2020高考数学一轮复习课时规范练17任意角蝗制及任意角的三角函数理新人教B版

第四章 三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(3)终边相同的角❶：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2kπ，k ∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线❷.(3)三角函数值在各象限内的符号,(1)终边相同的角不一定相等．(2)“锐角”不等同于“第一象限的角”，锐角的集合为{α|0°＜α＜90°}，第一象限的角的集合为{α|k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z}，小于90°的角包括锐角、负角、零角．(3)角的集合的表示形式不是唯一的，如⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π3，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝2k π＋7π3，k ∈Z . 当角α的终边与x 轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在．[熟记常用结论]1．象限角2．轴线角3．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan α＞α＞sin α. [小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)小于90°的角是锐角．( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然．( )(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．( ) (4)三角形的内角必是第一、二象限角．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、选填题1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z)B ．k ·360°＋94π(k ∈Z)C ．k ·360°－315°(k ∈Z)D ．k π＋5π4(k ∈Z) 解析：选C 由定义知终边相同的角中不能同时出现角度和弧度，应为π4＋2k π(k ∈Z)或k ·360°＋45°(k ∈Z)，结合选项知C 正确．2.若角α＝2 rad(rad 为弧度制单位)，则下列说法错误的是( ) A ．角α为第二象限角 B ．α＝⎝⎛⎭⎫360π°C ．sin α＞0D ．sin α＜cos α解析：选D 对于A ，∵π2＜α＜π，∴角α为第二象限角，故A 正确；对于B ，α＝2×⎝⎛⎭⎫180π°＝2 rad ，故B 正确；对于C ，sin α＞0，故C 正确；对于D ，sin α＞0，cos α＜0，故D 错误．选D.3．已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎫x ，32，则tan α＝( ) A. 3 B ．±3 C.33D ．±33解析：选B 由|OP |2＝x 2＋34＝1，得x ＝±12.所以tan α＝yx＝±3.故选B.4．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________． 解析：设此扇形的半径为r ，由题意得π3r ＝2π，所以r ＝6，所以此扇形的面积为12×2π×6＝6π.答案：6π5．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是________． 解析：与角－4π3终边相同的角是2k π＋⎝⎛⎭⎫－4π3，k ∈Z ，令k ＝1，可得在0到2π范围内与角－4π3终边相同的角是2π3.答案：2π3考点一象限角及终边相同的角[基础自学过关][题组练透]1．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅解析：选B 由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .2．若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角解析：选C ∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．∴α2是第一或第三象限角． 3．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k ＝2n (n ∈Z)时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2(n ∈Z)，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2(n ∈Z)，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样，结合选项知选C.4．与－2 010°终边相同的最小正角是________．解析：因为－2 010°＝(－6)×360°＋150°，所以150°与－2 010°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有150°与－2 010°终边相同，故与－2 010°终边相同的最小正角是150°.答案：150°5．终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为______________________． 解析：如图，在平面直角坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3[名师微点]1．判断象限角的2种方法 2.确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或αk 的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在的位置．3．求终边在某直线上角的4个步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π]内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．考点二扇形的弧长及面积公式的应用[师生共研过关][典例精析]已知扇形的圆心角是α，半径是r ，弧长为l . (1)若α＝100°，r ＝2，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数． [解] (1)因为α＝100°＝100×π180＝5π9， 所以S 扇形＝12lr ＝12αr 2＝12×5π9×4＝10π9.(2)由题意知，l ＋2r ＝20，即l ＝20－2r ， 故S 扇形＝12l ·r ＝12(20－2r )·r ＝－(r －5)2＋25，当r ＝5时，S 的最大值为25，此时l ＝10，则α＝lr＝2.[解题技法]有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．[过关训练]1．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1解析：选C 如图，∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交AB 于D .则∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度， 且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中，AO ＝AC sin ∠AOC ＝1sin 1，即r ＝1sin 1，从而AB 的长l ＝α·r ＝2sin 1. 2．若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π6 B.π3 C ．3D. 3解析：选D 如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt △AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ， ∴l ＝3r ，由弧长公式得α＝l r ＝3rr ＝ 3.3．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设扇形的半径为r (r ＞0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 考点三三角函数的定义及应用[师生共研过关][典例精析](1)若sin αtan α＜0，且cos αtan α＜0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)(2019·广州模拟)在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫1213，513和⎝⎛⎭⎫－35，45，则sin(α＋β)＝( )A ．－3665 B.4865 C ．