x +k 得k >f(x)−9x =x 3−6x 2+12x −26.设g(x)=x 3−6x 2+12x −26，则g′(x)=3(x 2−4x +4)=3(x −2)2>0对x ∈(2, 5)恒成立，所以g(x)在(2, 5)上单调递增，所以k ≥g(5)=9．因为f(x)=x 3−6x 2+12x −8+9(x −2)=(x −2)3+9(x −2)， 所以由110kx(x −2)2<f(x)对x ∈(2, 5)恒成立得 110k <x−2x +9x(x−2)=1+13−2x x 2−2x 对x ∈(2, 5)恒成立，设ℎ(x)=1+13−2xx 2−2x(2<x <5)，则ℎ′(x)=2(x 2−13x+13)x (x−2)，当2<x <5时，x 2−13x +13<0，所以ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)在(2, 5)上单调递减，所以110k ≤ℎ(5)=65，即k ≤12．综上，k 的取值范围为[9, 12]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】曲线C 的参数方程为{x =2t 2−1y =2t −1 （t 为参数）．由y =2t −1，得t =y+12，x =2t 2−1=2(y+12)2−1，即(y +1)2=2(x +1)，故曲线C 的普通方程为(y +1)2=2(x +1)． 由ρ(2sinθ−cosθ)=m ，当2y −x =m ， 联立{(y +1)2=2(x +1)2y −x =m ， 得y 2−2y +2m −1=0， 因为l 与曲线C 相切，所以△=4−4(2m −1)=0， m =1，所以l 的方程为2y −x =1， 不妨假设A(0,12)，则B(−1, 0)， 线段AB 的中点为(−12,14)． 所以|AB|=√52，又OA ⊥OB ，故：以AB 为直径的圆的直角坐标方程为(x +12)2+(y −14)2=(√54)2．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． （2）利用曲线的位置关系，根据一元二次方程的解法求出结果． 【解答】曲线C 的参数方程为{x =2t 2−1y =2t −1 （t 为参数）．由y =2t −1，得t =y+12，x =2t 2−1=2(y+12)2−1，即(y +1)2=2(x +1)，故曲线C 的普通方程为(y +1)2=2(x +1)． 由ρ(2sinθ−cosθ)=m ，当2y −x =m ， 联立{(y +1)2=2(x +1)2y −x =m ， 得y 2−2y +2m −1=0， 因为l 与曲线C 相切，所以△=4−4(2m −1)=0， m =1，所以l 的方程为2y −x =1， 不妨假设A(0,12)，则B(−1, 0)， 线段AB 的中点为(−12,14)． 所以|AB|=√52，又OA ⊥OB ，故：以AB 为直径的圆的直角坐标方程为(x +12)2+(y −14)2=(√54)2．[选修4-5：不等式选讲]【答案】由f(x)>a ，得|3x −1|>|2x +1|， 平方得：9x 2−6x +1>4x 2+4x +1， 即5x 2>10x ，解得：x >2或x <0， 故不等式的解集是(−∞, 0)∪(2, +∞)； 设g(x)=|3x −1|−|2x +1|={2−x,x ≤−12−5x,−12<x <13x −2,x ≥13作出g(x)的图象，如图示： ，∵ g(0)=g(2)=0，g(3)<g(4)=2<g(−1)=3， 又恰好存在4个不同的整数n ，使得f(n)<0， 故{f(3)<0f(4)≥0 即{1+a <02+a ≥0 ， 故a 的范围是[−2, −1)．【考点】绝对值三角不等式 【解析】（1）通过平方求出不等式的解集即可；（2）求出f(x)的分段函数的形式，得到关于a 的不等式组，解出即可． 【解答】由f(x)>a ，得|3x −1|>|2x +1|， 平方得：9x 2−6x +1>4x 2+4x +1， 即5x 2>10x ，解得：x >2或x <0， 故不等式的解集是(−∞, 0)∪(2, +∞)； 设g(x)=|3x −1|−|2x +1|={2−x,x ≤−12−5x,−12<x <13x −2,x ≥13作出g(x)的图象，如图示：试卷第21页，总21页 ，∵ g(0)=g(2)=0，g(3)<g(4)=2<g(−1)=3， 又恰好存在4个不同的整数n ，使得f(n)<0， 故{f(3)<0f(4)≥0 即{1+a <02+a ≥0 ，故a 的范围是[−2, −1)．。

2018年高考(54)湖南省益阳市／湘潭市2018届高三9月调研考试湖南省益阳市、湘潭市2018届高三9月调研考试语文一、现代文阅读（35分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。

越文化是一种半农耕半海洋的文化。

越地先民是中国境内最早致力于农业生产的人之一，在新石器时代早期，上山文化、跨湖桥文化先民已开始种植水稻。

同时，越人又是中国乃至世界都罕见的海洋性族。

据分子人类学的研究成果，古越人曾沿中国东部海岸线北上，活跃于两广、福建、江浙、山东乃至东北的沿海地区，他们的后裔成为现在这些地区汉族的重要组成部分，后来海上丝绸之路的主要对外港口便分布于古越人最先开拓的海岸沿线。

此外，广泛分布于太平洋诸岛屿的马来人及波利尼西亚人，他们实际上是距今12000年左右才与中国境内的百越族分道扬镳的。

越人习水便舟，文献多有记载，越地是中国航海技术的发源地。

2002年杭州萧山跨湖桥遗址出土了一条目前所见中国最早的独木舟遗骸，距今约7000--8000年。

据吴春明先生研究，它有可能是一艘适于海上航行的边架艇独木帆舟，可与波利尼西亚人的舟船相。

在河姆渡文化、马家浜文化、良渚文化的遗址中，还发现有不少的舟船遗物，如近来在宁波余姚田螺山的河姆渡文化遗址发现了一件距今7000年的完整独木舟模型器，可以看出当时的独木舟已经脱离简陋的原始状态。