－313D.3365(3)已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________. [解析] (1)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由cos αtan α＜0可知cos α，tan α异号， 则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角．(2)因为角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫1213，513和⎝⎛⎭⎫－35，45，所以sin α＝513，cos α＝1213，sin β＝45，cos β＝－35，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝513×⎝⎛⎭⎫－35＋1213×45＝3365. (3)因为角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513， 所以cos α＝－xx 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，所以P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，所以sin α＝－1213， 所以tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23. [答案] (1)C (2)D (3)－23[解题技法]利用三角函数定义解题的常见类型及方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标求三角函数值．先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数定义求解．(2)已知角α的终边与单位圆的交点坐标求三角函数值．可直接根据三角函数线求解． (3)已知角α的终边所在的直线方程求三角函数值．先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数定义求解相关问题，同时注意分类讨论．(4)判断三角函数值的符号问题．先判断角所在的象限，再根据各象限的符号规律判断．[过关训练]1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°＞0 B ．cos(－305°)＜0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－223π＞0 D ．sin 10＜0解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°＜0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)＞0；而－223π＝－8π＋2π3，所以－223π是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3＜0；因为3π＜10＜7π2，所以10是第三象限角，故sin 10＜0. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t 5|t |.当t ＞0时，cos θ＝55；当t ＜0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 3．已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值． 解：设P (x ，y )．由题设知x ＝－3，y ＝m ，所以r 2＝|OP |2＝(－3)2＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2， 所以sin α＝m r ＝2m 4＝m22，所以r ＝3＋m 2＝22，即3＋m 2＝8， 解得m ＝±5.当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5， 所以cos α＝－322＝－64，tan α＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5， 所以cos α＝－322＝－64，tan α＝153.综上，cos α＝－64，tan α＝－153或cos α＝－64，tan α＝153.。

第四章 三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(3)终边相同的角❶：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线❷.(3)三角函数值在各象限内的符号,(1)终边相同的角不一定相等．(2)“锐角”不等同于“第一象限的角”，锐角的集合为{α|0°＜α＜90°}，第一象限的角的集合为{α|k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z}，小于90°的角包括锐角、负角、零角．(3)角的集合的表示形式不是唯一的，如⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π3，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝2k π＋7π3，k ∈Z . 当角α的终边与x 轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在．[熟记常用结论]1．象限角2．轴线角3．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan α＞α＞sin α. [小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)小于90°的角是锐角．( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然．( )(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．( ) (4)三角形的内角必是第一、二象限角．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、选填题1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z)B ．k ·360°＋94π(k ∈Z)C ．k ·360°－315°(k ∈Z)D ．k π＋5π4(k ∈Z) 解析：选C 由定义知终边相同的角中不能同时出现角度和弧度，应为π4＋2k π(k ∈Z)或k ·360°＋45°(k ∈Z)，结合选项知C 正确．2.若角α＝2 rad(rad 为弧度制单位)，则下列说法错误的是( ) A ．角α为第二象限角 B ．α＝⎝⎛⎭⎫360π°C ．sin α＞0D ．sin α＜cos α解析：选D 对于A ，∵π2＜α＜π，∴角α为第二象限角，故A 正确；对于B ，α＝2×⎝⎛⎭⎫180π°＝2 rad ，故B 正确；对于C ，sin α＞0，故C 正确；对于D ，sin α＞0，cos α＜0，故D 错误．选D.3．已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎫x ，32，则tan α＝( ) A. 3 B ．±3 C.33D ．±33解析：选B 由|OP |2＝x 2＋34＝1，得x ＝±12.所以tan α＝yx＝±3.故选B.4．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________． 解析：设此扇形的半径为r ，由题意得π3r ＝2π，所以r ＝6，所以此扇形的面积为12×2π×6＝6π.答案：6π5．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是________． 解析：与角－4π3终边相同的角是2k π＋⎝⎛⎭⎫－4π3，k ∈Z ，令k ＝1，可得在0到2π范围内与角－4π3终边相同的角是2π3.答案：2π3考点一象限角及终边相同的角[基础自学过关][题组练透]1．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅解析：选B 由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .2．若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角解析：选C ∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．∴α2是第一或第三象限角． 3．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k ＝2n (n ∈Z)时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2(n ∈Z)，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2(n ∈Z)，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样，结合选项知选C.4．与－2 010°终边相同的最小正角是________．解析：因为－2 010°＝(－6)×360°＋150°，所以150°与－2 010°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有150°与－2 010°终边相同，故与－2 010°终边相同的最小正角是150°.答案：150°5．终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为______________________． 解析：如图，在平面直角坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3[名师微点]1．判断象限角的2种方法 2.确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或αk 的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在的位置．3．求终边在某直线上角的4个步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π]内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．考点二扇形的弧长及面积公式的应用[师生共研过关][典例精析]已知扇形的圆心角是α，半径是r ，弧长为l . (1)若α＝100°，r ＝2，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数． [解] (1)因为α＝100°＝100×π180＝5π9， 所以S 扇形＝12lr ＝12αr 2＝12×5π9×4＝10π9.(2)由题意知，l ＋2r ＝20，即l ＝20－2r ， 故S 扇形＝12l ·r ＝12(20－2r )·r ＝－(r －5)2＋25，当r ＝5时，S 的最大值为25，此时l ＝10，则α＝lr＝2.[解题技法]有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．[过关训练]1．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1解析：选C 如图，∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交AB 于D .则∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度， 且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中，AO ＝AC sin ∠AOC ＝1sin 1，即r ＝1sin 1，从而AB 的长l ＝α·r ＝2sin 1. 2．若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π6 B.π3 C ．3D. 3解析：选D 如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt △AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ， ∴l ＝3r ，由弧长公式得α＝l r ＝3rr ＝ 3.3．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设扇形的半径为r (r ＞0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 考点三三角函数的定义及应用[师生共研过关][典例精析](1)若sin αtan α＜0，且cos αtan α＜0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)(2019·广州模拟)在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫1213，513和⎝⎛⎭⎫－35，45，则sin(α＋β)＝( )A ．－3665 B.4865 C ．－313D.3365(3)已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________. [解析] (1)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由cos αtan α＜0可知cos α，tan α异号， 则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角．(2)因为角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫1213，513和⎝⎛⎭⎫－35，45，所以sin α＝513，cos α＝1213，sin β＝45，cos β＝－35，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝513×⎝⎛⎭⎫－35＋1213×45＝3365. (3)因为角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513， 所以cos α＝－xx 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，所以P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，所以sin α＝－1213， 所以tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23. [答案] (1)C (2)D (3)－23[解题技法]利用三角函数定义解题的常见类型及方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标求三角函数值．先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数定义求解．(2)已知角α的终边与单位圆的交点坐标求三角函数值．可直接根据三角函数线求解． (3)已知角α的终边所在的直线方程求三角函数值．先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数定义求解相关问题，同时注意分类讨论．(4)判断三角函数值的符号问题．先判断角所在的象限，再根据各象限的符号规律判断．[过关训练]1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°＞0 B ．cos(－305°)＜0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－223π＞0 D ．sin 10＜0解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°＜0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)＞0；而－223π＝－8π＋2π3，所以－223π是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3＜0；因为3π＜10＜7π2，所以10是第三象限角，故sin 10＜0. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t 5|t |.当t ＞0时，cos θ＝55；当t ＜0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 3．已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值． 解：设P (x ，y )．由题设知x ＝－3，y ＝m ，所以r 2＝|OP |2＝(－3)2＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2， 所以sin α＝m r ＝2m 4＝m22，所以r ＝3＋m 2＝22，即3＋m 2＝8， 解得m ＝±5.当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5， 所以cos α＝－322＝－64，tan α＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5， 所以cos α＝－322＝－64，tan α＝153.综上，cos α＝－64，tan α＝－153或cos α＝－64，tan α＝153.。