越地的航海传统延续至今，其孕育的先进航海技术影响了中国沿海乃至整个环太平洋地区，为后来的海上丝绸之路奠定了技术基础。

一般认为海上丝绸之路源起于汉代，但是，越地在汉代甚至更早便已经开展对外贸易。

秦汉会稽郡下属的郯县（在今浙江宁波），一般认为即因海外贸易而得名。

海上丝绸之路的兴盛期是在唐、宋、元。

唐开元二十六年(738)，以郯县为中心的明州，从越州独立出来，自此成为中国对外交流的重要门户。

安史之乱后唐王朝对西域失去控制，陆上丝绸之路逐步走向衰败，在一定程度上刺激了海上贸易的发展。

2017-2018学年 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{1,3,4}A =，集合{2,4,5}B =，则AB =（ ）A ．{2,4,5}B ．{1,3,4,5}C ．{1,2,4}D ．{1,2,3,4,5} 【答案】D 【解析】试题分析：由题意AB ={1,2,3,4,5}．故选D ．考点：集合的并集运算． 2. 函数2cos(2)3y x π=+的最小正周期是（ ）A ．4π B ．12π C ．π D ．2π 【答案】C 【解析】 试题分析：22πT π==．故选C ． 考点：三角函数的周期．3. 设,a b R ∈，“0a =”是“复数a bi +为纯虚数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】B考点：充分必要条件．4. 某公司2010～2015年的年利润x （单位：百万元）与年广告支出y （单位：百万元）的统计资料如下表所示：根据统计资料，则A ．利润中位数是16，x 与y 有正线性相关关系B ．利润中位数是17，x 与y 有正线性相关关系C ．利润中位数是17，x 与y 有负线性相关关系D ．利润中位数是18，x 与y 有负线性相关关系 【答案】B考点：样本的数字特征，线性相关关系．5. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则可输入的实数x 值的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】A 【解析】试题分析：由题意2x >时，2log 2x =，4x =；当2x ≤时，212x -=，x =三个．故选A ． 考点：程序框图．6.若a ，b 满足||1a =，||=2b ，且()a b a +⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】C考点：向量的夹角．7.若0.52a =，4log 3b =，2log 0.2c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 【答案】A 【解析】试题分析：∵0.54221,0log 31,log 0.20><<<．∴a b c >>．故选A ． 考点：对数函数与指数函数的性质．8.在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则该几何体相应的侧视图可以为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：该几何体是半个圆锥与三棱锥的组合体，侧视图应该是D ．故选D ． 考点：三视图．9.已知0a >，0b >.3a 与3b的等比中项，则11a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ．2 【答案】B 【解析】考点：基本不等式．【名师点睛】求二元函数的最值问题，基本方法是应用基本不等式，但要注意基本不等式的条件，本题应用“1”的代换法，把11a b +变为11()()a b a b++展开后，凑出了基本不等式的条件：定值，然后才可应用它得出结论，在应用基本不等式时一定要注意．10.函数sin()(0,0,0)y A x A ϖϕϖϕπ=+>><<在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（ ） A ．22sin(2)3y x π=+ B ．2sin(2)3y x π=+ C ．2sin()23x y π=-D ．2sin(2)3y x π=-【答案】A 【解析】 试题分析：522[()]1212πππT ω=--=，2ω=，2()122ππφ⨯-+=，23πφ=．故选A ． 考点：三角函数()sin()f x A ωx φ=+的图象和性质．11.已知双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若||5PF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．【答案】A 【解析】考点：双曲线的几何性质．【名师点睛】在抛物线22y px =中已知抛物线上的点00(,)P x y ，它到焦点的距离（称为焦半径）为02pPF x =+，这是抛物线的定义得出的结论，在解决与焦半径有关问题时要善于利用，本题利用此结论易求得双曲线民抛物线的公共点P 的坐标，从而再代入双曲线方程再结合2c =就易求得1a =． 12.设函数[],0()(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]2-=-，[1.2]1=，[1]1=.若直线(0)y kx k k =+>与函数()y f x =的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是（ ）A ．11(,]43 B ．1(0,]4 C ．11[,]43 D ．11[,)43【答案】D 【解析】试题分析：如图，作出函数()f x 的图象和直线y kx k =+，直线y kx k =+过定点(1,0)-，由题意2131k k k k +<⎧⎨+≥⎩，解得1143k ≤<．故选D ．考点：函数与方程．【名师点睛】本题考查函数与方程思想，考查方程解的个数问题，解决这类问题大多数是把它转化为函数图象交点个数问题，利用数形结合思想求解，本题中，作出函数()y f x =与直线y kx k =+，特别是直线过定点(1,0)-，由此易知它们要有三个交点，直线的位置变化规律，易得出结论．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.体积为27的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的半径为_________.【答案】2【解析】试题分析：正方体棱长为a ，则327a =，3a =，r ==． 考点：正方体与外接球．14.若过点（0,2）的直线l 与圆22(2)(2)1x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是______.【答案】[考点：直线与圆的位置关系．15.已知变量x ，y 满足约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最大值是_________..【答案】9 【解析】试题分析：作出可行域，如图ΔABC 内部（含边界），作直线:20l x y +=，平移直线l ，当它过点(1,4)A 时，2z x y =+取得最大值9．故答案为9．考点：简单的线性规划．【名师点睛】图解法是解决线性规划问题的有效方法，其关键在于平移直线ax by z +=时，看它经过哪个点（或哪些点）时最先接触可行域或最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值．如本例中平称直线2x y z +=时，向下平移z 减小，向上平移z 增大，因此易知最大值点在何处取得．16.在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，3BC BD =，AD =，135ADB ∠=°，若AC =，则BD =________.【答案】2考点：余弦定理．【名师点睛】在本题中，已知ABC ∆被分成两个三角形,ABD ACD ∆∆，它们公共边AD 长度已知，相邻的解ADB ∠已知，还知道的是两个三角形中另外两对边的比例，要解这个三角形，可用余弦定理把两个三角形联系起来，根据已知角，用余弦定理分别求出,AB AC ，再由,AB AC 的关系可求得,BD CD ，接着可求得,AB AC 及各个角．如果已知两个角，还可以用正弦定理建立关系，以便求解．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）20名同学参加某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50,60)，[60,70)中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50,70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60,70)中的概率.【答案】（Ⅰ）0.005；（Ⅱ）落在[50,60)中的学生人数为2，落在[60,70)中的学生人数,3；（Ⅲ）3 10．【解析】试题解析：（Ⅰ）据直方图知组距为10，由(23672)101a a a a a++++⨯=，解得10.005200a==.……………………3分（Ⅱ）成绩落在[50,60)中的学生人数为20.00510202⨯⨯⨯=，成绩落在[60,70)中的学生人数为30.00510203⨯⨯⨯=.……………………7分 （Ⅲ）记成绩落在[50,60)中的2人为1A ，2A ，成绩落在[60,70)中的3人为1B 、2B 、3B ，则从成绩在[50,70)的学生中选2人的基本事件共有10个：12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，12(,)B B ，13(,)B B ，23(,)B B .………………9分其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有3个：12(,)B B ，13(,)B B ，23(,)B B .……………………11分故所求概率为310P =.………………12分 考点：频率分布直方图，古典概型． 18.（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（Ⅰ）32n a n =-+；（Ⅱ）当1c =时，2(31)322n n n n nS n -+=+=，当1c ≠时，(31)121nn n n c S c--=+-.【解析】依题意由27138127232929a a a d a a a d +=+=-⎧⎨+=+=-⎩，得113a d =-⎧⎨=-⎩.………………3分所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+.………………5分 （Ⅱ）由数列{}n n a b +的首项为1，公比为c 的等比数列， 得1n n n a b c -+=，即132n n n b c --++=，考点：等差数列的通项公式，分组求和，等差数列与等比数列的前n 项和公式．【名师点睛】已知等差数列中的两项和，设出首项和公差，把已知用首项和公差表示出来并求出，然后可写出通项公式和前n 项和公式．关于1,,,,n n a a n d S 之间的运算称为基本量的运算，这是等差数列中最简单、最重要、必须熟练掌握的知识．对等比数列，求前n 项和时要对公比q 分类，分为1q =和q ≠1两类，也应该熟记，否则易出错． 19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD .（Ⅰ）证明：PA BD ⊥；（Ⅱ）设2PD AD ==，求点D 到面PBC 的距离.【答案】（Ⅰ）证明见解析；【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，一般用到线面垂直的性质定理，即先要证线面垂直，首先由已知PD ⊥底面ABCD .知PD BD ⊥，因此要证BD ⊥平面PAD ，从而只要证BD AD ⊥，这在ABD ∆中可证；（Ⅱ）要求点到平面的距离，可过点作平面的垂线，由（Ⅰ）的证明，可得AD ⊥平面PBD ，从而有BC ⊥平面PBD ，因此平面PBC ⊥平面PBD ，因此只要过D 作DE PB ⊥于E ，则DE 就是的要作的垂线，线段PE 的长就是所要求的距离．试题解析：（Ⅰ）证明：因为60DAB ∠=，2AB AD =，由余弦定理得BD =.………………1分由题设知，2PD =，则BD =4PB =， ………………10分根据DE PB PD BD =，得DE =即点D 到面PBC ………………12分 考点：线面垂直的判定与性质．点到平面的距离． 20.（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率12e =，点(0,P 在椭圆上，A 、B 分别为椭圆的左右顶点，过点B 作BD x ⊥轴交AP 的延长线于点D ，F 为椭圆的右焦点. （Ⅰ）求椭圆的方程及直线PF 被椭圆截得的弦长||PM ； （Ⅱ）求证：以BD 为直径的圆与直线PF 相切.【答案】（Ⅰ）22143x y +=，16||5PM =；（Ⅱ）证明见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）要求椭圆标准方程，要有两个独立的条件，本题中离心率12e =是一个，又一个顶点说明b =这样易求得,a b ，得椭圆方程，而求椭圆中的弦长，首先写出直线PF方程1)y x =-，代入椭圆方程得x 的一元二次方程，可解得12,x x，由弦长公式12d x =-可得弦长PM ；（Ⅱ）要则(1,0)F，P ，直线PF的方程为1)y x =-，与椭圆方程联立有221431)x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩. 消去y 得到2580x x -=，解得12085x x =⎧⎪⎨=⎪⎩.由弦长公式得1216|||5PM x x =-=；……………………8分 （Ⅱ）证明：过(2,0)A -，P 的直线AP 的直线方程为：2)2y x =+与BD 的直线方程2x =联立有D ， 所以以BD为直径的圆的圆心为，半径R = 圆心到直线PF的距离d R ===，所以以BD 为直径的圆与直线PF 相切.……………………12分 考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交弦长，直线与圆的位置关系． 21.（本小题满分12分）若函数2()ln 2x f x k x =-，0k >. （Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间上仅有一个零点.【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；()f x 在x =处取得极小值(1ln )2k k f -=；（Ⅱ）证明见解析． 【解析】2'()k x kf x x x x-=-=.……………………1分由'()0f x =解得x =()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；………………4分()f x 在x =(1ln )2k k f -=.………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2k k f -=.因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥.……………………8分考点：用导数研究函数的单调性与极值，函数的零点． 【名师点睛】1.导数法求函数单调区间的一般流程:求定义域→求导数f'(x )→求f'(x )=0在定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定f'(x )在各个开区间内的符号→得相应开区间上的单调性当f (x )不含参数时,也可通过解不等式f'(x )>0(或f'(x )<0)直接得到单调递增(或递减)区间.2．零点存在定理：函数()f x 在[,]a b 上有定义，若()()0f a f b <，则()f x 在(,)a b 上至少有一个零点．如果函数()f x 在(,)a b 还是单调的，则零点是唯一的．请考生在22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目记分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，BC 是半圆O 的直径，AD BC ⊥，垂足为D ，AB AF =，BF 与AD 、AO 分别交于点E 、G .（Ⅰ）证明：DAO FBC ∠=∠； （Ⅱ）证明：AE BE =.【答案】证明见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）要证DAO FBC ∠=∠，这两个角所在两个三角形中有一个公共角，因此只要证明另两个角相等即可，另外这两个角一个是垂直得直角，一个可由垂径定理证明是直角，从而得证；（Ⅱ）要证AE BE =只要证AGE BDE ∆≅∆，这两个三角形三对角对应相等了，还需要一对边相等即可，如证AG BD =，为此可证OD OG =，这又可在Rt AGE ∆与Rt BDE ∆证得．试题解析：（Ⅰ）连接FC ，OF ，（Ⅱ）在Rt OAD ∆与Rt OBG ∆中， 由（1）知DAO GBO ∠=∠， 又OA OB =，∴OAD OBG ∆≅∆，于是OD OG =. ∴AG OA OG OB OD BD =-=-=. 在Rt AGE ∆与Rt BDE ∆中， 由于DAO FBC ∠=∠，AG BD =，∴AGE BDE ∆≅∆，∴AE BE =.………………10分 考点：垂径定理，三角形全等的判定与性质．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，[0,2)θπ∈. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点D 是曲线C 上一动点，求点D 到直线:32x l y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩t 为参数，t R ∈）的最短距离.【答案】（Ⅰ）2220x y y +-=；（Ⅱ）1．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()||5f x x a x =-+.（Ⅰ）当1a =-时，求不等式()53f x x ≤+的解集； （Ⅱ）若1x ≥-时恒有()0f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）(,6][4,)-∞-+∞． 【解析】试题分析：（Ⅰ）解绝对值不等式，只有一个绝对值符号，可根据绝对值的性质x a a x a <⇔-<<进行变形求解；（Ⅱ）不等式()0f x ≥，可化为||5x a x -≥-，即5x a x -≥-或5x a x -≤，6a x ≤或4a x ≥-，于是只要求得6x 的最小值及4x -的最大值即得a 的范围．试题解析：（Ⅰ）当1a =-时，不等式()53f x x ≤+， ∴|1|553x x x ++≤+，考点：绝对值不等式．。

2018届高考第三次模拟考试数学试题（湘潭市文带答案）
5 c 10 ABDDB 11、B 12c
二、填空题
13 14 15 16
三、解答题
17解（1）由题意知，，所以，得，
设等比数列的比为，
又因为，所以，化简得，解得，
所以
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
令，得，解得，
所以满足的正整数的最小值是
18解（1）当需求量时，荔枝为该商场带的利润为元；
当需求量，即时，荔枝为该商场带的利润元，
所以这天荔枝每天该商场带的平均为元
（2）当需求量时，荔枝为该商场带的利润为元；
当需求量时，荔枝为该商场带的利润元，
当需求量时，荔枝为该商场带的利润元，
所以当天该商场不亏损，则当天荔枝的需求量为或斤，
则所求概率
19解（1）连接，当时， ,所以四边形是平行四边形，所以因为，所以，因为，，
所以平面平面，又平面，所以平面
(2)取的中点为，连接，则，
因为平面平面，所以平面，
过点作于点，连接，则，。

2018年湖南省湘潭市高考三模试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈R}，则集合∁（M∪N）等于（）UA．（﹣∞，﹣1] B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[2，+∞）2．若z（1﹣i）=|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．B．C．1 D．3．如图所示的阴影部分是由x轴，直线x=1及曲线y=e x﹣1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（）A．B．C．D．4．“m=0”是“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．双曲线﹣=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．6．函数 f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B．C． D．7．执行如图所示的程序框图，如果运行结果为720，那么判断框中应填入（）A ．k ＜6？B ．k ＜7？C ．k ＞6？D ．k ＞7？8．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）A ．6πB ．7πC ．8πD ．12π9．已知T n 为数列的前n 项和，若n ＞T 10+1013恒成立，则整数n 的最小值为（ ）A ．1026B ．1025C ．1024D ．102310．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，m （m ＞0）为整数，若a 和b被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a=b （bmodm ）．若，a=b （bmod10），则b 的值可以是（ ）A ．2011B ．2012C ．2013D ．201411．如图，A 1，A 2为椭圆长轴的左、右端点，O 为坐标原点，S ，Q ，T 为椭圆上不同于A 1，A 2的三点，直线QA 1，QA 2，OS ，OT 围成一个平行四边形OPQR ，则|OS|2+|OT|2=（ ）A ．14B ．12C ．9D ．712．已知函数f （x ）=aln （x+1）﹣x 2，若对∀p ，q ∈（0，1），且p ≠q ，有恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，18） B ．（﹣∞，18] C ．[18，+∞） D ．（18，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．若（1+2x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，则a 0+a 2+a 4= ．14．已知点M （1，m ）（m ＞1），若点N （x ，y ）在不等式组表示的平面区域内，且（O 为坐标原点）的最大值为2，则m= ．15．将函数f （x ）=sin2x 的图象沿x 轴向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）的图象，若函数g （x ）的图象关于y 轴对称，则当φ取最小的值时，g （0）= ．16．数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…a n =2n ﹣a n （n ∈N +）．数列{b n }满足b n =，则{b n }中的最大项的值是 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC 中，2cos2A+3=4cosA ． （1）求角A 的大小；（2）若a=2，求△ABC 的周长l 的取值范围．18．在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 垂直相交于点O ，且OA=OB=OD=4，OC=3．将△BCD 沿BD 折到△BED 的位置，使得二面角E ﹣BD ﹣A 的大小为90°（如图）．已知Q 为EO的中点，点P 在线段AB 上，且．（Ⅰ）证明：直线PQ ∥平面ADE ；（Ⅱ）求直线BD 与平面ADE 所成角θ的正弦值．19．某届奥运会上，中国队以26金18银26铜的成绩称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如表：（1）在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（2）若从一班至二班的调查对象中随机选取4人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．20．已知点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．21．已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣x2﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当a=﹣时，方程f（1﹣x）=有实根，求实数b的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q．求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x﹣a|+2|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值为1．（1）求a+b的值；（2）若恒成立，求实数m的最大值．2018年湖南省湘潭市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈R}，则集合∁（M∪N）等于（）UA．（﹣∞，﹣1] B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．（M∪N）．【分析】分别求出集合M，N，由此求出M∪N，从而能求出CU【解答】解：∵M={x||x|＜1}={x|﹣1＜x＜1}，N={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}．又∵U=R，M∪N={x|x＞﹣1}，（M∪N）=（﹣∞，﹣1]．∴CU故选：A．2．若z（1﹣i）=|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．B．C．1 D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵，∴，则z的虚部为，故选：D．3．如图所示的阴影部分是由x轴，直线x=1及曲线y=e x﹣1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】求出阴影部分的面积，以面积为测度，即可得出结论．【解答】解：由题意，阴影部分的面积为==e﹣2，∵矩形区域OABC的面积为e﹣1，∴该点落在阴影部分的概率是．故选D．4．“m=0”是“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出“m=0”是“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切”的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：若直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切，则（1，1）到x+y﹣m=0的距离是，故=，故|2﹣m|=2，2﹣m=±2，解得：m=0或m=4，故“m=0”是“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切”的充分不必要条件，故选：B．5．双曲线﹣=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】两条渐近线互相垂直的双曲线是等轴双曲线，由a=b，c=a，可求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的两条渐近线互相垂直，∴双曲线是等轴双曲线，∴a=b，c=a，∴e===．故选D．6．函数 f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B．C． D．【考点】函数的图象．【分析】用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．【解答】解：由f（x）=0，解得x2﹣2x=0，即x=0或x=2，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．∴f'（x）=（x2﹣2）e x，由f'（x）=（x2﹣2）e x＞0，解得x＞或x＜﹣．由f'（x）=（x2﹣2）e x＜0，解得，﹣＜x＜即x=﹣是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选：B7．执行如图所示的程序框图，如果运行结果为720，那么判断框中应填入（）A．k＜6？B．k＜7？C．k＞6？D．k＞7？【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出判断框中应填写的条件是什么．【解答】解：由题意可知，输出结果为S=720，通过第1次循环得到S=1×2=2，k=3；通过第2次循环得到S=1×2×3=6，k=4；通过第3次循环得到S=1×2×3×4=24，k=5；通过第4次循环得到S=1×2×3×4×5=120，k=6；通过第6次循环得到S=1×2×3×4×5×6=720，k=7；此时执行输出S=720，结束循环，所以判断框中的条件为k＞6？．故选：C．8．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．6π B．7π C．8π D．12π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体上半部分为半球，下面是一个圆柱，根据所给数据，即可求出表面积．【解答】解：由三视图可知该几何体上半部分为半球，下面是一个圆柱，所以其表面积为．故选B ．9．已知T n 为数列的前n 项和，若n ＞T 10+1013恒成立，则整数n 的最小值为（ ）A ．1026B ．1025C ．1024D ．1023【考点】数列的求和．【分析】利用等比数列的求和公式可得T n ，即可得出．【解答】解：∵，∴，∴T 10+1013=11﹣+1013=1024﹣，又n ＞T 10+1013，∴整数n 最小值为1024． 故选C ．10．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，m （m ＞0）为整数，若a 和b被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a=b （bmodm ）．若，a=b （bmod10），则b 的值可以是（ ）A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意a=（10﹣1）10，按照二项式定理展开，可得它除以10的余数，再结合a=b （bmod10），可得b 的值．【解答】解：∵=（1+2）20=320=910=（10﹣1）10=•1010﹣•109+•108+…﹣•10+，∴a 被10除得的余数为 1，而2011被10除得的余数是1， 故选：A ．11．如图，A 1，A 2为椭圆长轴的左、右端点，O 为坐标原点，S ，Q ，T 为椭圆上不同于A 1，A 2的三点，直线QA 1，QA 2，OS ，OT 围成一个平行四边形OPQR ，则|OS|2+|OT|2=（ ）A ．14B ．12C ．9D ．7【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】利用椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、两点之间的距离公式即可得出． 【解答】解：设Q （x ，y ），T （x 1，y 1），S （x 2，y 2），QA 1，QA 2斜率分别为k 1，k 2，则OT ，OS 的斜率为k 1，k 2，且，所以，同理，因此=．故选：A ．12．已知函数f （x ）=aln （x+1）﹣x 2，若对∀p ，q ∈（0，1），且p ≠q ，有恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，18）B ．（﹣∞，18]C ．[18，+∞）D ．（18，+∞）【考点】对数函数的图象与性质．【分析】恒成立恒成立⇔'f （x+1）≥2恒成立，即恒成立，分离参数，求最值，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：因为f（x）=aln（x+1）﹣x2，所以f（x+1）=aln[（x+1）+1]﹣（x+1）2，所以．因为p，q∈（0，1），且p≠q，所以恒成立恒成立⇔'f（x+1）≥2恒成立，即恒成立，所以a＞2（x+2）2（0＜x＜1）恒成立，又因为x∈（0，1）时，8＜2（x+2）2＜18，所以a≥18．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若（1+2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a+a2+a4= 121 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】在所给的式子中，分别令x=1、x=﹣1，可得则a0+a2+a4的值．