第01节 任意角和弧度制及任意角的三角函数【考纲解读】【知识清单】1．象限角及终边相同的角 1．任意角、角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． 2.弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l r，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值l r与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关． 3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． 2．三角函数的定义1.任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 3.三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.3. 扇形的弧长及面积公式弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.【重点难点突破】考点1 象限角及终边相同的角 【1-1】已知角α＝45°，(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β； (2)设集合M=18045,,N=18045,24k k x x k x x k ⎧⎫⎧⎫=⨯+∈=⨯+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ，判断两集合的关系． 【答案】（1）β＝－675°或β＝－315°.(2)M N ⊆.【1-2】终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________． 【答案】{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }【解析】终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }．【1-3】若角α是第二象限角，试确定α2，2α的终边所在位置．【答案】角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上,2α的终边在第一象限或第三象限.【解析】∵角α是第二象限角，∴ 22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，（1）4242,k k k Z ππαππ+<<+∈，∴ 角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上． （2） ,422k k k Z παπππ+<<+∈，当2 ,k n n Z =∈时， ∴ 22 ,422n n n Z παπππ+<<+∈，∴2α的终边在第一象限．当2 1 ,k n n Z =+∈时， ∴5322 ,422n n n Z παπππ+<<+∈， ∴2α的终边在第三象限．综上所述，2α的终边在第一象限或第三象限．【领悟技法】1.对与角α终边相同的角的一般形式α＋k ·360°(k ∈Z )的理解;(1)k ∈Z;(2)α任意角;(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.2.利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角3.已知角α的终边位置，确定形如k α，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出k α、π±α等形式的角范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置 【触类旁通】【变式一】【浙江省杭州第二中学三角函数】若α是第三象限的角, 则2απ-是 （ ）A. 第一或第二象限的角B. 第一或第三象限的角C. 第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角 【答案】B【变式二】【浙江省东阳中学3月月考】已知且，则角的终边所在的象限是A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，应选答案B.考点2 三角函数的定义【2-1】【浙江省台州中学期中】已知角的终边过点,且，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用角的终边过点，结合，判断所在象限，利用三角函数的定义，求出的值即可. 详解：由题意可知，，，是第三象限角，可得，即，解得，故选B.【2-2】【浙江省嘉兴市第一中学期中】已知角的终边与单位圆交于点，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据三角函数的定义求解即可．详解：由三角函数的定义可得．故选B．【2-3】【福建省福州市期末】如图，在直角坐标系中，射线交单位圆于点，若，则点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：直接由三角函数的定义得到结果即可. 详解：根据三角函数的定义得到点的坐标为：.故答案为：A.【2-4】已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3 C.5π3D.11π6 【答案】D【解析】由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6.【领悟技法】1.已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值． 【触类旁通】【变式一】已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3]【答案】A【解析】 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.故选A.【变式二】已知角的终边在射线上，则等于（ ）A.B.C.D.【答案】A点睛：（1）本题主要考查直线的斜率和同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)在中，存在着“知一求二”的解题规律，即只要知道了其中一个，就可以求出另外两个.考点3 扇形的弧长及面积公式【3-1】【浙江省诸暨中学2017-2018学年第二阶段】已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ）A. 1B. 4C. 1或4D. 2或4 【答案】C【解析】设扇形的半径为r ，弧长为 l ，则121282l r S lr +===，，∴解得28r l ==， 或44r l ==， 41lrα==或，故选C ．【3-2】【2018届黑龙江省齐齐哈尔八中8月月考】若扇形的圆心角120α=，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【解析】画出图形，如图所示.设扇形的半径为rcm ，由sin60°=6r，得，∴l=n πr 180=2π3cm.【领悟技法】(1)弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr 180，扇形面积S ＝n πr2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．【触类旁通】【变式一】【浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题】若扇形的面积为38π,半径为1，则扇形的圆心角为 （ ） A.32π B. 34π C. 38π D. 316π 【答案】B【解析】设扇形的圆心角为α，则∵扇形的面积为3π8，半径为1， ∴2313824l ππαα=∴=故选B【变式二】【浙江省9+1高中联盟期中联考】如图，以正方形ABCD 中的点A 为圆心，边长AB 为半径作扇形EAB ，若图中两块阴影部分的面积相等，则EAD ∠的弧度数大小为_________.【答案】22π-；【解析】设正方形的边长为a ，由已知可得222112422a a a ππαα-=⇒=- . 【易错试题常警惕】易错典例：已知角α的终边过点(,2)m m ,0m ≠,求角α的的正弦值、余弦值. 易错分析：学生在做题时容易遗忘0m <的情况．正确解析：当0m <时，,sin r αα===当0m >时，,sin r αα===温馨提醒：本题主要考察了三角函数的定义以及分类讨论思想方法，这也是高考考查的一个重点.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