【解答】解：令x=1，则；再令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=﹣1，∴，故答案为：121．14．已知点M（1，m）（m＞1），若点N（x，y）在不等式组表示的平面区域内，且（O为坐标原点）的最大值为2，则m= ．【考点】简单线性规划．【分析】利用向量的数量积化简表达式，得到目标函数，画出可行域，利用最优解求解即可．【解答】解：，令x+my=z，作出不等式组表示的可行域，由解得A （，），当m ≥0时，目标函数在A 处取得最大值2．分析知当时，z max =2．所以，解之得或（舍去），所以．故答案为：．15．将函数f （x ）=sin2x 的图象沿x 轴向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）的图象，若函数g （x ）的图象关于y 轴对称，则当φ取最小的值时，g （0）= ﹣1 ． 【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性求得g （x ）的解析式，从而求得g （0）的值．【解答】解：将函数f （x ）=sin2x 的图象沿x 轴向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）=sin （2x ﹣2φ）的图象，若函数g （x ）的图象关于y 轴对称，则2φ=2kπ+，k ∈Z ，∴φ的最小值为，g （x ）=sin （2x ﹣2φ）=sin （2x ﹣）=﹣cos2x ，∴g （0）=﹣1，故答案为：﹣1．16．数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…a n =2n ﹣a n （n ∈N +）．数列{b n }满足b n =，则{b n }中的最大项的值是．【考点】数列递推式．【分析】由已知数列递推式可得，数列{a n ﹣2}构成以为公比的等比数列，求出其通项公式后代入b n =，再由数列的函数特性求得{b n }中的最大项的值．【解答】解：由a 1+a 2+a 3+…a n =2n ﹣a n ，得S n =2n ﹣a n ， 取n=1，求得a 1=1；由S n =2n ﹣a n ，得S n ﹣1=2（n ﹣1）﹣a n ﹣1（n ≥2），两式作差得a n =2﹣a n +a n ﹣1，即（n ≥2），又a 1﹣2=﹣1≠0，∴数列{a n ﹣2}构成以为公比的等比数列，则，则b n ==，当n=1时，，当n=2时，b 2=0，当n=3时，，而当n ≥3时，，∴{b n }中的最大项的值是．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC 中，2cos2A+3=4cosA ． （1）求角A 的大小；（2）若a=2，求△ABC 的周长l 的取值范围．【考点】正弦定理的应用．【分析】（1）由2cos2A+3=4cosA，利用倍角公式可得，化简解出即可得出．（2）利用正弦定理、和差公式、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）因为2cos2A+3=4cosA，所以，所以4cos2A﹣4cosA+1=0，所以．又因为0＜A＜π，所以．（2）因为，，a=2，所以，所以．因为，所以．又因为，所以，所以l∈（4，6]．18．在四边形ABCD中，对角线AC，BD垂直相交于点O，且OA=OB=OD=4，OC=3．将△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E﹣BD﹣A的大小为90°（如图）．已知Q为EO的中点，点P在线段AB上，且．（Ⅰ）证明：直线PQ∥平面ADE；（Ⅱ）求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，可得平面PQR∥平面ADE，即可证明：直线PQ∥平面ADE；（Ⅱ）由等体积法可得点O到平面ADE的距离，即可求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取OD的中点R，连接PR，QR，则DE∥RQ，由题知，又，故AB：AP=4：1=DB：DR，因此AD∥PR，因为PR，RQ⊄平面ADE，且AD，DE⊂平面ADE，故PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，又PR∩RQ=R，故平面PQR∥平面ADE，从而PQ∥平面ADE．…6分（Ⅱ）解：由题EA=ED=5，，设点O到平面ADE的距离为d，则由等体积法可得，故，因此．…12分．19．某届奥运会上，中国队以26金18银26铜的成绩称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如表：（1）在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（2）若从一班至二班的调查对象中随机选取4人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）因为在被抽取的50人中，持满意态度的学生共36人，即可得出持满意态度的频率．（2）ξ的所有可能取值为O，1，2，3．利用超几何分布列的概率计算公式与数学期望计算公式即可得出．【解答】解：（1）因为在被抽取的50人中，持满意态度的学生共36人，所以持满意态度的频率为，据此估计高三年级全体学生持满意态度的概率为．（2）ξ的所有可能取值为O ，1，2，3.；；；．ξ的分布列为：．20．已知点F （1，0），点A 是直线l 1：x=﹣1上的动点，过A 作直线l 2，l 1⊥l 2，线段AF 的垂直平分线与l 2交于点P ． （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若点M ，N 是直线l 1上两个不同的点，且△PMN 的内切圆方程为x 2+y 2=1，直线PF 的斜率为k ，求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）点P 到点F （1，0）的距离等于它到直线l 1的距离，从而点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 1：x=﹣1为准线的抛物线，由此能求出曲线C 的方程．（Ⅱ）设P （x 0，y 0），点M （﹣1，m ），点N （﹣1，n ），直线PM 的方程为（y 0﹣m ）x ﹣（x 0+1）y+（y 0﹣m ）+m （x 0+1）=0，△PMN 的内切圆的方程为x 2+y 2=1，圆心（0，0）到直线PM 的距离为1，由x 0＞1，得（x 0﹣1）m 2+2y 0m ﹣（x 0+1）=0，同理，，由此利用韦达定理、弦长公式、直线斜率，结合已知条件能求出的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵点F （1，0），点A 是直线l 1：x=﹣1上的动点，过A 作直线l 2，l 1⊥l 2，线段AF 的垂直平分线与l 2交于点P ，∴点P 到点F （1，0）的距离等于它到直线l 1的距离，∴点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 1：x=﹣1为准线的抛物线，∴曲线C 的方程为y 2=4x ．（Ⅱ）设P （x 0，y 0），点M （﹣1，m ），点N （﹣1，n ），直线PM 的方程为：y ﹣m=（x+1），化简，得（y 0﹣m ）x ﹣（x 0+1）y+（y 0﹣m ）+m （x 0+1）=0， ∵△PMN 的内切圆的方程为x 2+y 2=1，∴圆心（0，0）到直线PM 的距离为1，即=1，∴=，由题意得x 0＞1，∴上式化简，得（x 0﹣1）m 2+2y 0m ﹣（x 0+1）=0，同理，有，∴m ，n 是关于t 的方程（x 0﹣1）t 2+2y t ﹣（x 0+1）=0的两根，∴m+n=，mn=，∴|MN|=|m ﹣n|==，∵，|y 0|=2，∴|MN|==2，直线PF 的斜率，则k=||=，∴==，∵函数y=x ﹣在（1，+∞）上单调递增，∴，∴，∴0＜＜．∴的取值范围是（0，）．21．已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣x2﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当a=﹣时，方程f（1﹣x）=有实根，求实数b的最大值．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先对函数求导，由x=2为f（x）的极值点，可得f'（2）=0，代入可求a（2）由题意可得在区间[3，+∞）上恒成立，①当a=0时，容易检验是否符合题意，②当a≠0时，由题意可得必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，则a＞0，从而2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞0上恒成立．考查函数g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），结合二次函数的性质可求（3）由题意可得．问题转化为b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在（0，+∞）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域．方法1：构造函数g（x）=x（lnx+x﹣x2），令h（x）=lnx+x﹣x2（x＞0），对函数h（x）求导，利用导数判断函数h（x）的单调性，进而可求方法2：对函数g（x）=x（lnx+x﹣x2）求导可得g'（x）=lnx+1+2x﹣3x2．由导数知识研究函数p（x）=lnx+1+2x﹣3x2，的单调性可求函数g（x）的零点，即g'（x）=0，从而可得函数g（x）的单调性，结合，可知x→0时，lnx+＜0，则g（x）＜0，又g（1）=0可求b的最大值【解答】解：（1）=．…因为x=2为f（x）的极值点，所以f'（2）=0．…即，解得a=0．…又当a=0时，f'（x）=x（x﹣2），从而x=2为f（x）的极值点成立．…（2）因为f（x）在区间[3，+∞）上为增函数，所以在区间[3，+∞）上恒成立．…①当a=0时，f'（x）=x（x﹣2）≥0在[3，+∞）上恒成立，所以f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意．…②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，所以2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞）上恒成立．…令g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），其对称轴为，…因为a＞0所以，从而g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，因为g（3）=﹣4a2+6a+1≥0，解得．…因为a＞0，所以．由①可得，a=0时，符合题意；综上所述，a的取值范围为[0，]．…（3）若时，方程x＞0可化为，．问题转化为b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在（0，+∞）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域．…以下给出两种求函数g（x）值域的方法：方法1：因为g（x）=x（lnx+x﹣x2），令h（x）=lnx+x﹣x2（x＞0），则，…所以当0＜x＜1，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数，当x＞1，h′（x）＜0，从而h（x'）在（1，+∞上为减函数，…因此h（x）≤h（1）=0．而x＞1，故b=x•h（x）≤0，因此当x=1时，b取得最大值0．…方法2：因为g（x）=x（lnx+x﹣x2），所以g'（x）=lnx+1+2x﹣3x2．设p（x）=lnx+1+2x﹣3x2，则．当时，p'（x）＞0，所以p（x）在上单调递增；当时，p'（x）＜0，所以p（x）在上单调递减；因为p（1）=0，故必有，又，因此必存在实数使得g'（x）=0，∴当0＜x＜x时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，x）上单调递减；当x＜x＜1，g′（x）＞0，所以，g（x）在（x，1）上单调递增；又因为，当x→0时，lnx+＜0，则g（x）＜0，又g（1）=0．因此当x=1时，b取得最大值0．…请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q．求线段PQ的长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（2）求出点P、Q的极坐标，利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（1）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程（θ为参数），化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（2）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，则P（1，）．由直线l的极坐标方程是，可得Q（3，），∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x﹣a|+2|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值为1．（1）求a+b的值；（2）若恒成立，求实数m的最大值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．=a+b，即可求a+b的值；【分析】（1）写出分段函数，得出f（x）min（2）因为a＞0，b＞0，且a+b=1，利用“1”的代换，求最值，根据恒成立，求实数m的最大值．【解答】解：（1）f（x）在区间（﹣∞，﹣b]上递减，在区间[﹣b，+∞）上递增，=a+b．所以f（x）min所以a+b=1．（2）因为a＞0，b＞0，且a+b=1，所以，又因为，当且仅当时，等号成立，所以时，有最小值．所以，所以实数m的最大值为．。

2017-2018学年第一学期高三调研测试卷 数学（理科）2017.9全卷满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）（ ）1．已知全集U=R ，集合A={x|lg(x-2)≥0}, B={x|x≥2}, 则(C U A)∩B= A ．{}13x x -<≤ B ．{}23x x ≤<C ．{}3x x ≤ D ．φ（ ）2．某居民小区为如图所示矩形ABCD ，A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF ，若在该小区内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是 (注：该小区内无其他信号来源, 基站工作正常). A ．12π- B ．22π-C ．14π-D ．4π（ ）3．“0a ≤”是“复数1ai z i+=在复平面内对应的点在第三象限”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（ ）4．设{}n a 是等差数列，1359a a a ++=，69a =，则这个数列的前6项和等于 A ．12B ．24C ．36D ．48（ ）5．已知0.1 1.12log 0.1,2,0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a cb <<（ ）6．把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是A ．sin(2)3y x π=-，x R ∈B ．sin()26x y π=+，x R ∈ C ．sin(2)32y x π=+，x R ∈D ．sin(2)3y x π=+， x R ∈（ ）7．执行右图的程序框图，若输出的5n =， 则输入整数p 的最大值是 A ．15 B ．14C ．7D ．6（ ）8．51(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为A ．20B ．15C ．6D ．1（ ）9．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函 数，且f (1)＝0，则不等式()()20f x f x x-+≥的解集为A ．(－∞，－1]∪(0,1]B ．[－1,0]∪[1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1,0)∪(0,1] （ ）10．一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是A ．1+B ．1+2C ．2+D ．2（ ）11．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若 |AF |=2|BF |，则线段AB 的长为．A ．8B ．92C ．16D ．163 （ ）12．已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足)2(2)(+=x f x f ，当)2,0[∈x 时，x x x f 42)(2+-=，设)(x f 在)2,22[n n -上的最大值为)(*N n a n ∈,且}{n a 的前n 项和为n S ，则n S =A ．1212--nB ．2214--n C ．n 212- D ．1214--n第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量25,10),1,2(=+=⋅=→→→→→b a b a a ，则=→b .14．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x xy ，则y x z +=2的最大值为 .15．如图，已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右顶点为,A O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于两点P ，Q ，若060PAQ ∠=，且3OQ OP =uuu r uu u r，则双曲线C 的离心率为.16．如图所示,ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角 三角形,再沿虚线折起,使得ABCD 四个点重合 于图中的点P, 正好形成一个正四棱柱形状的 包装盒,若要包装盒容积V(cm 3)最大, 则EF 长 为 cm ． 三、解答题：（共70分。