课后限时集训(十七)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角． 其中正确命题的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个C [－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．]2．已知点P (t a n α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限B [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧tan α＜0，cos α＜0，所以角α的终边在第二象限，故选B.]3．已知弧度为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1C [由题设知，圆弧的半径r ＝1sin 1，∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin 1.] 4．若角α的终边在直线y ＝－x 上，则角α的取值集合为( ) A ．{α|α＝k ·2π－π4，k ∈Z }B ．{α|α＝k ·2π＋3π4，k ∈Z }C ．{α|α＝k ·π＋5π4，k ∈Z }D ．{α|α＝k ·π－π4，k ∈Z }D [由图知，角α的取值集合为{α|α＝2n π＋34π，n ∈Z }∪{α|α＝2n π－π4，n ∈Z }＝{α|α＝(2n ＋1)π－π4，n ∈Z }∪{α|α＝2n π－π4，n ∈Z }＝{α|α＝k π－π4，k ∈Z .}]5．(2019·福州模拟)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则t a n α＝( )A.43B.34 C ．－34D ．－43D [因为α是第二象限角，所以cos α＝15x ＜0，即x ＜0.又cos α＝15x ＝xx 2＋16.解得x ＝－3，所以t a n α＝4x ＝－43.]6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3B [由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同， 所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，t a n θ＜0. 所以y ＝－1＋1－1＝－1.]7．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4D ．2或4C [设扇形的半径为r ，扇形圆心角的弧度数为θ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝6，12θr 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，θ＝1，故选C.]二、填空题8．与2 019°的终边相同，且在0°～360°内的角是________． 219° [∵2 019°＝219°＋5×360°，∴在0°～360°内终边与2 019°的终边相同的角是219°.]9．(2019·南昌模拟)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α＝________.－cos 2 [r ＝4sin 22＋4cos 22＝2，则sin α＝－2cos 22＝－cos 2.]10．在直角坐标系xOy 中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为________．(－3，1) [如图所示，|OA |＝|OB |＝2，∵∠AOx ＝60°，∴∠BOx ＝150°，由三角函数的定义可得x B ＝2cos 150°＝－3，y B ＝2sin 150°＝1，∴B 点坐标为(－3，1)．]B 组 能力提升1．已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边在射线4x －3y ＝0(x ≤0)上，则cos α－sin α的值为( )A ．－15B ．－35C.15D.35C [角α的始边与x 轴非负半轴重合， 终边在射线4x －3y ＝0(x ≤0)上，不妨令x ＝－3，则y ＝－4，∴r ＝5，∴cos α＝x r ＝－35，sin α＝y r ＝－45，则cos α－sin α＝－35＋45＝15.]2．若α是第四象限角，则a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2sinα2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2cosα2的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－2A [由α是第四象限角知，α2是第二或第四象限角， 当α2是第二象限角时，a ＝sin α2sin α2－cosα2cosα2＝0. 当α2是第四象限角时，a ＝－sin α2sin α2＋cosα2cosα2＝0. 综上知a ＝0.]3．(2019·宝鸡模拟)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________．(－2,3] [由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的非负半轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3，即a 的取值范围为－2＜a ≤3.]4．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________.13[由角α与角β的终边关于y 轴对称，可知α＋β＝π＋2k π(k ∈Z )，所以β＝2k π＋π－α(k ∈Z )，所以sin β＝sin α＝13.]。

课时跟踪检测（二十） 任意角和弧度制、任意角的三角函数[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．2弧度的角所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B ∵π2<2<π，∴2弧度的角在第二象限．2．点P (cos 2 019°，sin 2 019°)所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 2 019°＝5×360°＋219°，即角2 019°与角219°的终边相同，219°＝180°＋39°，所以角219°在第三象限，即角2 019°也在第三象限．所以cos 2 019°<0，sin 2 019°<0，所以点P 在第三象限．3．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则sin α的值为( ) A ．－32B ．－12C.32D.12解析：选B 根据三角函数的定义，角α的终边与单位圆交点的纵坐标为角α的正弦值．4．半径为1 cm ，圆心角为150°的角所对的弧长为( ) A.23 cm B.2π3 cm C.56cm D.5π6cm 解析：选D ∵α＝150°＝56π rad，∴l ＝α·r ＝56π cm.5．(2018·四川石室中学期中)已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315.故选D.[B 级 保分题——准做快做达标]1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 因为点P (tan α，cos α)在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α<0，cos α<0，所以α为第二象限角．2．(2019·南昌二中模拟)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( )A ．sin 2B ．－sin 2C ．cos 2D ．－cos 2 解析：选D 因为r ＝2sin 22＋－2cos 22＝2，由任意角的三角函数的定义，得sin α＝y r＝－cos 2.3．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.4．(2019·长春模拟)已知α，β是第一象限角，且sin α>sin β，则( ) A ．α>β B ．α<β C ．cos α>cos βD ．tan α>tan β解析：选D 因为α，β是第一象限角，所以sin α>0，sin β>0，又sin α>sin β，所以sin 2α>sin 2β>0，所以1－cos 2α>1－cos 2β，所以cos 2α<cos 2β，所以1cos 2α>1cos 2β>0，所以tan 2α>tan 2β，因为tan α>0，tan β>0，所以tan α>tan β.故选D.5．(2019·洛阳阶段性测试)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边经过点P (3,4)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－2 019π2＝( ) A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选C ∵角α的终边经过点P (3,4)，∴sin α＝45，cos α＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2 019π2＝sin ( α－2 020π2＋π2 )＝sin ( α＋π2 )＝cos α＝35.故选C.6．(2018·莆田二十四中月考)一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧θR ＝6，12θR 2＝6.解得θ＝3，即扇形的圆心角的弧度数是3.故选C.7．终边在坐标轴上的角的集合是( ) A ．{φ|φ＝k ·360°，k ∈Z} B ．{φ|φ＝k ·180°，k ∈Z} C ．{φ|φ＝k ·90°，k ∈Z} D ．{φ|φ＝k ·180°＋90°，k ∈Z}解析：选C 令k ＝4m ，k ＝4m ＋1，k ＝4m ＋2，k ＝4m ＋3，k ，m ∈Z. 分别代入选项C 进行检验：(1)若k ＝4m ，则φ＝4m ·90°＝m ·360°；(2)若k ＝4m ＋1，则φ＝(4m ＋1)·90°＝m ·360°＋90°； (3)若k ＝4m ＋2，则φ＝(4m ＋2)·90°＝m ·360°＋180°； (4)若k ＝4m ＋3，则φ＝(4m ＋3)·90°＝m ·360°＋270°. 综上可得，终边在坐标轴上的角的集合是{φ|φ＝k ·90°，k ∈Z}． 8．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________________.解析：如图所示，设角π6的终边为OA ，OA 关于直线y ＝x 对称的射线为OB ，则以OB 为终边且在0～2π范围内的角为π3，故以OB 为终边的角的集合为{ α⎪⎪⎪ α＝2k π＋π3，k ∈Z }.∵α∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋π3<4π，∴－136<k <116.∵k ∈Z ，∴k ＝－2，－1,0,1. ∴α＝－11π3，－5π3，π3，7π3.答案：－11π3，－5π3，π3，7π39．若角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，则sin θ＋cos θ等于________． 解析：∵角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)， ∴x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |.当a >0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝y r ＋x r ＝－15.当a <0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝y r ＋x r ＝15.故sin θ＋cos θ＝±15.答案：±1510．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.答案：(－2,3]11．(2019·齐齐哈尔八中月考)已知角α的顶点在坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，终边上有一点P (3a,4a )，其中a ≠0，求sin α，cos α，tan α.解：设r ＝|OP |＝3a2＋4a2＝5|a |.当a >0时，r ＝5a ，∴sin α＝4a 5a ＝45，cosα＝3a 5a ＝35，tan α＝4a 3a ＝43；当a <0时，r ＝－5a ，∴sin α＝－45，cos α＝－35，tan α＝43.综上可知，sin α＝45，cos α＝35，tan α＝43或sin α＝－45，cos α＝－35，tan α＝43. 12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值；(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3)若α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23π，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式． 解：(1)由题意可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，根据三角函数的定义得tan α＝y x ＝－34. (2)若△AOB 为等边三角形，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，可得tan ∠AOB ＝y x ＝3，故∠AOB ＝π3；故与角α终边相同的角β的集合为{ β|β＝π3＋2k π，k ∈Z }.(3)若α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23π，则S 扇形OAB ＝12αr 2＝12α， 而S △AOB ＝12×1×1×sin α＝12sin α，故弓形AB 的面积S ＝S 扇形OAB －S △AOB ＝12α－12sin α，α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23π.。

4-1任意角、弧度制及任意角的三角函数A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．sin 2cos 3tan 4的值( )．A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在 解析 ∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0， ∴sin 2cos 3tan 4＜0. 答案 A2．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2≤0，知θ2为第二象限角． 答案 B3．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( )． A ．40 π c m 2 B ．80 π cm 2 C ．40 cm 2 D ．80 cm 2 解析 72°＝2π5，∴S 扇形＝12αR 2＝12×2π5×202＝80 π(cm 2)． 答案 B4．(2012·安庆质检)若cos α＝－32，且角α的终边经过点(x,2)，则P 点的横坐标x 是( )．A ．2 3B ．±2 3C ．－2 2D ．－2 3 解析 由cos α＝x x 2＋4＝－32，解得，x ＝－2 3. 答案 D5．(2011·厦门质检)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则cos α的值为( )．A.45 B ．－34 C ．－45 D ．－35解析 依题意得，cos α＝－35⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35.答案 D二、填空题(每小题4分，共12分)6．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第______象限． 解析 ∵点P (tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0. ∴角α在第二象限． 答案 二7．(2012·昆明模拟)已知α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，点P (－4m,3m )(m ＞0)是α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.解析 由条件可求得r ＝5m ，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以2sin α＋cos α＝25. 答案 258．若β的终边所在直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，则sin β＝________，tan β＝________.解析 因为β的终边所在直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，所以β的终边所在直线为y ＝－x ，则β在第二或第四象限．所以sin β＝22或－22，tan β＝－1. 答案 22或－22 －1 三、解答题(共23分)9．(11分)一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求 圆心角的弧度数和弦长AB .解 设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ， 则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎨⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr＝2.如图，过O作OH⊥AB于H.则∠AOH＝1弧度∴AH＝1·sin 1＝sin 1 (cm)，∴AB＝2sin 1 (cm)．10．(12分)(1)设90°＜a＜180°.角α的终边上一点为P(x，5)，且cos α＝24x，求sin α与tan α的值；(2)已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ，cos θ.解(1)∵r＝x2＋5，∴cos α＝xx2＋5.从而24x＝xx2＋5，解得x＝0或x＝±3.∵90°＜α＜180°，∴x＜0，因此x＝－ 3.故r＝22，sin α＝522＝104，tan α＝5－3＝－153.(2)∵θ的终边过点(x，－1)，∴tan θ＝－1 x，又∴tan θ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.当x＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22；当x＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22.B级综合创新备选(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m的值为()．A ．－12 B.12 C ．－32 D.32 解析 ∵r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45， ∴m ＞0，∴4m 264m 2＋9＝125，∴m ＝±12.