湖南省湘潭市2018届高三第四次模拟考试试卷数 学（理科）本试卷分第一卷（选择题、填空题）和第二卷（解答题）两部分，共150分，考试时量120分钟.第Ⅰ卷（选择题40分，填空题35分，共75分）注意事项：请将选择题、填空题答案填在第Ⅱ卷解答题前的答题卡内．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M=｛∈x Z m x ≤≤1|｝，若集合M 有4个子集，则实数=m A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．一位母亲记录了儿子3~7岁时的身高，并根据记录数据求得身高（单位：cm ）与年龄的回归模型为732.7ˆ+=x y。

若用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则下列叙述正确的是A ．身高一定是145cmB ．身高在145cm 以上C ．身高在145cm 左右D ．身高在145cm 以下3．阅读右边的流程图，若输入1,6==b a ，则输出的结果是 A ．6 B ．5 C ．4 D ．24．己知a ，b 为平面上两个不共线的向量，p ：|a +b |=|a -b |；q ：a ⊥b，则p 是q 的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是6．已知x x y x f 2:2+=→是集合A 到集合B 的映射，若集合A 中存在两个不同的实数与集合B 中的元素m 对应，则m 的取值范围是A ．1->mB ．1-≥mC ．1-<mD ．1-≤m7．已知定义在R 上的奇函数()x f 满足()()x f x f -=+1，且在[]1,0上递增，记⎪⎭⎫⎝⎛=21f a ,()2f b =，()3f c =，则c b a ,,的大小关系为A ．b a c >>B ．a b c >>C ．a c b >>D ．b c a >>8．已知}40|),{(2x y y x M -≤≤=，直线l ：k kx y 2+=与曲线C ：24x y -=有两个不同的交点，设直线l 与曲线C 围成的封闭区域为P ，在区域M 内随机取一点A ，点A 落在区域P 内的概率为p ，若]1,22[ππ-∈p ，则实数k 的取值范围为 A ．]1,21[ B ．]1,0[ C ．]1,33[D ．]33,0[ 二．填空题：本大题共8个小题，其中9~11小题为选做题，12~16小题为必做题，每小题5分，满分35分，把答案填在答题卡中相应的位置上.（一）选做题（考生任选两题作答，三题都做，则按前面两题给分）9.若圆的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ-++=，则圆的半径r = 。

[X 2 + y 2 < 1 < x + y > — 111. 已知乂,丫满足1 yvO ，贝ijz = x-y 的取值范围是() A.[-返叮 B.[・ 1,1] C.[-返返] D. [ - 1,返] 12.已知定义在R 上的函数f (x)在(-8, -2)上是减函数，若g (x) =f (x - 2)是奇函数，且g (2)=0,则不等式xf (x) W0的解集是(A. ( - °°, - 2] U [2, +°°) C. ( - 8, - 4]U[ - 2, +8)二、填空题(20分)13. 已知f (x )= log 3(x 2-2x)?则函数f(x)的单调递减区间是 _____________ .14. 已知函数f(x) = x 3 + ax 2 + bx + a 2(a,b 6 R)且函数f(x)在x = 1处有极值10,则实数b 的值为15. _________ 已知f (x) = |e x -l|,又g(x) =f 2(x)-tf(x)(tG R),若满足g(x) = 一1的x 有三个，贝吐的取值范 围是 ____________ •16. 设f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x > 0时，f(x) = 2X ,若对任意的xG [a,a + 2],不等式 f(x + a) >『(x)恒成立，则实数a 的取值范围是 _____________ .=、解答题：木题共6道题，共70分.17. 锐角AABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c,己知AABC 的外接圆半径为R,旦满足R = t asinA (1) 求角A 的大小；(2)若a = 2,求AABC 周长的最大值.A. ( -- 3] B. [ - 3, +°°) C. ( - °°, VS] D. [V3, +8))B. [-4, -2]U[0, +°o) D. ( - °°, - 4] U [0, +8)2018届高三数学9月考题（含答案）2017-9-28一、选择题(60分)1. 若集合A={x|x> - 1},则( )A. OCAB. {0}cAC. {0}£AD. 0£A2. 设集合A = (X|X2-2X-3 < 0},B = {x|y = ln(2-x)},则A n B =()A. {x|-l < x < 3}B. {x|-l < x < 2}C. {x|-3 < x < 2}D. {x|l < x < 2}2 _3. 若复&z =屮i为虚数单位，^z=()A. 1 + iB. 1-iC. -1-iD. -1-i4. 已知命题p:Vx > 0,总有(x + l)e x > 1,则「p为()A. 3x o 三°，使得do + l)e X°三1B. 3x o > 0,使得do + l)e X°三1C. 3x o > °，使得(X。

湖南省益阳市、湘潭市2017-2018学年高三9月调研考试地理试题一、选择题（25小题，每小题2分，共计50分。

每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母填写答题卡上）共享单车在中国迅猛发展，主要覆盖年轻群体。

共享单车在地域分布上，一线城市占比55.1%；二线城市占26.8%；三线城市占比12.3%。

共享单车市场发展过程中，先后出现了“有桩式”公共单车和“无桩式”公共单车（下图）。

据此回答下列各题。

1. 影响共享单车地域分布的主导因素是A. 技术B. 市场C. 原料D. 动力2. 共享单车的长期发展，对城市产生的主要影响是A. 优化城市空间结构B. 改变城市服务功能C. 缓解城市环境压力D. 扩大城市地域范围3. “无桩式”公共单车使用时，使用者是利用手机中特定电子地图找车、还车，这主要利用的现代地理信息技术是A. 遥感技术和全球定位系统B. 遥感技术和地理信息系统C. 网络技术和人T调查D. 地理信息系统和全球定位系统【答案】1. B 2. C 3. D【解析】本题主要考查城市的交通，通过城市交通变化改善城市环境和交通问题，熟悉地理信息技术对城市管理的影响。

1. 共享单车主要是方便居民出行，所以共享单车主要布局在出行人口多的地区，即地域分布的主导因素是市场，选择B。

2. 共享单车速度慢，移动距离短，对城市空间结构影响小，A错；运输能力小，不能改变城市服务功能，B错；减少小汽车的数量，减少废气的排放，缓解城市环境压力，C对；运输能力有限不能扩大城市地域范围，D错。