∵m ＞0，∴m ＝12. 答案 B2．(2012·北京东城模拟)点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 解析 设α＝∠POQ ，由三角函数定义可知，Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos α，y ＝sin α，∴x ＝－12，y ＝32，∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.答案 A二、填空题(每小题4分，共8分)3．若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形为________． 解析 ∵sin αcos β＜0，且α，β是三角形的两个内角． ∴sin α＞0，cos β＜0，∴β为钝角．故三角形为钝角三角形． 答案 钝角三角形 4．函数y ＝sin x ＋12－cos x 的定义域是________．解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，12－cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤12.∴x 的取值范围为π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z . 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，π＋2k π(k ∈Z )三、解答题(共22分)5．(10分)如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，△AOB 为正三角形．(1)求sin ∠COA ； (2)求cos ∠COB .解 (1)根据三角函数定义可知sin ∠COA ＝45. (2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°， 又sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35， ∴cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°) ＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60° ＝35·12－45·32＝3－4310.6．(12分)(2011·绍兴月考)角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值． 解 由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )， 点Q 的坐标为(2a ，a )．所以，sin α＝－2a a 2＋(－2a )2＝－25，cos α＝a a 2＋(－2a )2＝15，tan α＝－2aa ＝－2， sin β＝a (2a )2＋a 2＝15，cos β＝2a (2a )2＋a2＝25，tan β＝a2a＝12，故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.。

课时标准练17 任意角、弧度制及任意角的三角函数基础巩固组°角的终边与以下哪个角的终边相同( ) °°°°2.已知角α的终边与单位圆交于点(-45,35),则tan α=( )434535343.(2018上海杨浦校级期中)若MP 和OM 别离是角7π的正弦线和余弦线,则( )<OM<0 >0>MP <MP<0 >0>OM4.(2018浙江义乌校级期中)如图,终边在阴影部份(含边界)的角的集合是( )A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|-45°+k ·360°≤α≤120°+k ·360°,k ∈Z }D.{α|120°+k ·360°≤α≤315°+k ·360°,k ∈Z } 5.(2018四川遂宁模拟)已知角α的终边与单位圆x 2+y 2=1相交于点P (12,y),则sin (π2+α)=( )B.12√3212 6.将表的分针拨慢10分钟,那么分针转过的角的弧度数是 ( )A.π3B.π6π3 π6 7.已知角α的终边通过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,那么实数a 的取值范围是( ) A.(-2,3] B.(-2,3) C.[-2,3) D.[-2,3]8.(2018河南洛阳模拟)已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x ≤0)上,则cos α-sin α= .9.函数f (α)=√2cosα-1的概念域为 .10.已知角α终边上一点P 与点A (-1,2)关于y 轴对称,角β的终边上一点Q 与点A 关于原点O 中心对称,则sin α+sin β= .11.假设角α与角8π5终边相同,那么在[0,2π]内终边与角α4终边相同的角是 . 12.已知扇形的周长为20 cm,当它的面积最大时,它的圆心角的弧度数为 .综合提升组13.(2018山东潍坊高三期中)《九章算术》是我国古代数学成绩的杰出代表作,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的体会公式为:弧田面积=1×(弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有圆心角2π3,半径为6米的弧田,依照上述体会公式计算所得弧田面积约是(√3≈( ) 平方米 平方米 平方米 平方米14.(2018山东济南二模,3)已知角α的终边通过点(m ,-2m ),其中m ≠0,则sin α+cos α等于( )√55B.±√5535D.±3515.以下结论错误的选项是( )A.若0<α<π2,则sin α<tan αB.若α是第二象限角,则α2为第一象限或第三象限角 C.假设角α的终边过点P (3k ,4k )(k ≠0),则sin α=45D.假设扇形的周长为6,半径为2,那么其圆心角的大小为1弧度16.(2018山东烟台高三期末)如图,在平面直角坐标系xOy 中,钝角α的终边与单位圆交于点B ,且点B 的纵坐标为1213.假设将点B 沿单位圆逆时针旋转π2抵达点A ,那么点A 的坐标为 .创新应用组17.(2018浙江宁波效实中学二模)若cos α-sin α=tan α(0<α<π2),则α∈( )A.(0,π6)B.(π6,π4) C.(π4,π3)D.(π3,π2)18.(2018北京,文7)在平面直角坐标系中,AB⏜,CD ⏜,EF ⏜,GH ⏜是圆x 2+y 2=1上的四段弧(如图),点P 在其中一段上,角α以Ox 为始边,OP 为终边.若tan α<cos α<sin α,则P 所在的圆弧是( )A.AB ⏜B.CD⏜ C.EF ⏜ D.GH⏜课时标准练17 任意角、弧度制及任意角的三角函数因为-495°=-2×360°+225°,因此与-495°角终边相同的是225°角.应选C .依照三角函数的概念,tan α=yx=35-45=-34,应选D .在单位圆中画出角7π6的正弦线MP 和余弦线OM ,如下图,则OM<MP<0.应选C .如题图,终边落在阴影部份(含边界)的角的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k ∈Z }.应选C .∵点P (12,y)在单位圆上,∴y=±√32,∴α=π3+2k π,k ∈Z 或α=-π3+2k π,k ∈Z . ∴sin (π2+α)=cos α=cos ±π3+2k π=cos π3=12.应选B .将表的分针拨慢应按逆时针方向旋转,应选项C,D 不正确.又拨慢10分钟,因此转过的角度应为圆周的212=16,即为16×2π=π3.由cos α≤0,sin α>0可知,角α的终边在第二象限或y 轴的正半轴上,因此有{3a -9≤0,a +2>0,解得-2<a ≤3.8.15 因为角α的始边与x 轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x ≤0)上,不妨令x=-3,则y=-4,∴r=5,∴cos α=xr =-35,sin α=yr =-45,则cos α-sin α=-35+45=15. 9.[2kπ-π3,2kπ+π3](k ∈Z ) ∵2cos α-1≥0,∴cos α≥12.由三角函数线画出角α知足条件的终边的范围(如图阴影部份所示).故α∈[2kπ-π3,2kπ+π3](k ∈Z ).∵角α终边上一点P 与点A (-1,2)关于y 轴对称,∴P (1,2).∵角β的终边上一点Q 与点A 关于原点O 中心对称, ∴Q (1,-2).由三角函数的概念可知sin α=5,sin β=-5,∴sin α+sin β=55=0.11.2π5,9π10,7π5,19π10由题意,得α=8π5+2k π(k ∈Z ),α4=2π5+kπ2(k ∈Z ).又α4∈[0,2π],因此k=0,1,2,3,相应地有α4=2π5,9π10,7π5,19π10. ∵扇形的周长为20 cm,∴l+2r=20,即l=20-2r ,∴扇形的面积S=12lr=12(20-2r )·r=-r 2+10r=-(r-5)2+25,∴当半径r=5时,扇形的面积最大为25,现在α=lr =2(rad). 