3. GIS主要是以数据分析处理，利用手机中特定电子地图查找找车、还车信息主要是利用地理信息系统；全球定位系统主要是定位和导航，确定单车的位置是利用全球定位系统。

选择D。

某地质考察队对下图所示区域进行地质研究，在Yl、Y2、Y3、Y4处分别钻孔至地下同一水平面（P平面）。

在该水平面上Y2、Y3。

处取得相同的砂岩，Y1、Y4处取得相同的砾岩，且砂岩的年代比砾岩老。

2021届湖南省益阳市、湘潭市高三9月调研考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集R U =，集合}0)1)(2(|{},2log |{2≥+-=≤=x x x B x x A ，则=⋂B C A U （ ） A ．)2,0( B ．]4,2[ C ．)1,(--∞ D ．]4,(-∞2.已知}5,3{},3,2,1,0,2{∈-∈b a ，则函数b e a x f x+-=)2()(2为减函数的概率是（ ） A ．103 B ．53 C ．52D ．513.已知命题p ：若复数z 满足5))((=--i i z ，则i z 6=；命题q ：复数i i 211++的虚部为i 51-，则下面为真命题的是（ ）A ．)()(q p ⌝⌝∧B ．q p ∧⌝)(C ．)(q p ⌝∧ D ．q p ∧ 4.已知等比数列}{n a 中，45,3745==a a a ，则7597a a a a --的值为（ ）A ．3B ．5 C. 9 D ．25 5.若R x x a x a a x ∈+++=-,)31(20182018102018，则20182018221333⋅++⋅+⋅a a a 的值为（ ）A ．122018- B ．182018- C. 20182 D ．201886.若将函数)6sin(2)(π+=x x f 的图象向右平移4π个单位，再把所得图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数)(x g 的图象，则函数)(x g 图象的一条对称轴为（ ） A ．12π=x B ．247π=x C. 127π=x D ．67π=x 7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入x n ,的值分别为3,3.则输出v 的值为（ ） A ．15 B ．16 C. 47 D ．488.已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，若21=a 且n n S S 21=+，设n n a b 2log =，则201820173221111b b b b b b +++ 的值是（ ） A ．20184035 B ．20174033 C. 20182017 D ．201720169.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ） A ．32 B ．34C. 38 D ．410.如图，过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于点B A 、，交其准线l 于点C ，若点F 是AC 的中点，且4||=AF ，则线段AB 的长为（ ）A ．5B ．6 C.316D ．32011.定义在R 上的函数)(x f ，满足)()5(x f x f =+，当]0,3(-∈x 时，1)(--=x x f ，当]2,0(∈x 时，x x f 2log )(=，则)2018()3()2()1(f f f f +++的值等于（ ）A ．403B ．405 C. 806 D ．80912.设π是圆周率，e 是自然对数的底数，在eee e ππππ,3,,,,333六个数中，最小值与最大值分别是（ ）A ．π3,3eB ．πe e,3 C. 33,πe D ．ππ3,e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥-1200y x y x y x ，记y x z +=4的最大值时a ，则=a ．14.已知非零向量b a ,满足：||||,a t b a b a =+⋅，若b a +与b a -的夹角为3π，则t 的值为 ．15.已知F 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，过A F ,两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若→→=FA AB 3，则此双曲线的离心率为 ． 16.已知三棱锥ABC S -的顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为3的正三角形，SC 为球O 的直径，且4=SC ，则此三棱锥的体积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知锐角ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且CBc b a cos cos 2=-. （1）求角C 的大小；（2）求函数B A y sin sin +=的值域.18. 某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况.若一个运动员出线记1分，未出线记0分.假设甲、乙、丙出线的概率分别为53,43,32，他们出线与未出线是相互独立的.（1）求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；（2）记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员所得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望ξE .19. 如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为棱形，面⊥PAD 面,6,5,===AD PD PA ABCD60=∠DAB ，E 为AB 的中点.（1）证明：PE AC ⊥；（2）求二面角B PA D --的余弦值.20.已知动圆P 经过点)0,1(N ，并且与圆16)1(:22=++y x M 相切. （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设)0,(m G 为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于B A 、两点，当k 为何值时？22||||GB GA +=ω是与m 无关的定值，并求出该值定值. 21. 设函数12)()(,)ln()(--⋅=⋅=-+=x e x x g x x g x a x x f x.（1）若直线323ln 32:-+-=x y l 是函数)(x f 的图象的一条切线，求实数a 的值； （2）当0=a 时，（i ）关于x 的方程m x x x f +-=310)(2在区间]3,1[上有解，求m 的取值范围，（ii ） 证明：当0>x 时，)()(x f x g ≥.考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为：⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x （α为参数）.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为21)3cos(=+πθρ，直线l 与曲线C 交于B A 、两点.（1）求直线l 的直角坐标方程； （2）设点)0,1(P ，求||||PB PA ⋅的值. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数|4||12|)(--+=x x x f . （1）解不等式0)(>x f ；（2）若|2||4|3)(->-+m x x f 对一切实数x 均成立，求m 的取值范围.2021届湖南省益阳市、湘潭市高三9月调研考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:ACCDB 6-10:DDBBC 11、12：BA二、填空题13. 3 14.332 15. 3416. 233 三、解答题17.（1）由CBc b a cos cos 2=-，利用正弦定理可得B C C B C A cos sin cos sin cos sin 2=-， 可化为：A B C C A sin )sin(cos sin 2=+=，3),2,0(,21cos ,0sin ππ=∴∈=∴≠C C C A .（2）)3sin(sin sin sin A A B A y --+=+=ππ].3,23(]1,23()6sin(,3263,26,20,20,32),6sin(3sin 21cos 23sin ∈∴∈+∴<+<∴<<∴<<<<=++=++=y A A A B A B A A A A A ππππππππππ18.（1）记“甲出线”为事件A ，“乙出线”为事件B ，“丙出线”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D .则30295241311)(1)(=⨯⨯-=-=C B A P D P . （2）ξ的所有可能取值为3,2,1,0.301)()0(===C B A P P ξ； 6013)()()()1(=++==C B A P C B A P C B A P P ξ； 209)()()()2(=++==BC A P C B A P C AB P P ξ；103)()2(===ABC P P ξ.所以ξ的分布列为60103202601300=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . 19.（1）取AD 的中点O ，连接ABCD BD OE OP ,,,为菱形，AC BD ⊥∴，E O 、 分别为AB AD ,的中点，OE AC BD OE ⊥∴∴,//.O PD PA ,= 为AD 的中点，AD PO ⊥∴，又 面⊥PAD 面ABCD ，面⋂PAD 面⊥∴=PO AD ABCD ,面ABCD ，O OP OE AC PO =⋂⊥∴ ,，⊥∴AC 面PE AC POE ⊥∴,.（2）连接ABCD OB ∴,为菱形，DAB DAB AB AD ∆∴=∠=∴， 60,为等边三角形，O 为AD 的中点，AD BO ⊥∴，⊥PO 面OB OA OP OA PO ABCD 、、∴⊥∴,,两两垂直.以OP OB OA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直接坐标系xyz O -，则)0,33,0(),4,0,0(),0,33,0(),0,0,3(=→OB P B A 为面PAD 的法向量，设面PAB 的法向量)0,33,3(),4,0,3(),,,(-=-==→→AB AP z y x n，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→00n AB n AP 即⎩⎨⎧=+-=+-0333043y x z x ，取1=x ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===43331z y x ，)43,33,1(=n ， 91914169311333||||,cos =++⋅=⋅>=<→→→n OB n OB n OB，结合图形可知二面角B PA D --的余弦值为91914.20.（1）由题设得：4||||=+PN PM ，所以点P 的轨迹C 是以N M 、为焦点的椭圆，∴=-=∴==,3,22,4222c a b c a 椭圆方程为13422=+y x . （2）设)22)(0,(),,(),,(2211<<-m m G y x B y x A ，直线)(:m x k y l -=，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)(22y x m x k y 得01248)43(22222=-+-+m k mx k x k ，34124,348222212221+-=⋅+=+k m k x x k mk x x 3462)()()(2212121+=-+=-+-=+∴k mkkm x x k m x k m x k y y .34)4(3)())((2222221221221221+-=++-=--=⋅k m k m k x x m k x x k m x m x k y y .212212212122122222121222)(2)(22)()()(||||y y y y m x x m x x x x y m x y m x GB GA -++++--+=+-++-=+∴222222)34()3(24)34(6)1(+++--+=k k k m k 22||||GB GA +=ω 的值与m 无关，0342=-∴k ，解得23±=k .此时7||||22=+=GB GA ω. （方法2：①当02=k 时，…；②当0≠k 时，设直线m y k x l +'=:，…；可以减少计算量.） 21.（1）11)(,)ln()(-+='∴--=ax x f x a x x f ，设切点),(00y x P ， 则3,321100=+∴-=-+a x a x ，又323ln 32)ln(000-+-=-+x x a x ， 即得：1,2,323ln 323ln 000=∴=∴-+-=-a x x x . （2）当0=a 时，（i ）方程m x x x f +-=310)(2即为m x x x =+-37ln 2令)0(37ln )(2>+-=x x x x x h ，则xx x x x x h 3)32)(13(3721)(-+-=+-='.∴当]3,1[∈x 时，)(),(x h x h '随x 变化情况如下表：4523ln )23(,3423ln )3(,34)1(+=<-==h h h ，∴当]3,1[∈x 时，]4523ln ,23[ln )(+-∈x h ，∴m 的取值范围为]4523ln ,23[ln +-.（ii ）证明：令)0(1ln )()()(>---⋅=-=x x x e x x f x g x F x，则)1()1(11)1()(-⋅⋅+=--⋅+='x x e x xx x e x x F .令1)(-⋅=xe x x G ，则当0>x 时，0)1()(>⋅+='xe x x G ，∴函数)(x G 在),0(+∞上递增， 01)1(,01)0(>-=<-=e G G ，)(x G ∴存在唯一的零点)1,0(∈c ，且当),0(c x ∈时，0)(<x G ，当),(+∞∈c x 时，0)(>x G ，则当),0(c x ∈时，0)(<'x F ；当),(+∞∈c x 时，0)(>'x F .)(x F ∴在),0(c 上递减，在),(+∞c 上递增，从而1ln )()(---⋅=≥c c e c c F x F x .由0)(=c G 得1,01=⋅=-⋅xxe c e c ，两边取对数得0ln =+c c ，0)()(,0)(=≥∴=∴c F x F c F ，从而证得)()(x f x g ≥.22.（1）由21)3cos(=+πθρ得：213sin sin 3cos cos =-πθρπθρ， ∴直线l 的直角坐标方程为：013=--y x .（2）由⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x 得曲线C 的直角坐标方程为：4422=+y x ，)0,1(P 在直线l 上，设直线l 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty t x 21123 代入4422=+y x 得：712,012347212-=⋅∴=-+t t t t ， 712||||||||||2121=⋅=⋅=⋅∴t t t t PB PA . 23.（1）当4≥x 时，5412)(+=+-+=x x x x f ，原不等式即为05>+x ，解得4,45≥∴≥->x x x ；当421<≤-x 时，33412)(-=-++=x x x x f ，原不等式即为033>-x ， 解得41,4211<<∴<≤->x x x ；当21-<x 时，5412)(--=-+--=x x x x f ，原不等式即为05>--x ，解得5,5-<∴-<x x ；综上，原不等式的解集为1|{>x x 或}5-<x .（2）9|)82(12||4|2|12||4|3)(=--+≥-++=-+x x x x x x f . 当421≤≤-x 时，等号成立. |4|3)(-+∴x x f 的最小值为9，要使|2||4|3)(->-+m x x f 成立，故9|2|<-m ，解得m 的取值范围是：117<<-m .。