如图,由题意可得∠AOB=2π3,OA=6,在Rt △AOD 中,可得∠AOD=π3,∠DAO=π6,OD=12AO=12×6=3,∴矢=6-3=3,由AD=AO·sin π3=3√3,可得弦=2AD=6√3,∴弧田面积=12×(弦×矢+矢2)=12(6√3×3+32)=9√3+≈20(平方米).应选C .∵角α的终边通过点(m ,-2m ),其中m ≠0,∴当m>0时,sin α=√5m =-√5,cos α=√5m =√5,∴sin α+cos α=-√55;当m<0时,sin α==√5,cos α==-√5,∴sin α+cos α=√55.∴sin α+cos α=±√55.应选B .若0<α<π,则sin α<tan α=sinα,故A 正确;若α是第二象限角,则α2∈π4+k π,k π+π2(k ∈Z ),则α2为第一象限角或第三象限角,故B 正确; 假设角α的终边过点P (3k ,4k )(k ≠0), 则sin α=4k√9k +16k=4k 5|k |,不必然等于45,故C 不正确;假设扇形的周长为6,半径为2,那么弧长=6-2×2=2,其圆心角的大小为1弧度,故D 正确. 16.(-1213,-513) 因为在平面直角坐标系xOy 中,钝角α的终边与单位圆交于B 点,且点B 的纵坐标为1213,故sin α=1213,cos α=-513,将点B 沿单位圆逆时针旋转π2抵达A 点,点A 的坐标为cos (α+π2),sin (α+π2),即A (-sin α,cos α),∴A -1213,-513.利用排除法,当0<α<π2时,cos α,sin α,tan α的值都为正数,选项C,D 中,cos α-sin α<0,tan α>0,故排除C,D;关于选项B,当α的取值趋近π4时,由三角函数线知cos α-sin α的值趋近0, 而tan α的值趋近1,故排除B,应选A .若P 在AB⏜上,那么由角α的三角函数线知,cos α>sin α,排除A;若P 在CD ⏜上,则tan α>sin α,排除B;若P 在GH⏜上,则tan α>0,cos α<0,sin α<0,排除D;应选C .。

第三章三角函数、解三角形第1课时任意角、弧度制及任意角的三角函数1. 任意角(1) 角的概念的推广①按旋转方向不同分为 ________ 、 ________ 、________ .②按终边位置不同分为 ________ 和 ________ .(2) 终边相同的角终边与角a相同的角可写成_2. 弧度与角度的互化(1) 1弧度的角长度等于 ________ 长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示.⑵角a的弧度数如果半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为I,那么角a的弧度数的绝对值是I a |=.(3) 角度与弧度的换算①1° = _______ rad;② 1rad = .(4) 扇形的弧长、面积公式设扇形的弧长为l ,圆心角大小为a (rad),半径为r,则l=r a ,扇形的面积为S=3. 任意角的三角函数(1) 定义：设角a的终边与单位圆交于____________ P(x, y),则sin a= ,COS a= ___________________________ ,tan a =1. ( 教材改编) 下列与系式中正确的是( ) .的终边相同的角的关2. (教材改编)若sin a<0且tan a>0,则a是().A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角3. 已知角 a 的终边上一点A(2,2), 则 a 的大小为( ).4. (教材改编)已知角a 的终边经过点P(-X,-6), 且,则X的值为 ________ .5. _____________________________________________ 弧长为3 n ,圆心角为135°的扇形半径为,面积为______________________________________________ .♦一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦.♦两个技巧(1) 在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点,|OP|=r - -定是正值.(2) 在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧•♦三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角•(2) 角度制与弧度制可利用180°=n rad进行互化,在同一个式子中致,不可混用,不可写a=2k n +60°, k € Z.(3) 注意熟记0° ~360°间特殊角的弧度表示,以方便解题.♦四个公式(1) 与a终边相同的角度公式(2) 角的弧度数(弧长公式)(3) 扇形面积公式(4) 三角函数定义公式考点透析考向一角的概念及表示例1 (1)如果a是第三象限的角,那么-a ,2 a的终边落在何处？(2)写出终边在直线【审题视点】利用象限角及终边相同的角的表示方法求角【课堂记录】,采用的度量制度必须一上的角的集合【方法总结】⑴利用终边相同的角的集合S=｛卩| B=k n +a, k€ Z｝判断一个角卩所在的象限时,只需把这个角写成[0,2 n )范围内的一个角a与2n的整数倍的和，然后判断角a的象限.(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角•1.若角e的终边与角的终边相同，求在[0,2 n )内终边与角的终边相同的角考向二三角函数的定义例 2 已知角0 的终边经过点P( -, m)( m工0) 且sin 0= ,试判断角0所在的象限，并求cos 0和tan 0 的值.【审题视点】根据三角函数定义求m，再求cos0 和tan 0.方法总结】1. 三角函数定义的理解在直角坐标系xOy中,设P(x,y)是角 a 终边上任意一点,且|PO|=r ,则2. 定义法求三角函数值的两种情况⑴已知角a终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r,然后利用三角函数的定义求解•(2) 已知角a的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离,然后利用三角函数的定义求解相关的问题•若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角a的三角函数值•2.角 a 终边上一点F(4n)-3n)( 0),贝U 2sin a+cos a 的值为___________ .考向三弧度制的应用例3 已知半径为10的圆0中，弦AB的长为10.(1) 求弦AB所对的圆心角a的大小；(2) 求a所在的扇形弧长I及弧所在的弓形的面积S.【审题视点】△ AOB是等边三角形，/ AOB60°, S弓=S扇-S△ AOB【方法总结】(1)引进弧度制后，实现了角度与弧度的相互转化，在弧度制下可以应用弧长公式：l=r| a|,扇形面积公式：S=lr=r 2| a|,求弧长和扇形的面积•⑵应用上述公式时，要先把角统一用弧度制表示•利用弧度制比角度制解题更为简捷、方便.3. 已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大考向四三角函数线及应用例4在单位圆中画出适合下列条件的角a的终边的范围.并由此写出角a的集合：【审题视点】作出满足的角的终边，然后根据已知条件确定角a终边的范围【方法总结】利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是(1) 用边界值写出角的终边位置；(2) 根据不等式(组)定出角的范围；(3) 求交集,找单位圆中公共的部分；(4) 写出角的关系式.4. 求函数y=lg(3 -4sin x)的定义域.1. （2014 •全国大纲）已知角a的终边经过点（-4,3）,则COS a等于（）.2.（2014 •全国新课标I ）若tan a>0,则（）.A. sin a>0B. cos a>0C. sin2 a >0D. cos2 a >0参考答案与解析1. (1)①正角负角零角②象限角轴线角(2) a +k • 360°( k€ Z)或 a +k • 2n ( k € Z)2. (1) 半径MP OM AT3. (1) y x (2)1. C2. C3. C4.5.4 6 n所以角-a的终边在第二象限所以角2a的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴上的角是⑵在（0, n）内终边在直线所以终边在直线上的角的集合为【例4】⑴作直线交单位圆于A B两点,连接OA 0B则OA与0B围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角a的终边的范围，故满足条件的角a 的集合为⑵作直线交单位圆于C D 两点琏接oc OD 则OC 与OD 围成的区域（图⑵中阴影部分）即为角a 终边的范围，故满足条件的角 a 的集合为变式训练224. (1) 因为3- 4sin 2x>0, 所以sin 2x<以利用三角函数线画出X满足条件的终边范围（如图阴影部分所示）,(k € Z).经典考题真题体验（第4题）所以1. D 解析:根据题意,2. C 解析: 因为, 所以选C.。